Dalam istilah "persamaan kuadratik," kata kuncinya ialah "kuadrat." Ini bermakna bahawa persamaan mesti semestinya mengandungi pembolehubah (x yang sama) kuasa dua, dan tidak sepatutnya ada xes kepada kuasa ketiga (atau lebih besar).
Penyelesaian banyak persamaan datang kepada penyelesaian dengan tepat persamaan kuadratik.
Mari belajar untuk menentukan bahawa ini adalah persamaan kuadratik dan bukan persamaan lain.
Contoh 1.
Mari kita hapuskan penyebut dan darab setiap sebutan persamaan dengan
Mari kita gerakkan segala-galanya ke sebelah kiri dan susun istilah dalam susunan menurun bagi kuasa X
Sekarang kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan ini adalah kuadratik!
Contoh 2.
Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:
Persamaan ini, walaupun pada asalnya terdapat di dalamnya, bukan kuadratik!
Contoh 3.
Mari kita darabkan semuanya dengan:
menakutkan? Darjah keempat dan kedua... Walau bagaimanapun, jika kita membuat penggantian, kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik mudah:
Contoh 4.
Nampaknya ada, tetapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita alihkan semuanya ke sebelah kiri:
Lihat, ia dikurangkan - dan kini ia adalah persamaan linear yang mudah!
Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:
Contoh:
Jawapan:
- segi empat sama;
- segi empat sama;
- bukan persegi;
- bukan persegi;
- bukan persegi;
- segi empat sama;
- bukan persegi;
- segi empat sama.
Ahli matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan kuadratik kepada jenis berikut:
- Lengkapkan persamaan kuadratik- persamaan di mana pekali dan, serta sebutan bebas c, tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, antara persamaan kuadratik lengkap terdapat diberi- ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh satu bukan sahaja lengkap, tetapi juga dikurangkan!)
- Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:
Mereka tidak lengkap kerana mereka kehilangan beberapa elemen. Tetapi persamaan mesti sentiasa mengandungi x kuasa dua!!! Jika tidak, ia bukan lagi persamaan kuadratik, tetapi beberapa persamaan lain.
Mengapa mereka membuat pembahagian sedemikian? Nampaknya terdapat X kuasa dua, dan okay. Pembahagian ini ditentukan oleh kaedah penyelesaian. Mari kita lihat setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.
Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap
Mula-mula, mari fokus pada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah!
Terdapat jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
- , dalam persamaan ini pekali adalah sama.
- , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
- , dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.
1. i. Kerana kita tahu cara mengekstrak Punca kuasa dua, maka mari kita ungkapkan daripada persamaan ini
Ungkapan boleh sama ada negatif atau positif. Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif, jadi: jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.
Dan jika, maka kita mendapat dua akar. Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama ialah anda mesti tahu dan sentiasa ingat bahawa ia tidak boleh kurang.
Mari cuba selesaikan beberapa contoh.
Contoh 5:
Selesaikan persamaan
Sekarang yang tinggal hanyalah mengekstrak akar dari sisi kiri dan kanan. Lagipun, anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?
Jawapan:
Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!!!
Contoh 6:
Selesaikan persamaan
Jawapan:
Contoh 7:
Selesaikan persamaan
Oh! Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu
tiada akar!
Untuk persamaan yang tidak mempunyai akar, ahli matematik menghasilkan ikon khas - (set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis seperti ini:
Jawapan:
Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengekstrak akarnya.
Contoh 8:
Selesaikan persamaan
Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
Oleh itu,
Persamaan ini mempunyai dua punca.
Jawapan:
Jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang paling mudah (walaupun semuanya mudah, bukan?). Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:
Kami akan mengetepikan contoh di sini.
Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap
Kami mengingatkan anda bahawa persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan persamaan bentuk di mana
Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap adalah lebih sukar (sedikit sahaja) daripada ini.
ingat, Mana-mana persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.
Kaedah lain akan membantu anda melakukannya dengan lebih pantas, tetapi jika anda menghadapi masalah dengan persamaan kuadratik, mula-mula kuasai penyelesaian menggunakan diskriminasi.
1. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi.
Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah ini sangat mudah; perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.
Jika, maka persamaan itu mempunyai punca. Perhatian istimewa ambil langkah. Diskriminasi () memberitahu kita bilangan punca persamaan.
- Jika, maka formula dalam langkah akan dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan hanya akan mempunyai punca.
- Jika, maka kami tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi pada langkah itu. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.
Mari kita kembali kepada persamaan kita dan lihat beberapa contoh.
Contoh 9:
Selesaikan persamaan
Langkah 1 kita ponteng.
Langkah 2.
Kami mendapati diskriminasi:
Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca.
Langkah 3.
Jawapan:
Contoh 10:
Selesaikan persamaan
Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.
Langkah 2.
Kami mendapati diskriminasi:
Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca.
Jawapan:
Contoh 11:
Selesaikan persamaan
Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.
Langkah 2.
Kami mendapati diskriminasi:
Ini bermakna kita tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi. Tiada punca persamaan.
Sekarang kita tahu cara menulis jawapan sedemikian dengan betul.
Jawapan: tiada akar
2. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta.
Jika anda masih ingat, terdapat sejenis persamaan yang dipanggil berkurangan (apabila pekali a adalah sama dengan):
Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:
Jumlah akar diberi persamaan kuadratik adalah sama, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama.
Contoh 12:
Selesaikan persamaan
Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana .
Hasil tambah punca persamaan adalah sama, i.e. kita mendapat persamaan pertama:
Dan produk adalah sama dengan:
Mari kita karang dan selesaikan sistem:
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama.
dan merupakan penyelesaian kepada sistem:
Jawapan: ; .
Contoh 13:
Selesaikan persamaan
Jawapan:
Contoh 14:
Selesaikan persamaan
Persamaan diberikan, yang bermaksud:
Jawapan:
PERSAMAAN KUADRATIK. TAHAP PURATA
Apakah persamaan kuadratik?
Dalam erti kata lain, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - beberapa nombor, dan.
Nombor itu dipanggil tertinggi atau pekali pertama persamaan kuadratik, - pekali kedua, A - ahli percuma.
kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana akan hilang.
Dalam kes ini, dan boleh sama dengan sifar. Dalam persamaan kerusi ini dipanggil tidak lengkap. Jika semua istilah sudah ada, iaitu persamaannya sudah lengkap.
Penyelesaian kepada pelbagai jenis persamaan kuadratik
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap:
Mula-mula, mari kita lihat kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah.
Kita boleh membezakan jenis persamaan berikut:
I., dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.
II. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.
III. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada setiap subjenis ini.
Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:
Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila anda mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif. Itulah sebabnya:
jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian;
jika kita mempunyai dua akar
Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama yang perlu diingat ialah ia tidak boleh kurang.
Contoh:
Penyelesaian:
Jawapan:
Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!
Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu
tiada akar.
Untuk menulis secara ringkas bahawa masalah tidak mempunyai penyelesaian, kami menggunakan ikon set kosong.
Jawapan:
Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: dan.
Jawapan:
Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:
Jadi, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca: dan.
Contoh:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan dan cari puncanya:
Jawapan:
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap:
1. Diskriminasi
Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara ini adalah mudah, perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, sebarang persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.
Adakah anda perasan akar daripada diskriminasi dalam formula untuk akar? Tetapi diskriminasi boleh menjadi negatif. Apa nak buat? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi memberitahu kita bilangan punca persamaan.
- Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar:
- Jika, maka persamaan mempunyai punca yang sama, dan sebenarnya, satu punca:
Akar sedemikian dipanggil akar berganda.
- Jika, maka akar diskriminasi tidak diekstrak. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.
Mengapa bilangan akar yang berbeza mungkin? Mari beralih kepada deria geometri persamaan kuadratik. Graf fungsi ialah parabola:
Dalam kes khas, iaitu persamaan kuadratik, . Ini bermakna punca-punca persamaan kuadratik ialah titik-titik persilangan dengan paksi absis (paksi). Parabola mungkin tidak memotong paksi sama sekali, atau mungkin bersilang pada satu (apabila puncak parabola terletak pada paksi) atau dua titik.
Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika, maka ke bawah.
Contoh:
Penyelesaian:
Jawapan:
Jawapan: .
Jawapan:
Ini bermakna tiada penyelesaian.
Jawapan: .
2. Teorem Vieta
Sangat mudah untuk menggunakan teorem Vieta: anda hanya perlu memilih sepasang nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan.
Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan dalam persamaan kuadratik terkurang ().
Mari lihat beberapa contoh:
Contoh #1:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana . Pekali lain: ; .
Jumlah punca-punca persamaan ialah:
Dan produk adalah sama dengan:
Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dan semak sama ada jumlahnya sama:
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama.
dan merupakan penyelesaian kepada sistem:
Oleh itu, dan merupakan punca persamaan kita.
Jawapan: ; .
Contoh #2:
Penyelesaian:
Mari pilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan kemudian semak sama ada jumlahnya sama:
dan: mereka memberi secara keseluruhan.
dan: mereka memberi secara keseluruhan. Untuk mendapatkannya, cukup untuk menukar tanda-tanda akar yang sepatutnya: dan, selepas semua, produk.
Jawapan:
Contoh #3:
Penyelesaian:
Sebutan bebas bagi persamaan adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar-akarnya ialah nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan satu lagi positif. Oleh itu jumlah akar-akar adalah sama dengan perbezaan modul mereka.
Marilah kita memilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan perbezaannya adalah sama dengan:
dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;
dan: - tidak sesuai;
dan: - tidak sesuai;
dan: - sesuai. Apa yang tinggal ialah ingat bahawa salah satu akarnya adalah negatif. Oleh kerana jumlahnya mestilah sama, punca dengan modulus yang lebih kecil mestilah negatif: . Kami menyemak:
Jawapan:
Contoh #4:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Persamaan diberikan, yang bermaksud:
Istilah bebas adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu punca persamaan adalah negatif dan satu lagi positif.
Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama, dan kemudian tentukan punca mana yang sepatutnya mempunyai tanda negatif:
Jelas sekali, hanya akar dan sesuai untuk keadaan pertama:
Jawapan:
Contoh #5:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Persamaan diberikan, yang bermaksud:
Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya satu daripada akar adalah negatif. Tetapi kerana produk mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar mempunyai tanda tolak.
Mari kita pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dengan:
Jelas sekali, akarnya ialah nombor dan.
Jawapan:
Setuju, adalah sangat mudah untuk menghasilkan akar secara lisan, bukannya mengira diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sekerap mungkin.
Tetapi teorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan mencari punca. Untuk anda mendapat manfaat daripada menggunakannya, anda mesti membawa tindakan kepada keautomasian. Dan untuk ini, selesaikan lima lagi contoh. Tetapi jangan menipu: anda tidak boleh menggunakan diskriminasi! Hanya teorem Vieta:
Penyelesaian kepada tugasan untuk kerja bebas:
Tugasan 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Menurut teorem Vieta:
Seperti biasa, kami memulakan pemilihan dengan sekeping:
Tidak sesuai kerana jumlahnya;
: jumlahnya adalah apa yang anda perlukan.
Jawapan: ; .
Tugasan 2.
Dan sekali lagi teorem Vieta kegemaran kami: jumlah mesti sama, dan hasil darab mestilah sama.
Tetapi kerana ia mesti tidak, tetapi, kita menukar tanda-tanda akar: dan (secara keseluruhan).
Jawapan: ; .
Tugasan 3.
Hmm... Mana tu?
Anda perlu memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian:
Jumlah akar adalah sama dengan hasil darab.
Okay, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi teorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama anda perlu memberikan persamaan. Jika anda tidak boleh memimpin, tinggalkan idea ini dan selesaikan dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi). Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk memberikan persamaan kuadratik bermakna menjadikan pekali pendahulu sama:
Hebat. Maka jumlah akar adalah sama dengan dan hasil darab.
Di sini, semudah memerah pear untuk dipilih: lagipun, ia adalah nombor perdana (maaf atas tautologi).
Jawapan: ; .
Tugasan 4.
Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa tentang ini? Dan hakikatnya ialah akar akan mempunyai tanda yang berbeza. Dan sekarang, semasa pemilihan, kami tidak menyemak jumlah akar, tetapi perbezaan dalam modul mereka: perbezaan ini sama, tetapi produk.
Jadi, akarnya adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Ini bermakna bahawa akar yang lebih kecil akan mempunyai tolak: dan, sejak.
Jawapan: ; .
Tugasan 5.
Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, berikan persamaan:
Sekali lagi: kami memilih faktor nombor, dan perbezaannya hendaklah sama dengan:
Akar adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. yang mana? Jumlah mereka harus sama, yang bermaksud bahawa tolak akan mempunyai akar yang lebih besar.
Jawapan: ; .
Biar saya ringkaskan:
- Teorem Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadratik yang diberikan.
- Menggunakan teorem Vieta, anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
- Jika persamaan tidak diberikan atau tiada persamaan ditemui pasangan yang sesuai pengganda bagi istilah bebas, yang bermaksud tiada akar keseluruhan, dan anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi).
3. Kaedah untuk memilih petak lengkap
Jika semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui diwakili dalam bentuk sebutan daripada rumus pendaraban yang disingkatkan - kuasa dua jumlah atau perbezaan - maka selepas menggantikan pembolehubah, persamaan boleh dibentangkan dalam bentuk persamaan kuadratik tidak lengkap jenis.
Sebagai contoh:
Contoh 1:
Selesaikan persamaan: .
Penyelesaian:
Jawapan:
Contoh 2:
Selesaikan persamaan: .
Penyelesaian:
Jawapan:
DALAM Pandangan umum transformasi akan kelihatan seperti ini:
Ini bermakna: .
Tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Ini adalah perkara yang diskriminasi! Itulah cara kami mendapat formula diskriminasi.
PERSAMAAN KUADRATIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Persamaan kuadratik- ini ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - pekali persamaan kuadratik, - sebutan bebas.
Persamaan kuadratik lengkap- persamaan di mana pekalinya tidak sama dengan sifar.
Persamaan kuadratik terkurang- persamaan di mana pekalinya, iaitu: .
Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:
- jika pekali, persamaannya kelihatan seperti: ,
- jika terdapat istilah bebas, persamaan mempunyai bentuk: ,
- jika dan, persamaannya kelihatan seperti: .
1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap
1.1. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :
1) Mari kita nyatakan yang tidak diketahui: ,
2) Semak tanda ungkapan:
- jika, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian,
- jika, maka persamaan itu mempunyai dua punca.
1.2. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :
1) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: ,
2) Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua punca:
1.3. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana:
Persamaan ini sentiasa mempunyai satu punca sahaja: .
2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap bentuk di mana
2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminasi
1) Mari kita bawa persamaan ke bentuk piawai: ,
2) Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula: , yang menunjukkan bilangan punca persamaan:
3) Cari punca-punca persamaan:
- jika, maka persamaan mempunyai punca-punca, yang didapati dengan formula:
- jika, maka persamaan mempunyai punca, yang ditemui oleh formula:
- jika, maka persamaan itu tidak mempunyai punca.
2.2. Penyelesaian menggunakan teorem Vieta
Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang (persamaan bentuk di mana) adalah sama, dan hasil darab punca adalah sama, i.e. , A.
2.3. Penyelesaian dengan kaedah memilih segi empat sama lengkap
Jika persamaan kuadratik bentuk mempunyai punca, maka ia boleh ditulis dalam bentuk: .
Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.
Kerana hanya 5% orang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!
Sekarang perkara yang paling penting.
Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.
Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...
Untuk apa?
Kerana berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, kerana memasuki kolej dengan bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...
Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tetapi ini bukan perkara utama.
Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...
Tapi fikir sendiri...
Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.
Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.
Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.
Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.
Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!
Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.
Bagaimana? Terdapat dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 gosok.
- Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - 499 gosok.
Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.
Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.
Kesimpulannya...
Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.
"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.
Cari masalah dan selesaikan!
Sekolah menengah luar bandar Kopyevskaya
10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik
Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
guru matematik
kampung Kopevo, 2007
1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik
1.1 Persamaan kuadratik di Babylon Purba
1.2 Bagaimana Diophantus mengarang dan menyelesaikan persamaan kuadratik
1.3 Persamaan kuadratik di India
1.4 Persamaan kuadratik oleh al-Khorezmi
1.5 Persamaan kuadratik di Eropah abad XIII - XVII
1.6 Mengenai teorem Vieta
2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik
Kesimpulan
kesusasteraan
1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik
1.1 Persamaan kuadratik di Babylon Purba
Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua, walaupun pada zaman dahulu, disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan dengan kerja penggalian yang bersifat ketenteraan, juga seperti perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan sekitar 2000 SM. e. orang Babylon.
Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dibentangkan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk tentang bagaimana ia ditemui.
Walaupun tahap tinggi perkembangan algebra di Babylon, teks cuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum menyelesaikan persamaan kuadratik.
1.2 Bagaimana Diophantus mengarang dan menyelesaikan persamaan kuadratik.
Aritmetik Diophantus tidak mengandungi pembentangan sistematik algebra, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan membina persamaan pelbagai darjah.
Semasa mengarang persamaan, Diophantus dengan mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.
Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.
Masalah 11."Cari dua nombor, mengetahui bahawa jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96"
Diophantus beralasan seperti berikut: dari syarat-syarat masalah ia mengikuti bahawa nombor yang diperlukan tidak sama, kerana jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan sama dengan 96, tetapi kepada 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, iaitu. 10 + x, yang lain kurang, i.e. 10-an. Perbezaan antara mereka 2x .
Oleh itu persamaan:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Dari sini x = 2. Satu daripada nombor yang diperlukan adalah sama dengan 12 , lain-lain 8 . Penyelesaian x = -2 kerana Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.
Jika kita menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu daripada nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, maka kita akan mendapatkan penyelesaian kepada persamaan
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Adalah jelas bahawa dengan memilih separuh perbezaan nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, Diophantus memudahkan penyelesaian; dia berjaya mengurangkan masalah kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (1) yang tidak lengkap.
1.3 Persamaan Kuadratik di India
Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan Am penyelesaian persamaan kuadratik dikurangkan kepada satu bentuk kanonik:
ah 2 + b x = c, a > 0. (1)
Dalam persamaan (1), pekali, kecuali A, juga boleh negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita.
DALAM India Purba Pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Salah satu buku India lama mengatakan perkara berikut tentang pertandingan seperti itu: "Sebagaimana matahari gerhana bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga lelaki terpelajar akan gerhana kemuliaan orang lain perhimpunan rakyat, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra.” Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.
Ini adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskar.
Masalah 13.
“Sekawanan monyet lincah, dan dua belas di sepanjang pokok anggur...
Pihak berkuasa, setelah makan, berseronok. Mereka mula melompat, tergantung...
Terdapat mereka di dataran, bahagian lapan. Berapakah bilangan monyet yang ada?
Saya berseronok di kawasan lapang. Beritahu saya, dalam pek ini?
Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai (Rajah 3).
Persamaan yang sepadan dengan masalah 13 ialah:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara menulis dengan berselindung:
x 2 - 64x = -768
dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada kuasa dua, tambah kepada kedua-dua belah 32 2 , kemudian mendapat:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Persamaan kuadratik dalam al - Khorezmi
Dalam risalah algebra al-Khorezmi, klasifikasi persamaan linear dan kuadratik diberikan. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:
1) "Petak sama dengan akar," i.e. ax 2 + c = b X.
2) "Petak sama dengan nombor", i.e. ax 2 = c.
3) "Akar adalah sama dengan nombor," i.e. ah = s.
4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," i.e. ax 2 + c = b X.
5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", i.e. ah 2 + bx = s.
6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua," i.e. bx + c = ax 2 .
Bagi al-Khorezmi, yang mengelakkan penggunaan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini adalah tambah dan bukan boleh ditolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menetapkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama
al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana dalam masalah praktikal khusus ia tidak penting. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap al-Khorezmi pada separa contoh berangka membentangkan peraturan untuk penyelesaian dan kemudian pembuktian geometri.
Masalah 14.“Kuasa dua dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca. Cari akarnya" (menyiratkan punca persamaan x 2 + 21 = 10x).
Penyelesaian penulis adalah seperti ini: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya, tolak 21 daripada hasil darab, yang tinggal ialah 4. Ambil punca daripada 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5 , anda mendapat 3, ini akan menjadi akar yang dikehendaki. Atau tambah 2 hingga 5, yang memberikan 7, ini juga akar.
Risalah al-Khorezmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, yang secara sistematik menetapkan klasifikasi persamaan kuadratik dan memberikan formula untuk penyelesaiannya.
1.5 Persamaan kuadratik di Eropah XIII - XVII bb
Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik sepanjang garis al-Khwarizmi di Eropah mula-mula ditetapkan dalam Kitab Abakus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, kedua-dua negara Islam dan Yunani purba, dibezakan dengan kesempurnaan dan kejelasan pembentangan. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru untuk menyelesaikan masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari Kitab Abakus digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII.
Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:
x 2 + bx = c,
untuk semua kemungkinan kombinasi tanda pekali b , Dengan telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.
Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum boleh didapati daripada Viète, tetapi Viète hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Selain yang positif, akar negatif juga diambil kira. Hanya pada abad ke-17. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.
1.6 Mengenai teorem Vieta
Teorem yang menyatakan hubungan antara pekali persamaan kuadratik dan puncanya, dinamakan sempena Vieta, telah dirumuskan oleh beliau buat kali pertama pada tahun 1591 seperti berikut: “Jika B + D, di darab dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DALAM dan sama rata D ».
Untuk memahami Vieta, kita harus ingat itu A, seperti mana-mana huruf vokal, bermaksud yang tidak diketahui (kami X), vokal DALAM, D- pekali untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud: jika ada
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Menyatakan hubungan antara punca dan pekali persamaan formula am ditulis menggunakan simbol, Viet mewujudkan keseragaman dalam kaedah penyelesaian persamaan. Walau bagaimanapun, simbolisme Viet masih jauh dari rupa moden. Dia tidak mengenali nombor negatif dan oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kes di mana semua punca adalah positif.
2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik
Persamaan kuadratik adalah asas di mana bangunan agung algebra terletak. Persamaan kuadratik ditemui aplikasi yang luas apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen, logaritma, tidak rasional dan transendental. Kita semua tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dari sekolah (gred 8) sehingga tamat pengajian.
Saya berharap selepas mempelajari artikel ini anda akan belajar bagaimana untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik lengkap.
Menggunakan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap."
Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita perlu mengira diskriminasi D.
D = b 2 – 4ac.
Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.
Jika diskriminasi ialah nombor negatif (D< 0),то корней нет.
Jika diskriminasi adalah sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi ialah nombor positif (D > 0),
maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.
Sebagai contoh. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Jawapan: 2.
Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Jawapan: tiada akar.
Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Jawapan: – 3.5; 1.
Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.
Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial pandangan standard
A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa
a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).
Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx dan kemudian ahli percuma Dengan.
Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang dan persamaan kuadratik dengan pekali genap dalam sebutan kedua, anda boleh menggunakan formula lain. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik lengkap sebutan kedua mempunyai pekali genap (b = 2k), maka anda boleh menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 2.
Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 adalah sama dengan satu dan persamaan itu mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .
Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil 
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.
Contoh. Selesaikan persamaan
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Jawapan: –1 – √3; –1 + √3
Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini ialah nombor genap, iaitu, b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari kita cuba menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah rajah D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Jawapan: –1 – √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang. 
persamaan rajah 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.
Seperti yang anda lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula yang berbeza, kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap.
blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.
DALAM masyarakat moden keupayaan untuk melaksanakan operasi dengan persamaan yang mengandungi kuasa dua pembolehubah boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan saintifik dan teknikal. Bukti ini boleh didapati dalam reka bentuk kapal laut dan sungai, pesawat dan peluru berpandu. Menggunakan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan yang paling banyak badan yang berbeza, termasuk objek angkasa. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik digunakan bukan sahaja dalam ramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan harian yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan semasa perjalanan mendaki, di acara sukan, di kedai semasa membuat pembelian dan dalam situasi biasa yang lain.
Mari kita pecahkan ungkapan kepada faktor komponennya
Darjah persamaan ditentukan oleh nilai maksimum darjah pembolehubah yang terkandung dalam ungkapan itu. Jika ia sama dengan 2, maka persamaan sedemikian dipanggil kuadratik.
Jika kita bercakap dalam bahasa formula, maka ungkapan yang ditunjukkan, tidak kira bagaimana rupanya, sentiasa boleh dibawa ke bentuk apabila sebelah kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: ax 2 (iaitu pembolehubah kuasa dua dengan pekalinya), bx (yang tidak diketahui tanpa segi empat sama dengan pekalinya) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan adalah sama dengan 0. Dalam kes apabila polinomial tersebut tidak mempunyai salah satu sebutan konstituennya, kecuali ax 2, ia dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Contoh dengan penyelesaian masalah sedemikian, nilai pembolehubah yang mudah dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.
Jika ungkapan itu kelihatan seperti mempunyai dua sebutan di sebelah kanan, lebih tepat ax 2 dan bx, cara paling mudah untuk mencari x ialah dengan meletakkan pembolehubah keluar dari kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x(ax+b). Seterusnya, menjadi jelas bahawa sama ada x=0, atau masalah datang untuk mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturan menyatakan bahawa hasil darab dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripadanya adalah sifar.
Contoh
x=0 atau 8x - 3 = 0
Akibatnya, kita mendapat dua punca persamaan: 0 dan 0.375.
Persamaan seperti ini boleh menggambarkan pergerakan badan di bawah pengaruh graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal koordinat. Di sini tatatanda matematik mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan menggantikan nilai yang diperlukan, menyamakan bahagian kanan dengan 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa yang berlalu dari saat badan naik ke saat ia jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan bercakap tentang perkara ini kemudian.
Memfaktorkan Ekspresi
Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan lebih banyak lagi kes yang sukar. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadratik jenis ini.
X 2 - 33x + 200 = 0
ini trinomial kuadratik selesai. Pertama, mari kita ubah ungkapan dan faktorkannya. Terdapat dua daripadanya: (x-8) dan (x-25) = 0. Akibatnya, kita mempunyai dua punca 8 dan 25.
Contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dalam gred 9 membenarkan kaedah ini untuk mencari pembolehubah dalam ungkapan bukan sahaja bagi urutan kedua, malah bagi susunan ketiga dan keempat.
Contohnya: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan ke dalam faktor dengan pembolehubah, terdapat tiga daripadanya, iaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).
Akibatnya, menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga punca: -3; -1; 3.
Punca kuasa dua
Satu lagi kes persamaan tertib kedua yang tidak lengkap ialah ungkapan yang diwakili dalam bahasa huruf dengan cara yang bahagian kanan dibina daripada komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah bebas dipindahkan ke sebelah kanan, dan selepas itu punca kuasa dua diambil daripada kedua-dua belah kesamaan. Perlu diingatkan bahawa dalam dalam kes ini Biasanya terdapat dua punca persamaan. Satu-satunya pengecualian boleh menjadi kesamaan yang tidak mengandungi istilah sama sekali, di mana pembolehubah adalah sama dengan sifar, serta varian ungkapan apabila sebelah kanan ternyata negatif. Dalam kes kedua, tiada penyelesaian sama sekali, kerana tindakan di atas tidak boleh dilakukan dengan akar. Contoh penyelesaian kepada persamaan kuadratik jenis ini perlu dipertimbangkan.
Dalam kes ini, punca persamaan akan menjadi nombor -4 dan 4.
Pengiraan keluasan tanah
Keperluan untuk pengiraan seperti ini muncul pada zaman dahulu, kerana perkembangan matematik pada zaman yang jauh itu sebahagian besarnya ditentukan oleh keperluan untuk menentukan dengan ketepatan yang paling besar kawasan dan perimeter plot tanah.
Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik berdasarkan masalah seperti ini.
Jadi, katakan terdapat sebidang tanah segi empat tepat, yang panjangnya 16 meter lebih besar daripada lebarnya. Anda harus mencari panjang, lebar dan perimeter tapak jika anda tahu bahawa keluasannya ialah 612 m2.
Untuk bermula, mari kita buat persamaan yang diperlukan dahulu. Mari kita nyatakan dengan x lebar kawasan itu, maka panjangnya ialah (x+16). Daripada apa yang telah ditulis, kawasan itu ditentukan oleh ungkapan x(x+16), yang, mengikut keadaan masalah kita, ialah 612. Ini bermakna x(x+16) = 612.
Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, dan ungkapan ini adalah tepat, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. kenapa? Walaupun bahagian kiri masih mengandungi dua faktor, produk mereka tidak sama sekali 0, jadi kaedah berbeza digunakan di sini.
Diskriminasi
Pertama sekali, mari kita buat transformasi yang diperlukan, kemudian penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini bermakna kita telah menerima ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan piawaian yang dinyatakan sebelum ini, di mana a=1, b=16, c=-612.
Ini boleh menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi. Di sini pengiraan yang diperlukan dihasilkan mengikut skema: D = b 2 - 4ac. Kuantiti tambahan ini bukan sahaja membolehkan untuk mencari kuantiti yang diperlukan dalam persamaan tertib kedua, ia menentukan kuantiti pilihan yang mungkin. Jika D>0, terdapat dua daripadanya; untuk D=0 terdapat satu punca. Dalam kes D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Mengenai akar dan formulanya
Dalam kes kami, diskriminasi adalah sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahawa masalah kami mempunyai jawapan. Jika anda tahu k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akar.
Ini bermakna dalam kes yang dibentangkan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana dimensi plot tanah tidak boleh diukur dalam kuantiti negatif, yang bermaksud x (iaitu, lebar plot) ialah 18 m Dari sini kita mengira panjang: 18 +16=34, dan perimeter 2(34+ 18)=104(m2).
Contoh dan tugasan
Kami meneruskan kajian kami tentang persamaan kuadratik. Contoh dan penyelesaian terperinci beberapa daripadanya akan diberikan di bawah.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Mari kita alihkan segala-galanya ke sebelah kiri kesamaan, buat transformasi, iaitu, kita akan mendapat jenis persamaan yang biasanya dipanggil standard, dan menyamakannya dengan sifar.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Menambah yang serupa, kita tentukan diskriminasi: D = 49 - 48 = 1. Ini bermakna persamaan kita akan mempunyai dua punca. Mari kita mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama daripada mereka akan sama dengan 4/3, dan yang kedua kepada 1.
2) Sekarang mari kita selesaikan misteri yang berbeza.
Mari kita ketahui sama ada terdapat sebarang punca di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawapan yang komprehensif, mari kita kurangkan polinomial kepada bentuk biasa yang sepadan dan hitungkan diskriminasi. Dalam contoh di atas, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana ini bukan intipati masalah sama sekali. Dalam kes ini, D = 16 - 20 = -4, yang bermaksud tidak ada akar.
Teorem Vieta
Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula di atas dan diskriminasi, apabila punca kuasa dua diambil daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta. Dia dinamakan sempena yang hidup pada abad ke-16 di Perancis dan mencipta kerjaya yang cemerlang berkat bakat matematik dan hubungannya di mahkamah. Potretnya boleh dilihat dalam artikel.
Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal itu adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa punca-punca persamaan menambah secara berangka kepada -p=b/a, dan hasil darabnya sepadan dengan q=c/a.
Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Untuk kesederhanaan, mari kita ubah ungkapan:
x 2 + 7x - 18 = 0
Mari kita gunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah punca ialah -7, dan hasil darabnya ialah -18. Dari sini kita dapati bahawa punca persamaan ialah nombor -9 dan 2. Selepas menyemak, kami akan memastikan bahawa nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.
Graf parabola dan persamaan
Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik adalah berkait rapat. Contoh-contoh ini telah pun diberikan sebelum ini. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh diwakili secara visual. Hubungan sedemikian, dilukis sebagai graf, dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Mana-mana parabola mempunyai bucu, iaitu titik dari mana cabang-cabangnya muncul. Jika a>0, mereka pergi tinggi kepada infiniti, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Perwakilan visual fungsi membantu menyelesaikan sebarang persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat absis pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak boleh didapati menggunakan formula yang baru diberi x 0 = -b/2a. Dan dengan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal fungsi, anda boleh mengetahui y 0, iaitu, koordinat kedua bucu parabola, yang tergolong dalam paksi ordinat.
Persilangan cabang parabola dengan paksi absis
Terdapat banyak contoh penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat juga pola umum. Mari lihat mereka. Adalah jelas bahawa persilangan graf dengan paksi 0x untuk a>0 adalah mungkin hanya jika 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Daripada graf parabola anda juga boleh menentukan punca. Begitu juga sebaliknya. Iaitu, jika tidak mudah untuk mendapatkan perwakilan visual bagi fungsi kuadratik, anda boleh menyamakan bahagian kanan ungkapan itu kepada 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk membina graf.
Dari sejarah
Menggunakan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua, pada zaman dahulu mereka bukan sahaja membuat pengiraan matematik dan menentukan luas angka geometri. Orang dahulu memerlukan pengiraan sedemikian untuk penemuan besar dalam bidang fizik dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.
Seperti yang dicadangkan oleh saintis moden, penduduk Babylon adalah antara yang pertama menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku empat abad sebelum era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka berbeza secara radikal daripada yang diterima sekarang dan ternyata lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak biasa dengan kehalusan lain yang mana-mana pelajar sekolah moden tahu.
Mungkin lebih awal daripada para saintis Babylon, orang bijak dari India Baudhayama mula menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku kira-kira lapan abad sebelum era Kristus. Benar, persamaan tertib kedua, kaedah penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling mudah. Selain beliau, ahli matematik Cina juga berminat dengan soalan yang sama pada zaman dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudiannya ia digunakan dalam karya mereka oleh saintis hebat seperti Newton, Descartes dan ramai lagi.
Pertimbangkan persamaan kuadratik:
(1)
.
Punca-punca persamaan kuadratik(1) ditentukan oleh formula:
;
.
Formula ini boleh digabungkan seperti ini:
.
Apabila punca-punca persamaan kuadratik diketahui, maka polinomial darjah kedua boleh diwakili sebagai hasil darab faktor (difaktorkan):
.
Seterusnya kita anggap itu adalah nombor nyata.
Mari kita pertimbangkan diskriminasi bagi persamaan kuadratik:
.
Jika diskriminasi adalah positif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata yang berbeza:
;
.
Kemudian pemfaktoran trinomial kuadratik mempunyai bentuk:
.
Jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata berganda (sama):
.
Pemfaktoran:
.
Jika diskriminasi adalah negatif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca konjugat kompleks:
;
.
Berikut ialah unit khayalan, ;
dan merupakan bahagian akar yang sebenar dan khayalan:
;
.
Kemudian
.
Tafsiran grafik
Jika anda merancang fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik persilangan graf dengan paksi akan menjadi punca persamaan
.
Pada , graf memotong paksi-x (paksi) pada dua titik.
Apabila , graf menyentuh paksi-x pada satu titik.
Apabila , graf tidak melintasi paksi-x.
Di bawah adalah contoh graf tersebut.
Formula berguna yang berkaitan dengan persamaan kuadratik
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik
Kami menjalankan transformasi dan menggunakan formula (f.1) dan (f.3):
,
di mana
;
.
Jadi, kami mendapat formula untuk polinomial darjah kedua dalam bentuk:
.
Ini menunjukkan bahawa persamaan
dilakukan di
Dan .
Iaitu, dan merupakan punca-punca persamaan kuadratik
.
Contoh penentuan punca-punca persamaan kuadratik
Contoh 1
(1.1)
.
Penyelesaian
.
Membandingkan dengan persamaan kami (1.1), kami dapati nilai pekali:
.
Kami mendapati diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah positif, persamaan mempunyai dua punca sebenar:
;
;
.
Dari sini kita memperoleh pemfaktoran trinomial kuadratik:
.
Graf bagi fungsi y = 2 x 2 + 7 x + 3 memotong paksi-x pada dua titik.
Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia melintasi paksi absis (paksi) pada dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah punca-punca persamaan asal (1.1).
Jawab
;
;
.
Contoh 2
Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(2.1)
.
Penyelesaian
Mari kita tulis persamaan kuadratik dalam bentuk umum:
.
Membandingkan dengan persamaan asal (2.1), kita dapati nilai pekali:
.
Kami mendapati diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah sifar, persamaan mempunyai dua punca berbilang (sama):
;
.
Kemudian pemfaktoran trinomial mempunyai bentuk:
.
Graf fungsi y = x 2 - 4 x + 4 menyentuh paksi-x pada satu titik.
Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia menyentuh paksi-x (paksi) pada satu titik:
.
Titik ini adalah punca bagi persamaan asal (2.1). Kerana akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar sedemikian biasanya dipanggil gandaan. Iaitu, mereka percaya bahawa terdapat dua punca yang sama:
.
Jawab
;
.
Contoh 3
Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(3.1)
.
Penyelesaian
Mari kita tulis persamaan kuadratik dalam bentuk umum:
(1)
.
Mari kita tulis semula persamaan asal (3.1):
.
Membandingkan dengan (1), kita dapati nilai pekali:
.
Kami mendapati diskriminasi:
.
Diskriminasi adalah negatif, . Oleh itu tidak ada akar sebenar.
Anda boleh mencari akar kompleks:
;
;
Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia tidak bersilang dengan paksi-x (paksi). Oleh itu tidak ada akar sebenar.
Jawab
Tiada akar sebenar. Akar kompleks:
;
;
.
