Tahap pertama

Terbitan fungsi. The Ultimate Guide (2019)

Cuba kita bayangkan jalan lurus yang melalui kawasan berbukit. Iaitu, ia naik dan turun, tetapi tidak membelok ke kanan atau kiri. Jika paksi diarahkan secara mendatar di sepanjang jalan dan menegak, maka garisan jalan akan sangat serupa dengan graf beberapa fungsi berterusan:

Paksi adalah tahap ketinggian sifar tertentu; dalam kehidupan kita menggunakan paras laut sebagainya.

Semasa kita bergerak ke hadapan di sepanjang jalan sedemikian, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga boleh mengatakan: apabila hujah berubah (pergerakan sepanjang paksi abscissa), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang paksi ordinat). Sekarang mari kita fikirkan bagaimana untuk menentukan "kecuraman" jalan kita? Apakah jenis nilai ini? Ia sangat mudah: berapa banyak ketinggian akan berubah apabila bergerak ke hadapan pada jarak tertentu. Sesungguhnya, pada bahagian jalan yang berbeza, bergerak ke hadapan (di sepanjang paksi-x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan bilangan meter yang berbeza berbanding paras laut (sepanjang paksi-y).

Mari kita nyatakan kemajuan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) biasanya digunakan dalam matematik sebagai awalan yang bermaksud "perubahan". Iaitu - ini adalah perubahan dalam kuantiti, - perubahan; kemudian apa itu? Betul, perubahan magnitud.

Penting: ungkapan ialah satu keseluruhan, satu pembolehubah. Jangan sekali-kali memisahkan "delta" daripada "x" atau mana-mana huruf lain! Iaitu, sebagai contoh,.

Jadi, kami telah bergerak ke hadapan, secara mendatar, dengan. Jika kita membandingkan garis jalan dengan graf fungsi, maka bagaimana kita menyatakan kenaikan? Pastinya, . Iaitu, apabila kita bergerak ke hadapan, kita meningkat lebih tinggi.

Nilainya mudah dikira: jika pada mulanya kita berada pada ketinggian, dan selepas bergerak kita mendapati diri kita berada pada ketinggian, maka. Jika titik akhir lebih rendah daripada titik permulaan, ia akan menjadi negatif - ini bermakna kita tidak menaik, tetapi menurun.

Mari kembali ke "kecuraman": ini ialah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) ketinggian meningkat apabila bergerak ke hadapan satu unit jarak:

Mari kita anggap bahawa pada beberapa bahagian jalan, apabila bergerak ke hadapan sejauh satu kilometer, jalan itu naik satu kilometer. Kemudian cerun di tempat ini adalah sama. Dan jika jalan raya, semasa bergerak ke hadapan dengan m, menurun dengan km? Kemudian cerun adalah sama.

Sekarang mari kita lihat di puncak bukit. Jika anda mengambil permulaan bahagian setengah kilometer sebelum puncak, dan penghujung setengah kilometer selepas itu, anda dapat melihat bahawa ketinggiannya hampir sama.

Iaitu, mengikut logik kita, ternyata cerun di sini hampir sama dengan sifar, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak kilometer banyak boleh berubah. Adalah perlu untuk mempertimbangkan kawasan yang lebih kecil untuk penilaian kecuraman yang lebih mencukupi dan tepat. Sebagai contoh, jika anda mengukur perubahan ketinggian semasa anda bergerak satu meter, hasilnya akan menjadi lebih tepat. Tetapi ketepatan ini mungkin tidak mencukupi untuk kita - lagipun, jika ada tiang di tengah jalan, kita boleh melepasinya. Apakah jarak yang harus kita pilih kemudian? Sentimeter? milimeter? Kurang lebih baik!

DALAM kehidupan sebenar Mengukur jarak ke milimeter terdekat adalah lebih daripada mencukupi. Tetapi ahli matematik sentiasa berusaha untuk kesempurnaan. Oleh itu, konsep itu dicipta sangat kecil, iaitu, nilai mutlak adalah kurang daripada sebarang nombor yang boleh kita namakan. Sebagai contoh, anda berkata: satu trilion! berapa kurang? Dan anda membahagikan nombor ini dengan - dan ia akan menjadi lebih sedikit. Dan sebagainya. Jika kita ingin menulis bahawa kuantiti adalah sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung kepada sifar"). Ia sangat penting untuk difahami bahawa nombor ini bukan sifar! Tetapi sangat dekat dengannya. Ini bermakna anda boleh membahagikannya.

Konsep yang bertentangan dengan infinitesimal ialah infinites large (). Anda mungkin telah menemuinya semasa anda mengusahakan ketidaksamaan: nombor ini adalah modulo lebih besar daripada sebarang nombor yang anda boleh fikirkan. Jika anda menghasilkan nombor terbesar yang mungkin, hanya darabkan dengan dua dan anda akan mendapat nombor yang lebih besar. Dan infiniti lebih hebat daripada apa yang berlaku. Sebenarnya, yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil adalah songsang antara satu sama lain, iaitu, di, dan sebaliknya: at.

Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Cerun yang dikira ideal ialah cerun yang dikira untuk segmen laluan yang sangat kecil, iaitu:

Saya perhatikan bahawa dengan anjakan sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda bahawa sangat kecil tidak bermakna sama dengan sifar. Jika anda membahagi nombor tak terhingga dengan satu sama lain, anda boleh mendapatkan nombor biasa sepenuhnya, contohnya, . Iaitu, satu nilai kecil boleh menjadi tepat kali lebih besar daripada yang lain.

Untuk apa semua ini? Jalan, kecuramannya... Kami tidak akan mengadakan perhimpunan kereta, tetapi kami mengajar matematik. Dan dalam matematik semuanya betul-betul sama, hanya dipanggil berbeza.

Konsep terbitan

Terbitan bagi fungsi ialah nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan argumen untuk kenaikan argumen yang sangat kecil.

secara berperingkat dalam matematik mereka panggil perubahan. Sejauh mana hujah () berubah semasa ia bergerak di sepanjang paksi dipanggil pertambahan hujah dan ditetapkan. Berapa banyak fungsi (ketinggian) telah berubah apabila bergerak ke hadapan sepanjang paksi mengikut jarak dipanggil kenaikan fungsi dan ditetapkan.

Jadi, terbitan fungsi ialah nisbah kepada bila. Kami menandakan terbitan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan perdana di bahagian atas sebelah kanan: atau ringkasnya. Jadi, mari kita tulis formula terbitan menggunakan tatatanda ini:

Seperti dalam analogi dengan jalan, di sini apabila fungsi meningkat, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia adalah negatif.

Bolehkah terbitan sama dengan sifar? Sudah tentu. Sebagai contoh, jika kita memandu di jalan mendatar yang rata, kecuramannya adalah sifar. Dan memang benar, ketinggian tidak berubah sama sekali. Begitu juga dengan derivatif: terbitan bagi fungsi malar (malar) adalah sama dengan sifar:

kerana kenaikan fungsi sedemikian adalah sama dengan sifar untuk sebarang.

Mari kita ingat contoh puncak bukit. Ternyata adalah mungkin untuk mengatur hujung segmen pada sisi bertentangan dengan bucu sedemikian rupa sehingga ketinggian di hujungnya ternyata sama, iaitu, segmen itu selari dengan paksi:

Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak tepat. Kami akan menaikkan segmen kami selari dengan dirinya sendiri, maka panjangnya akan berkurangan.

Akhirnya, apabila kita hampir tidak terhingga dengan bahagian atas, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada masa yang sama, ia kekal selari dengan paksi, iaitu perbezaan ketinggian di hujungnya adalah sama dengan sifar (ia tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi terbitan

Ini boleh difahami dengan cara ini: apabila kita berdiri di bahagian paling atas, anjakan kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita secara diabaikan.

Terdapat juga penjelasan algebra semata-mata: di sebelah kiri bucu fungsi meningkat, dan ke kanan ia berkurangan. Seperti yang kita ketahui sebelum ini, apabila fungsi bertambah, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia negatif. Tetapi ia berubah dengan lancar, tanpa lompatan (kerana jalan tidak mengubah cerunnya secara mendadak di mana-mana). Oleh itu, mesti ada antara nilai negatif dan positif. Ia akan menjadi tempat fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.

Perkara yang sama berlaku untuk palung (kawasan di mana fungsi di sebelah kiri berkurangan dan di sebelah kanan meningkat):

Sedikit lagi tentang kenaikan.

Jadi kita tukar hujah kepada magnitud. Kita tukar dari nilai apa? Apa sudah jadi (hujah) sekarang? Kami boleh memilih mana-mana titik, dan sekarang kami akan menari daripadanya.

Pertimbangkan satu titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: kami meningkatkan koordinat dengan. Apa sekarang? hujah yang sama? Sangat mudah: . Apakah nilai fungsi itu sekarang? Di mana hujah pergi, begitu juga fungsi: . Bagaimana pula dengan kenaikan fungsi? Tiada apa-apa yang baharu: ini masih merupakan jumlah yang mana fungsi telah berubah:

Berlatih mencari kenaikan:

1. Cari kenaikan fungsi pada titik apabila kenaikan hujah adalah sama dengan.
2. Begitu juga dengan fungsi pada satu titik.

Penyelesaian:

Pada titik yang berbeza dengan kenaikan hujah yang sama, kenaikan fungsi akan berbeza. Ini bermakna derivatif pada setiap titik adalah berbeza (kami membincangkan perkara ini pada awal-awal lagi - kecuraman jalan adalah berbeza pada titik yang berbeza). Oleh itu, apabila kita menulis derivatif, kita mesti menunjukkan pada titik mana:

Fungsi kuasa.

Fungsi kuasa ialah fungsi di mana hujahnya berada pada tahap tertentu (logik, bukan?).

Lebih-lebih lagi - setakat mana pun: .

Kes paling mudah ialah apabila eksponen ialah:

Mari cari terbitannya pada satu titik. Mari kita ingat definisi terbitan:

Jadi hujah berubah dari kepada. Apakah pertambahan fungsi itu?

Kenaikan adalah ini. Tetapi fungsi pada mana-mana titik adalah sama dengan hujahnya. Itulah sebabnya:

Derivatif adalah sama dengan:

Terbitan bagi adalah sama dengan:

b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadratik (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini bermakna bahawa nilai kenaikan boleh diabaikan, kerana ia adalah sangat kecil, dan oleh itu tidak penting dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami datang dengan peraturan lain:

c) Kami meneruskan siri logik: .

Ungkapan ini boleh dipermudahkan dengan cara yang berbeza: buka kurungan pertama menggunakan formula untuk pendaraban singkatan kubus hasil tambah, atau memfaktorkan keseluruhan ungkapan menggunakan formula perbezaan kubus. Cuba lakukan sendiri menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan.

Jadi, saya mendapat perkara berikut:

Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Ini bermakna kita boleh mengabaikan semua istilah yang mengandungi:

Kita mendapatkan: .

d) Peraturan serupa boleh didapati untuk kuasa besar:

e) Ternyata peraturan ini boleh digeneralisasikan untuk fungsi kuasa dengan eksponen sewenang-wenangnya, malah bukan integer:

(2)

Peraturan itu boleh dirumuskan dalam perkataan: "darjah dibawa ke hadapan sebagai pekali, dan kemudian dikurangkan dengan ."

Kami akan membuktikan peraturan ini kemudian (hampir pada penghujungnya). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari terbitan bagi fungsi:

1. (dalam dua cara: dengan formula dan menggunakan takrifan derivatif - dengan mengira kenaikan fungsi);

1. . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kuasa. Jika anda mempunyai soalan seperti "Bagaimana ini? Mana ijazah?”, ingat topik “”!
   Ya, ya, akarnya juga ijazah, hanya pecahan: .
   Ini bermakna punca kuasa dua kita hanyalah kuasa dengan eksponen:
   .
   Kami mencari derivatif menggunakan formula yang baru dipelajari:

   Jika pada ketika ini ia menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik “”!!! (tentang ijazah dengan penunjuk negatif)

2. . Sekarang eksponen:

   Dan sekarang melalui definisi (adakah anda sudah lupa?):
   ;
   .
   Sekarang, seperti biasa, kami mengabaikan istilah yang mengandungi:
   .

3. . Gabungan kes terdahulu: .

Fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta daripada matematik yang lebih tinggi:

Dengan ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya pada tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, anda perlu lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafik:

Kami melihat bahawa apabila fungsi itu tidak wujud - titik pada graf dipotong. Tetapi semakin dekat dengan nilai, semakin hampir fungsi itu. Inilah yang "bertujuan".

Selain itu, anda boleh menyemak peraturan ini menggunakan kalkulator. Ya, ya, jangan segan, ambil kalkulator, kita belum berada di Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Jadi, jom cuba: ;

Jangan lupa tukar kalkulator anda kepada mod Radians!

dan lain-lain. Kami melihat bahawa semakin kurang, semakin nilai yang lebih dekat hubungan dengan

a) Pertimbangkan fungsinya. Seperti biasa, mari cari kenaikannya:

Mari tukarkan perbezaan sinus kepada produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula (ingat topik ""): .

Sekarang derivatifnya:

Jom buat pengganti: . Kemudian untuk infinitesimal ia juga infinitesimal: . Ungkapan untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita ingat itu dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika kuantiti yang tidak terhingga boleh diabaikan dalam jumlah (iaitu, pada).

Jadi, kita mendapat peraturan berikut: terbitan sinus adalah sama dengan kosinus:

Ini adalah terbitan asas (“jadual”). Inilah mereka dalam satu senarai:

Kemudian kami akan menambah beberapa lagi kepada mereka, tetapi ini adalah yang paling penting, kerana ia digunakan paling kerap.

Amalan:

1. Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik;
2. Cari terbitan bagi fungsi itu.

Penyelesaian:

1. Mula-mula, mari kita cari derivatif dalam Pandangan umum, dan kemudian gantikan nilainya:
   ;
   .
2. Di sini kita mempunyai sesuatu yang serupa dengan fungsi kuasa. Mari cuba bawa dia ke
   pandangan biasa:
   .
   Hebat, kini anda boleh menggunakan formula:
   .
   .
3. . Eeeeee….. Apa ni????

Okay, anda betul, kami belum tahu cara mencari derivatif sedemikian. Di sini kita mempunyai gabungan beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, anda perlu mempelajari beberapa peraturan lagi:

Logaritma eksponen dan asli.

Terdapat fungsi dalam matematik yang terbitan untuk sebarang nilai adalah sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada masa yang sama. Ia dipanggil "eksponen", dan merupakan fungsi eksponen

Asas fungsi ini adalah pemalar - ia tidak terhingga perpuluhan, iaitu nombor tak rasional (seperti). Ia dipanggil "nombor Euler", itulah sebabnya ia dilambangkan dengan huruf.

Jadi, peraturannya:

Sangat mudah diingati.

Nah, mari kita tidak pergi jauh, mari kita segera pertimbangkan fungsi songsang. Fungsi yang manakah merupakan songsang bagi fungsi eksponen? Logaritma:

Dalam kes kami, asasnya ialah nombor:

Logaritma sedemikian (iaitu, logaritma dengan asas) dipanggil "semula jadi", dan kami menggunakan notasi khas untuknya: kami menulis sebaliknya.

Apakah persamaannya? Sudah tentu, .

Terbitan logaritma asli juga sangat mudah:

Contoh:

1. Cari terbitan bagi fungsi itu.
2. Apakah terbitan bagi fungsi tersebut?

Jawapan: Pempamer dan logaritma semula jadi- fungsi unik mudah dari segi derivatif. Fungsi eksponen dan logaritma dengan mana-mana asas lain akan mempunyai derivatif yang berbeza, yang akan kita analisis kemudian, selepas kita melalui peraturan pembezaan.

Peraturan pembezaan

Peraturan apa? Lagi penggal baru, lagi?!...

Pembezaan ialah proses mencari terbitan.

Itu sahaja. Apa lagi yang boleh anda panggil proses ini dalam satu perkataan? Bukan derivatif... Ahli matematik memanggil pembezaan sebagai kenaikan yang sama bagi fungsi di. Istilah ini berasal dari differentia Latin - perbezaan. Di sini.

Apabila memperoleh semua peraturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, sebagai contoh, dan. Kami juga memerlukan formula untuk kenaikannya:

Terdapat 5 peraturan secara keseluruhan.

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan.

Jika - beberapa nombor malar (malar), maka.

Jelas sekali, peraturan ini juga berfungsi untuk perbezaan: .

Jom buktikan. Biarlah, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari terbitan bagi fungsi:

1. pada satu titik;
2. pada satu titik;
3. pada satu titik;
4. pada titik.

Penyelesaian:

1. (derivatif adalah sama di semua titik, kerana ia adalah fungsi linear, ingat?);

Derivatif produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baharu dan cari kenaikannya:

Derivatif:

Contoh:

1. Cari terbitan bagi fungsi dan;
2. Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik.

Penyelesaian:

Terbitan bagi fungsi eksponen

Sekarang pengetahuan anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari derivatif mana-mana fungsi eksponen, dan bukan hanya eksponen (adakah anda sudah lupa apakah itu?).

Jadi, mana ada nombor.

Kami sudah mengetahui terbitan fungsi tersebut, jadi mari cuba kurangkan fungsi kami kepada pangkalan baharu:

Untuk ini kami akan gunakan peraturan mudah: . Kemudian:

Nah, ia berjaya. Sekarang cuba cari derivatif, dan jangan lupa bahawa fungsi ini adalah kompleks.

Terjadi?

Di sini, semak diri anda:

Formula itu ternyata sangat serupa dengan terbitan eksponen: kerana ia tetap sama, hanya faktor yang muncul, iaitu hanya nombor, tetapi bukan pembolehubah.

Contoh:
Cari terbitan bagi fungsi:

Jawapan:

Ini hanyalah nombor yang tidak boleh dikira tanpa kalkulator, iaitu, ia tidak boleh ditulis dalam apa-apa lagi. dalam bentuk mudah. Oleh itu, kami meninggalkannya dalam borang ini dalam jawapan.

Terbitan bagi fungsi logaritma

Ia serupa di sini: anda sudah mengetahui terbitan logaritma asli:

Oleh itu, untuk mencari logaritma arbitrari dengan asas yang berbeza, sebagai contoh:

Kita perlu mengurangkan logaritma ini kepada asas. Bagaimanakah anda menukar asas logaritma? Saya harap anda ingat formula ini:

Hanya sekarang kami akan menulis sebaliknya:

Penyebutnya hanyalah pemalar (nombor tetap, tanpa pembolehubah). Derivatif diperoleh dengan sangat mudah:

Terbitan bagi fungsi eksponen dan logaritma hampir tidak pernah ditemui dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi ia tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Terbitan fungsi kompleks.

Apakah "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan arctangent. Fungsi ini mungkin sukar difahami (walaupun jika anda mendapati logaritma sukar, baca topik "Logaritma" dan anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandangan matematik, perkataan "kompleks" tidak bermaksud "sukar".

Bayangkan tali pinggang penghantar kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Sebagai contoh, yang pertama membungkus bar coklat dalam pembungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan reben. Hasilnya ialah objek komposit: sebatang coklat dibalut dan diikat dengan reben. Untuk makan sebatang coklat, anda perlu melakukan langkah terbalik susunan terbalik.

Mari kita buat saluran paip matematik yang serupa: mula-mula kita akan mencari kosinus nombor, dan kemudian kuasa dua nombor yang terhasil. Jadi, kita diberi nombor (coklat), saya dapati kosinusnya (pembungkus), dan kemudian anda kuasai apa yang saya dapat (ikat dengan reben). Apa yang berlaku? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: apabila, untuk mencari nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan pembolehubah, dan kemudian tindakan kedua dengan apa yang terhasil daripada yang pertama.

Kita boleh dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam susunan terbalik: mula-mula anda kuasa duakannya, dan kemudian saya mencari kosinus nombor yang terhasil: . Mudah untuk meneka bahawa hasilnya hampir selalu berbeza. Ciri Penting fungsi kompleks: apabila susunan tindakan berubah, fungsi berubah.

Dalam kata lain, fungsi kompleks ialah fungsi yang hujahnya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (perkara yang sama). .

Tindakan yang kita lakukan terakhir akan dipanggil fungsi "luar"., dan tindakan yang dilakukan terlebih dahulu - sewajarnya fungsi "dalaman".(ini adalah nama tidak rasmi, saya menggunakannya hanya untuk menerangkan bahan dalam bahasa mudah).

Cuba tentukan sendiri fungsi luaran dan dalaman yang mana:

Jawapan: Mengasingkan fungsi dalam dan luar sangat serupa dengan mengubah pembolehubah: contohnya, dalam fungsi

1. Apakah tindakan yang akan kita lakukan terlebih dahulu? Mula-mula, mari kita hitung sinus, dan kemudian kiubkannya. Ini bermakna ia adalah fungsi dalaman, tetapi fungsi luaran.
   Dan fungsi asal adalah komposisi mereka: .
2. Dalaman: ; luaran: .
   Peperiksaan: .
3. Dalaman: ; luaran: .
   Peperiksaan: .
4. Dalaman: ; luaran: .
   Peperiksaan: .
5. Dalaman: ; luaran: .
   Peperiksaan: .

Kami menukar pembolehubah dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kami akan mengekstrak bar coklat kami dan mencari derivatifnya. Prosedur ini sentiasa diterbalikkan: mula-mula kita mencari derivatif fungsi luar, kemudian kita darabkan hasilnya dengan derivatif fungsi dalam. Berhubung dengan contoh asal, ia kelihatan seperti ini:

Contoh yang lain:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan rasmi:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

Nampak simple kan?

Mari semak dengan contoh:

Penyelesaian:

1) Dalaman: ;

Luaran: ;

2) Dalaman: ;

(Cukup jangan cuba potong sekarang! Tiada apa-apa yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Luaran: ;

Ia segera jelas bahawa ini adalah fungsi kompleks tiga peringkat: lagipun, ini sudah menjadi fungsi yang kompleks dengan sendirinya, dan kami juga mengekstrak akar daripadanya, iaitu, kami melakukan tindakan ketiga (kami meletakkan coklat dalam pembalut dan dengan reben di dalam beg bimbit). Tetapi tidak ada sebab untuk takut: kami masih akan "membongkar" fungsi ini dalam susunan yang sama seperti biasa: dari akhir.

Iaitu, mula-mula kita membezakan akar, kemudian kosinus, dan hanya kemudian ungkapan dalam kurungan. Dan kemudian kita melipatgandakan semuanya.

Dalam kes sedemikian, adalah mudah untuk menomborkan tindakan. Maksudnya, mari kita bayangkan apa yang kita tahu. Dalam susunan apakah kita akan melakukan tindakan untuk mengira nilai ungkapan ini? Mari kita lihat contoh:

Lebih lewat tindakan itu dilakukan, lebih banyak "luaran" fungsi yang sepadan. Urutan tindakan adalah sama seperti sebelumnya:

Di sini sarang biasanya 4 peringkat. Mari kita tentukan arah tindakan.

1. Ungkapan radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Segi empat. .

5. Menyatukan semuanya:

DERIVATIF. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Terbitan fungsi- nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah untuk kenaikan hujah yang tidak terhingga:

Derivatif asas:

Peraturan pembezaan:

Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Terbitan jumlah:

Derivatif produk:

Terbitan hasil bagi:

Terbitan fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:

1. Kami mentakrifkan fungsi "dalaman" dan mencari terbitannya.
2. Kami mentakrifkan fungsi "luaran" dan mencari terbitannya.
3. Kami mendarabkan keputusan mata pertama dan kedua.

Kandungan artikel

DERIVATIF– terbitan fungsi y = f(x), diberikan pada selang waktu tertentu ( a, b) pada titik x selang ini dipanggil had di mana nisbah kenaikan fungsi cenderung f pada ketika ini kepada kenaikan sepadan hujah apabila kenaikan hujah cenderung kepada sifar.

Derivatif biasanya dilambangkan seperti berikut:

Nama lain juga digunakan secara meluas:

Kelajuan segera.

Biarkan titik M bergerak dalam garis lurus. Jarak s titik bergerak, dikira dari beberapa kedudukan awal M 0 , bergantung pada masa t, iaitu s ada fungsi masa t: s= f(t). Biarkan pada satu ketika t titik bergerak M berada di kejauhan s dari kedudukan permulaan M 0, dan pada beberapa saat seterusnya t+D t mendapati dirinya dalam kedudukan M 1 - pada jarak s+D s dari kedudukan awal ( lihat pic.).

Oleh itu, dalam satu tempoh masa D t jarak s diubah mengikut jumlah D s. Dalam kes ini mereka mengatakan bahawa semasa selang masa D t magnitud s menerima kenaikan D s.

Kelajuan purata tidak boleh dalam semua kes mencirikan dengan tepat kelajuan pergerakan sesuatu titik M pada satu masa t. Jika, sebagai contoh, badan pada permulaan selang D t bergerak sangat cepat, dan pada akhirnya sangat perlahan, maka kelajuan purata tidak akan dapat mencerminkan ciri-ciri pergerakan titik yang ditunjukkan dan memberi gambaran tentang kelajuan sebenar pergerakannya pada masa ini t. Untuk menyatakan kelajuan sebenar dengan lebih tepat menggunakan kelajuan purata, anda perlu mengambil masa yang lebih singkat D t. Paling sepenuhnya mencirikan kelajuan pergerakan sesuatu titik pada masa ini t had di mana kelajuan purata cenderung pada D t® 0. Had ini dipanggil kelajuan pergerakan masuk masa ini:

Oleh itu, kelajuan pergerakan pada masa tertentu dipanggil had nisbah kenaikan laluan D s kepada kenaikan masa D t, apabila kenaikan masa cenderung kepada sifar. Kerana

Makna geometri bagi terbitan. Tangen kepada graf fungsi.

Pembinaan garis tangen adalah salah satu masalah yang membawa kepada kelahiran kalkulus pembezaan. Karya pertama yang diterbitkan berkaitan dengan kalkulus pembezaan, yang ditulis oleh Leibniz, bertajuk Kaedah baru maxima dan minima, serta tangen, yang bukan kuantiti pecahan atau tidak rasional, dan jenis kalkulus khas untuk ini, berfungsi sebagai penghalang..

Biarkan lengkung ialah graf bagi fungsi tersebut y =f(x) dalam sistem koordinat segi empat tepat ( cm. nasi.).

Pada nilai tertentu x penting fungsi y =f(x). Nilai-nilai ini x Dan y titik pada lengkung sepadan M 0(x, y). Jika hujah x memberi kenaikan D x, kemudian nilai baharu hujah x+D x sepadan dengan nilai fungsi baru y+ D y = f(x + D x). Titik lengkung yang sepadan akan menjadi titik M 1(x+D x,y+D y). Jika anda melukis secant M 0M 1 dan dilambangkan dengan j sudut yang dibentuk oleh melintang dengan arah positif paksi lembu, jelas jelas daripada rajah bahawa .

Jika sekarang D x cenderung kepada sifar, kemudian titik M 1 bergerak di sepanjang lengkung, menghampiri titik M 0, dan sudut j berubah dengan D x. Pada Dx® 0 sudut j cenderung kepada had tertentu a dan garis lurus yang melalui titik itu M 0 dan komponen dengan arah positif paksi-x, sudut a, akan menjadi tangen yang dikehendaki. Kecerunannya ialah:

Oleh itu, f´( x) = tga

mereka. nilai terbitan f´( x) untuk nilai hujah yang diberikan x sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh tangen dengan graf fungsi f(x) pada titik yang sepadan M 0(x,y) dengan arah paksi positif lembu.

Kebolehbezaan fungsi.

Definisi. Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x = x 0, maka fungsi itu boleh dibezakan pada ketika ini.

Kesinambungan fungsi yang mempunyai terbitan. Teorem.

Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada satu ketika x = x 0, maka ia berterusan pada ketika ini.

Oleh itu, fungsi tidak boleh mempunyai derivatif pada titik ketakselanjaran. Kesimpulan yang bertentangan adalah tidak betul, i.e. daripada hakikat bahawa pada satu ketika x = x 0 fungsi y = f(x) adalah berterusan tidak bermakna ia boleh dibezakan pada ketika ini. Sebagai contoh, fungsi y = |x| berterusan untuk semua orang x(–Ґ x x = 0 tidak mempunyai terbitan. Pada ketika ini tiada tangen pada graf. Terdapat tangen kanan dan kiri, tetapi ia tidak bertepatan.

Beberapa teorem mengenai fungsi boleh dibezakan. Teorem pada punca terbitan (teorem Rolle). Jika fungsi f(x) adalah berterusan pada segmen [a,b], boleh dibezakan di semua titik dalaman segmen ini dan di hujungnya x = a Dan x = b pergi ke sifar ( f(a) = f(b) = 0), kemudian di dalam segmen [ a,b] terdapat sekurang-kurangnya satu titik x= Dengan, a c b, di mana terbitan fў( x) pergi ke sifar, i.e. fў( c) = 0.

Teorem kenaikan terhingga (teorem Lagrange). Jika fungsi f(x) adalah berterusan pada selang [ a, b] dan boleh dibezakan di semua titik dalaman segmen ini, kemudian di dalam segmen [ a, b] terdapat sekurang-kurangnya satu titik Dengan, a c b itu

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorem tentang nisbah kenaikan dua fungsi (teorem Cauchy). Jika f(x) Dan g(x) – dua fungsi berterusan pada segmen [a, b] dan boleh dibezakan di semua titik dalaman segmen ini, dan gў( x) tidak hilang di mana-mana di dalam segmen ini, kemudian di dalam segmen [ a, b] ada perkara sedemikian x = Dengan, a c b itu

Terbitan pelbagai pesanan.

Biarkan fungsi y =f(x) boleh dibezakan pada beberapa selang [ a, b]. Nilai terbitan f ў( x), secara umumnya, bergantung kepada x, iaitu terbitan f ў( x) juga merupakan fungsi daripada x. Apabila membezakan fungsi ini, kita memperoleh apa yang dipanggil terbitan kedua bagi fungsi tersebut f(x), yang dilambangkan f ўў ( x).

Derivatif n- susunan fungsi ke- f(x) dipanggil derivatif (perintah pertama) terbitan n- 1- ke dan dilambangkan dengan simbol y(n) = (y(n– 1))ў.

Perbezaan pelbagai pesanan.

Pembezaan fungsi y = f(x), Di mana x– pembolehubah bebas, ya dy = f ў( x)dx, beberapa fungsi daripada x, tetapi dari x hanya faktor pertama boleh bergantung f ў( x), faktor kedua ( dx) ialah pertambahan pembolehubah bebas x dan tidak bergantung pada nilai pembolehubah ini. Kerana dy ada fungsi dari x, maka kita boleh menentukan pembezaan fungsi ini. Pembezaan pembezaan fungsi dipanggil pembezaan kedua atau pembezaan tertib kedua bagi fungsi ini dan dilambangkan d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Berbeza n- daripada susunan pertama dipanggil pembezaan pertama pembezaan n- 1- pesanan ke:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Derivatif separa.

Jika fungsi tidak bergantung pada satu, tetapi pada beberapa argumen x i(i berbeza dari 1 hingga n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), maka dalam kalkulus pembezaan konsep terbitan separa diperkenalkan, yang mencirikan kadar perubahan fungsi beberapa pembolehubah apabila hanya satu argumen berubah, contohnya, x i. terbitan separa pesanan pertama berkenaan dengan x i ditakrifkan sebagai terbitan biasa, dan diandaikan bahawa semua hujah kecuali x i, kekalkan nilai tetap. Untuk terbitan separa, tatatanda diperkenalkan

Derivatif separa tertib pertama yang ditakrifkan dengan cara ini (sebagai fungsi bagi hujah yang sama) boleh, seterusnya, juga mempunyai terbitan separa, ini ialah terbitan separa tertib kedua, dsb. Derivatif sedemikian yang diambil daripada hujah yang berbeza dipanggil bercampur. Terbitan campuran berterusan bagi susunan yang sama tidak bergantung pada susunan pembezaan dan adalah sama antara satu sama lain.

Anna Chugainova

Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) ditakrifkan dalam selang tertentu yang mengandungi titik \(x_0\). Mari kita berikan hujah kenaikan \(\Delta x \) supaya ia tidak meninggalkan selang ini. Mari cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila bergerak dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat had kepada nisbah ini pada \(\Delta x \rightarrow 0\), maka had yang ditentukan dipanggil terbitan fungsi\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menandakan terbitan. Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi berkaitan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y = f(x).

Makna geometri terbitan adalah seperti berikut. Jika boleh melukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik dengan absis x=a, yang tidak selari dengan paksi-y, maka f(a) menyatakan kecerunan tangen. :
\(k = f"(a)\)

Oleh kerana \(k = tg(a) \), maka kesamaan \(f"(a) = tan(a) \) adalah benar.

Sekarang mari kita tafsirkan takrifan terbitan dari sudut kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x kesamaan anggaran \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \lebih kurang f"(x)\), iaitu \(\Delta y \lebih kurang f"(x) \cdot\ Delta x\). Makna bermakna kesamaan anggaran yang terhasil adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan dalam titik yang diberikan X. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2\) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x)?

1. Betulkan nilai \(x\), cari \(f(x)\)
2. Berikan hujah \(x\) kenaikan \(\Delta x\), pergi ke titik baharu \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Cipta hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada titik x.

Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).

Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan antara satu sama lain?

Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M(x; f(x)), dan, ingat, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu fungsi mesti selanjar pada titik x.

Ini adalah hujah "hands-on". Mari kita berikan alasan yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x \) dipegang. Jika dalam kesamaan ini \(\Delta x \) cenderung kepada sifar, maka \(\Delta y\) akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.

Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia berterusan pada titik itu.

Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik simpang" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika tangen tidak boleh ditarik ke graf fungsi, maka terbitan tidak wujud pada titik itu.

Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 . Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x = 0. Garis lurus sedemikian tidak mempunyai pekali sudut, yang bermaksud bahawa \(f "(0)\) tidak wujud.

Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah seseorang boleh membuat kesimpulan daripada graf fungsi bahawa ia boleh dibezakan?

Jawapan sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika adalah mungkin untuk melukis tangen pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.

Peraturan pembezaan

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, jumlah, hasil darab fungsi, serta "fungsi fungsi," iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C ialah nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Terbitan bagi fungsi kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Jadual terbitan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

(\large\bf Terbitan fungsi)

Pertimbangkan fungsinya y=f(x), dinyatakan pada selang waktu (a, b). biarlah x- mana-mana titik tetap selang (a, b), A Δx- nombor arbitrari supaya nilai x+Δx juga tergolong dalam selang (a, b). Nombor ini Δx dipanggil kenaikan hujah.

Definisi. Kenaikan fungsi y=f(x) pada titik x, sepadan dengan kenaikan hujah Δx, jom hubungi nombor

Δy = f(x+Δx) - f(x).

kami percaya bahawa Δx ≠ 0. Pertimbangkan pada titik tetap tertentu x nisbah kenaikan fungsi pada titik ini kepada kenaikan hujah yang sepadan Δx

Kami akan memanggil hubungan ini sebagai hubungan perbezaan. Sejak nilai x kami anggap tetap, nisbah perbezaan adalah fungsi hujah Δx. Fungsi ini ditakrifkan untuk semua nilai argumen Δx, kepunyaan beberapa kejiranan yang cukup kecil di titik itu Δx=0, kecuali untuk titik itu sendiri Δx=0. Oleh itu, kita mempunyai hak untuk mempertimbangkan persoalan kewujudan had fungsi yang ditentukan di Δx → 0.

Definisi. Terbitan fungsi y=f(x) pada titik tetap tertentu x dipanggil had di Δx → 0 nisbah perbezaan, iaitu

Dengan syarat had ini wujud.

Jawatan. y′(x) atau f′(x).

Makna geometri terbitan: Terbitan bagi fungsi f(x) pada ketika ini x sama dengan tangen sudut antara paksi lembu dan tangen kepada graf fungsi ini pada titik yang sepadan:

f′(x 0) = \tgα.

Makna mekanikal derivatif: Terbitan laluan berkenaan dengan masa adalah sama dengan kelajuan pergerakan rectilinear mata:

Persamaan tangen kepada garis y=f(x) pada titik M 0 (x 0 ,y 0) mengambil borang

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Normal kepada lengkung pada satu titik ialah serenjang dengan tangen pada titik yang sama. Jika f′(x 0)≠ 0, maka persamaan normal kepada garis y=f(x) pada titik M 0 (x 0 ,y 0) ditulis begini:

Konsep kebolehbezaan fungsi

Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan dalam selang waktu tertentu (a, b), x- beberapa nilai hujah tetap daripada selang ini, Δx- sebarang kenaikan hujah supaya nilai hujah x+Δx ∈ (a, b).

Definisi. Fungsi y=f(x) dipanggil boleh dibezakan pada titik tertentu x, jika kenaikan Δy fungsi ini pada titik x, sepadan dengan kenaikan hujah Δx, boleh diwakili dalam bentuk

Δy = A Δx +αΔx,

di mana A- beberapa nombor bebas daripada Δx, A α - fungsi hujah Δx, yang sangat kecil pada Δx→ 0.

Oleh kerana hasil darab dua fungsi yang sangat kecil αΔx adalah sangat kecil perintah tinggi, bagaimana Δx(sifat 3 fungsi infinitesimal), maka kita boleh menulis:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorem. Dalam usaha untuk fungsi y=f(x) boleh dibezakan pada titik tertentu x, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia mempunyai terbitan terhingga pada ketika ini. Di mana A=f′(x), itu dia

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operasi mencari derivatif biasanya dipanggil pembezaan.

Teorem. Jika fungsi y=f(x) x, maka ia berterusan pada ketika ini.

Komen. Daripada kesinambungan fungsi y=f(x) pada ketika ini x, secara amnya, kebolehbezaan fungsi tidak mengikut f(x) pada ketika ini. Sebagai contoh, fungsi y=|x|- berterusan pada satu titik x=0, tetapi tidak mempunyai derivatif.

Konsep fungsi pembezaan

Definisi. Pembezaan fungsi y=f(x) hasil darab derivatif fungsi ini dan kenaikan pembolehubah bebas dipanggil x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Untuk fungsi y=x kita mendapatkan dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, itu dia dx=Δx- pembezaan pembolehubah bebas adalah sama dengan kenaikan pembolehubah ini.

Dengan itu, kita boleh menulis

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Berbeza dy dan kenaikan Δy fungsi y=f(x) pada ketika ini x, kedua-duanya sepadan dengan kenaikan hujah yang sama Δx, secara amnya, tidak sama antara satu sama lain.

Makna geometri pembezaan: Pembezaan fungsi adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen kepada graf fungsi ini apabila hujah ditambah Δx.

Peraturan pembezaan

Teorem. Jika setiap satu fungsi u(x) Dan v(x) boleh dibezakan pada titik tertentu x, maka jumlah, perbezaan, hasil darab dan hasil bagi fungsi ini (bahagia dengan syarat v(x)≠ 0) juga boleh dibezakan pada ketika ini, dan formula memegang:

Pertimbangkan fungsi kompleks y=f(φ(x))≡ F(x), Di mana y=f(u), u=φ(x). Dalam kes ini u dipanggil hujah perantaraan, x - pembolehubah bebas.

Teorem. Jika y=f(u) Dan u=φ(x) ialah fungsi boleh beza bagi hujah mereka, kemudian terbitan bagi fungsi kompleks y=f(φ(x)) wujud dan sama dengan hasil darab fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan dan terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas, i.e.

Komen. Untuk fungsi kompleks yang merupakan superposisi tiga fungsi y=F(f(φ(x))), peraturan pembezaan mempunyai bentuk

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

di mana fungsinya v=φ(x), u=f(v) Dan y=F(u)- fungsi boleh dibezakan hujah mereka.

Teorem. Biarkan fungsi y=f(x) meningkat (atau berkurangan) dan berterusan dalam beberapa kejiranan titik x 0. Biarkan, sebagai tambahan, fungsi ini boleh dibezakan pada titik yang ditunjukkan x 0 dan terbitannya pada ketika ini f′(x 0) ≠ 0. Kemudian di beberapa kejiranan titik yang sepadan y 0 =f(x 0) songsang ditakrifkan untuk y=f(x) fungsi x=f -1 (y), dan fungsi songsang yang ditunjukkan boleh dibezakan pada titik yang sepadan y 0 =f(x 0) dan untuk terbitannya pada ketika ini y formula itu sah

Jadual terbitan

Invarian bentuk pembezaan pertama

Mari kita pertimbangkan pembezaan fungsi kompleks. Jika y=f(x), x=φ(t)- fungsi hujah mereka boleh dibezakan, kemudian terbitan fungsi y=f(φ(t)) dinyatakan oleh formula

y′ t = y′ x x′ t.

A-priory dy=y′ t dt, maka kita dapat

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Jadi, kami telah buktikan

Sifat invarian bentuk pembezaan pertama fungsi: seperti dalam kes apabila hujah x ialah pembolehubah bebas, dan dalam kes apabila hujah x itu sendiri ialah fungsi boleh dibezakan bagi pembolehubah baru, pembezaan dy fungsi y=f(x) adalah sama dengan terbitan fungsi ini didarab dengan pembezaan hujah dx.

Penggunaan pembezaan dalam pengiraan anggaran

Kami telah menunjukkan bahawa pembezaan dy fungsi y=f(x), secara amnya, tidak sama dengan kenaikan Δy fungsi ini. Walau bagaimanapun, dengan ketepatan sehingga infiniti fungsi kecil susunan kekecilan yang lebih tinggi daripada Δx, anggaran kesaksamaan adalah sah

Δy ≈ dy.

Nisbah itu dipanggil ralat relatif kesamaan kesamaan ini. Kerana Δy-dy=o(Δx), maka ralat relatif kesamarataan ini menjadi sekecil yang dikehendaki dengan berkurangan |Δх|.

Mempertimbangkan itu Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, kita mendapatkan f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx atau

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Persamaan anggaran ini membenarkan dengan ralat o(Δx) menggantikan fungsi f(x) dalam kejiranan kecil titik itu x(iaitu untuk nilai kecil Δx) fungsi linear hujah Δx, berdiri di sebelah kanan.

Derivatif pesanan lebih tinggi

Definisi. Derivatif kedua (atau derivatif tertib kedua) bagi sesuatu fungsi y=f(x) dipanggil terbitan terbitan pertamanya.

Tatatanda untuk terbitan kedua bagi suatu fungsi y=f(x):

Makna mekanikal terbitan kedua. Jika fungsi y=f(x) menerangkan hukum pergerakan titik bahan dalam garis lurus, kemudian terbitan kedua f″(x) sama dengan pecutan titik bergerak pada saat masa x.

Derivatif ketiga dan keempat ditentukan sama.

Definisi. n derivatif ke (atau derivatif n-perintah ke-) fungsi y=f(x) dipanggil terbitan daripadanya n-1 derivatif ke-

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Jawatan: y″′, y IV, y V dan lain-lain.

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.

Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif bagi fungsi termudah (dan tidak terlalu mudah) dengan mentakrifkan derivatif sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual terbitan dan peraturan pembezaan yang ditakrifkan dengan tepat muncul. . Yang pertama bekerja dalam bidang mencari derivatif ialah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, anda tidak perlu mengira had yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi anda hanya perlu menggunakan jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.

Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda perdana memecahkan fungsi mudah kepada komponen dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Derivatif selanjutnya fungsi asas kita dapati dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil, hasil tambah dan hasil adalah dalam peraturan pembezaan. Jadual terbitan dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.

Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan bagi jumlah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.

Daripada jadual derivatif kita dapati bahawa terbitan "x" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus adalah sama dengan kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami membezakan sebagai terbitan jumlah di mana sebutan kedua mempunyai faktor tetap; ia boleh diambil daripada tanda terbitan:

Jika soalan masih timbul tentang dari mana datangnya sesuatu, ia biasanya diselesaikan selepas membiasakan diri dengan jadual derivatif dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami beralih kepada mereka sekarang.

Jadual terbitan bagi fungsi mudah

1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sama dengan sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap
2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "X". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingati untuk masa yang lama
3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa.
4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1
5. Terbitan punca kuasa dua
6. Terbitan sinus
7. Terbitan kosinus
8. Terbitan tangen
9. Terbitan kotangen
10. Terbitan arcsine
11. Terbitan kosinus lengkok
12. Terbitan arkatangen
13. Terbitan arka cotangen
14. Terbitan logaritma asli
15. Terbitan bagi fungsi logaritma
16. Terbitan bagi eksponen
17. Terbitan bagi fungsi eksponen

Peraturan pembezaan

1. Terbitan daripada jumlah atau perbezaan
2. Terbitan produk
2a. Terbitan ungkapan didarab dengan faktor malar
3. Terbitan hasil bagi
4. Terbitan bagi fungsi kompleks

Peraturan 1.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu titik, maka fungsi boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. terbitan bagi hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini.

Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan sebutan tetap, maka terbitan mereka adalah sama, iaitu

Peraturan 2.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika, maka produk mereka boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.

Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.

Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:

Peraturan 3.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika Dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakanu/v , dan

mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka.

Di mana untuk mencari perkara di halaman lain

Apabila mencari derivatif produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar, ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus, jadi terdapat lebih banyak contoh tentang derivatif ini dalam artikel"Terbitan hasil dan hasil bagi fungsi".

Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes faktor malar, ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. ini kesilapan tipikal, yang berlaku pada peringkat awal mengkaji derivatif, tetapi apabila pelajar purata menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bahagian, dia tidak lagi membuat kesilapan ini.

Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes ini dibincangkan dalam contoh 10).

Lain-lain kesilapan biasa- penyelesaian mekanikal bagi terbitan fungsi kompleks sebagai terbitan bagi fungsi mudah. sebab tu terbitan bagi fungsi kompleks artikel berasingan dikhaskan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.

Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukan tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual dalam tetingkap baharu. Tindakan dengan kuasa dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada terbitan pecahan dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti , kemudian ikuti pelajaran "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca."

Jika anda mempunyai tugas seperti , maka anda akan mengambil pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah".

Contoh langkah demi langkah - cara mencari derivatif

Contoh 3. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami mentakrifkan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah itu mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dengan terbitan satu lagi:

Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua mempunyai tanda tolak. Dalam setiap jumlah kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "X" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 bertukar menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kami memperoleh nilai terbitan berikut:

Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 4. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan formula untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan bagi penyebut, dan penyebut adalah kuasa dua bekas pengangka. Kita mendapatkan:

Kami telah menemui terbitan faktor dalam pengangka dalam contoh 2. Janganlah kita juga lupa bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:

Jika anda mencari penyelesaian kepada masalah yang anda perlukan untuk mencari terbitan fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan kuasa yang berterusan, seperti, sebagai contoh, , kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca" .

Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, iaitu, apabila fungsi kelihatan seperti , maka pengajaran untuk anda "Terbitan fungsi trigonometri mudah" .

Contoh 5. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat produk, salah satu faktornya ialah punca kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, terbitan yang kita kenali dalam jadual derivatif. Mengikut peraturan pembezaan produk dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua yang kita dapat:

Contoh 6. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya ialah punca kuasa dua pembolehubah bebas. Dengan menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi, yang kami ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kami memperoleh:

Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .