- — [] fungsi kuadratik Fungsi bentuk y= ax2 + bx + c (a ? 0). Graf K.f. - parabola, puncaknya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], dengan a>0 cabang parabola ... ...
FUNGSI KUADRATIK, FUNGSI matematik yang nilainya bergantung pada kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, x, dan diberi, masing-masing, oleh POLINOMIAL kuadratik, contohnya: f(x) = 4x2 + 17 atau f(x) = x2 + 3x + 2. lihat juga KUATKUASAKAN PERSAMAAN … Kamus ensiklopedia saintifik dan teknikal
Fungsi kuadratik- Fungsi kuadratik - fungsi dalam bentuk y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Graf K.f. - parabola, bucunya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], untuk a> 0 cabang parabola diarahkan ke atas, untuk a< 0 –вниз… …
- (kuadrat) Fungsi yang mempunyai bentuk berikut: y=ax2+bx+c, dengan a≠0 dan darjah tertinggi bagi x ialah segi empat sama. Persamaan kuadratik y=ax2 +bx+c=0 juga boleh diselesaikan menggunakan formula berikut: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Akar ini adalah nyata... Kamus ekonomi
Fungsi kuadratik afin pada ruang afin S ialah sebarang fungsi Q: S→K, yang dalam bentuk vektor mempunyai bentuk Q(x)=q(x)+l(x)+c, dengan q ialah fungsi kuadratik, l ialah fungsi linear, c ialah pemalar. Kandungan 1 Mengalihkan titik rujukan 2... ... Wikipedia
Fungsi kuadratik afin pada ruang afin ialah sebarang fungsi yang mempunyai bentuk dalam bentuk vektor, di mana ialah matriks simetri, fungsi linear, pemalar. Kandungan... Wikipedia
Fungsi pada ruang vektor yang ditakrifkan oleh polinomial homogen darjah kedua dalam koordinat vektor. Kandungan 1 Definisi 2 Definisi yang berkaitan... Wikipedia
- – fungsi, yang secara teori penyelesaian statistik mencirikan kerugian akibat membuat keputusan yang salah berdasarkan data yang diperhatikan. Jika masalah menganggar parameter isyarat terhadap latar belakang hingar sedang diselesaikan, maka fungsi kehilangan adalah ukuran percanggahan... ... Wikipedia
Fungsi objektif- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Kamus kejuruteraan elektrik dan kejuruteraan kuasa Inggeris-Rusia, Moscow, 1999] Fungsi objektif Dalam masalah ekstrem, fungsi yang minimum atau maksimumnya perlu dicari. Ini… … Panduan Penterjemah Teknikal
Fungsi objektif- dalam masalah yang melampau, fungsi yang minimum atau maksimum perlu ditemui. ini konsep utama pengaturcaraan yang optimum. Setelah menemui ekstrem C.f. dan, oleh itu, setelah menentukan nilai pembolehubah terkawal yang pergi kepadanya... ... Kamus ekonomi dan matematik
Buku
- Set meja. Matematik. Graf fungsi (10 jadual), . Album pendidikan 10 helaian. Fungsi linear. Tugasan grafik dan analisis fungsi. Fungsi kuadratik. Transformasi Graf fungsi kuadratik. Fungsi y=sinx. Fungsi y=cosx.…
- Fungsi yang paling penting dalam matematik sekolah ialah kuadratik - dalam masalah dan penyelesaian, Petrov N.N.. Fungsi kuadratik ialah fungsi utama kursus matematik sekolah. Patutlah. Di satu pihak, kesederhanaan fungsi ini, dan di sisi lain, makna yang mendalam. Banyak tugas sekolah...
Dalam pelajaran matematik di sekolah, anda telah pun mengenali sifat dan graf fungsi yang paling mudah. y = x 2. Jom luaskan ilmu kita tentang fungsi kuadratik.
Latihan 1.
Graf fungsi y = x 2. Skala: 1 = 2 cm Tandakan satu titik pada paksi Oy F(0; 1/4). Menggunakan kompas atau jalur kertas, ukur jarak dari titik itu F sampai satu tahap M parabola. Kemudian sematkan jalur pada titik M dan putarkannya di sekeliling titik itu sehingga ia menegak. Hujung jalur akan jatuh sedikit di bawah paksi-x (Rajah 1). Tandai pada jalur sejauh mana ia melepasi paksi-x. Sekarang ambil satu lagi titik pada parabola dan ulangi pengukuran sekali lagi. Berapa jauhkah tepi jalur itu jatuh di bawah paksi-x?
Keputusan: apa jua titik pada parabola y = x 2 yang anda ambil, jarak dari titik ini ke titik F(0; 1/4) ialah lebih jarak dari titik yang sama ke paksi-x sentiasa dengan nombor yang sama - dengan 1/4.
Kita boleh mengatakannya secara berbeza: jarak dari mana-mana titik parabola ke titik (0; 1/4) adalah sama dengan jarak dari titik parabola yang sama ke garis lurus y = -1/4. Titik indah F(0; 1/4) ini dipanggil fokus parabola y = x 2, dan garis lurus y = -1/4 – guru besar parabola ini. Setiap parabola mempunyai directrix dan fokus.
Sifat menarik parabola:
1. Mana-mana titik parabola adalah sama jarak dari satu titik, dipanggil fokus parabola, dan beberapa garis lurus, dipanggil directrixnya.
2. Jika anda memutarkan parabola di sekeliling paksi simetri (contohnya, parabola y = x 2 mengelilingi paksi Oy), anda akan mendapat permukaan yang sangat menarik dipanggil paraboloid revolusi.
Permukaan cecair dalam bekas berputar mempunyai bentuk paraboloid revolusi. Anda boleh melihat permukaan ini jika anda mengacau dengan kuat menggunakan sudu dalam segelas teh yang tidak lengkap, dan kemudian keluarkan sudu itu.
3. Jika anda membaling batu ke dalam lompang pada sudut tertentu ke ufuk, ia akan terbang dalam parabola (Gamb. 2).
4. Jika anda memotong permukaan kon dengan satah selari dengan mana-mana satu penjanaannya, maka keratan rentas akan menghasilkan parabola (Gamb. 3).
5. Taman-taman hiburan kadangkala mempunyai perjalanan yang menyeronokkan yang dipanggil Paraboloid of Wonders. Nampaknya semua orang yang berdiri di dalam paraboloid berputar itu bahawa dia berdiri di atas lantai, manakala orang lain entah bagaimana secara ajaib berpegang pada dinding.
6. Dalam teleskop pantulan, cermin parabola juga digunakan: cahaya bintang yang jauh, datang dalam pancaran selari, jatuh pada cermin teleskop, dikumpulkan menjadi fokus.
7. Lampu sorot biasanya mempunyai cermin dalam bentuk paraboloid. Jika anda meletakkan sumber cahaya pada fokus paraboloid, maka sinar, yang dipantulkan dari cermin parabola, membentuk pancaran selari.
Mengraf Fungsi Kuadratik
Dalam pelajaran matematik, anda telah mempelajari cara mendapatkan graf fungsi bentuk daripada graf fungsi y = x 2:
1) y = ax 2– meregangkan graf y = x 2 sepanjang paksi Oy dalam |a| kali (dengan |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, nasi. 4).
2) y = x 2 + n– anjakan graf dengan n unit di sepanjang paksi Oy, dan jika n > 0, maka anjakan adalah ke atas, dan jika n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– anjakan graf dengan unit m sepanjang paksi Lembu: jika m< 0, то вправо, а если m >0, kemudian pergi, (Gamb. 5).
4) y = -x 2– paparan simetri relatif kepada paksi Ox graf y = x 2 .
Mari kita lihat lebih dekat pada memplot fungsi y = a(x – m) 2 + n.
Fungsi kuadratik bentuk y = ax 2 + bx + c sentiasa boleh diturunkan kepada bentuk
y = a(x – m) 2 + n, dengan m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Jom buktikan.
sungguh,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Mari kita perkenalkan notasi baharu.
biarlah m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
maka kita dapat y = a(x – m) 2 + n atau y – n = a(x – m) 2.
Mari kita buat beberapa penggantian lagi: biarkan y – n = Y, x – m = X (*).
Kemudian kita memperoleh fungsi Y = aX 2, grafnya ialah parabola.
Puncak parabola berada di titik asal. X = 0; Y = 0.
Menggantikan koordinat bucu ke dalam (*), kita memperoleh koordinat bucu graf y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Oleh itu, untuk memplot fungsi kuadratik yang diwakili sebagai
y = a(x – m) 2 + n
melalui transformasi, anda boleh meneruskan seperti berikut:
a) plotkan fungsi y = x 2 ;
b) dengan terjemahan selari di sepanjang paksi Ox dengan unit m dan sepanjang paksi Oy oleh n unit - pindahkan bucu parabola dari asal ke titik dengan koordinat (m; n) (Gamb. 6).
Transformasi rakaman:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Contoh.
Menggunakan penjelmaan, bina graf bagi fungsi y = 2(x – 3) 2 dalam sistem koordinat Cartesan – 2.
Penyelesaian.
Rantaian transformasi:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Plot ditunjukkan dalam nasi. 7.
Anda boleh berlatih membuat grafik fungsi kuadratik sendiri. Sebagai contoh, bina graf fungsi y = 2(x + 3) 2 + 2 dalam satu sistem koordinat menggunakan transformasi Jika anda mempunyai sebarang soalan atau ingin mendapatkan nasihat daripada guru, maka anda berpeluang untuk menjalankan pelajaran percuma 25 minit dengan tutor dalam talian selepas . Untuk kerja lanjut dengan guru, anda boleh memilih yang sesuai dengan anda
Masih ada soalan? Tidak tahu cara membuat graf fungsi kuadratik?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor -.
Pelajaran pertama adalah percuma!
blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.
Seperti yang ditunjukkan oleh latihan, tugasan pada sifat dan graf fungsi kuadratik menyebabkan kesukaran yang serius. Ini agak pelik, kerana mereka mengkaji fungsi kuadratik dalam gred ke-8, dan kemudian sepanjang suku pertama gred ke-9 mereka "menyeksa" sifat parabola dan membina grafnya untuk pelbagai parameter.
Ini disebabkan oleh fakta bahawa apabila memaksa pelajar untuk membina parabola, mereka secara praktikal tidak menumpukan masa untuk "membaca" graf, iaitu, mereka tidak berlatih memahami maklumat yang diterima daripada gambar. Nampaknya, diandaikan bahawa, selepas membina sedozen atau dua graf, pelajar pintar sendiri akan menemui dan merumuskan hubungan antara pekali dalam formula dan penampilan seni grafik. Dalam amalan ini tidak berfungsi. Untuk generalisasi sedemikian, pengalaman yang serius dalam penyelidikan mini matematik diperlukan, yang kebanyakan pelajar gred sembilan, sudah tentu, tidak memilikinya. Sementara itu, Inspektorat Negeri bercadang untuk menentukan tanda-tanda pekali menggunakan jadual.
Kami tidak akan menuntut yang mustahil daripada pelajar sekolah dan hanya akan menawarkan salah satu algoritma untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Jadi, fungsi borang y = ax 2 + bx + c dipanggil kuadratik, grafnya ialah parabola. Seperti namanya, istilah utamanya ialah kapak 2. Itu dia A tidak boleh sama dengan sifar, baki pekali ( b Dan Dengan) boleh sama dengan sifar.
Mari kita lihat bagaimana tanda-tanda pekalinya mempengaruhi penampilan parabola.
Pergantungan paling mudah untuk pekali A. Kebanyakan pelajar sekolah dengan yakin menjawab: “jika A> 0, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
DALAM dalam kes ini A = 0,5
Dan sekarang untuk A < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
Dalam kes ini A = - 0,5
Kesan pekali Dengan Ia juga agak mudah untuk diikuti. Mari kita bayangkan bahawa kita ingin mencari nilai fungsi pada satu titik X= 0. Gantikan sifar ke dalam formula:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Ternyata begitu y = c. Itu dia Dengan ialah ordinat bagi titik persilangan parabola dengan paksi-y. Biasanya, titik ini mudah dicari pada graf. Dan tentukan sama ada ia terletak di atas sifar atau di bawah. Itu dia Dengan> 0 atau Dengan < 0.
Dengan > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Dengan < 0
y = x 2 + 4x - 3
Sehubungan itu, jika Dengan= 0, maka parabola semestinya akan melalui asalan:
y = x 2 + 4x
Lebih sukar dengan parameter b. Titik di mana kita akan mendapati ia bergantung bukan sahaja pada b tetapi juga dari A. Ini adalah bahagian atas parabola. Abscissanya (koordinat paksi X) didapati oleh formula x dalam = - b/(2a). Oleh itu, b = - 2ax dalam. Iaitu, kita meneruskan seperti berikut: kita dapati puncak parabola pada graf, tentukan tanda absisnya, iaitu, kita melihat ke kanan sifar ( x masuk> 0) atau ke kiri ( x masuk < 0) она лежит.
Namun, bukan itu sahaja. Kita juga perlu memberi perhatian kepada tanda pekali A. Iaitu, lihat di mana cawangan parabola diarahkan. Dan hanya selepas itu, mengikut formula b = - 2ax dalam menentukan tanda b.
Mari lihat contoh:
Cawangan diarahkan ke atas, yang bermaksud A> 0, parabola bersilang dengan paksi di di bawah sifar bermakna Dengan < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x masuk> 0. Jadi b = - 2ax dalam = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Dengan < 0.
Fungsi borang di mana dipanggil fungsi kuadratik.
Graf fungsi kuadratik – parabola.
Mari kita pertimbangkan kes:
SAYA, PARABOLA KLASIK
Itu dia , ,
Untuk membina, isikan jadual dengan menggantikan nilai x ke dalam formula:
Tandakan mata (0;0); (1;1); (-1;1), dsb. pada satah koordinat (semakin kecil langkah yang kita ambil nilai x (dalam kes ini, langkah 1), dan lebih banyak nilai x yang kita ambil, semakin licin lengkungnya), kita mendapat parabola:
Adalah mudah untuk melihat bahawa jika kita mengambil kes , , , iaitu, maka kita mendapat parabola yang simetri tentang paksi (oh). Sangat mudah untuk mengesahkan ini dengan mengisi jadual yang serupa:
II KES, “a” BERBEZA DENGAN UNIT
Apa akan jadi jika kita ambil , , ? Bagaimanakah tingkah laku parabola akan berubah? Dengan tajuk="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Dalam gambar pertama (lihat di atas) jelas kelihatan bahawa mata dari jadual untuk parabola (1;1), (-1;1) telah diubah menjadi titik (1;4), (1;-4), iaitu, dengan nilai yang sama, ordinat bagi setiap titik didarab dengan 4. Ini akan berlaku kepada semua titik utama jadual asal. Kami membuat alasan yang sama dalam kes gambar 2 dan 3.
Dan apabila parabola "menjadi lebih lebar" daripada parabola:
Mari kita ringkaskan:
1)Tanda pekali menentukan arah cawangan. Dengan tajuk="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Nilai mutlak pekali (modulus) bertanggungjawab untuk "pengembangan" dan "mampatan" parabola. Semakin besar , semakin sempit parabola; semakin kecil |a|, semakin lebar parabola.
III KES, “C” MUNCUL
Sekarang mari kita perkenalkan ke dalam permainan (iaitu, pertimbangkan kes bila), kita akan mempertimbangkan parabola bentuk . Tidak sukar untuk meneka (anda sentiasa boleh merujuk kepada jadual) bahawa parabola akan beralih ke atas atau ke bawah sepanjang paksi bergantung pada tanda:
IV KES, “b” MUNCUL
Bilakah parabola akan "berpisah" dari paksi dan akhirnya "berjalan" di sepanjang seluruh satah koordinat? Bilakah ia akan berhenti menjadi sama?
Di sini untuk membina parabola yang kita perlukan formula untuk mengira bucu: , .
Jadi pada ketika ini (seperti pada titik (0;0) sistem baru koordinat) kita akan membina parabola, yang sudah boleh kita lakukan. Jika kita berurusan dengan kes itu, maka dari puncak kita meletakkan satu segmen unit ke kanan, satu ke atas, - titik yang terhasil adalah milik kita (begitu juga, satu langkah ke kiri, satu langkah ke atas adalah titik kita); jika kita berurusan, sebagai contoh, maka dari puncak kita meletakkan satu segmen unit ke kanan, dua - ke atas, dll.
Sebagai contoh, puncak parabola:
Sekarang perkara utama yang perlu difahami ialah pada puncak ini kita akan membina parabola mengikut corak parabola, kerana dalam kes kita.
Apabila membina parabola selepas mencari koordinat bucu sangatAdalah mudah untuk mempertimbangkan perkara berikut:
1) parabola pasti akan melalui titik itu . Sesungguhnya, menggantikan x=0 ke dalam formula, kita memperoleh bahawa . Iaitu, ordinat titik persilangan parabola dengan paksi (oy) ialah . Dalam contoh kami (di atas), parabola bersilang dengan ordinat pada titik , sejak .
2) paksi simetri parabola ialah garis lurus, jadi semua titik parabola akan simetri mengenainya. Dalam contoh kami, kami segera mengambil titik (0; -2) dan membinanya secara simetri berbanding paksi simetri parabola, kami mendapat titik (4; -2) di mana parabola akan dilalui.
3) Menyamakan dengan , kita mengetahui titik persilangan parabola dengan paksi (oh). Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan. Bergantung pada diskriminasi, kami akan mendapat satu (, ), dua ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dalam contoh sebelumnya, punca diskriminasi kami bukan integer apabila membina, tidak masuk akal untuk kami mencari punca, tetapi kami jelas melihat bahawa kami akan mempunyai dua titik persilangan dengan paksi (oh) (sejak title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Jadi mari kita selesaikan
Algoritma untuk membina parabola jika ia diberikan dalam bentuk
1) tentukan arah dahan (a>0 – atas, a<0 – вниз)
2) kita mencari koordinat bucu parabola menggunakan formula , .
3) kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi (oy) menggunakan istilah bebas, bina titik simetri ke titik ini berkenaan dengan paksi simetri parabola (perlu diperhatikan bahawa ia berlaku bahawa ia adalah tidak menguntungkan untuk menandakan titik ini, sebagai contoh, kerana nilainya besar... kita langkau titik ini...)
4) Pada titik yang ditemui - puncak parabola (seperti pada titik (0;0) sistem koordinat baharu) kami membina parabola. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Kami mencari titik persilangan parabola dengan paksi (oy) (jika mereka belum "muncul") dengan menyelesaikan persamaan
Contoh 1
Contoh 2
Nota 1. Jika parabola pada mulanya diberikan kepada kita dalam bentuk , di mana terdapat beberapa nombor (contohnya, ), maka ia akan menjadi lebih mudah untuk membinanya, kerana kita telah diberi koordinat puncak . kenapa?
Mari ambil trinomial kuadratik dan pilih segi empat sama lengkap di dalamnya: Lihat, kami mendapat bahawa , . Anda dan saya sebelum ini memanggil puncak parabola, iaitu, sekarang,.
Sebagai contoh, . Kami menandakan puncak parabola pada satah, kami faham bahawa cawangan diarahkan ke bawah, parabola diperluas (berbanding dengan ). Iaitu, kami menjalankan mata 1; 3; 4; 5 daripada algoritma untuk membina parabola (lihat di atas).
Nota 2. Jika parabola diberikan dalam bentuk yang serupa dengan ini (iaitu, dibentangkan sebagai hasil dua faktor linear), maka kita segera melihat titik persilangan parabola dengan paksi (lembu). Dalam kes ini – (0;0) dan (4;0). Untuk selebihnya, kami bertindak mengikut algoritma, membuka kurungan.
