Fungsi objektif- fungsi sebenar atau integer beberapa pembolehubah yang tertakluk kepada pengoptimuman (pengoptimuman atau pemaksimum) untuk menyelesaikan beberapa masalah pengoptimuman. Istilah yang digunakan dalam pengaturcaraan matematik, penyelidikan operasi, pengaturcaraan linear, teori penyelesaian statistik dan bidang matematik yang lain, terutamanya bersifat gunaan, walaupun matlamat pengoptimuman mungkin juga merupakan penyelesaian masalah matematik itu sendiri. Selain itu Fungsi objektif Dalam masalah pengoptimuman, kekangan boleh ditentukan untuk pembolehubah dalam bentuk sistem kesamaan atau ketaksamaan. DALAM kes am hujah fungsi sasaran boleh ditentukan pada set arbitrari.
Contoh
Fungsi licin dan sistem persamaan
Masalah menyelesaikan sebarang sistem persamaan
( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \left\((\mulakan(matriks)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\end(matriks) )\betul.)
boleh dirumuskan sebagai masalah meminimumkan fungsi objektif
S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))\qquad (1))
Sekiranya fungsi lancar, maka masalah pengecilan boleh diselesaikan menggunakan kaedah kecerunan.
Untuk sebarang fungsi objektif lancar, terbitan separa berkenaan dengan semua pembolehubah boleh disamakan dengan 0 (\displaystyle 0). Fungsi optimum bagi fungsi objektif akan menjadi salah satu penyelesaian kepada sistem persamaan tersebut. Dalam kes fungsi (1) (\displaystyle (1)) ini akan menjadi sistem persamaan kaedah petak terkecil(MNC). Setiap penyelesaian sistem asal ialah penyelesaian sistem kuasa dua terkecil. Jika sistem asal tidak konsisten, maka sistem kuasa dua terkecil, yang sentiasa mempunyai penyelesaian, membolehkan kita mendapatkan penyelesaian anggaran sistem asal. Bilangan persamaan dalam sistem kuasa dua terkecil bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, yang kadangkala memudahkan penyelesaian sistem permulaan bersama.
Pengaturcaraan linear
Kepada orang lain contoh terkenal Fungsi objektif ialah fungsi linear yang timbul dalam masalah pengaturcaraan linear. Berbeza dengan fungsi objektif kuadratik, pengoptimuman fungsi linear hanya mungkin jika terdapat sekatan dalam bentuk sistem kesamaan linear atau ketaksamaan.
Pengoptimuman gabungan
Contoh tipikal fungsi objektif gabungan ialah fungsi objektif masalah jurujual perjalanan. Fungsi ini sama dengan panjang kitaran Hamiltonian pada graf. Ia ditakrifkan pada set pilih atur bagi n − 1 (\displaystyle n-1) bucu graf dan ditentukan oleh matriks panjang tepi graf. Penyelesaian yang tepat untuk masalah sedemikian sering datang kepada pilihan penghitungan.
Bab 1. Pernyataan masalah pengaturcaraan linear utama
Pengaturcaraan linear
Pengaturcaraan linear ialah satu cabang pengaturcaraan matematik yang mengkaji kaedah untuk menyelesaikan masalah ekstrem yang dicirikan oleh pergantungan linear antara pembolehubah dan ujian linear. Masalah sedemikian mendapat aplikasi yang meluas dalam pelbagai bidang aktiviti manusia. Kajian sistematik masalah jenis ini bermula pada 1939–1940. dalam karya L.V. Kantorovich.
Masalah matematik pengaturcaraan linear termasuk kajian pengeluaran tertentu dan situasi ekonomi, yang dalam satu bentuk atau yang lain ditafsirkan sebagai masalah mengenai penggunaan optimum sumber terhad.
Pelbagai masalah yang diselesaikan menggunakan kaedah pengaturcaraan linear adalah agak luas, contohnya:
masalah penggunaan sumber secara optimum dalam perancangan pengeluaran;
masalah campuran (perancangan komposisi produk);
masalah mencari kombinasi yang optimum pelbagai jenis produk untuk penyimpanan di gudang (pengurusan inventori atau);
tugas pengangkutan (analisis lokasi perusahaan, pergerakan barang).
Pengaturcaraan linear ialah bahagian pengaturcaraan matematik yang paling maju dan digunakan secara meluas (selain itu, ini termasuk: integer, dinamik, bukan linear, pengaturcaraan parametrik). Ini dijelaskan seperti berikut:
model matematik sebilangan besar masalah ekonomi adalah linear berkenaan dengan pembolehubah yang diperlukan;
Masalah jenis ini paling banyak dikaji pada masa ini. Direka untuk dia kaedah khas, dengan bantuan masalah ini diselesaikan, dan program komputer yang sepadan;
banyak masalah pengaturcaraan linear, telah diselesaikan, telah menemui aplikasi yang luas;
Sesetengah masalah, yang dalam rumusan asal tidak linear, selepas beberapa sekatan dan andaian tambahan boleh menjadi linear atau boleh dikurangkan kepada bentuk sedemikian yang boleh diselesaikan dengan kaedah pengaturcaraan linear.
Model ekonomi dan matematik bagi sebarang masalah pengaturcaraan linear termasuk: fungsi objektif, nilai optimum yang (maksimum atau minimum) perlu ditemui; sekatan dalam bentuk sistem persamaan linear atau ketidaksamaan; keperluan pembolehubah bukan negatif.
DALAM Pandangan umum model ditulis seperti berikut:
Fungsi objektif
(1.1) dengan sekatan
(1.2) keperluan bukan negatif
(1.3) di mana x j– pembolehubah (tidak diketahui);
- pekali masalah pengaturcaraan linear.
Masalahnya ialah untuk mencari nilai optimum fungsi (1.1) tertakluk kepada kekangan (1.2) dan (1.3).
Sistem kekangan (1.2) dipanggil kekangan fungsi masalah, dan kekangan (1.3) dipanggil langsung.
Vektor yang memenuhi kekangan (1.2) dan (1.3) dipanggil penyelesaian (pelan) yang boleh diterima bagi masalah pengaturcaraan linear. Pelan di mana fungsi (1.1) mencapai nilai maksimum (minimum) dipanggil optimum.
1.2. Kaedah simplex untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear
Kaedah simpleks telah dibangunkan dan pertama kali digunakan untuk menyelesaikan masalah pada tahun 1947 oleh ahli matematik Amerika J. Danzig.
Masalah pengaturcaraan linear dua dimensi diselesaikan secara grafik. Untuk kes N=3 kita boleh pertimbangkan ruang tiga dimensi dan fungsi objektif akan mencapai nilai optimumnya pada salah satu bucu polihedron.
Penyelesaian boleh diterima (pelan boleh diterima) bagi masalah LP yang diberikan dalam bentuk piawai ialah set nombor tertib (x1, x2, ..., xn) yang memenuhi sekatan; ia adalah titik dalam ruang dimensi-n.
Set penyelesaian yang boleh diterima membentuk kawasan penyelesaian yang boleh diterima (ADS) bagi masalah LP. ODR ialah polihedron cembung (poligon).
Secara umum, apabila masalah melibatkan N-tidak diketahui, kita boleh mengatakan bahawa rantau penyelesaian yang boleh dilaksanakan yang ditakrifkan oleh sistem keadaan had diwakili oleh polihedron cembung dalam ruang dimensi-n dan nilai optimum fungsi objektif dicapai pada satu atau lebih bucu.
Penyelesaian asas ialah penyelesaian di mana semua pembolehubah bebas adalah sama dengan sifar.
Penyelesaian sokongan ialah penyelesaian asas bukan negatif. Penyelesaian sokongan boleh menjadi tidak merosot dan merosot. Penyelesaian rujukan dipanggil tidak merosot jika bilangan koordinat bukan sifarnya adalah sama dengan pangkat sistem, jika tidak, ia merosot.
Penyelesaian yang boleh diterima di mana fungsi objektif mencapai nilai ekstremnya dipanggil optimum dan dilambangkan 
.
Adalah sangat sukar untuk menyelesaikan masalah ini secara grafik apabila bilangan pembolehubah adalah lebih daripada 3. Terdapat cara universal untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear, dipanggil kaedah simplex.
Kaedah simpleks ialah kaedah universal untuk menyelesaikan masalah LP, yang merupakan proses berulang yang bermula dengan satu penyelesaian dan, untuk mencari pilihan terbaik, bergerak di sepanjang titik sudut wilayah penyelesaian yang boleh dilaksanakan sehingga mencapai nilai optimum.
Ia boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang masalah pengaturcaraan linear.
Kaedah simpleks adalah berdasarkan idea penambahbaikan berurutan penyelesaian yang dihasilkan.
Makna geometri kaedah simpleks ialah peralihan berurutan dari satu bucu polihedron kekangan kepada satu jiran, di mana fungsi objektif mengambil nilai terbaik (atau sekurang-kurangnya bukan yang paling teruk) sehingga penyelesaian optimum ditemui - puncak di mana nilai optimum dicapai fungsi matlamat (jika masalah mempunyai optimum akhir).
Oleh itu, setelah sistem kekangan dikurangkan kepada bentuk kanonik (semua kekangan fungsian mempunyai bentuk kesamaan), mereka menemui sebarang penyelesaian asas kepada sistem ini, hanya mengambil berat tentang mencarinya semudah mungkin. Jika penyelesaian asas pertama yang ditemui ternyata boleh dilaksanakan, maka ia diperiksa untuk optimum. Jika ia tidak optimum, maka peralihan dibuat kepada penyelesaian asas yang lain, semestinya boleh diterima. Kaedah simplex menjamin bahawa dengan penyelesaian baru ini fungsi objektif, jika ia tidak mencapai tahap optimum, akan mendekatinya (atau sekurang-kurangnya tidak akan menjauhinya). Perkara yang sama dilakukan dengan penyelesaian asas baru yang boleh dilaksanakan sehingga penyelesaian didapati yang optimum.
Proses menggunakan kaedah simpleks melibatkan pelaksanaan tiga elemen utamanya:
kaedah untuk menentukan sebarang penyelesaian asas awal yang boleh dilaksanakan kepada masalah;
peraturan peralihan kepada penyelesaian terbaik (lebih tepat, bukan lebih teruk);
kriteria untuk menyemak keoptimuman penyelesaian yang ditemui.
Kaedah simpleks merangkumi beberapa peringkat dan boleh dirumuskan dalam bentuk algoritma yang jelas (arahan yang jelas untuk melaksanakan operasi berurutan). Ini membolehkan anda berjaya memprogram dan melaksanakannya pada komputer. Masalah dengan sebilangan kecil pembolehubah dan kekangan boleh diselesaikan secara manual menggunakan kaedah simpleks.
6.1.Pengenalan
Pengoptimuman. Bahagian 1
Kaedah pengoptimuman membolehkan anda memilih pilihan terbaik rekaan dari semua pilihan yang mungkin. DALAM tahun lepas kaedah ini telah diberikan perhatian yang besar, dan sebagai hasilnya, beberapa algoritma yang sangat cekap telah dibangunkan yang membolehkan anda mencari pilihan reka bentuk yang optimum menggunakan komputer. Bab ini menggariskan asas teori pengoptimuman, mengkaji prinsip yang mendasari pembinaan algoritma untuk penyelesaian optimum, menerangkan algoritma yang paling terkenal dan menganalisis kelebihan dan kekurangannya.
6.2.Asas teori pengoptimuman
Istilah "pengoptimuman" dalam literatur merujuk kepada proses atau urutan operasi yang membolehkan seseorang memperoleh penyelesaian yang diperhalusi. Walaupun matlamat utama pengoptimuman adalah untuk mencari penyelesaian yang terbaik, atau "optimum", seseorang biasanya perlu berpuas hati untuk menambah baik penyelesaian yang diketahui dan bukannya menyempurnakannya. Oleh itu, pengoptimuman lebih difahami sebagai keinginan untuk kesempurnaan, yang mungkin tidak dapat dicapai.
Memandangkan beberapa sistem arbitrari yang diterangkan oleh m persamaan dengan n yang tidak diketahui, kita boleh membezakan tiga jenis masalah utama. Jika m=n, masalah itu dipanggil algebra. Masalah ini biasanya mempunyai satu penyelesaian. Jika m>n, maka masalah itu terlalu ditentukan dan, sebagai peraturan, tidak mempunyai penyelesaian. Akhirnya, untuk m
Sebelum kita mula membincangkan isu pengoptimuman, kami memperkenalkan beberapa definisi.
Parameter reka bentuk
Istilah ini menandakan parameter pembolehubah bebas yang sepenuhnya dan jelas menentukan masalah reka bentuk yang sedang diselesaikan. Parameter reka bentuk adalah kuantiti yang tidak diketahui yang nilainya dikira semasa proses pengoptimuman. Sebarang kuantiti asas atau terbitan yang berfungsi untuk menerangkan secara kuantitatif sistem boleh berfungsi sebagai parameter reka bentuk. Ya, boleh jadi nilai yang tidak diketahui panjang, jisim, masa, suhu. Bilangan parameter reka bentuk mencirikan tahap kerumitan masalah reka bentuk tertentu. Biasanya bilangan parameter reka bentuk dilambangkan dengan n, dan parameter reka bentuk itu sendiri dengan x dengan indeks yang sepadan. Oleh itu, n parameter reka bentuk masalah ini akan ditandakan dengan
X1, x2, x3,...,xn.
Fungsi objektif
Ia adalah ungkapan yang nilainya cuba dibuat oleh jurutera untuk maksimum atau minimum. Fungsi objektif membolehkan anda membandingkan secara kuantitatif dua penyelesaian alternatif. Dari sudut pandangan matematik, fungsi objektif menerangkan beberapa permukaan dimensi (n+1). Nilainya ditentukan oleh parameter reka bentuk
M=M(x 1, x 2,...,x n).
Contoh fungsi objektif yang sering dijumpai dalam amalan kejuruteraan ialah kos, berat, kekuatan, dimensi, kecekapan. Jika terdapat hanya satu parameter reka bentuk, maka fungsi objektif boleh diwakili oleh lengkung pada satah (Rajah 6.1). Jika terdapat dua parameter reka bentuk, maka fungsi objektif akan digambarkan sebagai permukaan dalam ruang tiga dimensi (Rajah 6.2). Dengan tiga atau lebih parameter reka bentuk, permukaan yang ditentukan oleh fungsi objektif dipanggil hypersurfaces dan tidak boleh digambarkan.
perkahwinan dengan cara biasa. Sifat topologi permukaan fungsi objektif memainkan peranan yang besar dalam proses pengoptimuman, kerana pilihan algoritma yang paling cekap bergantung kepada mereka.
Fungsi objektif dalam beberapa kes boleh mengambil bentuk yang paling tidak dijangka. Sebagai contoh, tidak selalu mungkin untuk menyatakannya
Rajah 1. Fungsi objektif satu dimensi.
Rajah 6.2. Fungsi objektif dua dimensi.
bentuk matematik tertutup, dalam kes lain ia boleh
mewakili fungsi licin sekeping. Menentukan fungsi objektif kadangkala memerlukan jadual data teknikal (contohnya, jadual keadaan wap air) atau mungkin memerlukan percubaan. Dalam sesetengah kes, parameter reka bentuk hanya mengambil nilai integer. Contohnya ialah bilangan gigi penghantaran gear atau bilangan bolt dalam bebibir. Kadangkala parameter reka bentuk hanya mempunyai dua makna - ya atau tidak. Parameter kualitatif, seperti kepuasan yang dialami oleh pembeli yang membeli produk, kebolehpercayaan, estetika, sukar untuk diambil kira dalam proses pengoptimuman, kerana ia hampir mustahil untuk dicirikan secara kuantitatif. Walau bagaimanapun, dalam apa jua bentuk fungsi objektif dibentangkan, ia mestilah fungsi yang jelas bagi parameter reka bentuk.
Beberapa masalah pengoptimuman memerlukan pengenalan lebih daripada satu fungsi objektif. Kadang-kadang salah satu daripada mereka mungkin berubah menjadi tidak serasi dengan yang lain. Contohnya ialah reka bentuk pesawat, di mana kekuatan maksimum, berat minimum dan kos minimum diperlukan serentak. Dalam kes sedemikian, pereka bentuk mesti memperkenalkan sistem keutamaan dan menetapkan pengganda tanpa dimensi tertentu kepada setiap fungsi objektif. Akibatnya, "fungsi kompromi" muncul, membenarkan penggunaan satu fungsi objektif komposit semasa proses pengoptimuman.
Mencari minimum dan maksimum
Sesetengah algoritma pengoptimuman direka untuk mencari maksimum, yang lain - untuk mencari minimum. Walau bagaimanapun, tanpa mengira jenis masalah ekstrem yang sedang diselesaikan, anda boleh menggunakan algoritma yang sama, kerana masalah pengecilan dengan mudah boleh diubah menjadi masalah carian maksimum dengan membalikkan tanda fungsi objektif. Teknik ini digambarkan dalam Rajah 6.3.
Ruang reka bentuk
Ini ialah nama kawasan yang ditakrifkan oleh semua n parameter reka bentuk. Ruang reka bentuk tidak sebesar yang kelihatan, kerana ia biasanya dihadkan oleh beberapa
keadaan yang berkaitan dengan intipati fizikal masalah. Kekangan mungkin sangat kuat sehingga masalah tidak akan ada
Rajah 6.3. Menukar tanda fungsi objektif kepada sebaliknya
tugasan maksimum bertukar menjadi tugasan minimum.
penyelesaian yang memuaskan. Kekangan dibahagikan kepada dua kumpulan: kekangan - kesaksamaan dan kekangan - ketidaksamaan.
Kekangan - Persamaan
Kekangan - kesamaan - adalah kebergantungan antara parameter reka bentuk yang mesti diambil kira semasa mencari penyelesaian. Ia mencerminkan undang-undang alam semula jadi, ekonomi, undang-undang, cita rasa dan ketersediaan yang lazim bahan yang diperlukan. Bilangan kekangan - kesamaan boleh menjadi apa-apa. Mereka kelihatan seperti
C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,
C 2 (x 1, x 2,...,x n)=0,
..................
C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0.
Jika mana-mana perhubungan ini boleh diselesaikan berkenaan dengan salah satu parameter reka bentuk, maka ini membolehkan parameter ini dikecualikan daripada proses pengoptimuman. Ini mengurangkan bilangan dimensi ruang reka bentuk dan memudahkan penyelesaian masalah.
Kekangan - ketidaksamaan
Ini adalah jenis kekangan khas yang dinyatakan oleh ketidaksamaan. Secara umum, boleh ada seberapa banyak yang anda suka, dan semuanya mempunyai bentuk
z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1
z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2
.......................
z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k
Perlu diingatkan bahawa selalunya, disebabkan oleh sekatan, nilai optimum fungsi objektif dicapai bukan di mana permukaannya mempunyai kecerunan sifar. Selalunya penyelesaian terbaik sepadan dengan salah satu sempadan ruang reka bentuk.
optimum tempatan
Ini adalah nama titik dalam ruang reka bentuk di mana fungsi objektif mempunyai nilai tertinggi berbanding dengan nilainya di semua tempat lain di kawasan berhampirannya.
Rajah 6.4. Fungsi objektif arbitrari boleh mempunyai beberapa
optima tempatan.
Dalam Rajah. Rajah 6.4 menunjukkan fungsi objektif satu dimensi yang mempunyai dua optima setempat. Selalunya ruang reka bentuk mengandungi banyak optima tempatan dan penjagaan mesti diambil untuk tidak tersilap yang pertama sebagai penyelesaian optimum kepada masalah tersebut.
Global optimum
Optimum global ialah penyelesaian optimum untuk keseluruhan ruang reka bentuk. Ia lebih baik daripada semua penyelesaian lain yang sepadan dengan optima tempatan, dan itulah yang dicari oleh pereka bentuk. Ada kemungkinan terdapat beberapa optima global yang sama terletak di bahagian yang berbeza ruang reka bentuk. Cara masalah pengoptimuman ditimbulkan paling baik digambarkan dengan contoh.
Contoh 6.1
Katakan anda perlu mereka bentuk bekas segi empat tepat dengan isipadu 1 m bertujuan untuk mengangkut gentian yang tidak dibungkus. Adalah wajar bahawa sedikit bahan yang mungkin dibelanjakan untuk pembuatan bekas tersebut (dengan mengandaikan ketebalan dinding yang berterusan, ini bermakna kawasan permukaan harus minimum), kerana ia akan lebih murah. Agar bekas itu mudah diambil oleh forklift, lebarnya mestilah sekurang-kurangnya 1.5 m.
Mari kita rumuskan masalah ini dalam bentuk yang sesuai untuk menggunakan algoritma pengoptimuman.
Parameter reka bentuk: x 1, x 2, x 3.
Fungsi objektif (yang perlu diminimumkan) ialah kawasan permukaan sisi bekas:
A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2.
Kekangan - kesaksamaan:
Isipadu = x 1 x 2 x 3 = 1m3.
Kekangan - ketidaksamaan:
Masalah pengaturcaraan linear
Pengaturcaraan Linear (LP) adalah salah satu cabang pengaturcaraan matematik - satu disiplin yang mengkaji masalah ekstrem (pengoptimuman) dan membangunkan kaedah untuk menyelesaikannya.
Masalah pengoptimuman ialah masalah matematik yang terdiri daripada mencari nilai optimum (iaitu, maksimum atau minimum) bagi fungsi objektif, dan nilai pembolehubah mesti tergolong dalam julat nilai yang boleh diterima (APV) tertentu.
Secara amnya, perumusan masalah ekstrem pengaturcaraan matematik terdiri daripada menentukan yang terbesar atau nilai terendah fungsi dipanggil fungsi sasaran, di bawah keadaan (kekangan), di mana dan diberi fungsi, dan diberi nilai tetap. Dalam kes ini, sekatan dalam bentuk kesamaan dan ketidaksamaan menentukan set (kawasan) penyelesaian yang boleh diterima (ADS), dan dipanggil parameter reka bentuk.
Bergantung pada jenis fungsi, masalah pengaturcaraan matematik dibahagikan kepada beberapa kelas (linear, bukan linear, cembung, integer, stokastik, pengaturcaraan dinamik, dll.).
DALAM Pandangan umum masalah LP mempunyai bentuk berikut:
, (5.1)
, , (5.2)
, 
, (5.3)
di mana , , diberi nilai malar.
Fungsi (5.1) dipanggil fungsi objektif; sistem (5.2), (5.3) – sistem sekatan; keadaan (5.4) – keadaan bukan negatif parameter reka bentuk.
Set parameter reka bentuk yang memenuhi kekangan (5.2), (5.3) dan (5.4) dipanggil penyelesaian yang boleh diterima atau rancangan.
Penyelesaian yang optimum atau rancangan yang optimum Masalah LP dipanggil penyelesaian yang boleh diterima di mana fungsi objektif (5.1) mengambil nilai optimum (maksimum atau minimum).
Tugas standard LP ialah masalah mencari nilai maksimum (minimum) bagi fungsi objektif (5.1) di bawah keadaan (5.2) dan (5.4), di mana , , i.e. mereka. sekatan hanya dalam bentuk ketaksamaan (5.2) dan semua parameter reka bentuk memenuhi syarat bukan negatif, dan tiada syarat dalam bentuk kesamaan:
,
, , (5.5)
.
Tugas kanonik (utama). LP ialah masalah mencari nilai maksimum (minimum) bagi fungsi objektif (5.1) di bawah keadaan (5.3) dan (5.4), di mana , , i.e. mereka. sekatan hanya dalam bentuk kesamaan (5.3) dan semua parameter reka bentuk memenuhi syarat bukan negatif, dan tiada syarat dalam bentuk ketaksamaan:
,
.
Masalah LP kanonik juga boleh ditulis dalam bentuk matriks dan vektor.
Bentuk matriks masalah LP kanonik mempunyai bentuk berikut:
Bentuk vektor masalah LP kanonik.
Mari kita bina pada satah satu set penyelesaian yang boleh dilaksanakan kepada sistem ketaksamaan linear dan cari secara geometri nilai minimum bagi fungsi objektif.
Kami membina garis lurus dalam sistem koordinat x 1 x 2
Kami mendapati separuh satah yang ditakrifkan oleh sistem. Memandangkan ketaksamaan sistem dipenuhi untuk mana-mana titik dalam satah separuh yang sepadan, ia cukup untuk menyemaknya untuk mana-mana satu titik. Kami menggunakan titik (0;0). Mari kita gantikan koordinatnya ke dalam ketaksamaan pertama sistem. Kerana , maka ketaksamaan mentakrifkan separuh satah yang tidak mengandungi titik (0;0). Kami juga mentakrifkan separuh satah yang tinggal. Kami mendapati set penyelesaian yang boleh dilaksanakan sebagai bahagian biasa separuh satah yang terhasil - ini ialah kawasan berlorek.
Kami membina vektor dan garis aras sifar berserenjang dengannya.
Menggerakkan garis lurus (5) ke arah vektor dan kita melihat bahawa titik maksimum rantau akan berada di titik A persilangan garis lurus (3) dan garis lurus (2). Kami mencari penyelesaian kepada sistem persamaan:
Ini bermakna kita mendapat mata (13;11) dan.
Menggerakkan garis lurus (5) ke arah vektor dan kita melihat bahawa titik minimum rantau akan berada di titik B persilangan garis lurus (1) dan garis lurus (4). Kami mencari penyelesaian kepada sistem persamaan:
Ini bermakna kita mendapat mata (6;6) dan.
2. Sebuah syarikat perabot menghasilkan gabungan kabinet dan meja komputer. Pengeluaran mereka dihadkan oleh ketersediaan bahan mentah (papan berkualiti tinggi, kelengkapan) dan masa operasi mesin memprosesnya. Setiap kabinet memerlukan 5 m2 papan, untuk meja - 2 m2. Kelengkapan berharga $10 untuk satu kabinet, dan $8 untuk satu meja. Syarikat boleh menerima daripada pembekalnya sehingga 600 m2 papan setiap bulan dan aksesori bernilai $2,000. Setiap kabinet memerlukan 7 jam operasi mesin, dan meja memerlukan 3 jam. Sebanyak 840 waktu operasi mesin boleh digunakan setiap bulan.
Berapakah bilangan gabungan kabinet dan meja komputer yang perlu dikeluarkan oleh syarikat setiap bulan untuk memaksimumkan keuntungan jika satu kabinet menjana keuntungan $100 dan setiap meja menjana $50?
- 1. Karang model matematik masalah dan menyelesaikannya menggunakan kaedah simpleks.
- 2. Cipta model matematik bagi masalah dwi, tulis penyelesaiannya berdasarkan penyelesaian kepada yang asal.
- 3. Mewujudkan tahap kekurangan sumber yang digunakan dan mewajarkan keuntungan pelan optimum.
- 4. Terokai kemungkinan untuk meningkatkan lagi keluaran pengeluaran bergantung kepada penggunaan setiap jenis sumber.
- 5. Menilai kemungkinan untuk memperkenalkan jenis produk baru - rak buku, jika pengeluaran satu rak berharga 1 m 2 papan dan aksesori bernilai $5, dan perlu menghabiskan 0.25 jam operasi mesin dan keuntungan daripada penjualan satu rak ialah $20.
- 1. Mari bina model matematik untuk masalah ini:
Mari kita nyatakan dengan x 1 isipadu pengeluaran kabinet, dan x 2 isipadu pengeluaran meja. Mari kita cipta sistem sekatan dan fungsi matlamat:
Kami menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simplex. Mari kita tulis dalam bentuk kanonik:
Mari tulis data tugasan dalam bentuk jadual:
Jadual 1
Kerana Sekarang semua delta adalah lebih besar daripada sifar, maka peningkatan selanjutnya dalam nilai fungsi matlamat f adalah mustahil dan kami telah memperoleh pelan yang optimum.
pengenalan
Peringkat semasa pembangunan manusia dibezakan oleh fakta bahawa zaman tenaga digantikan oleh zaman sains komputer. Terdapat pengenalan intensif teknologi baharu ke dalam semua bidang aktiviti manusia. Terdapat masalah sebenar peralihan kepada masyarakat maklumat, yang mana pembangunan pendidikan harus menjadi keutamaan. Struktur ilmu dalam masyarakat juga berubah. Semakin penting untuk kehidupan praktikal memperoleh pengetahuan asas yang menyumbang kepada perkembangan kreatif individu. Konstruktif pengetahuan yang diperoleh dan kebolehan menyusunnya mengikut matlamat juga penting. Berdasarkan pengetahuan, yang baru terbentuk sumber maklumat masyarakat. Pembentukan dan pemerolehan pengetahuan baru harus berdasarkan metodologi ketat pendekatan sistem, di mana pendekatan model menduduki tempat yang istimewa. Kemungkinan pendekatan model adalah sangat pelbagai, baik dari segi model formal yang digunakan dan dalam kaedah melaksanakan kaedah pemodelan. Pemodelan fizikal membolehkan seseorang memperoleh hasil yang boleh dipercayai untuk sistem yang agak mudah.
Pada masa ini, adalah mustahil untuk menamakan kawasan aktiviti manusia di mana kaedah pemodelan tidak akan digunakan pada satu tahap atau yang lain. Ini benar terutamanya dalam bidang pengurusan pelbagai sistem, di mana proses utama adalah membuat keputusan berdasarkan maklumat yang diterima.
1. Pernyataan masalah
fungsi objektif minimum
Menyelesaikan masalah mencari minimum fungsi objektif bagi sistem kekangan yang ditentukan oleh poligon penyelesaian mengikut pilihan No. 16 tugasan. Poligon penyelesaian ditunjukkan dalam Rajah 1:
Rajah 1 - Poligon penyelesaian kepada masalah
Sistem kekangan dan fungsi objektif masalah dibentangkan di bawah:
Ia adalah perlu untuk menyelesaikan masalah menggunakan kaedah berikut:
Kaedah grafik untuk menyelesaikan masalah LP;
Kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah LP;
Kaedah simplex untuk menyelesaikan masalah LP;
Kaedah untuk mencari penyelesaian yang boleh diterima untuk masalah LP;
Penyelesaian masalah dwi LP;
Kaedah cawangan dan terikat untuk menyelesaikan masalah LP integer;
Kaedah Gomori untuk menyelesaikan masalah LP integer;
Kaedah Balazs untuk menyelesaikan masalah LP Boolean.
Bandingkan hasil penyelesaian kaedah yang berbeza membuat kesimpulan yang sesuai daripada kerja.
2. Penyelesaian grafik kepada masalah pengaturcaraan linear
Kaedah grafik untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear digunakan dalam kes di mana bilangan yang tidak diketahui tidak melebihi tiga. Mudah untuk penyelidikan kualitatif sifat penyelesaian dan digunakan bersama dengan kaedah lain (algebra, cabang dan terikat, dsb.). Idea kaedah adalah berdasarkan penyelesaian grafik sistem ketaksamaan linear.
nasi. 2 Penyelesaian grafik masalah LP
Mata minimum
Persamaan garis yang melalui dua titik A1 dan A2:
AB: (0;1); (3;3)
VS: (3;3); (4;1)
CD: (4;1); (3;0)
EA: (1;0); (0;1)
CF: (0;1); (5;2)
dengan sekatan:
Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan kaedah algebra simplex
Aplikasi kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah memerlukan generalisasi perwakilan masalah LP. Sistem sekatan asal, yang dinyatakan dalam bentuk ketaksamaan, ditukar kepada tatatanda standard apabila sekatan dinyatakan dalam bentuk kesamaan. Transformasi sistem kekangan kepada pandangan standard termasuk langkah-langkah berikut:
Ubah ketaksamaan supaya terdapat pembolehubah dan sebutan bebas di sebelah kiri, dan 0 di sebelah kanan, i.e. kepada sebelah kiri adalah lebih besar daripada atau sama dengan sifar;
Memperkenalkan pembolehubah tambahan, yang bilangannya sama dengan bilangan ketaksamaan dalam sistem kekangan;
Dengan memperkenalkan sekatan tambahan ke atas bukan negatif pembolehubah tambahan, gantikan tanda ketidaksamaan dengan tanda kesamaan yang ketat.
Apabila menyelesaikan masalah LP menggunakan kaedah algebra, syarat ditambah: fungsi objektif mesti cenderung kepada minimum. Jika syarat ini tidak berpuas hati, adalah perlu untuk mengubah fungsi objektif dengan sewajarnya (darab dengan -1) dan menyelesaikan masalah pengecilan. Selepas penyelesaian ditemui, gantikan nilai pembolehubah ke dalam fungsi asal dan hitung nilainya.
Penyelesaian kepada masalah menggunakan kaedah algebra dianggap optimum apabila nilai semua pembolehubah asas adalah bukan negatif, dan pekali pembolehubah bebas dalam persamaan fungsi objektif juga bukan negatif. Sekiranya syarat-syarat ini tidak dipenuhi, adalah perlu untuk mengubah sistem ketaksamaan, menyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain (mengubah pembolehubah bebas dan asas) untuk mencapai pemenuhan sekatan di atas. Nilai semua pembolehubah bebas dianggap sama dengan sifar.
Kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear adalah salah satu yang paling banyak kaedah yang berkesan apabila menyelesaikan masalah berskala kecil secara manual kerana tidak memerlukan sejumlah besar pengiraan aritmetik. Pelaksanaan mesin kaedah ini lebih rumit daripada, sebagai contoh, untuk kaedah simplex, kerana Algoritma penyelesaian menggunakan kaedah algebra adalah sedikit sebanyak heuristik dan keberkesanan penyelesaian sebahagian besarnya bergantung kepada pengalaman peribadi.
Pembolehubah bebas
lorong St - tambahan kit
Keadaan bukan negatif dipenuhi, oleh itu, penyelesaian optimum telah dijumpai.
3. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan jadual simpleks
Penyelesaian: Mari kita bawa masalah kepada bentuk piawai untuk penyelesaian menggunakan jadual simpleks.
Mari kita kurangkan semua persamaan sistem kepada bentuk:
Kami membina jadual simplex:
Di sudut atas setiap sel jadual kita masukkan pekali dari sistem persamaan;
Kami memilih elemen positif maksimum dalam baris F, kecuali ini akan menjadi lajur umum;
Untuk mencari elemen umum, kami membina hubungan untuk semua yang positif. 3/3; 9/1;- nisbah minimum dalam baris x3. Oleh itu - rentetan am dan =3 - elemen umum.
Kami dapati =1/=1/3. Kami membawanya ke sudut bawah sel di mana elemen umum terletak;
Di semua sudut bawah kosong baris umum kita masukkan hasil darab nilai di sudut atas sel dengan;
Pilih sudut atas baris umum;
Di semua sudut bawah lajur umum kami memasukkan hasil darab nilai di sudut atas dengan - dan pilih nilai yang terhasil;
Baki sel jadual diisi sebagai hasil daripada elemen terpilih yang sepadan;
Kemudian kami membina jadual baharu di mana penetapan sel bagi unsur-unsur lajur dan baris umum ditukar (x2 dan x3);
Nilai yang sebelum ini berada di sudut bawah ditulis ke sudut atas baris dan lajur umum bekas;
Jumlah nilai sudut atas dan bawah sel ini dalam jadual sebelumnya ditulis di sudut atas sel yang tinggal
4. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dengan mencari penyelesaian yang boleh diterima
Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan:
Kita boleh mengandaikan bahawa semuanya adalah, jika tidak, kita darabkan persamaan yang sepadan dengan -1.
Kami memperkenalkan pembolehubah tambahan:
Kami juga memperkenalkan fungsi tambahan
Kami akan meminimumkan sistem di bawah sekatan (2) dan syarat.
PERATURAN UNTUK MENCARI PENYELESAIAN YANG DIBENARKAN: Untuk mencari penyelesaian yang boleh diterima kepada sistem (1), kami meminimumkan borang (3) di bawah sekatan (2), mengambil xj sebagai tidak diketahui percuma dan mengambil xj sebagai asas.
Apabila menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks, dua kes mungkin timbul:
min f=0, maka semua i mestilah sama dengan sifar. Dan nilai xj yang terhasil akan membentuk penyelesaian yang boleh diterima untuk sistem (1).
min f>0, i.e. sistem asal tidak mempunyai penyelesaian yang boleh dilaksanakan.
Sistem sumber:
Keadaan masalah dari topik sebelumnya digunakan.
Mari perkenalkan pembolehubah tambahan:
Penyelesaian yang boleh diterima untuk masalah asal telah ditemui: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Berdasarkan penyelesaian yang boleh dilaksanakan, kita akan mencari penyelesaian optimum kepada masalah asal menggunakan kaedah simpleks. Untuk melakukan ini, kami akan membina jadual simplex baharu daripada jadual yang diperoleh di atas, mengalih keluar baris dan baris dengan fungsi sasaran masalah tambahan:
Menganalisis jadual simplex yang dibina, kita melihat bahawa penyelesaian optimum untuk masalah asal telah dijumpai (elemen dalam baris yang sepadan dengan fungsi objektif adalah negatif). Oleh itu, penyelesaian yang boleh dilaksanakan semasa menyelesaikan masalah tambahan bertepatan dengan penyelesaian optimum kepada masalah asal:
6. Masalah pengaturcaraan dwi linear
Sistem kekangan asal dan fungsi objektif masalah ditunjukkan dalam rajah di bawah.
dengan sekatan:
Penyelesaian: Mari kita bawa sistem sekatan kepada bentuk standard:
Masalah dual kepada yang ini akan mempunyai bentuk:
Penyelesaian kepada masalah dwi akan dilakukan menggunakan kaedah simpleks ringkas.
Mari kita ubah fungsi objektif supaya masalah pengecilan diselesaikan, dan tulis sistem kekangan dalam bentuk piawai untuk penyelesaian menggunakan kaedah simpleks.
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min
Mari kita bina jadual simpleks awal untuk menyelesaikan masalah dwi LP.
Langkah kedua kaedah simpleks
Jadi, pada langkah ketiga kaedah simpleks, penyelesaian optimum kepada masalah pengecilan didapati dengan keputusan berikut: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Untuk mencari nilai bagi fungsi objektif masalah dwi, kami menggantikan nilai yang ditemui pembolehubah asas dan bebas ke dalam fungsi pemaksimuman:
Фmaks = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
Oleh kerana nilai fungsi objektif masalah langsung dan dua bertepatan, penyelesaian kepada masalah langsung ditemui dan bersamaan dengan 12.
Fmin = Фmaks = -12
7. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear integer menggunakan kaedah branch-and-bound
Marilah kita mengubah masalah asal dengan cara yang keadaan integer tidak berpuas hati apabila diselesaikan menggunakan kaedah konvensional.
Poligon awal penyelesaian kepada masalah pengaturcaraan integer.
Untuk poligon penyelesaian yang diubah yang kami bina sistem baru sekatan.
Mari kita tuliskan sistem sekatan dalam bentuk kesamaan untuk diselesaikan menggunakan kaedah algebra.
Hasil daripada penyelesaian, pelan optimum untuk masalah itu didapati: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Penyelesaian ini tidak memenuhi syarat integer yang ditetapkan dalam masalah. Mari bahagikan poligon penyelesaian asal kepada dua kawasan, tidak termasuk kawasan 3 daripadanya Poligon penyelesaian masalah yang diubah suai Mari kita cipta sistem sekatan baharu untuk kawasan terhasil poligon penyelesaian. Kawasan kiri ialah segiempat (trapezoid). Sistem sekatan untuk kawasan kiri poligon penyelesaian dibentangkan di bawah. Sistem sekatan untuk kawasan kiri Kawasan kanan mewakili titik C. Sistem sekatan untuk wilayah keputusan yang betul dibentangkan di bawah. Sistem kekangan baharu mewakili dua masalah tambahan yang perlu diselesaikan secara bebas antara satu sama lain. Mari kita selesaikan masalah pengaturcaraan integer untuk kawasan kiri poligon penyelesaian. Hasil daripada penyelesaian, rancangan optimum untuk masalah itu didapati: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Pelan ini memenuhi syarat bahawa pembolehubah dalam masalah adalah integer dan boleh diterima sebagai pelan rujukan optimum untuk masalah pengaturcaraan linear integer asal. Tidak ada gunanya menyelesaikan kawasan penyelesaian yang betul. Rajah di bawah menunjukkan kemajuan penyelesaian masalah pengaturcaraan linear integer dalam bentuk pokok. Kemajuan menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear integer menggunakan kaedah Gomori. Dalam banyak aplikasi praktikal, masalah pengaturcaraan integer di mana sistem ketaksamaan linear dan bentuk linear diberikan adalah sangat menarik. Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian integer kepada sistem (1), yang meminimumkan fungsi objektif F, dan semua pekali adalah integer. Salah satu kaedah untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan integer telah dicadangkan oleh Gomori. Idea kaedah ini adalah menggunakan kaedah pengaturcaraan linear berterusan, khususnya, kaedah simplex. 1) Menggunakan kaedah simplex, penyelesaian kepada masalah (1), (2) ditentukan, yang mana keperluan untuk penyelesaian integer dikeluarkan; jika penyelesaian ternyata menjadi integer, maka penyelesaian yang dikehendaki untuk masalah integer juga akan ditemui; 2) Jika tidak, jika sesetengah koordinat bukan integer, penyelesaian yang terhasil kepada masalah diperiksa untuk kemungkinan kewujudan penyelesaian integer (kehadiran titik integer dalam polyhedron yang boleh diterima): jika dalam mana-mana baris dengan sebutan bebas pecahan, semua pekali lain berubah menjadi integer, maka tiada integer atau titik dalam polyhedron yang boleh diterima dan masalah pengaturcaraan integer tidak mempunyai penyelesaian; Jika tidak, kekangan linear tambahan diperkenalkan, yang memotong sebahagian daripada polihedron yang boleh diterima yang tidak menjanjikan untuk mencari penyelesaian kepada masalah pengaturcaraan integer; 3) Untuk membina kekangan linear tambahan, pilih baris ke-1 dengan sebutan bebas pecahan dan tulis kekangan tambahan di mana dan masing-masing merupakan bahagian pecahan pekali dan bebas ahli. Mari kita perkenalkan pembolehubah tambahan ke dalam kekangan (3): Mari kita tentukan pekali dan termasuk dalam kekangan (4): di mana dan adalah integer terdekat dari bawah untuk dan masing-masing. Gomori membuktikan bahawa bilangan terhingga langkah serupa membawa kepada masalah pengaturcaraan linear yang penyelesaiannya adalah integer dan, oleh itu, yang dikehendaki. Penyelesaian: Mari kita bawa sistem kekangan linear dan fungsi matlamat kepada bentuk kanonik: Mari kita tentukan penyelesaian optimum kepada sistem kekangan linear, membuang keadaan integer buat sementara waktu. Kami menggunakan kaedah simplex untuk ini. Di bawah, secara berurutan dalam jadual, penyelesaian asal masalah dibentangkan, dan transformasi jadual asal diberikan untuk mendapatkan penyelesaian optimum kepada masalah: Menyelesaikan masalah Boolean LP menggunakan kaedah Balazs. Cipta versi anda sendiri untuk masalah pengaturcaraan linear integer dengan pembolehubah Boolean, dengan mengambil kira peraturan berikut: masalah menggunakan sekurang-kurangnya 5 pembolehubah, sekurang-kurangnya 4 kekangan, pekali kekangan dan fungsi objektif dipilih secara sewenang-wenangnya, tetapi dalam keadaan sedemikian cara yang sistem kekangan adalah serasi. Tugasnya adalah untuk menyelesaikan LCLP dengan pembolehubah Boolean menggunakan algoritma Balazs dan menentukan pengurangan kerumitan pengiraan berhubung dengan menyelesaikan masalah menggunakan kaedah carian menyeluruh. Pelaksanaan sekatan nilai F Had penapisan: Penentuan pengurangan usaha pengiraan Penyelesaian kepada masalah menggunakan kaedah carian menyeluruh ialah 6*25=192 ungkapan yang dikira. Penyelesaian kepada masalah menggunakan kaedah Balazs ialah 3*6+(25-3)=47 ungkapan yang dikira. Jumlah pengurangan dalam kerumitan pengiraan berhubung dengan penyelesaian masalah menggunakan kaedah carian menyeluruh ialah: Kesimpulan Proses mereka bentuk sistem maklumat yang melaksanakan teknologi maklumat baharu sentiasa diperbaiki. Tumpuan jurutera sistem semakin pada sistem yang kompleks, menjadikannya sukar untuk menggunakan model fizikal dan meningkatkan kepentingan model matematik dan simulasi mesin sistem. Simulasi mesin telah menjadi alat yang berkesan untuk mengkaji dan mereka bentuk sistem yang kompleks. Perkaitan model matematik terus meningkat disebabkan oleh fleksibilitinya, kecukupan kepada proses sebenar, dan kos pelaksanaan yang rendah berdasarkan PC moden. Semakin banyak peluang diberikan kepada pengguna, iaitu pakar dalam pemodelan sistem menggunakan teknologi komputer. Penggunaan pemodelan amat berkesan pada peringkat awal mereka bentuk sistem automatik, apabila kos keputusan yang salah adalah paling ketara. Alat pengkomputeran moden telah memungkinkan untuk meningkatkan kerumitan model yang digunakan dalam kajian sistem dengan ketara, ia telah menjadi mungkin untuk membina model gabungan, analisis dan simulasi yang mengambil kira keseluruhan pelbagai faktor yang berlaku dalam sistem sebenar, i.e. , penggunaan model yang lebih memadai dengan fenomena yang dikaji. kesusasteraan: 1. Lyashchenko I.N. Pengaturcaraan linear dan bukan linear / I.N. Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. - K.: "Sekolah Tinggi", 1975, 372 hlm. 2. Garis panduan untuk menyelesaikan projek kursus dalam disiplin "Matematik Gunaan" untuk pelajar khusus "Sistem dan Rangkaian Komputer" bentuk pengajian sepenuh masa dan separuh masa / Disusun oleh: I.A. Balakireva, A.V Rumah Penerbitan, 2003. - 15 p. 3. Garis panduan untuk mengkaji disiplin "Matematik Gunaan", bahagian "Kaedah carian global dan pengecilan satu dimensi" / Comp. A.V. Skatkov, I.A. Balakireva, L.A. Litvinova - Sevastopol: SevGTU Publishing House, 2000. - 31 p. 4. Garis panduan untuk mempelajari disiplin "Matematik Gunaan" untuk pelajar bahagian "Sistem dan Rangkaian Komputer" khusus "Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear integer" untuk pendidikan sepenuh masa dan sambilan / Disusun oleh: I.A. Balakireva, A.V : Rumah Penerbitan SevNTU, 2000. - 13 p. 5. Akulich I.L. Pengaturcaraan matematik dalam contoh dan masalah: 6. Buku teks elaun pelajar ekonomi. pakar. universiti.-M.: Lebih tinggi. sekolah, 1986.- 319 p., sakit. 7. Andronov S.A. Kaedah reka bentuk yang optimum: Teks kuliah / SPbSUAP. St. Petersburg, 2001. 169 p.: sakit. Algoritma untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan kaedah simpleks. Pembinaan model matematik masalah pengaturcaraan linear. Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dalam Excel. Mencari keuntungan dan pelan pengeluaran yang optimum. kerja kursus, ditambah 03/21/2012 Penyelesaian masalah grafik. Melukis model matematik. Menentukan nilai maksimum fungsi objektif. Penyelesaian dengan kaedah simpleks dengan asas buatan bagi masalah pengaturcaraan linear kanonik. Memeriksa optimum penyelesaian. ujian, ditambah 04/05/2016 Asas teori pengaturcaraan linear. Masalah pengaturcaraan linear, kaedah penyelesaian. Analisis penyelesaian optimum. Penyelesaian masalah pengaturcaraan linear indeks tunggal. Penyataan masalah dan kemasukan data. Pembinaan model dan peringkat penyelesaian. kerja kursus, ditambah 12/09/2008 Pembinaan model matematik. Pemilihan, justifikasi dan penerangan kaedah untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear langsung menggunakan kaedah simpleks, menggunakan jadual simpleks. Perumusan dan penyelesaian masalah dwi. Analisis sensitiviti model. kerja kursus, ditambah 31/10/2014 Pembinaan model matematik untuk mendapatkan keuntungan maksimum untuk perusahaan, penyelesaian grafik masalah. Menyelesaikan masalah menggunakan alat tambah SOLVER. Analisis perubahan dalam rizab sumber. Menentukan had untuk menukar pekali fungsi objektif. kerja kursus, ditambah 17/12/2014 Pengaturcaraan matematik. Pengaturcaraan linear. Masalah pengaturcaraan linear. Kaedah grafik untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear. Rumusan ekonomi masalah pengaturcaraan linear. Pembinaan model matematik. kerja kursus, ditambah 10/13/2008 Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dengan kaedah grafik, menyemaknya dalam MS Excel. Analisis struktur dalaman menyelesaikan masalah dalam program. Pengoptimuman rancangan pengeluaran. Menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks. Sistem beratur berbilang saluran. ujian, ditambah 05/02/2012 Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan kaedah simpleks: pernyataan masalah, pembinaan model ekonomi dan matematik. Menyelesaikan masalah pengangkutan menggunakan kaedah berpotensi: membina pelan rujukan awal, menentukan nilai optimumnya. ujian, ditambah 04/11/2012 Pernyataan masalah pengaturcaraan tak linear. Penentuan titik pegun dan jenisnya. Pembinaan garis aras, graf tiga dimensi fungsi objektif dan kekangan. Penyelesaian grafik dan analisis masalah. Manual pengguna dan gambarajah algoritma. kerja kursus, tambah 17/12/2012 Analisis penyelesaian kepada masalah pengaturcaraan linear. Kaedah simpleks menggunakan jadual simpleks. Memodelkan dan menyelesaikan masalah LP pada komputer. Tafsiran ekonomi tentang penyelesaian optimum kepada masalah. Rumusan matematik masalah pengangkutan. Bahagikan baris ketiga dengan elemen utama bersamaan dengan 5, kita mendapat baris ketiga jadual baharu. Lajur asas sepadan dengan lajur unit. Pengiraan nilai jadual lain: “BP – Pelan Asas”: ; "x1": "x5": Nilai rentetan indeks adalah bukan negatif, oleh itu kami memperoleh penyelesaian optimum: , ; Jawapan: keuntungan maksimum daripada penjualan produk perkilangan, bersamaan dengan 160/3 unit, dipastikan dengan pengeluaran hanya produk jenis kedua dalam jumlah 80/9 unit. Masalah pengaturcaraan tak linear diberikan. Cari maksimum dan minimum fungsi objektif menggunakan kaedah analisis grafik. Karang fungsi Lagrange dan tunjukkan bahawa pada titik ekstrem keadaan yang mencukupi untuk minimum (maksimum) dipenuhi. Kerana digit terakhir sifir ialah 8, maka A=2; B=5. Kerana digit terakhir sifir ialah 1, maka anda harus memilih tugasan No. 1. Penyelesaian: 1) Mari kita lukiskan kawasan yang ditakrifkan oleh sistem ketaksamaan. Kawasan ini ialah segi tiga ABC dengan koordinat bucu: A(0; 2); B(4; 6) dan C(16/3; 14/3). Tahap fungsi objektif ialah bulatan dengan pusat pada titik (2; 5). Kuasa dua jejari akan menjadi nilai fungsi objektif. Kemudian rajah menunjukkan bahawa nilai minimum fungsi objektif dicapai pada titik H, maksimum - sama ada pada titik A atau pada titik C. Nilai fungsi objektif pada titik A: ; Nilai fungsi objektif pada titik C: ; Ini bermakna nilai maksimum fungsi dicapai pada titik A(0; 2) dan bersamaan dengan 13. Mari cari koordinat titik H. Untuk melakukan ini, pertimbangkan sistem: Garis adalah tangen kepada bulatan jika persamaan mempunyai penyelesaian yang unik. Persamaan kuadratik mempunyai penyelesaian unik jika diskriminasi ialah 0. 2) Mari kita susun fungsi Lagrange untuk mencari penyelesaian minimum: Pada x 1
=2.5;
x 2
=4.5
kita mendapatkan: Sistem ini mempunyai penyelesaian di , i.e. syarat yang mencukupi untuk ekstrem dipenuhi. Mari kita susun fungsi Lagrange untuk mencari penyelesaian maksimum: Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem: Pada x 1
=0;
x 2
=2
kita mendapatkan: Sistem ini juga mempunyai penyelesaian, i.e. syarat yang mencukupi untuk ekstrem dipenuhi. Jawapan: minimum fungsi objektif dicapai apabila Dua perusahaan diperuntukkan dana dalam jumlah tersebut d unit. Apabila memperuntukkan perusahaan pertama untuk setahun x unit dana ia menyediakan pendapatan k 1
x unit, dan apabila diperuntukkan kepada perusahaan kedua y unit dana, ia memberikan pendapatan k 1
y unit. Baki dana pada akhir tahun untuk perusahaan pertama adalah sama dengan nx, dan untuk yang kedua saya. Bagaimana untuk mengagihkan semua dana selama 4 tahun supaya jumlah pendapatan adalah paling besar? Selesaikan masalah menggunakan kaedah pengaturcaraan dinamik. i=8, k=1. A=2200; k 1 =6; k 2 =1; n=0.2; m=0.5. Penyelesaian: Kami membahagikan keseluruhan tempoh 4 tahun kepada 4 peringkat, setiap satu sama dengan satu tahun. Mari kita nombor peringkat bermula dari tahun pertama. Biarkan X k dan Y k sebagai dana yang diperuntukkan masing-masing kepada perusahaan A dan B pada peringkat ke-k. Kemudian jumlah X k + Y k = a k ialah jumlah keseluruhan dana yang digunakan pada peringkat k – itu dan baki daripada peringkat sebelumnya k – 1. pada peringkat pertama, semua dana yang diperuntukkan digunakan dan 1 = 2200 unit . pendapatan yang akan diterima pada peringkat k – itu, dengan peruntukan unit X k dan Y k ialah 6X k + 1Y k. biarkan pendapatan maksimum yang diterima pada peringkat terakhir bermula dari k – peringkat itu menjadi f k (a k) unit. Mari kita tuliskan persamaan Bellman berfungsi yang menyatakan prinsip optimum: walau apa pun keadaan awal dan penyelesaian awal, penyelesaian berikutnya mestilah optimum berkenaan dengan keadaan yang diperoleh hasil daripada keadaan awal: Untuk setiap peringkat anda perlu memilih nilai X k, dan nilai Yk=ak- Xk. Dengan mengambil kira perkara ini, kita akan mendapati pendapatan pada peringkat ke-k: Persamaan fungsi Bellman ialah: Mari kita lihat semua peringkat, bermula dengan yang terakhir. (memandangkan maksimum fungsi linear dicapai pada penghujung segmen pada x 4 = a 4);
Dokumen yang serupa
;
; 
;
; 
.
.
Tugasan No. 2
ó
ó 
Kemudian 
; ; 
- nilai minimum fungsi.
ó 
ó 
ó 
; ; maksimum fungsi objektif dicapai pada 
; .
Tugasan No. 3
