Rumah Pencegahan Segi empat tepat daripada trinomial kuadratik. Pemfaktoran polinomial

Segi empat tepat daripada trinomial kuadratik. Pemfaktoran polinomial

Dalam pelajaran ini, kita akan mengingati semua kaedah pemfaktoran polinomial yang telah dipelajari sebelumnya dan mempertimbangkan contoh aplikasinya, sebagai tambahan, kita akan mengkaji kaedah baru- kaedah mengenal pasti segi empat sama lengkap dan mempelajari cara mengaplikasikannya dalam menyelesaikan pelbagai masalah.

Subjek:Pemfaktoran polinomial

Pelajaran:Pemfaktoran polinomial. Kaedah untuk memilih petak lengkap. Gabungan kaedah

Mari kita ingat kaedah asas pemfaktoran polinomial yang telah dikaji sebelum ini:

Kaedah meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, iaitu faktor yang hadir dalam semua sebutan polinomial. Mari lihat contoh:

Ingat bahawa monomial ialah hasil darab kuasa dan nombor. Dalam contoh kami, kedua-dua istilah mempunyai beberapa unsur yang sama dan serupa.

Jadi, mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

;

Biar kami ingatkan anda bahawa dengan mendarabkan faktor yang dikeluarkan dengan kurungan, anda boleh menyemak ketepatan faktor yang dikeluarkan.

Kaedah pengelompokan. Ia tidak selalu mungkin untuk mengekstrak faktor sepunya dalam polinomial. Dalam kes ini, anda perlu membahagikan ahlinya kepada kumpulan sedemikian rupa sehingga dalam setiap kumpulan anda boleh mengambil faktor yang sama dan cuba memecahkannya supaya selepas mengambil faktor dalam kumpulan, faktor yang sama muncul dalam keseluruhan ungkapan, dan anda boleh meneruskan penguraian. Mari lihat contoh:

Mari kumpulkan penggal pertama dengan yang keempat, yang kedua dengan yang kelima, dan yang ketiga dengan yang keenam:

Mari kita ambil faktor biasa dalam kumpulan:

Ungkapan itu kini mempunyai faktor yang sama. Mari keluarkan:

Aplikasi rumus pendaraban yang disingkatkan. Mari lihat contoh:

;

Mari tulis ungkapan secara terperinci:

Jelas sekali, kita mempunyai formula untuk perbezaan kuasa dua, kerana ia adalah hasil tambah kuasa dua dua ungkapan dan hasil darabnya ditolak daripadanya. Mari gunakan formula:

Hari ini kita akan mempelajari kaedah lain - kaedah memilih persegi lengkap. Ia adalah berdasarkan formula kuasa dua jumlah dan kuasa dua perbezaan. Mari kita ingatkan mereka:

Formula untuk kuasa dua jumlah (perbezaan);

Keistimewaan formula ini ialah ia mengandungi petak dua ungkapan dan hasil gandaannya. Mari lihat contoh:

Mari kita tulis ungkapan:

Jadi, ungkapan pertama ialah , dan yang kedua ialah .

Untuk mencipta formula bagi kuasa dua jumlah atau perbezaan, dua kali hasil darab ungkapan tidak mencukupi. Ia perlu ditambah dan ditolak:

Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah itu:

Mari kita ubah ungkapan yang terhasil:

Mari kita gunakan formula untuk perbezaan kuasa dua, ingat bahawa perbezaan kuasa dua dua ungkapan ialah hasil darab dan hasil tambah perbezaannya:

Jadi, kaedah ini Pertama sekali, adalah perlu untuk mengenal pasti ungkapan a dan b yang kuasa dua, iaitu, untuk menentukan ungkapan mana yang kuasa dua dalam contoh ini. Selepas ini, anda perlu menyemak kehadiran produk berganda dan jika ia tidak ada, kemudian tambah dan tolak, ini tidak akan mengubah maksud contoh, tetapi polinomial boleh difaktorkan menggunakan formula untuk kuasa dua jumlah atau perbezaan dan perbezaan kuasa dua, jika boleh.

Mari kita beralih kepada penyelesaian contoh.

Contoh 1 - pemfaktoran:

Mari cari ungkapan yang kuasa dua:

Mari kita tuliskan apakah produk berganda mereka:

Mari tambah dan tolak dua kali ganda hasil darab:

Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah dan berikan yang serupa:

Mari kita tulis menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Contoh 2 - selesaikan persamaan:

;

Di sebelah kiri persamaan ialah trinomial. Anda perlu memasukkannya ke dalam faktor. Kami menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Kami mempunyai kuasa dua ungkapan pertama dan hasil gandaan, kuasa dua ungkapan kedua tiada, mari tambah dan tolaknya:

Mari kita lipat segi empat sama lengkap dan berikan istilah yang serupa:

Mari gunakan formula perbezaan kuasa dua:

Jadi kita mempunyai persamaan

Kita tahu bahawa produk adalah sama dengan sifar hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Mari kita buat persamaan berikut berdasarkan ini:

Mari kita selesaikan persamaan pertama:

Mari kita selesaikan persamaan kedua:

Jawapan: atau

;

Kami meneruskan sama seperti contoh sebelumnya - pilih kuasa dua perbezaan.

x panggil

1.2.3. Menggunakan identiti pendaraban yang disingkatkan

Contoh. Faktor x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Memfaktorkan polinomial menggunakan puncanya

Teorem. Biarkan polinomial P x mempunyai punca x 1 . Maka polinomial ini boleh difaktorkan seperti berikut: P x x x 1 S x , di mana S x ialah beberapa polinomial yang darjahnya kurang satu

nilai secara bergilir-gilir ke dalam ungkapan untuk P x. Kami memperoleh bahawa apabila x 2 anda-

ungkapan itu akan bertukar kepada 0, iaitu, P 2 0, yang bermaksud x 2 ialah punca berbilang-

ahli. Bahagikan polinomial P x dengan x 2 .

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Memilih segi empat sama lengkap

Kaedah untuk memilih petak lengkap adalah berdasarkan penggunaan formula: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Mengasingkan segi empat sama lengkap ialah transformasi identiti di mana trinomial tertentu diwakili sebagai b 2 jumlah atau perbezaan kuasa dua binomial dan beberapa ungkapan berangka atau abjad.

Trinomial segi empat sama berkenaan dengan pembolehubah memberikan ungkapan bentuk

ax 2 bx c , di mana a , b dan c diberi nombor, dan a 0 .

Mari kita ubah sumbu trinomial kuadratik 2 bx c seperti berikut.

x2:

pekali

Kemudian kami mewakili ungkapan b x sebagai 2b x (dua kali ganda hasil darab

x ): a x

Kepada ungkapan dalam kurungan kita tambah dan tolak nombor daripadanya

yang merupakan kuasa dua bagi suatu nombor

Hasilnya kami mendapat:

Perasan sekarang

Kita mendapatkan

4a 2

Contoh. Pilih segi empat sama yang lengkap.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Polinomial dalam beberapa pembolehubah

Polinomial dalam beberapa pembolehubah, seperti polinomial dalam satu pembolehubah, boleh ditambah, didarab dan dinaikkan kepada kuasa semula jadi.

Transformasi identiti penting bagi polinomial dalam beberapa pembolehubah ialah pemfaktoran. Di sini, kaedah pemfaktoran sedemikian digunakan sebagai meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, mengumpulkan, menggunakan identiti pendaraban singkatan, mengasingkan segi empat sama lengkap, dan memperkenalkan pembolehubah tambahan.

1. Faktorkan polinomial P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Faktor P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Mari kita gunakan kaedah kumpulan

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Faktor P x ,y x 4 4y 4 . Mari pilih petak lengkap:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Sifat ijazah dengan mana-mana eksponen rasional

Ijazah dengan mana-mana eksponen rasional mempunyai sifat berikut:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

di mana a 0;b 0;r 1;r 2 ialah nombor rasional arbitrari.

1. Darab 8

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Memfaktorkan

a 2x 3

1.6. Latihan untuk dilakukan sendiri

1. Lakukan tindakan menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan. 1) a 52 ;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3 ;

3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Kira menggunakan identiti pendaraban yang disingkatkan:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Buktikan identiti:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Faktorkan polinomial berikut:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Kira dengan cara yang paling mudah:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Cari hasil bagi dan baki polinomial P x dengan polinomialQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Buktikan bahawa polinomial x 2 2x 2 tidak mempunyai punca sebenar.

8. Cari punca polinomial:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktor:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Selesaikan persamaan dengan mengasingkan segi empat sama lengkap:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Cari maksud ungkapan:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Kira:

16 0,25

16 0,25

Seperti yang telah saya nyatakan, dalam kalkulus kamiran tidak ada formula mudah untuk menyepadukan pecahan. Oleh itu, terdapat trend yang menyedihkan: semakin canggih pecahan, semakin sukar untuk mencari kamirannya. Dalam hal ini, anda perlu menggunakan pelbagai helah, yang kini saya akan beritahu anda. Pembaca yang bersedia boleh segera memanfaatkannya isi kandungan:

  • Kaedah memasukkan tanda pembezaan bagi pecahan mudah

Kaedah penukaran pengangka tiruan

Contoh 1

Dengan cara ini, kamiran yang dianggap juga boleh diselesaikan dengan perubahan kaedah pembolehubah, menandakan , tetapi menulis penyelesaian akan lebih lama.

Contoh 2

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Perlu diingatkan bahawa kaedah penggantian pembolehubah tidak lagi berfungsi di sini.

Perhatian, penting! Contoh No. 1, 2 adalah tipikal dan kerap berlaku. Khususnya, kamiran sedemikian sering timbul semasa penyelesaian kamiran lain, khususnya, apabila menyepadukan fungsi tidak rasional (akar).

Teknik yang dipertimbangkan juga berfungsi dalam kes itu jika darjah tertinggi pengangka lebih besar daripada darjah tertinggi penyebut.

Contoh 3

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Kami mula memilih pengangka.

Algoritma untuk memilih pengangka adalah seperti ini:

1) Dalam pengangka saya perlu mengatur , tetapi ada . Apa nak buat? Saya masukkan dalam kurungan dan darab dengan: .

2) Sekarang saya cuba membuka kurungan ini, apa yang berlaku? . Hmm... itu lebih baik, tetapi pada mulanya tiada dua dalam pengangka. Apa nak buat? Anda perlu mendarab dengan:

3) Saya buka kurungan semula: . Dan inilah kejayaan pertama! Ternyata betul! Tetapi masalahnya ialah istilah tambahan telah muncul. Apa nak buat? Untuk mengelakkan ungkapan daripada berubah, saya mesti menambah yang sama pada pembinaan saya:
. Kehidupan menjadi lebih mudah. Adakah mungkin untuk menyusun semula dalam pengangka?

4) Boleh. Mari kita cuba: . Buka kurungan penggal kedua:
. Maaf, tetapi dalam langkah sebelumnya saya sebenarnya telah , tidak . Apa nak buat? Anda perlu mendarab sebutan kedua dengan:

5) Sekali lagi, untuk menyemak, saya membuka kurungan dalam penggal kedua:
. Kini ia adalah perkara biasa: diperoleh daripada pembinaan akhir titik 3! Tetapi sekali lagi terdapat "tetapi", istilah tambahan telah muncul, yang bermaksud saya mesti menambah ungkapan saya:

Jika semuanya dilakukan dengan betul, maka apabila kita membuka semua kurungan kita harus mendapatkan pengangka asal bagi integrand. Kami menyemak:
Penutup.

Oleh itu:

sedia. Dalam istilah terakhir, saya menggunakan kaedah memasukkan fungsi di bawah pembezaan.

Jika kita mencari terbitan jawapan dan mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa, maka kita akan mendapat fungsi integrand asal dengan tepat. Kaedah penguraian yang dipertimbangkan menjadi jumlah tidak lebih daripada tindakan terbalik membawa ungkapan kepada penyebut biasa.

Algoritma untuk memilih pengangka dalam contoh sedemikian paling baik dilakukan dalam bentuk draf. Dengan beberapa kemahiran ia akan berfungsi secara mental. Saya masih ingat kes pemecahan rekod semasa saya melakukan pemilihan untuk kuasa ke-11, dan pengembangan pengangka mengambil hampir dua baris Verd.

Contoh 4

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Kaedah memasukkan tanda pembezaan bagi pecahan mudah

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan jenis pecahan seterusnya.
, , , (pekali dan tidak sama dengan sifar).

Malah, beberapa kes dengan arcsine dan arctangent telah disebutkan dalam pelajaran Kaedah perubahan pembolehubah dalam kamiran tak tentu. Contoh sedemikian diselesaikan dengan memasukkan fungsi di bawah tanda pembezaan dan selanjutnya menyepadukan menggunakan jadual. Ini satu lagi contoh tipikal dengan logaritma panjang dan tinggi:

Contoh 5

Contoh 6

Di sini adalah dinasihatkan untuk mengambil jadual kamiran dan melihat formula dan Bagaimana transformasi berlaku. Catatan, bagaimana dan mengapa Petak dalam contoh ini diserlahkan. Khususnya, dalam Contoh 6 kita perlu mewakili penyebut terlebih dahulu dalam bentuk , kemudian bawanya di bawah tanda pembezaan. Dan semua ini perlu dilakukan untuk menggunakan formula jadual standard .

Mengapa lihat, cuba selesaikan sendiri contoh No. 7, 8, terutamanya kerana ia agak pendek:

Contoh 7

Contoh 8

Cari kamiran tak tentu:

Jika anda juga berjaya menyemak contoh ini, maka sangat dihormati - kemahiran pembezaan anda sangat baik.

Kaedah pemilihan persegi penuh

Kamiran bentuk (pekali dan tidak sama dengan sifar) diselesaikan kaedah pengekstrakan persegi lengkap, yang telah muncul dalam pelajaran Transformasi geometri graf.

Sebenarnya, kamiran sedemikian berkurangan kepada salah satu daripada empat kamiran jadual yang baru kita lihat. Dan ini dicapai menggunakan formula pendaraban singkatan biasa:

Formula digunakan dengan tepat ke arah ini, iaitu, idea kaedah ini adalah untuk menyusun ungkapan secara buatan sama ada dalam penyebut, dan kemudian menukarnya dengan sewajarnya kepada salah satu.

Contoh 9

Cari kamiran tak tentu

ini contoh paling mudah, di mana dengan istilah – pekali unit(dan bukan beberapa nombor atau tolak).

Mari kita lihat penyebutnya, di sini semuanya jelas berpunca daripada kebetulan. Mari mulakan menukar penyebut:

Jelas sekali, anda perlu menambah 4. Dan, supaya ungkapan itu tidak berubah, tolak empat yang sama:

Sekarang anda boleh menggunakan formula:

Selepas penukaran selesai SENTIASA adalah dinasihatkan untuk melaksanakan lejang terbalik: , semuanya baik-baik saja, tiada kesilapan.

Reka bentuk akhir contoh yang dipersoalkan sepatutnya kelihatan seperti ini:

sedia. Meringkaskan "freebie" fungsi kompleks di bawah tanda pembezaan: , pada dasarnya, boleh diabaikan

Contoh 10

Cari kamiran tak tentu:

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, jawapannya ada di akhir pelajaran

Contoh 11

Cari kamiran tak tentu:

Apa yang perlu dilakukan apabila terdapat tolak di hadapan? Dalam kes ini, kita perlu mengeluarkan tolak daripada kurungan dan menyusun terma dalam susunan yang kita perlukan: . berterusan(“dua” dalam dalam kes ini) jangan sentuh!

Sekarang kita tambah satu dalam kurungan. Menganalisis ungkapan, kami sampai pada kesimpulan bahawa kami perlu menambah satu di luar kurungan:

Di sini kita mendapat formula, gunakan:

SENTIASA Kami menyemak draf:
, yang merupakan perkara yang perlu disemak.

Contoh bersih kelihatan seperti ini:

Menjadikan tugas lebih sukar

Contoh 12

Cari kamiran tak tentu:

Di sini istilah itu bukan lagi pekali unit, tetapi "lima".

(1) Jika terdapat pemalar pada, maka kami segera mengeluarkannya daripada kurungan.

(2) Secara umum, adalah lebih baik untuk memindahkan pemalar ini ke luar kamiran supaya ia tidak menghalangnya.

(3) Jelas sekali, semuanya akan datang kepada formula. Kita perlu memahami istilah itu, iaitu, dapatkan "dua"

(4) Ya, . Ini bermakna kita menambah pada ungkapan dan menolak pecahan yang sama.

(5) Sekarang pilih petak lengkap. DALAM kes am kita juga perlu mengira , tetapi di sini kita mempunyai formula untuk logaritma panjang , dan tiada gunanya melakukan tindakan itu; mengapa akan menjadi jelas di bawah.

(6) Sebenarnya, kita boleh menggunakan formula tersebut , hanya bukannya "X" yang kita ada , yang tidak menafikan kesahihan kamiran jadual. Tegasnya, satu langkah terlepas - sebelum penyepaduan, fungsi itu sepatutnya dimasukkan di bawah tanda pembezaan: , tetapi, seperti yang telah saya nyatakan berulang kali, ini sering diabaikan.

(7) Dalam jawapan di bawah akar, adalah dinasihatkan untuk mengembangkan semua kurungan kembali:

Sukar? Ini bukan bahagian yang paling sukar dalam kalkulus kamiran. Walaupun, contoh yang sedang dipertimbangkan tidak begitu rumit kerana ia memerlukan teknik pengkomputeran yang baik.

Contoh 13

Cari kamiran tak tentu:

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Jawapannya ada di akhir pelajaran.

Terdapat kamiran dengan akar dalam penyebut, yang, menggunakan penggantian, dikurangkan kepada kamiran jenis yang dipertimbangkan; anda boleh membaca tentang mereka dalam artikel Kamiran kompleks, tetapi ia direka untuk pelajar yang sangat bersedia.

Menyertakan pengangka di bawah tanda pembezaan

Ini adalah bahagian akhir pelajaran, bagaimanapun, kamiran jenis ini agak biasa! Jika anda penat, mungkin lebih baik membaca esok? ;)

Kamiran yang akan kami pertimbangkan adalah serupa dengan kamiran perenggan sebelumnya, mereka mempunyai bentuk: atau (pekali , dan tidak sama dengan sifar).

Iaitu, dalam pengangka yang kita ada fungsi linear. Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tersebut?

Kalkulator dalam talian.
Mengasingkan kuasa dua binomial dan memfaktorkan trinomial segi empat sama.

Program matematik ini membezakan binomial segi empat sama dengan trinomial segi empat sama, iaitu melakukan transformasi seperti:
\(ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+p)^2+q \) dan memfaktorkan trinomial kuadratik: \(ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+n)(x+m) \)

Itu. masalah bermuara kepada mencari nombor \(p, q\) dan \(n, m\)

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian.

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah Menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan adik-adik anda sendiri, manakala tahap pendidikan dalam bidang penyelesaian masalah meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan trinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik

Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.
Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dsb.

Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan.
Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk perpuluhan, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam perpuluhan pecahan boleh dipisahkan daripada keseluruhan dengan sama ada titik atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh masuk perpuluhan seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan dengan ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Keputusan: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.
Contohnya: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Contoh penyelesaian terperinci

Mengasingkan kuasa dua binomial.$$ ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \kanan)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Jawapan:$$2x^2+2x-4 = 2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Pemfaktoran.$$ ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kiri(x^2+x-2 \kanan) = $$
$$ 2 \kiri(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x \kiri(x +2 \kanan) -1 \kiri(x +2 \kanan ) \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$ Jawapan:$$2x^2+2x-4 = 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$

buat keputusan

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...


Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.



Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Mengasingkan kuasa dua binomial daripada trinomial segi empat sama

Jika trinomial ax 2 +bx+c diwakili sebagai a(x+p) 2 +q, dengan p dan q ialah nombor nyata, maka kita katakan bahawa daripada segi empat sama trinomial, segi empat sama binomial diserlahkan.

Daripada trinomial 2x 2 +12x+14 kami mengekstrak kuasa dua binomial itu.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Untuk melakukan ini, bayangkan 6x sebagai hasil darab 2*3*x, dan kemudian tambah dan tolak 3 2. Kita mendapatkan:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Itu. Kami ekstrak binomial segi empat sama daripada trinomial segi empat sama, dan menunjukkan bahawa:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Memfaktorkan trinomial kuadratik

Jika kapak trinomial segi empat sama 2 +bx+c diwakili dalam bentuk a(x+n)(x+m), dengan n dan m ialah nombor nyata, maka operasi itu dikatakan telah dilakukan. pemfaktoran trinomial kuadratik.

Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana transformasi ini dilakukan.

Mari kita faktorkan trinomial kuadratik 2x 2 +4x-6.

Mari kita keluarkan pekali a daripada kurungan, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Mari kita ubah ungkapan dalam kurungan.
Untuk melakukan ini, bayangkan 2x sebagai perbezaan 3x-1x, dan -3 sebagai -1*3. Kita mendapatkan:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Itu. Kami memfaktorkan trinomial kuadratik, dan menunjukkan bahawa:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Ambil perhatian bahawa pemfaktoran trinomial kuadratik hanya boleh dilakukan apabila, persamaan kuadratik, sepadan dengan trinomial ini mempunyai akar.
Itu. dalam kes kami, adalah mungkin untuk memfaktorkan trinomial 2x 2 +4x-6 jika persamaan kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 mempunyai punca. Dalam proses pemfaktoran, kami menetapkan bahawa persamaan 2x 2 + 4x-6 = 0 mempunyai dua punca 1 dan -3, kerana dengan nilai ini, persamaan 2(x-1)(x+3)=0 bertukar menjadi kesamaan sebenar.

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersatu dan ujian Peperiksaan Negeri Bersatu dalam talian Permainan, teka-teki Mencatat graf fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus slanga belia Katalog sekolah Rusia Katalog institusi pendidikan menengah Rusia Katalog universiti Rusia Senarai daripada tugasan

Definisi

Ungkapan bentuk 2 x 2 + 3 x + 5 dipanggil trinomial kuadratik. Secara umum, trinomial segi empat sama ialah ungkapan bentuk a x 2 + b x + c, dengan a, b, c a, b, c ialah nombor arbitrari, dan a ≠ 0.

Pertimbangkan trinomial kuadratik x 2 - 4 x + 5. Mari kita tulis dalam bentuk ini: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Mari tambahkan 2 2 pada ungkapan ini dan tolak 2 2, kita dapatkan: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Ambil perhatian bahawa x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, jadi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformasi yang kami lakukan dipanggil “mengasingkan segi empat tepat daripada trinomial kuadratik”.

Tentukan kuasa dua sempurna daripada trinomial kuadratik 9 x 2 + 3 x + 1.

Ambil perhatian bahawa 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Kemudian `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Tambah dan tolak `(1/2)^2` kepada ungkapan yang terhasil, kita dapat

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Kami akan menunjukkan bagaimana kaedah mengasingkan kuasa dua sempurna daripada trinomial kuadratik digunakan untuk memfaktorkan trinomial segi empat sama.

Faktorkan trinomial kuadratik 4 x 2 - 12 x + 5.

Kami memilih kuasa dua sempurna daripada trinomial kuadratik: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Sekarang kita gunakan formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , kita dapat: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Faktorkan trinomial kuadratik - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Sekarang kita perhatikan bahawa 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Kami menambahkan istilah 2 2 pada ungkapan 9 x 2 - 12 x, kami dapat:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Kami menggunakan formula untuk perbezaan segi empat sama, kami mempunyai:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktorkan trinomial kuadratik 3 x 2 - 14 x - 5 .

Kami tidak boleh mewakili ungkapan 3 x 2 sebagai kuasa dua bagi beberapa ungkapan, kerana kami belum mempelajarinya di sekolah. Anda akan melalui ini kemudian, dan dalam Tugasan No. 4 kita akan mengkaji punca kuasa dua. Mari tunjukkan cara anda boleh memfaktorkan trinomial kuadratik tertentu:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Kami akan menunjukkan kepada anda cara menggunakan kaedah kuasa dua sempurna untuk mencari nilai terbesar atau terkecil bagi trinomial kuadratik.
Pertimbangkan trinomial kuadratik x 2 - x + 3. Pilih segi empat sama lengkap:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Ambil perhatian bahawa apabila `x=1/2` nilai trinomial kuadratik ialah `11/4`, dan apabila `x!=1/2` nombor positif ditambah kepada nilai `11/4`, jadi kita dapatkan nombor lebih besar daripada `11/ 4`. Oleh itu, nilai terkecil trinomial kuadratik ialah `11/4` dan ia diperoleh apabila `x=1/2`.

Cari nilai terbesar bagi trinomial kuadratik - 16 2 + 8 x + 6.

Kami memilih petak sempurna daripada trinomial kuadratik: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Apabila `x=1/4` nilai trinomial kuadratik ialah 7, dan apabila `x!=1/4` nombor positif ditolak daripada nombor 7, iaitu, kita mendapat nombor kurang daripada 7. Jadi nombor 7 adalah nilai tertinggi trinomial kuadratik, dan ia diperoleh apabila `x=1/4`.

Faktorkan pengangka dan penyebut bagi pecahan `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` dan kurangkan pecahan itu.

Perhatikan bahawa penyebut pecahan x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Mari kita memfaktorkan pengangka bagi pecahan menggunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap daripada trinomial segi empat sama. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Pecahan ini dikurangkan kepada bentuk `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` selepas pengurangan sebanyak (x - 3) kita dapat `(x+5)/(x-3 )`.

Faktorkan polinomial x 4 - 13 x 2 + 36.

Mari kita gunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap kepada polinomial ini. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Baru di tapak

>

Paling popular

© 2023. Portal perundingan pergigian.

BAHAGIAN POPULAR