Persamaan kuadratik dikaji dalam gred 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Keupayaan untuk menyelesaikannya sangat diperlukan.

Persamaan kuadratik ialah persamaan dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana pekali a, b dan c ialah nombor arbitrari, dan a ≠ 0.

Sebelum mengkaji kaedah penyelesaian khusus, ambil perhatian bahawa semua persamaan kuadratik boleh dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Mempunyai tepat satu akar;
3. Ada dua pelbagai akar.

Ini adalah perbezaan penting antara persamaan kuadratik dan persamaan linear, di mana punca sentiasa wujud dan unik. Bagaimana untuk menentukan berapa banyak punca persamaan? Terdapat perkara yang menarik untuk ini - diskriminasi.

Diskriminasi

Biarkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 diberikan. Maka diskriminasinya ialah nombor D = b 2 − 4ac.

Anda perlu tahu formula ini dengan hati. Dari mana ia datang tidak penting sekarang. Perkara lain yang penting: dengan tanda diskriminasi anda boleh menentukan berapa banyak punca persamaan kuadratik. Iaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat betul-betul satu punca;
3. Jika D > 0, akan ada dua punca.

Sila ambil perhatian: diskriminasi menunjukkan bilangan akar, dan bukan sama sekali tandanya, kerana atas sebab tertentu ramai orang percaya. Lihat contoh dan anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugasan. Berapa banyak punca persamaan kuadratik mempunyai:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Mari kita tulis pekali untuk persamaan pertama dan cari diskriminasi:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi diskriminasi adalah positif, jadi persamaan mempunyai dua punca yang berbeza. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminasi adalah negatif, tidak ada akar. Persamaan terakhir yang tinggal ialah:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminasi adalah sifar - akarnya akan menjadi satu.

Sila ambil perhatian bahawa pekali telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, ia panjang, ya, ia membosankan, tetapi anda tidak akan mencampur-adukkan kemungkinan dan membuat kesilapan bodoh. Pilih sendiri: kelajuan atau kualiti.

Dengan cara ini, jika anda memahaminya, selepas beberapa ketika anda tidak perlu menulis semua pekali. Anda akan melakukan operasi sedemikian di kepala anda. Kebanyakan orang mula melakukan ini di suatu tempat selepas 50-70 persamaan diselesaikan - secara umum, tidak begitu banyak.

Punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita beralih kepada penyelesaian itu sendiri. Jika diskriminasi D > 0, akar boleh didapati menggunakan formula:

Formula akar asas persamaan kuadratik

Apabila D = 0, anda boleh menggunakan mana-mana formula ini - anda akan mendapat nombor yang sama, yang akan menjadi jawapannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua punca. Mari cari mereka:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan itu sekali lagi mempunyai dua punca. Jom cari mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu punca. Apa-apa formula boleh digunakan. Sebagai contoh, yang pertama:

Seperti yang anda lihat dari contoh, semuanya sangat mudah. Jika anda tahu formula dan boleh mengira, tidak akan ada masalah. Selalunya, ralat berlaku apabila menggantikan pekali negatif ke dalam formula. Di sini sekali lagi, teknik yang diterangkan di atas akan membantu: lihat formula secara literal, tulis setiap langkah - dan tidak lama lagi anda akan menyingkirkan ralat.

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Ia berlaku bahawa persamaan kuadratik berbeza sedikit daripada apa yang diberikan dalam definisi. Sebagai contoh:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Adalah mudah untuk melihat bahawa persamaan ini kehilangan salah satu istilah. Persamaan kuadratik sedemikian lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang standard: mereka tidak memerlukan pengiraan diskriminasi. Jadi, mari kita perkenalkan konsep baharu:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, i.e. pekali pembolehubah x atau unsur bebas adalah sama dengan sifar.

Sudah tentu, kes yang sangat sukar adalah mungkin apabila kedua-dua pekali ini sama dengan sifar: b = c = 0. Dalam kes ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 = 0. Jelas sekali, persamaan sedemikian mempunyai punca tunggal: x = 0.

Mari kita pertimbangkan kes yang selebihnya. Biarkan b = 0, maka kita memperoleh persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 + c = 0. Mari kita ubah sedikit:

Oleh kerana punca kuasa dua aritmetik hanya wujud daripada nombor bukan negatif, kesamaan terakhir hanya masuk akal untuk (−c /a) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika dalam persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + c = 0 ketaksamaan (−c /a) ≥ 0 dipenuhi, akan ada dua punca. Formula diberikan di atas;
2. Jika (−c /a)< 0, корней нет.

Seperti yang anda lihat, diskriminasi tidak diperlukan—tiada pengiraan yang rumit sama sekali dalam persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Malah, adalah tidak perlu untuk mengingati ketaksamaan (−c /a) ≥ 0. Ia cukup untuk menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain tanda sama. Jika terdapat nombor positif, akan ada dua punca. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita lihat persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana unsur bebas adalah sama dengan sifar. Segala-galanya mudah di sini: akan sentiasa ada dua akar. Ia cukup untuk memfaktorkan polinomial:

Mengambil faktor sepunya daripada kurungan

Hasil darab adalah sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sifar. Di sinilah asal usulnya. Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa persamaan ini:

Tugasan. Selesaikan persamaan kuadratik:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Tiada akar, kerana segi empat sama tidak boleh sama dengan nombor negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Saya berharap selepas mempelajari artikel ini anda akan belajar bagaimana untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik lengkap.

Menggunakan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap."

Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita perlu mengira diskriminasi D.

D = b 2 – 4ac.

Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi ialah nombor negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi ialah nombor positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Sebagai contoh. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawapan: – 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).

Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx dan kemudian ahli percuma Dengan.

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang dan persamaan kuadratik dengan pekali genap dalam sebutan kedua, anda boleh menggunakan formula lain. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik lengkap sebutan kedua mempunyai pekali genap (b = 2k), maka anda boleh menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 adalah sama dengan satu dan persamaan itu mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaan

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3

Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini ialah nombor genap, iaitu, b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari kita cuba menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah rajah D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang.
persamaan rajah 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang anda lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula yang berbeza, kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.

Dengan program matematik ini anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminasi
- menggunakan teorem Vieta (jika boleh).

Selain itu, jawapan dipaparkan sebagai tepat, bukan anggaran.
Sebagai contoh, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\) jawapan dipaparkan dalam bentuk berikut:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ dan bukan seperti ini: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah Menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan adik-adik anda sendiri, manakala tahap pendidikan dalam bidang penyelesaian masalah meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan kemasukan polinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengan mereka.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik

Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.
Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dsb.

Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan.
Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk perpuluhan, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam perpuluhan pecahan boleh dipisahkan daripada keseluruhan dengan sama ada titik atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh masuk perpuluhan seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan dengan ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Keputusan: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.
Contohnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

buat keputusan

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadratik dan punca-puncanya. Persamaan kuadratik tidak lengkap

Setiap persamaan
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
kelihatan seperti
\(ax^2+bx+c=0, \)
di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah nombor.
Dalam persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1.4, dalam kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, dalam ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik.

Definisi.
Persamaan kuadratik dipanggil persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan \(a \neq 0 \).

Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik. Nombor a dipanggil pekali pertama, nombor b ialah pekali kedua, dan nombor c ialah sebutan bebas.

Dalam setiap persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, dengan \(a\neq 0\), kuasa terbesar pembolehubah x ialah segi empat sama. Oleh itu namanya: persamaan kuadratik.

Perhatikan bahawa persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana bahagian kirinya ialah polinomial darjah kedua.

Persamaan kuadratik di mana pekali x 2 adalah sama dengan 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadratik yang diberikan ialah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Oleh itu, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap. Dalam yang pertama b=0, dalam kedua c=0, dalam ketiga b=0 dan c=0.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
1) ax 2 +c=0, dengan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dengan \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan bagi setiap jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), sebutan bebasnya dipindahkan ke sebelah kanan dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Oleh kerana \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0\), maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 dengan \(b \neq 0 \) kembangkannya sebelah kiri oleh faktor dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tatasusunan)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(susun) \kanan. \)

Ini bermakna persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) sentiasa mempunyai dua punca.

Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0 dan oleh itu mempunyai punca tunggal 0.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di mana kedua-dua pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah bukan sifar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik dalam Pandangan umum dan sebagai hasilnya kita mendapat formula untuk akar. Formula ini kemudiannya boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Selesaikan persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0

Membahagikan kedua-dua belah dengan a, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Mari kita ubah persamaan ini dengan memilih kuasa dua binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \left(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Anak panah kanan \kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Anak panah kanan \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Anak panah kanan \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ungkapan radikal dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - diskriminator). Ia ditetapkan oleh huruf D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, menggunakan tatatanda diskriminasi, kami menulis semula formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Jelas sekali bahawa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Oleh itu, bergantung kepada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca (untuk D > 0), satu punca (untuk D = 0) atau tidak mempunyai punca (untuk D Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan ini formula, adalah dinasihatkan untuk melakukan cara berikut:
1) kira diskriminasi dan bandingkan dengan sifar;
2) jika diskriminasi adalah positif atau sama dengan sifar, maka gunakan formula akar; jika diskriminasi negatif, maka tulis bahawa tiada punca.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik yang diberi ax 2 -7x+10=0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darabnya ialah 10. Kita lihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua yang diambil daripada tanda bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Mana-mana persamaan kuadratik terkecil yang mempunyai punca mempunyai sifat ini.

Jumlah punca persamaan kuadratik di atas adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil darab punca adalah sama dengan sebutan bebas.

Itu. Teorem Vieta menyatakan bahawa punca x 1 dan x 2 bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Penerangan bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik // Saintis muda. 2016. Bil 6.1. P. 17-20..02.2019).



Projek kami adalah tentang cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Matlamat projek: belajar menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: mencari segala-galanya cara yang mungkin menyelesaikan persamaan kuadratik dan mempelajari cara menggunakannya sendiri dan memperkenalkan kaedah ini kepada rakan sekelas anda.

Apakah "persamaan kuadratik"?

Persamaan kuadratik- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, Di mana a, b, c- beberapa nombor ( a ≠ 0), x- tidak diketahui.

Nombor a, b, c dipanggil pekali persamaan kuadratik.

• a dipanggil pekali pertama;
• b dipanggil pekali kedua;
• c - ahli percuma.

Siapakah yang pertama "mencipta" persamaan kuadratik?

Beberapa teknik algebra untuk menyelesaikan persamaan linear dan kuadratik telah diketahui 4000 tahun dahulu dalam Babylon Purba. Penemuan tablet tanah liat Babylon purba, bertarikh dari suatu tempat antara 1800 dan 1600 SM, memberikan bukti terawal kajian persamaan kuadratik. Tablet yang sama mengandungi kaedah untuk menyelesaikan beberapa jenis persamaan kuadratik.

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua, walaupun pada zaman dahulu, disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan dengan kerja penggalian yang bersifat ketenteraan, juga seperti perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri.

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dibentangkan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk tentang bagaimana ia ditemui. Walaupun tahap tinggi perkembangan algebra di Babylon, teks cuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum menyelesaikan persamaan kuadratik.

Ahli matematik Babylon dari kira-kira abad ke-4 SM. menggunakan kaedah pelengkap kuasa dua untuk menyelesaikan persamaan dengan punca positif. Sekitar 300 SM Euclid datang dengan kaedah penyelesaian geometri yang lebih umum. Ahli matematik pertama yang menemui penyelesaian kepada persamaan dengan punca negatif dalam bentuk formula algebra ialah seorang saintis India. Brahmagupta(India, abad ke-7 Masihi).

Brahmagupta membentangkan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

ax2 + bx = c, a>0

Pekali dalam persamaan ini juga boleh menjadi negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita.

Pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa di India. Salah satu buku India lama mengatakan perkara berikut tentang pertandingan seperti itu: "Sebagaimana matahari gerhana bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga lelaki terpelajar akan gerhana kemuliaan dalam perhimpunan rakyat, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra.” Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.

Dalam risalah algebra Al-Khawarizmi pengelasan persamaan linear dan kuadratik diberikan. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan punca," iaitu ax2 = bx.

2) “Petak sama dengan nombor,” iaitu ax2 = c.

3) "Akar-akar adalah sama dengan nombor," iaitu ax2 = c.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," iaitu ax2 + c = bx.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor," iaitu ax2 + bx = c.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua," iaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi, yang mengelakkan penggunaan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini adalah tambah dan bukan boleh ditolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menetapkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini menggunakan teknik al-jabr dan al-mukabal. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama, Al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sehingga abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana dalam praktikal tertentu ia tidak penting dalam tugas. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap Al-Khwarizmi secara separa contoh berangka membentangkan peraturan penyelesaian dan kemudian bukti geometrinya.

Bentuk untuk menyelesaikan persamaan kuadratik mengikut model Al-Khwarizmi di Eropah mula-mula dinyatakan dalam "Book of the Abacus," yang ditulis pada tahun 1202. ahli matematik Itali Leonard Fibonacci. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru untuk menyelesaikan masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif.

Buku ini menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah daripada buku ini digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-14-17. Peraturan Am penyelesaian persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal x2 + bх = с untuk semua kemungkinan kombinasi tanda dan pekali b, c telah dirumuskan di Eropah pada tahun 1544. M. Stiefel.

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum boleh didapati daripada Viète, tetapi Viète hanya mengiktiraf punca positif. ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli antara yang pertama pada abad ke-16. Selain yang positif, akar negatif juga diambil kira. Hanya pada abad ke-17. berkat usaha Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

Mari kita lihat beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Kaedah piawai untuk menyelesaikan persamaan kuadratik daripada kurikulum sekolah:

1. Memfaktorkan bahagian kiri persamaan.
2. Kaedah untuk memilih segi empat sama lengkap.
3. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula.
4. Penyelesaian grafik persamaan kuadratik.
5. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorem Vieta.

Marilah kita memikirkan dengan lebih terperinci tentang penyelesaian persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang menggunakan teorem Vieta.

Ingat bahawa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di atas, sudah cukup untuk mencari dua nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua dengan tanda bertentangan.

Contoh.x 2 -5x+6=0

Anda perlu mencari nombor yang hasil darabnya ialah 6 dan jumlahnya ialah 5. Nombor ini ialah 3 dan 2.

Jawapan: x 1 =2, x 2 =3.

Tetapi anda juga boleh menggunakan kaedah ini untuk persamaan dengan pekali pertama tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Ambil pekali pertama dan darabkannya dengan sebutan bebas: x 2 +2x-15=0

Punca-punca persamaan ini ialah nombor yang hasil darabnya ialah - 15 dan hasil tambahnya ialah - 2. Nombor ini ialah 5 dan 3. Untuk mencari punca persamaan asal, bahagikan punca yang terhasil dengan pekali pertama.

Jawapan: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah "lempar".

Pertimbangkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0, di mana a≠0.

Mendarab kedua-dua belah dengan a, kita memperoleh persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Biarkan ax = y, dari mana x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, bersamaan dengan yang diberikan. Kami mencari puncanya untuk 1 dan 2 menggunakan teorem Vieta.

Kami akhirnya mendapat x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan kaedah ini, pekali a didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "buang". Kaedah ini digunakan apabila punca-punca persamaan boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari "buang" pekali 2 kepada sebutan bebas dan buat penggantian dan dapatkan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Mengikut teorem songsang Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Jawapan: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Sifat pekali bagi persamaan kuadratik.

Biarkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 diberikan.

1. Jika a+ b + c = 0 (iaitu hasil tambah bagi pekali persamaan ialah sifar), maka x 1 = 1.

2. Jika a - b + c = 0, atau b = a + c, maka x 1 = - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Oleh kerana a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), maka x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Jawapan: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Kerana a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), kemudian x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Jawapan: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Terdapat sifat lain bagi pekali persamaan kuadratik. tetapi penggunaannya lebih kompleks.

8. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan nomogram.

Rajah 1. Nomogram

Ini adalah kaedah lama dan kini dilupakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, diletakkan pada ms 83 koleksi: Bradis V.M. Jadual matematik empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Jadual XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z 2 + pz + q = 0. Nomogram ini membenarkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadratik, untuk menentukan punca-punca persamaan daripada pekalinya.

Skala curvilinear nomogram dibina mengikut formula (Rajah 1):

Percaya OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), daripada Rajah 1 persamaan segi tiga SAN Dan CDF kita mendapat perkadaran

yang, selepas penggantian dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan z 2 + pz + q = 0, dan surat itu z bermaksud tanda mana-mana titik pada skala melengkung.

nasi. 2 Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan punca z 1 = 8.0 dan z 2 = 1.0

Jawapan:8.0; 1.0.

2) Menggunakan nomogram, kami menyelesaikan persamaan

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bahagikan pekali persamaan ini dengan 2, kita mendapat persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0.5.

Jawapan: 4; 0.5.

9. Kaedah geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Pada asalnya, masalah ini dirumuskan seperti berikut: "Kuasa dua dan sepuluh punca adalah sama dengan 39."

Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi x, segi empat tepat dibina pada sisinya supaya sisi lain setiap satunya ialah 2.5, oleh itu luas setiap satunya ialah 2.5x. Angka yang terhasil kemudiannya dilengkapkan ke segi empat sama ABCD baharu, menambah empat petak di sudut. segi empat sama, sisi setiap satunya ialah 2.5, dan luasnya ialah 6.25

nasi. 3 Kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S segi empat sama ABCD boleh diwakili sebagai hasil tambah luas bagi: segi empat sama asal x 2, empat segi empat tepat (4∙2.5x = 10x) dan empat segi empat sama tambahan (6.25∙4 = 25), i.e. S = x 2 + 10x = 25. Menggantikan x 2 + 10x dengan nombor 39, kita dapat S = 39 + 25 = 64, yang bermaksud bahawa sisi segi empat sama ialah ABCD, i.e. segmen AB = 8. Untuk sisi x yang diperlukan bagi segi empat sama asal kita perolehi

10. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorem Bezout.

Teorem Bezout. Baki pembahagian polinomial P(x) dengan binomial x - α adalah sama dengan P(α) (iaitu, nilai P(x) pada x = α).

Jika nombor α ialah punca polinomial P(x), maka polinomial ini boleh dibahagikan dengan x -α tanpa baki.

Contoh.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Bahagikan P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; Jawapan: x1 =2, x2 =3.

Kesimpulan: Keupayaan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cepat dan rasional hanya diperlukan untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks, contohnya, persamaan rasional pecahan, persamaan darjah yang lebih tinggi, persamaan biquadratik, dan dalam persamaan trigonometri, eksponen dan logaritma sekolah tinggi. Setelah mengkaji semua kaedah yang ditemui untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kami boleh menasihati rakan sekelas kami, sebagai tambahan kepada kaedah standard, untuk menyelesaikan dengan kaedah pemindahan (6) dan menyelesaikan persamaan menggunakan sifat pekali (7), kerana ia lebih mudah diakses. kepada pemahaman.

kesusasteraan:

1. Bradis V.M. Jadual matematik empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
2. Algebra gred 8: buku teks untuk gred 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ed. ke-15, disemak. - M.: Pendidikan, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. Manual untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pendidikan, 1964.

Topik ini mungkin kelihatan sukar pada mulanya kerana ramai yang tidak begitu formula mudah. Bukan sahaja persamaan kuadratik itu sendiri mempunyai tatatanda yang panjang, tetapi punca juga ditemui melalui diskriminasi. Secara keseluruhan, tiga formula baru diperolehi. Tidak begitu mudah untuk diingati. Ini hanya mungkin selepas menyelesaikan persamaan sedemikian dengan kerap. Kemudian semua formula akan diingati sendiri.

Pandangan umum persamaan kuadratik

Di sini kami mencadangkan rakaman eksplisit mereka, apabila darjah terbesar ditulis dahulu, dan kemudian dalam susunan menurun. Selalunya terdapat situasi apabila terma tidak konsisten. Maka adalah lebih baik untuk menulis semula persamaan dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah.

Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Mereka dibentangkan dalam jadual di bawah.

Jika kita menerima tatatanda ini, semua persamaan kuadratik dikurangkan kepada tatatanda berikut.

Selain itu, pekali a ≠ 0. Biarkan formula ini ditetapkan sebagai nombor satu.

Apabila persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak punca yang akan ada dalam jawapan. Kerana satu daripada tiga pilihan sentiasa mungkin:

• penyelesaiannya akan mempunyai dua akar;
• jawapannya ialah satu nombor;
• persamaan itu tidak akan mempunyai punca sama sekali.

Dan sehingga keputusan dimuktamadkan, sukar untuk memahami pilihan mana yang akan muncul dalam kes tertentu.

Jenis-jenis rakaman persamaan kuadratik

Mungkin terdapat entri yang berbeza dalam tugasan. Mereka tidak akan sentiasa kelihatan seperti formula am persamaan kuadratik. Kadangkala ia akan kehilangan beberapa istilah. Apa yang tertulis di atas ialah persamaan lengkap. Jika anda mengalih keluar penggal kedua atau ketiga di dalamnya, anda mendapat sesuatu yang lain. Rekod ini juga dipanggil persamaan kuadratik, hanya tidak lengkap.

Selain itu, hanya istilah dengan pekali "b" dan "c" boleh hilang. Nombor "a" tidak boleh sama dengan sifar dalam apa jua keadaan. Kerana dalam kes ini formula bertukar menjadi persamaan linear. Formula untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah seperti berikut:

Jadi, hanya terdapat dua jenis; sebagai tambahan kepada yang lengkap, terdapat juga persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Biarkan formula pertama menjadi nombor dua, dan yang kedua - tiga.

Diskriminasi dan pergantungan bilangan akar pada nilainya

Anda perlu mengetahui nombor ini untuk mengira punca-punca persamaan. Ia sentiasa boleh dikira, tidak kira apa formula persamaan kuadratik itu. Untuk mengira diskriminasi, anda perlu menggunakan kesamaan yang ditulis di bawah, yang akan mempunyai nombor empat.

Selepas menggantikan nilai pekali ke dalam formula ini, anda boleh mendapatkan nombor dengan tanda yang berbeza. Jika jawapannya ya, maka jawapan kepada persamaan itu ialah dua punca yang berbeza. Pada nombor negatif punca-punca persamaan kuadratik akan hilang. Jika sama dengan sifar, hanya ada satu jawapan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap?

Malah, pertimbangan isu ini telah pun bermula. Kerana pertama anda perlu mencari diskriminasi. Selepas ditentukan bahawa terdapat punca persamaan kuadratik, dan bilangannya diketahui, anda perlu menggunakan formula untuk pembolehubah. Sekiranya terdapat dua akar, maka anda perlu menggunakan formula berikut.

Memandangkan ia mengandungi tanda "±", akan ada dua nilai. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua ialah diskriminasi. Oleh itu, formula boleh ditulis semula secara berbeza.

Formula nombor lima. Daripada rekod yang sama adalah jelas bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, maka kedua-dua punca akan mengambil nilai yang sama.

Jika menyelesaikan persamaan kuadratik belum lagi diusahakan, maka adalah lebih baik untuk menuliskan nilai semua pekali sebelum menggunakan formula diskriminasi dan pembolehubah. Nanti detik ini tidak akan menyebabkan kesukaran. Tetapi pada awalnya terdapat kekeliruan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap?

Segala-galanya lebih mudah di sini. Tidak ada keperluan untuk formula tambahan. Dan mereka yang telah ditulis untuk diskriminasi dan yang tidak diketahui tidak akan diperlukan.

Mari kita pertimbangkan dahulu persamaan tidak lengkap di nombor dua. Dalam kesamaan ini, adalah perlu untuk mengeluarkan kuantiti yang tidak diketahui daripada kurungan dan menyelesaikan persamaan linear, yang akan kekal dalam kurungan. Jawapannya akan mempunyai dua punca. Yang pertama semestinya sama dengan sifar, kerana terdapat pengganda yang terdiri daripada pembolehubah itu sendiri. Yang kedua akan diperolehi dengan menyelesaikan persamaan linear.

Persamaan nombor tiga yang tidak lengkap diselesaikan dengan memindahkan nombor dari sebelah kiri kesamaan ke kanan. Kemudian anda perlu membahagikan dengan pekali menghadap yang tidak diketahui. Yang tinggal hanyalah mengekstrak punca kuasa dua dan ingat untuk menuliskannya dua kali dengan tanda yang bertentangan.

Di bawah ialah beberapa langkah yang akan membantu anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis kesamaan yang bertukar menjadi persamaan kuadratik. Mereka akan membantu pelajar untuk mengelakkan kesilapan kerana tidak mengambil perhatian. Kelemahan ini boleh menyebabkan gred yang lemah apabila mempelajari topik yang luas "Persamaan Kuadratik (Gred Ke-8)." Selepas itu, tindakan ini tidak perlu dilakukan secara berterusan. Kerana kemahiran yang stabil akan muncul.

• Mula-mula anda perlu menulis persamaan dalam bentuk piawai. Iaitu, pertama istilah dengan darjah terbesar pembolehubah, dan kemudian - tanpa ijazah, dan terakhir - hanya nombor.

• Jika tolak muncul sebelum pekali "a", ia boleh merumitkan kerja untuk pemula yang mempelajari persamaan kuadratik. Lebih baik membuangnya. Untuk tujuan ini, semua kesaksamaan mesti didarab dengan "-1". Ini bermakna semua istilah akan menukar tanda kepada sebaliknya.

• Adalah disyorkan untuk menyingkirkan pecahan dengan cara yang sama. Cukup darab persamaan dengan faktor yang sesuai supaya penyebutnya dibatalkan.

Contoh

Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berikut:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 − 7x = 0. Ia tidak lengkap, oleh itu ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula nombor dua.

Selepas mengeluarkannya daripada kurungan, ternyata: x (x - 7) = 0.

Punca pertama mengambil nilai: x 1 = 0. Punca kedua akan didapati daripada persamaan linear: x - 7 = 0. Mudah untuk melihat bahawa x 2 = 7.

Persamaan kedua: 5x 2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula ketiga.

Selepas memindahkan 30 ke sebelah kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang anda perlu bahagikan dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawapannya ialah nombor: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Persamaan ketiga: 15 − 2х − x 2 = 0. Di sini dan seterusnya, menyelesaikan persamaan kuadratik akan bermula dengan penulisan semula dalam pandangan standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Kini tiba masanya untuk menggunakan yang kedua nasihat yang berguna dan darabkan semuanya dengan tolak satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 = 0. Menggunakan formula keempat, anda perlu mengira diskriminasi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ia adalah nombor positif. Daripada apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan itu mempunyai dua punca. Mereka perlu dikira menggunakan formula kelima. Ternyata x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 = 3, x 2 = - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x = 0 diubah menjadi ini: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminasinya adalah sama dengan nilai ini: -23. Oleh kerana nombor ini negatif, jawapan kepada tugas ini ialah entri berikut: "Tiada akar."

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 hendaklah ditulis semula seperti berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Selepas menggunakan formula untuk diskriminasi, nombor sifar diperoleh. Ini bermakna ia akan mempunyai satu punca, iaitu: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Persamaan keenam (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) memerlukan transformasi, yang terdiri daripada fakta bahawa anda perlu membawa istilah yang serupa, mula-mula membuka kurungan. Di tempat yang pertama akan terdapat ungkapan berikut: x 2 + 2x + 1. Selepas kesamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Selepas sebutan yang serupa dikira, persamaan akan mengambil bentuk: x 2 - x = 0. Ia telah menjadi tidak lengkap . Sesuatu yang serupa dengan ini telah dibincangkan lebih tinggi sedikit. Akar ini akan menjadi nombor 0 dan 1.