Secara umum, sebarang persamaan adalah model matematik skala cawan (tuil, lengan sama, rocker - terdapat banyak nama), dicipta dalam Babylon purba 7000 tahun dahulu atau lebih awal lagi. Lebih-lebih lagi, saya juga berpendapat bahawa skala cawan yang digunakan dalam bazar paling kuno yang menjadi prototaip persamaan. Dan jika anda melihat mana-mana persamaan bukan sebagai set nombor dan huruf yang tidak dapat difahami yang disambungkan oleh dua batang selari, tetapi seperti skala, maka tidak akan ada masalah dengan yang lain:
Mana-mana persamaan adalah seperti skala seimbang
Kebetulan semakin banyak persamaan dalam kehidupan kita setiap hari, tetapi semakin kurang pemahaman tentang apa itu persamaan dan apakah maksudnya. Walau apa pun, saya mendapat tanggapan ini apabila cuba menerangkan kepada anak perempuan sulung saya maksud persamaan matematik mudah seperti:
x + 2 = 8 (500.1)
Itu. di sekolah, sudah tentu, mereka menjelaskan bahawa dalam kes sedemikian, untuk mencari X, anda perlu menolak 2 dari sebelah kanan:
x = 8 - 2 (500.3)
Ini, sudah tentu, mutlak tindakan yang betul, tetapi mengapa perlu menolak dan tidak, sebagai contoh, tambah atau bahagi, tidak ada penjelasan dalam buku teks sekolah. Hanya ada peraturan yang anda hanya perlu pelajari:
Apabila ahli persamaan dipindahkan dari satu bahagian ke bahagian yang lain, tandanya berubah kepada sebaliknya.
Mengenai bagaimana seorang pelajar berumur 10 tahun harus memahami peraturan ini dan maksudnya, terpulang kepada anda untuk berfikir dan membuat keputusan. Lebih-lebih lagi, ternyata saudara terdekat saya juga tidak pernah memahami maksud persamaan, tetapi hanya menghafal apa yang diperlukan (dan peraturan di atas khususnya), dan kemudian menerapkannya mengikut kehendak Tuhan. Saya tidak menyukai keadaan ini, jadi saya memutuskan untuk menulis artikel ini (anak bongsu saya sedang membesar, dalam beberapa tahun dia perlu menjelaskannya lagi, dan ini juga mungkin berguna kepada beberapa pembaca laman web saya) .
Saya ingin mengatakan dengan segera bahawa walaupun saya belajar di sekolah selama 10 tahun, saya tidak pernah belajar apa-apa peraturan atau definisi yang berkaitan dengan disiplin teknikal. Itu. jika ada yang jelas, maka akan teringat, tetapi jika sesuatu yang tidak jelas, maka apa gunanya dijejalkan tanpa memahami maknanya, jika ia akan dilupakan pula? Dan selain itu, jika saya tidak memahami sesuatu, itu bermakna saya tidak memerlukannya (baru-baru ini saya menyedari bahawa jika saya tidak memahami sesuatu di sekolah, itu bukan salah saya, tetapi kesalahan guru, buku teks dan sistem pendidikan secara amnya).
Pendekatan ini memberi saya banyak masa lapang, yang pada zaman kanak-kanak sangat kurang untuk semua jenis permainan dan hiburan. Pada masa yang sama, saya mengambil bahagian dalam pelbagai Olimpik dalam fizik dan kimia, malah memenangi satu pertandingan serantau dalam bidang matematik. Tetapi masa berlalu, bilangan disiplin yang beroperasi dengan konsep abstrak hanya meningkat dan, dengan itu, gred saya menurun. Pada tahun pertama institut, bilangan disiplin yang beroperasi dengan konsep abstrak adalah majoriti mutlak dan, sudah tentu, saya adalah pelajar C lengkap. Tetapi kemudian, apabila atas beberapa sebab saya terpaksa berhadapan dengan kekuatan bahan tanpa bantuan kuliah dan nota dan saya semacam memahaminya, semuanya berjalan lancar dan berakhir dengan diploma kepujian. Walau bagaimanapun, ini bukan mengenai perkara ini sekarang, tetapi mengenai fakta bahawa disebabkan oleh spesifikasi yang ditentukan, konsep dan definisi saya mungkin berbeza dengan ketara daripada yang diajar di sekolah.
Sekarang mari kita teruskan
Persamaan paling mudah, analogi dengan skala
Malah, kanak-kanak diajar untuk membandingkan objek yang berbeza seawal zaman prasekolah apabila mereka masih tidak tahu bercakap. Mereka biasanya bermula dengan perbandingan geometri. Sebagai contoh, kanak-kanak ditunjukkan dua kiub dan kanak-kanak mesti menentukan kubus mana yang lebih besar dan yang mana lebih kecil. Dan jika mereka adalah sama, maka ini adalah kesamaan saiz. Kemudian tugas menjadi lebih rumit, kanak-kanak itu ditunjukkan objek pelbagai bentuk, warna yang berbeza dan memilih item yang sama menjadi semakin sukar untuk kanak-kanak. Walau bagaimanapun, kami tidak akan merumitkan tugas itu, tetapi hanya akan memberi tumpuan kepada satu jenis kesaksamaan - berat kewangan.
Apabila skala berada pada tahap mendatar yang sama (anak panah skala ditunjukkan dalam rajah 500.1 dalam oren dan biru, bertepatan, tahap mendatar ditunjukkan oleh garis tebal hitam), ini bermakna bahawa pada kuali kanan penimbang terdapat jumlah berat yang sama seperti pada kuali kiri. Dalam kes yang paling mudah, ini boleh menjadi berat seberat 1 kg:
Rajah 500.1.
Dan kemudian kita mendapat persamaan termudah 1 = 1. Walau bagaimanapun, persamaan ini hanya untuk saya, dalam matematik, ungkapan sedemikian dipanggil kesamaan, tetapi intipatinya tidak berubah. Jika kita mengeluarkan berat dari kuali kiri penimbang dan meletakkan apa-apa di atasnya, walaupun epal, walaupun paku, walaupun kaviar merah, dan pada masa yang sama penimbang berada pada tahap mendatar yang sama, maka ini akan tetap bermakna bahawa 1 kg mana-mana produk yang ditunjukkan bersamaan dengan 1 kg berat yang tinggal di sebelah kanan penimbang. Apa yang tinggal hanyalah membayar kilogram ini mengikut harga yang ditetapkan oleh penjual. Perkara lain ialah anda mungkin tidak menyukai harga, atau mempunyai keraguan tentang ketepatan skala - tetapi ini adalah isu hubungan ekonomi dan undang-undang yang tidak mempunyai kaitan langsung dengan matematik.
Sudah tentu, pada masa yang jauh itu, apabila skala cawan muncul, semuanya lebih mudah. Pertama, tidak ada ukuran berat seperti kilogram, tetapi terdapat unit kewangan yang sepadan dengan ukuran berat, sebagai contoh, bakat, syikal, paun, Hryvnia, dll. (by the way, saya telah lama terkejut bahawa terdapat satu paun - unit kewangan dan satu paun - ukuran berat, ada Hryvnia - unit kewangan, dan sekali Hryvnia adalah ukuran berat, dan baru-baru ini, apabila saya mengetahui bahawa bakat bukan sahaja unit kewangan Yahudi kuno, yang disebut dalam Perjanjian Lama, tetapi juga ukuran berat yang diterima pakai di Babylon purba, semuanya jatuh ke tempatnya).
Lebih tepat lagi, pada mulanya terdapat ukuran berat, biasanya bijirin tanaman bijirin, dan barulah muncul wang yang sepadan dengan ukuran skala ini. Contohnya, 60 biji bersamaan dengan satu syikal, 60 syikal sepadan dengan satu mina, dan 60 mina sepadan dengan satu talenta. Oleh itu, pada mulanya penimbang digunakan untuk memeriksa sama ada wang yang ditawarkan adalah palsu, dan barulah pemberat muncul sebagai setara dengan wang, timbangan dan pengiraan, penimbang elektronik dan kad plastik, tetapi ini tidak mengubah intipati perkara itu.
Pada masa yang jauh itu, penjual tidak perlu menerangkan dengan panjang lebar dan terperinci berapa kos produk tertentu. Ia cukup untuk meletakkan produk yang dijual pada satu kuali skala, dan pembeli meletakkan wang pada kuali kedua - ia sangat mudah dan jelas, malah pengetahuan tentang dialek tempatan tidak diperlukan, anda boleh berdagang di mana-mana sahaja di dunia. Tetapi mari kita kembali kepada persamaan.
Jika kita mempertimbangkan persamaan (500.1) dari kedudukan penimbang, maka ini bermakna bahawa pada kuali kiri penimbang terdapat bilangan kilogram yang tidak diketahui dan 2 kilogram lagi, dan pada kuali kanan terdapat 8 kilogram:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Catatan: DALAM dalam kes ini Garis bawah melambangkan bahagian bawah skala; apabila mengira di atas kertas, garisan ini mungkin lebih hampir menyerupai bahagian bawah skala. Lebih-lebih lagi, ahli matematik telah lama menghasilkan simbol khas - kurungan, jadi mana-mana kurungan boleh dianggap sebagai sisi skala, sekurang-kurangnya pada peringkat pertama memahami maksud persamaan. Walau bagaimanapun, saya akan meninggalkan garis bawah untuk lebih jelas.
Jadi, apakah yang perlu kita lakukan untuk mengetahui bilangan kilogram yang tidak diketahui? Betul! Keluarkan 2 kilogram dari sisi kiri dan kanan penimbang, maka penimbang akan kekal pada tahap mendatar yang sama, iaitu kita masih akan mempunyai kesamaan:
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
Masing-masing
x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)
x, = 6 kg, (500.4.2)
Rajah 500.2.
Selalunya matematik beroperasi bukan dengan kilogram, tetapi dengan beberapa unit tanpa dimensi abstrak, dan kemudian menulis penyelesaian kepada persamaan (500.1), contohnya dalam draf, akan kelihatan seperti ini:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Yang ditunjukkan dalam Rajah 500.2.
Catatan: Secara formal, untuk pemahaman yang lebih baik, persamaan (500.2) hendaklah diikuti dengan persamaan lain dalam bentuk: x + 2 - 2, = 8 - 2, bermakna bahawa tindakan telah berakhir dan kita sekali lagi berhadapan dengan mangkuk keseimbangan berat. Walau bagaimanapun, pada pendapat saya, tidak ada keperluan untuk rakaman keputusan yang lengkap sepenuhnya.
Dalam buku bersih, notasi singkatan penyelesaian kepada persamaan biasanya digunakan, dan bukan sahaja simbol skala, yang sangat diperlukan pada pendapat saya pada peringkat awal mengkaji persamaan, disingkatkan, malah keseluruhan persamaan. Jadi, versi ringkasan penyelesaian kepada persamaan (500.1) dalam versi bersih, mengikut contoh yang diberikan dalam buku teks, akan kelihatan seperti ini:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Akibatnya, menggunakan analogi dengan skala, kami menyusun persamaan tambahan (500.2) berbanding dengan yang dicadangkan dalam buku teks, sama ada dengan kaedah penyelesaian, atau dengan bentuk penulisan penyelesaian ini. Pada pendapat saya, ini adalah persamaan, lebih-lebih lagi, ditulis lebih kurang dalam bentuk ini, i.e. dengan sebutan simbolik skala - ini adalah pautan yang hilang, penting untuk memahami maksud persamaan.
Itu. Apabila menyelesaikan persamaan, kami tidak memindahkan apa-apa dengan tanda bertentangan di mana-mana, tetapi melakukan operasi matematik yang sama dengan sisi kiri dan kanan persamaan.
Kini menjadi kebiasaan untuk menulis penyelesaian kepada persamaan dalam bentuk singkatan yang diberikan di atas. Persamaan (500.1.1) diikuti dengan serta-merta oleh persamaan (500.3.1), oleh itu peraturan tanda songsang, yang, bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk diingati ramai daripada menyelidiki maksud persamaan.
Catatan: Saya tidak mempunyai apa-apa terhadap bentuk rakaman yang disingkatkan, lebih-lebih lagi. pengguna lanjutan boleh memendekkan lagi borang ini, tetapi ini perlu dilakukan hanya selepas maksud umum persamaan telah difahami dengan jelas.
Dan notasi lanjutan membolehkan anda memahami peraturan utama untuk menyelesaikan persamaan:
1. Jika kita melakukan operasi matematik yang sama dengan kiri dan sebelah kanan persamaan, maka kesamaan kekal.
2. Tidak kira bahagian mana dalam persamaan yang sedang dipertimbangkan dibiarkan dan yang mana betul, kita boleh menukarnya dengan bebas.
Operasi matematik ini boleh menjadi apa sahaja. Kita boleh menolak nombor yang sama dari sebelah kiri dan dari sebelah kanan seperti yang ditunjukkan di atas. Kita boleh menambah nombor yang sama ke sisi kiri dan kanan persamaan, sebagai contoh:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Kita boleh membahagi atau mendarab kedua-dua belah dengan nombor yang sama, contohnya:
3х, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3х, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Kita boleh menyepadukan atau membezakan kedua-dua bahagian. Kita boleh melakukan apa sahaja yang kita mahu dengan bahagian kiri dan kanan, tetapi jika tindakan ini adalah sama untuk bahagian kiri dan kanan, maka kesamaan akan kekal (skala akan kekal pada tahap mendatar yang sama).
Sudah tentu, anda perlu memilih tindakan yang membolehkan anda menentukan kuantiti yang tidak diketahui secepat dan semudah mungkin.
Dari sudut pandangan ini, kaedah klasik tindakan songsang nampaknya lebih mudah, tetapi bagaimana jika kanak-kanak itu belum lagi mempelajari nombor negatif? Sementara itu, persamaan yang disusun mempunyai bentuk berikut:
5 - x = 3 (500.8)
Itu. Apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan kaedah klasik, salah satu penyelesaian yang mungkin, yang memberikan tatatanda terpendek, adalah yang berikut:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Dan yang paling penting, bagaimana anda boleh menerangkan kepada kanak-kanak mengapa persamaan (500.8.3) adalah sama dengan persamaan (500.8.4)?
Ini bermakna bahawa dalam kes ini, walaupun semasa menggunakan kaedah klasik tidak ada gunanya menjimatkan penulisan dan pertama anda perlu menyingkirkan nilai yang tidak diketahui di sebelah kiri, yang mempunyai tanda negatif.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Entri penuh akan kelihatan seperti ini:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Saya akan menambahnya lagi. Rekod lengkap penyelesaian diperlukan bukan untuk guru, tetapi untuk pemahaman yang lebih baik tentang kaedah untuk menyelesaikan persamaan. Dan apabila kita menukar sisi kiri dan kanan persamaan, ia seperti kita menukar pandangan skala dari sudut pembeli kepada sudut penjual, tetapi kesaksamaan tetap sama.
Malangnya, saya tidak pernah dapat meminta anak perempuan saya menulis penyelesaian sepenuhnya, walaupun dalam draf. Dia mempunyai hujah kuku besi: "kami tidak diajar seperti itu." Sementara itu, kerumitan persamaan yang sedang disusun meningkat, peratusan meneka tindakan yang perlu dilakukan untuk menentukan kuantiti yang tidak diketahui berkurangan, dan gred jatuh. Saya tidak tahu apa yang perlu dilakukan dengan ini ...
Catatan: dalam matematik moden adalah kebiasaan untuk membezakan antara kesamaan dan persamaan, i.e. 1 = 1 hanyalah kesamaan berangka, dan jika dalam salah satu bahagian kesamaan terdapat yang tidak diketahui yang perlu dicari, maka ini sudah menjadi persamaan. Bagi saya, pembezaan makna seperti itu tidak masuk akal, tetapi hanya merumitkan persepsi bahan. Saya percaya bahawa mana-mana kesamaan boleh dipanggil persamaan, dan mana-mana persamaan adalah berdasarkan kesamaan. Dan selain itu, persoalan timbul: x = 6, adakah ini sudah menjadi persamaan atau adakah ia masih persamaan?
Persamaan paling mudah, analogi dengan masa
Sudah tentu, analogi dengan skala apabila menyelesaikan persamaan adalah jauh dari satu-satunya. Sebagai contoh, menyelesaikan persamaan juga boleh dipertimbangkan dari perspektif masa. Kemudian keadaan yang diterangkan oleh persamaan (500.1) akan berbunyi seperti ini:
Selepas kami menambah kepada kuantiti yang tidak diketahui X 2 unit lagi, kita sekarang ada 8 unit (kini). Walau bagaimanapun, atas satu sebab atau yang lain, kami tidak berminat dengan jumlah yang ada, tetapi sebaliknya berapa banyak yang ada pada masa lalu. Sehubungan itu, untuk mengetahui berapa banyak unit yang sama yang kita ada, kita perlu melakukan tindakan yang bertentangan, i.e. tolak 2 daripada 8 (Persamaan 500.3). Pendekatan ini betul-betul sepadan dengan apa yang dibentangkan dalam buku teks, tetapi pada pendapat saya, ia tidak sejelas analogi dengan skala. Walau bagaimanapun, pendapat mengenai perkara ini mungkin berbeza.
Contoh penyelesaian persamaan dengan kurungan
Saya menulis artikel ini pada musim panas, apabila anak perempuan saya lulus dari gred 4, tetapi kurang daripada enam bulan kemudian, mereka diminta di sekolah untuk menyelesaikan persamaan bentuk berikut:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Tiada seorang pun dalam kelas dapat menyelesaikan persamaan ini, namun tidak ada yang rumit dalam menyelesaikannya apabila menggunakan kaedah yang saya cadangkan, tetapi bentuk penuh notasi akan mengambil terlalu banyak ruang:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Walau bagaimanapun, pada peringkat ini dalam sedemikian bentuk penuh tidak perlu dirakam. Memandangkan kita sampai kepada kurungan berganda, tidak perlu mencipta persamaan berasingan untuk operasi matematik di sebelah kiri dan kanan, jadi menulis penyelesaian dalam draf mungkin kelihatan seperti ini:
97 + 75: (50 - 5x), : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Secara keseluruhan, pada peringkat ini adalah perlu untuk menulis 14 persamaan untuk menyelesaikan yang asal.
Dalam kes ini, menulis penyelesaian kepada persamaan dalam salinan bersih mungkin kelihatan seperti ini:
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Itu. dengan bentuk notasi yang disingkatkan, kita masih perlu mencipta 12 persamaan. Penjimatan dalam rakaman adalah minimum, tetapi pelajar tingkatan lima sebenarnya mungkin menghadapi masalah memahami tindakan yang diperlukan.
P.S. Hanya apabila ia datang kepada kurungan berganda, anak perempuan saya mula berminat dengan kaedah yang saya cadangkan untuk menyelesaikan persamaan, tetapi pada masa yang sama, dalam bentuk penulisannya, walaupun dalam draf, masih terdapat 2 kali lebih sedikit persamaan, kerana dia melangkau perlawanan akhir. persamaan seperti (500.10.4), (500.10. 7) dan seumpamanya, dan apabila merekodkan, segera memberi ruang untuk yang seterusnya operasi matematik. Akibatnya, entri dalam drafnya kelihatan seperti ini:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Akibatnya, kami mendapat hanya 8 persamaan, yang lebih kecil daripada yang diperlukan untuk penyelesaian yang disingkatkan. Pada dasarnya, saya tidak keberatan, tetapi ia akan berguna.
Itu sebenarnya yang saya ingin katakan tentang menyelesaikan persamaan termudah yang mengandungi satu kuantiti yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi dua kuantiti yang tidak diketahui, anda perlukan
Setelah menerima idea umum tentang kesamaan, dan setelah mengenali salah satu jenisnya - kesamaan berangka, anda boleh mula bercakap tentang jenis kesamaan lain yang sangat penting dari sudut pandangan praktikal - persamaan. Dalam artikel ini kita akan melihat apakah persamaan, dan apa yang dipanggil punca persamaan. Di sini kami akan memberikan definisi yang sepadan, serta menyediakan pelbagai contoh persamaan dan puncanya.
Navigasi halaman.
Apakah persamaan?
Pengenalan yang disasarkan kepada persamaan biasanya bermula dalam pelajaran matematik dalam gred 2. Pada masa ini berikut diberikan definisi persamaan:
Definisi.
Persamaan ialah kesamaan yang mengandungi nombor yang tidak diketahui yang perlu dicari.
Nombor yang tidak diketahui dalam persamaan biasanya dilambangkan menggunakan nombor kecil. huruf latin, contohnya, p, t, u, dsb., tetapi huruf yang paling biasa digunakan ialah x, y dan z.
Maka, persamaan ditentukan dari sudut bentuk penulisan. Dalam erti kata lain, kesamaan ialah persamaan apabila ia mematuhi peraturan penulisan yang ditetapkan - ia mengandungi surat yang nilainya perlu dicari.
Mari kita berikan contoh yang pertama dan paling banyak persamaan mudah. Mari kita mulakan dengan persamaan bentuk x=8, y=3, dsb. Persamaan yang mengandungi tanda bersama dengan nombor dan huruf kelihatan sedikit lebih rumit operasi aritmetik, sebagai contoh, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .
Kepelbagaian persamaan berkembang selepas menjadi biasa dengan - persamaan dengan kurungan mula muncul, contohnya, 2·(x−1)=18 dan x+3·(x+2·(x−2))=3. Huruf yang tidak diketahui dalam persamaan boleh muncul beberapa kali, contohnya, x+3+3·x−2−x=9, juga huruf boleh berada di sebelah kiri persamaan, di sebelah kanannya, atau di kedua-dua belah persamaan, sebagai contoh, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 atau 3·x−4=2·(x+12) .
Selanjutnya selepas belajar nombor asli berkenalan dengan integer, rasional, nombor nyata berlaku, objek matematik baru dikaji: kuasa, punca, logaritma, dll., manakala semakin banyak jenis persamaan baru yang mengandungi perkara ini muncul. Contoh mereka boleh dilihat dalam artikel jenis asas persamaan belajar di sekolah.
Dalam gred ke-7, bersama-sama dengan huruf, yang bermaksud beberapa nombor tertentu, mereka mula mempertimbangkan huruf yang boleh mengambil nilai yang berbeza; ia dipanggil pembolehubah (lihat artikel). Pada masa yang sama, perkataan "pembolehubah" diperkenalkan ke dalam takrif persamaan, dan ia menjadi seperti ini:
Definisi.
Persamaan dipanggil kesamaan yang mengandungi pembolehubah yang nilainya perlu dicari.
Sebagai contoh, persamaan x+3=6·x+7 ialah persamaan dengan pembolehubah x, dan 3·z−1+z=0 ialah persamaan dengan pembolehubah z.
Semasa pelajaran algebra dalam gred 7 yang sama, kita menghadapi persamaan yang mengandungi bukan satu, tetapi dua pembolehubah tidak diketahui yang berbeza. Ia dipanggil persamaan dalam dua pembolehubah. Pada masa hadapan, kehadiran tiga atau lebih pembolehubah dalam persamaan dibenarkan.
Definisi.
Persamaan dengan satu, dua, tiga, dsb. pembolehubah– ini adalah persamaan yang mengandungi dalam penulisannya satu, dua, tiga, ... pembolehubah yang tidak diketahui, masing-masing.
Sebagai contoh, persamaan 3.2 x+0.5=1 ialah persamaan dengan satu pembolehubah x, sebaliknya, persamaan bentuk x−y=3 ialah persamaan dengan dua pembolehubah x dan y. Dan satu lagi contoh: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Jelaslah bahawa persamaan tersebut ialah persamaan dengan tiga pembolehubah yang tidak diketahui x, y dan z.
Apakah punca persamaan?
Takrifan persamaan berkait secara langsung dengan takrif punca persamaan ini. Mari kita jalankan beberapa penaakulan yang akan membantu kita memahami apakah punca persamaan itu.
Katakan kita mempunyai persamaan dengan satu huruf (pembolehubah). Jika bukannya huruf yang dimasukkan dalam entri persamaan ini, nombor tertentu digantikan, maka persamaan itu bertukar menjadi kesamaan berangka. Selain itu, kesamaan yang terhasil boleh sama ada benar atau salah. Sebagai contoh, jika anda menggantikan nombor 2 dan bukannya huruf a dalam persamaan a+1=5, anda akan mendapat kesamaan berangka yang salah 2+1=5. Jika kita menggantikan nombor 4 dan bukannya a dalam persamaan ini, kita mendapat kesamaan yang betul 4+1=5.
Dalam amalan, dalam kebanyakan kes, kepentingan adalah pada nilai-nilai pembolehubah yang penggantian ke dalam persamaan memberikan kesamaan yang betul; nilai-nilai ini dipanggil punca atau penyelesaian persamaan ini.
Definisi.
Punca persamaan- ini ialah nilai huruf (pembolehubah), apabila digantikan persamaannya bertukar menjadi kesamaan berangka yang betul.
Perhatikan bahawa punca persamaan dalam satu pembolehubah juga dipanggil penyelesaian persamaan. Dengan kata lain, penyelesaian kepada persamaan dan punca persamaan adalah perkara yang sama.
Mari kita jelaskan definisi ini dengan contoh. Untuk melakukan ini, mari kita kembali kepada persamaan yang ditulis di atas a+1=5. Menurut takrifan punca persamaan yang dinyatakan, nombor 4 ialah punca persamaan ini, kerana apabila menggantikan nombor ini dan bukannya huruf a kita mendapat kesamaan yang betul 4+1=5, dan nombor 2 bukanlah nombor itu. akar, kerana ia sepadan dengan kesamaan yang salah dalam bentuk 2+1= 5 .
Pada ketika ini, beberapa soalan semula jadi timbul: "Adakah sebarang persamaan mempunyai punca, dan berapa banyak punca persamaan yang diberikan?" Kami akan menjawab mereka.
Terdapat kedua-dua persamaan yang mempunyai punca dan persamaan yang tidak mempunyai punca. Sebagai contoh, persamaan x+1=5 mempunyai punca 4, tetapi persamaan 0 x=5 tidak mempunyai punca, kerana tidak kira nombor apa yang kita gantikan dalam persamaan ini dan bukannya pembolehubah x, kita akan mendapat kesamaan yang salah 0=5 .
Bagi bilangan punca suatu persamaan, terdapat kedua-dua persamaan yang mempunyai bilangan punca terhingga tertentu (satu, dua, tiga, dsb.) dan persamaan yang mempunyai bilangan punca yang tidak terhingga. Sebagai contoh, persamaan x−2=4 mempunyai punca tunggal 6, punca-punca persamaan x 2 =9 ialah dua nombor −3 dan 3, persamaan x·(x−1)·(x−2)=0 mempunyai tiga punca 0, 1 dan 2, dan penyelesaian kepada persamaan x=x ialah sebarang nombor, iaitu, ia mempunyai nombor punca tak terhingga.
Beberapa perkataan harus dikatakan tentang notasi yang diterima untuk punca persamaan. Jika persamaan tidak mempunyai punca, maka mereka biasanya menulis "persamaan tidak mempunyai punca," atau menggunakan tanda set kosong ∅. Jika persamaan mempunyai punca, maka ia ditulis dipisahkan dengan koma, atau ditulis sebagai elemen set dalam kurungan kerinting. Contohnya, jika punca-punca persamaan ialah nombor −1, 2 dan 4, maka tulis −1, 2, 4 atau (−1, 2, 4). Ia juga dibenarkan untuk menulis punca-punca persamaan dalam bentuk persamaan mudah. Sebagai contoh, jika persamaan termasuk huruf x, dan punca-punca persamaan ini ialah nombor 3 dan 5, maka anda boleh menulis x=3, x=5, dan subskrip x 1 =3, x 2 =5 sering ditambah. kepada pembolehubah, seolah-olah menunjukkan nombor punca persamaan. Satu set punca persamaan tidak terhingga biasanya ditulis dalam bentuk; jika boleh, tatatanda untuk set nombor asli N, integer Z, dan nombor nyata R juga digunakan. Sebagai contoh, jika punca persamaan dengan pembolehubah x ialah sebarang integer, maka tulis , dan jika punca persamaan dengan pembolehubah y ialah sebarang nombor nyata daripada 1 hingga 9 termasuk, maka tulis .
Untuk persamaan dengan dua, tiga atau lebih pembolehubah, sebagai peraturan, istilah "akar persamaan" tidak digunakan; dalam kes ini mereka menyebut "penyelesaian persamaan". Apakah yang dipanggil menyelesaikan persamaan dengan beberapa pembolehubah? Mari kita berikan definisi yang sepadan.
Definisi.
Menyelesaikan persamaan dengan dua, tiga, dsb. pembolehubah dipanggil sepasang, tiga, dsb. nilai pembolehubah, menjadikan persamaan ini menjadi kesamaan berangka yang betul.
Mari kita tunjukkan contoh penjelasan. Pertimbangkan persamaan dengan dua pembolehubah x+y=7. Mari kita gantikan nombor 1 bukannya x, dan nombor 2 bukannya y, dan kita mempunyai kesamaan 1+2=7. Jelas sekali, ia tidak betul, oleh itu, pasangan nilai x=1, y=2 bukanlah penyelesaian kepada persamaan bertulis. Jika kita mengambil sepasang nilai x=4, y=3, maka selepas penggantian ke dalam persamaan kita akan sampai pada kesamaan yang betul 4+3=7, oleh itu, pasangan nilai pembolehubah ini, mengikut definisi, adalah penyelesaian kepada persamaan x+y=7.
Persamaan dengan beberapa pembolehubah, seperti persamaan dengan satu pembolehubah, mungkin tidak mempunyai punca, mungkin mempunyai bilangan punca terhingga, atau mungkin mempunyai bilangan punca tidak terhingga.
Berpasangan, kembar tiga, empat kali ganda, dsb. Nilai pembolehubah sering ditulis secara ringkas, menyenaraikan nilainya dipisahkan dengan koma dalam kurungan. Dalam kes ini, nombor bertulis dalam kurungan sepadan dengan pembolehubah dalam susunan abjad. Mari kita jelaskan perkara ini dengan kembali kepada persamaan sebelumnya x+y=7. Penyelesaian kepada persamaan ini x=4, y=3 boleh ditulis secara ringkas sebagai (4, 3).
Perhatian terbesar dalam kursus sekolah matematik, algebra dan permulaan analisis diberikan kepada mencari punca persamaan dengan satu pembolehubah. Kami akan membincangkan peraturan proses ini dengan terperinci dalam artikel. menyelesaikan persamaan.
Bibliografi.
- Matematik. 2 kelas Buku teks untuk pendidikan am institusi dengan adj. setiap elektron pembawa. Pada pukul 2 petang Bahagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dsb.] - 3rd ed. - M.: Pendidikan, 2012. - 96 p.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Algebra: buku teks untuk darjah 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17 - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Dalam kursus matematik sekolah, seorang kanak-kanak mendengar istilah "persamaan" untuk kali pertama. Apa ini, mari kita cuba fikirkan bersama. Dalam artikel ini kita akan melihat jenis dan kaedah penyelesaian.
Matematik. Persamaan
Sebagai permulaan, kami mencadangkan anda memahami konsep itu sendiri, apakah itu? Seperti yang dikatakan oleh banyak buku teks matematik, persamaan ialah beberapa ungkapan yang mesti ada tanda yang sama. Ungkapan ini mengandungi huruf, yang dipanggil pembolehubah, yang nilainya mesti dijumpai.
Ini ialah atribut sistem yang mengubah nilainya. Contoh pembolehubah yang baik ialah:
- suhu udara;
- ketinggian kanak-kanak;
- berat badan dan sebagainya.
Dalam matematik mereka dilambangkan dengan huruf, contohnya, x, a, b, c... Biasanya tugas matematik adalah seperti ini: cari nilai persamaan. Ini bermakna adalah perlu untuk mencari nilai pembolehubah ini.
Varieti
Persamaan (kami membincangkan apa itu dalam perenggan sebelumnya) boleh dalam bentuk berikut:
- linear;
- segi empat sama;
- padu;
- algebra;
- transendental.
Untuk kenalan yang lebih terperinci dengan semua jenis, kami akan mempertimbangkan masing-masing secara berasingan.
Persamaan linear
Ini adalah spesies pertama yang diperkenalkan kepada pelajar sekolah. Mereka diselesaikan dengan cepat dan mudah. Jadi, apakah persamaan linear? Ini adalah ungkapan bentuk: ah=c. Ia tidak begitu jelas, jadi mari kita berikan beberapa contoh: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.
Mari kita lihat contoh persamaan. Untuk melakukan ini, kita perlu mengumpul semua data yang diketahui pada satu pihak, dan yang tidak diketahui di sebelah yang lain: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Di sini peraturan asas matematik digunakan: a*c=e, daripada c=e/a ini; a=e/c. Untuk melengkapkan penyelesaian persamaan, kami melakukan satu tindakan (dalam kes kami, pembahagian) x = 13; x=8; x=5. Ini adalah contoh pendaraban, sekarang mari kita lihat penolakan dan penambahan: x+3=9; 10x-5=15. Kami memindahkan data yang diketahui dalam satu arah: x=9-3; x=20/10. Lakukan tindakan terakhir: x=6; x=2.
Pilihan juga mungkin persamaan linear, di mana lebih daripada satu pembolehubah digunakan: 2x-2y=4. Untuk menyelesaikannya, adalah perlu untuk menambah 2y pada setiap bahagian, kita mendapat 2x-2y + 2y = 4-2y, seperti yang kita perhatikan, dengan sebelah kiri tanda sama -2y dan +2y dibatalkan, meninggalkan kami dengan: 2x=4-2y. Langkah terakhir ialah membahagikan setiap bahagian dengan dua, kita mendapat jawapan: x sama dengan dua tolak y.
Masalah dengan persamaan ditemui walaupun pada papirus Ahmes. Berikut ialah satu masalah: nombor dan bahagian keempatnya menambah hingga 15. Untuk menyelesaikannya, kita tulis persamaan berikut: x tambah satu perempat x sama dengan lima belas. Kami melihat contoh lain berdasarkan hasil penyelesaian, kami mendapat jawapan: x=12. Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain, iaitu Mesir atau, seperti yang dipanggil secara berbeza, kaedah andaian. Papirus menggunakan penyelesaian berikut: ambil empat dan satu perempat daripadanya, iaitu satu. Secara keseluruhan mereka memberi lima, kini lima belas mesti dibahagikan dengan jumlah, kita mendapat tiga, langkah terakhir ialah mendarab tiga dengan empat. Kami mendapat jawapannya: 12. Mengapa kita membahagi lima belas dengan lima dalam penyelesaian? Jadi kita mengetahui berapa kali lima belas, iaitu hasil yang perlu kita perolehi adalah kurang daripada lima. Masalah telah diselesaikan dengan cara ini pada Zaman Pertengahan; ia dikenali sebagai kaedah kedudukan palsu.
Persamaan kuadratik
Sebagai tambahan kepada contoh yang telah dibincangkan sebelum ini, terdapat yang lain. Yang mana sebenarnya? Persamaan kuadratik, apakah itu? Mereka kelihatan seperti ax 2 +bx+c=0. Untuk menyelesaikannya, anda perlu membiasakan diri dengan beberapa konsep dan peraturan.
Pertama, anda perlu mencari diskriminasi menggunakan formula: b 2 -4ac. Terdapat tiga kemungkinan hasil keputusan tersebut:
- diskriminasi lebih besar daripada sifar;
- kurang daripada sifar;
- sama dengan sifar.
Dalam pilihan pertama, kita boleh mendapatkan jawapan daripada dua punca, yang ditemui mengikut formula: -b+-akar diskriminasi dibahagikan dengan dua kali ganda pekali pertama, iaitu, 2a.
Dalam kes kedua, persamaan tidak mempunyai punca. Dalam kes ketiga, punca didapati menggunakan formula: -b/2a.
Mari kita lihat contoh persamaan kuadratik untuk pengenalan yang lebih terperinci: tiga x kuasa dua tolak empat belas x tolak lima sama dengan sifar. Sebagai permulaan, seperti yang telah ditulis sebelum ini, kami sedang mencari diskriminasi, dalam kes kami ia adalah sama dengan 256. Perhatikan bahawa nombor yang terhasil adalah lebih besar daripada sifar, oleh itu, kita harus mendapatkan jawapan yang terdiri daripada dua punca. Kami menggantikan diskriminasi yang terhasil ke dalam formula untuk mencari punca. Hasilnya, kita mempunyai: x sama dengan lima dan tolak satu pertiga.
Kes khas dalam persamaan kuadratik
Ini adalah contoh di mana beberapa nilai adalah sifar (a, b atau c), dan mungkin lebih daripada satu.
Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan berikut, yang merupakan kuadratik: dua x kuasa dua sama dengan sifar, di sini kita melihat bahawa b dan c adalah sama dengan sifar. Mari kita cuba menyelesaikannya, untuk melakukan ini kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan dua, kita ada: x 2 =0. Akibatnya, kita mendapat x=0.
Kes lain ialah 16x 2 -9=0. Di sini hanya b=0. Mari kita selesaikan persamaan, pindahkan pekali bebas ke sebelah kanan: 16x 2 = 9, sekarang kita bahagikan setiap bahagian dengan enam belas: x 2 = sembilan per enam belas. Oleh kerana kita mempunyai x kuasa dua, punca 9/16 boleh sama ada negatif atau positif. Kami menulis jawapan seperti berikut: x sama dengan tambah/tolak tiga perempat.
Satu lagi jawapan yang mungkin ialah persamaan itu tidak mempunyai punca sama sekali. Mari kita lihat contoh ini: 5x 2 +80=0, di sini b=0. Untuk menyelesaikannya, masukkan ahli percuma ke dalam sebelah kanan, selepas tindakan ini kita dapat: 5x 2 = -80, sekarang kita bahagikan setiap bahagian dengan lima: x 2 = tolak enam belas. Jika kita kuasai sebarang nombor, kita tidak akan mendapat nilai negatif. Oleh itu, jawapan kami ialah: persamaan tidak mempunyai punca.
Pengembangan trinomial
Tugasan pada persamaan kuadratik juga boleh berbunyi seperti ini: kembangkan trinomial kuadratik oleh pengganda. Ini boleh dilakukan menggunakan formula berikut: a(x-x 1)(x-x 2). Untuk melakukan ini, seperti dalam versi tugasan yang lain, adalah perlu untuk mencari diskriminasi.
Pertimbangkan contoh berikut: 3x 2 -14x-5, faktorkan trinomial. Kami mendapati diskriminasi menggunakan formula yang telah diketahui oleh kami, ia ternyata sama dengan 256. Kami segera ambil perhatian bahawa 256 adalah lebih besar daripada sifar, oleh itu, persamaan akan mempunyai dua punca. Kami mendapati mereka, seperti dalam perenggan sebelumnya, kami mempunyai: x = lima dan tolak satu pertiga. Mari kita gunakan formula untuk memfaktorkan trinomial: 3(x-5)(x+1/3). Dalam kurungan kedua kami mendapat tanda sama, kerana formula mengandungi tanda tolak, dan akarnya juga negatif, menggunakan pengetahuan asas matematik, dalam jumlah kami mempunyai tanda tambah. Untuk memudahkan, mari kita darab sebutan pertama dan ketiga bagi persamaan untuk menyingkirkan pecahan: (x-5)(x+1).
Persamaan dikurangkan kepada kuadratik
Dalam bahagian ini kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks. Mari kita mulakan segera dengan contoh:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Kita boleh perhatikan elemen berulang: (x 2 - 2x), untuk menyelesaikannya adalah mudah untuk kita menggantikannya dengan pembolehubah lain, dan kemudian selesaikan persamaan kuadratik biasa dengan segera Kami perhatikan bahawa dalam tugas sedemikian kami akan mendapat empat punca, ini tidak sepatutnya menakutkan anda. Kami menandakan pengulangan pembolehubah a. Kami mendapat: a 2 -2a-3=0. kami langkah seterusnya sedang mencari diskriminasi bagi persamaan baharu. Kami mendapat 16, cari dua punca: tolak satu dan tiga. Kami ingat bahawa kami membuat penggantian, gantikan nilai-nilai ini, hasilnya kami mempunyai persamaan: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Kami menyelesaikannya dalam jawapan pertama: x sama dengan satu, dalam kedua: x sama dengan tolak satu dan tiga. Kami menulis jawapan seperti berikut: tambah/tolak satu dan tiga. Sebagai peraturan, jawapan ditulis dalam susunan menaik.
Persamaan padu
Mari lihat satu lagi varian yang mungkin. Ia mengenai tentang persamaan padu. Mereka kelihatan seperti: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Kami akan melihat contoh persamaan di bawah, tetapi pertama, sedikit teori. Mereka boleh mempunyai tiga punca, dan terdapat juga formula untuk mencari diskriminasi bagi persamaan padu.
Mari kita lihat contoh: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Bagaimana untuk menyelesaikannya? Untuk melakukan ini, kita hanya meletakkan x daripada kurungan: x(3x 2 +4x+2)=0. Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira punca-punca persamaan dalam kurungan. Diskriminasi persamaan kuadratik dalam kurungan adalah kurang daripada sifar, berdasarkan ini, ungkapan mempunyai punca: x=0.
Algebra. Persamaan
Mari kita beralih ke paparan seterusnya. Sekarang kita akan melihat secara ringkas persamaan algebra. Salah satu tugas adalah seperti berikut: faktor 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Cara yang paling mudah ialah pengelompokan berikut: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Perhatikan bahawa kami mewakili 8x 2 daripada ungkapan pertama sebagai hasil tambah 3x 2 dan 5x 2. Sekarang kita keluarkan dari setiap kurungan faktor sepunya 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Kami melihat bahawa kami mempunyai faktor sepunya: x kuasa dua tambah satu, kami mengeluarkannya daripada kurungan: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Pengembangan selanjutnya tidak mungkin kerana kedua-dua persamaan mempunyai diskriminasi negatif.
Persamaan transendental
Kami cadangkan anda berurusan dengan jenis berikut. Ini adalah persamaan yang mengandungi fungsi transendental, iaitu logaritma, trigonometri atau eksponen. Contoh: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 dan seterusnya. Anda akan belajar bagaimana ia diselesaikan dalam kursus trigonometri.
Fungsi
Langkah terakhir ialah mempertimbangkan konsep persamaan fungsi. Tidak seperti pilihan sebelumnya, jenis ini tidak diselesaikan, tetapi graf dibina berdasarkannya. Untuk melakukan ini, adalah bernilai menganalisis persamaan dengan baik, mencari semua mata yang diperlukan untuk pembinaan, dan mengira mata minimum dan maksimum.
