Artikel ini bermula dengan bahan teori pembahagian integer. Di sini kami memperkenalkan konsep kebolehbahagi dan menunjukkan istilah dan tatatanda yang diterima. Ini akan membolehkan kami menyenaraikan dan mewajarkan sifat utama kebolehbahagi.
Navigasi halaman.
Konsep pembahagian
Konsep pembahagian merupakan salah satu konsep asas aritmetik dan teori nombor. Kami akan bercakap tentang pembahagian dan dalam kes khas - tentang pembahagian. Jadi, mari kita berikan idea tentang kebolehbahagi pada set integer.
Integer a saham dengan integer b, yang berbeza daripada sifar, jika terdapat integer (nyatakan dengan q) supaya kesamaan a=b·q adalah benar. Dalam kes ini kita juga mengatakan bahawa b membahagikan a. Dalam kes ini, integer b dipanggil pembahagi nombor a, integer a dipanggil gandaan nombor b (untuk maklumat lanjut tentang pembahagi dan gandaan, lihat artikel Pembahagi dan Gandaan), dan integer q dipanggil persendirian.
Jika integer a boleh dibahagi dengan integer b dalam pengertian di atas, maka a boleh dikatakan boleh dibahagi dengan b sepenuhnya. Perkataan "sepenuhnya" dalam kes ini menekankan lagi bahawa hasil bahagi bagi integer a dengan integer b ialah integer.
Dalam sesetengah kes, bagi integer a dan b yang diberi, tiada integer q yang mana kesamaan a=b·q adalah benar. Dalam kes sedemikian, kita mengatakan bahawa integer a tidak boleh dibahagikan dengan integer b (bermaksud bahawa a tidak boleh dibahagikan dengan b). Walau bagaimanapun, dalam kes ini mereka menggunakan.
Mari kita fahami konsep pembahagian menggunakan contoh.
Sebarang integer a boleh dibahagi dengan nombor a, dengan nombor −a, a, dengan satu dan dengan nombor −1.
Mari kita buktikan sifat boleh bahagi ini.
Untuk mana-mana integer a, kesamaan a=a·1 dan a=1·a adalah sah, yang mana ia berikutan bahawa a boleh dibahagi dengan a, dan hasil bahagi adalah sama dengan satu, dan a boleh dibahagi dengan 1, dan hasil bagi adalah sama dengan a. Untuk mana-mana integer a, kesamaan a=(−a)·(−1) dan a=(−1)·(−a) adalah juga sah, yang mana ia mengikuti bahawa a boleh dibahagi dengan nombor yang bertentangan dengan a, sebagai serta a boleh dibahagi dengan unit tolak.
Perhatikan bahawa sifat kebolehbahagi bagi integer a dengan sendirinya dipanggil sifat reflekstiviti.
Sifat boleh bahagi seterusnya menyatakan bahawa sifar boleh dibahagikan dengan sebarang integer b.
Sesungguhnya, oleh kerana 0=b·0 untuk sebarang integer b, maka sifar boleh dibahagi dengan sebarang integer.
Khususnya, sifar juga boleh dibahagikan dengan sifar. Ini mengesahkan kesamaan 0=0·q, dengan q ialah sebarang integer. Daripada kesamaan ini, hasil bagi sifar dibahagikan dengan sifar ialah sebarang integer.
Perlu diingatkan juga bahawa tiada integer lain selain sifar boleh dibahagikan dengan 0. Mari kita jelaskan ini. Jika sifar membahagi integer berbeza daripada sifar, maka kesamaan a=0·q hendaklah benar, dengan q ialah beberapa integer, dan kesamaan terakhir hanya mungkin jika a=0.
Jika integer a boleh dibahagi dengan integer b dan a adalah kurang daripada modulus b, maka a adalah sama dengan sifar. Dalam bentuk literal, sifat bahagi ini ditulis seperti berikut: jika ab dan , maka a=0.
Bukti.
Oleh kerana a boleh dibahagi dengan b, terdapat integer q yang mana kesamaan a=b·q adalah benar. Kemudian kesaksamaan juga mesti benar, dan oleh sebab kesamaan bentuk juga mesti benar. Jika q tidak sama dengan sifar, maka ia mengikuti bahawa . Mengambil kira ketidaksamaan yang diperolehi, ia berikutan daripada kesamarataan yang . Tetapi ini bercanggah dengan syarat. Oleh itu, q hanya boleh sama dengan sifar, dan kita memperoleh a=b·q=b·0=0, iaitu apa yang perlu kita buktikan.
Jika integer a bukan sifar dan boleh dibahagikan dengan integer b, maka modulus a adalah tidak kurang daripada modulus b. Iaitu, jika a≠0 dan ab, maka . Sifat pembahagian ini mengikuti terus dari yang sebelumnya.
Satu-satunya pembahagi perpaduan ialah integer 1 dan −1.
Pertama, mari kita tunjukkan bahawa 1 boleh dibahagi dengan 1 dan −1. Ini berikutan daripada kesamaan 1=1·1 dan 1=(−1)·(−1) .
Ia kekal untuk membuktikan bahawa tiada integer lain adalah pembahagi perpaduan.
Katakan integer b, berbeza daripada 1 dan −1, ialah pembahagi perpaduan. Oleh kerana perpaduan boleh dibahagikan dengan b, maka, disebabkan oleh sifat boleh bahagi sebelumnya, ketidaksamaan mesti dipenuhi, yang bersamaan dengan ketaksamaan. Ketaksamaan ini dipenuhi oleh hanya tiga integer: 1, 0, dan −1. Oleh kerana kita mengandaikan bahawa b adalah berbeza daripada 1 dan −1, maka hanya b=0 yang tinggal. Tetapi b=0 tidak boleh menjadi pembahagi perpaduan (seperti yang kami tunjukkan semasa menerangkan sifat kebolehbahagi kedua). Ini membuktikan bahawa tiada nombor selain 1 dan −1 adalah pembahagi perpaduan.
Untuk integer a boleh dibahagi dengan integer b adalah perlu dan mencukupi bahawa modulus nombor a boleh dibahagikan dengan modulus nombor b.
Mari kita buktikan dahulu keperluannya.
Biarkan a dibahagikan dengan b, maka terdapat integer q sehingga a=b·q. Kemudian 
. Oleh kerana ia adalah integer, kesamaan membayangkan bahawa modulus nombor a boleh dibahagikan dengan modulus nombor b.
Sekarang kecukupan.
Biarkan modulus nombor a dibahagikan dengan modulus nombor b, maka wujud integer q supaya . Jika nombor a dan b adalah positif, maka kesamaan a=b·q adalah benar, yang membuktikan kebolehbahagi a dengan b. Jika a dan b adalah negatif, maka kesamaan −a=(−b)·q adalah benar, yang boleh ditulis semula sebagai a=b·q. Sekiranya - nombor negatif, dan b adalah positif, maka kita mempunyai −a=b·q, kesamaan ini bersamaan dengan kesamaan a=b·(−q) . Jika a adalah positif dan b adalah negatif, maka kita mempunyai a=(−b)·q , dan a=b·(−q) . Oleh kerana kedua-dua q dan −q adalah integer, kesamaan yang terhasil membuktikan bahawa a boleh dibahagi dengan b.
Akibat 1.
Jika integer a boleh dibahagi dengan integer b, maka a juga boleh dibahagi dengan nombor berlawanan −b.
Akibat 2.
Jika integer a boleh dibahagi dengan integer b, maka −a juga boleh dibahagi dengan b.
Kepentingan sifat boleh bahagi yang baru dibincangkan sukar untuk dianggarkan terlalu tinggi - teori boleh bahagi boleh diterangkan pada set integer positif, dan sifat boleh bahagi ini memanjangkannya kepada integer negatif.
Kebolehbahagi mempunyai sifat transitif: jika integer a boleh dibahagi dengan beberapa integer m, dan nombor m pula dibahagikan dengan beberapa integer b, maka a boleh dibahagi dengan b. Iaitu, jika am dan mb, maka ab.
Mari kita berikan bukti harta boleh bahagi ini.
Oleh kerana a boleh dibahagi dengan m, terdapat beberapa integer a 1 sehingga a=m·a 1. Begitu juga, kerana m boleh dibahagi dengan b, terdapat beberapa integer m 1 sehingga m=b·m 1. Kemudian a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). Oleh kerana hasil darab dua integer ialah integer, maka m 1 ·a 1 ialah beberapa integer. Menyatakannya q, kita sampai pada kesamaan a=b·q, yang membuktikan sifat kebolehbahagi yang sedang dipertimbangkan.
Kebolehbahagiaan mempunyai sifat antisimetri, iaitu, jika a dibahagikan dengan b dan pada masa yang sama b dibahagikan dengan a, maka sama ada integer a dan b, atau nombor a dan −b, adalah sama.
Daripada pembahagian a dengan b dan b dengan a, kita boleh bercakap tentang kewujudan integer q 1 dan q 2 sehingga a=b·q 1 dan b=a·q 2. Menggantikan b·q 1 bukannya a ke dalam kesamaan kedua, atau menggantikan a·q 2 bukannya b ke dalam kesamaan pertama, kita memperolehi bahawa q 1 ·q 2 =1, dan memandangkan q 1 dan q 2 ialah integer, ini hanya mungkin jika q 1 =q 2 =1 atau apabila q 1 =q 2 =−1. Ia berikutan bahawa a=b atau a=−b (atau, apakah yang sama, b=a atau b=−a ).
Untuk sebarang integer dan bukan sifar nombor b, terdapat integer a, tidak sama dengan b, yang boleh dibahagi dengan b.
Nombor ini ialah mana-mana nombor a=b·q, dengan q ialah sebarang integer tidak sama dengan satu. Kita boleh beralih kepada harta pembahagian seterusnya.
Jika setiap dua sebutan integer a dan b boleh dibahagi dengan integer c, maka jumlah a+b juga boleh dibahagi dengan c.
Oleh kerana a dan b boleh dibahagi dengan c, kita boleh menulis a=c·q 1 dan b=c·q 2. Kemudian a+b=c q 1 +c q 2 =c (q 1 +q 2)(peralihan terakhir mungkin disebabkan oleh ). Oleh kerana hasil tambah dua integer ialah integer, kesamaan a+b=c·(q 1 +q 2) membuktikan kebolehbahagiaan hasil tambah a+b dengan c.
Harta ini boleh dilanjutkan kepada jumlah tiga, empat atau lebih istilah.
Jika kita juga ingat bahawa menolak integer b daripada integer a ialah penambahan nombor a dengan nombor −b (lihat), maka sifat kebolehbahagi ini juga benar untuk perbezaan nombor. Contohnya, jika integer a dan b boleh dibahagi dengan c, maka beza a−b juga boleh dibahagikan dengan c.
Jika diketahui bahawa dalam kesamaan bentuk k+l+…+n=p+q+…+s semua sebutan kecuali satu boleh dibahagi dengan beberapa integer b, maka satu sebutan ini juga boleh dibahagikan dengan b.
Katakan istilah ini ialah p (kita boleh mengambil mana-mana syarat kesamaan, yang tidak akan menjejaskan penaakulan). Kemudian p=k+l+…+n−q−…−s . Ungkapan yang diperoleh di sebelah kanan kesamaan dibahagikan dengan b disebabkan oleh sifat sebelumnya. Oleh itu, nombor p juga boleh dibahagikan dengan b.
Jika integer a boleh dibahagi dengan integer b, maka hasil darab a·k, dengan k ialah integer arbitrari, dibahagikan dengan b.
Oleh kerana a boleh dibahagikan dengan b, kesamaan a=b·q adalah benar, dengan q ialah beberapa integer. Kemudian a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (peralihan terakhir telah dijalankan kerana ). Oleh kerana hasil darab dua integer ialah integer, kesamaan a·k=b·(q·k) membuktikan kebolehbahagi hasil darab a·k dengan b.
Akibat: jika integer a boleh dibahagi dengan integer b, maka hasil darab a·k 1 ·k 2 ·…·k n, dengan k 1, k 2, …, k n ialah beberapa integer, boleh dibahagi dengan b.
Jika integer a dan b boleh dibahagi dengan c, maka hasil tambah a·u dan b·v dalam bentuk a·u+b·v, dengan u dan v ialah integer arbitrari, dibahagikan dengan c.
Bukti harta boleh bahagi ini serupa dengan dua sebelumnya. Daripada keadaan kita mempunyai a=c·q 1 dan b=c·q 2. Kemudian a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). Oleh kerana hasil tambah q 1 ·u+q 2 ·v ialah integer, maka kesamaan bentuk a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) membuktikan bahawa a·u+b·v boleh dibahagikan dengan c.
Ini menyimpulkan ulasan kami tentang sifat asas kebolehbahagi.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. dan lain-lain.Matematik. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am.
- Vinogradov I.M. Asas teori nombor.
- Mikhelovich Sh.H. Teori nombor.
- Kulikov L.Ya. dan lain-lain. Koleksi masalah dalam algebra dan teori nombor: Tutorial untuk pelajar fizik dan matematik. keistimewaan institut pedagogi.
Namakan nombor yang digunakan untuk mengira. Setiap bilangan item boleh dikira sepadan dengan nombor asli tertentu. Jika tiada objek untuk dikira, maka nombor 0 digunakan, tetapi apabila mengira objek kita tidak pernah bermula dari 0, dan dengan itu nombor 0 tidak boleh diklasifikasikan sebagai semula jadi. Jelas bahawa nombor asli terkecil ialah satu. Tiada nombor asli terbesar, kerana tidak kira berapa besar nombor itu, anda sentiasa boleh menambah 1 padanya dan menulis nombor asli seterusnya.
Mari kita selesaikan contoh paling mudah pembahagian: bahagikan nombor 30 dengan nombor 5 (selebihnya apabila membahagikan nombor 30 dengan nombor 5 ialah 0), kerana 30 = 5. 6. Jadi nombor 30 boleh dibahagi dengan nombor 5. Nombor 5 ialah pembahagi nombornya ialah 30, dan nombor 30 ialah pelbagai nombor 5.
Nombor asli k n, jika terdapat nombor asli sedemikian m, yang mana persamaan itu dipegang k = n . m.
Atau dengan kata lain , untuk membahagikan satu nombor dengan yang lain, anda perlu mencari nombor ketiga yang, apabila didarab dengan yang kedua, memberikan yang pertama
Jika nombor asli k boleh dibahagi dengan nombor asli n, kemudian nombor k dipanggil gandaan nombor,
nombor n — pembahagi nombor k.
Nombor 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 juga merupakan pembahagi 30, dan 30 ialah gandaan bagi setiap nombor ini. Perhatikan bahawa nombor 30 tidak boleh dibahagikan dengan, sebagai contoh, nombor 7. Oleh itu, nombor 7 bukan pembahagi nombor 30, dan nombor 30 bukan gandaan nombor 7.
Selepas melakukan operasi bahagi mereka berkata: “Nombor k boleh dibahagi dengan nombor n", "Nombor n ialah pembahagi nombor k", "Nombor k gandaan nombor n", "Nombor k ialah gandaan nombor n».
Adalah mudah untuk menulis semua pembahagi nombor 6. Ini adalah nombor 1, 2, 3 dan 6. Adakah mungkin untuk menyenaraikan semua nombor yang merupakan gandaan nombor 6? Nombor 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5, dsb. ialah gandaan bagi nombor 6. Kami dapati terdapat banyak nombor tak terhingga yang merupakan gandaan nombor 6. Oleh itu, adalah mustahil untuk menyenaraikan semuanya.
Secara umum, untuk sebarang nombor asli k setiap nombor
k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...
ialah gandaan nombor k.
Pembahagi terkecil sebarang nombor asli k ialah nombor 1, dan pembahagi terbesar- nombor itu sendiri k.
Antara nombor yang gandaan k, tidak ada yang terbesar, tetapi yang terkecil ialah - ini adalah nombor itu sendiri k.
Setiap nombor 21 dan 36 boleh dibahagikan dengan nombor 3, dan jumlahnya, nombor 57, juga boleh dibahagikan dengan nombor 3. Secara umum, jika setiap nombor k Dan n boleh dibahagi dengan nombor m, kemudian jumlahnya k+n juga boleh dibahagi dengan nombor m.
Setiap nombor 4 dan 8 bukan saham ialah integer dengan nombor 3, dan jumlahnya, nombor 12, tidak boleh dibahagi sama rata dengan nombor 3. Setiap nombor 9 dan 7 tidak boleh dibahagi sama rata dengan nombor 5, dan jumlahnya, nombor 16, ialah tidak boleh dibahagi sama rata dengan nombor 5. Secara umum, jika kedua-dua nombor itu k, tiada nombor n tidak boleh dibahagi sama rata dengan nombor m, kemudian jumlahnya k + n boleh atau mungkin tidak boleh dibahagi dengan nombor bulat m.
Nombor 35 boleh dibahagikan dengan nombor 7 tanpa baki, tetapi nombor 17 tidak boleh dibahagikan dengan nombor 7. Jumlah 35 + 17 juga tidak boleh dibahagikan dengan nombor 7. Secara umum, jika nombor k boleh dibahagi dengan nombor m dan nombor n tidak boleh dibahagikan dengan nombor m, kemudian jumlahnya k + n tidak boleh dibahagikan dengan nombor m.
Persidangan penyelidikan serantau untuk pelajar sekolah daerah perbandaran Lakhdenpokh
"Langkah ke Masa Depan"
Projek matematik mengenai topik:
Dilengkapkan oleh: Galkina Natalya
pelajar darjah 7
MKOU "Sekolah Menengah Elisenvaara"
Ketua: Vasilyeva
Larisa Vladimirovna
guru matematik
MKOU "Sekolah Menengah Elisenvaara"
Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh digit terakhir 5 – 6 muka surat.
Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh jumlah digit nombor: 6 muka surat.
Pembahagian nombor ditentukan selepas melakukan beberapa tindakan pada digit nombor 6 - 9 muka surat.
Untuk menentukan kebolehbahagi nombor, tanda lain digunakan 9 – 10 muka surat.
Pengenalan 3 muka surat
Dari sejarah matematik 4 muka surat.
Konsep asas 4 muka surat.
Klasifikasi tanda boleh bahagi: 5 muka surat.
Pemakaian kriteria pembahagian dalam amalan 10 – 11 muka surat.
Kesimpulan 11 muka surat
Bibliografi 12 muka surat.
pengenalan
Perkaitan penyelidikan: Tanda-tanda kebolehpecahan sentiasa menarik minat saintis dari zaman dan bangsa yang berbeza. Apabila mempelajari topik "Tanda pembahagian nombor dengan 2, 3, 5, 9, 10" dalam pelajaran matematik, saya mula berminat untuk mengkaji nombor untuk kebolehbahagi. Diandaikan bahawa jika adalah mungkin untuk menentukan kebolehbahagi nombor dengan nombor-nombor ini, maka mesti ada tanda-tanda yang boleh menentukan kebolehbahagiaan. nombor asli dan untuk nombor lain. Dalam sesetengah kes, untuk mengetahui sama ada sebarang nombor asli boleh dibahagikan a kepada nombor asli b tanpa baki, tidak perlu membahagikan nombor ini. Ia cukup untuk mengetahui beberapa tanda kebolehpecahan.
Hipotesis– jika terdapat tanda-tanda pembahagian nombor asli dengan 2, 3, 5, 9 dan 10, maka terdapat tanda-tanda lain di mana kebolehbahagi nombor asli boleh ditentukan.
Tujuan kajian – menambah tanda-tanda boleh bahagi yang telah diketahui bagi nombor asli secara keseluruhan, dipelajari di sekolah dan sistematikkan tanda-tanda boleh bahagi ini.
Untuk mencapai matlamat ini, adalah perlu untuk menyelesaikan perkara berikut tugasan:
Menyiasat bebas pembahagian nombor.
Kaji kesusasteraan tambahan untuk membiasakan diri dengan tanda-tanda pembahagian yang lain.
Gabungkan dan ringkaskan ciri-ciri daripada sumber yang berbeza.
Buat kesimpulan.
Objek kajian– mengkaji semua kemungkinan tanda-tanda kebolehpecahan.
Subjek kajian– tanda-tanda kebolehpecahan.
Kaedah penyelidikan– pengumpulan bahan, pemprosesan data, perbandingan, analisis, sintesis.
Kebaharuan: Semasa menjalankan projek, saya mengembangkan pengetahuan saya tentang tanda-tanda kebolehbahagi nombor asli.
Daripada sejarah matematik
Blaise Pascal(lahir pada 1623) - salah satu yang paling banyak orang terkenal dalam sejarah umat manusia. Pascalumer, ketika dia berumur 39 tahun, tetapi walaupun begitu hidup yang singkat, turun dalam sejarah sebagai ahli matematik, ahli fizik, ahli falsafah dan penulis yang cemerlang. Unit tekanan (pascal) dan bahasa pengaturcaraan yang sangat popular hari ini dinamakan sempena namanya. Blaise Pascal menemui perkara biasa
Ujian Pascal ialah kaedah yang membolehkan anda mendapatkan ujian untuk kebolehbahagi dengan sebarang nombor. Sejenis "tanda universal pembahagian".
Ujian pembahagian Pascal: Nombor asli A akan dibahagikan dengan nombor asli yang lain b hanya jika jumlah hasil darab digit nombor itu A ke dalam baki sepadan yang diperoleh dengan membahagikan unit digit dengan nombor b, dibahagikan dengan nombor ini.
Sebagai contoh : nombor 2814 boleh dibahagi dengan 7, kerana 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 boleh dibahagi dengan 7. (Di sini 6 ialah baki pembahagian 1000 dengan 7, 2 ialah baki pembahagian 100 dengan 7 dan 3 ialah baki daripada membahagi 10 dengan 7).
Konsep asas
Mari kita ingat beberapa konsep matematik yang kita perlukan semasa mempelajari topik ini.
Ujian pembahagian ialah peraturan yang, tanpa melakukan pembahagian, anda boleh menentukan sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain.
Pembahagi nombor asli A namakan nombor asli yang A dibahagikan tanpa baki.
Mudah dipanggil nombor asli yang tidak mempunyai pembahagi semula jadi lain kecuali satu dan dirinya sendiri.
Komposit ialah nombor yang mempunyai pembahagi semula jadi selain daripada 1 dan diri mereka sendiri.
Tanda-tanda pembahagian
Semua tanda pembahagian nombor asli yang saya pertimbangkan dalam karya ini boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan:
Mari kita lihat lebih dekat setiap kumpulan ini.
Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh digit terakhir
Kumpulan pertama tanda kebolehbahagi nombor asli yang saya pertimbangkan termasuk tanda kebolehbahagi dengan 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 dan unit digit 10, 100, dsb.
Uji kebolehbahagi dengan 2: Nombor boleh dibahagi dengan 2 apabila digit terakhir nombor itu boleh dibahagi dengan 2 (iaitu digit terakhir ialah nombor genap).
Sebagai contoh: 32217864 : 2
Uji kebolehbahagi dengan 4 : Nombor boleh dibahagi dengan 4 apabila dua digit terakhirnya adalah sifar, atau apabila nombor dua digit yang dibentuk oleh dua digit terakhirnya boleh dibahagi dengan 4.
Sebagai contoh, 35324 : 4; 6600 : 4
Ujian pembahagian sebanyak 5 : Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah 5 atau 0.
Sebagai contoh: 36780 : 5 atau 12326 5 : 5
Uji kebolehbahagi dengan 8: suatu nombor boleh dibahagi dengan 8 apabila ia boleh dibahagi dengan 8 nombor tiga digit, terbentuk daripada tiga digit terakhir nombor ini.
Sebagai contoh: 432240 : 8
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 20: nombor boleh dibahagi dengan 20 apabila nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir boleh dibahagikan dengan 20. (Rumusan lain: nombor boleh dibahagi dengan 20 apabila digit terakhir nombor ialah 0 dan digit kedua adalah genap).
Sebagai contoh: 59640 : 20
Uji kebolehbahagi dengan 25: Nombor yang dua digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 25 boleh dibahagi dengan 25.
Sebagai contoh: 667975 : 25 atau 77689 00 : 25
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 50: Nombor boleh dibahagi dengan 50 apabila nombor yang dibentuk oleh dua digit perpuluhan terendahnya boleh dibahagi dengan 50.
Sebagai contoh: 564350 :50 atau 5543 00 :50
Ujian boleh bahagi dengan 125: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 125 jika tiga digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 125.
Sebagai contoh: 32157000 :125 atau 3216 250 :125
Nombor asli yang bilangan sifarnya lebih besar daripada atau sama dengan bilangan sifar unit digit dibahagikan kepada unit digit.
Sebagai contoh, 12,000 boleh dibahagi dengan 10, 100 dan 1000.
Kebolehbahagi nombor ditentukan oleh jumlah digit nombor itu
Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi dengan 3, 9, 11 yang saya pertimbangkan.
Uji kebolehbahagi dengan 3: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3.
Sebagai contoh: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)
Uji kebolehbahagi dengan 9: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 9 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 9.
Sebagai contoh: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 11: Nombor tersebut boleh dibahagi dengan 11 jika jumlah digit di tempat ganjil sama ada sama dengan jumlah digit di tempat genap atau berbeza daripadanya dengan gandaan 11.
Sebagai contoh: 865948732:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)
Pembahagian nombor ditentukan selepas melakukan beberapa tindakan pada digit nombor ini
Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi mengikut: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101
Uji kebolehbahagi dengan 6:
Tanda 1: Nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila hasil penolakan dua kali bilangan ratus daripada nombor selepas seratus boleh dibahagi dengan 6.
Sebagai contoh, 138: 6 kerana 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kerana 44 – 7·2=30, (30:6)
Tanda 2: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 6 jika dan hanya jika empat kali ganda bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan unit boleh dibahagi dengan 6.
Sebagai contoh, 768:6 kerana 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)
Kebolehbahagiaan sebanyak 7:
Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 7 apabila tiga kali ganda bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan unit boleh dibahagi dengan 7.
Sebagai contoh, nombor 154:7, kerana 15 3 + 4 = 49 (49:7) dibahagikan dengan 7
Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 7 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil tiga digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “-” boleh dibahagi dengan 7.
Sebagai contoh, 138689257:7, kerana ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)
Kebolehbahagiaan sebanyak 11:
Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 11 apabila modulus perbezaan antara jumlah digit yang menduduki kedudukan ganjil dan hasil tambah digit yang menduduki kedudukan genap boleh dibahagi dengan 11.
Sebagai contoh, 9163627:11, kerana ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)
Tanda 2: suatu nombor boleh dibahagi dengan 11 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 11.
Sebagai contoh, 103785:11, kerana 10+37+85=132 dan 01+32=33 (33:11)
Kebolehbahagiaan sebanyak 13:
Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila hasil tambah nombor puluhan ditambah empat kali nombor itu boleh dibahagi dengan 13.
Sebagai contoh, 845:13, kerana 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)
Tanda 2: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila perbezaan antara bilangan puluh dan sembilan kali bilangan satu boleh dibahagi dengan 13.
Sebagai contoh, 845:13, kerana 84-5 9=39 (39:13)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 17: suatu nombor boleh dibahagi dengan 17 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan lima kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 17.
Sebagai contoh, 221:17, kerana ǀ22-5·1ǀ=17
Tanda-tanda boleh dibahagikan dengan 19: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 19 apabila bilangan puluh ditambah kepada dua kali bilangan unit boleh dibahagikan dengan 19.
Sebagai contoh, 646:19, kerana 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 23:
Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila nombor ratusan yang ditambah kepada tiga kali ganda nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 23.
Sebagai contoh, 28842:23, kerana 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)
Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan puluh ditambah kepada tujuh kali bilangan satu boleh dibahagi dengan 23.
Sebagai contoh, 391:23, kerana 3 9+7 1=46 (46:23)
Tanda 3: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan ratus ditambah kepada tujuh kali bilangan puluh dan tiga kali ganda bilangan unit boleh dibahagi dengan 23.
Sebagai contoh, 391:23, kerana 3+7·9+3·1=69 (69:23)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 27: suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan tiga digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 27.
Sebagai contoh, 2705427:27 kerana 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 29: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 29 apabila bilangan puluh ditambah kepada tiga kali bilangan unit boleh dibahagikan dengan 29.
Sebagai contoh, 261:29, kerana 26+3·1=29 (29:29)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 31: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 31 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan tiga kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 31.
Sebagai contoh, 217:31, kerana ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 33: Jika jumlah yang dibuat dengan membahagikan nombor dari kanan ke kiri kepada kumpulan dua digit boleh dibahagi dengan 33, maka nombor itu boleh dibahagi dengan 33.
Sebagai contoh, 396:33, kerana 96+3=99 (99:33)
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 37:
Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila, apabila membahagikan nombor kepada kumpulan tiga digit (bermula dengan satu), jumlah kumpulan ini ialah gandaan 37.
Sebagai contoh, nombor 100048:37, kerana 100+048=148, (148:37)
Tanda 2: suatu nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila modulus tiga kali ganda bilangan ratus ditambah kepada empat kali ganda bilangan puluh tolak bilangan unit didarab dengan tujuh dibahagikan dengan 37.
Sebagai contoh, nombornya ialah 481:37, kerana ia boleh dibahagi dengan 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37
Kriteria pembahagian sebanyak 41:
Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 41 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan empat kali bilangan unit boleh dibahagikan dengan 41.
Sebagai contoh, 369:41, kerana ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)
Tanda 2: Untuk menyemak sama ada nombor boleh dibahagi dengan 41, ia hendaklah dibahagikan dari kanan ke kiri kepada kumpulan 5 digit setiap satu. Kemudian dalam setiap kumpulan, darab digit pertama di sebelah kanan dengan 1, darab digit kedua dengan 10, ketiga dengan 18, keempat dengan 16, kelima dengan 37 dan menambah semua hasil yang terhasil. Jika hasilnyaakan dibahagi dengan 41, maka nombor itu sendiri akan dibahagikan dengan 41.
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 59: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 59 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 6 boleh dibahagi dengan 59.
Sebagai contoh, 767:59, kerana 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)
Uji kebolehbahagi dengan 79: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 79 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 8 boleh dibahagi dengan 79.
Sebagai contoh, 711:79, kerana 71+8·1=79, (79:79)
Ujian pembahagian sebanyak 99: Nombor boleh dibahagi dengan 99 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagikan dengan 99.
Sebagai contoh, 12573:99, kerana 1+25+73=99, (99:99)
Ujian pembahagian sebanyak 101: sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 101 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil dua digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “–” boleh dibahagi dengan 101.
Sebagai contoh
Untuk menentukan pembahagian nombor, kriteria pembahagian lain digunakan
Kumpulan tanda kebolehbahagi nombor asli ini termasuk tanda kebolehbahagi dengan: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, dsb. Ini semua adalah nombor komposit. Kriteria kebolehbahagi untuk nombor komposit adalah berdasarkan kriteria kebolehbahagi untuk nombor perdana, di mana sebarang nombor komposit boleh diuraikan.
Uji kebolehbahagi dengan 6:
Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 dan 3, iaitu, jika ia genap dan hasil tambah digitnya boleh dibahagi dengan 3.
Sebagai contoh, 768:6, kerana 7+6+8=21 (21:3) dan digit terakhir dalam nombor 768 ialah genap.
Ujian pembahagian sebanyak 12: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 12 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 4 pada masa yang sama.
Sebagai contoh, 408:12, kerana 4+0+8=12 (12:3) dan dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 4 (08:4)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 14: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 14 apabila ia boleh dibahagi dengan 2 dan 7.
Sebagai contoh, nombor 45612:14 kerana ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 dan 7, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 14.
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 15: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 15 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 5.
Sebagai contoh, 1146795:15 kerana Nombor ini boleh dibahagi dengan 3 dan 5.
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 27: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 9.
Sebagai contoh, 511704:27 kerana 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 dan 18:9)
Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 30: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 30 apabila ia berakhir dengan 0 dan hasil tambah semua digit boleh dibahagi dengan 3.
Sebagai contoh, 510:30 kerana 5+1+0=6 (6:3) dan dalam nombor 510 (digit terakhir 0)
Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 60: Untuk nombor boleh dibahagi dengan 60, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia boleh dibahagikan dengan 4, 3, atau 5.
Sebagai contoh, 1620:60 kerana 1+6+2+0=9 (9:3), nombor 1620 berakhir dengan 0, i.e. boleh dibahagi dengan 5 dan 1620: 4 kerana dua digit terakhir 20:4
Kerja itu mempunyai aplikasi praktikal. Ia boleh digunakan oleh pelajar sekolah dan orang dewasa apabila menyelesaikan situasi sebenar; guru, baik semasa mengendalikan pelajaran matematik mahupun dalam kursus elektif dan kelas tambahan untuk pengulangan.
Kajian ini akan berguna kepada pelajar apabila latihan diri untuk peperiksaan akhir dan kemasukan. Ia juga berguna untuk pelajar yang matlamatnya adalah tempat tinggi di Olimpik bandar.
Tugasan No 1 . Adakah mungkin, dengan hanya menggunakan nombor 3 dan 4, untuk menulis:
nombor yang boleh dibahagi dengan 10;
nombor genap;
nombor yang merupakan gandaan 5;
nombor ganjil
Masalah No 2
Tulis beberapa nombor sembilan digit yang tidak mempunyai digit berulang (semua digit adalah berbeza) dan boleh dibahagi dengan 1 tanpa baki.
Tulis nombor yang terbesar daripada nombor ini.
Tulis nombor terkecil daripada nombor ini.
Jawapan: 987652413; 102347586
Masalah No 3
Cari nombor empat digit terbesar, semua digitnya berbeza dan boleh dibahagi dengan 2, 5, 9, 11.
Jawapan: 8910
Masalah No 4
Olya menghasilkan nombor tiga digit yang mudah, semuanya digitnya berbeza. Digit apakah ia boleh berakhir jika digit terakhirnya sama dengan hasil tambah dua yang pertama. Berikan contoh nombor tersebut.
Jawapan: hanya dengan 7. Terdapat 4 nombor yang memenuhi syarat masalah: 167, 257, 347, 527
Masalah No 5
Terdapat 70 pelajar dalam dua kelas bersama-sama. Dalam satu kelas, 7/17 pelajar tidak hadir ke kelas, dan dalam kelas lain, 2/9 menerima gred cemerlang dalam matematik. Berapakah bilangan murid dalam setiap kelas?
Penyelesaian: Dalam kelas pertama ini mungkin terdapat: 17, 34, 51... - nombor gandaan 17. Dalam kelas kedua: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - nombor gandaan daripada 9. Kita perlu memilih 1 nombor daripada jujukan pertama, dan 2 ialah nombor daripada yang kedua supaya mereka menambah sehingga 70. Selain itu, dalam jujukan ini hanya sebilangan kecil istilah boleh menyatakan kemungkinan bilangan kanak-kanak dalam kelas. Pertimbangan ini mengehadkan pemilihan pilihan dengan ketara. Satu-satunya pilihan yang mungkin ialah pasangan (34, 36).
Masalah No 6
Dalam darjah 9 untuk ujian 1/7 pelajar menerima A, 1/3 - B, ½ - C. Kerja selebihnya ternyata tidak memuaskan. Berapa banyak pekerjaan seperti itu ada?
Penyelesaian: Penyelesaian kepada masalah itu mestilah nombor yang merupakan gandaan nombor: 7, 3, 2. Mari kita cari nombor terkecil dahulu. LCM (7, 3, 2) = 42. Anda boleh mencipta ungkapan mengikut keadaan masalah: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 tidak berjaya. Masalah perhubungan matematik mengandaikan bahawa bilangan pelajar dalam kelas ialah 84, 126, dsb. Manusia. Tetapi akal sehat menunjukkan bahawa jawapan yang paling boleh diterima ialah nombor 42.
Jawapan: 1 kerja.
Kesimpulan:
Hasil daripada kerja ini, saya mengetahui bahawa selain tanda-tanda boleh bahagi dengan 2, 3, 5, 9 dan 10 yang saya tahu, terdapat juga tanda-tanda boleh bahagi nombor asli yang lain. Pengetahuan yang diperoleh dengan ketara mempercepatkan penyelesaian banyak masalah. Dan saya boleh menggunakan pengetahuan ini dalam diri saya aktiviti pendidikan, baik dalam pelajaran matematik mahupun dalam aktiviti ko-kurikulum. Perlu diingatkan juga bahawa rumusan beberapa kriteria pembahagian adalah rumit. Mungkin sebab itu mereka tidak belajar di sekolah. Saya menjangkakan untuk terus berusaha untuk mengkaji tanda-tanda kebolehbahagi nombor asli pada masa hadapan.
Kamus ensiklopedia ahli matematik muda. Savin A.P. Moscow "Pedagogi" 1989.
Matematik. Bahan tambahan untuk pelajaran matematik, gred 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.
Di sebalik halaman buku teks matematik. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Pendidikan, 1989.
Kerja ekstrakurikuler dalam matematik dalam gred 6-8. Moscow. "Pencerahan" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
“1001 soalan dan jawapan. Buku besar pengetahuan" Moscow. "Dunia Buku" 2004.
Kursus pilihan dalam matematik. Nikolskaya I.L. - Moscow. Pencerahan 1991.
Masalah olimpik dalam matematik dan kaedah untuk menyelesaikannya. Farkov A.V. - Moscow. 2003
sumber Internet.
Lihat kandungan pembentangan
“Tanda pembahagian nombor asli”
Persidangan penyelidikan serantau untuk murid sekolah
Daerah perbandaran Lakhdenpokh "Langkah ke masa depan"
“Tanda pembahagian nombor asli”
Dilengkapkan oleh: Galkina Natalya
pelajar darjah 7
MKOU "Sekolah Menengah Elisenvaara"
Ketua: Vasilyeva Larisa Vladimirovna
guru matematik di MKOU "Elisenvaarskaya" Sekolah Menengah"
2014
Perkaitan penyelidikan : Tanda-tanda perpecahan sentiasa menarik minat saintis dari masa dan bangsa yang berbeza. Apabila mempelajari topik "Tanda pembahagian nombor dengan 2, 3, 5, 9, 10" dalam pelajaran matematik, saya mula berminat untuk mengkaji nombor untuk kebolehbahagi. Diandaikan bahawa jika mungkin untuk menentukan kebolehbahagi nombor dengan nombor-nombor ini, maka mesti ada tanda-tanda yang membolehkan seseorang menentukan kebolehbahagi nombor asli dengan nombor lain. Dalam sesetengah kes, untuk mengetahui sama ada sebarang nombor asli boleh dibahagikan a kepada nombor asli b tanpa baki, tidak perlu membahagikan nombor ini. Ia cukup untuk mengetahui beberapa tanda kebolehpecahan. Hipotesis – jika terdapat tanda-tanda pembahagian nombor asli dengan 2, 3, 5, 9 dan 10, maka terdapat tanda-tanda lain di mana kebolehbahagi nombor asli boleh ditentukan. Tujuan kajian – menambah tanda-tanda boleh bahagi yang telah diketahui bagi nombor asli secara keseluruhan, dipelajari di sekolah dan sistematikkan tanda-tanda boleh bahagi ini. Untuk mencapai matlamat ini, adalah perlu untuk menyelesaikan perkara berikut tugasan:
- Menyiasat bebas pembahagian nombor.
- Kaji kesusasteraan tambahan untuk membiasakan diri dengan tanda-tanda pembahagian yang lain.
- Gabungkan dan ringkaskan ciri-ciri daripada sumber yang berbeza.
- Buat kesimpulan. Objek kajian – pembahagian nombor asli. Subjek kajian – tanda-tanda kebolehpecahan. Kaedah penyelidikan - pengumpulan bahan, pemprosesan data, perbandingan, analisis, generalisasi. Kebaharuan : Semasa projek itu saya telah mengembangkan pengetahuan saya mengenai kriteria pembahagian nombor asli.
Daripada sejarah matematik
Blaise Pascal (lahir 1623) - salah seorang yang paling terkenal dalam sejarah manusia. Pascal meninggal dunia ketika dia berumur 39 tahun, tetapi walaupun hidup yang begitu singkat, dia turun dalam sejarah sebagai ahli matematik, ahli fizik, ahli falsafah dan penulis yang cemerlang. Unit tekanan (pascal) dan bahasa pengaturcaraan yang sangat popular hari ini dinamakan sempena namanya. Blaise Pascal menemui perkara biasa algoritma untuk mencari tanda kebolehbahagi mana-mana integer dengan mana-mana integer lain.
Ujian Pascal ialah kaedah yang membolehkan anda mendapatkan ujian untuk kebolehbahagi dengan sebarang nombor. Sejenis "tanda universal pembahagian".
Ujian pembahagian Pascal: Nombor asli a akan dibahagikan dengan nombor asli b yang lain hanya jika hasil tambah digit nombor a dengan baki sepadan yang diperoleh dengan membahagikan unit digit dengan nombor b boleh dibahagi dengan nombor ini.
Sebagai contoh : nombor 2814 boleh dibahagi dengan 7, kerana 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 boleh dibahagi dengan 7. (Di sini 6 ialah baki pembahagian 1000 dengan 7, 2 ialah baki pembahagian 100 dengan 7 dan 3 ialah baki daripada membahagi 10 dengan 7).
Konsep asas
Mari kita ingat beberapa konsep matematik yang kita perlukan semasa mempelajari topik ini:
- Ujian pembahagian ialah peraturan yang, tanpa melakukan pembahagian, anda boleh menentukan sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain.
- Pembahagi nombor asli A panggil nombor asli b , ke mana A dibahagikan tanpa baki.
- Mudah dipanggil nombor asli yang tidak mempunyai pembahagi semula jadi lain kecuali satu dan dirinya sendiri.
- Komposit ialah nombor yang mempunyai pembahagi semula jadi selain daripada 1 dan diri mereka sendiri.
Tanda-tanda pembahagian
Semua tanda pembahagian nombor asli yang saya pertimbangkan dalam karya ini boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan:
saya
- saya . Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh digit terakhir
Kumpulan pertama tanda kebolehbahagi nombor asli yang saya pertimbangkan termasuk tanda kebolehbahagi dengan 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 dan unit digit 10, 100, dsb.
- Uji kebolehbahagi dengan 2 : Nombor boleh dibahagi dengan 2 apabila digit terakhir nombor itu boleh dibahagi dengan 2 (iaitu digit terakhir ialah nombor genap).
Sebagai contoh : 3221786 4 : 2
- Uji kebolehbahagi dengan 4 : Nombor boleh dibahagi dengan 4 apabila dua digit terakhirnya adalah sifar, atau apabila nombor dua digit yang dibentuk oleh dua digit terakhirnya boleh dibahagi dengan 4.
Sebagai contoh: 353 24 : 4; 66 00 : 4
- Ujian pembahagian sebanyak 5 : Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah 5 atau 0.
Contohnya: 3678 0 : 5 atau 12326 5 : 5
- Uji kebolehbahagi dengan 8: Nombor boleh dibahagi dengan 8 apabila nombor tiga digit yang terbentuk daripada tiga digit terakhir nombor itu boleh dibahagi dengan 8.
Contohnya: 432 240 : 8
- Uji kebolehbahagiaan sebanyak 20: suatu nombor boleh dibahagi dengan 20 apabila nombor itu dibentuk oleh dua terakhir nombor, boleh dibahagi dengan 20. (Rumusan lain: nombor boleh dibahagikan pada 20 apabila digit terakhir nombor ialah 0, dan digit kedua hingga terakhir ialah genap).
Contohnya: 596 40 : 20
- Uji kebolehbahagi dengan 25: Nombor yang dua digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 25 boleh dibahagi dengan 25.
Contohnya: 6679 75 : 25 atau 77689 00 : 25
- Uji kebolehbahagiaan sebanyak 50: Nombor boleh dibahagi dengan 50 apabila nombor yang dibentuk oleh dua digit perpuluhan terendahnya boleh dibahagi dengan 50.
Sebagai contoh : 5643 50 : 50 atau 5543 00 : 50
- Ujian boleh bahagi dengan 125: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 125 jika tiga digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 125.
Contohnya: 32157 000 : 125 atau 3216 250 : 125
- Tanda kebolehbahagi mengikut unit digit 10, 100, 1000, dsb.: Nombor asli yang bilangan sifarnya lebih besar daripada atau sama dengan bilangan sifar unit digit dibahagikan kepada unit digit.
Sebagai contoh, 12,000 boleh dibahagikan dengan 10, 100 dan 1000
II
- II . Kebolehbahagi nombor ditentukan oleh jumlah digit nombor itu
Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi dengan 3, 9, 11 yang saya pertimbangkan.
- Uji kebolehbahagi dengan 3: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3.
Sebagai contoh: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)
- Uji kebolehbahagi dengan 9: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 9 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 9.
Sebagai contoh: 653022: 9 kerana 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)
- Uji kebolehbahagiaan sebanyak 11: Nombor tersebut boleh dibahagi dengan 11 jika jumlah digit di tempat ganjil sama ada sama dengan jumlah digit di tempat genap atau berbeza daripadanya dengan gandaan 11.
Contohnya: 865948732:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)
III . Kebolehbahagiaan nombor ditentukan selepas melakukan beberapa tindakan
di atas digit nombor ini
Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi mengikut: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101
Uji kebolehbahagi dengan 6:
- Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila hasil penolakan dua kali bilangan ratus daripada nombor selepas beratus-ratus boleh dibahagi dengan 6.
Contohnya: 138: 6 kerana 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kerana 44 – 7·2=30, (30:6)
- Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 6 jika dan hanya jika nombor empat puluh sepuluh yang ditambah kepada bilangan unit boleh dibahagi dengan 6.
Contohnya: 768:6 kerana 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)
Kebolehbahagiaan sebanyak 7:
- Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 7 apabila tiga kali ganda bilangan puluh yang ditambah kepada nombor satu boleh dibahagikan dengan 7.
Contohnya: nombor 154:7, kerana 15 3 + 4 = 49 (49:7) dibahagikan dengan 7
- Tanda 2: nombor boleh dibahagikan dengan 7 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil tiga digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “-” boleh dibahagikan dengan 7.
Contohnya, 138689257:7, kerana ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)
Kebolehbahagiaan sebanyak 11:
- Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 11 apabila modulus perbezaan antara jumlah digit yang menduduki kedudukan ganjil dan jumlah digit yang menduduki kedudukan genap boleh dibahagikan dengan 11.
Sebagai contoh, 9163627:11, kerana ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)
- Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 11 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 11.
Sebagai contoh, 103785:11, kerana 10+37+85=132 dan 01+32=33 (33:11)
Kebolehbahagiaan sebanyak 13:
- Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila hasil tambah bilangan puluh dan empat kali ganda bilangan satu boleh dibahagikan dengan 13
Sebagai contoh, 845:13, kerana 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)
- Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila perbezaan antara bilangan puluh dan sembilan kali bilangan satu boleh dibahagi dengan 13.
Sebagai contoh, 845:13, kerana 84-5 9=39 (39:13)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 17: suatu nombor boleh dibahagi dengan 17 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan lima kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 17.
Sebagai contoh, 221:17, kerana ǀ22-5·1ǀ=17
Tanda-tanda boleh dibahagikan dengan 19: suatu nombor boleh dibahagi dengan 19 apabila nombor itu ialah puluh, dengan palsu dengan dua kali ganda bilangan unit, boleh dibahagikan dengan 19.
Sebagai contoh, 646:19, kerana 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 23:
- Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan ratusan ditambah kepada tiga kali ganda nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 23.
Sebagai contoh, 28842:23, kerana 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)
- Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan puluh ditambah kepada tujuh kali bilangan unit boleh dibahagikan dengan 23.
Sebagai contoh, 391:23, kerana 39+7·1=46 (46:23)
- Tanda 3: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan ratus, ditambah kepada tujuh kali bilangan puluh dan tiga kali ganda bilangan unit, boleh dibahagikan dengan 23.
Sebagai contoh, 391:23, kerana 3+7·9+3·1=69 (69:23)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 27: suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan tiga digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 27.
Sebagai contoh, 2705427:27 kerana 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 29: suatu nombor boleh dibahagi dengan 29 apabila bilangan puluh ditambah kepada tiga kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 29
Sebagai contoh, 261:29, kerana 26+3·1=29 (29:29)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 31: suatu nombor boleh dibahagi dengan 31 apabila modulus beza bilangan puluh dan tiga kali bilangan unit dibahagikan dengan 31.
Sebagai contoh, 217:31, kerana ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 33: Jika jumlah yang dibuat dengan membahagikan nombor dari kanan ke kiri kepada kumpulan dua digit boleh dibahagi dengan 33, maka nombor itu boleh dibahagi dengan 33.
Sebagai contoh, 396:33, kerana 96+3=99 (99:33)
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 37:
- Tanda 1 : nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila, apabila membahagikan nombor kepada kumpulan tiga digit (bermula dengan satu), jumlah kumpulan ini ialah gandaan 37.
Sebagai contoh , nombor 100048:37, kerana 100+048=148, (148:37)
- Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila modul tiga kali ganda bilangan ratus, ditambah kepada empat kali ganda bilangan puluh, tolak bilangan unit didarab dengan tujuh, boleh dibahagikan dengan 37.
Sebagai contoh, nombor 481:37, kerana ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 boleh dibahagi dengan 37
Kriteria pembahagian sebanyak 41:
- Tanda 1: nombor boleh dibahagikan dengan 41 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan empat kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 41.
Sebagai contoh, 369:41, kerana ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)
- Tanda 2: untuk menyemak sama ada nombor boleh dibahagi dengan 41, ia harus dibahagikan dari kanan ke kiri kepada kumpulan 5 digit setiap satu. Kemudian dalam setiap kumpulan, darab digit pertama di sebelah kanan dengan 1, darab digit kedua dengan 10, ketiga dengan 18, keempat dengan 16, kelima dengan 37 dan menambah semua hasil yang terhasil. Jika hasilnya boleh dibahagikan dengan 41, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 41.
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 59: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 59 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 6 boleh dibahagi dengan 59.
Sebagai contoh, 767:59, kerana 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)
Uji kebolehbahagi dengan 79: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 79 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 8 boleh dibahagi dengan 79.
Sebagai contoh, 711:79, kerana 71+8·1=79, (79:79)
Ujian pembahagian sebanyak 99: Nombor boleh dibahagi dengan 99 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagikan dengan 99.
Sebagai contoh, 12573:99, kerana 1+25+73=99, (99:99)
Ujian pembahagian sebanyak 101: sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 101 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil dua digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “–” boleh dibahagi dengan 101.
Sebagai contoh, 590547:101, kerana ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)
IV . Untuk menentukan pembahagian nombor, kriteria pembahagian lain digunakan
Kumpulan tanda kebolehbahagi nombor asli ini termasuk tanda kebolehbahagi dengan: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, dsb. Ini semua adalah nombor komposit. Kriteria kebolehbahagi untuk nombor komposit adalah berdasarkan kriteria kebolehbahagi untuk nombor perdana, di mana sebarang nombor komposit boleh diuraikan.
Uji kebolehbahagi dengan 6: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 dan 3, iaitu, jika ia genap dan hasil tambah digitnya boleh dibahagi dengan 3.
Sebagai contoh, 768:6, kerana 7+6+8=21 (21:3) dan digit terakhir dalam nombor 768 ialah genap.
Ujian pembahagian sebanyak 12 : Suatu nombor boleh dibahagi dengan 12 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 4 pada masa yang sama.
Sebagai contoh, 408:12, kerana 4+0+8=12 (12:3) dan dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 4 (08:4)
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 14: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 14 apabila ia boleh dibahagi dengan 2 dan 7.
Sebagai contoh, nombor 45612:14 kerana ia boleh dibahagikan dengan kedua-dua 2 dan 7, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 14
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 15: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 15 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 5.
Sebagai contoh, 1146795:15 kerana nombor ini boleh dibahagi dengan 3 dan 5
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 27: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 9. Sebagai contoh, 511704:27 kerana 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 dan 18:9)
Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 30: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 30 apabila ia berakhir dengan 0 dan hasil tambah semua digit boleh dibahagi dengan 3.
Sebagai contoh, 510:30 kerana 5+1+0=6 (6:3) dan dalam nombor 510 (digit terakhir 0)
Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 60: Untuk nombor boleh dibahagi dengan 60, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia boleh dibahagikan dengan 4, 3, atau 5.
Sebagai contoh, 1620:60 kerana 1+6+2+0=9 (9:3), nombor 1620 berakhir dengan 0, i.e. boleh dibahagi dengan 5 dan 1620: 4 kerana dua digit terakhir 20:4
Penggunaan kriteria pembahagian dalam amalan
Kerja itu mempunyai aplikasi praktikal. Ia boleh digunakan oleh pelajar sekolah dan orang dewasa apabila menyelesaikan situasi sebenar; guru, baik semasa pelajaran matematik dan dalam kursus elektif dan kelas ulang kaji tambahan.
Kajian ini akan berguna untuk pelajar dalam persediaan bebas mereka untuk peperiksaan akhir dan kemasukan. Ia juga berguna untuk pelajar yang matlamatnya adalah tempat tinggi di Olimpik bandar.
Tugasan No 1 . Adakah mungkin, dengan hanya menggunakan nombor 3 dan 4, untuk menulis:
- nombor yang boleh dibahagi dengan 10;
- nombor genap;
- nombor yang merupakan gandaan 5;
- nombor ganjil
Masalah No 3 : Cari nombor empat digit terbesar, semua digitnya berbeza dan boleh dibahagi dengan 2, 5, 9, 11.
Jawapan: 8910
Tugasan #4: Olya menghasilkan nombor tiga digit yang mudah, semuanya digitnya berbeza. Digit apakah ia boleh berakhir jika digit terakhirnya sama dengan hasil tambah dua yang pertama. Berikan contoh nombor tersebut.
Jawapan: hanya dengan 7. Terdapat 4 nombor yang memenuhi syarat masalah: 167, 257, 347, 527
Masalah No 5 : Terdapat 70 orang pelajar dalam dua kelas bersama-sama. Dalam satu kelas, 7/17 pelajar tidak hadir ke kelas, dan dalam kelas lain, 2/9 menerima gred cemerlang dalam matematik. Berapakah bilangan murid dalam setiap kelas?
Penyelesaian: Dalam kelas pertama ini mungkin terdapat: 17, 34, 51... - nombor gandaan 17. Dalam kelas kedua: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - nombor gandaan daripada 9. Kita perlu memilih 1 nombor daripada jujukan pertama, dan 2 ialah nombor daripada yang kedua supaya mereka menambah sehingga 70. Selain itu, dalam jujukan ini hanya sebilangan kecil istilah boleh menyatakan kemungkinan bilangan kanak-kanak dalam kelas. Pertimbangan ini mengehadkan pemilihan pilihan dengan ketara. Satu-satunya pilihan yang mungkin ialah pasangan (34, 36).
Masalah No 6 : Dalam gred 9, 1/7 pelajar menerima A untuk ujian, 1/3 menerima empat, ½ - tiga. Kerja selebihnya ternyata tidak memuaskan. Berapa banyak karya seperti itu ada?
Penyelesaian: Penyelesaian masalah mestilah nombor yang merupakan gandaan nombor: 7, 3, 2. Mari cari dahulu yang terkecil daripada nombor ini. LCM (7, 3, 2) = 42. Anda boleh membuat ungkapan mengikut syarat masalah: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 tidak berjaya. Masalah perhubungan matematik menganggap bahawa nombor pelajar dalam kelas 84, 126, dsb. Manusia. Tapi atas sebab akal Oleh itu, jawapan yang paling boleh diterima ialah nombor 42.
Jawapan: 1 kerja.
Kesimpulan:
Hasil daripada kerja ini, saya mengetahui bahawa selain tanda-tanda boleh bahagi dengan 2, 3, 5, 9 dan 10 yang saya tahu, terdapat juga tanda-tanda boleh bahagi nombor asli yang lain. Pengetahuan yang diperoleh dengan ketara mempercepatkan penyelesaian banyak masalah. Dan saya akan dapat menggunakan pengetahuan ini dalam aktiviti pendidikan saya, baik dalam pelajaran matematik mahupun dalam aktiviti kokurikulum. Perlu diingatkan juga bahawa rumusan beberapa kriteria kebolehbahagi adalah rumit. Mungkin sebab itu mereka tidak belajar di sekolah. Saya menjangkakan untuk terus berusaha untuk mengkaji tanda-tanda kebolehbahagi nombor asli pada masa hadapan.
- Kamus ensiklopedia ahli matematik muda. Savin A.P. Moscow "Pedagogi" 1989.
- Matematik. Bahan tambahan untuk pelajaran matematik, gred 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.
- Di sebalik halaman buku teks matematik. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Pendidikan, 1989.
- Kerja ekstrakurikuler dalam matematik dalam gred 6-8. Moscow. "Pencerahan" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
- “1001 soalan dan jawapan. Buku besar pengetahuan" Moscow. "Dunia Buku" 2004.
- Kursus pilihan dalam matematik. Nikolskaya I.L. - Moscow. Pencerahan 1991.
- Masalah olimpik dalam matematik dan kaedah untuk menyelesaikannya. Farkov A.V. - Moscow. 2003
- sumber Internet.
Nombor bulat
Satu set nombor asli yang digunakan untuk mengira atau memindahkan.
Secara formal, set nombor asli boleh ditakrifkan menggunakan sistem aksiom Peano.
DENGANSistem aksiom peano
1. Unit 
- nombor asli yang tidak mengikut sebarang nombor.
2. Untuk sebarang nombor asli 
wujud tunggal 
yang segera menyusul.
3. Setiap nombor asli 
serta-merta hanya mengikut satu nombor.
4. Jika ada yang ditetapkan 
mengandungi dan bersama-sama dengan setiap nombor asli mengandungi nombor serta-merta selepas itu 
(aksiom aruhan).
Operasi pada set
Pendaraban
|
Penolakan :
Sifat Tolak: Jika 
Itu
Jika 
Itu
Kebolehbahagi nombor asli
Bahagian
:
dibahagikan dengan 
seperti itu 
Hartanahoperasi:
1. Jika 
dibahagikan kepada 
Itu 
dibahagikan dengan 
2. Jika 
Dan 
dibahagikan kepada 
Itu 
dibahagikan dengan 
3. Jika 
Dan 
boleh dibahagi dengan yang boleh dibahagi dengan
4. Jika boleh dibahagikan pada masa itu 
dibahagikan dengan
5. Jika 
boleh dibahagikan dengan a 
tidak dibahagikan kepada ini dan itu 
tidak boleh dibahagikan dengan
6. Jika atau 
dibahagikan dengan itu 
dibahagikan dengan
7. Jika boleh dibahagikan dengan 
maka ia dibahagikan dengan 
dan dibahagikan dengan
Teoremtentang pembahagian dengan baki Untuk sebarang nombor asli 
hanya ada nombor positif 
seperti itu 
dan 
Bukti. biarlah 
Pertimbangkan algoritma berikut:
| Jika Jika Kami meneruskan proses penolakan sehingga bakinya kurang daripada nombor Ada nombor |
| Mari kita tambah semua baris algoritma ini dan dapatkan ungkapan yang diperlukan, di mana
|
lepas tu mari buat penolakan lagi
seperti itu 
Kami akan membuktikan keunikan perwakilan dengan percanggahan.
Katakan terdapat dua perwakilan
Dan 
Kurangkan satu ungkapan daripada yang lain dan 
Kesamaan terakhir dalam integer hanya mungkin dalam kes sejak itu 
di 
□
Akibat 1. Mana-mana nombor asli boleh diwakili sebagai: 
atau atau
Akibat 2. Jika 
nombor asli berturut-turut, maka salah satu daripadanya boleh dibahagi dengan 
Akibat 3. Jika 
dua nombor genap berturut-turut, maka satu daripadanya boleh dibahagi dengan 
Definisi.
Nombor asli 
dipanggil perdana jika ia tidak mempunyai pembahagi selain daripada satu dan dirinya sendiri.
Akibat4.
Setiap nombor perdana mempunyai bentuk 
atau 
Malah, sebarang nombor boleh diwakili dalam bentuk; walau bagaimanapun, semua nombor dalam siri ini, kecuali 
pastinya komposit. □
Akibat5
. Jika 
nombor perdana kemudian 
dibahagikan dengan 
sungguh, 
tiga nombor asli berturut-turut, dan 
malah, dan 
perdana ganjil. Oleh itu, salah satu daripada nombor genap 
Dan 
boleh dibahagi dengan 4, dan satu juga boleh dibahagi dengan 
□
Contoh 2 . Pernyataan berikut adalah benar:
1. Kuasa dua nombor ganjil apabila dibahagi dengan 8 memberikan baki 
2. Untuk tiada nombor asli n ialah nombor n 2 +1 boleh dibahagi dengan 3.
3. Hanya menggunakan nombor 2, 3, 7, 8 (mungkin beberapa kali), adalah mustahil untuk mengduakan nombor asli.
Bukti1.
Mana-mana nombor ganjil boleh diwakili sebagai 
atau 
Mari kita kuasa duakan setiap nombor ini dan dapatkan pernyataan yang diperlukan.
Bukti 2. Setiap nombor asli boleh diwakili sebagai 
Kemudian ungkapan 
akan sama dengan salah satu ungkapan 
yang tidak dibahagikan kepada 
Bukti3. Sesungguhnya, digit terakhir kuasa dua nombor asli tidak boleh berakhir dengan mana-mana digit ini.
Tanda-tanda pembahagian
Definisi. Perwakilan perpuluhan bagi nombor asli ialah perwakilan nombor dalam bentuk
Notasi ringkas 
Tanda-tanda boleh berpecah kepada
Diluluskan 6 biarlah 
perwakilan perpuluhan nombor nombor Kemudian:
1. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila angka tersebut 
- walaupun;
2. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila nombor itu ialah dua digit 
dibahagikan dengan 
3. Nombor boleh dibahagi dengan 
Bila 
atau 
4. Nombor boleh dibahagi dengan 
Bila 
5. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila nombor itu ialah dua digit 
- dibahagikan dengan 
6. Nombor boleh dibahagi dengan 
7. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila hasil tambah digit bagi suatu nombor dibahagikan dengan 
8. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila hasil tambah digit bagi suatu nombor dengan tanda berselang-seli dibahagi dengan 
Bukti. Bukti tanda 1)-5) mudah diperolehi daripada tatatanda perpuluhan nombor Mari kita buktikan 6) dan 7). sungguh,
Ia berikutan bahawa jika boleh dibahagikan (atau 
maka hasil tambah digit nombor itu juga boleh dibahagi dengan 
Mari kita buktikan 11). Biarkan ia boleh dibahagikan dengan Mari kita wakili nombor dalam bentuk
Oleh kerana semua jumlah tambah boleh dibahagikan dengan 
maka jumlah itu juga dibahagikan dengan □
Contoh 3
.
Cari semua nombor lima digit bagi borang itu 
, yang boleh dibahagi dengan 45.
Bukti.
Oleh itu, nombor itu boleh dibahagikan dengan 5, dan digit terakhirnya ialah 0 atau 5, i.e. 
atau 
Nombor asal juga boleh dibahagikan dengan 9, jadi ia boleh dibahagikan dengan 9, i.e. 
atau boleh dibahagikan dengan 9, i.e. 
Jawapan:
Ujian pembahagian pada 
Dan 
Diluluskan 7 Biarkan perwakilan perpuluhan bagi nombor Nombor Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila perbezaan antara nombor tanpa tiga digit terakhir dan nombor yang terdiri daripada tiga digit terakhir dibahagikan dengan 
Bukti. Mari kita wakili dalam bentuk Sejak nombor 
dibahagikan dengan dan 
Itu 
boleh dibahagikan dengan dan □
Contoh
4
.
biarlah 
Kemudian 
boleh dibahagi dengan dan oleh itu nombor 
dibahagikan dengan 
biarlah 
Kemudian 
boleh dibahagi dengan Kemudian nombor 
dibahagikan dengan
Nombor perdana
Penapis Eratosthenes
(Algoritma mudah untuk mendapatkan semua nombor perdana)
Algoritma. Kami menulis semua nombor dari 1 hingga 100 dan memotong semua yang genap terlebih dahulu. Kemudian, daripada yang selebihnya, kita potong yang boleh dibahagikan dengan 3, 5, 7, dsb. Akibatnya, hanya nombor perdana akan kekal.
Teorem Euclid. Bilangan nombor perdana adalah tidak terhingga.
Bukti"dengan percanggahan." Biarkan bilangan nombor perdana terhingga - 
Pertimbangkan nombornya 
Soalan: nombor 
- mudah atau majmuk?
Jika ialah nombor komposit, maka ia boleh dibahagikan dengan beberapa nombor perdana 
dan oleh itu satu dibahagikan dengan nombor perdana ini. Percanggahan.
Jika ialah nombor perdana, maka ia lebih besar daripada sebarang nombor perdana 
dan kami menulis dan menomborkan semua nombor perdana. Sekali lagi percanggahan. □
Diluluskan 8 Jika suatu nombor adalah komposit, maka ia mempunyai pembahagi utama sedemikian 
Bukti. If ialah pembahagi perdana terkecil bagi nombor komposit 
Itu 
Akibat. Untuk menentukan sama ada nombor adalah perdana, anda perlu menentukan sama ada ia mempunyai faktor perdana 
Contoh
5
. biarlah 
Untuk menyemak sama ada nombor adalah 
mudah, anda perlu menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan nombor perdana Jawapan: nombor 
ringkas.
Penjana nombor perdana
Hipotesis: Semua nombor borang 
ringkas.
Pada 
- ini adalah nombor perdana 
Untuk 
Ia telah dibuktikan secara manual dan dengan bantuan komputer bahawa semua nombor adalah komposit.
Contohnya, (Euler)
Hipotesis: Semua nombor borang 
ringkas.
Pada 
itu benar, eh 
boleh dibahagikan dengan 17.
Hipotesis: Semua nombor borang 
ringkas.
Pada 
itu benar, eh 
Hipotesis: Semua nombor dalam bentuk adalah perdana. Pada 
itu benar, eh 
Teorem.(Kaedah pemfaktoran Fermat) Integer ganjil bukan perdana 
terdapat nombor asli seperti itu 
Bukti.
□
Contoh
6
.
Faktorkan nombor menjadi faktor perdana 
Contoh
7
.
Faktorkan nombor 
Nombor ini boleh dibahagi dengan 3 
Selanjutnya, mengikut kaedah pemilihan faktor, 
Contoh
8
. Pada integer apa 
mudah?
Perhatikan bahawa sejak 
mudah, kemudian sama ada 
atau 
Jawapan: 
Diluluskan 10 Adakah nombor asli mempunyai bilangan pembahagi ganjil apabila ia adalah segi empat sama sempurna?
Bukti. Jika 
pembahagi 
kemudian mempunyai dua pasangan pembahagi yang berbeza 
Dan 
dan bila 
kedua-dua pasangan akan sama.
Contoh 9 . Nombor-nombor itu mempunyai tepat 99 pembahagi. Bolehkah nombor mempunyai tepat 100 pembahagi?
Jawapan: tidak. Sah oleh harta sebelumnya dan - petak sempurna, tetapi kerja mereka tidak.
Contoh
10
.
Nombor 
ringkas. Cari 
Penyelesaian. Sebarang nombor boleh diwakili sebagai 
Jika 
maka anda mendapat tiga nombor perdana 
memenuhi syarat masalah. Jika 
Itu 
komposit. Jika 
nombor itu 
dibahagikan dengan 
dan jika 
nombor itu 
boleh dibahagi dengan Oleh itu, dalam semua pilihan yang dipertimbangkan tiga nombor perdana tidak boleh diperolehi. Jawapan: 
Definisi.
Nombor 
dipanggil pembahagi sepunya terbesar bagi nombor dan jika ia membahagi dan dan merupakan yang terbesar daripada nombor tersebut.
Jawatan: 
Definisi
.
Nombor dan dikatakan relatif perdana jika 
Contoh 1
2
.
Selesaikan persamaan dalam nombor asli 
Penyelesaian. biarlah 
Oleh itu, persamaan kelihatan seperti Jawapan: Tiada penyelesaian.
TENTANGteorem asas aritmetik
Teorem. Sebarang nombor asli yang lebih besar daripada sama ada nombor perdana atau boleh ditulis sebagai hasil darab nombor perdana, dan hasil darab ini adalah unik mengikut susunan faktor.
Akibat 1. biarlah 
Kemudian 
adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana sepunya dengan kuasa terkecil.
Akibat 2. biarlah 
Kemudian 
adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang berbeza dengan kuasa terbesar. dibahagikan dengan
10. Cari digit terakhir nombor 7 2011 + 9 2011.
11. Cari semua nombor asli yang meningkat sebanyak 9 kali jika sifar dimasukkan di antara digit unit dan digit puluhan.
12. Pada beberapa nombor dua digit, satu telah ditambah ke kiri dan kanan. Hasilnya adalah nombor 23 kali lebih besar daripada yang asal. Cari nombor ini.
Soalan mengenai teori atau latihan boleh diajukan kepada Valery Petrovich Chuvakov
chv @ uriit . ru
sastera tambahan
1. Vilenkin N.Ya. dan lain-lain.Di sebalik muka surat buku teks matematik. Aritmetik. Algebra. –M.: Pendidikan, 2008.
2. Sevryukov P.F. Persediaan untuk menyelesaikan masalah Olympiad dalam matematik. –M.: Ilexa, 2009.
3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Bagaimana mereka membuat keputusan tugas bukan standard. –M. MCNMO, 2009.
4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Olimpik Matematik wilayah Moscow. –M.: Fizmatkniga, 2006
5. Gorbachev N.V. Koleksi masalah Olympiad, –M.:MCNMO, 2004
SyarahanNota kuliah untuk kursus "teori nombor"
SyarahanBahagian teori berikut nombor: teori pembahagian, ringkas dan komposit... Teorem. Biarkan x>0, xR, dN. Kuantiti semula jadinombor, gandaan d dan tidak melebihi x, adalah sama dengan... Syarahan 12 13 Syarahan 13 15 Kesusasteraan. 17 Abstrakceramah dalam kursus "Teori" nombor" ...
Nota kuliah tentang ulturologi
AbstrakPavlyuchenkov Abstrakceramah dalam kajian budaya... tidak sekata dan wujud dalam semula jadi ladang. Ia adalah dalam polis... penyelidikan infinitesimals nombor sebahagian besarnya telah menyiapkan penciptaan... manakala bahan boleh dibahagikan ke Infiniti. rohani...
D A nota syarahan Logik Shadrin
AbstrakMewakili abstrakceramah dalam disiplin "Logik". Abstrakceramah disusun dalam ... ini adalah definisi semula jadinombor. Jadi, jika 1 - semula jadi nombor dan n - semula jadi nombor, kemudian 1 ... habiskan keseluruhan isipadu boleh dibahagikan konsep, jadi...
