Kerja penyelidikan mengenai topik: “Tanda kebolehbahagi nombor asli. Kebolehbahagi nombor asli

Seperti yang telah dinyatakan, nombor asli a boleh dibahagi dengan nombor asli b jika terdapat nombor asli c, yang apabila didarab dengan b menghasilkan a:

Perkataan "sepenuhnya" biasanya ditinggalkan demi ringkasnya.

Jika a boleh dibahagikan dengan b, maka mereka juga mengatakan bahawa a ialah gandaan b. Sebagai contoh, nombor 48 ialah gandaan 24.

Teorem 1. Jika salah satu faktor boleh dibahagi dengan nombor tertentu, maka hasil darab juga boleh dibahagikan dengan nombor ini.

Sebagai contoh, 15 boleh dibahagikan dengan 3, yang bermaksud 15∙11 boleh dibahagikan dengan 3, kerana 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Hujah-hujah ini juga terpakai kepada kes umum. Biarkan nombor a boleh dibahagi dengan c, maka terdapat nombor asli n sehingga a = n∙c. Mari kita pertimbangkan hasil darab nombor a dan nombor asli arbitrari b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Dari sini, mengikut takrifan, ia berikutan bahawa hasil darab a∙b juga boleh dibahagikan dengan c. Q.E.D.

Teorem 2. Jika nombor pertama boleh dibahagikan dengan kedua, dan kedua boleh dibahagikan dengan ketiga, maka nombor pertama boleh dibahagikan dengan ketiga.

Sebagai contoh, 777 boleh dibahagi dengan 111 kerana 777 = 7∙111, dan 111 boleh dibahagi dengan 3 kerana 111 = 3∙37. Ia berikutan daripada ini bahawa 777 boleh dibahagikan dengan 3, kerana 777 = 3∙(37∙7).

DALAM kes am Hujah-hujah ini boleh diulang hampir secara verbatim. Biarkan nombor a dibahagikan dengan nombor b, dan nombor b dibahagikan dengan nombor c. Ini bermakna terdapat nombor asli n dan m sehingga a = n∙b dan b = m∙c. Kemudian nombor a boleh diwakili sebagai: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Kesamaan a = (n∙m)∙c bermakna nombor a juga boleh dibahagikan dengan c.

Teorem 3. Jika setiap dua nombor boleh dibahagi dengan nombor tertentu, maka jumlah dan perbezaannya boleh dibahagikan dengan nombor ini.

Sebagai contoh, 100 boleh dibahagikan dengan 4 kerana 100=25∙4; 36 juga boleh dibahagikan dengan 4, kerana 36 = 9∙4. Ia berikutan bahawa 136 boleh dibahagi dengan 4 kerana

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Kita juga boleh membuat kesimpulan bahawa nombor 64 boleh dibahagikan dengan 4 kerana

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Mari kita buktikan teorem dalam kes umum. Biarkan setiap nombor a dan b boleh dibahagi dengan nombor c. Kemudian, mengikut definisi, terdapat nombor asli n dan m sedemikian
a = n∙c dan b = m∙c. Pertimbangkan hasil tambah nombor a dan b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Ia berikutan bahawa a + b boleh dibahagi dengan c.

Begitu juga, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Oleh itu, a – b dibahagikan dengan c.

Teorem 4. Jika satu daripada dua nombor boleh dibahagi dengan nombor tertentu, dan satu lagi tidak boleh dibahagikan dengannya, maka jumlah dan perbezaannya tidak boleh dibahagikan dengan nombor ini.

Sebagai contoh, 148 boleh dibahagikan dengan 37 kerana 148 = 4∙37, dan 11 tidak boleh dibahagikan dengan 37. Jelas sekali, jumlah 148 + 11 dan perbezaan 148 – 11 tidak boleh dibahagikan dengan 37, jika tidak, ini akan bercanggah dengan sifat 3 .

Tanda-tanda pembahagian

Jika nombor berakhir dengan 0, maka ia boleh dibahagi dengan 10.

Sebagai contoh, nombor 4560 berakhir dengan nombor 0, ia boleh diwakili sebagai hasil darab 456∙10, yang dibahagikan dengan 10 (mengikut Teorem 1).

Nombor 4561 tidak boleh dibahagikan dengan 10, kerana 4561 = 4560+1 ialah jumlah nombor 4560, boleh dibahagikan dengan 10, dan nombor 1, tidak boleh dibahagikan dengan 10 (oleh Teorem 4).

Jika nombor berakhir dengan salah satu digit 0 atau 5, maka ia boleh dibahagi dengan 5.

Sebagai contoh, nombor 2300 boleh dibahagi dengan 5 kerana nombor ini boleh dibahagi dengan 10, dan 10 boleh dibahagi dengan 5 (oleh Teorem 2).

Nombor 2305 berakhir dengan nombor 5, ia boleh dibahagikan dengan 5, kerana ia boleh ditulis sebagai jumlah nombor yang boleh dibahagikan dengan 5: 2300 + 5 (mengikut Teorem 3).

Nombor 52 tidak boleh dibahagikan dengan 5, kerana 52 = 50 + 2 ialah hasil tambah nombor 50, boleh dibahagikan dengan 5, dan nombor 2, tidak boleh dibahagikan dengan 5 (oleh Teorem 4).

Jika nombor berakhir dengan salah satu digit 0, 2, 4, 6, 8, maka ia boleh dibahagi dengan 2.

Sebagai contoh, nombor 130 berakhir dengan 0, ia boleh dibahagi dengan 10, dan 10 boleh dibahagikan dengan 2, oleh itu 130 boleh dibahagikan dengan 2.

Nombor 136 berakhir dengan nombor 6, ia boleh dibahagikan dengan 2, kerana ia boleh ditulis sebagai jumlah nombor yang boleh dibahagikan dengan 2: 130 + 6 (mengikut Teorem 3).

Nombor 137 tidak boleh dibahagikan dengan 2, kerana 137 = 130 + 7 ialah hasil tambah nombor 130, boleh dibahagikan dengan 2, dan nombor 7, tidak boleh dibahagikan dengan 2 (oleh Teorem 4).

Nombor yang boleh dibahagi dengan 2 dipanggil genap.

Nombor yang tidak boleh dibahagikan dengan 2 dipanggil ganjil.

Sebagai contoh, nombor 152 dan 790 adalah genap, dan nombor 111 dan 293 adalah ganjil.

Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 9..

Sebagai contoh, jumlah digit 7 + 2 + 4 + 5 = 18 daripada nombor 7245 boleh dibahagikan dengan 9. Nombor 7245 boleh dibahagikan dengan 9 kerana ia boleh diwakili sebagai hasil tambah 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), di mana jumlah dalam kurungan pertama boleh dibahagi dengan 9, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit bagi nombor yang diberikan - juga dibahagikan dengan 9 ( mengikut Teorem 3).

Nombor 375 tidak boleh dibahagikan dengan 9, kerana hasil tambah digitnya 3 + 7 + 5=15 tidak boleh dibahagikan dengan 9. Ini boleh dibuktikan seperti berikut: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), di mana jumlah dalam kurungan pertama boleh dibahagikan dengan 9, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit nombor 375 - tidak boleh dibahagikan sebanyak 9 (mengikut Teorem 4).

Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 3..

Sebagai contoh, nombor 375 mempunyai jumlah digit 3 + 7 + 5 = 15 yang boleh dibahagi dengan 3, dan ia sendiri boleh dibahagi dengan 3 kerana 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), di mana jumlah dalam dalam kurungan pertama boleh dibahagikan dengan 3, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit nombor 375 - juga boleh dibahagikan dengan 3.

Jumlah digit bagi nombor 679, sama dengan 6 + 7 + 9 = 22, tidak boleh dibahagikan dengan 3, dan nombor itu sendiri tidak boleh dibahagikan dengan 3, kerana 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), di mana jumlah dalam kurungan pertama boleh dibahagikan dengan 3, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit nombor 679 - tidak boleh dibahagikan dengan 3.

Catatan. Apabila mereka menyebut "nombor berakhir dengan digit..." mereka bermaksud "notasi perpuluhan nombor berakhir dengan digit..."

Nombor perdana dan komposit

Setiap nombor asli p boleh dibahagi dengan 1 dan dirinya sendiri:

p:1=p, p:p=1.

Nombor perdana ialah nombor asli yang lebih besar daripada satu dan hanya boleh dibahagikan dengan 1 dan dirinya sendiri..

Berikut ialah sepuluh nombor perdana pertama:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Nombor asli bukan perdana, unit besar, dipanggil komposit. Setiap nombor komposit boleh dibahagi dengan 1, itu sendiri dan sekurang-kurangnya satu nombor asli yang lain.

Berikut ialah semua nombor komposit kurang daripada 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Oleh itu, set semua nombor asli terdiri daripada nombor perdana, nombor komposit dan satu.

Terdapat bilangan nombor perdana yang tidak terhingga; terdapat nombor pertama - 2, tetapi tiada nombor perdana terakhir.

Pembahagi nombor asli

Jika nombor asli a boleh dibahagi dengan nombor asli b, maka nombor b dipanggil pembahagi nombor a.

Sebagai contoh, pembahagi nombor 13 ialah nombor 1 dan 13, pembahagi nombor 4 ialah nombor 1, 2, 4, dan pembahagi nombor 12 ialah nombor 1, 2, 3, 4, 6. , 12.

Setiap nombor perdana hanya mempunyai dua pembahagi - satu dan dirinya sendiri, dan setiap nombor komposit, kecuali satu dan dirinya sendiri, mempunyai pembahagi lain.

Jika pembahagi ialah nombor perdana, maka ia dipanggil pembahagi perdana. Sebagai contoh, nombor 13 mempunyai faktor perdana 13, nombor 4 mempunyai faktor perdana 2, dan nombor 12 mempunyai faktor perdana 2 dan 3.

Setiap nombor komposit boleh diwakili sebagai hasil darab pembahagi perdananya. Sebagai contoh,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Sisi kanan kesamaan yang terhasil dipanggil pemfaktoran perdana bagi nombor 28, 22, 81 dan 100.

Memfaktorkan nombor komposit yang diberikan kepada faktor perdana bermakna mewakilinya sebagai hasil darab pelbagai faktor perdananya atau kuasanya.

Mari tunjukkan bagaimana anda boleh memfaktorkan nombor 90 ke dalam faktor perdana.

1) 90 dibahagikan dengan 2, 90:2 = 45;

2) 45 tidak boleh dibahagikan dengan 2, tetapi boleh dibahagikan dengan 3, 45:3= 15;

3) 15 dibahagikan dengan 3, 15:3 = 5;

4) 5 boleh dibahagi dengan 5, 5:5 = 1.

Oleh itu, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Pembahagi sepunya terbesar

Nombor 12 mempunyai faktor 1, 2, 3, 4, 12. Nombor 54 mempunyai faktor 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Kita melihat bahawa nombor 12 dan 54 mempunyai faktor sepunya 1, 2 , 3 , 6.

Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 12 dan 54 ialah nombor 6.

Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a dan b dilambangkan dengan: gcd (a, b).

Contohnya, GCD (12, 54) = 6.

Gandaan sepunya terkecil

Nombor yang boleh dibahagikan dengan 12 dipanggil gandaan 12. Nombor 12 ialah gandaan 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, dsb. Nombor 18 ialah gandaan 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, dsb.

Kami melihat bahawa terdapat nombor yang merupakan gandaan bagi kedua-dua 12 dan 18. Contohnya, 36, 72, 108, .... Nombor ini dipanggil gandaan sepunya bagi 12 dan 18.

Gandaan sepunya terkecil bagi nombor asli a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b. Nombor ini dilambangkan dengan: LOC (a, b).

Gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor biasanya ditemui dalam salah satu daripada dua cara. Mari lihat mereka.

Mari cari LOC(18, 24).

Kaedah I Kami akan menulis nombor yang merupakan gandaan 24 (yang lebih besar daripada nombor ini), menyemak sama ada setiap satu daripadanya boleh dibahagikan dengan 18: 24∙1=24 – tidak boleh dibahagikan dengan 18, 24∙2 = 48 – tidak boleh dibahagikan dengan 18, 24∙3 = 72 – boleh dibahagi dengan 18, jadi LCM (24, 18) =
= 72.

Kaedah II. Mari faktorkan nombor 24 dan 18 ke dalam faktor perdana: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) mesti boleh dibahagikan dengan kedua-dua 24 dan 18. Oleh itu, nombor yang diperlukan mengandungi semua faktor perdana bagi nombor yang lebih besar 24 (iaitu, nombor 2, 2, 2, 3) dan faktor yang hilang daripada pengembangan daripada nombor yang lebih kecil 18 (satu lagi nombor 3). Oleh itu LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Oleh kerana nombor koprima tidak mempunyai faktor perdana sepunya, gandaan sepunya terkecilnya adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Sebagai contoh, 24 dan 25 adalah nombor perdana secara relatif. Oleh itu LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Jika satu daripada dua nombor boleh dibahagi dengan yang lain, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini adalah sama dengan yang lebih besar daripadanya. Sebagai contoh, 120 boleh dibahagikan dengan 24, oleh itu LCM (120, 24) = 120.

Nombor bulat

Peringatan. Nombor yang digunakan untuk mengira bilangan objek dipanggil nombor asli. Sifar tidak dianggap sebagai nombor asli. Nombor asli dan sifar, ditulis dalam tertib menaik dan tanpa jurang, membentuk satu siri integer bukan negatif:

Nombor baharu akan diperkenalkan dalam bahagian ini - integer negatif.

Integer negatif

Contoh asas kehidupan sebenar ialah termometer. Katakan ia menunjukkan suhu 7°C. Jika suhu turun sebanyak 4°, termometer akan menunjukkan haba 3°. Penurunan suhu sepadan dengan tindakan penolakan: 7 – 4 = 3. Jika suhu turun sebanyak 7°, termometer akan menunjukkan 0°: 7 – 7 = 0.

Jika suhu turun sebanyak 8°, termometer akan menunjukkan –1° (1° di bawah sifar). Tetapi hasil penolakan 7 – 8 tidak boleh ditulis menggunakan nombor asli dan sifar, walaupun ia mempunyai maksud sebenar.

Adalah mustahil untuk mengira 8 nombor dari nombor 7 ke kiri dalam satu siri integer bukan negatif. Untuk menjadikan tindakan 7 – 8 boleh dilaksanakan, mari kita kembangkan julat integer bukan negatif. Untuk melakukan ini, di sebelah kiri sifar, kami menulis (dari kanan ke kiri) dalam susunan semua nombor asli, menambah setiap satu daripada mereka tanda "–", menunjukkan bahawa nombor ini berada di sebelah kiri sifar.

Entri –1, –2, –3, ... dibaca “tolak 1”, “tolak 2”, “tolak 3”, dsb.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Siri nombor yang terhasil dipanggil siri integer. Titik di kiri dan kanan dalam entri ini bermakna siri ini boleh diteruskan tanpa batas ke kanan dan kiri.

Di sebelah kanan nombor 0 dalam baris ini ialah nombor yang dipanggil nombor asli atau integer positif.

Persidangan penyelidikan serantau untuk pelajar sekolah daerah perbandaran Lakhdenpokh

"Langkah ke Masa Depan"

Projek matematik mengenai topik:

Dilengkapkan oleh: Galkina Natalya

pelajar darjah 7

MKOU "Sekolah Menengah Elisenvaara"

Ketua: Vasilyeva

Larisa Vladimirovna

guru matematik

MKOU "Sekolah Menengah Elisenvaara"

Pengenalan 3 muka surat

Dari sejarah matematik 4 muka surat.

Konsep asas 4 muka surat.

Klasifikasi tanda boleh bahagi: 5 muka surat.

1. Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh digit terakhir 5 – 6 muka surat.

   Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh jumlah digit nombor: 6 muka surat.

   Pembahagian nombor ditentukan selepas melakukan beberapa tindakan pada digit nombor 6 - 9 muka surat.

   Untuk menentukan kebolehbahagi nombor, tanda lain digunakan 9 – 10 muka surat.

Pemakaian kriteria pembahagian dalam amalan 10 – 11 muka surat.

Kesimpulan 11 muka surat

Bibliografi 12 muka surat.

pengenalan

Perkaitan penyelidikan: Tanda-tanda kebolehpecahan sentiasa menarik minat saintis dari zaman dan bangsa yang berbeza. Apabila mempelajari topik "Tanda pembahagian nombor dengan 2, 3, 5, 9, 10" dalam pelajaran matematik, saya mula berminat untuk mengkaji nombor untuk kebolehbahagi. Diandaikan bahawa jika mungkin untuk menentukan kebolehbahagi nombor dengan nombor-nombor ini, maka mesti ada tanda-tanda yang membolehkan seseorang menentukan kebolehbahagi nombor asli dengan nombor lain. Dalam sesetengah kes, untuk mengetahui sama ada sebarang nombor asli boleh dibahagikan a kepada nombor asli b tanpa baki, tidak perlu membahagikan nombor ini. Ia cukup untuk mengetahui beberapa tanda kebolehpecahan.

Hipotesis– jika terdapat tanda-tanda pembahagian nombor asli dengan 2, 3, 5, 9 dan 10, maka terdapat tanda-tanda lain di mana kebolehbahagi nombor asli boleh ditentukan.

Tujuan kajian – menambah tanda-tanda boleh bahagi yang telah diketahui bagi nombor asli secara keseluruhan, dipelajari di sekolah dan sistematikkan tanda-tanda boleh bahagi ini.

Untuk mencapai matlamat ini, adalah perlu untuk menyelesaikan perkara berikut tugasan:

Meneroka secara bebas pembahagian nombor.

Kaji kesusasteraan tambahan untuk membiasakan diri dengan tanda-tanda pembahagian yang lain.

Gabungkan dan ringkaskan ciri-ciri daripada sumber yang berbeza.

Buat kesimpulan.

Objek kajian– mengkaji semua tanda-tanda kebolehpecahan yang mungkin.

Subjek kajian– tanda-tanda kebolehbahagiaan.

Kaedah penyelidikan– pengumpulan bahan, pemprosesan data, perbandingan, analisis, sintesis.

Kebaharuan: Semasa menjalankan projek, saya mengembangkan pengetahuan saya tentang tanda-tanda kebolehbahagi nombor asli.

Daripada sejarah matematik

Blaise Pascal(lahir pada 1623) - salah satu yang paling banyak orang terkenal dalam sejarah umat manusia. Pascalumer, ketika dia berumur 39 tahun, tetapi walaupun begitu hidup yang singkat, turun dalam sejarah sebagai ahli matematik, ahli fizik, ahli falsafah dan penulis yang cemerlang. Unit tekanan (pascal) dan bahasa pengaturcaraan yang sangat popular hari ini dinamakan sempena namanya. Blaise Pascal menemui perkara biasa

Ujian Pascal ialah kaedah yang membolehkan anda mendapatkan ujian untuk kebolehbahagi dengan sebarang nombor. Sejenis "tanda universal pembahagian".

Ujian pembahagian Pascal: Nombor asli A akan dibahagikan dengan nombor asli yang lain b hanya jika jumlah hasil darab digit nombor itu A ke dalam baki sepadan yang diperoleh dengan membahagikan unit digit dengan nombor b, dibahagikan dengan nombor ini.

Sebagai contoh : nombor 2814 boleh dibahagi dengan 7, kerana 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 boleh dibahagi dengan 7. (Di sini 6 ialah baki pembahagian 1000 dengan 7, 2 ialah baki pembahagian 100 dengan 7 dan 3 ialah baki daripada membahagi 10 dengan 7).

Konsep asas

Mari kita ingat beberapa konsep matematik yang kita perlukan semasa mempelajari topik ini.

Ujian pembahagian ialah peraturan yang, tanpa melakukan pembahagian, anda boleh menentukan sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain.

Pembahagi nombor asli A namakan nombor asli yang A dibahagikan tanpa baki.

Mudah dipanggil nombor asli yang tidak mempunyai pembahagi semula jadi lain kecuali satu dan dirinya sendiri.

Komposit ialah nombor yang mempunyai pembahagi semula jadi selain daripada 1 dan diri mereka sendiri.

Tanda-tanda pembahagian

Semua tanda-tanda pembahagian nombor asli yang saya pertimbangkan dalam karya ini boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan:

Mari kita lihat lebih dekat setiap kumpulan ini.

Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh digit terakhir

Kumpulan pertama tanda kebolehbahagi nombor asli yang saya pertimbangkan termasuk tanda kebolehbahagi dengan 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 dan unit digit 10, 100, dsb.

Uji kebolehbahagi dengan 2: Nombor boleh dibahagi dengan 2 apabila digit terakhir nombor itu boleh dibahagi dengan 2 (iaitu digit terakhir ialah nombor genap).

Sebagai contoh: 32217864 : 2

Uji kebolehbahagi dengan 4 : nombor boleh dibahagi dengan 4 apabila dua digit terakhirnya adalah sifar, atau apabila nombor dua digit dibentuk oleh dua digitnya. digit terakhir, boleh dibahagi dengan 4.

Sebagai contoh, 35324 : 4; 6600 : 4

Ujian pembahagian sebanyak 5 : Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah 5 atau 0.

Sebagai contoh: 36780 : 5 atau 12326 5 : 5

Uji kebolehbahagi dengan 8: suatu nombor boleh dibahagi dengan 8 apabila ia boleh dibahagi dengan 8 nombor tiga digit, terbentuk daripada tiga digit terakhir nombor ini.

Sebagai contoh: 432240 : 8

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 20: nombor boleh dibahagi dengan 20 apabila nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir boleh dibahagikan dengan 20. (Rumusan lain: nombor boleh dibahagi dengan 20 apabila digit terakhir nombor ialah 0 dan digit terakhir adalah genap).

Sebagai contoh: 59640 : 20

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 25: Nombor yang dua digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 25 boleh dibahagi dengan 25.

Sebagai contoh: 667975 : 25 atau 77689 00 : 25

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 50: Nombor boleh dibahagi dengan 50 apabila nombor yang dibentuk oleh dua digit perpuluhan terendahnya boleh dibahagi dengan 50.

Sebagai contoh: 564350 :50 atau 5543 00 :50

Ujian pembahagian sebanyak 125: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 125 jika tiga digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 125.

Sebagai contoh: 32157000 :125 atau 3216 250 :125

nombor asli yang bilangan sifarnya lebih besar daripada atau sama dengan bilangan sifar unit digit dibahagikan kepada unit digit.

Sebagai contoh, 12,000 boleh dibahagi dengan 10, 100 dan 1000.

Kebolehbahagi nombor ditentukan oleh jumlah digit nombor itu

Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi dengan 3, 9, 11 yang saya pertimbangkan.

Uji kebolehbahagi dengan 3: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3.

Sebagai contoh: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

Uji kebolehbahagi dengan 9: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 9 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 9.

Sebagai contoh: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Uji kebolehbahagi dengan 11: Nombor tersebut boleh dibahagi dengan 11 jika jumlah digit di tempat ganjil sama ada sama dengan jumlah digit di tempat genap atau berbeza daripadanya dengan gandaan 11.

Sebagai contoh: 865948732:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Pembahagian nombor ditentukan selepas melakukan beberapa tindakan pada digit nombor ini

Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi mengikut: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Uji kebolehbahagi dengan 6:

Tanda 1: Nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila hasil penolakan dua kali bilangan ratus daripada nombor selepas seratus boleh dibahagi dengan 6.

Sebagai contoh, 138: 6 kerana 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kerana 44 – 7·2=30, (30:6)

Tanda 2: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 6 jika dan hanya jika empat kali ganda bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan unit boleh dibahagi dengan 6.

Sebagai contoh, 768:6 kerana 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Kebolehbahagiaan sebanyak 7:

Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 7 apabila tiga kali ganda bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan unit boleh dibahagi dengan 7.

Sebagai contoh, nombor 154:7, kerana 15 3 + 4 = 49 (49:7) dibahagikan dengan 7

Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 7 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil tiga digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “-” boleh dibahagi dengan 7.

Sebagai contoh, 138689257:7, kerana ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Kebolehbahagiaan sebanyak 11:

Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 11 apabila modulus perbezaan antara jumlah digit yang menduduki kedudukan ganjil dan hasil tambah digit yang menduduki kedudukan genap boleh dibahagi dengan 11.

Sebagai contoh, 9163627:11, kerana ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Tanda 2: suatu nombor boleh dibahagi dengan 11 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 11.

Sebagai contoh, 103785:11, kerana 10+37+85=132 dan 01+32=33 (33:11)

Kebolehbahagiaan sebanyak 13:

Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila hasil tambah nombor puluhan ditambah empat kali nombor itu boleh dibahagi dengan 13.

Sebagai contoh, 845:13, kerana 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Tanda 2: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila perbezaan antara bilangan puluh dan sembilan kali bilangan satu boleh dibahagi dengan 13.

Sebagai contoh, 845:13, kerana 84-5 9=39 (39:13)

Uji kebolehbahagi dengan 17: suatu nombor boleh dibahagi dengan 17 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan lima kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 17.

Sebagai contoh, 221:17, kerana ǀ22-5·1ǀ=17

Tanda-tanda boleh dibahagikan dengan 19: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 19 apabila bilangan puluh ditambah kepada dua kali bilangan unit boleh dibahagikan dengan 19.

Sebagai contoh, 646:19, kerana 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 23:

Tanda 1: Nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila nombor ratusan yang ditambah kepada tiga kali ganda nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 23.

Sebagai contoh, 28842:23, kerana 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan puluh ditambah kepada tujuh kali bilangan satu boleh dibahagi dengan 23.

Sebagai contoh, 391:23, kerana 3 9+7 1=46 (46:23)

Tanda 3: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan ratus ditambah kepada tujuh kali bilangan puluh dan tiga kali ganda bilangan unit boleh dibahagi dengan 23.

Sebagai contoh, 391:23, kerana 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 27: suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan tiga digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 27.

Sebagai contoh, 2705427:27 kerana 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 29: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 29 apabila bilangan puluh ditambah kepada tiga kali bilangan unit boleh dibahagikan dengan 29.

Sebagai contoh, 261:29, kerana 26+3·1=29 (29:29)

Uji kebolehbahagi dengan 31: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 31 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan tiga kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 31.

Sebagai contoh, 217:31, kerana ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Kriteria pembahagian sebanyak 33: Jika jumlah yang dibuat dengan membahagikan nombor dari kanan ke kiri kepada kumpulan dua digit boleh dibahagi dengan 33, maka nombor itu boleh dibahagi dengan 33.

Sebagai contoh, 396:33, kerana 96+3=99 (99:33)

Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 37:

Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila, apabila membahagikan nombor kepada kumpulan tiga digit (bermula dengan satu), jumlah kumpulan ini ialah gandaan 37.

Sebagai contoh, nombor 100048:37, kerana 100+048=148, (148:37)

Tanda 2: suatu nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila modulus tiga kali ganda bilangan ratus ditambah kepada empat kali ganda bilangan puluh tolak bilangan unit didarab dengan tujuh dibahagikan dengan 37.

Sebagai contoh, nombornya ialah 481:37, kerana ia boleh dibahagi dengan 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Kriteria pembahagian sebanyak 41:

Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 41 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan empat kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 41.

Sebagai contoh, 369:41, kerana ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Tanda 2: Untuk menyemak sama ada nombor boleh dibahagi dengan 41, ia hendaklah dibahagikan dari kanan ke kiri kepada kumpulan 5 digit setiap satu. Kemudian dalam setiap kumpulan, darab digit pertama di sebelah kanan dengan 1, darab digit kedua dengan 10, ketiga dengan 18, keempat dengan 16, kelima dengan 37 dan menambah semua hasil yang terhasil. Jika hasilnyaakan dibahagi dengan 41, maka nombor itu sendiri akan dibahagikan dengan 41.

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 59: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 59 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 6 boleh dibahagi dengan 59.

Sebagai contoh, 767:59, kerana 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Uji kebolehbahagi dengan 79: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 79 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 8 boleh dibahagi dengan 79.

Sebagai contoh, 711:79, kerana 71+8·1=79, (79:79)

Ujian pembahagian sebanyak 99: Nombor boleh dibahagi dengan 99 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 99.

Sebagai contoh, 12573:99, kerana 1+25+73=99, (99:99)

Ujian pembahagian sebanyak 101: sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 101 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil dua digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “–” boleh dibahagi dengan 101.

Sebagai contoh

Untuk menentukan pembahagian nombor, kriteria pembahagian lain digunakan

Kumpulan tanda kebolehbahagi nombor asli ini termasuk tanda kebolehbahagi dengan: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, dsb. Ini semua adalah nombor komposit. Kriteria kebolehbahagi untuk nombor komposit adalah berdasarkan kriteria kebolehbahagi untuk nombor perdana, di mana sebarang nombor komposit boleh diuraikan.

Uji kebolehbahagi dengan 6:

Tanda 1: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 dan 3, iaitu, jika ia genap dan hasil tambah digitnya boleh dibahagi dengan 3.

Sebagai contoh, 768:6, kerana 7+6+8=21 (21:3) dan digit terakhir dalam nombor 768 ialah genap.

Ujian pembahagian sebanyak 12: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 12 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 4 pada masa yang sama.

Sebagai contoh, 408:12, kerana 4+0+8=12 (12:3) dan dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 4 (08:4)

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 14: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 14 apabila ia boleh dibahagi dengan 2 dan 7.

Sebagai contoh, nombor 45612:14 kerana ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 dan 7, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 14.

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 15: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 15 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 5.

Sebagai contoh, 1146795:15 kerana Nombor ini boleh dibahagikan dengan 3 dan 5.

Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 27: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 9.

Sebagai contoh, 511704:27 kerana 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 dan 18:9)

Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 30: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 30 apabila ia berakhir dengan 0 dan hasil tambah semua digit boleh dibahagi dengan 3.

Sebagai contoh, 510:30 kerana 5+1+0=6 (6:3) dan dalam nombor 510 (digit terakhir 0)

Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 60: Untuk nombor boleh dibahagi dengan 60, adalah perlu dan mencukupi bahawa nombor itu boleh dibahagikan dengan 4, 3, atau 5.

Sebagai contoh, 1620:60 kerana 1+6+2+0=9 (9:3), nombor 1620 berakhir dengan 0, i.e. boleh dibahagi dengan 5 dan 1620: 4 kerana dua digit terakhir 20:4

Kerja itu mempunyai aplikasi praktikal. Ia boleh digunakan oleh pelajar sekolah dan orang dewasa apabila menyelesaikan situasi sebenar; guru, baik semasa mengendalikan pelajaran matematik mahupun dalam kursus elektif dan kelas tambahan untuk pengulangan.

Kajian ini akan berguna kepada pelajar apabila latihan diri untuk peperiksaan akhir dan kemasukan. Ia juga berguna untuk pelajar yang matlamatnya adalah tempat tinggi di Olimpik bandar.

Tugasan No 1 . Adakah mungkin, dengan hanya menggunakan nombor 3 dan 4, untuk menulis:

nombor yang boleh dibahagi dengan 10;

nombor genap;

nombor yang merupakan gandaan 5;

nombor ganjil

Masalah No 2

Tulis beberapa nombor sembilan digit yang tidak mempunyai digit berulang (semua digit adalah berbeza) dan boleh dibahagi dengan 1 tanpa baki.

Tulis nombor yang terbesar daripada nombor ini.

Tulis nombor terkecil daripada nombor ini.

Jawapan: 987652413; 102347586

Tugasan No. 3

Cari nombor empat digit terbesar, semua digitnya berbeza dan boleh dibahagi dengan 2, 5, 9, 11.

Jawapan: 8910

Masalah No 4

Olya menghasilkan nombor tiga digit yang mudah, yang kesemuanya adalah berbeza. Digit apakah ia boleh berakhir jika digit terakhirnya sama dengan hasil tambah dua yang pertama. Berikan contoh nombor tersebut.

Jawapan: hanya dengan 7. Terdapat 4 nombor yang memenuhi syarat masalah: 167, 257, 347, 527

Masalah No 5

Terdapat 70 pelajar dalam dua kelas bersama-sama. Dalam satu kelas, 7/17 pelajar tidak hadir ke kelas, dan dalam kelas lain, 2/9 menerima gred cemerlang dalam matematik. Berapakah bilangan murid dalam setiap kelas?

Penyelesaian: Dalam kelas pertama ini mungkin terdapat: 17, 34, 51... - nombor gandaan 17. Dalam kelas kedua: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - nombor gandaan daripada 9. Kita perlu memilih 1 nombor daripada jujukan pertama, dan 2 ialah nombor daripada yang kedua supaya mereka menambah sehingga 70. Selain itu, dalam jujukan ini hanya sebilangan kecil istilah boleh menyatakan kemungkinan bilangan kanak-kanak dalam kelas. Pertimbangan ini mengehadkan pemilihan pilihan dengan ketara. Satu-satunya pilihan yang mungkin ialah pasangan (34, 36).

Masalah No 6

Dalam darjah 9 untuk ujian 1/7 pelajar menerima A, 1/3 - B, ½ - C. Kerja selebihnya ternyata tidak memuaskan. Berapa banyak pekerjaan seperti itu ada?

Penyelesaian: Penyelesaian kepada masalah mestilah nombor yang merupakan gandaan nombor: 7, 3, 2. Mari kita cari nombor terkecil dari nombor ini dahulu. LCM (7, 3, 2) = 42. Anda boleh mencipta ungkapan mengikut keadaan masalah: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 tidak berjaya. Masalah perhubungan matematik mengandaikan bahawa bilangan pelajar dalam kelas ialah 84, 126, dsb. Manusia. Tetapi akal sehat menunjukkan bahawa jawapan yang paling boleh diterima ialah nombor 42.

Jawapan: 1 kerja.

Kesimpulan:

Hasil daripada kerja ini, saya mengetahui bahawa selain tanda-tanda boleh bahagi dengan 2, 3, 5, 9 dan 10 yang saya tahu, terdapat juga tanda-tanda boleh bahagi nombor asli yang lain. Pengetahuan yang diperoleh dengan ketara mempercepatkan penyelesaian banyak masalah. Dan saya boleh menggunakan pengetahuan ini dalam diri saya aktiviti pendidikan, baik dalam pelajaran matematik mahupun dalam aktiviti ko-kurikulum. Perlu diingatkan juga bahawa rumusan beberapa kriteria pembahagian adalah rumit. Mungkin sebab itu mereka tidak belajar di sekolah. Saya menjangkakan untuk terus berusaha untuk mengkaji tanda-tanda kebolehbahagi nombor asli pada masa hadapan.

Kamus ensiklopedia ahli matematik muda. Savin A.P. Moscow "Pedagogi" 1989.

Matematik. Bahan tambahan untuk pelajaran matematik, gred 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.

Di sebalik halaman buku teks matematik. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Pendidikan, 1989.

Aktiviti ko-kurikulum dalam matematik dalam darjah 6-8. Moscow. "Pencerahan" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.

“1001 soalan dan jawapan. Buku besar pengetahuan" Moscow. "Dunia Buku" 2004.

Kursus pilihan dalam matematik. Nikolskaya I.L. - Moscow. Pencerahan 1991.

Masalah olimpik dalam matematik dan kaedah untuk menyelesaikannya. Farkov A.V. - Moscow. 2003

sumber Internet.

Lihat kandungan pembentangan
“Tanda pembahagian nombor asli”

Persidangan penyelidikan serantau untuk murid sekolah

Daerah perbandaran Lakhdenpokh "Langkah ke masa depan"

“Tanda pembahagian nombor asli”

Dilengkapkan oleh: Galkina Natalya

pelajar darjah 7

MKOU "Sekolah Menengah Elisenvaara"

Ketua: Vasilyeva Larisa Vladimirovna

guru matematik di MKOU "Elisenvaarskaya" Sekolah Menengah"

2014

Perkaitan penyelidikan : Tanda-tanda perpecahan sentiasa menarik minat saintis dari masa dan bangsa yang berbeza. Apabila mempelajari topik "Tanda pembahagian nombor dengan 2, 3, 5, 9, 10" dalam pelajaran matematik, saya mula berminat untuk mengkaji nombor untuk kebolehbahagi. Diandaikan bahawa jika mungkin untuk menentukan kebolehbahagi nombor dengan nombor-nombor ini, maka mesti ada tanda-tanda yang membolehkan seseorang menentukan kebolehbahagi nombor asli dengan nombor lain. Dalam sesetengah kes, untuk mengetahui sama ada sebarang nombor asli boleh dibahagikan a kepada nombor asli b tanpa baki, tidak perlu membahagikan nombor ini. Ia cukup untuk mengetahui beberapa tanda kebolehpecahan. Hipotesis – jika terdapat tanda-tanda pembahagian nombor asli dengan 2, 3, 5, 9 dan 10, maka terdapat tanda-tanda lain di mana kebolehbahagi nombor asli boleh ditentukan. Tujuan kajian – menambah tanda-tanda boleh bahagi yang telah diketahui bagi nombor asli secara keseluruhan, dipelajari di sekolah dan sistematikkan tanda-tanda boleh bahagi ini. Untuk mencapai matlamat ini, adalah perlu untuk menyelesaikan perkara berikut tugasan:

• Meneroka secara bebas pembahagian nombor.
• Kaji kesusasteraan tambahan untuk membiasakan diri dengan tanda-tanda pembahagian yang lain.
• Gabungkan dan ringkaskan ciri-ciri daripada sumber yang berbeza.
• Buat kesimpulan. Objek kajian – pembahagian nombor asli. Subjek kajian – tanda-tanda kebolehbahagiaan. Kaedah penyelidikan - pengumpulan bahan, pemprosesan data, perbandingan, analisis, generalisasi. Kebaharuan : Semasa projek itu saya telah mengembangkan pengetahuan saya mengenai kriteria pembahagian nombor asli.

Daripada sejarah matematik

Blaise Pascal (lahir 1623) - salah seorang yang paling terkenal dalam sejarah manusia. Pascal meninggal dunia ketika dia berumur 39 tahun, tetapi walaupun hidup yang begitu singkat, dia turun dalam sejarah sebagai ahli matematik, ahli fizik, ahli falsafah dan penulis yang cemerlang. Unit tekanan (pascal) dan bahasa pengaturcaraan yang sangat popular hari ini dinamakan sempena namanya. Blaise Pascal menemui perkara biasa algoritma untuk mencari tanda kebolehbahagi mana-mana integer dengan mana-mana integer lain.

Ujian Pascal ialah kaedah yang membolehkan anda mendapatkan ujian untuk kebolehbahagi dengan sebarang nombor. Sejenis "tanda universal pembahagian".

Ujian pembahagian Pascal: Nombor asli a akan dibahagikan dengan nombor asli b yang lain hanya jika hasil tambah digit nombor a dengan baki sepadan yang diperoleh dengan membahagikan unit digit dengan nombor b boleh dibahagi dengan nombor ini.

Sebagai contoh : nombor 2814 boleh dibahagi dengan 7, kerana 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 boleh dibahagi dengan 7. (Di sini 6 ialah baki pembahagian 1000 dengan 7, 2 ialah baki pembahagian 100 dengan 7 dan 3 ialah baki daripada membahagi 10 dengan 7).

Konsep asas

Mari kita ingat beberapa konsep matematik yang kita perlukan semasa mempelajari topik ini:

• Ujian pembahagian ialah peraturan yang, tanpa melakukan pembahagian, anda boleh menentukan sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain.

• Pembahagi nombor asli A panggil nombor asli b , ke mana A dibahagikan tanpa baki.

• Mudah dipanggil nombor asli yang tidak mempunyai pembahagi semula jadi lain kecuali satu dan dirinya sendiri.

• Komposit ialah nombor yang mempunyai pembahagi semula jadi selain daripada 1 dan diri mereka sendiri.

Tanda-tanda pembahagian

Semua tanda-tanda pembahagian nombor asli yang saya pertimbangkan dalam karya ini boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan:

saya

• saya . Kebolehbahagiaan nombor ditentukan oleh digit terakhir

Kumpulan pertama tanda kebolehbahagi nombor asli yang saya pertimbangkan termasuk tanda kebolehbahagi dengan 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 dan unit digit 10, 100, dsb.

• Uji kebolehbahagi dengan 2 : Nombor boleh dibahagi dengan 2 apabila digit terakhir nombor itu boleh dibahagi dengan 2 (iaitu digit terakhir ialah nombor genap).

Sebagai contoh : 3221786 4 : 2

• Uji kebolehbahagi dengan 4 : Nombor boleh dibahagi dengan 4 apabila dua digit terakhirnya adalah sifar, atau apabila nombor dua digit yang dibentuk oleh dua digit terakhirnya boleh dibahagi dengan 4.

Sebagai contoh: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• Ujian pembahagian sebanyak 5 : Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah 5 atau 0.

Contohnya: 3678 0 : 5 atau 12326 5 : 5

• Uji kebolehbahagi dengan 8: Nombor boleh dibahagi dengan 8 apabila nombor tiga digit yang terbentuk daripada tiga digit terakhir nombor itu boleh dibahagi dengan 8.

Contohnya: 432 240 : 8

• Uji kebolehbahagiaan sebanyak 20: suatu nombor boleh dibahagi dengan 20 apabila nombor itu dibentuk oleh dua terakhir nombor, boleh dibahagikan dengan 20. (Rumusan lain: nombor boleh dibahagikan pada 20 apabila digit terakhir nombor ialah 0, dan digit kedua hingga terakhir ialah genap).

Contohnya: 596 40 : 20

• Uji kebolehbahagiaan sebanyak 25: Nombor yang dua digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 25 boleh dibahagi dengan 25.

Contohnya: 6679 75 : 25 atau 77689 00 : 25

• Uji kebolehbahagiaan sebanyak 50: Nombor boleh dibahagi dengan 50 apabila nombor yang dibentuk oleh dua digit perpuluhan terendahnya boleh dibahagi dengan 50.

Sebagai contoh : 5643 50 : 50 atau 5543 00 : 50

• Ujian pembahagian sebanyak 125: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 125 jika tiga digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagi dengan 125.

Contohnya: 32157 000 : 125 atau 3216 250 : 125

• Tanda pembahagian mengikut unit digit 10, 100, 1000, dsb.: nombor asli yang bilangan sifarnya lebih besar daripada atau sama dengan bilangan sifar unit digit dibahagikan kepada unit digit.

Sebagai contoh, 12,000 boleh dibahagi dengan 10, 100 dan 1000

II

• II . Kebolehbahagi nombor ditentukan oleh jumlah digit nombor itu

Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi dengan 3, 9, 11 yang saya pertimbangkan.

• Uji kebolehbahagi dengan 3: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3.

Sebagai contoh: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Uji kebolehbahagi dengan 9: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 9 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 9.

Sebagai contoh: 653022: 9 kerana 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Uji kebolehbahagi dengan 11: Nombor tersebut boleh dibahagi dengan 11 jika jumlah digit di tempat ganjil sama ada sama dengan jumlah digit di tempat genap atau berbeza daripadanya dengan gandaan 11.

Contohnya: 865948732:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 kerana 8+5+4+7+2=26 dan 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Pembahagian nombor ditentukan selepas melakukan beberapa tindakan

di atas digit nombor ini

Kumpulan tanda boleh bahagi nombor asli ini termasuk tanda boleh bahagi mengikut: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Uji kebolehbahagi dengan 6:

• Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila hasil penolakan dua kali bilangan ratus daripada nombor selepas ratusan boleh dibahagi dengan 6.

Contohnya: 138: 6 kerana 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 kerana 44 – 7·2=30, (30:6)

• Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 6 jika dan hanya jika nombor empat kali sepuluh ditambah kepada bilangan unit boleh dibahagi dengan 6.

Contohnya: 768:6 kerana 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Kebolehbahagiaan sebanyak 7:

• Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 7 apabila tiga kali ganda bilangan puluh yang ditambah kepada nombor satu boleh dibahagikan dengan 7.

Contohnya: nombor 154:7, kerana 15 3 + 4 = 49 (49:7) dibahagikan dengan 7

• Tanda 2: nombor boleh dibahagikan dengan 7 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil tiga digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “-” boleh dibahagikan dengan 7.

Contohnya, 138689257:7, kerana ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Kebolehbahagiaan sebanyak 11:

• Tanda 1: nombor boleh dibahagikan dengan 11 apabila modulus perbezaan antara jumlah digit yang menduduki kedudukan ganjil dan jumlah digit yang menduduki kedudukan genap boleh dibahagikan dengan 11.

Sebagai contoh, 9163627:11, kerana ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 11 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 11.

Sebagai contoh, 103785:11, kerana 10+37+85=132 dan 01+32=33 (33:11)

Kebolehbahagiaan sebanyak 13:

• Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila hasil tambah bilangan puluh dan empat kali ganda bilangan satu boleh dibahagikan dengan 13

Sebagai contoh, 845:13, kerana 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 13 apabila perbezaan antara bilangan puluh dan sembilan kali bilangan satu boleh dibahagi dengan 13.

Sebagai contoh, 845:13, kerana 84-5 9=39 (39:13)

Uji kebolehbahagi dengan 17: suatu nombor boleh dibahagi dengan 17 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan lima kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 17.

Sebagai contoh, 221:17, kerana ǀ22-5·1ǀ=17

Tanda-tanda boleh dibahagikan dengan 19: suatu nombor boleh dibahagi dengan 19 apabila nombor itu ialah puluh, dengan palsu dengan dua kali ganda bilangan unit, boleh dibahagikan dengan 19.

Sebagai contoh, 646:19, kerana 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 23:

• Tanda 1: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan ratusan ditambah kepada tiga kali ganda nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 23.

Sebagai contoh, 28842:23, kerana 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan puluh ditambah kepada tujuh kali bilangan unit boleh dibahagikan dengan 23.

Sebagai contoh, 391:23, kerana 39+7·1=46 (46:23)

• Tanda 3: nombor boleh dibahagi dengan 23 apabila bilangan ratus, ditambah kepada tujuh kali bilangan puluh dan tiga kali ganda bilangan unit, boleh dibahagikan dengan 23.

Sebagai contoh, 391:23, kerana 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 27: suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan tiga digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 27.

Sebagai contoh, 2705427:27 kerana 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 29: suatu nombor boleh dibahagi dengan 29 apabila bilangan puluh ditambah kepada tiga kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 29

Sebagai contoh, 261:29, kerana 26+3·1=29 (29:29)

Uji kebolehbahagi dengan 31: suatu nombor boleh dibahagi dengan 31 apabila modulus beza bilangan puluh dan tiga kali bilangan unit dibahagikan dengan 31.

Sebagai contoh, 217:31, kerana ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Kriteria pembahagian sebanyak 33: Jika jumlah yang dibuat dengan membahagikan nombor dari kanan ke kiri kepada kumpulan dua digit boleh dibahagi dengan 33, maka nombor itu boleh dibahagi dengan 33.

Sebagai contoh, 396:33, kerana 96+3=99 (99:33)

Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 37:

• Tanda 1 : nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila, apabila membahagikan nombor kepada kumpulan tiga digit (bermula dengan satu), jumlah kumpulan ini ialah gandaan 37.

Sebagai contoh , nombor 100048:37, kerana 100+048=148, (148:37)

• Tanda 2: nombor boleh dibahagi dengan 37 apabila modul tiga kali ganda bilangan ratus, ditambah kepada empat kali ganda bilangan puluh, tolak bilangan unit didarab dengan tujuh, boleh dibahagikan dengan 37.

Sebagai contoh, nombor 481:37, kerana ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 boleh dibahagi dengan 37

Kriteria pembahagian sebanyak 41:

• Tanda 1: nombor boleh dibahagikan dengan 41 apabila modulus perbezaan antara bilangan puluh dan empat kali bilangan satu boleh dibahagikan dengan 41.

Sebagai contoh, 369:41, kerana ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Tanda 2: untuk menyemak sama ada nombor boleh dibahagi dengan 41, ia harus dibahagikan dari kanan ke kiri kepada kumpulan 5 digit setiap satu. Kemudian dalam setiap kumpulan, darab digit pertama di sebelah kanan dengan 1, darab digit kedua dengan 10, ketiga dengan 18, keempat dengan 16, kelima dengan 37 dan menambah semua hasil yang terhasil. Jika hasilnya boleh dibahagikan dengan 41, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 41.

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 59: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 59 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 6 boleh dibahagi dengan 59.

Sebagai contoh, 767:59, kerana 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Uji kebolehbahagi dengan 79: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 79 apabila bilangan puluh yang ditambah kepada bilangan yang didarab dengan 8 boleh dibahagi dengan 79.

Sebagai contoh, 711:79, kerana 71+8·1=79, (79:79)

Ujian pembahagian sebanyak 99: Nombor boleh dibahagi dengan 99 apabila jumlah nombor yang membentuk kumpulan dua digit (bermula dengan satu) boleh dibahagi dengan 99.

Sebagai contoh, 12573:99, kerana 1+25+73=99, (99:99)

Ujian pembahagian sebanyak 101: sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 101 apabila modulus jumlah algebra nombor yang membentuk kumpulan ganjil dua digit (bermula dengan satu), diambil dengan tanda “+”, dan nombor genap dengan tanda “–” boleh dibahagi dengan 101.

Sebagai contoh, 590547:101, kerana ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Untuk menentukan pembahagian nombor, kriteria pembahagian lain digunakan

Kumpulan tanda kebolehbahagi nombor asli ini termasuk tanda kebolehbahagi dengan: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, dsb. Ini semua adalah nombor komposit. Kriteria kebolehbahagi untuk nombor komposit adalah berdasarkan kriteria kebolehbahagi untuk nombor perdana, di mana sebarang nombor komposit boleh diuraikan.

Uji kebolehbahagi dengan 6: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 6 apabila ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 dan 3, iaitu, jika ia genap dan hasil tambah digitnya boleh dibahagi dengan 3.

Sebagai contoh, 768:6, kerana 7+6+8=21 (21:3) dan digit terakhir dalam nombor 768 ialah genap.

Ujian pembahagian sebanyak 12 : Suatu nombor boleh dibahagi dengan 12 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 4 pada masa yang sama.

Sebagai contoh, 408:12, kerana 4+0+8=12 (12:3) dan dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 4 (08:4)

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 14: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 14 apabila ia boleh dibahagi dengan 2 dan 7.

Sebagai contoh, nombor 45612:14 kerana ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 dan 7, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 14

Uji kebolehbahagiaan sebanyak 15: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 15 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 5.

Sebagai contoh, 1146795:15 kerana nombor ini boleh dibahagi dengan 3 dan 5

Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 27: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 27 apabila ia boleh dibahagi dengan 3 dan 9. Sebagai contoh, 511704:27 kerana 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 dan 18:9)

Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 30: Suatu nombor boleh dibahagi dengan 30 apabila ia berakhir dengan 0 dan hasil tambah semua digit boleh dibahagi dengan 3.

Sebagai contoh, 510:30 kerana 5+1+0=6 (6:3) dan dalam nombor 510 (digit terakhir 0)

Tanda-tanda boleh bahagi sebanyak 60: Untuk nombor boleh dibahagi dengan 60, adalah perlu dan mencukupi bahawa nombor itu boleh dibahagikan dengan 4, 3, atau 5.

Sebagai contoh, 1620:60 kerana 1+6+2+0=9 (9:3), nombor 1620 berakhir dengan 0, i.e. boleh dibahagi dengan 5 dan 1620: 4 kerana dua digit terakhir 20:4

Penggunaan kriteria pembahagian dalam amalan

Kerja itu mempunyai aplikasi praktikal. Ia boleh digunakan oleh pelajar sekolah dan orang dewasa apabila menyelesaikan situasi sebenar; guru, baik semasa pelajaran matematik dan dalam kursus elektif dan kelas ulang kaji tambahan.

Kajian ini akan berguna untuk pelajar dalam persediaan bebas mereka untuk peperiksaan akhir dan kemasukan. Ia juga berguna untuk pelajar yang matlamatnya adalah tempat tinggi di Olimpik bandar.

Tugasan No 1 . Adakah mungkin, dengan hanya menggunakan nombor 3 dan 4, untuk menulis:

• nombor yang boleh dibahagi dengan 10;
• nombor genap;
• nombor yang merupakan gandaan 5;
• nombor ganjil

Tugasan No. 3 : Cari nombor empat digit terbesar, semua digitnya berbeza dan boleh dibahagi dengan 2, 5, 9, 11.

Jawapan: 8910

Tugasan #4: Olya menghasilkan nombor tiga digit yang mudah, yang kesemuanya adalah berbeza. Digit apakah ia boleh berakhir jika digit terakhirnya sama dengan hasil tambah dua yang pertama. Berikan contoh nombor tersebut.

Jawapan: hanya dengan 7. Terdapat 4 nombor yang memenuhi syarat masalah: 167, 257, 347, 527

Masalah No 5 : Terdapat 70 orang pelajar dalam dua kelas bersama-sama. Dalam satu kelas, 7/17 pelajar tidak hadir ke kelas, dan dalam kelas lain, 2/9 menerima gred cemerlang dalam matematik. Berapakah bilangan murid dalam setiap kelas?

Penyelesaian: Dalam kelas pertama ini mungkin terdapat: 17, 34, 51... - nombor gandaan 17. Dalam kelas kedua: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - nombor gandaan daripada 9. Kita perlu memilih 1 nombor daripada jujukan pertama, dan 2 ialah nombor daripada yang kedua supaya mereka menambah sehingga 70. Selain itu, dalam jujukan ini hanya sebilangan kecil istilah boleh menyatakan kemungkinan bilangan kanak-kanak dalam kelas. Pertimbangan ini mengehadkan pemilihan pilihan dengan ketara. Satu-satunya pilihan yang mungkin ialah pasangan (34, 36).

Masalah No 6 : Dalam gred 9, 1/7 pelajar menerima A untuk ujian, 1/3 menerima empat, ½ - tiga. Kerja selebihnya ternyata tidak memuaskan. Berapa banyak karya seperti itu ada?

Penyelesaian: Penyelesaian masalah mestilah nombor yang merupakan gandaan nombor: 7, 3, 2. Mari cari dahulu terkecil daripada nombor ini. LCM (7, 3, 2) = 42. Anda boleh membuat ungkapan mengikut syarat masalah: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 tidak berjaya. Masalah perhubungan matematik menganggap bahawa nombor pelajar dalam kelas 84, 126, dsb. Manusia. Tapi atas sebab akal maka jawapan yang paling boleh diterima ialah nombor 42.

Jawapan: 1 kerja.

Kesimpulan:

Hasil daripada kerja ini, saya mengetahui bahawa selain tanda-tanda boleh bahagi dengan 2, 3, 5, 9 dan 10 yang saya tahu, terdapat juga tanda-tanda boleh bahagi nombor asli yang lain. Pengetahuan yang diperoleh dengan ketara mempercepatkan penyelesaian banyak masalah. Dan saya akan dapat menggunakan pengetahuan ini dalam aktiviti pendidikan saya, sama ada dalam pelajaran matematik dan dalam aktiviti kokurikulum. Perlu diingatkan juga bahawa rumusan beberapa kriteria pembahagian adalah rumit. Mungkin sebab itu mereka tidak belajar di sekolah. Saya menjangkakan untuk terus berusaha untuk mengkaji tanda-tanda kebolehbahagi nombor asli pada masa hadapan.

• Kamus ensiklopedia ahli matematik muda. Savin A.P. Moscow "Pedagogi" 1989.
• Matematik. Bahan tambahan untuk pelajaran matematik, gred 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moscow "Bustard" 2002.
• Di sebalik halaman buku teks matematik. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Pendidikan, 1989.
• Kerja ekstrakurikuler dalam matematik dalam gred 6-8. Moscow. "Pencerahan" 1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
• “1001 soalan dan jawapan. Buku besar pengetahuan" Moscow. "Dunia Buku" 2004.
• Kursus pilihan dalam matematik. Nikolskaya I.L. - Moscow. Pencerahan 1991.
• Masalah olimpik dalam matematik dan kaedah untuk menyelesaikannya. Farkov A.V. - Moscow. 2003
• sumber Internet.

Nombor bulat

Satu set nombor asli yang digunakan untuk mengira atau memindahkan.

Secara formal, set nombor asli boleh ditakrifkan menggunakan sistem aksiom Peano.

DENGANSistem aksiom peano

1. Unit - nombor asli yang tidak mengikut sebarang nombor.

2. Untuk sebarang nombor asli wujud tunggal
yang segera menyusul.

3. Setiap nombor asli
serta-merta hanya mengikut satu nombor.

4. Jika ada yang ditetapkan
mengandungi dan bersama-sama dengan setiap nombor asli mengandungi nombor serta-merta selepas itu
(aksiom aruhan).

Operasi pada set

Pendaraban

Penolakan :

Sifat Tolak: Jika
Itu

Jika
Itu

Kebolehbahagi nombor asli

Pembahagian : dibahagikan dengan
seperti itu

Hartanahoperasi:

1. Jika
dibahagikan kepada Itu
dibahagikan dengan

2. Jika
Dan
dibahagikan kepada Itu
dibahagikan dengan

3. Jika
Dan boleh dibahagikan dengan yang dibahagikan dengan

4. Jika boleh dibahagikan pada masa itu
dibahagikan dengan

5. Jika
boleh dibahagikan dengan a tidak dibahagikan kepada ini dan itu
tidak boleh dibahagikan dengan

6. Jika atau dibahagikan dengan itu
dibahagikan dengan

7. Jika boleh dibahagikan dengan
maka ia dibahagikan dengan dan dibahagikan dengan

Teoremtentang pembahagian dengan baki Untuk sebarang nombor asli
hanya ada nombor positif
seperti itu
dan

Bukti. biarlah
Pertimbangkan algoritma berikut:

	Jika Jika lepas tu mari buat penolakan lagi Kami meneruskan proses penolakan sehingga bakinya kurang daripada nombor Ada nombor seperti itu
	Mari kita tambah semua baris algoritma ini dan dapatkan ungkapan yang diperlukan, di mana

Kami akan membuktikan keunikan perwakilan dengan percanggahan.

Katakan terdapat dua perwakilan

Dan
Kurangkan satu ungkapan daripada yang lain dan
Kesamaan terakhir dalam integer hanya mungkin dalam kes sejak itu
di
□

Akibat 1. Mana-mana nombor asli boleh diwakili sebagai:
atau atau

Akibat 2. Jika
nombor asli berturut-turut, maka salah satu daripadanya boleh dibahagikan dengan

Akibat 3. Jika
dua nombor genap berturut-turut, maka satu daripadanya boleh dibahagi dengan

Definisi. Nombor asli dipanggil perdana jika ia tidak mempunyai pembahagi selain daripada satu dan dirinya sendiri.

Akibat4. Setiap nombor perdana mempunyai bentuk
atau

Malah, sebarang nombor boleh diwakili dalam bentuk bagaimanapun, semua nombor dalam siri ini, kecuali
sudah pasti komposit. □

Akibat5 . Jika
nombor perdana kemudian
dibahagikan dengan

sungguh,
tiga nombor asli berturut-turut, dan
malah, dan
perdana ganjil. Oleh itu, salah satu daripada nombor genap
Dan
boleh dibahagi dengan 4, dan satu juga boleh dibahagi dengan □

Contoh 2 . Pernyataan berikut adalah benar:

1. Kuasa dua nombor ganjil apabila dibahagi dengan 8 memberikan baki

2. Untuk tiada nombor asli n ialah nombor n 2 +1 boleh dibahagi dengan 3.

3. Hanya menggunakan nombor 2, 3, 7, 8 (mungkin beberapa kali), adalah mustahil untuk mengduakan nombor asli.

Bukti1. Mana-mana nombor ganjil boleh diwakili sebagai
atau
Mari kita kuasa duakan setiap nombor ini dan dapatkan pernyataan yang diperlukan.

Bukti 2. Setiap nombor asli boleh diwakili sebagai
Kemudian ungkapan
akan sama dengan salah satu ungkapan
yang tidak dibahagikan kepada

Bukti3. Sesungguhnya, digit terakhir kuasa dua nombor asli tidak boleh berakhir dengan mana-mana digit ini.

Tanda-tanda pembahagian

Definisi. Perwakilan perpuluhan bagi nombor asli ialah perwakilan nombor dalam bentuk

Notasi pendek

Tanda-tanda boleh berpecah kepada

Diluluskan 6 biarlah
perwakilan perpuluhan nombor nombor Kemudian:

1. Nombor boleh dibahagi dengan
apabila angka tersebut - genap;

2. Nombor boleh dibahagi dengan apabila nombor itu ialah dua digit
dibahagikan dengan

3. Nombor boleh dibahagi dengan Bila
atau

4. Nombor boleh dibahagi dengan
Bila

5. Nombor boleh dibahagi dengan
apabila nombor itu ialah dua digit
- dibahagikan dengan

6. Nombor boleh dibahagi dengan

7. Nombor boleh dibahagi dengan apabila hasil tambah digit bagi suatu nombor dibahagikan dengan

8. Nombor boleh dibahagi dengan
apabila hasil tambah digit bagi suatu nombor dengan tanda berselang-seli dibahagi dengan

Bukti. Bukti tanda 1)-5) mudah diperolehi daripada notasi perpuluhan nombor tersebut. sungguh,

Ia berikutan bahawa jika boleh dibahagikan (atau
maka hasil tambah digit nombor itu juga boleh dibahagi dengan

Mari kita buktikan 11). Biarkan ia boleh dibahagikan dengan Mari kita wakili nombor dalam borang

Oleh kerana semua jumlah tambah boleh dibahagikan dengan
maka jumlah itu juga dibahagikan dengan □

Contoh 3 . Cari semua nombor lima digit bagi borang itu
, yang boleh dibahagi dengan 45.

Bukti.
Oleh itu, nombor itu boleh dibahagikan dengan 5, dan digit terakhirnya ialah 0 atau 5, i.e.
atau
Nombor asal juga boleh dibahagikan dengan 9, jadi ia boleh dibahagikan dengan 9, i.e.
atau boleh dibahagikan dengan 9, i.e.

Jawapan:

Ujian pembahagian pada Dan

Diluluskan 7 Biarkan perwakilan perpuluhan bagi nombor nombor Nombor boleh dibahagi dengan
apabila perbezaan antara nombor tanpa tiga digit terakhir dan nombor yang terdiri daripada tiga digit terakhir dibahagikan dengan

Bukti. Mari kita wakili dalam bentuk Sejak nombor
dibahagikan dengan dan
Itu
boleh dibahagikan dengan dan □

Contoh 4 . biarlah
Kemudian
boleh dibahagi dengan dan oleh itu nombor
dibahagikan dengan

biarlah
Kemudian

boleh dibahagi dengan Kemudian nombor
dibahagikan dengan

Nombor perdana

Penapis Eratosthenes

(Algoritma mudah untuk mendapatkan semua nombor perdana)

Algoritma. Kami menulis semua nombor dari 1 hingga 100 dan memotong semua yang genap terlebih dahulu. Kemudian, daripada yang selebihnya kita potong yang boleh dibahagikan dengan 3, 5, 7, dsb. Akibatnya, hanya nombor perdana akan kekal.

Teorem Euclid. Bilangan nombor perdana adalah tidak terhingga.

Bukti"dengan percanggahan." Biarkan bilangan nombor perdana terhingga -
Pertimbangkan nombornya
Soalan: nombor - mudah atau majmuk?

Jika ialah nombor komposit, maka ia boleh dibahagikan dengan beberapa nombor perdana dan oleh itu satu dibahagikan dengan nombor perdana ini. Percanggahan.

Jika ialah nombor perdana, maka ia lebih besar daripada sebarang nombor perdana
dan kami menulis dan menomborkan semua nombor perdana. Sekali lagi percanggahan. □

Diluluskan 8 Jika nombor adalah komposit, maka ia mempunyai pembahagi utama sedemikian

Bukti. If ialah pembahagi perdana terkecil bagi nombor komposit
Itu

Akibat. Untuk menentukan sama ada nombor adalah perdana, anda perlu menentukan sama ada ia mempunyai pembahagi perdana.

Contoh 5 . biarlah
Untuk menyemak sama ada nombor adalah
mudah, anda perlu menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan nombor perdana Jawapan: nombor
ringkas.

Penjana nombor perdana

Hipotesis: Semua nombor borang
ringkas.

Pada
- ini adalah nombor perdana
Untuk
Ia telah dibuktikan secara manual dan dengan bantuan komputer bahawa semua nombor adalah komposit.

Contohnya, (Euler)

Hipotesis: Semua nombor borang
ringkas.

Pada
itu benar, ya
boleh dibahagikan dengan 17.

Hipotesis: Semua nombor borang
ringkas.

Pada
itu benar, ya

Hipotesis: Semua nombor dalam bentuk adalah perdana. Pada
itu benar, ya

Teorem.(Kaedah pemfaktoran Fermat) Integer ganjil bukan perdana
terdapat nombor asli seperti itu
Bukti.

□

Contoh 6 . Faktorkan nombor menjadi faktor perdana

Contoh 7 . Faktorkan nombor
Nombor ini boleh dibahagi dengan 3
Selanjutnya, mengikut kaedah pemilihan faktor,

Contoh 8 . Pada integer apa

mudah?

Perhatikan bahawa sejak
mudah, kemudian sama ada
atau
Jawapan:

Diluluskan 10 Adakah nombor asli mempunyai bilangan pembahagi ganjil apabila ia adalah segi empat sama sempurna?

Bukti. Jika
pembahagi nombor
kemudian mempunyai dua pasangan pembahagi yang berbeza
Dan
dan bila
kedua-dua pasangan akan sama.

Contoh 9 . Nombor-nombor itu mempunyai tepat 99 pembahagi. Bolehkah nombor mempunyai tepat 100 pembahagi?

Jawapan: tidak. Sah oleh harta sebelumnya dan - petak sempurna, tetapi kerja mereka tidak.

Contoh 10 . Nombor
ringkas. Cari

Penyelesaian. Sebarang nombor boleh diwakili sebagai
Jika
maka anda mendapat tiga nombor perdana
memenuhi syarat masalah. Jika
Itu
komposit. Jika
nombor itu
dibahagikan dengan dan jika
nombor itu
boleh dibahagikan dengan Oleh itu, dalam semua pilihan yang dipertimbangkan tiga nombor perdana tidak diperolehi. Jawapan:

Definisi. Nombor dipanggil pembahagi sepunya terbesar bagi nombor dan jika ia membahagi dan dan merupakan yang terbesar daripada nombor tersebut.

Jawatan:

Definisi . Nombor dan dikatakan relatif perdana jika

Contoh 1 2 . Selesaikan persamaan dalam nombor asli

Penyelesaian. biarlah

Oleh itu, persamaan kelihatan seperti Jawapan: Tiada penyelesaian.

TENTANGteorem asas aritmetik

Teorem. Sebarang nombor asli yang lebih besar daripada sama ada nombor perdana atau boleh ditulis sebagai hasil darab nombor perdana, dan hasil darab ini adalah unik mengikut susunan faktor.

Akibat 1. biarlah

Kemudian
adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana sepunya dengan darjah terkecil.

Akibat 2. biarlah
Kemudian
adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang berbeza dengan kuasa terbesar. dibahagikan dengan

10. Cari digit terakhir bagi nombor 7 2011 + 9 2011.

11. Cari semua nombor asli yang meningkat sebanyak 9 kali jika sifar dimasukkan di antara digit unit dan digit puluhan.

12. Pada beberapa nombor dua digit, satu telah ditambah ke kiri dan kanan. Hasilnya adalah nombor 23 kali lebih besar daripada yang asal. Cari nombor ini.

Soalan mengenai teori atau latihan boleh diajukan kepada Valery Petrovich Chuvakov

chv @ uriit . ru

sastera tambahan

1. Vilenkin N.Ya. dan lain-lain di sebalik halaman buku teks matematik. Aritmetik. Algebra. –M.: Pendidikan, 2008.

2. Sevryukov P.F. Persediaan untuk menyelesaikan masalah Olympiad dalam matematik. –M.: Ilexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Bagaimana mereka membuat keputusan tugasan yang tidak standard. –M. MCNMO, 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Olimpik Matematik wilayah Moscow. –M.: Fizmatkniga, 2006

5. Gorbachev N.V. Koleksi masalah Olympiad, –M.:MCNMO, 2004

Syarahan

Nota kuliah untuk kursus "teori nombor"

Syarahan

Bahagian teori berikut nombor: teori kebolehpecahan, ringkas dan komposit... Teorem. Biarkan x>0, xR, dN. Kuantiti semula jadinombor, gandaan d dan tidak melebihi x, adalah sama dengan... Syarahan 12 13 Syarahan 13 15 Kesusasteraan. 17 Abstrakceramah dalam kursus "Teori" nombor" ...

Nota kuliah tentang ulturologi

Abstrak

Pavlyuchenkov Abstrakceramah dalam kajian budaya... tidak sekata dan wujud dalam semula jadi ladang. Ia adalah dalam polis... penyelidikan infinitesimals nombor sebahagian besarnya telah menyiapkan penciptaan... manakala bahan boleh dibahagikan ke Infiniti. rohani...

D A nota syarahan Logik Shadrin

Abstrak

Mewakili abstrakceramah dalam disiplin "Logik". Abstrakceramah disusun dalam ... ini adalah definisi semula jadinombor. Jadi, jika 1 - semula jadi nombor dan n - semula jadi nombor, kemudian 1 ... habiskan keseluruhan isipadu boleh dibahagikan konsep, jadi...

Bidang pendidikan: sains semula jadi.

Bahagian: "Matematik"

Kerja penyelidikan mengenai topik:

"Tanda pembahagian nombor asli"

Ketua: Lapko I.V.

guru matematik

pengenalan:

1. Fakta sejarah matematik.

2. Tanda kebolehbahagi dengan 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10.

3. Tanda pembahagian nombor asli dengan 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50.

4. Menyelesaikan masalah menggunakan kriteria pembahagian.

6. Senarai literatur terpakai (sumber).

Perkaitan: Di sekolah, kami semua mempelajari tanda-tanda pembahagian, yang sehingga hari ini membantu kami dengan cepat dan tepat membahagikan nombor yang diberikan tanpa membuang masa. Tidak lama dahulu, mengingati topik ini, saya mula tertanya-tanya sama ada terdapat tanda-tanda pembahagian lain dengan nombor semula jadi. Dan pemikiran inilah yang mendorong saya untuk menulis kertas penyelidikan.
Hipotesis: Jika anda boleh menentukan pembahagian nombor asli dengan 2, 3, 5, 9, 10, maka kemungkinan besar terdapat tanda-tanda yang membolehkan anda menentukan pembahagian nombor asli dengan nombor lain.
Objek kajian: pembahagian nombor asli.

Subjek kajian: tanda kebolehbahagi nombor asli.

Sasaran: menambah tanda-tanda pembahagian nombor asli yang sudah diketahui, dipelajari di sekolah.

Tugasan:
1. Tentukan dan ulangi tanda kebolehbahagi yang telah dipelajari dengan 2, 3, 5, 9, 10.
2. Kaji literatur tambahan yang mengesahkan ketepatan soalan yang dibangkitkan tentang kewujudan tanda-tanda lain bagi pembahagian nombor asli.
3. Semak dan dapatkan tanda kebolehbahagi nombor asli dengan 4, 6, 8, 15, 25 secara bebas.
4. Cari daripada tanda literatur tambahan bagi pembahagian nombor asli dengan 7, 11,12,13,14.
5.Buat kesimpulan.
Kebaharuan: Semasa menjalankan projek, saya mengembangkan pengetahuan saya tentang tanda-tanda kebolehbahagi nombor asli.

Kaedah penyelidikan: pengumpulan bahan, pemprosesan data, pemerhatian, perbandingan, analisis, sintesis.

1. Fakta sejarah matematik

1. Tanda pembahagian- algoritma yang membolehkan anda menentukan dengan cepat sama ada sesuatu nombor adalah gandaan daripada nombor yang telah ditetapkan
Ujian kebolehbahagi ialah peraturan yang, tanpa melakukan pembahagian, seseorang boleh menentukan sama ada satu nombor asli boleh dibahagikan dengan yang lain. Tanda-tanda kebolehpecahan sentiasa menarik minat saintis negara berbeza dan tanda-tanda pembahagian dengan 2, 3, 5, 9, 10 telah diketahui sejak zaman dahulu. Tanda pembahagian oleh 2 diketahui oleh orang Mesir kuno 2 ribu tahun SM, dan tanda-tanda pembahagian oleh 2, 3, 5 diterangkan secara terperinci oleh ahli matematik Itali Leonardo Pisanus (Latin Leonardus Pisanus, Itali Leonardo Pisano, sekitar 1170, Pisa - sekitar 1250 tahun, ibid.) - ahli matematik utama pertama Eropah zaman pertengahan. Dia paling dikenali dengan nama samarannya Fibonacci. Ahli sains Alexandria Eratosthenes, yang hidup pada abad ke-3 SM, pernah memikirkan soalan yang sama. Kaedah beliau menyusun senarai nombor perdana dipanggil "ayak Eratosthenes". Katakan kita perlu mencari semua nombor perdana hingga 100. Mari kita tulis semua nombor hingga 100 berturut-turut.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Meninggalkan nombor 2, potong semua nombor genap yang lain. Nombor pertama yang masih hidup selepas 2 ialah 3. Sekarang, meninggalkan nombor 3, mari kita pangkas nombor yang boleh dibahagi dengan 3. Kemudian potong nombor yang boleh dibahagi dengan 5. Akibatnya, semua nombor komposit akan dicoret dan hanya nombor perdana akan kekal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Menggunakan kaedah ini, anda boleh membuat senarai nombor perdana , lebih daripada 100.

Isu pembahagian nombor telah dipertimbangkan oleh Pythagoreans. Dalam teori nombor, mereka melakukan banyak kerja pada tipologi nombor asli. Pythagorean membahagikan mereka kepada beberapa kelas. Kelas dibezakan: nombor sempurna (nombor sama dengan jumlah pembahagi mereka sendiri, contohnya: 6=1+2+3), nombor mesra (masing-masing adalah sama dengan jumlah pembahagi yang lain, contohnya 220 dan 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110; 220=1+2+4+71+142), nombor bergambar (nombor segi tiga, nombor kuasa dua), nombor perdana, dsb. Blaise Pascal (1623-1662) berjaya sumbangan kepada kajian tanda kebolehbahagi nombor ). Blaise muda menunjukkan sangat awal kemahiran matematik, belajar mengira sebelum membaca. Secara umum, contoh beliau ialah kes klasik genius matematik zaman kanak-kanak. Dia menulis risalah matematik pertamanya, "Pengalaman dalam Teori Bahagian Kon," pada usia 24 tahun. Pada masa yang sama, beliau mereka bentuk mesin tambah mekanikal, prototaip mesin tambah. DALAM tempoh awal Dalam karya kreatifnya (1640-1650), saintis serba boleh itu menemui algoritma untuk mencari tanda kebolehbahagi mana-mana integer dengan mana-mana integer lain, dari mana semua tanda tertentu mengikuti. Tandanya adalah seperti berikut: Nombor asli a akan dibahagikan dengan nombor asli b yang lain hanya jika hasil tambah digit nombor a dengan baki sepadan yang diperoleh dengan membahagi unit digit dengan nombor b boleh dibahagi dengan ini. nombor.
Semasa mempelajari topik ini, anda perlu mengetahui konsep pembahagi, berbilang, nombor perdana dan komposit Pembahagi bagi nombor asli a ialah nombor asli b, yang mana a dibahagikan tanpa baki daripada nombor dengan nombor b dinyatakan dalam perkataan setara yang lain: a ialah gandaan b, b ialah pembahagi a, b bahagi a adalah nombor asli yang mempunyai dua pembahagi: 1 dan nombor itu sendiri. Contohnya, nombor 5,7,19 ialah nombor perdana kerana boleh dibahagikan dengan 1 dan dirinya sendiri. Nombor yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil nombor komposit. Sebagai contoh, nombor 14 mempunyai 4 pembahagi: 1, 2, 7, 14, yang bermaksud ia adalah komposit.

2. Tanda-tanda pembahagian

Untuk memudahkan pembahagian nombor asli, peraturan pembahagian kepada nombor sepuluh yang pertama dan nombor 11, 25 telah diterbitkan, yang digabungkan menjadi bahagian mengenai tanda kebolehbahagi nombor asli. Di bawah adalah peraturan di mana analisis nombor tanpa membahagikannya dengan nombor asli yang lain akan menjawab soalan, adalah nombor asli gandaan nombor 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 dan unit digit?

Nombor asli yang mempunyai digit (berakhir dengan) 2,4,6,8,0 dalam digit pertama dipanggil genap.

Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 2

Semua nombor asli boleh dibahagi dengan 2, contohnya: 172, 94.67, 838, 1670.

Sebagai contoh, nombor 52,738 boleh dibahagi dengan 2 kerana digit terakhir, 8, ialah genap; 7691 tidak boleh dibahagikan dengan 2, kerana 1 ialah nombor ganjil; 1250 boleh dibahagi dengan 2 kerana digit terakhir ialah sifar.

Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 3

Semua nombor asli yang jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3 boleh dibahagi dengan 3. Contohnya:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Contoh.

Nombor 52632 boleh dibahagi dengan 9 kerana hasil tambah digitnya (18) boleh dibahagi dengan 9.

Ujian pembahagian nombor dengan 4

Semua nombor asli yang dua digit terakhirnya ialah sifar atau gandaan 4 boleh dibahagi dengan 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Contoh.
31,700 boleh dibahagikan dengan 4 kerana ia berakhir dengan dua sifar;
215,634 tidak boleh dibahagikan dengan 4, kerana dua digit terakhir memberikan nombor 34, yang tidak boleh dibahagikan dengan 4;
16,608 boleh dibahagi dengan 4 kerana dua digit terakhir 08 memberikan nombor 8, yang boleh dibahagi dengan 4.

Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 5

Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 6

Nombor asli yang boleh dibahagi dengan 2 dan 3 pada masa yang sama boleh dibahagi dengan 6 (semua nombor genap yang boleh dibahagi dengan 3). Contohnya: 126 (b - genap, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 8

Itu dan hanya nombor yang berakhir dengan tiga sifar atau yang tiga digit terakhirnya menyatakan nombor yang boleh dibahagi dengan 8 boleh dibahagi dengan 8. Contoh

Nombor 853,000 berakhir dengan tiga sifar, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 8

Nombor 381,864 boleh dibahagi dengan 8 kerana nombor yang dibentuk oleh tiga digit terakhir 864 boleh dibahagi dengan 8.

Dan lain-lainTanda boleh bahagi untuk nombor dengan 9

Nombor asli yang jumlah digitnya ialah gandaan 9 boleh dibahagi dengan 9. Contohnya:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Contoh.
Nombor 17835 boleh dibahagikan dengan 3 dan tidak boleh dibahagikan dengan 9, kerana hasil tambah digitnya 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 boleh dibahagikan dengan 3 dan tidak boleh dibahagikan dengan 9.
Nombor 105,499 tidak boleh dibahagikan dengan sama ada 3 atau 9, kerana jumlah digitnya (29) tidak boleh dibahagikan dengan sama ada 3 atau 9.
Nombor 52632 boleh dibahagi dengan 9 kerana jumlah digitnya (18) boleh dibahagi dengan 9

Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 10

Contoh.
8200 boleh dibahagikan dengan 10 dan 100;
542000 boleh dibahagi dengan 10, 100, 1000.

3. Tanda pembahagian nombor asli dengan 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50.

Daripada literatur tambahan kami mendapati pengesahan ketepatan kriteria yang kami rumuskan untuk kebolehbahagi nombor asli dengan 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Kami juga menemui beberapa tanda kebolehbahagi dengan 7:
1) Nombor asli boleh dibahagi dengan 7 jika dan hanya jika perbezaan antara bilangan ribu dan nombor yang dinyatakan oleh tiga digit terakhir boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
478009 boleh dibahagi dengan 7 kerana 478-9=469, 469 boleh dibahagi dengan 7.
479345 tidak boleh dibahagikan dengan 7, kerana 479-345=134, 134 tidak boleh dibahagikan dengan 7.
2) Nombor asli boleh dibahagi dengan 7 jika hasil tambah nombor berganda kepada puluh dan nombor yang selebihnya boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
4592 boleh dibahagi dengan 7 kerana 45·2=90, 90+92=182, 182 boleh dibahagi dengan 7.
57384 tidak boleh dibahagikan dengan 7, kerana 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 tidak boleh dibahagikan dengan 7.
3) Nombor asli tiga digit bentuk aba akan dibahagi dengan 7 jika a+b boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
252 boleh dibahagi dengan 7 kerana 2+5=7, 7/7.
636 tidak boleh dibahagikan dengan 7 kerana 6+3=9, 9 tidak boleh dibahagikan dengan 7.
4) Nombor asli tiga digit bentuk baa akan dibahagi dengan 7 jika jumlah digit nombor itu boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
455 boleh dibahagi dengan 7 kerana 4+5+5=14, 14/7.
244 tidak boleh dibahagikan dengan 7, kerana 2+4+4=12, 12 tidak boleh dibahagikan dengan 7.
5) Nombor asli tiga digit bentuk aab akan dibahagi dengan 7 jika 2a-b boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
882 boleh dibahagi dengan 7 kerana 8+8-2=14, 14/7.
996 tidak boleh dibahagikan dengan 7, kerana 9+9-6=12, 12 tidak boleh dibahagikan dengan 7.
6) Nombor asli empat digit dalam bentuk baa, dengan b ialah nombor dua digit, akan boleh dibahagi dengan 7 jika b+2a boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
2744 boleh dibahagi dengan 7 kerana 27+4+4=35, 35/7.
1955 tidak boleh dibahagikan dengan 7, kerana 19+5+5=29, 29 tidak boleh dibahagikan dengan 7.
7) Nombor asli boleh dibahagi dengan 7 jika dan hanya jika hasil penolakan dua kali digit terakhir daripada nombor itu tanpa digit terakhir boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
483 boleh dibahagi dengan 7 kerana 48-3·2=42, 42/7.
564 tidak boleh dibahagikan dengan 7 kerana 56-4 2=48, 48 tidak boleh dibahagikan dengan 7.
8) Nombor asli boleh dibahagi dengan 7 jika dan hanya jika hasil tambah digit nombor itu dengan baki sepadan yang diperoleh dengan membahagikan unit digit dengan nombor 7 boleh dibahagi dengan 7.
Contoh:
10׃7=1 (ost 3)
100׃7=14 (ost 2)
1000׃7=142 (ost 6)
10000׃7=1428 (ost 4)
100000׃7=14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (rehat 1) dan bakinya diulang lagi.
Nombor 1316 boleh dibahagi dengan 7 kerana 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (6 baki daripada membahagi 1000 dengan 7; 2 baki daripada membahagi 100 dengan 7; 3 baki daripada membahagi 10 dengan 7) .
Nombor 354722 tidak boleh dibahagikan dengan 7, kerana... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 tidak boleh dibahagi dengan 7 (5 ialah baki pembahagian 100,000 dengan 7; 4 ialah baki bahagi 10,000 dengan 7 ; 6-rehat daripada membahagikan 1000 dengan 7;
Kebolehbahagiaan sebanyak 11.
1) Suatu nombor boleh dibahagi dengan 11 jika perbezaan antara jumlah digit di tempat ganjil dan jumlah digit di tempat genap ialah gandaan 11.
Perbezaannya mungkin nombor negatif atau 0, tetapi mestilah gandaan 11. Penomboran pergi dari kiri ke kanan.
Contoh:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 bukan gandaan 11, yang bermaksud nombor ini tidak boleh dibahagikan dengan 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 ialah gandaan 11, yang bermaksud nombor ini boleh dibahagi dengan 11.
2) Nombor asli dibahagikan dari kanan ke kiri kepada kumpulan 2 digit setiap satu dan kumpulan ini ditambah. Jika jumlah yang terhasil ialah gandaan 11, maka nombor yang diuji ialah gandaan 11.
Contoh: Tentukan sama ada nombor 12561714 boleh dibahagi dengan 11.
Mari bahagikan nombor kepada kumpulan dua digit setiap satu: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 boleh dibahagi dengan 11, bermakna nombor ini boleh dibahagi dengan 11.
3) Nombor asli tiga digit boleh dibahagi dengan 11 jika jumlah digit sisi nombor itu sama dengan digit di tengah. Jawapannya akan terdiri daripada nombor sisi yang sama.
Contoh:
594 boleh dibahagi dengan 11 kerana 5+4=9, 9 berada di tengah.
473 boleh dibahagi dengan 11 kerana 4+3=7, 7- di tengah.
861 tidak boleh dibahagikan dengan 11 kerana 8+1=9, dan di tengah terdapat 6.
Ujian pembahagian sebanyak 12
Nombor asli boleh dibahagi dengan 12 jika dan hanya jika ia boleh dibahagi dengan 3 dan 4 pada masa yang sama.
Contoh:
636 boleh dibahagi dengan 3 dan 4, jadi ia boleh dibahagi dengan 12.
587 tidak boleh dibahagikan dengan 3 atau 4, yang bermaksud ia tidak boleh dibahagikan dengan 12.
27126 boleh dibahagikan dengan 3 tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 4, yang bermaksud ia tidak boleh dibahagikan dengan 12.
Ujian untuk boleh bahagi sebanyak 13
1) Nombor asli boleh dibahagi dengan 13 jika perbezaan antara bilangan ribu dan nombor yang dibentuk oleh tiga digit terakhir boleh dibahagi dengan 13.
Contoh:
Nombor 465400 boleh dibahagikan dengan 13 kerana... 465 - 400 = 65, 65 dibahagikan dengan 13.
Nombor 256184 tidak boleh dibahagikan dengan 13, kerana... 256 - 184 = 72, 72 tidak boleh dibahagikan dengan 13.
2) Nombor asli boleh dibahagi dengan 13 jika dan hanya jika hasil penolakan digit terakhir didarab dengan 9 daripada nombor ini tanpa digit terakhir boleh dibahagi dengan 13.
Contoh:
988 boleh dibahagikan dengan 13 kerana 98 - 9 8 = 26, 26 dibahagikan dengan 13.
853 tidak boleh dibahagikan dengan 13 kerana 85 - 3 9 = 58, 58 tidak boleh dibahagikan dengan 13.
Ujian pembahagian sebanyak 14
Nombor asli boleh dibahagi dengan 14 jika dan hanya jika ia boleh dibahagi dengan 2 dan 7 pada masa yang sama.
Contoh:
Nombor 45826 boleh dibahagikan dengan 2 tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 7, yang bermaksud ia tidak boleh dibahagikan dengan 14.
Nombor 1771 boleh dibahagikan dengan 7 tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 2, yang bermaksud ia tidak boleh dibahagikan dengan 14.
Nombor 35882 boleh dibahagikan dengan 2 dan 7, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 14.
Ujian pembahagian sebanyak 19
Nombor asli boleh dibahagi dengan 19 tanpa baki jika dan hanya jika bilangan puluhnya ditambah kepada dua kali bilangan unit boleh dibahagi dengan 19.
Perlu diambil kira bahawa bilangan puluh dalam suatu nombor hendaklah dikira bukan dengan digit di tempat puluh, tetapi dengan jumlah bilangan sepuluh bulat dalam keseluruhan nombor.
Contoh:
1534 puluh ialah 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 tidak boleh dibahagikan dengan 19, yang bermaksud 1534 tidak boleh dibahagikan dengan 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, yang bermaksud nombornya ialah 1824/19.
Uji kebolehbahagiaan sebanyak 25 dan 50
Bahagi dengan 25 atau 50 ialah nombor yang berakhir dengan dua sifar atau dua digit terakhirnya menyatakan nombor yang boleh dibahagikan dengan 25 atau 50.

Nombor 97300 berakhir dengan dua sifar, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 25 dan 50.

Nombor 79,450 boleh dibahagikan dengan 25 dan 50, kerana nombor yang dibentuk oleh dua digit terakhir 50 boleh dibahagikan dengan 25 dan 50.

4. Menyelesaikan masalah menggunakan kriteria pembahagian.

Jurujual di kedai.

Pembeli mengambil dari kedai sebungkus susu bernilai 34.5 rubel, sekotak keju kotej bernilai 36 rubel, 6 kek dan 3 kilogram gula. Apabila juruwang mengeluarkan cek untuk 296 rubel, pembeli menuntut untuk menyemak pengiraan dan membetulkan kesilapan. Bagaimanakah pembeli menentukan bahawa invois itu tidak betul?

Penyelesaian: Kos barangan yang dibeli bagi setiap jenis dinyatakan sebagai nombor boleh dibahagikan dengan 3 (untuk dua jenis barang pertama harganya adalah gandaan 3, dan untuk selebihnya - bilangan barang yang dibeli ialah gandaan 3). setiap terma boleh dibahagikan dengan 3, maka jumlahnya mesti dibahagikan dengan 3. Nombor 296 tidak boleh dibahagikan dengan 3, oleh itu pengiraan tidak betul.

Epal dalam kotakke.

Bilangan epal di dalam kotak adalah kurang daripada 200. Ia boleh dibahagikan sama banyak antara 2,3,4,5 dan 6 kanak-kanak. Berapakah bilangan maksimum epal yang boleh berada di dalam kotak?

Penyelesaian.

LCM(2,3,4,5,6) = 60.

60an< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Jawapan: 180 biji epal.

5. Kesimpulan:

Semasa melakukan kerja, saya berkenalan dengan sejarah perkembangan tanda-tanda pembahagian, merumuskan tanda-tanda pembahagian nombor asli dengan 4, 6, 8, 15, 25,50 dan mendapati pengesahan ini dari kesusasteraan tambahan. Saya juga menjadi yakin bahawa terdapat tanda-tanda pembahagian nombor asli yang lain (dengan 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), yang mengesahkan ketepatan hipotesis tentang kewujudan tanda-tanda pembahagian nombor asli yang lain.

Senarai literatur terpakai (sumber):

1. Galkin V.A. Masalah mengenai topik "Kriteria kebolehbahagiaan". // Matematik, 1999.-№5.-P.9.

2. Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. Kerja ekstrakurikuler dalam matematik dalam gred 6-8 - M.: Pendidikan, 1984.

3. Kaplun L.M. GCD dan LCM dalam masalah. // Matematik, 1999.- No. 7. - Hlm. 4-6.

4.​ Pelman Ya.I. Matematik itu menarik! - M.: TERRA - Kelab Buku, 2006

5. Kamus Ensiklopedia Ahli Matematik Muda./ Komp. Savin A.P. - M.: Pedagogi, 1989. - P. 352.

6.​ Sumber - Internet.