Rumah Sakit gigi Selesaikan matriks menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer: menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (slau)

Sakit gigi

Selesaikan matriks menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer: menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (slau)

Kaedah Cramer adalah berdasarkan penggunaan penentu dalam sistem penyelesaian persamaan linear. Ini mempercepatkan proses penyelesaian dengan ketara.

Kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sebanyak mana yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika penentu sistem tidak sama dengan sifar, maka kaedah Cramer boleh digunakan dalam penyelesaian, tetapi jika ia sama dengan sifar, maka ia tidak boleh. Selain itu, kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian unik.

Definisi. Penentu yang terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui dipanggil penentu sistem dan dilambangkan (delta).

Penentu

diperoleh dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui yang sepadan dengan istilah bebas:

;

Teorem Cramer. Jika penentu sistem adalah bukan sifar, maka sistem persamaan linear mempunyai satu penyelesaian unik, dan yang tidak diketahui adalah sama dengan nisbah penentu. Penyebut mengandungi penentu sistem, dan pengangka mengandungi penentu yang diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikan pekali yang tidak diketahui ini dengan sebutan bebas. Teorem ini berlaku untuk sistem persamaan linear bagi sebarang susunan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linear:

mengikut Teorem Cramer kami ada:

Jadi, penyelesaian kepada sistem (2):

kalkulator dalam talian, kaedah yang menentukan Kramer.

Tiga kes apabila menyelesaikan sistem persamaan linear

Seperti yang jelas daripada Teorem Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kes boleh berlaku:

Kes pertama: sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik

(sistem adalah konsisten dan pasti)

Kes kedua: sistem persamaan linear mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga

(sistem adalah konsisten dan tidak pasti)

** ,

mereka. pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah berkadar.

Kes ketiga: sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistem m persamaan linear dengan n dipanggil pembolehubah bukan sendi, jika dia tidak mempunyai penyelesaian tunggal, dan sendi, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem persamaan serentak yang hanya mempunyai satu penyelesaian dipanggil pasti, dan lebih daripada satu – tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer

Biar sistem diberikan

Berdasarkan teorem Cramer

………….
,

di mana
-

penentu sistem. Kami memperoleh penentu yang tinggal dengan menggantikan lajur dengan pekali pembolehubah yang sepadan (tidak diketahui) dengan istilah bebas:

Contoh 2.

Oleh itu, sistem itu pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

Jadi, (1; 0; -1) ialah satu-satunya penyelesaian kepada sistem.

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Jika dalam sistem persamaan linear tiada pembolehubah dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam penentu unsur-unsur yang sepadan adalah sama dengan sifar! Ini adalah contoh seterusnya.

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Lihat dengan teliti pada sistem persamaan dan pada penentu sistem dan ulangi jawapan kepada soalan di mana satu atau lebih elemen penentu adalah sama dengan sifar. Jadi, penentu tidak sama dengan sifar, oleh itu sistem adalah pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Menggunakan formula Cramer kita dapati:

Jadi, penyelesaian kepada sistem ialah (2; -1; 1).

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Bahagian atas halaman

Kami terus menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer bersama-sama

Seperti yang telah disebutkan, jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, dan penentu yang tidak diketahui adalah tidak sama dengan sifar, sistem itu tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Penentu sistem adalah sama dengan sifar, oleh itu, sistem persamaan linear adalah sama ada tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, iaitu, tidak mempunyai penyelesaian. Untuk menjelaskan, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Penentu yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, oleh itu, sistem tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian.

Untuk menyemak penyelesaian kepada sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian menggunakan kaedah penyelesaian Cramer.

Dalam masalah yang melibatkan sistem persamaan linear, terdapat juga yang, sebagai tambahan kepada huruf yang menunjukkan pembolehubah, terdapat juga huruf lain. Huruf ini mewakili nombor, selalunya nyata. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan tersebut ditimbulkan oleh masalah mencari sifat umum bagi sebarang fenomena atau objek. Iaitu, adakah anda telah mencipta sebarang bahan baru atau peranti, dan untuk menerangkan sifatnya, yang biasa tanpa mengira saiz atau bilangan contoh, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linear, di mana bukannya beberapa pekali untuk pembolehubah terdapat huruf. Anda tidak perlu melihat jauh untuk contoh.

Contoh berikut adalah untuk masalah yang sama, hanya bilangan persamaan, pembolehubah dan huruf yang menunjukkan nombor nyata tertentu meningkat.

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Mencari penentu untuk yang tidak diketahui

Kaedah Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem linear persamaan algebra(SLAE), di mana bilangan pembolehubah yang tidak diketahui adalah sama dengan bilangan persamaan dan penentu matriks utama adalah berbeza daripada sifar. Dalam artikel ini kita akan menganalisis bagaimana pembolehubah yang tidak diketahui ditemui menggunakan kaedah Cramer dan mendapatkan formula. Selepas ini, mari kita beralih kepada contoh dan huraikan secara terperinci penyelesaian sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah Cramer.

Navigasi halaman.

Kaedah Cramer - terbitan formula.

Marilah kita perlu menyelesaikan sistem persamaan linear bentuk

Di mana x 1, x 2, …, x n ialah pembolehubah tidak diketahui, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- pekali berangka, b 1, b 2, ..., b n - sebutan bebas. Penyelesaian kepada SLAE ialah satu set nilai x 1 , x 2 , …, x n yang mana semua persamaan sistem menjadi identiti.

Dalam bentuk matriks, sistem ini boleh ditulis sebagai A ⋅ X = B, di mana - matriks utama sistem, elemennya ialah pekali pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks ialah lajur sebutan bebas, dan - matriks ialah lajur pembolehubah yang tidak diketahui. Selepas mencari pembolehubah yang tidak diketahui x 1, x 2, …, x n, matriks menjadi penyelesaian kepada sistem persamaan dan kesamaan A ⋅ X = B menjadi identiti.

Kami akan menganggap bahawa matriks A adalah bukan tunggal, iaitu, penentunya adalah bukan sifar. Dalam kes ini, sistem persamaan algebra linear mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer. (Kaedah untuk menyelesaikan sistem untuk dibincangkan dalam bahagian menyelesaikan sistem persamaan algebra linear).

Kaedah Cramer adalah berdasarkan dua sifat penentu matriks:

Jadi, mari kita mula mencari pembolehubah yang tidak diketahui x 1. Untuk melakukan ini, kita mendarabkan kedua-dua bahagian persamaan pertama sistem dengan A 1 1, kedua-dua bahagian persamaan kedua dengan A 2 1, dan seterusnya, kedua-dua bahagian persamaan ke-n dengan A n 1 (iaitu, kita darabkan persamaan sistem dengan pelengkap algebra yang sepadan bagi lajur matriks pertama A):

Mari kita tambahkan semua sisi kiri persamaan sistem, kumpulkan istilah untuk pembolehubah yang tidak diketahui x 1, x 2, ..., x n, dan samakan jumlah ini dengan hasil tambah semua sisi kanan persamaan:

Jika kita beralih kepada sifat penentu yang disebutkan sebelumnya, kita ada

dan persamaan sebelumnya mengambil bentuk

di mana

Begitu juga, kita dapati x 2. Untuk melakukan ini, kita darabkan kedua-dua belah persamaan sistem dengan pelengkap algebra lajur kedua matriks A:

Kami menjumlahkan semua persamaan sistem, kumpulkan istilah untuk pembolehubah yang tidak diketahui x 1, x 2, ..., x n dan gunakan sifat penentu:

di mana
.

Baki pembolehubah yang tidak diketahui didapati sama.

Jika kita tentukan

Kemudian kita dapat formula untuk mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer .

Komen.

Jika sistem persamaan algebra linear adalah homogen, iaitu , maka ia hanya mempunyai penyelesaian remeh (pada ). Sesungguhnya, untuk syarat bebas sifar, semua penentu akan sama dengan sifar, kerana ia akan mengandungi lajur unsur sifar. Oleh itu, formula akan beri .

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah Cramer.

Mari kita menulisnya algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah Cramer.

Contoh penyelesaian sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah Cramer.

Mari kita lihat penyelesaian kepada beberapa contoh.

Contoh.

Cari penyelesaian kepada sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear menggunakan kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk . Mari kita mengira penentunya menggunakan formula :

Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, dan ia boleh didapati dengan kaedah Cramer. Mari kita tuliskan penentu dan . Kami menggantikan lajur pertama matriks utama sistem dengan lajur istilah bebas, dan kami memperoleh penentu . Begitu juga, kami menggantikan lajur kedua matriks utama dengan lajur istilah bebas, dan kami mendapat .

Kami mengira penentu ini:

Cari pembolehubah yang tidak diketahui x 1 dan x 2 menggunakan formula :

Jom semak. Mari kita gantikan nilai x 1 dan x 2 yang diperoleh ke dalam sistem persamaan asal:

Kedua-dua persamaan sistem bertukar menjadi identiti, oleh itu, penyelesaiannya ditemui dengan betul.

Jawapan:

Sesetengah elemen matriks utama SLAE mungkin sama dengan sifar. Dalam kes ini, pembolehubah yang tidak diketahui sepadan akan tiada dalam persamaan sistem. Mari kita lihat contoh.

Contoh.

Cari penyelesaian kepada sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula sistem dalam borang , supaya matriks utama sistem menjadi kelihatan . Mari cari penentunya menggunakan formula

Kami ada

Penentu matriks utama adalah bukan sifar, oleh itu, sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik. Mari cari menggunakan kaedah Cramer. Mari kita mengira penentu :

Oleh itu,

Jawapan:

Penetapan pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan sistem mungkin berbeza daripada x 1, x 2, ..., x n. Ini tidak menjejaskan proses keputusan. Tetapi susunan pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan sistem adalah sangat penting apabila menyusun matriks utama dan penentu yang diperlukan bagi kaedah Cramer. Mari kita jelaskan perkara ini dengan contoh.

Contoh.

Menggunakan kaedah Cramer, cari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan algebra linear dalam tiga yang tidak diketahui .

Penyelesaian.

Dalam contoh ini, pembolehubah yang tidak diketahui mempunyai tatatanda yang berbeza (x, y dan z bukannya x 1, x 2 dan x 3). Ini tidak menjejaskan penyelesaian, tetapi berhati-hati dengan notasi pembolehubah. Anda TIDAK BOLEH mengambilnya sebagai matriks utama sistem . Adalah perlu untuk menyusun dahulu pembolehubah yang tidak diketahui dalam semua persamaan sistem. Untuk melakukan ini, kami menulis semula sistem persamaan sebagai . Kini matriks utama sistem dapat dilihat dengan jelas . Mari kita hitung penentunya:

Penentu matriks utama adalah bukan sifar, oleh itu, sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik. Mari cari menggunakan kaedah Cramer. Mari kita tuliskan penentunya (beri perhatian kepada notasi) dan hitungkannya:

Ia kekal untuk mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula :

Jom semak. Untuk melakukan ini, darabkan matriks utama dengan penyelesaian yang terhasil (jika perlu, lihat bahagian):

Hasilnya, kami memperoleh lajur sebutan bebas sistem persamaan asal, jadi penyelesaiannya ditemui dengan betul.

Jawapan:

x = 0, y = -2, z = 3.

Contoh.

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer , dengan a dan b ialah beberapa nombor nyata.

Penyelesaian.

Jawapan:

Contoh.

Cari penyelesaian kepada sistem persamaan dengan kaedah Cramer, - beberapa nombor nyata.

Penyelesaian.

Mari kita mengira penentu matriks utama sistem: . ungkapan ialah selang, oleh itu untuk sebarang nilai sebenar. Akibatnya, sistem persamaan mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer. Kami mengira dan:

Untuk menguasai perenggan ini, anda mesti dapat mendedahkan penentu "dua dengan dua" dan "tiga dengan tiga". Jika anda teruk dengan kelayakan, sila kaji pelajaran Bagaimana untuk mengira penentu?

Pertama, kita akan melihat dengan lebih dekat peraturan Cramer untuk sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? - Lagipun sistem yang paling mudah boleh diselesaikan kaedah sekolah, dengan kaedah penambahan istilah demi istilah!

Hakikatnya, walaupun kadangkala, tugas sedemikian berlaku - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Kedua, contoh yang lebih mudah akan membantu anda memahami cara menggunakan peraturan Cramer kepada lebih banyak lagi kes kompleks– sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Di samping itu, terdapat sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah, yang dinasihatkan untuk diselesaikan menggunakan peraturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami mengira penentu, ia dipanggil penentu utama sistem.

Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca kita mesti mengira dua lagi penentu:
Dan

Dalam amalan, kelayakan di atas juga boleh ditandakan huruf latin.

Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula:
,

Contoh 7

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Penyelesaian: Kami melihat bahawa pekali persamaan agak besar, di sebelah kanan terdapat perpuluhan dengan koma. Koma adalah tetamu yang agak jarang masuk tugas amali dalam matematik, saya mengambil sistem ini daripada masalah ekonometrik.

Bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian? Anda boleh cuba untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain, tetapi dalam kes ini anda mungkin akan berakhir dengan pecahan mewah yang dahsyat yang sangat menyusahkan untuk digunakan, dan reka bentuk penyelesaian akan kelihatan sangat mengerikan. Anda boleh mendarabkan persamaan kedua dengan 6 dan menolak sebutan dengan sebutan, tetapi pecahan yang sama akan timbul di sini juga.

Apa nak buat? Dalam kes sedemikian, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Jawab: ,

Kedua-dua akar mempunyai ekor yang tidak terhingga dan didapati kira-kira, yang agak boleh diterima (dan juga biasa) untuk masalah ekonometrik.

Komen tidak diperlukan di sini, kerana tugas itu diselesaikan menggunakan formula siap sedia, bagaimanapun, terdapat satu kaveat. Bila nak guna kaedah ini, wajib Serpihan reka bentuk tugas ialah serpihan berikut: "Ini bermakna sistem mempunyai penyelesaian yang unik". Jika tidak, penyemak boleh menghukum anda kerana tidak menghormati teorem Cramer.

Ia tidak akan berlebihan untuk menyemak, yang mudah dilakukan pada kalkulator: kami menggantikan nilai anggaran dalam sebelah kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan ralat kecil, anda harus mendapatkan nombor yang berada di sebelah kanan.

Contoh 8

Kemukakan jawapan dalam pecahan tak wajar biasa. Buat pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas(contoh penamat dan jawab pada akhir pelajaran).

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan peraturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami mencari penentu utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian). Dalam kes ini, peraturan Cramer tidak akan membantu; anda perlu menggunakan kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik dan untuk mencari punca kita mesti mengira tiga lagi penentu:
, ,

Dan akhirnya, jawapannya dikira menggunakan formula:

Seperti yang anda lihat, kes "tiga dengan tiga" pada asasnya tidak berbeza daripada kes "dua dua" lajur istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang lajur penentu utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Penyelesaian: Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawab: .

Sebenarnya, di sini sekali lagi tiada apa yang istimewa untuk diulas, kerana penyelesaiannya mengikut formula siap sedia. Tetapi terdapat beberapa komen.

Ia berlaku bahawa sebagai hasil pengiraan, pecahan tidak dapat dikurangkan "buruk" diperoleh, sebagai contoh: .
Saya mengesyorkan algoritma "rawatan" berikut. Jika anda tidak mempunyai komputer di tangan, lakukan ini:

1) Mungkin terdapat ralat dalam pengiraan. Sebaik sahaja anda menemui pecahan "buruk", anda perlu segera menyemak Adakah syarat itu ditulis semula dengan betul?. Jika keadaan itu ditulis semula tanpa ralat, maka anda perlu mengira semula penentu menggunakan pengembangan dalam baris lain (lajur).

2) Jika tiada ralat dikenal pasti hasil daripada semakan, kemungkinan besar terdapat kesilapan menaip dalam keadaan tugas. Dalam kes ini, kerjakan tugas dengan tenang dan BERHATI-HATI hingga akhir, dan kemudian pastikan anda menyemak dan kami melakarnya dalam rekod bersih selepas keputusan itu. Sudah tentu, menyemak jawapan pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi ia akan menjadi hujah yang melucutkan senjata untuk guru, yang sangat suka memberikan tolak untuk mana-mana omong kosong seperti . Cara mengendalikan pecahan diterangkan secara terperinci dalam jawapan kepada Contoh 8.

Jika anda mempunyai komputer di tangan, kemudian gunakan program automatik untuk menyemak, yang boleh dimuat turun secara percuma pada awal pelajaran. Dengan cara ini, adalah paling menguntungkan untuk menggunakan program ini dengan segera (walaupun sebelum memulakan penyelesaian); Kalkulator yang sama mengira secara automatik penyelesaian kepada sistem kaedah matriks.

Teguran kedua. Dari semasa ke semasa terdapat sistem dalam persamaan yang mana beberapa pembolehubah hilang, contohnya:

Di sini dalam persamaan pertama tidak ada pembolehubah, dalam kedua tidak ada pembolehubah. Dalam kes sedemikian, adalah sangat penting untuk menulis penentu utama dengan betul dan TELITI:
– sifar diletakkan di tempat pembolehubah yang hilang.
Ngomong-ngomong, adalah rasional untuk membuka penentu dengan sifar mengikut baris (lajur) di mana sifar terletak, kerana pengiraan yang ketara adalah lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas (sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran).

Untuk kes sistem 4 persamaan dengan 4 tidak diketahui, formula Cramer ditulis mengikut prinsip yang serupa. Anda boleh melihat contoh langsung dalam pelajaran Properties of Determinants. Mengurangkan susunan penentu - lima penentu tertib ke-4 agak boleh diselesaikan. Walaupun tugas itu sudah sangat mengingatkan kasut profesor di dada pelajar bertuah.

Menyelesaikan sistem menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang- ini pada asasnya kes istimewa persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 pelajaran yang ditentukan).

Untuk mengkaji bahagian ini, anda mesti boleh mengembangkan penentu, mencari songsangan matriks, dan melakukan pendaraban matriks. Pautan yang berkaitan akan disediakan semasa penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan kaedah matriks

Penyelesaian: Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks:
, Di mana

Sila lihat sistem persamaan dan matriks. Saya rasa semua orang memahami prinsip yang kita gunakan untuk menulis unsur ke dalam matriks. Satu-satunya ulasan: jika beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan, maka sifar perlu diletakkan di tempat yang sepadan dalam matriks.

Kami mencari matriks songsang menggunakan formula:
, di manakah matriks terpindah penambahan algebra elemen matriks yang sepadan.

Pertama, mari kita lihat penentu:

Di sini penentu dikembangkan pada baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks songsang tidak wujud, dan adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah matriks. Dalam kes ini, sistem diselesaikan dengan kaedah menghapuskan yang tidak diketahui (kaedah Gauss).

Sekarang kita perlu mengira 9 minor dan menulisnya ke dalam matriks minor

Rujukan: Adalah berguna untuk mengetahui maksud subskrip berganda dalam algebra linear. Digit pertama ialah nombor baris di mana unsur itu terletak. Digit kedua ialah nombor lajur di mana unsur itu terletak:

Iaitu, subskrip berganda menunjukkan bahawa elemen berada dalam baris pertama, lajur ketiga, dan, sebagai contoh, elemen berada dalam 3 baris, 2 lajur.

Semasa penyelesaian, adalah lebih baik untuk menerangkan pengiraan kanak-kanak di bawah umur secara terperinci, walaupun dengan beberapa pengalaman anda boleh membiasakan diri untuk mengira mereka dengan ralat secara lisan.

Kaedah Cramer atau yang dipanggil peraturan Cramer ialah kaedah mencari kuantiti yang tidak diketahui daripada sistem persamaan. Ia boleh digunakan hanya jika bilangan nilai yang dicari adalah bersamaan dengan bilangan persamaan algebra dalam sistem, iaitu, matriks utama yang terbentuk daripada sistem mestilah segi empat sama dan tidak mengandungi baris sifar, dan juga jika penentunya mesti bukan sifar.

Teorem 1

Teorem Cramer Jika penentu utama $D$ matriks utama, disusun berdasarkan pekali persamaan, tidak sama dengan sifar, maka sistem persamaan adalah konsisten, dan ia mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian kepada sistem sedemikian dikira melalui formula Cramer yang dipanggil untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Apakah kaedah Cramer?

Intipati kaedah Cramer adalah seperti berikut:

Untuk mencari penyelesaian kepada sistem menggunakan kaedah Cramer, pertama sekali kita mengira penentu utama matriks $D$. Apabila penentu yang dikira bagi matriks utama, apabila dikira dengan kaedah Cramer, ternyata sama dengan sifar, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, untuk mencari jawapan umum atau beberapa jawapan asas untuk sistem, adalah disyorkan untuk menggunakan kaedah Gaussian.
Kemudian anda perlu menggantikan lajur paling luar matriks utama dengan lajur istilah bebas dan mengira penentu $D_1$.
Ulang perkara yang sama untuk semua lajur, mendapatkan penentu daripada $D_1$ hingga $D_n$, dengan $n$ ialah nombor lajur paling kanan.
Selepas semua penentu $D_1$...$D_n$ ditemui, pembolehubah yang tidak diketahui boleh dikira menggunakan formula $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Teknik untuk mengira penentu matriks

Untuk mengira penentu matriks dengan dimensi lebih besar daripada 2 dengan 2, anda boleh menggunakan beberapa kaedah:

Peraturan segi tiga, atau peraturan Sarrus, mengingatkan peraturan yang sama. Intipati kaedah segitiga ialah apabila mengira penentu, hasil darab semua nombor yang disambungkan dalam rajah dengan garis merah di sebelah kanan ditulis dengan tanda tambah, dan semua nombor disambungkan dengan cara yang sama dalam rajah di sebelah kiri. ditulis dengan tanda tolak. Kedua-dua peraturan ini sesuai untuk matriks bersaiz 3 x 3. Dalam kes peraturan Sarrus, matriks itu sendiri ditulis semula terlebih dahulu, dan di sebelahnya lajur pertama dan kedua ditulis semula semula. Pepenjuru dilukis melalui matriks dan lajur tambahan ini yang terletak pada pepenjuru utama atau selari dengannya ditulis dengan tanda tambah, dan elemen yang terletak di atas atau selari dengan pepenjuru sekunder ditulis dengan tanda tolak.

Rajah 1. Peraturan segitiga untuk mengira penentu bagi kaedah Cramer

Menggunakan kaedah yang dikenali sebagai kaedah Gaussian, kaedah ini juga kadangkala dipanggil mengurangkan susunan penentu. Dalam kes ini, matriks diubah dan dikurangkan kepada pandangan segi tiga, dan kemudian semua nombor pada pepenjuru utama didarab. Perlu diingat bahawa apabila mencari penentu dengan cara ini, anda tidak boleh mendarab atau membahagi baris atau lajur dengan nombor tanpa mengambilnya sebagai pengganda atau pembahagi. Dalam kes mencari penentu, hanya mungkin untuk menolak dan menambah baris dan lajur antara satu sama lain, setelah sebelumnya mendarabkan baris yang ditolak dengan faktor bukan sifar. Selain itu, apabila anda menyusun semula baris atau lajur matriks, anda harus ingat keperluan untuk menukar tanda akhir matriks.
Apabila menyelesaikan SLAE dengan 4 tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer, sebaiknya gunakan kaedah Gauss untuk mencari dan mencari penentu atau menentukan penentu dengan mencari bawah umur.

Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer

Mari gunakan kaedah Cramer untuk sistem 2 persamaan dan dua kuantiti yang diperlukan:

$\mulakan(kes) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(kes)$

Mari kita paparkannya dalam bentuk yang diperluaskan untuk kemudahan:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Mari cari penentu matriks utama, juga dipanggil penentu utama sistem:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Jika penentu utama tidak sama dengan sifar, maka untuk menyelesaikan slough menggunakan kaedah Cramer adalah perlu untuk mengira beberapa lagi penentu daripada dua matriks dengan lajur matriks utama digantikan dengan baris istilah bebas:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sekarang mari kita cari yang tidak diketahui $x_1$ dan $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Contoh 1

Kaedah Cramer untuk menyelesaikan SLAE dengan matriks utama tertib ke-3 (3 x 3) dan tiga yang tidak diketahui.

Selesaikan sistem persamaan:

$\mulakan(kes) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(kes)$

Mari kita hitung penentu utama matriks menggunakan peraturan yang dinyatakan di atas di bawah titik nombor 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Dan kini tiga penentu lain:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Mari cari kuantiti yang diperlukan:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Pada bahagian pertama, kami melihat beberapa bahan teori, kaedah penggantian, serta kaedah penambahan istilah demi sebutan bagi persamaan sistem. Saya mengesyorkan semua orang yang mengakses tapak melalui halaman ini untuk membaca bahagian pertama. Mungkin sesetengah pelawat akan mendapati bahan itu terlalu mudah, tetapi dalam proses menyelesaikan sistem persamaan linear, saya membuat beberapa ulasan dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematik secara umum.

Sekarang kita akan menganalisis peraturan Cramer, serta menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang (kaedah matriks). Semua bahan dibentangkan secara ringkas, terperinci dan jelas hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem menggunakan kaedah di atas.

Pertama, kita akan melihat dengan lebih dekat peraturan Cramer untuk sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? – Lagipun, sistem yang paling mudah boleh diselesaikan menggunakan kaedah sekolah, kaedah penambahan penggal demi penggal!

Hakikatnya, walaupun kadangkala, tugas sedemikian berlaku - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Kedua, contoh yang lebih mudah akan membantu anda memahami cara menggunakan peraturan Cramer untuk kes yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Di samping itu, terdapat sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah, yang dinasihatkan untuk diselesaikan menggunakan peraturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami mengira penentu, ia dipanggil penentu utama sistem.

Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca kita mesti mengira dua lagi penentu:
Dan

Dalam amalan, kelayakan di atas juga boleh dilambangkan dengan huruf Latin.

Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula:
,

Contoh 7

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Penyelesaian: Kami melihat bahawa pekali persamaan agak besar di sebelah kanan terdapat pecahan perpuluhan dengan koma. Koma adalah tetamu yang agak jarang dalam tugasan praktikal dalam matematik. Saya mengambil sistem ini daripada masalah ekonometrik.

Apa nak buat? Dalam kes sedemikian, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Jawab: ,

Kedua-dua akar mempunyai ekor yang tidak terhingga dan didapati kira-kira, yang agak boleh diterima (dan juga biasa) untuk masalah ekonometrik.

Komen tidak diperlukan di sini, kerana tugas itu diselesaikan menggunakan formula siap sedia, bagaimanapun, terdapat satu kaveat. Apabila menggunakan kaedah ini, wajib Serpihan reka bentuk tugas ialah serpihan berikut: "Ini bermakna sistem mempunyai penyelesaian yang unik". Jika tidak, penyemak boleh menghukum anda kerana tidak menghormati teorem Cramer.

Ia tidak akan berlebihan untuk menyemak, yang boleh dilakukan dengan mudah pada kalkulator: kami menggantikan nilai anggaran ke sebelah kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan ralat kecil, anda harus mendapatkan nombor yang berada di sebelah kanan.

Contoh 8

Kemukakan jawapan dalam pecahan tak wajar biasa. Buat pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (contoh reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran).

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan peraturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami mencari penentu utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik dan untuk mencari punca kita mesti mengira tiga lagi penentu:
, ,

Dan akhirnya, jawapannya dikira menggunakan formula:

Seperti yang anda lihat, kes "tiga dengan tiga" pada asasnya tidak berbeza daripada kes "dua dua" lajur istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang lajur penentu utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Penyelesaian: Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawab: .

Sebenarnya, di sini sekali lagi tiada apa yang istimewa untuk diulas, kerana penyelesaiannya mengikut formula siap sedia. Tetapi terdapat beberapa komen.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas (sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran).

Menyelesaikan sistem menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang pada asasnya adalah kes khas persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 pelajaran yang ditentukan).

Untuk mengkaji bahagian ini, anda mesti boleh mengembangkan penentu, mencari songsangan matriks, dan melakukan pendaraban matriks. Pautan yang berkaitan akan disediakan semasa penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan kaedah matriks

Penyelesaian: Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks:
, Di mana