Kaedah Gauss sesuai untuk menyelesaikan sistem linear persamaan algebra(SLAU). Ia mempunyai beberapa kelebihan berbanding kaedah lain:
- pertama, tidak perlu terlebih dahulu memeriksa sistem persamaan untuk ketekalan;
- kedua, kaedah Gauss boleh menyelesaikan bukan sahaja SLAE di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan matriks utama sistem adalah bukan tunggal, tetapi juga sistem persamaan di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau penentu matriks utama adalah sama dengan sifar;
- ketiga, kaedah Gaussian membawa kepada keputusan dengan bilangan operasi pengiraan yang agak kecil.
Gambaran ringkas artikel.
Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.
Seterusnya, kami akan menerangkan algoritma kaedah Gauss untuk kes paling mudah, iaitu, untuk sistem persamaan algebra linear, bilangan persamaan yang bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem ialah tidak sama dengan sifar. Apabila menyelesaikan sistem persamaan sedemikian, intipati kaedah Gauss paling jelas kelihatan, iaitu penghapusan berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui. Oleh itu, kaedah Gaussian juga dipanggil kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui. Kami akan menunjukkan penyelesaian terperinci beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan penyelesaian dengan kaedah Gauss bagi sistem persamaan algebra linear, matriks utamanya sama ada segi empat tepat atau tunggal. Penyelesaian kepada sistem sedemikian mempunyai beberapa ciri, yang akan kami periksa secara terperinci menggunakan contoh.
Navigasi halaman.
Definisi dan tatatanda asas.
Pertimbangkan sistem p persamaan linear dengan n tidak diketahui (p boleh sama dengan n):
Di mana pembolehubah yang tidak diketahui, adalah nombor (nyata atau kompleks), dan merupakan istilah bebas.
Jika 
, maka sistem persamaan algebra linear dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.
Set nilai pembolehubah yang tidak diketahui yang mana semua persamaan sistem menjadi identiti dipanggil keputusan SLAU.
Jika terdapat sekurang-kurangnya satu penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear, maka ia dipanggil sendi, jika tidak - bukan sendi.
Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti. Jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka sistem itu dipanggil tidak pasti.
Mereka mengatakan bahawa sistem itu ditulis dalam borang koordinat, jika ia mempunyai borang
.
Sistem ini dalam bentuk matriks rekod mempunyai borang di mana 
- matriks utama SLAE, - matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks sebutan bebas.
Jika kita menambah lajur matriks sebutan bebas kepada matriks A sebagai lajur (n+1), kita mendapat apa yang dipanggil matriks lanjutan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks lanjutan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak dari lajur yang tinggal, iaitu, 
Matriks persegi A dipanggil merosot, jika penentunya ialah sifar. Jika , maka matriks A dipanggil tidak merosot.
Perkara berikut perlu diambil perhatian.
Jika kita melakukan dengan sistem persamaan algebra linear tindakan berikut
- tukar dua persamaan,
- darab kedua-dua belah mana-mana persamaan dengan nombor nyata (atau kompleks) sembarangan dan bukan sifar k,
- kepada kedua-dua belah mana-mana persamaan tambah bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor arbitrari k,
maka anda mendapat sistem setara yang mempunyai penyelesaian yang sama (atau, sama seperti yang asal, tidak mempunyai penyelesaian).
Untuk matriks lanjutan sistem persamaan algebra linear, tindakan ini bermakna menjalankan transformasi asas dengan baris:
- bertukar dua baris,
- mendarab semua unsur mana-mana baris matriks T dengan nombor bukan sifar k,
- menambah unsur-unsur mana-mana baris matriks unsur sepadan baris lain, didarab dengan nombor arbitrari k.
Sekarang kita boleh meneruskan penerangan kaedah Gauss.
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui dan matriks utama sistem adalah bukan tunggal, menggunakan kaedah Gauss.
Apakah yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan? 
.
Ada yang akan berbuat demikian.
Perhatikan bahawa menambah ke sebelah kiri persamaan kedua sebelah kiri pertama, dan ke sebelah kanan - yang betul, anda boleh menyingkirkan pembolehubah yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera cari x 1: 
Kami menggantikan nilai yang ditemui x 1 =1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga sistem: 
Jika kita mendarab kedua-dua belah persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menambahnya ke bahagian yang sepadan dengan persamaan pertama, kita menyingkirkan pembolehubah yang tidak diketahui x 3 dan boleh mencari x 2: 
Kami menggantikan nilai yang terhasil x 2 = 2 ke dalam persamaan ketiga dan cari pembolehubah tidak diketahui yang tinggal x 3: 
Orang lain akan melakukan secara berbeza.
Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem berkenaan dengan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 dan gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan kedua dan ketiga sistem untuk mengecualikan pembolehubah ini daripadanya: 
Sekarang mari kita selesaikan persamaan kedua sistem untuk x 2 dan gantikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 2 daripadanya: 
Daripada persamaan ketiga sistem itu jelas bahawa x 3 =3. Daripada persamaan kedua kita dapati 
, dan daripada persamaan pertama kita dapat .
Penyelesaian biasa, bukan?
Perkara yang paling menarik di sini ialah kaedah penyelesaian kedua pada asasnya ialah kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui, iaitu kaedah Gaussian. Apabila kami menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui (pertama x 1, pada peringkat seterusnya x 2) dan menggantikannya ke dalam persamaan sistem yang tinggal, kami dengan itu mengecualikan mereka. Kami menjalankan penyingkiran sehingga hanya tinggal satu pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan terakhir. Proses menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas selesai lejang ke hadapan kita kini mempunyai peluang untuk mengira pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan terakhir. Dengan bantuannya, kita mencari pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya daripada persamaan kedua, dan seterusnya. Proses mencari pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan semasa bergerak dari persamaan terakhir kepada yang pertama dipanggil sebaliknya Kaedah Gauss.
Perlu diingat bahawa apabila kita menyatakan x 1 dalam sebutan x 2 dan x 3 dalam persamaan pertama, dan kemudian menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut membawa kepada keputusan yang sama:
Malah, prosedur sedemikian juga memungkinkan untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Nuansa dengan penghapusan pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan kaedah Gaussian timbul apabila persamaan sistem tidak mengandungi beberapa pembolehubah.
Sebagai contoh, dalam SLAU 
dalam persamaan pertama tiada pembolehubah yang tidak diketahui x 1 (dengan kata lain, pekali di hadapannya ialah sifar). Oleh itu, kita tidak boleh menyelesaikan persamaan pertama sistem untuk x 1 untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui ini daripada persamaan yang tinggal. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Oleh kerana kita sedang mempertimbangkan sistem persamaan linear yang penentu matriks utamanya berbeza daripada sifar, sentiasa ada persamaan di mana pembolehubah yang kita perlukan hadir, dan kita boleh menyusun semula persamaan ini kepada kedudukan yang kita perlukan. Untuk contoh kami, sudah cukup untuk menukar persamaan pertama dan kedua sistem 
, maka anda boleh menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya daripada baki persamaan sistem (walaupun x 1 tidak lagi terdapat dalam persamaan kedua).
Kami harap anda mendapat intipatinya.
Mari kita huraikan Algoritma kaedah Gaussian.
Katakan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan algebra linear dengan n yang tidak diketahui pembolehubah bentuk 
, dan biarkan penentu matriks utamanya berbeza daripada sifar.
Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Mari kita hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan , kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah yang pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
.
Kami akan mencapai keputusan yang sama jika kami telah menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.
Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang dihasilkan, yang ditandakan dalam rajah 
Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan , kepada persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk 
di mana dan 
. Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.
Seterusnya, kami meneruskan untuk menghapuskan x 3 yang tidak diketahui, sementara kami bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah 
Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk 
Dari saat ini kita mulakan kebalikan kaedah Gaussian: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama .
Mari kita lihat algoritma menggunakan contoh.
Contoh.
Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Koefisien a 11 adalah berbeza daripada sifar, jadi mari kita teruskan ke janjang langsung kaedah Gaussian, iaitu, dengan mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, ke sisi kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga dan keempat, tambahkan sisi kiri dan kanan persamaan pertama, masing-masing didarab dengan . 
Dan: 
Pembolehubah yang tidak diketahui x 1 telah dihapuskan, mari kita teruskan untuk menghapuskan x 2 . Di sebelah kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat sistem kita menambah sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan masing-masing 
Dan 
:
Untuk melengkapkan janjang hadapan kaedah Gaussian, kita perlu menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 3 daripada persamaan terakhir sistem. Mari kita tambahkan pada sisi kiri dan kanan persamaan keempat, masing-masing, kiri dan sebelah kanan persamaan ketiga didarab dengan 
:
Anda boleh memulakan kebalikan kaedah Gaussian.
Daripada persamaan terakhir yang kita ada 
,
daripada persamaan ketiga kita dapat,
dari yang kedua,
daripada yang pertama.
Untuk menyemak, anda boleh menggantikan nilai yang diperoleh daripada pembolehubah yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan asal. Semua persamaan bertukar menjadi identiti, yang menunjukkan bahawa penyelesaian menggunakan kaedah Gauss ditemui dengan betul.
Jawapan:
Sekarang mari kita berikan penyelesaian kepada contoh yang sama menggunakan kaedah Gaussian dalam tatatanda matriks.
Contoh.
Cari penyelesaian kepada sistem persamaan Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Matriks lanjutan sistem mempunyai bentuk 
. Di bahagian atas setiap lajur adalah pembolehubah yang tidak diketahui yang sepadan dengan elemen matriks.
Pendekatan langsung kaedah Gaussian di sini melibatkan pengurangan matriks lanjutan sistem kepada bentuk trapezoid menggunakan transformasi asas. Proses ini serupa dengan penghapusan pembolehubah tidak diketahui yang kami lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang anda akan melihat ini.
Mari kita ubah matriks supaya semua elemen dalam lajur pertama, bermula dari kedua, menjadi sifar. Untuk melakukan ini, kepada unsur-unsur baris kedua, ketiga dan keempat kita menambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama didarab dengan , dan sewajarnya: 
Seterusnya, kami mengubah matriks yang terhasil supaya dalam lajur kedua semua elemen, bermula dari yang ketiga, menjadi sifar. Ini sepadan dengan menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, kepada unsur-unsur baris ketiga dan keempat kita menambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama matriks, didarab dengan masing-masing Dan :
Ia kekal untuk mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 3 daripada persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, kepada unsur-unsur baris terakhir matriks yang terhasil kita menambah unsur-unsur yang sepadan dari baris kedua terakhir, didarab dengan :
Perlu diingatkan bahawa matriks ini sepadan dengan sistem persamaan linear 
yang diperoleh lebih awal selepas bergerak ke hadapan.
Sudah tiba masanya untuk berpatah balik. Dalam tatatanda matriks, songsangan kaedah Gaussian melibatkan mengubah matriks yang terhasil supaya matriks ditandakan dalam rajah. 
menjadi pepenjuru, iaitu, mengambil bentuk 
mana ada beberapa nombor.
Transformasi ini serupa dengan transformasi ke hadapan kaedah Gaussian, tetapi dilakukan bukan dari baris pertama hingga yang terakhir, tetapi dari yang terakhir hingga yang pertama.
Tambahkan pada elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen sepadan baris terakhir, didarab dengan 
, dan seterusnya 
masing-masing: 
Sekarang tambahkan pada elemen baris kedua dan pertama elemen yang sepadan bagi baris ketiga, masing-masing didarab dengan dan dengan: 
Pada langkah terakhir kaedah Gaussian terbalik, kepada unsur-unsur baris pertama kita menambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris kedua, didarab dengan: 
Matriks yang terhasil sepadan dengan sistem persamaan 
, dari mana kita dapati pembolehubah yang tidak diketahui.
Jawapan:
CATATAN.
Apabila menggunakan kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, pengiraan anggaran harus dielakkan, kerana ini boleh membawa kepada keputusan yang salah sama sekali. Kami mengesyorkan agar tidak membundarkan perpuluhan. Lebih baik daripada perpuluhan beralih kepada pecahan biasa.
Contoh.
Selesaikan sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Gauss 
.
Penyelesaian.
Perhatikan bahawa dalam contoh ini pembolehubah yang tidak diketahui mempunyai sebutan yang berbeza (bukan x 1, x 2, x 3, tetapi x, y, z). Mari kita beralih kepada pecahan biasa: 
Mari kita mengecualikan x yang tidak diketahui daripada persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Dalam sistem yang terhasil, pembolehubah yang tidak diketahui y tiada dalam persamaan kedua, tetapi y hadir dalam persamaan ketiga, oleh itu, mari kita tukar persamaan kedua dan ketiga: 
Ini melengkapkan perkembangan langsung kaedah Gauss (tidak perlu mengecualikan y daripada persamaan ketiga, kerana pembolehubah yang tidak diketahui ini tidak lagi wujud).
Mari kita mulakan langkah terbalik.
Daripada persamaan terakhir kita dapati 
,
daripada yang terakhir 
daripada persamaan pertama yang kita ada 
Jawapan:
X = 10, y = 5, z = -20.
Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui atau matriks utama sistem adalah tunggal, menggunakan kaedah Gauss.
Sistem persamaan, matriks utamanya adalah segi empat tepat atau persegi tunggal, mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mungkin mempunyai penyelesaian tunggal, atau mungkin mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Sekarang kita akan memahami bagaimana kaedah Gauss membolehkan kita mewujudkan keserasian atau ketidakkonsistenan sistem persamaan linear, dan dalam kes keserasiannya, tentukan semua penyelesaian (atau satu penyelesaian tunggal).
Pada dasarnya, proses menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui dalam kes SLAE tersebut tetap sama. Walau bagaimanapun, adalah wajar untuk menerangkan secara terperinci tentang beberapa situasi yang mungkin timbul.
Mari kita beralih ke peringkat yang paling penting.
Jadi, mari kita andaikan bahawa sistem persamaan algebra linear, selepas melengkapkan janjang hadapan kaedah Gauss, mengambil bentuk 
dan tiada satu persamaan pun dikurangkan kepada (dalam kes ini kita akan membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak serasi). Persoalan logik timbul: "Apa yang perlu dilakukan seterusnya"?
Mari kita tuliskan pembolehubah yang tidak diketahui yang datang dahulu dalam semua persamaan sistem yang terhasil: 
Dalam contoh kami ini ialah x 1, x 4 dan x 5. Di sebelah kiri persamaan sistem kita hanya tinggalkan istilah yang mengandungi pembolehubah tidak diketahui bertulis x 1, x 4 dan x 5, sebutan yang selebihnya dipindahkan ke sebelah kanan persamaan dengan tanda yang bertentangan: 
Mari kita berikan pembolehubah tidak diketahui yang berada di sebelah kanan persamaan nilai arbitrari, di mana 
- nombor sewenang-wenangnya: 
Selepas ini, bahagian kanan semua persamaan SLAE kami mengandungi nombor dan kami boleh meneruskan ke belakang kaedah Gaussian.
Dari persamaan terakhir sistem yang kita ada, dari persamaan kedua terakhir yang kita dapati, dari persamaan pertama kita dapat 
Penyelesaian kepada sistem persamaan ialah satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui 
Memberi Nombor nilai yang berbeza, kita akan memperoleh penyelesaian yang berbeza kepada sistem persamaan. Iaitu, sistem persamaan kita mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
Jawapan:
di mana - nombor sewenang-wenangnya.
Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian beberapa lagi contoh.
Contoh.
buat keputusan sistem homogen persamaan algebra linear 
Kaedah Gauss.
Penyelesaian.
Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke sisi kiri dan kanan persamaan kedua, kami menambah, masing-masing, sisi kiri dan kanan persamaan pertama, didarab dengan , dan ke sisi kiri dan kanan persamaan ketiga, kami menambah kiri dan sisi kanan persamaan pertama, didarab dengan: 
Sekarang mari kita mengecualikan y daripada persamaan ketiga sistem persamaan yang terhasil: 
SLAE yang terhasil adalah setara dengan sistem 
.
Kami meninggalkan di sebelah kiri persamaan sistem hanya istilah yang mengandungi pembolehubah yang tidak diketahui x dan y, dan gerakkan istilah dengan pembolehubah yang tidak diketahui z ke sebelah kanan: 
Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan yang perlu diselesaikan (cari nilai yang tidak diketahui xi yang menjadikan setiap persamaan sistem menjadi kesamaan).
Kita tahu bahawa sistem persamaan algebra linear boleh:
1) Tiada penyelesaian (jadi bukan sendi).
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Mempunyai satu penyelesaian.
Seperti yang kita ingat, peraturan Cramer dan kaedah matriks tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Kaedah Gauss – alat yang paling berkuasa dan serba boleh untuk mencari penyelesaian kepada mana-mana sistem persamaan linear, yang dalam setiap kes akan membawa kita kepada jawapan! Algoritma kaedah itu sendiri dalam semua tiga kes berfungsi sama. Jika kaedah Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang penentu, maka untuk menggunakan kaedah Gauss anda hanya memerlukan pengetahuan operasi aritmetik, yang menjadikannya boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah rendah.
Transformasi matriks tambahan ( ini ialah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri daripada pekali yang tidak diketahui, ditambah lajur sebutan bebas) sistem persamaan algebra linear dalam kaedah Gauss:
1) Dengan troki matriks boleh menyusun semula di beberapa tempat.
2) jika yang berkadar muncul (atau wujud) dalam matriks (sebagai kes istimewa– identical) baris, kemudian ia mengikuti padam Semua baris ini adalah daripada matriks kecuali satu.
3) jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam.
4) baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor selain sifar.
5) ke baris matriks anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar.
Dalam kaedah Gauss, transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan.
Kaedah Gauss terdiri daripada dua peringkat:
- "Pergerakan langsung" - menggunakan transformasi asas, bawa matriks lanjutan sistem persamaan algebra linear ke bentuk langkah "segi tiga": unsur-unsur matriks lanjutan yang terletak di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar (gerakan atas-bawah). Sebagai contoh, untuk jenis ini:
Untuk melakukan ini, lakukan langkah berikut:
1) Mari kita pertimbangkan persamaan pertama bagi sistem persamaan algebra linear dan pekali untuk x 1 adalah sama dengan K. Kedua, ketiga, dsb. kita ubah persamaan seperti berikut: kita bahagikan setiap persamaan (pekali bagi yang tidak diketahui, termasuk sebutan bebas) dengan pekali x 1 yang tidak diketahui, yang terdapat dalam setiap persamaan, dan darab dengan K. Selepas ini, kita tolak yang pertama daripada persamaan kedua (pekali tak diketahui dan sebutan bebas). Untuk x 1 dalam persamaan kedua kita memperoleh pekali 0. Daripada persamaan transformasi ketiga kita tolak persamaan pertama sehingga semua persamaan kecuali yang pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, mempunyai pekali 0.
2) Mari kita beralih kepada persamaan seterusnya. Biarkan ini menjadi persamaan kedua dan pekali untuk x 2 sama dengan M. Kami meneruskan dengan semua persamaan "rendah" seperti yang diterangkan di atas. Oleh itu, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui akan terdapat sifar dalam semua persamaan.
3) Beralih ke persamaan seterusnya dan seterusnya sehingga satu yang terakhir tidak diketahui dan jangka bebas yang diubah kekal.
- "Langkah terbalik" kaedah Gauss adalah untuk mendapatkan penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear (langkah "bawah ke atas"). Daripada persamaan "rendah" terakhir kita memperoleh satu penyelesaian pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan asas A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan "atas" seterusnya dan menyelesaikannya berkenaan dengan yang tidak diketahui seterusnya. Contohnya, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Dan seterusnya sehingga kita dapati semua yang tidak diketahui.
Contoh.
Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, seperti yang dinasihatkan oleh beberapa penulis:
Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:
Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Mari lakukan ini:
1 langkah
. Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.
Sekarang di bahagian atas sebelah kiri terdapat "tolak satu", yang sesuai dengan kita. Sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan tindakan tambahan: darab baris pertama dengan –1 (tukar tandanya).
Langkah 2 . Baris pertama, didarab dengan 5, telah ditambahkan pada baris kedua. Baris pertama, didarab dengan 3, ditambah pada baris ketiga.
Langkah 3 . Baris pertama didarab dengan –1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan ia dipindahkan ke tempat kedua, supaya pada "langkah" kedua kami mempunyai unit yang diperlukan.
Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan pada baris kedua, didarab dengan 2.
Langkah 5 . Baris ketiga dibahagikan dengan 3.
Tanda yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (lebih jarang, kesilapan menaip) ialah garis bawah yang "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah, dan, oleh itu, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa ralat telah dibuat semasa asas transformasi.
Mari kita lakukan sebaliknya; dalam reka bentuk contoh, sistem itu sendiri selalunya tidak ditulis semula, tetapi persamaannya "diambil terus dari matriks yang diberikan." Langkah terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas. Dalam contoh ini, hasilnya ialah hadiah:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, oleh itu x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Jawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang dicadangkan. Kita mendapatkan
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Bahagikan persamaan kedua dengan 5, dan yang ketiga dengan 3. Kita dapat:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Mendarabkan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita dapat:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Kurangkan persamaan pertama daripada persamaan kedua dan ketiga, kita mempunyai:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Bahagikan persamaan ketiga dengan 0.64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Darabkan persamaan ketiga dengan 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Menolak kedua daripada persamaan ketiga, kami memperoleh matriks lanjutan "berlangkah":
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Oleh itu, kerana ralat terkumpul semasa pengiraan, kita memperoleh x 3 = 0.96 atau lebih kurang 1.
x 2 = 3 dan x 1 = –1.
Dengan menyelesaikan dengan cara ini, anda tidak akan pernah keliru dalam pengiraan dan, walaupun terdapat ralat pengiraan, anda akan mendapat hasilnya.
Kaedah menyelesaikan sistem persamaan algebra linear ini mudah diprogramkan dan tidak mengambil kira ciri khusus pekali untuk yang tidak diketahui, kerana dalam amalan (dalam pengiraan ekonomi dan teknikal) seseorang perlu berurusan dengan pekali bukan integer.
Semoga anda berjaya! Jumpa anda di dalam kelas! Tutor.
blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.
Biarkan sistem diberi, ∆≠0. (1)Kaedah Gauss ialah kaedah menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan.
Intipati kaedah Gauss adalah untuk mengubah (1) kepada sistem dengan matriks segi tiga, dari mana nilai semua yang tidak diketahui kemudiannya diperoleh secara berurutan (secara terbalik). Mari kita pertimbangkan salah satu skim pengiraan. Litar ini dipanggil litar pembahagian tunggal. Jadi mari kita lihat rajah ini. Biarkan 11 ≠0 (elemen utama) membahagikan persamaan pertama dengan 11. Kita mendapatkan
(2)
Menggunakan persamaan (2), adalah mudah untuk menghapuskan x 1 yang tidak diketahui daripada persamaan sistem yang tinggal (untuk melakukan ini, cukup untuk menolak persamaan (2) daripada setiap persamaan, sebelum ini didarabkan dengan pekali yang sepadan untuk x 1) , iaitu pada langkah pertama yang kita perolehi
.
Dalam erti kata lain, pada langkah 1, setiap elemen baris berikutnya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan perbezaan antara elemen asal dan hasil "unjuran"nya pada lajur pertama dan baris pertama (berubah).
Berikutan ini, meninggalkan persamaan pertama sahaja, kami melakukan transformasi yang serupa ke atas baki persamaan sistem yang diperoleh dalam langkah pertama: kami memilih daripada antara mereka persamaan dengan unsur utama dan, dengan bantuannya, mengecualikan x 2 daripada baki persamaan (langkah 2).
Selepas n langkah, bukannya (1), kita memperoleh sistem yang setara 
(3)
Oleh itu, pada peringkat pertama kita memperoleh sistem segi tiga (3). Peringkat ini dipanggil strok hadapan.
Pada peringkat kedua (terbalik), kita dapati secara berurutan daripada (3) nilai x n, x n -1, ..., x 1.
Mari kita nyatakan penyelesaian yang terhasil sebagai x 0 . Kemudian perbezaan ε=b-A x 0 dipanggil residual.
Jika ε=0, maka penyelesaian yang ditemui x 0 adalah betul.
Pengiraan menggunakan kaedah Gaussian dilakukan dalam dua peringkat:
- Peringkat pertama dipanggil kaedah ke hadapan. Pada peringkat pertama, sistem asal ditukar kepada bentuk segi tiga.
- Peringkat kedua dipanggil strok terbalik. Pada peringkat kedua, sistem segi tiga bersamaan dengan yang asal diselesaikan.
Pada setiap langkah, elemen utama diandaikan bukan sifar. Jika ini tidak berlaku, maka mana-mana elemen lain boleh digunakan sebagai elemen utama, seolah-olah menyusun semula persamaan sistem.
Tujuan kaedah Gauss
Kaedah Gauss direka untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Merujuk kepada kaedah penyelesaian langsung.Jenis kaedah Gaussian
- Kaedah Gaussian Klasik;
- Pengubahsuaian kaedah Gauss. Salah satu pengubahsuaian kaedah Gaussian ialah skema dengan pilihan elemen utama. Satu ciri kaedah Gauss dengan pilihan elemen utama ialah penyusunan semula persamaan sedemikian sehingga pada langkah ke-k unsur utama ternyata menjadi elemen terbesar dalam lajur ke-k.
- kaedah Jordano-Gauss;
Mari kita gambarkan perbezaannya Kaedah Jordano-Gauss daripada kaedah Gaussian dengan contoh.
Contoh penyelesaian menggunakan kaedah Gaussian
Mari selesaikan sistem: 
Untuk memudahkan pengiraan, mari tukar baris: 
Mari kita darab baris ke-2 dengan (2). Tambah baris ke-3 ke baris ke-2 
Darab baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris pertama 
Dari baris 1 kita nyatakan x 3:
Daripada baris ke-2 kita nyatakan x 2:
Daripada baris ke-3 kita nyatakan x 1: 
Contoh penyelesaian menggunakan kaedah Jordano-Gauss
Mari kita selesaikan SLAE yang sama menggunakan kaedah Jordano-Gauss. 
Kami akan secara berurutan memilih elemen penyelesaian RE, yang terletak pada pepenjuru utama matriks.
Elemen resolusi adalah sama dengan (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemen penyelesaian (1), A dan B - elemen matriks membentuk segi empat tepat dengan unsur STE dan RE.
Mari kita bentangkan pengiraan setiap elemen dalam bentuk jadual:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elemen penyelesaian adalah sama dengan (3).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapat 1, dan dalam lajur itu sendiri kita menulis sifar.
Semua elemen matriks lain, termasuk unsur lajur B, ditentukan oleh peraturan segi empat tepat.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat nombor yang terletak di bucu segi empat tepat dan sentiasa memasukkan elemen penyelesaian RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elemen resolusi ialah (-4).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapat 1, dan dalam lajur itu sendiri kita menulis sifar.
Semua elemen matriks lain, termasuk unsur lajur B, ditentukan oleh peraturan segi empat tepat.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat nombor yang terletak di bucu segi empat tepat dan sentiasa memasukkan elemen penyelesaian RE.
Mari kita bentangkan pengiraan setiap elemen dalam bentuk jadual:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Jawab: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Pelaksanaan kaedah Gaussian
Kaedah Gaussian dilaksanakan dalam banyak bahasa pengaturcaraan, khususnya: Pascal, C++, php, Delphi, dan terdapat juga pelaksanaan dalam talian bagi kaedah Gaussian.Menggunakan kaedah Gaussian
Aplikasi kaedah Gauss dalam teori permainan
Dalam teori permainan, apabila mencari strategi optimum maksimum pemain, sistem persamaan disusun, yang diselesaikan dengan kaedah Gaussian.Aplikasi kaedah Gauss dalam menyelesaikan persamaan pembezaan
Untuk mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan, mula-mula cari derivatif darjah yang sesuai untuk penyelesaian separa bertulis (y=f(A,B,C,D)), yang digantikan ke dalam persamaan asal. Seterusnya untuk mencari pembolehubah A,B,C,D satu sistem persamaan disusun dan diselesaikan dengan kaedah Gaussian.Aplikasi kaedah Jordano-Gauss dalam pengaturcaraan linear
DALAM pengaturcaraan linear, khususnya, dalam kaedah simpleks, peraturan segi empat tepat, yang menggunakan kaedah Jordano-Gauss, digunakan untuk mengubah jadual simpleks pada setiap lelaran.Carl Friedrich Gauss, ahli matematik terhebat untuk masa yang lama teragak-agak, memilih antara falsafah dan matematik. Mungkin pemikiran inilah yang membolehkannya membuat "warisan" yang ketara dalam sains dunia. Khususnya, dengan mencipta "Kaedah Gauss" ...
Selama hampir 4 tahun, artikel di laman web ini membincangkan pendidikan sekolah, terutamanya dari sudut pandangan falsafah, prinsip-prinsip (salah)faham yang diperkenalkan ke dalam minda kanak-kanak. Masa akan datang untuk lebih spesifik, contoh dan kaedah... Saya percaya bahawa ini adalah pendekatan yang biasa, mengelirukan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil yang lebih baik.
Kita orang direka sedemikian rupa sehingga tidak kira berapa banyak kita bercakap pemikiran abstrak, Tetapi persefahaman Sentiasa berlaku melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka mustahil untuk memahami prinsip-prinsipnya... Sama seperti mustahil untuk sampai ke puncak gunung kecuali dengan berjalan ke seluruh cerun dari kaki.
Sama dengan sekolah: buat masa ini kisah hidup Tidak cukup bahawa kita secara naluri terus menganggapnya sebagai tempat di mana kanak-kanak diajar untuk memahami.
Contohnya, mengajar kaedah Gaussian...
Kaedah Gauss di sekolah darjah 5
Biar saya membuat tempahan segera: kaedah Gaussian mempunyai banyak lagi aplikasi yang luas, sebagai contoh, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear. Apa yang kita akan bincangkan berlaku pada darjah 5. ini bermula, setelah memahami yang mana, lebih mudah untuk memahami lebih banyak "pilihan lanjutan". Dalam artikel ini kita bercakap tentang Kaedah (kaedah) Gauss untuk mencari jumlah siri
Ini contoh yang saya bawa dari sekolah anak lelaki yang lebih muda, menghadiri gred 5 di gimnasium Moscow.
Demonstrasi sekolah kaedah Gauss
Guru matematik menggunakan papan putih interaktif (kaedah moden latihan) menunjukkan kepada kanak-kanak persembahan sejarah "penciptaan kaedah" oleh Gauss kecil.
Guru sekolah menyebat Karl kecil (kaedah ketinggalan zaman, tidak digunakan di sekolah hari ini) kerana dia
daripada menambah nombor secara berurutan dari 1 hingga 100, cari jumlahnya perasan bahawa pasangan nombor yang sama jarak dari tepi janjang aritmetik ditambah kepada nombor yang sama. contohnya, 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah mengira bilangan pasangan tersebut, Gauss kecil hampir serta-merta menyelesaikan masalah yang dicadangkan oleh guru. Untuk itu dia dihukum bunuh di hadapan orang ramai yang terkejut. Supaya orang lain tidak digalakkan untuk berfikir.
Apa yang Gauss kecil lakukan? dibangunkan rasa nombor? perasan beberapa ciri siri nombor dengan langkah tetap (janjang aritmetik). DAN betul-betul ini kemudian menjadikannya seorang saintis yang hebat, mereka yang tahu perasan, mempunyai perasaan, naluri kefahaman.
Inilah sebabnya mengapa matematik adalah berharga, berkembang kebolehan melihat am khususnya - pemikiran abstrak . Oleh itu, kebanyakan ibu bapa dan majikan secara naluri menganggap matematik sebagai disiplin yang penting ...
“Kemudian anda perlu belajar matematik, kerana ia meletakkan fikiran anda teratur.
M.V.Lomonosov".
Walau bagaimanapun, pengikut mereka yang menyebat genius masa depan dengan tongkat mengubah Kaedah menjadi sesuatu yang sebaliknya. Bak kata kawan saya 35 tahun lalu penasihat saintifik: "Mereka belajar soalan itu." Atau seperti yang dikatakan oleh anak bongsu saya semalam mengenai kaedah Gauss: "Mungkin ia tidak berbaloi untuk membuat sains besar daripada ini, ya?"
Akibat kreativiti "saintis" dapat dilihat dalam tahap matematik sekolah semasa, tahap pengajarannya dan pemahaman "Ratu Sains" oleh majoriti.
Namun, mari kita teruskan...
Kaedah untuk menerangkan kaedah Gauss di sekolah gred 5
Seorang guru matematik di gimnasium Moscow, menerangkan kaedah Gauss mengikut Vilenkin, merumitkan tugas itu.
Bagaimana jika perbezaan (langkah) janjang aritmetik bukan satu, tetapi nombor lain? Contohnya, 20.
Masalah yang dia berikan kepada pelajar tingkatan lima:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Sebelum membiasakan diri dengan kaedah gimnasium, mari kita lihat di Internet: bagaimanakah guru sekolah dan tutor matematik melakukannya?..
Kaedah Gaussian: penjelasan No. 1
Seorang tutor terkenal di saluran YOUTUBEnya memberikan alasan berikut:
"Mari kita tulis nombor dari 1 hingga 100 seperti berikut:
pertama satu siri nombor dari 1 hingga 50, dan betul-betul di bawahnya satu siri nombor lain dari 50 hingga 100, tetapi dalam susunan terbalik"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Sila ambil perhatian: jumlah setiap pasangan nombor dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung bilangan pasangan, ia adalah 50 dan darabkan hasil tambah satu pasangan dengan bilangan pasangan! Voila: The jawapan sudah sedia!"
“Jika kamu tidak faham, jangan marah!” guru itu mengulangi tiga kali semasa penerangan. "Anda akan mengambil kaedah ini dalam darjah 9!"
Kaedah Gaussian: penjelasan No. 2
Seorang lagi tutor, kurang dikenali (berdasarkan bilangan tontonan), mengambil pendekatan yang lebih saintifik, menawarkan algoritma penyelesaian 5 mata yang mesti diselesaikan secara berurutan.
Bagi yang belum tahu, 5 ialah salah satu nombor Fibonacci yang secara tradisinya dianggap ajaib. Kaedah 5 langkah sentiasa lebih saintifik daripada kaedah 6 langkah, contohnya. ...Dan ini bukan satu kemalangan, kemungkinan besar, Pengarang adalah penganut tersembunyi teori Fibonacci
Dana janjang aritmetik: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritma untuk mencari jumlah nombor dalam satu siri menggunakan kaedah Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Pada masa yang sama, anda perlu ingat ditambah satu peraturan : kita mesti menambah satu kepada hasil bahagi yang terhasil: jika tidak, kita akan mendapat hasil yang kurang satu daripada bilangan pasangan sebenar: 42 + 1 = 43.
Ini ialah jumlah yang diperlukan bagi janjang aritmetik dari 4 hingga 256 dengan perbezaan 6!
Kaedah Gauss: penerangan dalam gred 5 di gimnasium Moscow
Berikut ialah cara untuk menyelesaikan masalah mencari jumlah siri:
20+40+60+ ... +460+480+500
dalam gred 5 gimnasium Moscow, buku teks Vilenkin (menurut anak saya).
Selepas menunjukkan pembentangan, guru matematik menunjukkan beberapa contoh menggunakan kaedah Gaussian dan memberi tugasan kepada kelas untuk mencari jumlah nombor dalam satu siri dengan kenaikan 20.
Ini memerlukan perkara berikut:
Seperti yang anda lihat, ini lebih padat dan teknik yang berkesan: nombor 3 juga merupakan ahli jujukan Fibonacci
Komen saya tentang kaedah Gauss versi sekolah
Ahli matematik yang hebat itu pasti akan memilih falsafah jika dia telah meramalkan apa "kaedah"nya akan diubah oleh pengikutnya guru Jerman, yang menyebat Karl dengan kayu. Dia akan melihat simbolisme, lingkaran dialektik dan kebodohan "guru" yang tidak pernah mati. cuba mengukur keharmonian pemikiran matematik yang hidup dengan algebra salah faham ....
By the way: adakah anda tahu. bahawa sistem pendidikan kita berakar umbi dari sekolah Jerman pada abad ke-18 dan ke-19?
Tetapi Gauss memilih matematik.
Apakah intipati kaedah beliau?
DALAM penyederhanaan. DALAM memerhati dan menggenggam pola nombor yang mudah. DALAM menukar aritmetik sekolah kering kepada aktiviti yang menarik dan menarik , mengaktifkan dalam otak keinginan untuk meneruskan, bukannya menyekat aktiviti mental kos tinggi.
Adakah mungkin untuk menggunakan salah satu daripada "pengubahsuaian kaedah Gauss" yang diberikan untuk mengira jumlah nombor janjang aritmetik hampir serta merta? Menurut "algoritma", Karl kecil akan dijamin untuk mengelakkan pukulan, mengembangkan keengganan terhadap matematik dan menyekat dorongan kreatifnya sejak awal.
Mengapa tutor begitu gigih menasihati pelajar tingkatan lima "jangan takut salah faham" kaedah, meyakinkan mereka bahawa mereka akan menyelesaikan masalah "sebegitu" seawal gred 9? Tindakan buta huruf secara psikologi. Ia adalah satu langkah yang baik untuk diperhatikan: "Nampak? Awak dah darjah 5 pun boleh selesaikan masalah yang anda akan selesaikan hanya dalam masa 4 tahun! Alangkah hebatnya kamu!”
Untuk menggunakan kaedah Gaussian, tahap kelas 3 adalah mencukupi, apabila kanak-kanak normal sudah tahu menambah, mendarab dan membahagi nombor 2-3 digit. Masalah timbul kerana ketidakupayaan guru dewasa yang "tidak dapat dihubungi" untuk menerangkan perkara yang paling mudah dalam bahasa manusia biasa, apatah lagi matematik... Mereka tidak dapat menarik minat orang ramai dalam matematik dan benar-benar tidak menggalakkan walaupun mereka yang " berkemampuan.”
Atau, seperti anak saya mengulas: "membuat sains yang besar daripadanya."
Kaedah Gauss, penjelasan saya
Saya dan isteri menjelaskan "kaedah" ini kepada anak kami, nampaknya, sebelum sekolah...
Kesederhanaan dan bukannya kerumitan atau permainan soalan dan jawapan
"Tengok, ini nombor dari 1 hingga 100. Apa yang awak nampak?"
Intinya bukanlah apa yang sebenarnya dilihat oleh kanak-kanak itu. Caranya ialah untuk mendapatkan dia melihat.
"Bagaimana anda boleh menggabungkan mereka?" Anak lelaki itu menyedari bahawa soalan seperti itu tidak ditanya "begitu sahaja" dan anda perlu melihat soalan "entah bagaimana berbeza, berbeza daripada biasanya"
Tidak mengapa jika anak melihat penyelesaiannya dengan segera, tidak mungkin. Ia adalah penting bahawa dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: "menggerakkan tugas". Ini adalah permulaan perjalanan untuk memahami
"Manakah yang lebih mudah: menambah, sebagai contoh, 5 dan 6 atau 5 dan 95?" Soalan utama... Tetapi apa-apa latihan datang untuk "membimbing" seseorang kepada "jawapan" - dalam apa jua cara yang boleh diterima olehnya.
Pada peringkat ini, tekaan mungkin sudah timbul tentang cara "simpan" pada pengiraan.
Apa yang kami lakukan hanyalah membayangkan: kaedah pengiraan "depan, linear" bukan satu-satunya yang mungkin. Jika seorang kanak-kanak memahami perkara ini, kemudian dia akan menghasilkan lebih banyak kaedah seperti itu, sebab menarik!!! Dan dia pasti akan mengelakkan "salah faham" matematik dan tidak akan berasa jijik dengannya. Dia mendapat kemenangan!
Jika kanak-kanak ditemui bahawa menambah pasangan nombor yang menambah hingga seratus adalah sekeping kek, maka "janjang aritmetik dengan beza 1"- perkara yang agak suram dan tidak menarik untuk kanak-kanak - tiba-tiba menemukan kehidupan untuknya . Ketenteraman muncul daripada kekacauan, dan ini sentiasa menyebabkan semangat: begitulah kita dijadikan!
Satu soalan untuk dijawab: mengapa, selepas wawasan yang diterima oleh seorang kanak-kanak, haruskah dia sekali lagi didorong ke dalam rangka kerja algoritma kering, yang juga tidak berguna dalam kes ini?!
Mengapa memaksa menulis semula bodoh? nombor turutan dalam buku nota: supaya yang berkebolehan pun tidak mempunyai peluang untuk memahami? Secara statistik, sudah tentu, tetapi pendidikan massa menjurus kepada "statistik"...
Ke mana perginya sifar?
Namun, menambah nombor yang menambah sehingga 100 adalah lebih diterima oleh minda berbanding nombor yang menambah sehingga 101...
"Kaedah Sekolah Gauss" memerlukan ini: melipat tanpa berfikir pasangan nombor yang sama jarak dari pusat janjang, Walaupun segala-galanya.
Bagaimana jika anda melihat?
Namun, sifar adalah ciptaan terbesar manusia, yang berusia lebih daripada 2,000 tahun. Dan guru matematik terus mengabaikannya.
Adalah lebih mudah untuk menukar satu siri nombor yang bermula dengan 1 kepada satu siri bermula dengan 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda perlu berhenti "berfikir dalam buku teks" dan mula mencari... Dan lihat bahawa pasangan dengan jumlah 101 boleh digantikan sepenuhnya oleh pasangan dengan jumlah 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Bagaimana untuk menghapuskan "peraturan tambah 1"?
Sejujurnya, saya mula-mula mendengar tentang peraturan sedemikian daripada tutor YouTube itu...
Apakah yang masih saya lakukan apabila saya perlu menentukan bilangan ahli siri?
Saya melihat urutannya:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
dan apabila anda benar-benar letih, kemudian beralih ke baris yang lebih mudah:
1, 2, 3, 4, 5
dan saya fikir: jika anda menolak satu daripada 5, anda mendapat 4, tetapi saya benar-benar jelas saya faham 5 nombor! Oleh itu, anda perlu menambah satu! Pengertian nombor berkembang dalam sekolah rendah, mencadangkan: walaupun terdapat keseluruhan Google ahli siri (10 hingga kuasa seratus), coraknya akan kekal sama.
Apakah peraturannya?..
Supaya dalam beberapa atau tiga tahun anda boleh mengisi semua ruang antara dahi dan belakang kepala anda dan berhenti berfikir? Bagaimana untuk mendapatkan roti dan mentega anda? Lagipun, kita bergerak dalam kedudukan yang sama ke dalam era ekonomi digital!
Lebih lanjut mengenai kaedah sekolah Gauss: "mengapa membuat sains daripada ini?.."
Bukan sia-sia saya menyiarkan tangkapan skrin daripada buku nota anak saya...
"Apa yang berlaku dalam kelas?"
"Nah, saya terus mengira, mengangkat tangan, tetapi dia tidak bertanya. Oleh itu, semasa yang lain mengira, saya mula membuat kerja rumah dalam bahasa Rusia supaya tidak membuang masa. Kemudian, apabila yang lain selesai menulis (? ??), dia memanggil saya ke dewan. Saya berkata jawapannya."
"Betul, tunjukkan saya bagaimana anda menyelesaikannya," kata guru itu. Saya menunjukkannya. Dia berkata: "Salah, anda perlu mengira seperti yang saya tunjukkan!"
"Adalah bagus kerana dia tidak memberikan gred yang buruk. Dan dia menyuruh saya menulis dalam buku nota mereka "jalan penyelesaian" dengan cara mereka sendiri. Mengapa membuat sains yang besar daripada ini?.."
Jenayah utama seorang guru matematik
Hampir tidak selepas itu kejadian itu Carl Gauss mengalami rasa hormat yang tinggi terhadap guru matematik sekolahnya. Tetapi jika dia tahu bagaimana pengikut guru itu akan memesongkan intipati kaedah... dia akan mengaum dengan kemarahan dan melalui Pertubuhan Dunia harta intelek WIPO telah mencapai larangan penggunaan nama adilnya dalam buku teks sekolah!..
Dalam apa kesilapan utama pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, jenayah guru matematik sekolah terhadap kanak-kanak?
Algoritma salah faham
Apakah yang dilakukan oleh ahli metodologi sekolah, sebahagian besar daripada mereka tidak tahu bagaimana untuk berfikir?
Mereka mencipta kaedah dan algoritma (lihat). ini reaksi defensif yang melindungi guru daripada kritikan (“Semuanya dilakukan mengikut...”) dan kanak-kanak daripada memahami. Dan dengan itu - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Terbitan kedua "kebijaksanaan" birokrasi, pendekatan saintifik kepada masalah itu). Seseorang yang tidak memahami maksudnya lebih suka menyalahkan salah fahamnya sendiri, daripada kebodohan sistem persekolahan.
Inilah yang berlaku: ibu bapa menyalahkan anak mereka, dan guru... lakukan perkara yang sama untuk kanak-kanak yang "tidak faham matematik!"
Adakah awak pandai?
Apa yang Karl kecil lakukan?
Pendekatan yang sama sekali tidak konvensional untuk tugas formulaik. Inilah intipati pendekatan-Nya. ini perkara utama yang harus diajar di sekolah ialah berfikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepala anda. Sudah tentu, terdapat juga komponen instrumental yang boleh digunakan ... untuk mencari lebih ringkas dan kaedah yang berkesan akaun.
Kaedah Gauss mengikut Vilenkin
Di sekolah mereka mengajar bahawa kaedah Gauss adalah untuk
Apa, jika bilangan unsur siri itu ganjil, seperti dalam masalah yang ditugaskan kepada anak saya?..
"Tangkapan" ialah dalam kes ini anda harus mencari nombor "tambahan" dalam siri ini dan tambahkannya kepada jumlah pasangan. Dalam contoh kami nombor ini ialah 260.
Bagaimana untuk mengesan? Menyalin semua pasangan nombor ke dalam buku nota!(Inilah sebabnya guru membuat anak-anak melakukan kerja bodoh ini untuk cuba mengajar "kreativiti" menggunakan kaedah Gaussian... Dan inilah sebabnya "kaedah" sedemikian boleh dikatakan tidak boleh digunakan untuk siri data yang besar, DAN inilah sebabnya bukan kaedah Gaussian.)
Sedikit kreativiti dalam rutin sekolah...
Anak lelaki bertindak berbeza.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Tak susah kan?
Tetapi dalam praktiknya ia menjadi lebih mudah, yang membolehkan anda mengukir 2-3 minit untuk penderiaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara selebihnya "mengira". Di samping itu, ia mengekalkan bilangan langkah kaedah: 5, yang tidak membenarkan pendekatan itu dikritik kerana tidak saintifik.
Jelas sekali pendekatan ini lebih mudah, lebih pantas dan lebih universal, dalam gaya Kaedah. Tetapi... cikgu bukan sahaja tidak memuji, malah memaksa saya menulis semula “dengan cara yang betul” (lihat tangkapan skrin). Iaitu, dia membuat percubaan terdesak untuk menyekat dorongan kreatif dan keupayaan untuk memahami matematik pada akarnya! Rupa-rupanya, supaya dia kemudiannya boleh diambil sebagai tutor... Dia menyerang orang yang salah...
Segala yang saya huraikan dengan panjang lebar dan membosankan boleh dijelaskan kepada kanak-kanak biasa dalam setengah jam maksimum. Bersama dengan contoh.
Dan dengan cara yang dia tidak akan melupakannya.
Dan ia akan menjadi langkah ke arah pemahaman... bukan hanya ahli matematik.
Akui: berapa kali dalam hidup anda telah anda tambah menggunakan kaedah Gaussian? Dan saya tidak pernah melakukannya!
Tetapi naluri kefahaman, yang berkembang (atau dipadamkan) dalam proses pembelajaran kaedah matematik di sekolah... Oh!.. Ini benar-benar perkara yang tidak boleh ditukar ganti!
Terutama dalam era pendigitalan sejagat, yang telah kita tempuhi secara senyap-senyap di bawah kepimpinan ketat Parti dan Kerajaan.
Sedikit perkataan untuk membela guru...
Adalah tidak adil dan salah untuk meletakkan semua tanggungjawab untuk gaya pengajaran ini semata-mata kepada guru sekolah. Sistem ini berkuat kuasa.
Beberapa guru memahami kemustahilan apa yang berlaku, tetapi apa yang perlu dilakukan? Undang-undang Pendidikan, Standard Pendidikan Negeri Persekutuan, kaedah, peta teknologi pelajaran... Semuanya mesti dilakukan "mengikut dan berdasarkan" dan semuanya mesti didokumenkan. Ke tepi - berdiri dalam barisan untuk dipecat. Jangan menjadi munafik: gaji guru Moscow sangat bagus... Jika mereka memecat anda, ke mana hendak pergi?..
Oleh itu laman web ini bukan tentang pendidikan. Dia kira-kira pendidikan individu, sahaja cara yang mungkin keluar dari orang ramai generasi Z ...
Dalam artikel ini, kaedah ini dianggap sebagai kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SLAE). Kaedah ini adalah analitikal, iaitu, ia membolehkan anda menulis algoritma penyelesaian Pandangan umum, dan kemudian gantikan nilai daripada contoh khusus di sana. Tidak seperti kaedah matriks atau formula Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, anda juga boleh bekerja dengan penyelesaian yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.
Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan menggunakan kaedah Gaussian?
Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita dalam Ia kelihatan seperti ini. Ambil sistem:
Pekali ditulis dalam bentuk jadual, dan istilah bebas ditulis dalam lajur berasingan di sebelah kanan. Lajur dengan istilah bebas dipisahkan untuk kemudahan. Matriks yang merangkumi lajur ini dipanggil dilanjutkan.
Seterusnya, matriks utama dengan pekali mesti dikurangkan kepada bentuk segi tiga atas. Ini adalah perkara utama untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian. Ringkasnya, selepas manipulasi tertentu, matriks harus kelihatan supaya bahagian kiri bawahnya hanya mengandungi sifar:
Kemudian, jika anda menulis semula matriks baharu sebagai sistem persamaan, anda akan perasan bahawa baris terakhir sudah mengandungi nilai salah satu punca, yang kemudiannya digantikan dengan persamaan di atas, punca lain ditemui, dan seterusnya.
Ini adalah penerangan penyelesaian dengan kaedah Gaussian paling banyak garis besar umum. Apa yang berlaku jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai penyelesaian? Atau adakah terdapat banyak daripada mereka? Untuk menjawab ini dan banyak soalan lain, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan semua elemen yang digunakan dalam menyelesaikan kaedah Gaussian.
Matriks, sifatnya
tiada maksud tersembunyi bukan dalam matriks. Ini hanyalah cara mudah untuk merekod data untuk operasi seterusnya dengannya. Malah pelajar sekolah tidak perlu takut dengan mereka.
Matriks sentiasa segi empat tepat, kerana ia lebih mudah. Malah dalam kaedah Gaussian, di mana segala-galanya datang untuk membina matriks segi tiga rupanya, entri mengandungi segi empat tepat, hanya dengan sifar di tempat yang tiada nombor. Sifar mungkin tidak ditulis, tetapi ia tersirat.
Matriks mempunyai saiz. "Lebar"nya ialah bilangan baris (m), "panjang" ialah bilangan lajur (n). Kemudian saiz matriks A (huruf besar biasanya digunakan untuk menandakannya) surat) akan dilambangkan sebagai A m×n. Jika m=n, maka matriks ini adalah segi empat sama, dan m=n ialah susunannya. Sehubungan itu, sebarang unsur matriks A boleh dilambangkan dengan nombor baris dan lajurnya: a xy ; x - nombor baris, perubahan, y - nombor lajur, perubahan.
B bukan perkara utama keputusan. Pada dasarnya, semua operasi boleh dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasi akan menjadi lebih rumit, dan lebih mudah untuk dikelirukan di dalamnya.
Penentu
Matriks juga mempunyai penentu. Ini sangat ciri penting. Tidak perlu mengetahui maksudnya sekarang; anda hanya boleh menunjukkan cara ia dikira, dan kemudian memberitahu sifat matriks yang ditentukannya. Cara paling mudah untuk mencari penentu adalah melalui pepenjuru. pepenjuru khayalan dilukis dalam matriks; unsur-unsur yang terletak pada setiap daripada mereka didarabkan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambah: pepenjuru dengan cerun ke kanan - dengan tanda tambah, dengan cerun ke kiri - dengan tanda tolak.
Adalah amat penting untuk diperhatikan bahawa penentu hanya boleh dikira untuk matriks segi empat sama. Untuk matriks segi empat tepat, anda boleh melakukan perkara berikut: pilih yang terkecil daripada bilangan baris dan bilangan lajur (biarlah k), dan kemudian tandakan secara rawak k lajur dan k baris dalam matriks. Unsur-unsur di persimpangan lajur dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baharu. Jika penentu bagi matriks sedemikian ialah nombor bukan sifar, ia dipanggil minor asas bagi matriks segi empat tepat asal.
Sebelum anda mula menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gaussian, tidak ada salahnya untuk mengira penentu. Jika ternyata sifar, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa matriks mempunyai sama ada bilangan penyelesaian yang tidak terhingga atau tiada sama sekali. Dalam kes yang menyedihkan, anda perlu pergi lebih jauh dan mengetahui tentang pangkat matriks.
Pengelasan sistem
Terdapat perkara seperti pangkat matriks. ini pesanan maksimum penentunya, berbeza daripada sifar (jika kita ingat tentang asas minor, kita boleh mengatakan bahawa pangkat matriks adalah susunan asas minor).
Berdasarkan situasi dengan pangkat, SLAE boleh dibahagikan kepada:
- sendi. U Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri daripada pekali) bertepatan dengan pangkat matriks lanjutan (dengan lajur istilah bebas). Sistem sedemikian mempunyai penyelesaian, tetapi tidak semestinya satu, oleh itu, sistem sendi tambahan dibahagikan kepada:
- - pasti- mempunyai penyelesaian tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan bilangan yang tidak diketahui (atau bilangan lajur, yang merupakan perkara yang sama) adalah sama;
- - tidak ditentukan - dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kedudukan matriks dalam sistem sedemikian adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
- Tidak serasi. U Dalam sistem sedemikian, pangkat matriks utama dan lanjutan tidak bertepatan. Sistem yang tidak serasi tidak mempunyai penyelesaian.
Kaedah Gauss adalah baik kerana semasa penyelesaian ia membolehkan seseorang memperoleh sama ada bukti yang tidak jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa mengira penentu matriks besar), atau penyelesaian dalam bentuk umum untuk sistem dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Transformasi asas
Sebelum meneruskan terus untuk menyelesaikan sistem, anda boleh menjadikannya kurang rumit dan lebih mudah untuk pengiraan. Ini dicapai melalui transformasi asas - supaya pelaksanaannya tidak mengubah jawapan akhir dalam apa jua cara. Perlu diingatkan bahawa beberapa transformasi asas yang diberikan hanya sah untuk matriks, yang mana sumbernya ialah SLAE. Berikut ialah senarai transformasi ini:
- Menyusun semula baris. Jelas sekali, jika anda menukar susunan persamaan dalam rekod sistem, ini tidak akan menjejaskan penyelesaian dalam apa cara sekalipun. Akibatnya, baris dalam matriks sistem ini juga boleh ditukar, tidak lupa, sudah tentu, lajur istilah bebas.
- Mendarab semua elemen rentetan dengan pekali tertentu. Sangat membantu! Ia boleh digunakan untuk memendekkan nombor besar dalam matriks atau keluarkan sifar. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, tetapi operasi selanjutnya ia akan menjadi lebih mudah. Perkara utama ialah pekali tidak sama dengan sifar.
- Mengalih keluar baris dengan faktor berkadar. Ini sebahagiannya mengikuti perenggan sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks mempunyai pekali berkadar, maka apabila salah satu baris didarab/dibahagikan dengan pekali perkadaran, dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang sama mutlak diperoleh, dan yang tambahan boleh dikeluarkan, meninggalkan hanya satu.
- Mengalih keluar garisan nol. Jika, semasa transformasi, satu baris diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk istilah bebas, adalah sifar, maka baris tersebut boleh dipanggil sifar dan dibuang keluar dari matriks.
- Menambah pada elemen satu baris elemen yang lain (dalam lajur yang sepadan), didarab dengan pekali tertentu. Transformasi yang paling tidak jelas dan paling penting dari semuanya. Ia bernilai memikirkannya dengan lebih terperinci.
Menambah rentetan didarab dengan faktor
Untuk memudahkan pemahaman, proses ini patut dipecahkan langkah demi langkah. Dua baris diambil daripada matriks:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Katakan anda perlu menambah yang pertama kepada yang kedua, didarab dengan pekali "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Kemudian baris kedua dalam matriks digantikan dengan yang baru, dan yang pertama kekal tidak berubah.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Perlu diingatkan bahawa pekali pendaraban boleh dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil daripada menambah dua baris, salah satu elemen baris baru adalah sama dengan sifar. Oleh itu, adalah mungkin untuk mendapatkan persamaan dalam sistem di mana terdapat satu persamaan yang kurang diketahui. Dan jika anda mendapat dua persamaan sedemikian, maka operasi boleh dilakukan semula dan mendapatkan persamaan yang akan mengandungi dua kurang tidak diketahui. Dan jika setiap kali anda menukar satu pekali semua baris yang berada di bawah yang asal kepada sifar, maka anda boleh, seperti tangga, turun ke bahagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini dipanggil menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian.
Secara umum
Biar ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n punca yang tidak diketahui. Anda boleh menulisnya seperti berikut:
Matriks utama disusun daripada pekali sistem. Lajur istilah bebas ditambahkan pada matriks lanjutan dan, untuk kemudahan, dipisahkan dengan garis.
- baris pertama matriks didarab dengan pekali k = (-a 21 /a 11);
- baris pertama diubah suai dan baris kedua matriks ditambah;
- bukannya baris kedua, hasil penambahan daripada perenggan sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
- kini pekali pertama dalam detik baru garis ialah 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Kini siri transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh itu, pada setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan dengan 31. Kemudian semuanya diulang untuk 41, ... a m1. Hasilnya ialah matriks di mana elemen pertama dalam baris adalah sifar. Kini anda perlu melupakan baris nombor satu dan melakukan algoritma yang sama, bermula dari baris dua:
- pekali k = (-a 32 /a 22);
- baris kedua yang diubah suai ditambah pada baris "semasa";
- hasil penambahan digantikan ke dalam baris ketiga, keempat, dan seterusnya, manakala yang pertama dan kedua kekal tidak berubah;
- dalam baris matriks dua elemen pertama sudah sama dengan sifar.
Algoritma mesti diulang sehingga pekali k = (-a m,m-1 /a mm) muncul. Ini bermakna bahawa dalam kali terakhir algoritma dilakukan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Kini matriks kelihatan seperti segi tiga, atau mempunyai bentuk bertingkat. Di bahagian bawah terdapat kesamaan a mn × x n = b m. Pekali dan sebutan bebas diketahui, dan puncanya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Punca yang terhasil digantikan ke baris atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Dan seterusnya dengan analogi: dalam setiap baris seterusnya terdapat akar baru, dan, setelah mencapai "atas" sistem, anda boleh mencari banyak penyelesaian. Ia akan menjadi satu-satunya.
Apabila tiada penyelesaian
Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen kecuali istilah bebas adalah sama dengan sifar, maka persamaan yang sepadan dengan baris ini kelihatan seperti 0 = b. Ia tidak mempunyai penyelesaian. Dan kerana persamaan sedemikian dimasukkan ke dalam sistem, maka set penyelesaian keseluruhan sistem adalah kosong, iaitu, ia merosot.
Apabila terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga
Ia mungkin berlaku bahawa dalam matriks segi tiga yang diberikan tidak ada baris dengan satu elemen pekali persamaan dan satu sebutan bebas. Terdapat hanya baris yang, apabila ditulis semula, akan kelihatan seperti persamaan dengan dua atau lebih pembolehubah. Ini bermakna sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, jawapan boleh diberikan dalam bentuk penyelesaian umum. Bagaimana hendak melakukannya?
Semua pembolehubah dalam matriks dibahagikan kepada asas dan bebas. Yang asas ialah yang berdiri "di tepi" baris dalam matriks langkah. Selebihnya percuma. Dalam penyelesaian umum, pembolehubah asas ditulis melalui yang bebas.
Untuk kemudahan, matriks pertama kali ditulis semula ke dalam sistem persamaan. Kemudian pada yang terakhir daripada mereka, di mana hanya terdapat satu pembolehubah asas yang tinggal, ia kekal di satu pihak, dan segala-galanya dipindahkan ke yang lain. Ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu pembolehubah asas. Kemudian, dalam persamaan yang tinggal, jika boleh, ungkapan yang diperoleh untuknya digantikan dan bukannya pembolehubah asas. Jika hasilnya sekali lagi merupakan ungkapan yang mengandungi hanya satu pembolehubah asas, ia sekali lagi dinyatakan dari sana, dan seterusnya, sehingga setiap pembolehubah asas ditulis sebagai ungkapan dengan pembolehubah bebas. Itulah yang berlaku keputusan bersama SLAU.
Anda juga boleh mencari penyelesaian asas sistem - berikan pembolehubah bebas sebarang nilai, dan kemudian untuk kes khusus ini hitung nilai pembolehubah asas. Terdapat bilangan penyelesaian tertentu yang tidak terhingga yang boleh diberikan.
Penyelesaian dengan contoh khusus
Berikut adalah sistem persamaan.
Untuk kemudahan, lebih baik untuk segera membuat matriksnya
Adalah diketahui bahawa apabila diselesaikan dengan kaedah Gaussian, persamaan yang sepadan dengan baris pertama akan kekal tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh itu, ia akan menjadi lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama baris yang tinggal selepas operasi akan bertukar kepada sifar. Ini bermakna bahawa dalam matriks yang disusun adalah berfaedah untuk meletakkan baris kedua di tempat yang pertama.
baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Sekarang, untuk tidak keliru, anda perlu menulis matriks dengan hasil perantaraan transformasi.
Jelas sekali, matriks sedemikian boleh dibuat lebih mudah untuk persepsi menggunakan operasi tertentu. Sebagai contoh, anda boleh mengalih keluar semua "tolak" daripada baris kedua dengan mendarab setiap elemen dengan "-1".
Perlu juga diperhatikan bahawa dalam baris ketiga semua elemen adalah gandaan tiga. Kemudian anda boleh memendekkan rentetan dengan nombor ini, mendarabkan setiap elemen dengan "-1/3" (tolak - pada masa yang sama, untuk mengalih keluar nilai negatif).
Nampak lebih cantik. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama sahaja dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya ialah menambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan pekali sedemikian sehingga unsur a 32 menjadi sama dengan sifar.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jika semasa beberapa transformasi jawapan tidak menjadi integer, adalah disyorkan untuk mengekalkan ketepatan pengiraan untuk meninggalkan ia "seadanya", dalam bentuk pecahan sepunya, dan hanya selepas itu, apabila jawapan diterima, tentukan sama ada untuk membundarkan dan menukar kepada bentuk rakaman lain)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matriks ditulis semula dengan nilai baru.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Seperti yang anda lihat, matriks yang terhasil sudah mempunyai bentuk berperingkat. Oleh itu, transformasi lanjut sistem menggunakan kaedah Gaussian tidak diperlukan. Apa yang boleh dilakukan di sini ialah mengeluarkan dari baris ketiga pekali keseluruhan "-1/7".
Sekarang semuanya cantik. Apa yang perlu dilakukan ialah menulis semula matriks dalam bentuk sistem persamaan dan mengira punca
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritma yang mana akar kini akan ditemui dipanggil langkah terbalik dalam kaedah Gaussian. Persamaan (3) mengandungi nilai z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Dan persamaan pertama membolehkan kita mencari x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Kami mempunyai hak untuk memanggil gabungan sistem sedemikian, dan juga pasti, iaitu, mempunyai penyelesaian yang unik. Jawapannya ditulis dalam bentuk berikut:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Contoh sistem yang tidak pasti
Varian penyelesaian sistem tertentu menggunakan kaedah Gauss telah dianalisis; kini adalah perlu untuk mempertimbangkan kes jika sistem itu tidak pasti, iaitu, banyak penyelesaian yang tidak terhingga boleh didapati untuknya.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Penampilan sistem sudah membimbangkan, kerana bilangan yang tidak diketahui ialah n = 5, dan pangkat matriks sistem sudah betul-betul kurang daripada nombor ini, kerana bilangan baris adalah m = 4, iaitu, susunan terbesar bagi segi empat sama penentu ialah 4. Ini bermakna terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, dan anda perlu mencari rupa umumnya. Kaedah Gauss untuk persamaan linear membolehkan anda melakukan ini.
Pertama, seperti biasa, matriks lanjutan disusun.
Baris kedua: pekali k = (-a 21 /a 11) = -3. Dalam baris ketiga, elemen pertama adalah sebelum transformasi, jadi anda tidak perlu menyentuh apa-apa, anda perlu membiarkannya seperti sedia ada. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Dengan mendarab unsur-unsur baris pertama dengan setiap pekalinya secara bergilir-gilir dan menambahkannya pada baris yang diperlukan, kami memperoleh matriks dalam bentuk berikut:
Seperti yang anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri daripada elemen yang berkadar antara satu sama lain. Yang kedua dan keempat biasanya sama, jadi salah satu daripadanya boleh dialih keluar serta-merta, dan yang selebihnya boleh didarab dengan pekali "-1" dan dapatkan nombor baris 3. Dan sekali lagi, daripada dua baris yang sama, tinggalkan satu.
Hasilnya adalah matriks seperti ini. Walaupun sistem masih belum ditulis, adalah perlu untuk menentukan pembolehubah asas di sini - yang berdiri pada pekali a 11 = 1 dan a 22 = 1, dan yang bebas - semua yang lain.
Dalam persamaan kedua terdapat hanya satu pembolehubah asas - x 2. Ini bermakna ia boleh dinyatakan dari sana dengan menulisnya melalui pembolehubah x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.
Kami menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan pertama.
Hasilnya ialah persamaan di mana satu-satunya pembolehubah asas ialah x 1 . Mari kita lakukan perkara yang sama dengannya seperti dengan x 2.
Semua pembolehubah asas, yang mana terdapat dua, dinyatakan dalam sebutan tiga pembolehubah percuma; kini kita boleh menulis jawapan dalam bentuk umum.
Anda juga boleh menentukan salah satu daripada penyelesaian tertentu sistem. Untuk kes sedemikian, sifar biasanya dipilih sebagai nilai untuk pembolehubah bebas. Maka jawapannya ialah:
16, 23, 0, 0, 0.
Contoh sistem bukan koperasi
Menyelesaikan sistem persamaan yang tidak serasi menggunakan kaedah Gauss adalah yang paling cepat. Ia tamat serta-merta sebaik sahaja pada salah satu peringkat diperoleh persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Iaitu, peringkat pengiraan akar, yang agak panjang dan membosankan, dihapuskan. Sistem berikut dipertimbangkan:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Seperti biasa, matriks disusun:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Dan ia dikurangkan kepada bentuk berperingkat:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Selepas penjelmaan pertama, baris ketiga mengandungi persamaan bentuk
tanpa penyelesaian. Akibatnya, sistem tidak konsisten, dan jawapannya adalah set kosong.
Kebaikan dan keburukan kaedah
Jika anda memilih kaedah untuk menyelesaikan SLAE di atas kertas dengan pen, maka kaedah yang dibincangkan dalam artikel ini kelihatan paling menarik. Adalah lebih sukar untuk dikelirukan dalam transformasi asas daripada jika anda perlu mencari secara manual untuk penentu atau beberapa matriks songsang yang rumit. Walau bagaimanapun, jika anda menggunakan program untuk bekerja dengan jenis data ini, contohnya, hamparan, maka ternyata program sedemikian sudah mengandungi algoritma untuk mengira parameter utama matriks - penentu, minor, songsang, dan sebagainya. Dan jika anda pasti bahawa mesin akan mengira nilai-nilai ini sendiri dan tidak akan membuat kesilapan, adalah lebih baik untuk menggunakan kaedah matriks atau formula Cramer, kerana penggunaannya bermula dan berakhir dengan pengiraan penentu dan matriks songsang.
Permohonan
Oleh kerana penyelesaian Gaussian adalah algoritma, dan matriks sebenarnya adalah tatasusunan dua dimensi, ia boleh digunakan dalam pengaturcaraan. Tetapi memandangkan artikel itu meletakkan dirinya sebagai panduan "untuk dummies," harus dikatakan bahawa tempat paling mudah untuk meletakkan kaedah itu ialah hamparan, contohnya, Excel. Sekali lagi, mana-mana SLAE yang dimasukkan ke dalam jadual dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai tatasusunan dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka terdapat banyak arahan yang bagus: penambahan (anda hanya boleh menambah matriks saiz yang sama!), pendaraban dengan nombor, pendaraban matriks (juga dengan sekatan tertentu), mencari matriks songsang dan transpos dan, yang paling penting , mengira penentu. Jika tugas yang memakan masa ini digantikan dengan satu arahan, adalah mungkin untuk menentukan kedudukan matriks dengan lebih cepat dan, oleh itu, mewujudkan keserasian atau ketidakserasiannya.
