Rumah Pencegahan Kaedah Cramer untuk mencari matriks songsang. Persamaan linear

Pencegahan

Kaedah Cramer untuk mencari matriks songsang. Persamaan linear

Untuk menguasai perenggan ini, anda mesti dapat mendedahkan penentu "dua dengan dua" dan "tiga dengan tiga". Jika anda teruk dengan kelayakan, sila kaji pelajaran Bagaimana untuk mengira penentu?

Mula-mula kita akan melihat secara terperinci peraturan Cramer untuk sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui. Untuk apa? - Lagipun sistem yang paling mudah boleh diselesaikan kaedah sekolah, dengan kaedah penambahan istilah demi istilah!

Hakikatnya, walaupun kadangkala, tugas sedemikian berlaku - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Kedua, contoh yang lebih mudah akan membantu anda memahami cara menggunakan peraturan Cramer kepada lebih banyak lagi kes kompleks– sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Di samping itu, terdapat sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah, yang dinasihatkan untuk diselesaikan menggunakan peraturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami mengira penentu, ia dipanggil penentu utama sistem.

Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca kita mesti mengira dua lagi penentu:
Dan

Dalam amalan, kelayakan di atas juga boleh ditandakan huruf latin.

Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula:
,

Contoh 7

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Penyelesaian: Kami melihat bahawa pekali persamaan agak besar, di sebelah kanan terdapat perpuluhan dengan koma. Koma adalah tetamu yang agak jarang masuk tugas amali dalam matematik, saya mengambil sistem ini daripada masalah ekonometrik.

Bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian? Anda boleh cuba untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain, tetapi dalam kes ini anda mungkin akan berakhir dengan pecahan mewah yang dahsyat yang sangat menyusahkan untuk digunakan, dan reka bentuk penyelesaian akan kelihatan sangat mengerikan. Anda boleh mendarabkan persamaan kedua dengan 6 dan menolak sebutan dengan sebutan, tetapi pecahan yang sama akan timbul di sini juga.

Apa nak buat? Dalam kes sedemikian, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Jawab: ,

Kedua-dua akar mempunyai ekor yang tidak terhingga dan didapati kira-kira, yang agak boleh diterima (dan juga biasa) untuk masalah ekonometrik.

Komen tidak diperlukan di sini, kerana tugas itu diselesaikan menggunakan formula siap pakai, bagaimanapun, terdapat satu kaveat. Apabila menggunakan kaedah ini, wajib Serpihan reka bentuk tugas ialah serpihan berikut: "Ini bermakna sistem mempunyai penyelesaian yang unik". Jika tidak, penyemak boleh menghukum anda kerana tidak menghormati teorem Cramer.

Ia tidak akan berlebihan untuk menyemak, yang mudah dilakukan pada kalkulator: kami menggantikan nilai anggaran dalam sebelah kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan ralat kecil, anda harus mendapatkan nombor yang berada di sebelah kanan.

Contoh 8

Kemukakan jawapan dalam pecahan tak wajar biasa. Buat pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas(contoh penamat dan jawab pada akhir pelajaran).

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan peraturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami mencari penentu utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian). Dalam kes ini, peraturan Cramer tidak akan membantu; anda perlu menggunakan kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik dan untuk mencari punca kita mesti mengira tiga lagi penentu:
, ,

Dan akhirnya, jawapannya dikira menggunakan formula:

Seperti yang anda lihat, kes "tiga dengan tiga" pada asasnya tidak berbeza daripada kes "dua dua" lajur istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang lajur penentu utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Penyelesaian: Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawab: .

Sebenarnya, di sini sekali lagi tiada apa yang istimewa untuk diulas, kerana penyelesaiannya mengikut formula siap sedia. Tetapi terdapat beberapa komen.

Ia berlaku bahawa sebagai hasil pengiraan, pecahan tidak dapat dikurangkan "buruk" diperoleh, sebagai contoh: .
Saya mengesyorkan algoritma "rawatan" berikut. Jika anda tidak mempunyai komputer di tangan, lakukan ini:

1) Mungkin terdapat ralat dalam pengiraan. Sebaik sahaja anda menemui pecahan "buruk", anda perlu segera menyemak Adakah syarat itu ditulis semula dengan betul?. Jika keadaan itu ditulis semula tanpa ralat, maka anda perlu mengira semula penentu menggunakan pengembangan dalam baris lain (lajur).

2) Jika tiada ralat dikenal pasti hasil daripada semakan, kemungkinan besar terdapat kesilapan menaip dalam keadaan tugas. Dalam kes ini, kerjakan tugas dengan tenang dan BERHATI-HATI hingga akhir, dan kemudian pastikan anda menyemak dan kami melakarnya dalam rekod bersih selepas keputusan itu. Sudah tentu, menyemak jawapan pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi ia akan menjadi hujah yang melucutkan senjata untuk guru, yang sangat suka memberikan tolak untuk mana-mana omong kosong seperti . Cara mengendalikan pecahan diterangkan secara terperinci dalam jawapan kepada Contoh 8.

Jika anda mempunyai komputer di tangan, kemudian gunakan program automatik untuk menyemak, yang boleh dimuat turun secara percuma pada awal pelajaran. Dengan cara ini, adalah paling menguntungkan untuk menggunakan program ini dengan segera (walaupun sebelum memulakan penyelesaian); Kalkulator yang sama mengira secara automatik penyelesaian kepada sistem kaedah matriks.

Teguran kedua. Dari semasa ke semasa terdapat sistem dalam persamaan yang mana beberapa pembolehubah hilang, contohnya:

Di sini dalam persamaan pertama tidak ada pembolehubah, dalam kedua tidak ada pembolehubah. Dalam kes sedemikian, adalah sangat penting untuk menulis penentu utama dengan betul dan TELITI:
– sifar diletakkan di tempat pembolehubah yang hilang.
Ngomong-ngomong, adalah rasional untuk membuka penentu dengan sifar mengikut baris (lajur) di mana sifar terletak, kerana pengiraan yang ketara adalah lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas (sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran).

Untuk kes sistem 4 persamaan dengan 4 tidak diketahui, formula Cramer ditulis mengikut prinsip yang serupa. Anda boleh melihat contoh langsung dalam pelajaran Properties of Determinants. Mengurangkan susunan penentu - lima penentu tertib ke-4 agak boleh diselesaikan. Walaupun tugas itu sudah sangat mengingatkan kasut profesor di dada pelajar bertuah.

Menyelesaikan sistem menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang pada asasnya kes istimewa persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 pelajaran yang ditentukan).

Untuk mengkaji bahagian ini, anda mesti boleh mengembangkan penentu, mencari songsangan matriks, dan melakukan pendaraban matriks. Pautan yang berkaitan akan disediakan semasa penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan kaedah matriks

Penyelesaian: Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks:
, Di mana

Sila lihat sistem persamaan dan matriks. Saya rasa semua orang memahami prinsip yang kita gunakan untuk menulis unsur ke dalam matriks. Satu-satunya ulasan: jika beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan, maka sifar perlu diletakkan di tempat yang sepadan dalam matriks.

Kami mencari matriks songsang menggunakan formula:
, di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.

Pertama, mari kita lihat penentu:

Di sini penentu dikembangkan pada baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks songsang tidak wujud, dan adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah matriks. Dalam kes ini, sistem diselesaikan dengan kaedah menghapuskan yang tidak diketahui (kaedah Gauss).

Sekarang kita perlu mengira 9 minor dan menulisnya ke dalam matriks minor

Rujukan: Adalah berguna untuk mengetahui maksud subskrip berganda dalam algebra linear. Digit pertama ialah nombor baris di mana unsur itu terletak. Digit kedua ialah nombor lajur di mana unsur itu terletak:

Iaitu, subskrip berganda menunjukkan bahawa elemen berada dalam baris pertama, lajur ketiga, dan, sebagai contoh, elemen berada dalam 3 baris, 2 lajur.

Semasa penyelesaian, adalah lebih baik untuk menerangkan pengiraan kanak-kanak di bawah umur secara terperinci, walaupun dengan beberapa pengalaman anda boleh membiasakan diri mengira mereka dengan kesilapan secara lisan.

Pada bahagian pertama, kami melihat beberapa bahan teori, kaedah penggantian, serta kaedah penambahan istilah demi sebutan bagi persamaan sistem. Saya mengesyorkan semua orang yang mengakses tapak melalui halaman ini untuk membaca bahagian pertama. Mungkin sesetengah pelawat akan mendapati bahan itu terlalu mudah, tetapi dalam proses menyelesaikan sistem persamaan linear, saya membuat beberapa ulasan dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematik secara umum.

Sekarang kita akan menganalisis peraturan Cramer, serta menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang (kaedah matriks). Semua bahan dibentangkan secara ringkas, terperinci dan jelas hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem menggunakan kaedah di atas.

Pertama, kita akan melihat dengan lebih dekat peraturan Cramer untuk sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? – Lagipun, sistem yang paling mudah boleh diselesaikan menggunakan kaedah sekolah, kaedah penambahan penggal demi penggal!

Hakikatnya, walaupun kadangkala, tugas sedemikian berlaku - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Kedua, contoh yang lebih mudah akan membantu anda memahami cara menggunakan peraturan Cramer untuk kes yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Di samping itu, terdapat sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah, yang dinasihatkan untuk diselesaikan menggunakan peraturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami mengira penentu, ia dipanggil penentu utama sistem.

Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca kita mesti mengira dua lagi penentu:
Dan

Dalam amalan, kelayakan di atas juga boleh dilambangkan dengan huruf Latin.

Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula:
,

Contoh 7

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Penyelesaian: Kami melihat bahawa pekali persamaan agak besar di sebelah kanan terdapat pecahan perpuluhan dengan koma. Koma adalah tetamu yang agak jarang dalam tugasan praktikal dalam matematik. Saya mengambil sistem ini daripada masalah ekonometrik.

Apa nak buat? Dalam kes sedemikian, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

Jawab: ,

Kedua-dua akar mempunyai ekor yang tidak terhingga dan didapati kira-kira, yang agak boleh diterima (dan juga biasa) untuk masalah ekonometrik.

Ia tidak akan berlebihan untuk menyemak, yang boleh dilakukan dengan mudah pada kalkulator: kami menggantikan nilai anggaran ke sebelah kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan ralat kecil, anda harus mendapatkan nombor yang berada di sebelah kanan.

Contoh 8

Kemukakan jawapan dalam pecahan tak wajar biasa. Buat pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (contoh reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran).

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan peraturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Kami mencari penentu utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik dan untuk mencari punca kita mesti mengira tiga lagi penentu:
, ,

Dan akhirnya, jawapannya dikira menggunakan formula:

Seperti yang anda lihat, kes "tiga dengan tiga" pada asasnya tidak berbeza daripada kes "dua dua" lajur istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang lajur penentu utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Penyelesaian: Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawab: .

Sebenarnya, di sini sekali lagi tiada apa yang istimewa untuk diulas, kerana penyelesaiannya mengikut formula siap sedia. Tetapi terdapat beberapa komen.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas (sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran).

Menyelesaikan sistem menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang pada asasnya adalah kes khas persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 pelajaran yang ditentukan).

Untuk mengkaji bahagian ini, anda mesti boleh mengembangkan penentu, mencari songsangan matriks, dan melakukan pendaraban matriks. Pautan yang berkaitan akan disediakan semasa penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan kaedah matriks

Penyelesaian: Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks:
, Di mana

Kami mencari matriks songsang menggunakan formula:
, di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.

Pertama, mari kita lihat penentu:

Di sini penentu dikembangkan pada baris pertama.

Sekarang kita perlu mengira 9 minor dan menulisnya ke dalam matriks minor

2. Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).
3. Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan.

kaedah Cramer.

Kaedah Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem linear persamaan algebra (SLAU).

Formula menggunakan contoh sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah.
Diberi: Selesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer

Berkenaan pembolehubah X Dan di.
Penyelesaian:
Mari kita cari penentu matriks, terdiri daripada pekali sistem Pengiraan penentu. :

Mari gunakan formula Cramer dan cari nilai pembolehubah:
Dan .
Contoh 1:
Selesaikan sistem persamaan:

berkenaan pembolehubah X Dan di.
Penyelesaian:

Mari kita gantikan lajur pertama dalam penentu ini dengan lajur pekali dari sebelah kanan sistem dan cari nilainya:

Mari lakukannya tindakan yang serupa, menggantikan lajur kedua dalam penentu pertama:

Berkenaan Formula Cramer dan cari nilai pembolehubah:
Dan .
Jawapan:
Ulasan: Kaedah ini boleh menyelesaikan sistem dimensi yang lebih tinggi.

Ulasan: Jika ternyata , tetapi tidak boleh dibahagikan dengan sifar, maka mereka mengatakan bahawa sistem itu tidak mempunyai penyelesaian yang unik. Dalam kes ini, sistem sama ada mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak mempunyai penyelesaian langsung.

Contoh 2(bilangan penyelesaian tidak terhingga):

Selesaikan sistem persamaan:

berkenaan pembolehubah X Dan di.
Penyelesaian:
Mari kita cari penentu matriks, yang terdiri daripada pekali sistem:

Menyelesaikan sistem menggunakan kaedah penggantian.

Persamaan sistem yang pertama ialah kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah (kerana 4 sentiasa sama dengan 4). Ini bermakna hanya tinggal satu persamaan. Ini adalah persamaan untuk hubungan antara pembolehubah.
Kami mendapati bahawa penyelesaian kepada sistem adalah sebarang pasangan nilai pembolehubah yang berkaitan antara satu sama lain oleh kesamaan.
Penyelesaian umum akan ditulis seperti berikut:
Penyelesaian tertentu boleh ditentukan dengan memilih nilai arbitrari y dan mengira x menggunakan kesamaan sambungan ini.

dan lain-lain.
Terdapat banyak penyelesaian sedemikian.
Jawapan: keputusan bersama
Penyelesaian peribadi:

Contoh 3(tiada penyelesaian, sistem tidak serasi):

Selesaikan sistem persamaan:

Penyelesaian:
Mari kita cari penentu matriks, yang terdiri daripada pekali sistem:

Formula Cramer tidak boleh digunakan. Mari selesaikan sistem ini menggunakan kaedah penggantian

Persamaan kedua sistem ialah kesamaan yang tidak benar untuk sebarang nilai pembolehubah (sudah tentu, kerana -15 tidak sama dengan 2). Jika salah satu persamaan sistem tidak benar untuk sebarang nilai pembolehubah, maka keseluruhan sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Jawapan: tiada penyelesaian

Biarkan sistem persamaan linear mengandungi seberapa banyak persamaan sebagai bilangan pembolehubah bebas, i.e. kelihatan seperti

Sistem persamaan linear sedemikian dipanggil kuadratik. Penentu yang terdiri daripada pekali untuk bebas pembolehubah sistem(1.5) dipanggil penentu utama sistem. Kami akan menandakannya dengan huruf Yunani D. Oleh itu,

. (1.6)

Jika penentu utama mengandungi arbitrari ( j ke) lajur, gantikan dengan lajur syarat percuma sistem (1.5), maka anda boleh mendapatkan n kelayakan tambahan:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Peraturan Cramer menyelesaikan sistem kuadratik persamaan linear adalah seperti berikut. Jika penentu utama D sistem (1.5) berbeza daripada sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati menggunakan formula:

(1.8)

Contoh 1.5. Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer

Mari kita hitung penentu utama sistem:

Sejak D¹0, sistem mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati menggunakan formula (1.8):

Oleh itu,

Tindakan pada matriks

1. Mendarab matriks dengan nombor. Operasi mendarab matriks dengan nombor ditakrifkan seperti berikut.

2. Untuk mendarab matriks dengan nombor, anda perlu mendarab semua elemennya dengan nombor ini. Itu dia

. (1.9)

Contoh 1.6. .

Penambahan matriks.

Operasi ini diperkenalkan hanya untuk matriks dengan susunan yang sama.

Untuk menambah dua matriks, adalah perlu untuk menambah unsur-unsur sepadan matriks lain kepada unsur-unsur satu matriks:

(1.10)
Operasi penambahan matriks mempunyai sifat asosiativiti dan komutatif.

Contoh 1.7. .

Pendaraban matriks.

Jika bilangan lajur matriks A bertepatan dengan bilangan baris matriks DALAM, maka untuk matriks sedemikian operasi pendaraban diperkenalkan:

Oleh itu, apabila mendarab matriks A dimensi m´ n kepada matriks DALAM dimensi n´ k kita dapat matriks DENGAN dimensi m´ k. Dalam kes ini, elemen matriks DENGAN dikira menggunakan formula berikut:

Masalah 1.8. Cari, jika boleh, hasil darab matriks AB Dan B.A.:

Penyelesaian. 1) Untuk mencari kerja AB, anda memerlukan baris matriks A darab dengan lajur matriks B:

2) Kerja B.A. tidak wujud, kerana bilangan lajur matriks B tidak sepadan dengan bilangan baris matriks A.

Matriks songsang. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah matriks

Matriks A- 1 dipanggil songsang bagi matriks segi empat sama A, jika kesaksamaan dipenuhi:

melalui mana saya menunjukkan matriks identiti yang sama susunannya dengan matriks A:

Untuk membolehkan matriks segi empat sama mempunyai songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentunya berbeza daripada sifar. Matriks songsang didapati menggunakan formula:

, (1.13)

di mana A ij - penambahan algebra kepada unsur a ij matriks A(perhatikan bahawa penambahan algebra pada baris matriks A terletak dalam matriks songsang dalam bentuk lajur yang sepadan).

Contoh 1.9. Cari matriks songsang A- 1 kepada matriks

Kami mencari matriks songsang menggunakan formula (1.13), yang untuk kes itu n= 3 mempunyai bentuk:

Jom cari det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Oleh kerana penentu matriks asal adalah bukan sifar, matriks songsang wujud.

1) Cari pelengkap algebra A ij:

Untuk kemudahan mencari matriks songsang, kami telah meletakkan penambahan algebra pada baris matriks asal dalam lajur yang sepadan.

Daripada penambahan algebra yang diperoleh, kami menyusun matriks baharu dan membahagikannya dengan det penentu A. Oleh itu, kita mendapat matriks songsang:

Sistem kuadratik persamaan linear dengan penentu utama bukan sifar boleh diselesaikan menggunakan matriks songsang. Untuk melakukan ini, sistem (1.5) ditulis dalam bentuk matriks:

di mana

Mendarab kedua-dua belah kesamaan (1.14) dari kiri dengan A- 1, kami mendapat penyelesaian kepada sistem:

, di mana

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada sistem segi empat sama, anda perlu mencari matriks songsang matriks utama sistem dan darab di sebelah kanan dengan matriks lajur sebutan bebas.

Masalah 1.10. Menyelesaikan sistem persamaan linear

menggunakan matriks songsang.

Penyelesaian. Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks: ,

di mana - matriks utama sistem, - lajur yang tidak diketahui dan - lajur istilah bebas. Sejak penentu utama sistem , maka matriks utama sistem A mempunyai matriks songsang A-1 . Untuk mencari matriks songsang A-1 , kita mengira pelengkap algebra kepada semua elemen matriks A:

Daripada nombor yang diperoleh kita akan menyusun matriks (dan penambahan algebra pada baris matriks A tuliskannya dalam lajur yang sesuai) dan bahagikannya dengan penentu D. Oleh itu, kami telah menemui matriks songsang:

Kami mencari penyelesaian kepada sistem menggunakan formula (1.15):

Oleh itu,

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah penyingkiran Jordan biasa

Biarkan sistem persamaan linear arbitrari (tidak semestinya kuadratik) diberikan:

(1.16)

Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada sistem, i.e. satu set pembolehubah yang memenuhi semua kesamaan sistem (1.16). DALAM kes am sistem (1.16) boleh mempunyai bukan sahaja satu penyelesaian, tetapi juga penyelesaian yang tidak terkira banyaknya. Ia juga mungkin tidak mempunyai penyelesaian sama sekali.

Apabila menyelesaikan masalah sedemikian, yang terkenal kursus sekolah kaedah menghapuskan yang tidak diketahui, yang juga dipanggil kaedah penghapusan Jordan biasa. Intipatinya kaedah ini terletak pada hakikat bahawa dalam salah satu persamaan sistem (1.16) salah satu pembolehubah dinyatakan dalam sebutan pembolehubah lain. Pembolehubah ini kemudiannya digantikan dengan persamaan lain dalam sistem. Hasilnya ialah sistem yang mengandungi satu persamaan dan satu pembolehubah kurang daripada sistem asal. Persamaan dari mana pembolehubah itu dinyatakan diingati.

Proses ini diulang sehingga satu persamaan terakhir kekal dalam sistem. Melalui proses menghapuskan yang tidak diketahui, beberapa persamaan mungkin menjadi identiti sebenar, cth. Persamaan sedemikian dikecualikan daripada sistem, kerana ia berpuas hati untuk sebarang nilai pembolehubah dan, oleh itu, tidak menjejaskan penyelesaian sistem. Jika, dalam proses menghapuskan yang tidak diketahui, sekurang-kurangnya satu persamaan menjadi kesamaan yang tidak dapat dipenuhi untuk sebarang nilai pembolehubah (contohnya), maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Jika tiada persamaan bercanggah timbul semasa penyelesaian, maka salah satu pembolehubah yang tinggal di dalamnya ditemui daripada persamaan terakhir. Jika terdapat hanya satu pembolehubah yang tinggal dalam persamaan terakhir, maka ia dinyatakan sebagai nombor. Jika pembolehubah lain kekal dalam persamaan terakhir, maka ia dianggap parameter, dan pembolehubah yang dinyatakan melaluinya akan menjadi fungsi parameter ini. Kemudian apa yang dipanggil " lejang terbalik" Pembolehubah yang ditemui digantikan ke dalam persamaan yang terakhir diingati dan pembolehubah kedua ditemui. Kemudian kedua-dua pembolehubah yang ditemui digantikan ke dalam persamaan hafalan kedua dan pembolehubah ketiga ditemui, dan seterusnya, sehingga persamaan hafalan pertama.

Hasilnya, kami memperoleh penyelesaian kepada sistem. Penyelesaian ini akan menjadi unik jika pembolehubah yang ditemui ialah nombor. Jika pembolehubah pertama ditemui, dan kemudian semua yang lain, bergantung pada parameter, maka sistem akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga (setiap set parameter sepadan dengan penyelesaian baharu). Formula yang membolehkan anda mencari penyelesaian kepada sistem bergantung pada set parameter tertentu dipanggil penyelesaian umum sistem.

Contoh 1.11.

Selepas menghafal persamaan pertama dan membawa istilah yang sama dalam persamaan kedua dan ketiga kita tiba di sistem:

Jom luahkan y daripada persamaan kedua dan gantikannya ke dalam persamaan pertama:

Mari kita ingat persamaan kedua, dan dari yang pertama kita dapati z:

Bekerja ke belakang, kami secara konsisten dapati y Dan z. Untuk melakukan ini, kita mula-mula menggantikan ke dalam persamaan terakhir yang diingati, dari mana kita dapati y:

Kemudian kita menggantikannya ke dalam persamaan pertama yang diingati di mana kita boleh menemuinya x:

Masalah 1.12. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghapuskan yang tidak diketahui:

. (1.17)

Penyelesaian. Mari kita nyatakan pembolehubah daripada persamaan pertama x dan gantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

Mari kita ingat persamaan pertama

Dalam sistem ini, persamaan pertama dan kedua bercanggah antara satu sama lain. Memang meluahkan y , kita dapat 14 = 17. Kesamaan ini tidak berlaku untuk sebarang nilai pembolehubah x, y, Dan z. Akibatnya, sistem (1.17) tidak konsisten, i.e. tiada penyelesaian.

Kami menjemput pembaca untuk menyemak sendiri bahawa penentu utama sistem asal (1.17) adalah sama dengan sifar.

Mari kita pertimbangkan sistem yang berbeza daripada sistem (1.17) dengan hanya satu istilah bebas.

Masalah 1.13. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghapuskan yang tidak diketahui:

. (1.18)

Penyelesaian. Seperti sebelum ini, kami menyatakan pembolehubah dari persamaan pertama x dan gantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

Mari kita ingat persamaan pertama dan mengemukakan sebutan serupa dalam persamaan kedua dan ketiga. Kami tiba di sistem:

Menyatakan y daripada persamaan pertama dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua , kita mendapat identiti 14 = 14, yang tidak menjejaskan penyelesaian sistem, dan, oleh itu, ia boleh dikecualikan daripada sistem.

Dalam kesamaan yang diingati terakhir, pembolehubah z kami akan menganggapnya sebagai parameter. Kami percaya. Kemudian

Mari kita ganti y Dan z ke dalam persamaan pertama diingati dan mencari x:

Oleh itu, sistem (1.18) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, dan sebarang penyelesaian boleh didapati menggunakan formula (1.19), memilih nilai arbitrari parameter. t:

(1.19)
Jadi penyelesaian sistem, sebagai contoh, ialah set pembolehubah berikut (1; 2; 0), (2; 26; 14), dsb. Formula (1.19) menyatakan penyelesaian umum (mana-mana) sistem (1.18 ).

Dalam kes apabila sistem asal (1.16) mempunyai bilangan persamaan yang cukup besar dan tidak diketahui, kaedah penyingkiran Jordan biasa yang ditunjukkan kelihatan menyusahkan. Walau bagaimanapun, ia tidak. Ia cukup untuk mendapatkan algoritma untuk mengira semula pekali sistem pada satu langkah masuk Pandangan umum dan merumuskan penyelesaian kepada masalah tersebut dalam bentuk jadual khas Jordan.

Biarkan sistem bentuk linear (persamaan) diberikan:

, (1.20)
di mana x j- pembolehubah bebas (dicari), a ij- kemungkinan berterusan
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Bahagian kanan sistem y i (i = 1, 2,…, m) boleh sama ada pembolehubah (bergantung) atau pemalar. Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada sistem ini dengan menghapuskan yang tidak diketahui.

Mari kita pertimbangkan operasi berikut, yang seterusnya dipanggil "satu langkah penyingkiran Jordan biasa". Dari sewenang-wenangnya ( r kesamaan kita menyatakan pembolehubah arbitrari ( xs) dan gantikan kepada semua persamaan lain. Sudah tentu, ini hanya mungkin jika a rs¹ 0. Pekali a rs dipanggil elemen penyelesaian (kadang-kadang membimbing atau utama).

Kami akan dapat sistem berikut:

. (1.21)

daripada s- kesamaan sistem (1.21), kami kemudiannya mencari pembolehubah xs(selepas pembolehubah yang tinggal ditemui). S Baris -th diingati dan kemudiannya dikecualikan daripada sistem. Sistem selebihnya akan mengandungi satu persamaan dan satu pembolehubah tidak bersandar kurang daripada sistem asal.

Mari kita hitung pekali sistem yang terhasil (1.21) melalui pekali sistem asal (1.20). Mari kita mulakan dengan r persamaan ke, yang selepas menyatakan pembolehubah xs melalui pembolehubah yang tinggal ia akan kelihatan seperti ini:

Oleh itu, pekali baru r persamaan dikira menggunakan formula berikut:

(1.23)
Sekarang mari kita mengira pekali baru b ij(i¹ r) persamaan sewenang-wenangnya. Untuk melakukan ini, mari kita gantikan pembolehubah yang dinyatakan dalam (1.22) xs V i persamaan sistem (1.20):

Selepas membawa istilah yang sama, kami mendapat:

(1.24)
Daripada kesamaan (1.24) kita memperoleh formula yang menggunakan pekali baki sistem (1.21) dikira (dengan pengecualian r persamaan ke):

(1.25)
Transformasi sistem persamaan linear dengan kaedah penghapusan Jordan biasa dibentangkan dalam bentuk jadual (matriks). Jadual ini dipanggil "Jordan tables".

Oleh itu, masalah (1.20) dikaitkan dengan jadual Jordan berikut:

Jadual 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a ialah		a dalam
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		sebuah rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		seorang mj		seorang ms		seorang mn

Jadual Jordan 1.1 mengandungi lajur pengepala kiri di mana bahagian kanan sistem (1.20) ditulis dan baris pengepala atas di mana pembolehubah bebas ditulis.

Unsur-unsur selebihnya jadual membentuk matriks utama pekali sistem (1.20). Jika anda mendarabkan matriks A kepada matriks yang terdiri daripada unsur-unsur baris tajuk atas, anda mendapat matriks yang terdiri daripada unsur-unsur lajur tajuk kiri. Iaitu, pada asasnya, jadual Jordan ialah bentuk matriks untuk menulis sistem persamaan linear: . Sistem (1.21) sepadan dengan jadual Jordan berikut:

Jadual 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b ialah		b dalam
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Unsur permisif a rs Kami akan menyerlahkannya dalam huruf tebal. Ingat bahawa untuk melaksanakan satu langkah penghapusan Jordan, elemen penyelesaian mestilah bukan sifar. Baris jadual yang mengandungi elemen pemboleh dipanggil baris pemboleh. Lajur yang mengandungi elemen dayakan dipanggil lajur dayakan. Apabila berpindah dari jadual tertentu ke jadual seterusnya, satu pembolehubah ( xs) dari baris pengepala atas jadual dialihkan ke lajur pengepala kiri dan, sebaliknya, salah satu ahli bebas sistem ( y r) bergerak dari lajur kepala kiri jadual ke baris kepala atas.

Mari kita huraikan algoritma untuk mengira semula pekali apabila bergerak dari jadual Jordan (1.1) ke jadual (1.2), yang mengikuti daripada formula (1.23) dan (1.25).

1. Elemen penyelesaian digantikan dengan nombor songsang:

2. Baki elemen rentetan penyelesaian dibahagikan kepada elemen penyelesaian dan tukar tanda kepada sebaliknya:

3. Elemen baki lajur resolusi dibahagikan kepada elemen resolusi:

4. Elemen yang tidak termasuk dalam baris membenarkan dan lajur membenarkan dikira semula menggunakan formula:

Formula terakhir mudah diingat jika anda perasan bahawa unsur-unsur yang membentuk pecahan , berada di persimpangan i-oh dan r baris ke dan j ke dan s lajur ke (menyelesaikan baris, menyelesaikan lajur, dan baris dan lajur di persimpangan di mana elemen yang dikira semula terletak). Lebih tepat lagi, apabila menghafal formula anda boleh menggunakan rajah berikut:

-21 -26 -13 -37

Apabila melakukan langkah pertama pengecualian Jordan, anda boleh memilih mana-mana elemen Jadual 1.3 yang terdapat dalam lajur sebagai elemen penyelesaian x 1 ,…, x 5 (semua elemen yang dinyatakan bukan sifar). Anda tidak seharusnya hanya memilih elemen pemboleh dalam lajur terakhir, kerana anda perlu mencari pembolehubah bebas x 1 ,…, x 5 . Sebagai contoh, kita memilih pekali 1 dengan pembolehubah x 3 dalam baris ketiga Jadual 1.3 (elemen pemboleh ditunjukkan dalam huruf tebal). Apabila beralih ke jadual 1.4, pembolehubah x 3 dari baris pengepala atas ditukar dengan pemalar 0 lajur pengepala kiri (baris ketiga). Dalam kes ini, pembolehubah x 3 dinyatakan melalui pembolehubah yang tinggal.

Tali x 3 (Jadual 1.4) boleh, selepas mengingati terlebih dahulu, dikecualikan daripada Jadual 1.4. Lajur ketiga dengan sifar dalam baris tajuk atas juga dikecualikan daripada Jadual 1.4. Intinya ialah tanpa mengira pekali lajur yang diberikan b i 3 semua sebutan yang sepadan bagi setiap persamaan 0 b i 3 sistem akan sama dengan sifar. Oleh itu, pekali ini tidak perlu dikira. Menghapuskan satu pembolehubah x 3 dan mengingati salah satu persamaan, kita tiba pada sistem yang sepadan dengan Jadual 1.4 (dengan garis yang dicoret x 3). Memilih dalam jadual 1.4 sebagai elemen penyelesaian b 14 = -5, pergi ke jadual 1.5. Dalam Jadual 1.5, ingat baris pertama dan kecualikan ia daripada jadual bersama-sama lajur keempat (dengan sifar di bahagian atas).

Jadual 1.5 Jadual 1.6

Daripada jadual terakhir 1.7 kita dapati: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Menggantikan pembolehubah yang telah dijumpai secara konsisten ke dalam baris yang diingati, kita dapati pembolehubah yang tinggal:

Oleh itu, sistem mempunyai banyak penyelesaian. Pembolehubah x 5, nilai sewenang-wenangnya boleh diberikan. Pembolehubah ini bertindak sebagai parameter x 5 = t. Kami membuktikan keserasian sistem dan menemui penyelesaian umumnya:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Memberi parameter t nilai yang berbeza, kita akan memperoleh bilangan penyelesaian yang tidak terhingga kepada sistem asal. Jadi, sebagai contoh, penyelesaian kepada sistem ialah set pembolehubah berikut (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Dengan bilangan persamaan yang sama dengan bilangan yang tidak diketahui dengan penentu utama matriks, yang tidak sama dengan sifar, pekali sistem (untuk persamaan tersebut terdapat penyelesaian dan hanya ada satu).

Teorem Cramer.

Apabila penentu matriks sistem segi empat sama bukan sifar, ia bermakna sistem itu konsisten dan ia mempunyai satu penyelesaian dan ia boleh didapati dengan Formula Cramer:

di mana Δ - penentu matriks sistem,

Δ i ialah penentu matriks sistem, di mana bukannya i Lajur ke-mengandungi lajur sebelah kanan.

Apabila penentu sistem adalah sifar, ia bermakna sistem itu boleh menjadi koperasi atau tidak serasi.

Kaedah ini biasanya digunakan untuk sistem kecil dengan pengiraan isipadu dan jika dan bila perlu untuk menentukan salah satu yang tidak diketahui. Kerumitan kaedah adalah bahawa banyak penentu perlu dikira.

Penerangan kaedah Cramer.

Terdapat sistem persamaan:

Sistem 3 persamaan boleh diselesaikan menggunakan kaedah Cramer, yang telah dibincangkan di atas untuk sistem 2 persamaan.

Kami menyusun penentu daripada pekali yang tidak diketahui:

Ia akan menjadi penentu sistem. Bila D≠0, yang bermaksud sistem adalah konsisten. Sekarang mari kita buat 3 penentu tambahan:

Kami menyelesaikan sistem dengan Formula Cramer:

Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer.

Contoh 1.

Sistem yang diberikan:

Mari selesaikan menggunakan kaedah Cramer.

Mula-mula anda perlu mengira penentu matriks sistem:

Kerana Δ≠0, yang bermaksud bahawa dari teorem Cramer sistem adalah konsisten dan ia mempunyai satu penyelesaian. Kami mengira penentu tambahan. Penentu Δ 1 diperoleh daripada penentu Δ dengan menggantikan lajur pertamanya dengan lajur pekali bebas. Kita mendapatkan: