Matlamat akhir analisis ACS adalah untuk menyelesaikan (jika boleh) atau mengkaji persamaan pembezaan sistem secara keseluruhan. Biasanya persamaan pautan individu yang membentuk ACS diketahui, dan tugas perantaraan untuk mendapatkan persamaan pembezaan sistem daripada DE yang diketahui pautannya timbul. Dalam bentuk klasik mewakili DE, tugas ini penuh dengan kesukaran yang ketara. Menggunakan konsep fungsi pemindahan sangat memudahkannya.

Biarkan beberapa sistem diterangkan dengan persamaan pembezaan bentuk.

Dengan memperkenalkan tatatanda = p, di mana p dipanggil operator, atau simbol, pembezaan, dan kini menganggap simbol ini sebagai nombor algebra biasa, selepas mengeluarkan x dan x masuk daripada kurungan, kita dapat persamaan pembezaan sistem ini dalam bentuk operator:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x keluar = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x masuk. (3.38)

Polinomial dalam p pada nilai keluaran ialah

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

dipanggil eigenoperator, dan polinomial pada nilai input dipanggil pengendali pengaruh

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Fungsi pemindahan ialah nisbah pengendali pengaruh kepada pengendali sendiri:

W(p) = K(p)/D(p) = x keluar / x masuk. (3.41)

Dalam perkara berikut, kita akan hampir di mana-mana menggunakan bentuk operator untuk menulis persamaan pembezaan.

Jenis sambungan pautan dan algebra fungsi pemindahan.

Mendapatkan fungsi pemindahan sistem kawalan automatik memerlukan pengetahuan tentang peraturan untuk mencari fungsi pemindahan kumpulan pautan di mana pautan disambungkan antara satu sama lain dengan cara tertentu. Terdapat tiga jenis sambungan.

1. Berurutan, di mana output pautan sebelumnya adalah input untuk yang seterusnya (Rajah 3.12):

x keluar

nasi. 3.14. Back-to-back - sambungan selari.

Bergantung pada sama ada isyarat maklum balas x ditambah kepada isyarat input xin atau ditolak daripadanya, maklum balas positif dan negatif dibezakan.

Masih berdasarkan sifat fungsi pemindahan, kita boleh menulis

W 1 (p) =x keluar /(x dalam ±x); W 2 (p) = x/x keluar; W c =x keluar / x masuk. (3.44)

Menghapuskan koordinat dalaman x daripada dua persamaan pertama, kita memperoleh fungsi pemindahan untuk sambungan sedemikian:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Perlu diingat bahawa dalam ungkapan terakhir tanda tambah sepadan dengan negatif maklum balas.

Dalam kes apabila pautan mempunyai beberapa input (seperti, sebagai contoh, objek kawalan), beberapa fungsi pemindahan pautan ini dipertimbangkan, sepadan dengan setiap input, contohnya, jika persamaan pautan mempunyai bentuk

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

dengan K x (p) dan K z (p) masing-masing adalah pengendali pengaruh pada input x dan z, maka pautan ini mempunyai fungsi pemindahan pada input x dan z:

W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)

Pada masa hadapan, untuk mengurangkan entri dalam ungkapan fungsi pemindahan dan pengendali yang sepadan, kami akan meninggalkan hujah "p".

Daripada pertimbangan bersama ungkapan (3.46) dan (3.47) berikutan itu

y = W x x+W z z, (3.48)

iaitu dalam kes am nilai output mana-mana pautan dengan beberapa input adalah sama dengan jumlah produk nilai input dan fungsi pemindahan untuk input yang sepadan.

Fungsi penghantaran SAR atas kemarahan.

Bentuk biasa struktur ACS, beroperasi pada sisihan pembolehubah terkawal, adalah seperti berikut:

W o z =K z /D objek W o x =K x /D

W p y

z

y

-x

Rajah.3.15. ATS ditutup.

Mari kita perhatikan fakta bahawa pengaruh pengawalseliaan digunakan pada objek dengan tanda yang berubah. Sambungan antara output objek dan inputnya melalui pengawal selia dipanggil yang utama maklum balas(berbanding kemungkinan maklum balas tambahan dalam pengawal selia itu sendiri). Menurut maksud peraturan yang sangat falsafah, tindakan pengawal selia adalah bertujuan pengurangan sisihan pembolehubah terkawal, dan oleh itu maklum balas utama sentiasa negatif. Dalam Rajah. 3.15:

W o z - pemindahan fungsi objek melalui gangguan;

W o x - fungsi pemindahan objek mengikut pengaruh pengawalseliaan;

W p y - fungsi pemindahan pengawal mengikut sisihan y.

Persamaan pembezaan tumbuhan dan pengawal kelihatan seperti ini:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3.49)

Menggantikan x daripada persamaan kedua ke dalam kumpulan pertama dan melaksanakan, kita memperoleh persamaan ATS:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

Oleh itu fungsi pemindahan ACS untuk gangguan

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

Dengan cara yang sama, anda boleh mendapatkan fungsi pemindahan ACS untuk tindakan kawalan:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

di mana W p u ialah fungsi pemindahan pengawal mengikut tindakan kawalan.

3.4 Ayunan paksa dan ciri frekuensi ACS.

Dalam keadaan operasi sebenar, ACS sering terdedah kepada daya gangguan berkala, yang disertai dengan perubahan berkala dalam kuantiti terkawal dan pengaruh pengawalseliaan. Ini adalah, sebagai contoh, getaran kapal ketika belayar di laut bergelora, turun naik dalam kelajuan putaran kipas dan kuantiti lain. Dalam sesetengah kes, amplitud ayunan kuantiti keluaran sistem boleh mencapai nilai yang tidak boleh diterima besar, dan ini sepadan dengan fenomena resonans. Akibat resonans selalunya membawa bencana kepada sistem yang mengalaminya, sebagai contoh, kapal terbalik, memusnahkan enjin. Dalam sistem kawalan, fenomena sebegitu mungkin berlaku apabila sifat elemen berubah akibat haus, penggantian, konfigurasi semula atau kegagalan. Kemudian terdapat keperluan untuk sama ada menentukan julat keadaan operasi yang selamat atau mengkonfigurasi ATS dengan betul. Isu-isu ini akan dipertimbangkan di sini kerana ia digunakan untuk sistem linear.

Biarkan beberapa sistem mempunyai struktur yang ditunjukkan di bawah:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Rajah.3.16. ACS dalam mod ayunan paksa.

Jika sistem tertakluk kepada pengaruh berkala x dengan amplitud A x dan frekuensi bulat w, maka selepas tamat proses peralihan, ayunan frekuensi yang sama dengan amplitud A y dan beralih relatif kepada ayunan input oleh sudut fasa j akan ditetapkan pada output. Parameter ayunan keluaran (amplitud dan anjakan fasa) bergantung pada kekerapan daya penggerak. Tugasnya adalah untuk menentukan parameter ayunan keluaran daripada parameter ayunan yang diketahui pada input.

Selaras dengan fungsi pemindahan ACS yang ditunjukkan dalam Rajah 3.14, persamaan pembezaannya mempunyai bentuk

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Mari kita gantikan kepada (3.53) ungkapan untuk x dan y yang ditunjukkan dalam Rajah. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Jika kita menganggap corak ayunan dialihkan oleh satu perempat daripada tempoh, maka dalam persamaan (3.54) fungsi sinus akan digantikan dengan fungsi kosinus:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Mari kita darabkan persamaan (3.54) dengan i = dan tambah hasilnya dengan (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Menggunakan formula Euler

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Mari kita kurangkan persamaan (3.56) kepada bentuk

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Mari kita laksanakan operasi pembezaan berkenaan dengan masa yang disediakan oleh operator p=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3.58)

Selepas transformasi mudah yang berkaitan dengan pengurangan oleh exp(iwt), kami memperoleh

Bahagian kanan ungkapan (3.59) adalah serupa dengan ungkapan fungsi pemindahan ACS dan boleh diperoleh daripadanya dengan menggantikan p=iw. Dengan analogi, ia dipanggil fungsi pemindahan kompleks W(iw), atau ciri fasa amplitud (APC). Istilah tindak balas frekuensi juga sering digunakan. Adalah jelas bahawa pecahan ini ialah fungsi hujah yang kompleks dan juga boleh diwakili dalam bentuk ini:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

di mana M(w) dan N(w) ialah ciri frekuensi nyata dan khayalan, masing-masing.

Nisbah A y / A x ialah modulus AFC dan merupakan fungsi frekuensi:

A y / A x = R (w)

dan dipanggil tindak balas frekuensi amplitud (AFC). fasa

anjakan j =j (w) juga merupakan fungsi frekuensi dan dipanggil tindak balas frekuensi fasa (PFC). Dengan mengira R(w) dan j(w) untuk julat frekuensi (0…¥), adalah mungkin untuk membina graf AFC pada satah kompleks dalam koordinat M(w) dan iN(w) (Rajah 3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω res

Rajah.3.18. Ciri-ciri frekuensi amplitud.

Tindak balas frekuensi sistem 1 menunjukkan puncak resonans sepadan dengan amplitud terbesar ayunan paksa. Bekerja di kawasan berhampiran frekuensi resonans boleh mendatangkan bencana dan selalunya tidak boleh diterima sepenuhnya oleh peraturan pengendalian objek terkawal tertentu. Jenis tindak balas frekuensi 2 tidak mempunyai puncak resonans dan lebih disukai untuk sistem mekanikal. Ia juga boleh dilihat bahawa apabila kekerapan meningkat, amplitud ayunan keluaran berkurangan. Secara fizikal, ini mudah dijelaskan: mana-mana sistem, disebabkan sifat inersia yang wujud, lebih mudah tertakluk kepada ayunan dengan frekuensi rendah berbanding dengan frekuensi tinggi. Bermula pada frekuensi tertentu, ayunan keluaran menjadi diabaikan dan frekuensi ini dipanggil frekuensi cutoff, dan julat frekuensi di bawah frekuensi cutoff dipanggil lebar jalur. Dalam teori kawalan automatik, kekerapan cutoff diambil sebagai satu di mana nilai tindak balas frekuensi adalah 10 kali kurang daripada pada frekuensi sifar. Sifat sistem untuk melembapkan getaran frekuensi tinggi dipanggil sifat penapis laluan rendah.

Mari kita pertimbangkan kaedah pengiraan tindak balas frekuensi menggunakan contoh pautan tertib kedua, persamaan pembezaan yang

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

Dalam masalah ayunan paksa, bentuk persamaan yang lebih visual sering digunakan

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

di mana dipanggil frekuensi semula jadi ayunan tanpa ketiadaan redaman, x =T 1 w 0 /2 ialah pekali redaman.

Fungsi pemindahan kelihatan seperti ini:

Dengan menggantikan p = iw kita memperoleh ciri fasa amplitud

Menggunakan peraturan untuk membahagi nombor kompleks, kami memperoleh ungkapan untuk tindak balas frekuensi:

Mari kita tentukan frekuensi resonans di mana tindak balas frekuensi mempunyai maksimum. Ini sepadan dengan penyebut minimum ungkapan (3.66). Menyamakan terbitan penyebut berkenaan dengan kekerapan w kepada sifar, kita mempunyai:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

dari mana kita memperoleh nilai frekuensi resonans, yang tidak sama dengan sifar:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Mari analisa ungkapan ini, yang mana kita mempertimbangkan kes individu yang sepadan dengan nilai pekali pengecilan yang berbeza.

1. x = 0. Kekerapan resonans adalah sama dengan frekuensi semula jadi, dan magnitud tindak balas frekuensi bertukar kepada infiniti. Ini adalah kes yang dipanggil resonans matematik.

2. . Oleh kerana kekerapan dinyatakan sebagai nombor positif, dan daripada (68) untuk kes ini sama ada sifar atau nombor khayalan diperoleh, ia berikutan bahawa pada nilai pekali pengecilan sedemikian, tindak balas frekuensi tidak mempunyai puncak resonans (lengkung). 2 dalam Rajah 3.18).

3. . Tindak balas frekuensi mempunyai puncak resonan, dan dengan penurunan dalam pekali pengecilan, frekuensi resonan menghampirinya sendiri dan puncak resonan menjadi lebih tinggi dan lebih tajam.

Pautan biasa sistem linear boleh ditentukan dalam pelbagai cara yang setara, khususnya menggunakan fungsi pemindahan yang dipanggil, yang, sebagai peraturan, mempunyai bentuk pecahan-rasional, i.e. iaitu nisbah dua polinomial:

dengan b i dan a j ialah pekali polinomial. Inilah yang dipanggil parameter fungsi pemindahan atau pautan.

Fungsi pemindahan menghubungkan imej Y(p) isyarat keluaran y(t) pautan dengan imej X(p) isyarat masukannya x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

mereka. membolehkan anda mencari keluaran y(t) daripada sebarang isyarat input yang diketahui x(t). Ini bermakna bahawa dari sudut pandangan TAU, fungsi pemindahan sepenuhnya mencirikan sistem kawalan atau pautannya. Perkara yang sama boleh dikatakan berkenaan dengan set pekali polinomial pengangka dan penyebut fungsi pemindahan.

Fungsi pemindahan pautanW(hlm) ialah nisbah penjelmaan Laplace bagi kuantiti keluaran kepada penjelmaan Laplace bagi kuantiti input

2. Maklumat ringkas tentang pautan kedudukan

Pautan kedudukan termasuk pautan dinamik biasa berikut:

Pautan tidak inersia,

Pautan aperiodik urutan pertama,

Pautan aperiodik urutan kedua,

Pautan berayun

Pautan konservatif.

Ciri-ciri masa pautan kedudukan diringkaskan dalam Jadual. 1. Fungsi pemindahan pautan juga ditunjukkan di sini.

A).Pautan tidak inersia.

Pautan ini diterangkan bukan sahaja dalam statik, tetapi juga dalam dinamik oleh persamaan algebra

X keluar = k x input (2.1)

Fungsi pemindahan pautan adalah sama dengan nilai malar

W(p) = x keluar (p)/x input (p) = k (2.2)

Contoh pautan sedemikian ialah: kotak gear mekanikal (tanpa mengambil kira fenomena berpusing dan tindak balas), penguat elektronik bebas inersia (jalur lebar), pembahagi voltan, dll. Banyak penderia isyarat, seperti penderia potensiometri, penderia aruhan, pengubah berputar dan penyegerak, fotosel, dsb., juga boleh dianggap sebagai pautan bebas inersia.

Secara umum, pautan bebas inersia ialah idealisasi tertentu pautan sebenar. Malah, semua pautan dicirikan oleh beberapa inersia, jadi tidak satu pautan pun dapat melepasi semua frekuensi secara seragam dari 0 hingga . Biasanya salah satu pautan sebenar yang dibincangkan di bawah, contohnya, aperiodik atau berayun, dikurangkan kepada jenis pautan ini, jika pengaruh proses dinamik dalam pautan ini (iaitu, pemalar masa) boleh diabaikan.

b)Pautan aperiodik pesanan pertama

Pautan ini diterangkan oleh persamaan pembezaan

, (2.3)

di mana T- pemalar masa, s,

k- pekali penghantaran pautan.

Fungsi pemindahan pautan mempunyai bentuk

(2.4)

Pautan aperiodik ialah pautan yang paling mudah daripada pautan yang mempunyai inersia. Malah, pautan ini tidak serta-merta, pada mulanya dengan cepat, dan kemudian semakin beransur-ansur bertindak balas terhadap pengaruh berperingkat. Ini berlaku kerana dalam asal fizikal pautan aperiodik terdapat satu elemen terkumpul (serta satu atau lebih elemen yang memakan tenaga), tenaga yang disimpan di dalamnya tidak boleh berubah secara tiba-tiba dalam masa - ini memerlukan kuasa yang tidak terhingga.

Contoh pautan aperiodik tertib pertama termasuk: motor dari sebarang jenis (elektrik, hidraulik, pneumatik), penjana DC, elektrik R.C.- Dan LR- litar, penguat magnet, tangki gas, relau pemanas. Proses kerja dalam unit ini diterangkan oleh persamaan umum (2.3).

V)Pautan aperiodik urutan ke-2

Persamaan pembezaan pautan mempunyai bentuk:

(2.5)

Dalam kes ini, punca-punca persamaan ciri

hlm 2 + T 1  hlm+1=0 (2.6)

mesti nyata, yang akan berpuas hati di bawah syarat

T 1  2  T 2 (2.7)

Kami akan menganggap bahawa proses yang berlaku dalam ACS diterangkan oleh persamaan pembezaan linear dengan pekali malar. Oleh itu, kami akan mengehadkan diri kami untuk mempertimbangkan ACS linear dengan parameter malar, i.e. parameter yang tidak bergantung pada masa atau keadaan sistem.

Biarkan untuk sistem dinamik (lihat rajah)

persamaan pembezaan ditulis dalam bentuk operator

di mana D(P) dan M(P) ialah polinomial dalam P.

P – pengendali pembezaan;

x(t) – koordinat keluaran sistem;

g(t) – pengaruh input.

Mari kita ubah (1) mengikut Laplace, dengan mengandaikan keadaan awal sifar.

Mari kita perkenalkan notasi

;
,

kita dapat, dengan mengambil kira itu

Kami menggunakan notasi

, (5)

maka persamaan (3) akan mengambil bentuk:

. (6)

Persamaan (6) menghubungkan imej X (S) koordinat keluaran sistem dengan imej G(S) tindakan input. Fungsi Ф(S) mencirikan sifat dinamik sistem. Seperti berikut dari (4) dan (5), fungsi ini tidak bergantung pada impak yang dikenakan pada sistem, tetapi hanya bergantung pada parameter sistem. Mengambil kira (6) fungsi F(S) boleh ditulis seperti berikut

Fungsi Ф(S) dipanggil fungsi pemindahan sistem. Daripada (7) adalah jelas bahawa fungsi pemindahan ialah nisbah imej Laplace bagi koordinat input sistem kepada imej Laplace bagi tindakan input di bawah keadaan awal sifar.

Mengetahui fungsi pemindahan sistem Ф(S) Setelah menentukan imej G(S) pengaruh g(t) yang digunakan pada sistem, seseorang boleh mencari daripada (6) imej X(S) koordinat keluaran sistem x (t), kemudian, bergerak dari imej X(S) kepada x(t) asal mendapatkan proses menukar koordinat keluaran sistem apabila pengaruh input digunakan pada sistem ini.

Polinomial dalam penyebut fungsi pemindahan dipanggil polinomial ciri, dan persamaan

persamaan ciri.

Untuk sistem yang diterangkan oleh persamaan tertib ke-n, persamaan ciri ialah persamaan algebra bagi darjah ke-n dan mempunyai n punca, S 1 S 2... S n, antaranya boleh terdapat konjugat nyata dan kompleks.

Akar polinomial dalam penyebut fungsi pemindahan dipanggil kutub fungsi pemindahan ini, dan dalam pengangka - sifar.

Mari kita wakili polinomial dalam bentuk:

Oleh itu fungsi pemindahan

. (11)

Ia berikutan menyatakan sifar dan kutub menentukan fungsi pemindahan sehingga faktor malar .

Dalam kes apabila bahagian sebenar semua kutub fungsi pemindahan adalah negatif, i.e.

, k=1,2…n, sistem itu dipanggil stabil. Di dalamnya, komponen peralihan kuantiti keluaran (gerakan yang betul) memudar dari semasa ke semasa.

Ciri frekuensi sistem

Penukaran isyarat input harmonik oleh sistem linear

Fungsi pemindahan sistem automatik berkenaan dengan tindakan kawalan g(t) ialah

(1)

Biar kesannya

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

Dan ia diperlukan untuk menentukan perubahan dalam X(t) dalam proses yang mantap, i.e. Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan (1), yang dibincangkan sebelum ini.

Ambil perhatian bahawa akibat daripada penggunaan pengaruh, proses sementara berlaku dalam sistem, yang cenderung kepada 0 dari semasa ke semasa, kerana sistem diandaikan stabil. Kami tidak mempertimbangkannya. Peralihan sedemikian membolehkan kita mempertimbangkan tindakan g(t) seperti yang dinyatakan pada keseluruhan paksi masa (momen awal penggunaan tindakan kawalan pada sistem tidak dipertimbangkan) dan menggunakan ungkapan yang diperoleh sebelum ini untuk ciri spektrum sinusoid. .

Untuk menentukan x(t) dalam keadaan mantap, kita mengubah kedua-dua belah persamaan pembezaan (1) mengikut Fourier. Dengan ini kami maksudkan bahawa

;

,

perasan, bahawa

fungsi pemindahan di mana S

Selain itu

Kemudian ciri spektrum ayunan paksa kuantiti terkawal ditentukan daripada (3) dalam bentuk

Dalam (4) pengganda berfungsi Ф(jω) mengambil kira perubahan dalam ciri spektrum apabila pengaruh g(t) melalui sistem dinamik linear.

Cuba kita bayangkan fungsi kompleks Ф(jω) dalam bentuk demonstrasi

dan cari x(t) menggunakan formula transformasi Fourier songsang:

menggunakan sifat penapisan fungsi delta, dan mengambil kira (5), kita akan mempunyai

Kerana
,,

(6)

Ia berikutan bahawa dalam keadaan mantap tindak balas x(t) sistem automatik linear kepada pengaruh sinusoidal juga merupakan sinusoid. Frekuensi sudut isyarat input dan output adalah sama. Amplitud pada keluaran sistem ialah A 1 │ Ф(jω)│, dan fasa awal ialah arg Ф(jω).

Jika input sistem linear menerima pengaruh berkala dalam bentuk

,

maka, dengan menggunakan prinsip superposisi, yang sah untuk sistem linear, kita dapati bahawa dalam kes ini gerakan mantap paksa sistem

(7)

Selain itu, nilai ω di sini harus diberikan nilai diskret, i.e. andaikan ω=kω 1

Mengetahui spektrum frekuensi isyarat input, anda boleh dengan mudah menentukan spektrum frekuensi isyarat pada input sistem. Jika, sebagai contoh, spektrum frekuensi amplitud A k bagi isyarat input g(t) diketahui, maka spektrum frekuensi amplitud bagi isyarat output ialah A k │ Ф(jkω 1 ) │.

Dalam ungkapan yang dipertimbangkan, fungsi Ф(jω) mencirikan sifat dinamik sistem automatik itu sendiri dan tidak bergantung pada sifat pengaruh yang digunakan pada sistem. Ia boleh didapati dengan mudah daripada fungsi pemindahan dengan menggantikan S secara rasmi dengan jω

Fungsi Ф(jω) daripada hujah berterusan ω dipanggil ciri fasa amplitud sistem AFC berhubung dengan tindakan kawalan g(t) yang digunakan pada sistem.

Berdasarkan (3), AFC juga boleh ditakrifkan sebagai nisbah ciri spektrum isyarat pada inputnya. Modul AF  Ф(j )  mencirikan perubahan dalam amplitud isyarat harmonik semasa ia melalui sistem, dan hujahnya ialah anjakan fasa isyarat.

Fungsi  Ф(j ) menerima nama tindak balas frekuensi amplitud (AFC), dan fungsi arg Ф(j ) – tindak balas frekuensi fasa (PFC).

Biarkan pengaruh g(t) yang digunakan pada sistem automatik menjadi harmonik kompleks dengan frekuensi  1, i.e.

Tindak balas sistem terhadap kesan sedemikian dalam keadaan mantap ditentukan oleh kesaksamaan

Atau menggunakan formula Euler

dan juga itu

;

Kami akan mencari kamiran di sebelah kanan kesamaan menggunakan sifat penapisan fungsi delta.

mentakrifkan dalam bentuk kompleks tindak balas keadaan mantap sistem untuk mempengaruhi dalam bentuk harmonik kompleks dengan frekuensi 1.

AFC boleh digunakan bukan sahaja untuk menganalisis ayunan keadaan mantap pada output sistem automatik, tetapi juga untuk menentukan proses kawalan secara keseluruhan. Dalam kes kedua, adalah mudah untuk mempertimbangkan momen masa t 0 penggunaan kepada sistem kawalan sebagai momen masa sifar dan menggunakan formula transformasi Fourier sebelah. Setelah menentukan ciri spektrum
dan mencari ciri spektrum pembolehubah terkawal menggunakan formula

Perubahan dalam pembolehubah terkawal x(t) selepas menggunakan pengaruh g(t) didapati menggunakan formula transformasi Fourier songsang.

1. Memindahkan fungsi dan ciri frekuensi. Peranti peralatan komunikasi analog

1. Memindahkan fungsi dan ciri frekuensi

Litar elektrik dengan sebarang kerumitan, mempunyai dua pasang terminal untuk menyambung kepada sumber dan penerima tenaga elektrik, dipanggil dalam teknologi komunikasi quadripole. Terminal di mana sumber disambungkan dipanggil input, dan terminal yang penerima (beban) disambungkan adalah terminal keluaran (tiang).

DALAM Pandangan umum Kuadripole digambarkan seperti ditunjukkan dalam Rajah. 1.1. Sumber tenaga elektrik dengan nilai voltan berkesan yang kompleks dan rintangan dalaman disambungkan kepada input rangkaian empat terminal 1–1". Beban dengan rintangan disambungkan ke terminal output 2–2". Voltan dengan nilai berkesan kompleks digunakan pada terminal input, dan voltan dengan nilai berkesan kompleks digunakan pada terminal output. Arus dengan nilai berkesan kompleks mengalir melalui terminal input, dan arus dengan nilai berkesan kompleks mengalir melalui terminal output. Ambil perhatian bahawa rangkaian empat terminal lain boleh bertindak sebagai sumber dan penerima tenaga elektrik.

Dalam Rajah. 1.1 sebutan simbolik untuk voltan dan arus digunakan. Ini bermakna analisis litar elektrik dijalankan untuk getaran harmonik pada frekuensi tertentu. Untuk ayunan harmonik yang diberikan, seseorang boleh menentukan fungsi pemindahan rangkaian empat port yang dimuatkan, yang akan menjadi nisbah nilai berkesan kompleks kuantiti elektrik keluaran kepada nilai berkesan kompleks kuantiti elektrik input.

Jika pengaruh input dianggap sebagai voltan penjana dengan nilai berkesan yang kompleks, dan tindak balas rangkaian dua terminal kepada pengaruh ini adalah voltan dengan nilai berkesan yang kompleks atau arus dengan nilai berkesan yang kompleks, maka kita dapat fungsi pemindahan kompleks dalam bentuk umum:

, (1.1)

. (1.2)

Dalam kes-kes tertentu, apabila pengaruh yang dinyatakan ialah voltan pada terminal input kuadripol atau arus yang mengalir melalui terminal ini, empat jenis fungsi pemindahan berikut diperoleh:

– pekali pemindahan voltan kompleks (untuk rangkaian dua terminal aktif, contohnya penguat, ia dipanggil keuntungan voltan);

– pekali pemindahan arus kompleks (untuk litar aktif – keuntungan semasa);

– rintangan pemindahan kompleks;

– kekonduksian pemindahan kompleks.

Selalunya digunakan dalam teori litar fungsi pemindahan normal atau berfungsi quadripole:

, (1.3)

yang diperoleh dengan menormalkan (1.1) oleh faktor .

Seperti mana-mana kuantiti yang kompleks N boleh diwakili dalam bentuk demonstratif:

, (1.4)

di mana modul fungsi pemindahan kompleks, dan j ialah hujahnya.

Pertimbangkan fungsi pemindahan voltan kompleks

Menggantikan kepada (1.5) tatatanda nilai berkesan kompleks

.

Daripada perbandingan ungkapan ini dengan (1.4) jelas bahawa

,

iaitu, modul fungsi pemindahan voltan kompleks (atau keuntungan voltan kompleks) menunjukkan berapa kali nilai berkesan (amplitud) ayunan voltan harmonik pada output litar berubah berbanding dengan nilai yang sama pada input litar, dan hujah fungsi ini menentukan anjakan fasa antara ayunan voltan harmonik pada input dan output.

Dengan cara yang sama anda boleh mencari:

.

Semua yang dinyatakan di atas mengenai pekali pemindahan voltan juga benar untuk pekali pemindahan semasa.

Jika kita menukar frekuensi ayunan harmonik, maka ungkapan (1.4) hendaklah ditulis dalam bentuk:

. (1.6)

Fungsi frekuensi dipanggil ciri frekuensi amplitud litar(AFC). Ia menunjukkan perubahan yang dibuat oleh litar kepada amplitud ayunan harmonik pada setiap frekuensi.

Fungsi frekuensi dipanggil ciri frekuensi fasa litar(FCHH). Sehubungan itu, ciri ini menunjukkan peralihan fasa yang diperolehi ayunan harmonik setiap frekuensi semasa ia merambat melalui litar.

Fungsi pemindahan kompleks juga boleh diwakili dalam bentuk algebra:

di mana Re dan Im menandakan bahagian sebenar dan khayalan kuantiti kompleks.

Daripada teori kuantiti kompleks diketahui bahawa

Contoh 1.1

Tentukan pekali penghantaran voltan, tindak balas frekuensi dan tindak balas fasa litar yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.2, A.

Menurut (1.5) kita menulis

Mari cari fungsi kompleks pada output litar:

Menggantikan ke dalam formula untuk , kita memperoleh fungsi pemindahan yang kompleks:

;

Dengan menukar frekuensi w daripada 0 kepada Ґ, kita boleh memaparkan graf bagi tindak balas frekuensi dan tindak balas fasa litar (Rajah 1.2, b Dan V).

Tindak balas frekuensi dan tindak balas fasa litar boleh diwakili oleh graf tunggal jika kita merancang pergantungan fungsi pemindahan kompleks pada frekuensi w pada satah kompleks. Dalam kes ini, penghujung vektor akan menerangkan lengkung tertentu, yang dipanggil hodograf fungsi pemindahan kompleks (Rajah 1.3).

Pakar sering menggunakan konsep ini ciri frekuensi amplitud logaritma(LAH):

.

Nilai KEPADA diukur dalam desibel (dB). Dalam litar aktif yang mengandungi penguat, nilai KEPADA juga dipanggil keuntungan logaritma. Untuk litar pasif, bukannya faktor keuntungan, konsep ini diperkenalkan melonggarkan rantai:

, (1.7)

yang juga diukur dalam desibel.

Contoh 1.2

Adalah diketahui bahawa modulus pekali penghantaran voltan litar mengambil nilai berikut:

f= 0 kHz N(f) = 1

f= 1 kHz N(f) = 0,3

f= 2 kHz N(f) = 0,01

f= 4 kHz N(f) = 0,001

f= 8 kHz N(f) = 0,0001

Lukiskan graf litar yang semakin lemah.

Nilai kelemahan rantai yang dikira mengikut (1.7) diberikan dalam jadual:

f, kHz
A(f), dB

Jadual A(f) ditunjukkan dalam Rajah. 1.4.

Jika bukan rintangan kompleks kemuatan dan kearuhan kita berurusan dengan rintangan pengendali kemuatan dan kearuhan pL, maka dalam ungkapan anda perlu menggantikannya dengan R.

Fungsi pemindahan operator bagi rantai boleh ditulis dalam bentuk umum sebagai fungsi rasional pecahan dengan pekali nyata:

atau dalam bentuk

di mana – sifar; – tiang fungsi pemindahan; .

Menggantikan operator dalam (1.8) R pada jw, kita sekali lagi memperoleh fungsi pemindahan kompleks litar

,

di manakah tindak balas frekuensi litar

Mempertimbangkan apakah fungsi tidak rasional, biasanya apabila menganalisis dan mensintesis litar kita berurusan dengan kuasa dua tindak balas frekuensi:

di mana pekali diperoleh dengan menggabungkan pekali pada kuasa yang sama bagi pembolehubah w.

Contoh 1.3

Cari pekali pemindahan voltan dan kuasa dua bagi tindak balas frekuensi litar yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.5, A.

Pekali pemindahan voltan litar ini adalah sama dengan

di mana N = 1, , .

Akar-akar pembilang bagi pecahan rasional ini, iaitu, sifar bagi fungsi pemindahan,

.

Akar penyebut, atau kutub fungsi pemindahan,

.

Dalam Rajah. 1.5, b menunjukkan lokasi sifar dan kutub fungsi di .

Dengan teorem Vieta

.

Tindak balas frekuensi amplitud ditentukan daripada dengan menggantikan R pada dan mengira modulus fungsi yang terhasil

.

Kuasa dua tindak balas kekerapan akan ditulis dalam bentuk

di mana ; ;

.

Tindak balas frekuensi litar ditunjukkan dalam Rajah. 1.5, V.

Mari kita senaraikan sifat utama fungsi pemindahan operator dan tindak balas frekuensi kuasa dua litar pasif:

1. Fungsi pemindahan ialah fungsi pecahan-rasional dengan pekali nyata. Materialiti pekali dijelaskan oleh fakta bahawa ia ditentukan oleh unsur-unsur litar.

2. Kutub fungsi pemindahan terletak di separuh satah kiri pembolehubah kompleks R. Tiada sekatan pada lokasi sifar. Mari buktikan sifat ini menggunakan fungsi pemindahan sebagai contoh. Marilah kita memilih tindakan input atau dalam bentuk operator. Imej voltan keluaran dalam kes ini adalah sama secara berangka, i.e.

di manakah polinomial pengangka bagi fungsi pemindahan; – pekali pengembangan fungsi rasional pecahan kepada jumlah pecahan mudah.

Mari kita beralih daripada imej kepada asal:

di mana dalam kes umum.

Dalam quadripoles aktif pasif dan stabil, ayunan pada output quadripoles selepas penamatan pengaruh harus mempunyai watak yang lembap. Ini bermakna dalam (1.13) bahagian sebenar kutub mestilah negatif, iaitu kutub mestilah berada di separuh satah kiri pembolehubah. R.

3. Darjah polinomial pengangka fungsi pemindahan dan kuasa dua tindak balas frekuensi tidak melebihi darjah polinomial penyebut, i.e. n F m. Jika sifat ini tidak dipenuhi, maka pada frekuensi tinggi yang tidak terhingga tindak balas frekuensi akan mengambil masa yang tidak terhingga sangat penting(memandangkan pengangka akan berkembang dengan peningkatan frekuensi lebih cepat daripada penyebut), iaitu litar akan mempunyai keuntungan yang tidak terhingga, yang bercanggah dengan makna fizikal.

4. Tindak balas frekuensi kuasa dua ialah fungsi rasional genap bagi pembolehubah w dengan pekali nyata. Sifat ini jelas mengikuti kaedah mendapatkan tindak balas frekuensi kuasa dua daripada fungsi pemindahan.

5. Tindak balas frekuensi kuasa dua tidak boleh mengambil nilai negatif dan besar tak terhingga untuk w > 0. Bukan negatif berikutan daripada sifat modulus kuasa dua kuantiti kompleks. Keterbatasan nilai tindak balas frekuensi pada frekuensi sebenar dijelaskan dengan cara yang sama seperti dalam sifat 3.

Kebanyakan litar sumber bergantung mempunyai sekurang-kurangnya dua laluan isyarat: ke hadapan (dari input ke output) dan sebaliknya (dari output ke input). Laluan isyarat terbalik dilaksanakan menggunakan litar khas maklum balas(OS). Mungkin terdapat beberapa laluan sedemikian, dan oleh itu litar OS. Kehadiran OS dalam litar dengan sumber bergantung memberi mereka kualiti berharga baharu yang tidak dimiliki oleh litar tanpa OS. Sebagai contoh, menggunakan litar OS, adalah mungkin untuk mencapai penstabilan suhu mod pengendalian litar, mengurangkan herotan tak linear yang berlaku dalam litar dengan unsur tak linear, dsb.

Mana-mana litar dengan maklum balas boleh diwakili sebagai terdiri daripada dua rangkaian empat terminal (Rajah 1.6).

Rangkaian dua port linear aktif dengan fungsi pemindahan voltan ialah penguat. Ia kadangkala dipanggil elemen utama litar dan dikatakan membentuk saluran penguatan langsung.

Rangkaian empat terminal pasif dengan fungsi pemindahan voltan dipanggil litar maklum balas. Pada input litar, voltan masukan dan voltan maklum balas dijumlahkan.

Mari kita dapatkan formula untuk fungsi pemindahan bagi voltan litar yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.6. Biarkan voltan dikenakan pada input. Imej kameranya. Voltan muncul pada keluaran litar. Menurut Rajah. 1.6 imej kameranya

Imej operator boleh ditulis melalui fungsi pemindahan litar maklum balas

Kemudian ungkapan (1.14) boleh ditulis semula sebagai

Fungsi pemindahan operator untuk voltan litar dengan OS (lihat Rajah 1.6).

. (1.16)

Contoh 1.4

Dalam Rajah. Rajah 1.7 menunjukkan litar penguat kendalian (OPA) yang direka untuk penskalaan voltan. Cari fungsi pemindahan litar ini.

Mari kita dapatkan fungsi pemindahan litar ini sebagai litar suap balik menggunakan formula (1.16).

Litar maklum balas dalam rajah dalam Rajah. 1.7 berfungsi sebagai pembahagi voltan berbentuk L, terdiri daripada rintangan rintangan dan. Voltan keluaran penguat dibekalkan kepada input litar OS; Voltan OS dikeluarkan dari perintang. Fungsi pemindahan untuk voltan litar OS

Mari kita gunakan formula (1.16) dan ambil kira bahawa voltan masukan dan voltan maklum balas tidak dijumlahkan, tetapi ditolak. Kemudian kami memperoleh fungsi pemindahan penguat skala:

.

Memandangkan dalam op-amp sebenar nilai >> 1, akhirnya kita mempunyai:

Contoh 1.5

Satu pautan pada op-amp dengan maklum balas bergantung kepada frekuensi ditunjukkan dalam Rajah. 1.8. Cari fungsi pemindahan pautan ini.

Untuk menganalisis laluan isyarat langsung dan laluan isyarat OS, perlu menggunakan kaedah superposisi. Untuk melakukan ini, anda perlu menghapuskan sumber voltan input dan voltan maklum balas secara bergantian, menggantikannya dengan rintangan dalaman. Dalam kes sumber voltan yang ideal, rintangan dalamannya adalah sifar. Voltan yang digunakan pada pautan dilemahkan oleh litar input, yang merupakan pembahagi voltan berbentuk L dengan rintangan di bahu. Fungsi pemindahan voltan pembahagi sedemikian adalah sama dengan

Litar maklum balas juga merupakan rangkaian empat port berbentuk L dengan fungsi pemindahan.

Keuntungan op-amp.

Selaras dengan formula (1.16), kami memperoleh fungsi pemindahan pautan:

Memandangkan >> 1, kita dapat:

.

Pautan ini boleh melaksanakan pelbagai fungsi bergantung pada jenis rintangan dan. Pada dan pautan bertukar menjadi penguat skala terbalik; pada dan – kepada penyepadu; pada dan – ke dalam pembeza.

Contoh 1.6

Pautan pesanan kedua dengan keuntungan boleh laras ditunjukkan dalam Rajah. 1.9, A. Cari fungsi pemindahan pautan ini.

Analisis laluan isyarat input dan isyarat dalam litar OS menunjukkan bahawa pautan mempunyai litar input yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.9, b dan litar OS yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.9, V. Fungsi pemindahan litar ini boleh diperolehi kaedah matriks, sebagai contoh, menganggap setiap litar sebagai sambungan lata bagi quadripoles berbentuk L yang sepadan.

Untuk litar input

Untuk litar OS

. (1.18)

Dengan mengambil kira (1.16), kami memperoleh fungsi pemindahan pautan

. (1.19)

Keuntungan penguat. Kemudian, menggantikan (1.17) dan (1.18) kepada (1.19), selepas transformasi yang kita ada

.

Lulus kepada (1.16) daripada operator R kepada pengendali, kami memperoleh fungsi pemindahan yang kompleks

. (1.20)

Produk ialah fungsi pemindahan kompleks penguat dan litar maklum balas, dengan syarat maklum balas rosak (Rajah 1.10). Fungsi ini dipanggil fungsi pemindahan gelung OS atau keuntungan gelung. Mari kita perkenalkan konsep maklum balas positif dan negatif. Konsep-konsep ini memainkan peranan penting dalam teori litar maklum balas.

Mari kita mula-mula andaikan bahawa fungsi pemindahan , , tidak bergantung pada kekerapan dan adalah nombor nyata. Keadaan ini boleh berlaku apabila tiada L.C.-elemen. Ini boleh menjadi positif dan nombor negatif. Dalam kes pertama, peralihan fasa antara voltan input dan output atau, dengan kata lain, peralihan fasa sepanjang gelung maklum balas adalah sifar atau . k= 0, 1, 2, ... Dalam kes kedua, apabila , anjakan fasa sepanjang gelung ini adalah sama dengan atau .

Jika dalam litar dengan maklum balas peralihan fasa sepanjang gelung adalah sifar, maka maklum balas dipanggil positif, jika anjakan fasa adalah sama dengan , maka maklum balas tersebut dipanggil negatif.

Fungsi pemindahan boleh diwakili sebagai vektor dan ditunjukkan pada satah kompleks. Dengan maklum balas positif, vektor berada pada separuh paksi nyata positif, dan dengan maklum balas negatif, pada separuh paksi nyata negatif.

Lengkung yang diterangkan oleh penghujung vektor sebagai frekuensi w berubah (Rajah 1.11) adalah, seperti yang diketahui, dipanggil hodograf.

Perwakilan dalam bentuk hodograf membolehkan seseorang menentukan jenis maklum balas dalam kes maklum balas bergantung kepada kekerapan.

Mari kita perkenalkan konsep rantai stabil dan tidak stabil. Rantai itu dipanggil mampan, jika ayunan bebas cenderung kepada sifar dari semasa ke semasa. Jika tidak rantai dipanggil tidak stabil. Daripada teori proses sementara, ia menunjukkan bahawa rantai adalah stabil jika punca-punca persamaan ciri terletak pada separuh satah kiri pembolehubah kompleks p. Jika punca persamaan sedemikian terletak pada separuh satah kanan, maka litar tidak stabil, iaitu, ia berada dalam mod pengujaan diri. Oleh itu, untuk menentukan syarat untuk kestabilan rantai, cukup untuk mencari persamaan ciri dan puncanya. Seperti yang kita lihat, keadaan kestabilan boleh ditentukan tanpa memperkenalkan konsep maklum balas. Walau bagaimanapun, beberapa masalah timbul di sini. Hakikatnya ialah mendapatkan persamaan ciri dan menentukan puncanya adalah prosedur yang menyusahkan, terutamanya untuk litar. perintah tinggi. Pengenalan konsep maklum balas menjadikannya lebih mudah untuk mendapatkan persamaan ciri atau bahkan memungkinkan untuk dilakukan tanpanya. Ia juga amat penting bahawa konsep maklum balas adalah mencukupi untuk proses fizikal yang berlaku dalam litar, supaya ia menjadi lebih jelas. Pemahaman mendalam tentang proses fizikal memudahkan penciptaan pengayun diri, penguat, dsb.

Mari kita pertimbangkan litar (lihat Rajah 1.6) dan terbitkan persamaan cirinya. Biar dan, oleh itu, . Kemudian dari (1.15) ia berikut:

. (1.22)

Jika kita menulis fungsi pemindahan litar utama dalam bentuk , dan litar OS ialah , maka persamaan (1.22) akan ditulis semula seperti berikut:

Kesaksamaan ini berlaku apabila

Ungkapan di sebelah kiri kesamaan ini ialah polinomial, oleh itu (1.23) boleh ditulis dalam bentuk umum:

Ini adalah persamaan ciri litar.

Punca-punca persamaan (1.24) dalam kes umum ialah kuantiti kompleks

di mana . Mengetahui punca persamaan ciri, kita boleh menulis voltan keluaran:

Supaya ketegangan tidak meningkat tanpa had, semua akar Persamaan ciri mesti mempunyai bahagian nyata negatif, iaitu, punca mesti terletak di separuh satah kiri pembolehubah kompleks. Litar dengan sistem pengendalian yang mempunyai sifat sedemikian dipanggil benar-benar stabil.

Apabila mengkaji litar gelung tertutup, dua masalah boleh timbul. Jika litar yang direka bentuk mestilah stabil, maka adalah perlu untuk mempunyai kriteria yang, berdasarkan jenis fungsi, akan membolehkan seseorang menilai ketiadaan punca persamaan ciri dalam separuh satah kanan. R. Jika maklum balas digunakan untuk mencipta litar berayun sendiri yang tidak stabil, maka anda harus memastikan bahawa punca persamaan (1.24) terletak, sebaliknya, pada separuh satah yang betul. Dalam kes ini, adalah perlu untuk mempunyai susunan akar sedemikian di mana pengujaan diri akan berlaku pada frekuensi yang diperlukan.

Mari kita pertimbangkan satu kriteria untuk kestabilan litar, dipanggil kriteria Nyquist, yang membolehkan kita menilai kestabilan litar dengan maklum balas berdasarkan sifat litar terbuka (Rajah 1.10).

Fungsi pemindahan litar terbuka, atau keuntungan gelung, disertakan dalam persamaan ciri (1.22):

, (1.26)

Jika terdapat frekuensi w yang mana penghujung vektor jatuh pada titik dengan koordinat (1, j 0), maka ini bermakna bahawa keadaan (1.26) berpuas hati, iaitu, pengujaan diri akan berlaku dalam litar pada frekuensi ini. Ini bermakna hodograf boleh digunakan untuk menentukan sama ada rantai itu stabil atau tidak. Untuk tujuan ini, kriteria Nyquist digunakan, yang dirumuskan seperti berikut: jika hodograf bagi fungsi pemindahan litar terbuka tidak meliputi titik dengan koordinat(1, j 0), maka dengan litar suap balik tertutup litar adalah stabil. Dalam kes apabila hodograf meliputi titik (1, j X 1 boleh ditulis dalam bentuk dua keadaan: dalam mod pegun. KEPADA= 2, lengkung 1) dan tidak stabil ( KEPADA= 3, lengkung 2; KEPADA= 4, lengkung 3) rantai.

Soalan dan tugasan untuk ujian kendiri

1. Apakah fungsi pemindahan kompleks? Apakah jenis fungsi pemindahan kompleks rangkaian quadripole yang diketahui?

2. Tentukan pekali penghantaran voltan, tindak balas frekuensi dan tindak balas fasa litar yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.2, A, jika voltan keluaran ialah voltan merentasi perintang R. Bina graf bagi tindak balas frekuensi dan tindak balas fasa.

Jawab: ; ; 90° – arctan w R.C..

3. Tentukan pekali pemindahan voltan pada tanpa beban dan pekali pemindahan semasa semasa litar pintas untuk rangkaian empat port berbentuk U di mana kearuhan dimasukkan ke dalam cawangan membujur L, dan dalam cawangan melintang - kapasiti DENGAN. Jawab: .

4. Tentukan pengecilan yang diperkenalkan oleh litar Rajah. 1.2, A, pada R= 31.8 kOhm dan = 10 kOhm.

Jawab: 12 dB.

5. Apakah fungsi pemindahan operator? Bagaimanakah ia berkaitan dengan fungsi pemindahan kompleks? Bagaimana untuk menentukan sifar dan kutub fungsi pemindahan operator?

6. Tentukan fungsi pemindahan operator, pekali pemindahan voltan kompleks, tindak balas frekuensi dan kuasa dua tindak balas frekuensi litar berayun siri yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.5, A, jika voltan keluaran ialah voltan merentasi kapasitor DENGAN. Lukiskan graf bagi tindak balas frekuensi litar.

Jawab: ; .

7. Senaraikan sifat utama fungsi pemindahan operator litar pasif.

8. Bagaimanakah fungsi pemindahan litar gelung tertutup dikira?

9. Buktikan bahawa fungsi pemindahan operator bagi pembeza pada penguat kendalian adalah sama dengan (– pRC). Bina graf bagi tindak balas kekerapan bagi pembeza tersebut.

11. Tentukan fungsi pemindahan penapis yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.13.

Jawab: .

12. Apakah hodograf perolehan gelung? Bagaimana untuk menentukan jenis maklum balas menggunakan hodograf?

13. Bagaimanakah kriteria kestabilan Nyquist dirumuskan? Untuk litar apa ia digunakan?

14. Tentukan fungsi pemindahan kompleks litar terbuka yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.13. Terokai pergantungan kestabilan litar pada nilai keuntungan KEPADA.

SISTEM LINEAR

KAWALAN AUTOMATIK

Rumah penerbitan Universiti Teknikal Negeri Omsk

Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Russia

negeri institusi pendidikan

lebih tinggi pendidikan vokasional

"Universiti Teknikal Negeri Omsk"

SISTEM LINEAR

KAWALAN AUTOMATIK

Garis panduan untuk kerja amali

Rumah penerbitan Universiti Teknikal Negeri Omsk

Disusun oleh E. V. Shendaleva, Ph.D. teknologi sains

Penerbitan mengandungi garis panduan untuk menjalankan kerja amali tentang teori kawalan automatik.

Ditujukan untuk pelajar kepakaran 200503, "Penstandardan dan Pensijilan", mempelajari disiplin "Asas Kawalan Automatik".

Diterbitkan dengan keputusan majlis editorial dan penerbitan

Universiti Teknikal Negeri Omsk

© GOU VPO "Negeri Omsk

Universiti Teknikal", 2011

Keperluan untuk menggunakan metodologi teori pengurusan untuk pakar standardisasi dan pensijilan timbul apabila menentukan:

1) ciri kuantitatif dan (atau) kualitatif sifat objek ujian akibat pengaruh ke atasnya semasa operasinya, apabila memodelkan objek dan (atau) pengaruh, undang-undang perubahan yang mesti dipastikan menggunakan automatik sistem kawalan;

2) sifat dinamik objek pengukuran dan ujian;

3) pengaruh sifat dinamik alat pengukur pada hasil pengukuran dan ujian objek.

Kaedah untuk mengkaji objek dibincangkan dalam kerja amali.

Kerja amali 1

Fungsi dinamik

Senaman 1.1

Cari fungsi pemberat w(t) mengikut fungsi peralihan yang diketahui

h(t) = 2(1–e –0.2 t).

Penyelesaian

w(t)=h¢( t), oleh itu, apabila membezakan ungkapan asal

w(t)=0.4e –0.2 t .

Senaman 1.2

Cari fungsi pemindahan sistem menggunakan persamaan pembezaan 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Syarat awal adalah sifar.

Penyelesaian

Persamaan pembezaan ditukar kepada bentuk piawai dengan membahagikan dengan pekali sebutan y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).

Persamaan yang terhasil diubah mengikut Laplace

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)

dan kemudian ditulis sebagai fungsi pemindahan:

di mana s= a + i w ialah pengendali Laplace.

Senaman 1.3

Cari fungsi pemindahan W(s) sistem menggunakan fungsi berat yang diketahui w(t)=5–t.

Penyelesaian

Transformasi Laplace

. (1.1)

Menggunakan hubungan antara fungsi pemindahan dan fungsi pemberat W(s) = w(s), kita mendapatkan

.

Transformasi Laplace boleh didapati dengan pengiraan (1.1), menggunakan jadual transformasi Laplace atau menggunakan pakej perisian Matlab. Program dalam Matlab diberikan di bawah.

syms s t

x=5-t% fungsi masa

y=laplace(x)% Laplace berubah fungsi.

Senaman 1.4

Menggunakan fungsi pemindahan sistem, cari tindak balasnya kepada tindakan satu langkah (fungsi peralihan)

.

Penyelesaian

Transformasi Laplace songsang

, (1.2)

dengan c ialah absis penumpuan x(s).

Mengikut prinsip superposisi, sah untuk sistem linear

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

di mana h(t) – fungsi peralihan keseluruhan sistem;

h 1 (t) – fungsi peralihan pautan penyepaduan

;

h 2 (t) – fungsi sementara bahagian penguat

.

Adalah diketahui bahawa h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), Kemudian h(t)=k 1× t+k 2 ×δ( t).

Transformasi Laplace songsang boleh diperoleh dengan pengiraan (1.2), menggunakan jadual transformasi Laplace, atau menggunakan pakej perisian Matlab. Program dalam Matlab diberikan di bawah.

syms s k1 k2% penetapan pembolehubah simbolik

y=k1/s+k2% Laplace berubah fungsi

x=ilaplace(y)% fungsi masa.

Senaman 1.5

Cari ciri frekuensi amplitud dan frekuensi fasa menggunakan fungsi pemindahan sistem yang diketahui

.

Penyelesaian

Untuk menentukan frekuensi amplitud (AFC) dan ciri frekuensi fasa (PFC), adalah perlu untuk beralih daripada fungsi pemindahan kepada ciri fasa amplitud. W(i w), kenapa tukar hujah s → i w

.

Kemudian mewakili AFC dalam borang W(i w)= P(w)+ iQ(w), di mana P(w) – bahagian sebenar, Q(w) ialah bahagian khayalan AFC. Untuk mendapatkan bahagian sebenar dan khayalan AFC, adalah perlu untuk mendarabkan pengangka dan penyebut dengan nombor kompleks, konjugasi kepada ungkapan dalam penyebut:

Tindak balas frekuensi dan tindak balas fasa ditentukan masing-masing oleh formula

, ;

,

Ciri fasa amplitud W(j w) boleh diwakili dalam bentuk

.

Senaman 1.6

Tentukan isyarat y(t) pada output sistem berdasarkan isyarat input yang diketahui dan fungsi pemindahan sistem

x(t)=2sin10 t; .

Adalah diketahui bahawa apabila terdedah kepada isyarat input x(t)=B sinw t isyarat keluaran kepada sistem y(t) juga akan harmonik, tetapi akan berbeza daripada amplitud dan fasa input

y(t) = B× A(w) dosa

di mana A(w) – tindak balas frekuensi sistem; j(w) – tindak balas fasa sistem.

Menggunakan fungsi pemindahan kita menentukan tindak balas frekuensi dan tindak balas fasa

j(w)=–arctg0.1w.

Pada kekerapan w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 dan j(10) = –arctg1=–0.25p.

Kemudian y(t) = 2×2 sin(10 t–0.25p) = 4 dosa(10 t–0.25p).

Soalan kawalan :

1. Takrifkan konsep fungsi berat.

2. Takrifkan konsep fungsi peralihan.

3. Untuk tujuan apakah transformasi Laplace digunakan semasa menerangkan pautan dinamik?

4. Apakah persamaan yang dipanggil pembezaan linear?

5. Untuk tujuan apakah, apabila berpindah ke persamaan dalam bentuk operator, persamaan pembezaan asal diubah menjadi bentuk piawai?

6. Bagaimanakah ungkapan dengan nombor khayalan disingkirkan daripada penyebut ciri fasa amplitud?

7. Tentukan arahan transformasi Laplace langsung dalam pakej perisian Matlab.

8. Tentukan arahan perubahan Laplace songsang dalam pakej perisian Matlab.

Kerja amali 2

Fungsi pemindahan

Senaman 2.1

Cari fungsi pemindahan sistem berdasarkan rajah strukturnya.

Penyelesaian

Kaedah utama menyambung pautan dalam rajah blok ialah: selari, bersiri dan pautan penghubung dengan maklum balas (bahagian pautan biasa).

Fungsi pemindahan sistem pautan bersambung selari adalah sama dengan jumlah fungsi pemindahan pautan individu (Rajah 2.1)

. (2.1)

nasi. 2.1. Sambungan selari pautan

Fungsi pemindahan sistem pautan bersiri adalah sama dengan hasil bagi fungsi pemindahan pautan individu (Rajah 2.2)

(2.2)

nasi. 2.2. Sambungan siri pautan

Maklum balas ialah pemindahan isyarat daripada output pautan ke inputnya, di mana isyarat maklum balas dijumlahkan secara algebra dengan isyarat luaran (Rajah 2.3).

nasi. 2.3 Sambungan dengan maklum balas: a) positif, b) negatif

Fungsi pemindahan sambungan maklum balas positif

, (2.3)

fungsi pemindahan sambungan maklum balas negatif

. (2.4)

Definisi fungsi pemindahan sistem yang kompleks pengurusan dijalankan secara berperingkat. Untuk melakukan ini, bahagian yang mengandungi sambungan bersiri, selari dan sambungan dengan maklum balas dikenal pasti (bahagian pautan biasa) (Gamb. 2.4)

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

nasi. 2.4. Gambar rajah blok sistem kawalan

Kemudian bahagian tipikal pautan yang dipilih digantikan dengan satu pautan dengan fungsi pemindahan yang dikira dan prosedur pengiraan diulang (Rajah 2.5 - 2.7).

nasi. 2.5. Menggantikan sambungan selari dan gelung tertutup dengan satu pautan

nasi. 2.6. Menggantikan sambungan maklum balas dengan satu pautan

nasi. 2.7. Menggantikan sambungan bersiri dengan satu pautan

(2.5)

Senaman 2.2

Tentukan fungsi pemindahan jika fungsi pemindahan bahagian konstituennya ialah:

Penyelesaian

Apabila menggantikan kepada (2.5) fungsi pemindahan pautan

Transformasi gambarajah blok relatif kepada tindakan kawalan input (Rajah 2.7, 2.11) boleh diperolehi dengan pengiraan (2.5) atau menggunakan pakej perisian Matlab. Program dalam Matlab diberikan di bawah.

W1=tf(,)% Fungsi penghantaran W 1

W2=tf(,)% Fungsi penghantaran W 2

W3=tf(,)% Fungsi penghantaran W 3

W4=tf(,)% Fungsi penghantaran W 4

W5=tf(,)% Fungsi penghantaran W 5

W34=selari(W3,W4)% sambungan selari ( W 3 + W 4)

W25=maklum balas(W2,W5)

W134=maklum balas(W1,W34)% maklumbalas negatif

W12345=siri(W134,W25)% sambungan bersiri ( W 134× W 25)

W=maklum balas(W12345,1)

Senaman 2.3.

Cari fungsi pemindahan sistem gelung tertutup berdasarkan gangguan

Penyelesaian

Untuk menentukan fungsi pemindahan sistem yang kompleks daripada pengaruh yang mengganggu, adalah perlu untuk memudahkannya dan menganggapnya relatif kepada pengaruh input yang mengganggu (Rajah 2.8 - 2.12).

Rajah 2.8. Gambarajah blok awal sistem automatik

nasi. 2.9. Permudahkan gambarajah blok

nasi. 2.10. Gambar rajah blok dipermudahkan

nasi. 2.11. Gambar rajah blok relatif kepada tindakan kawalan input

nasi. 2.12. Gambar rajah blok sistem berbanding pengaruh yang mengganggu

Selepas membawa gambar rajah struktur kepada litar tunggal, fungsi pemindahan untuk pengaruh yang mengganggu f(t)

(2.6)

Transformasi gambar rajah struktur berkenaan dengan pengaruh yang mengganggu (Rajah 2.12) boleh didapati dengan pengiraan (2.6) atau menggunakan pakej perisian Matlab.

W1=tf(,)% Fungsi penghantaran W 1

W2=tf(,)% Fungsi penghantaran W 2

W3=tf(,)% Fungsi penghantaran W 3

W4=tf(,)% Fungsi penghantaran W 4

W5=tf(,)% Fungsi penghantaran W 5

W34=selari(W3,W4)% sambungan selari

W25=maklum balas(W2,W5)% maklumbalas negatif

W134=maklum balas(W1,W34)% maklumbalas negatif

Wf=maklum balas(W25,W134)% maklumbalas negatif.

Senaman 2. 4

Tentukan fungsi pemindahan sistem gelung tertutup untuk ralat.

Penyelesaian

Gambar rajah blok untuk menentukan fungsi pemindahan sistem gelung tertutup untuk ralat kawalan ditunjukkan dalam Rajah. 2.13.

nasi. 2.13. Gambar rajah blok sistem berkenaan ralat kawalan

Fungsi pemindahan gelung tertutup untuk ralat

(2.7)

Apabila menggantikan nilai berangka

Transformasi gambarajah blok relatif kepada isyarat ralat kawalan (Rajah 2.13) boleh diperolehi dengan pengiraan (2.7) atau menggunakan pakej perisian Matlab.

W1=tf(,)% Fungsi penghantaran W 1

W2=tf(,)% Fungsi penghantaran W 2

W3=tf(,)% Fungsi penghantaran W 3

W4=tf(,)% Fungsi penghantaran W 4

W5=tf(,)% Fungsi penghantaran W 5

W34=selari(W3,W4)% sambungan selari)

W25=maklum balas(W2,W5)% maklumbalas negatif

W134=maklum balas(W1,W34)% maklumbalas negatif

Kami=maklum balas(1,W134*W25)% maklumbalas negatif

Soalan kawalan:

1. Senaraikan cara utama untuk menyambung pautan dalam gambar rajah blok.

2. Tentukan fungsi pemindahan sistem pautan bersambung selari.

3. Tentukan fungsi pemindahan sistem pautan bersiri.

4. Tentukan fungsi pemindahan maklum balas positif.

5. Tentukan fungsi pemindahan maklum balas negatif.

6. Tentukan fungsi pemindahan talian komunikasi.

7. Perintah Matlab yang manakah digunakan untuk menentukan fungsi pemindahan dua pautan bersambung selari?

8. Perintah Matlab yang manakah digunakan untuk menentukan fungsi pemindahan dua pautan bersambung siri?

9. Perintah Matlab yang manakah digunakan untuk menentukan fungsi pemindahan pautan yang diliputi oleh maklum balas?

10. Lukis gambarajah blok sistem untuk menentukan fungsi pemindahan bagi tindakan kawalan.

11. Tulis fungsi pemindahan untuk tindakan kawalan.

12. Lukis gambarajah blok sistem untuk menentukan fungsi pemindahan berdasarkan parameter yang mengganggu.

13. Tulis fungsi pemindahan untuk parameter yang mengganggu.

14. Lukis gambarajah blok sistem untuk menentukan fungsi pemindahan bagi ralat kawalan.

15. Tulis fungsi pemindahan untuk ralat kawalan.

Kerja amali 3

Penguraian fungsi pemindahan kompleks