AGENSI PERSEKUTUAN UNTUK PENDIDIKAN
INSTITUSI PENDIDIKAN NEGERI
PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI
"UNIVERSITI PEDAGOGI NEGERI VORONEZH"
JABATAN AGLEBRA DAN GEOMETRI
Nombor kompleks
(tugasan terpilih)
KERJA LULUSAN LAYAK
kepakaran 050201.65 matematik
(dengan kepakaran tambahan 050202.65 sains komputer)
Diisi oleh: murid tahun 5
fizikal dan matematik
fakulti
Penasihat saintifik:
VORONEZH – 2008
1. Pengenalan……………………………………………………...…………..…
2. Nombor kompleks (masalah terpilih)
2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra….……...……….….
2.2. Tafsiran geometri nombor kompleks…………..…
2.3. Bentuk trigonometri nombor kompleks
2.4. Aplikasi teori nombor kompleks kepada penyelesaian persamaan darjah ke-3 dan ke-4………..……………………………………………………………………
2.5. Nombor kompleks dan parameter……………………………………………………….
3. Kesimpulan………………………………………………………………………….
4. Senarai rujukan………………………………………………………………………………
1. Pengenalan
Dalam kurikulum matematik sekolah, teori nombor diperkenalkan menggunakan contoh set nombor asli, integer, rasional, tak rasional, i.e. pada set nombor nyata, imej yang mengisi keseluruhan garis nombor. Tetapi sudah di gred ke-8 tidak ada bekalan nombor nyata yang mencukupi, menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif. Oleh itu, adalah perlu untuk menambah stok nombor nyata dengan bantuan nombor kompleks, yang mana punca kuasa dua nombor negatif mempunyai makna.
Memilih topik "Nombor Kompleks" sebagai topik pengijazahan saya kerja yang layak, ialah konsep nombor kompleks mengembangkan pengetahuan pelajar tentang sistem nombor, tentang menyelesaikan kelas masalah yang luas bagi kandungan algebra dan geometri, tentang penyelesaian persamaan algebra mana-mana darjah dan tentang menyelesaikan masalah dengan parameter.
Tesis ini mengkaji penyelesaian kepada 82 masalah.
Bahagian pertama bahagian utama "Nombor kompleks" mengandungi penyelesaian kepada masalah dengan nombor kompleks dalam bentuk algebra, operasi tambah, tolak, darab, bahagi, operasi konjugasi untuk nombor kompleks dalam bentuk algebra, kuasa unit khayalan, modulus nombor kompleks ditakrifkan, dan peraturan pengekstrakan juga dinyatakan. punca kuasa dua daripada nombor kompleks.
Dalam bahagian kedua, masalah mengenai tafsiran geometri nombor kompleks dalam bentuk titik atau vektor satah kompleks diselesaikan.
Bahagian ketiga meneliti operasi pada nombor kompleks dalam bentuk trigonometri. Formula yang digunakan ialah: Moivre dan mengekstrak punca nombor kompleks.
Bahagian keempat dikhaskan untuk menyelesaikan persamaan darjah ke-3 dan ke-4.
Apabila menyelesaikan masalah di bahagian terakhir, "Nombor dan parameter kompleks," maklumat yang diberikan dalam bahagian sebelumnya digunakan dan disatukan. Satu siri masalah dalam bab ini dikhaskan untuk menentukan keluarga garis dalam satah kompleks yang ditakrifkan oleh persamaan (ketaksamaan) dengan parameter. Dalam sebahagian daripada latihan anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di atas medan C). Terdapat tugas di mana pembolehubah kompleks secara serentak memenuhi beberapa syarat. Ciri khas untuk menyelesaikan masalah dalam bahagian ini ialah pengurangan banyak daripada mereka kepada penyelesaian persamaan (ketaksamaan, sistem) darjah kedua, tidak rasional, trigonometri dengan parameter.
Ciri pembentangan bahan dalam setiap bahagian ialah input awal asas teori, dan seterusnya aplikasi praktikal mereka dalam menyelesaikan masalah.
Pada penghujungnya tesis senarai literatur terpakai dibentangkan. Kebanyakan mereka membentangkan bahan teori dengan terperinci yang mencukupi dan dengan cara yang mudah diakses, mempertimbangkan penyelesaian kepada beberapa masalah, dan memberikan tugas amali Untuk keputusan bebas. Perhatian istimewa Saya ingin merujuk kepada sumber seperti:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Nombor kompleks dan aplikasinya: Buku teks. . bahan alat bantu mengajar disampaikan dalam bentuk syarahan dan latihan amali.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Masalah terpilih dan teorem matematik asas. Aritmetik dan algebra. Buku ini mengandungi 320 masalah berkaitan algebra, aritmetik dan teori nombor. Tugas-tugas ini berbeza secara ketara daripada tugas sekolah standard.
2. Nombor kompleks (masalah terpilih)
2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra
Penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan fizik datang kepada penyelesaian persamaan algebra, i.e. persamaan bentuk
,dengan a0, a1, …, an ialah nombor nyata. Oleh itu, kajian persamaan algebra adalah salah satu daripada isu kritikal dalam matematik. Contohnya, persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif. Persamaan yang paling mudah ialah persamaan
.Agar persamaan ini mempunyai penyelesaian, adalah perlu untuk mengembangkan set nombor nyata dengan menambah padanya punca persamaan.
.Mari kita nyatakan akar ini dengan
. Oleh itu, mengikut definisi, atau,oleh itu,
. dipanggil unit khayalan. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang nombor nyata, ungkapan bentuk disusun.Ungkapan yang terhasil dipanggil nombor kompleks kerana ia mengandungi kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.
Jadi, nombor kompleks ialah ungkapan bentuk
, dan ialah nombor nyata, dan merupakan simbol tertentu yang memenuhi syarat . Nombor itu dipanggil bahagian nyata nombor kompleks, dan nombor itu adalah bahagian khayalannya. Simbol , digunakan untuk menandakannya.Nombor kompleks borang
ialah nombor nyata dan, oleh itu, set nombor kompleks mengandungi set nombor nyata. Nombor kompleks borang
dipanggil khayalan semata-mata. Dua nombor kompleks bentuk dan dikatakan sama jika bahagian nyata dan khayalannya adalah sama, i.e. jika persamaan , .Tatatanda algebra bagi nombor kompleks membenarkan operasi ke atasnya mengikut peraturan biasa algebra.
Untuk menyelesaikan masalah dengan nombor kompleks, anda perlu memahami definisi asas. Matlamat utama artikel ulasan ini adalah untuk menerangkan apa itu nombor kompleks dan mengemukakan kaedah untuk menyelesaikan masalah asas dengan nombor kompleks. Jadi, nombor kompleks akan dipanggil nombor borang z = a + bi, Di mana a, b- nombor nyata, yang masing-masing dipanggil bahagian nyata dan khayalan nombor kompleks, dan menandakan a = Re(z), b=Im(z).
i dipanggil unit khayalan. i 2 = -1. Khususnya, sebarang nombor nyata boleh dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah sebenar. Jika a = 0 Dan b ≠ 0, maka nombor itu biasanya dipanggil khayalan semata-mata.
Sekarang mari kita perkenalkan operasi pada nombor kompleks.
Pertimbangkan dua nombor kompleks z 1 = a 1 + b 1 i Dan z 2 = a 2 + b 2 i.
Mari kita pertimbangkan z = a + bi.
Set nombor kompleks memanjangkan set nombor nyata, yang seterusnya memanjangkan set nombor rasional dan lain-lain. Rangkaian pelaburan ini boleh dilihat dalam rajah: N – integer, Z - integer, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks. 
Perwakilan nombor kompleks
tatatanda algebra.
Pertimbangkan nombor kompleks z = a + bi, bentuk penulisan nombor kompleks ini dipanggil algebra. Kami telah membincangkan bentuk rakaman ini secara terperinci dalam bahagian sebelumnya. Lukisan visual berikut digunakan agak kerap 
Bentuk trigonometri.
Daripada rajah tersebut dapat dilihat bahawa nombor z = a + bi boleh ditulis secara berbeza. Ia adalah jelas bahawa a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, oleh itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
dipanggil hujah bagi nombor kompleks. Perwakilan nombor kompleks ini dipanggil bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri kadangkala sangat mudah. Sebagai contoh, adalah mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa integer, iaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Itu z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, formula ini dipanggil Formula Moivre.
Bentuk tunjuk cara.
Mari kita pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i- nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, tulis dalam bentuk lain z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = semula iφ, kesamaan terakhir mengikuti formula Euler, jadi kita dapat uniform baru notasi nombor kompleks: z = reiφ, yang dipanggil indikatif. Bentuk tatatanda ini juga sangat mudah untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa: z n = r n e inφ, Di sini n tidak semestinya integer, tetapi boleh menjadi nombor nyata arbitrari. Bentuk tatatanda ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah.
Teorem asas algebra yang lebih tinggi
Mari kita bayangkan bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0. Jelas sekali, diskriminasi persamaan ini adalah negatif dan ia tidak mempunyai punca sebenar, tetapi ternyata persamaan ini mempunyai dua punca kompleks yang berbeza. Jadi, teorem asas algebra yang lebih tinggi menyatakan bahawa sebarang polinomial darjah n mempunyai sekurang-kurangnya satu punca kompleks. Ia berikutan daripada ini bahawa mana-mana polinomial darjah n mempunyai tepat n punca kompleks, dengan mengambil kira kepelbagaiannya. Teorem ini merupakan hasil yang sangat penting dalam matematik dan digunakan secara meluas. Akibat mudah kepada teorem ini ialah terdapat betul-betul n akar yang berbeza darjah n perpaduan.
Jenis tugas utama
Bahagian ini akan merangkumi jenis utama tugasan mudah kepada nombor kompleks. Secara konvensional, masalah yang melibatkan nombor kompleks boleh dibahagikan kepada kategori berikut.
- Menjalankan operasi aritmetik mudah pada nombor kompleks.
- Mencari punca polinomial dalam nombor kompleks.
- Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.
- Mengeluarkan akar daripada nombor kompleks.
- Menggunakan nombor kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.
Sekarang mari kita pertimbangkan teknik umum penyelesaian kepada masalah ini.
Operasi aritmetik paling mudah dengan nombor kompleks dilakukan mengikut peraturan yang diterangkan dalam bahagian pertama, tetapi jika nombor kompleks dibentangkan dalam bentuk trigonometri atau eksponen, maka dalam kes ini anda boleh menukarnya ke dalam bentuk algebra dan melakukan operasi mengikut peraturan yang diketahui.
Mencari punca polinomial biasanya datang kepada mencari punca persamaan kuadratik. Katakan bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik, jika diskriminasinya bukan negatif, maka akarnya akan menjadi nyata dan boleh didapati mengikut formula yang terkenal. Sekiranya diskriminasi adalah negatif, iaitu, D = -1∙a 2, Di mana a ialah nombor tertentu, maka diskriminasi boleh diwakili sebagai D = (ia) 2, oleh itu √D = i|a|, dan kemudian anda boleh menggunakan formula yang terkenal untuk punca-punca persamaan kuadratik.
Contoh. Mari kita kembali kepada apa yang disebutkan di atas. persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminasi - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sekarang kita boleh mencari akarnya dengan mudah: 
Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa boleh dilakukan dalam beberapa cara. Jika anda perlu menaikkan nombor kompleks dalam bentuk algebra kepada kuasa kecil (2 atau 3), maka anda boleh melakukan ini dengan pendaraban langsung, tetapi jika kuasa lebih besar (dalam masalah selalunya lebih besar), maka anda perlu tulis nombor ini dalam bentuk trigonometri atau eksponen dan gunakan kaedah yang telah diketahui.
Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan kepada kuasa kesepuluh.
Mari kita tulis z dalam bentuk eksponen: z = √2 e iπ/4.
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali kepada bentuk algebra: z 10 = -32i.
Mengeluarkan punca daripada nombor kompleks ialah operasi songsang bagi eksponen dan oleh itu dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar, bentuk eksponen menulis nombor sering digunakan.
Contoh. Mari cari semua punca darjah 3 perpaduan. Untuk melakukan ini, kita akan mencari semua punca persamaan z 3 = 1, kita akan mencari punca dalam bentuk eksponen.
Mari kita gantikan ke dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Oleh itu: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, oleh itu φ = 2πk/3.
Akar yang berbeza diperolehi pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh itu 1, e i2π/3, e i4π/3 ialah punca.
Atau dalam bentuk algebra: 
Jenis masalah terakhir termasuk pelbagai jenis masalah dan tidak ada kaedah umum untuk menyelesaikannya. Mari kita berikan contoh mudah tugas sedemikian:
Cari jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Walaupun perumusan masalah ini tidak melibatkan nombor kompleks, ia boleh diselesaikan dengan mudah dengan bantuan mereka. Untuk menyelesaikannya, perwakilan berikut digunakan: 
Jika sekarang kita menggantikan perwakilan ini ke dalam jumlah, maka masalahnya dikurangkan kepada menjumlahkan janjang geometri biasa.
Kesimpulan
Nombor kompleks digunakan secara meluas dalam matematik, artikel ulasan ini mengkaji operasi asas pada nombor kompleks, menerangkan beberapa jenis masalah piawai, dan diterangkan secara ringkas kaedah umum penyelesaian mereka, untuk kajian yang lebih terperinci tentang keupayaan nombor kompleks, adalah disyorkan untuk menggunakan kesusasteraan khusus.
kesusasteraan
Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Untuk kejelasan, mari selesaikan masalah berikut:
Kira \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \
Pertama sekali, mari kita perhatikan fakta bahawa satu nombor dibentangkan dalam bentuk algebra, yang lain dalam bentuk trigonometri. Ia perlu dipermudahkan dan dibawa ke bentuk berikut
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Ungkapan \ mengatakan bahawa pertama sekali kita melakukan pendaraban dan menaikkan kepada kuasa ke-10 menggunakan formula Moivre. Formula ini dirumus untuk bentuk trigonometri nombor kompleks. Kita mendapatkan:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Mengikuti peraturan untuk mendarab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, kami melakukan perkara berikut:
Dalam kes kami:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Dengan menjadikan pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] betul, kita sampai pada kesimpulan bahawa kita boleh "memutar" 4 pusingan \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Jawapan: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Persamaan ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang bermuara kepada membawa nombor ke-2 ke dalam bentuk algebra, kemudian melakukan pendaraban dalam bentuk algebra, menukar keputusan kepada bentuk trigonometri dan menggunakan formula Moivre:
Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan dengan nombor kompleks dalam talian?
Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan di laman web kami https://site. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di tapak web kami. Dan jika anda masih mempunyai soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.
