Lagi dengan cara yang mudah. Untuk melakukan ini, letakkan z daripada kurungan. Anda akan mendapat: z(аz + b) = 0. Faktor boleh ditulis: z=0 dan аz + b = 0, kerana kedua-duanya boleh menghasilkan sifar. Dalam notasi az + b = 0, kita gerakkan yang kedua ke kanan dengan tanda yang berbeza. Dari sini kita dapat z1 = 0 dan z2 = -b/a. Ini adalah akar asal.
Jika ada Tidak persamaan lengkap bentuk az² + c = 0, in dalam kes ini didapati dengan hanya memindahkan tempoh percuma kepada sebelah kanan persamaan Tukar juga tandanya. Hasilnya ialah az² = -с. Ungkapkan z² = -c/a. Ambil punca dan tulis dua penyelesaian - punca kuasa dua positif dan negatif.
Nota
Jika terdapat pekali pecahan dalam persamaan, darabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sesuai untuk menyingkirkan pecahan itu.
Pengetahuan tentang cara menyelesaikan persamaan kuadratik adalah perlu untuk kedua-dua pelajar sekolah dan pelajar; kadangkala ini juga boleh membantu orang dewasa dalam kehidupan seharian. Terdapat beberapa kaedah penyelesaian khusus.
Menyelesaikan Persamaan Kuadratik
Persamaan kuadratik bentuk a*x^2+b*x+c=0. Pekali x ialah pembolehubah yang dikehendaki, a, b, c ialah pekali berangka. Ingat bahawa tanda “+” boleh bertukar kepada tanda “-”.Untuk menyelesaikan persamaan ini, perlu menggunakan teorem Vieta atau mencari diskriminasi. Kaedah yang paling biasa adalah untuk mencari diskriminasi, kerana untuk beberapa nilai a, b, c tidak mungkin untuk menggunakan teorem Vieta.
Untuk mencari diskriminasi (D), anda perlu menulis formula D=b^2 - 4*a*c. Nilai D boleh lebih besar daripada, kurang daripada, atau sama dengan sifar. Jika D lebih besar atau kurang daripada sifar, maka akan ada dua punca; jika D = 0, maka hanya tinggal satu punca; lebih tepat lagi, kita boleh mengatakan bahawa D dalam kes ini mempunyai dua punca yang setara. Gantikan pekali a, b, c yang diketahui ke dalam formula dan hitung nilainya.
Selepas anda menemui diskriminasi, gunakan formula untuk mencari x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, dengan sqrt ialah fungsi yang bermaksud mengambil punca kuasa dua nombor tertentu. Selepas mengira ungkapan ini, anda akan menemui dua punca persamaan anda, selepas itu persamaan dianggap diselesaikan.
Jika D kurang daripada sifar, maka ia masih mempunyai punca. Bahagian ini boleh dikatakan tidak dipelajari di sekolah. Pelajar universiti harus sedar bahawa nombor negatif muncul di bawah akar. Mereka menyingkirkannya dengan menyerlahkan bahagian khayalan, iaitu, -1 di bawah akar sentiasa sama dengan unsur khayalan "i", yang didarabkan dengan punca dengan nombor positif yang sama. Sebagai contoh, jika D=sqrt(-20), selepas penjelmaan kita mendapat D=sqrt(20)*i. Selepas transformasi ini, penyelesaian persamaan dikurangkan kepada penemuan punca yang sama seperti yang diterangkan di atas.
Teorem Vieta terdiri daripada memilih nilai x(1) dan x(2). Dua persamaan yang sama digunakan: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Dan sangat perkara penting ialah tanda di hadapan pekali b, ingat bahawa tanda ini bertentangan dengan tanda dalam persamaan. Pada pandangan pertama, nampaknya pengiraan x(1) dan x(2) adalah sangat mudah, tetapi apabila menyelesaikan, anda akan berhadapan dengan hakikat bahawa anda perlu memilih nombor.
Elemen penyelesaian persamaan kuadratik
Mengikut peraturan matematik, sesetengahnya boleh difaktorkan: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jika anda berjaya mengubah persamaan kuadratik ini dengan cara yang sama menggunakan formula matematik, maka jangan ragu untuk tulis jawapan. x(1) dan x(2) akan sama dengan pekali bersebelahan dalam kurungan, tetapi dengan tanda bertentangan.Juga, jangan lupa tentang persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Anda mungkin kehilangan beberapa istilah; jika ya, maka semua pekalinya adalah sama dengan sifar. Jika tiada apa-apa di hadapan x^2 atau x, maka pekali a dan b adalah sama dengan 1.
Persamaan kuadratik - mudah untuk diselesaikan! *Selepas ini dirujuk sebagai “KU”. Kawan-kawan, nampaknya tidak ada yang lebih mudah dalam matematik daripada menyelesaikan persamaan sedemikian. Tetapi sesuatu memberitahu saya bahawa ramai orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tera atas permintaan Yandex berikan setiap bulan. Inilah yang berlaku, lihat:
Apakah maksudnya? Ini bermakna kira-kira 70,000 orang setiap bulan sedang mencari maklumat ini, apakah kaitan musim panas ini dengannya, dan apa yang akan berlaku di kalangan tahun sekolah— akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak menghairankan, kerana lelaki dan perempuan yang lulus dari sekolah lama dahulu dan sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersatu sedang mencari maklumat ini, dan pelajar sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.
Walaupun terdapat banyak tapak yang memberitahu anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk turut menyumbang dan menerbitkan bahan tersebut. Pertama, saya mahu pelawat datang ke tapak saya berdasarkan permintaan ini; kedua, dalam artikel lain, apabila topik "KU" muncul, saya akan memberikan pautan kepada artikel ini; ketiga, saya akan memberitahu anda lebih sedikit tentang penyelesaiannya daripada yang biasanya dinyatakan di tapak lain. Mari kita mulakan! Kandungan artikel:
Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:
di mana pekali a,bdan c ialah nombor arbitrari, dengan a≠0.
DALAM kursus sekolah bahan diberikan dalam bentuk berikut - persamaan dibahagikan secara bersyarat kepada tiga kelas:
1. Mereka mempunyai dua akar.
2. *Mempunyai satu punca sahaja.
3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu diperhatikan terutamanya di sini bahawa mereka tidak mempunyai akar sebenar
Bagaimanakah akar dikira? Cuma!
Kami mengira diskriminasi. Di bawah perkataan "mengerikan" ini terdapat formula yang sangat mudah:
Rumus akar adalah seperti berikut:
*Anda perlu mengetahui formula ini dengan hati.
Anda boleh segera menulis dan menyelesaikan:
Contoh:
1. Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.
2. Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.
3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Mari kita lihat persamaan:
Oleh pada kesempatan ini, apabila diskriminasi sama dengan sifar, kursus sekolah mengatakan bahawa hasilnya adalah satu punca, di sini ia sama dengan sembilan. Semuanya betul, memang begitu, tetapi...
Idea ini agak tidak betul. Sebenarnya, terdapat dua akar. Ya, ya, jangan terkejut, anda mendapat dua punca yang sama, dan untuk menjadi tepat secara matematik, maka jawapannya harus menulis dua punca:
x 1 = 3 x 2 = 3
Tetapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah anda boleh menulisnya dan mengatakan bahawa terdapat satu akar.
Sekarang contoh seterusnya:
Seperti yang kita ketahui, punca nombor negatif tidak diekstrak, jadi tiada penyelesaian dalam kes ini.
Itulah keseluruhan proses keputusan.
Fungsi kuadratik.
Ini menunjukkan rupa penyelesaian secara geometri. Ini amat penting untuk difahami (pada masa hadapan, dalam salah satu artikel kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik).
Ini adalah fungsi borang:
di mana x dan y ialah pembolehubah
a, b, c – nombor yang diberi, dengan ≠ 0
Graf ialah parabola:
Iaitu, ternyata bahawa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan "y" sama dengan sifar, kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi x. Terdapat dua daripada perkara ini (diskriminan adalah positif), satu (diskriminan adalah sifar) dan tiada (diskriminasi adalah negatif). Butiran tentang fungsi kuadratik Anda boleh melihat artikel oleh Inna Feldman.
Mari lihat contoh:
Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Jawapan: x 1 = 8 x 2 = –12
*Adalah mungkin untuk membahagikan sisi kiri dan kanan persamaan dengan serta-merta dengan 2, iaitu memudahkannya. Pengiraan akan lebih mudah.
Contoh 2: buat keputusan x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Kami mendapati bahawa x 1 = 11 dan x 2 = 11
Ia dibenarkan untuk menulis x = 11 dalam jawapan.
Jawapan: x = 11
Contoh 3: buat keputusan x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminasi adalah negatif, tiada penyelesaian dalam nombor nyata.
Jawapan: tiada penyelesaian
Diskriminasi adalah negatif. Ada penyelesaiannya!
Di sini kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan dalam kes apabila diskriminasi negatif diperoleh. Adakah anda tahu apa-apa tentang nombor kompleks? Saya tidak akan menerangkan secara terperinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apakah peranan dan keperluan khusus mereka dalam matematik; ini adalah topik untuk artikel berasingan yang besar.
Konsep nombor kompleks.
Sedikit teori.
Nombor kompleks z ialah nombor bagi bentuk
z = a + bi
di mana a dan b ialah nombor nyata, i ialah unit khayalan yang dipanggil.
a+bi – ini adalah NOMBOR TUNGGAL, bukan tambahan.
Unit khayalan adalah sama dengan punca tolak satu:
Sekarang pertimbangkan persamaan:
Kami mendapat dua akar konjugat.
Persamaan kuadratik tidak lengkap.
Mari kita pertimbangkan kes khas, ini adalah apabila pekali "b" atau "c" bersamaan dengan sifar (atau kedua-duanya sama dengan sifar). Mereka boleh diselesaikan dengan mudah tanpa sebarang diskriminasi.
Kes 1. Pekali b = 0.
Persamaan menjadi:
Mari kita ubah:
Contoh:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Kes 2. Pekali c = 0.
Persamaan menjadi:
Mari kita ubah dan pemfaktoran:
*Produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar.
Contoh:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Kes 3. Pekali b = 0 dan c = 0.
Di sini adalah jelas bahawa penyelesaian kepada persamaan akan sentiasa x = 0.
Sifat berguna dan corak pekali.
Terdapat sifat yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pekali yang besar.
Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang
a + b+ c = 0, Itu
- jika bagi pekali persamaan Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang
a+ c =b, Itu
Sifat ini membantu menyelesaikan jenis persamaan tertentu.
Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Jumlah kemungkinan ialah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, yang bermaksud
Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Kesaksamaan dipegang a+ c =b, Bermakna
Keteraturan pekali.
1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali "c" secara berangka sama dengan pekali "a", maka puncanya adalah sama.
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Jika dalam persamaan ax 2 – bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Jika dalam Pers. ax 2 + bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali "a", maka akarnya adalah sama
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Jika dalam persamaan ax 2 – bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali c secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Teorem Vieta.
Teorem Vieta dinamakan sempena ahli matematik Perancis terkenal Francois Vieta. Menggunakan teorem Vieta, kita boleh menyatakan jumlah dan hasil darab punca KU sewenang-wenangnya dari segi pekalinya.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Secara keseluruhan, nombor 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah puncanya. Dengan kemahiran tertentu, menggunakan teorem yang dibentangkan, anda boleh menyelesaikan banyak persamaan kuadratik secara lisan serta-merta.
Teorem Vieta, sebagai tambahan. Ia adalah mudah kerana selepas menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara biasa (melalui diskriminasi), punca yang terhasil boleh disemak. Saya mengesyorkan melakukan ini sentiasa.
KAEDAH PENGANGKUTAN
Dengan kaedah ini, pekali "a" didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila punca-punca persamaan boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.
Jika A± b+c≠ 0, maka teknik pemindahan digunakan, contohnya:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Menggunakan teorem Vieta dalam persamaan (2), adalah mudah untuk menentukan bahawa x 1 = 10 x 2 = 1
Akar-akar persamaan yang terhasil mesti dibahagikan dengan 2 (memandangkan kedua-duanya "dilemparkan" daripada x 2), kita dapat
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
Apakah rasionalnya? Lihat apa yang berlaku.
Diskriminasi persamaan (1) dan (2) adalah sama:
Jika anda melihat punca-punca persamaan, anda hanya mendapat penyebut yang berbeza, dan hasilnya bergantung tepat pada pekali x 2:
Yang kedua (diubah suai) mempunyai akar yang 2 kali lebih besar.
Oleh itu, kami membahagikan hasilnya dengan 2.
*Jika kita melancarkan semula ketiga-tiga, kita akan membahagikan hasilnya dengan 3, dsb.
Jawapan: x 1 = 5 x 2 = 0.5
Sq. ur-ie dan Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Saya akan memberitahu anda secara ringkas tentang kepentingannya - ANDA MESTI BOLEH MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berfikir, anda perlu mengetahui formula akar dan diskriminasi dengan hati. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu bermuara kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (termasuk yang geometri).
Sesuatu yang patut diberi perhatian!
1. Bentuk penulisan persamaan boleh "tersirat". Sebagai contoh, entri berikut mungkin:
15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.
Awak perlu bawa dia ke pandangan standard(supaya tidak keliru ketika membuat keputusan).
2. Ingat bahawa x ialah kuantiti yang tidak diketahui dan ia boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.
Topik ini mungkin kelihatan sukar pada mulanya kerana ramai yang tidak begitu formula mudah. Bukan sahaja persamaan kuadratik itu sendiri mempunyai tatatanda yang panjang, tetapi punca juga ditemui melalui diskriminasi. Secara keseluruhan, tiga formula baru diperolehi. Tidak begitu mudah untuk diingati. Ini hanya mungkin selepas menyelesaikan persamaan sedemikian dengan kerap. Kemudian semua formula akan diingati sendiri.
Pandangan umum persamaan kuadratik
Di sini kami mencadangkan rakaman eksplisit mereka, apabila darjah terbesar ditulis dahulu, dan kemudian dalam susunan menurun. Selalunya terdapat situasi apabila terma tidak konsisten. Maka adalah lebih baik untuk menulis semula persamaan dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah.
Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Mereka dibentangkan dalam jadual di bawah.
Jika kita menerima tatatanda ini, semua persamaan kuadratik dikurangkan kepada tatatanda berikut.
Selain itu, pekali a ≠ 0. Biarkan formula ini ditetapkan sebagai nombor satu.
Apabila persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak punca yang akan ada dalam jawapan. Kerana satu daripada tiga pilihan sentiasa mungkin:
- penyelesaiannya akan mempunyai dua akar;
- jawapannya ialah satu nombor;
- persamaan itu tidak akan mempunyai punca sama sekali.
Dan sehingga keputusan dimuktamadkan, sukar untuk memahami pilihan mana yang akan muncul dalam kes tertentu.
Jenis-jenis rakaman persamaan kuadratik
Mungkin terdapat entri yang berbeza dalam tugasan. Mereka tidak akan sentiasa kelihatan seperti formula am persamaan kuadratik. Kadangkala ia akan kehilangan beberapa istilah. Apa yang ditulis di atas adalah persamaan lengkap. Jika anda mengalih keluar penggal kedua atau ketiga di dalamnya, anda mendapat sesuatu yang lain. Rekod ini juga dipanggil persamaan kuadratik, hanya tidak lengkap.
Selain itu, hanya istilah dengan pekali "b" dan "c" boleh hilang. Nombor "a" tidak boleh sama dengan sifar dalam apa jua keadaan. Kerana dalam kes ini formula menjadi persamaan linear. Formula untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah seperti berikut:
Jadi, hanya terdapat dua jenis; sebagai tambahan kepada yang lengkap, terdapat juga persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Biarkan formula pertama menjadi nombor dua, dan yang kedua - tiga.
Diskriminasi dan pergantungan bilangan akar pada nilainya
Anda perlu mengetahui nombor ini untuk mengira punca-punca persamaan. Ia sentiasa boleh dikira, tidak kira apa formula persamaan kuadratik itu. Untuk mengira diskriminasi, anda perlu menggunakan kesamaan yang ditulis di bawah, yang akan mempunyai nombor empat.
Selepas menggantikan nilai pekali ke dalam formula ini, anda boleh mendapatkan nombor dengan tanda yang berbeza. Jika jawapannya ya, maka jawapan kepada persamaan ialah dua pelbagai akar. Jika nombor itu negatif, tidak akan ada punca persamaan kuadratik. Jika sama dengan sifar, hanya ada satu jawapan.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap?
Malah, pertimbangan isu ini telah pun bermula. Kerana pertama anda perlu mencari diskriminasi. Selepas ditentukan bahawa terdapat punca persamaan kuadratik, dan bilangannya diketahui, anda perlu menggunakan formula untuk pembolehubah. Sekiranya terdapat dua akar, maka anda perlu menggunakan formula berikut.
Oleh kerana ia mengandungi tanda "±", akan ada dua makna. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua ialah diskriminasi. Oleh itu, formula boleh ditulis semula secara berbeza.
Formula nombor lima. Daripada rekod yang sama adalah jelas bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, maka kedua-dua punca akan mengambil nilai yang sama.
Jika menyelesaikan persamaan kuadratik belum lagi diusahakan, maka adalah lebih baik untuk menuliskan nilai semua pekali sebelum menggunakan formula diskriminasi dan pembolehubah. Nanti detik ini tidak akan menyebabkan kesukaran. Tetapi pada awalnya terdapat kekeliruan.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap?
Segala-galanya lebih mudah di sini. Tidak ada keperluan untuk formula tambahan. Dan mereka yang telah ditulis untuk diskriminasi dan yang tidak diketahui tidak akan diperlukan.
Pertama, mari kita lihat persamaan nombor dua yang tidak lengkap. Dalam kesamaan ini, adalah perlu untuk mengeluarkan kuantiti yang tidak diketahui daripada kurungan dan menyelesaikan persamaan linear, yang akan kekal dalam kurungan. Jawapannya akan mempunyai dua punca. Yang pertama semestinya sama dengan sifar, kerana terdapat pengganda yang terdiri daripada pembolehubah itu sendiri. Yang kedua akan diperolehi dengan menyelesaikan persamaan linear.
Persamaan nombor tiga yang tidak lengkap diselesaikan dengan memindahkan nombor dari sebelah kiri kesamaan ke kanan. Kemudian anda perlu membahagikan dengan pekali menghadap yang tidak diketahui. Yang tinggal hanyalah mengekstrak punca kuasa dua dan ingat untuk menuliskannya dua kali dengan tanda yang bertentangan.
Di bawah ialah beberapa langkah yang akan membantu anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis kesamaan yang bertukar menjadi persamaan kuadratik. Mereka akan membantu pelajar untuk mengelakkan kesilapan kerana tidak mengambil perhatian. Kelemahan ini boleh menyebabkan gred yang lemah apabila mempelajari topik yang luas "Persamaan Kuadratik (Gred Ke-8)." Selepas itu, tindakan ini tidak perlu dilakukan secara berterusan. Kerana kemahiran yang stabil akan muncul.
- Mula-mula anda perlu menulis persamaan dalam bentuk piawai. Iaitu, pertama istilah dengan darjah terbesar pembolehubah, dan kemudian - tanpa ijazah, dan terakhir - hanya nombor.
- Jika tolak muncul sebelum pekali "a", ia boleh merumitkan kerja untuk pemula yang mempelajari persamaan kuadratik. Lebih baik membuangnya. Untuk tujuan ini, semua kesaksamaan mesti didarab dengan "-1". Ini bermakna semua istilah akan menukar tanda kepada sebaliknya.
- Adalah disyorkan untuk menyingkirkan pecahan dengan cara yang sama. Cukup darab persamaan dengan faktor yang sesuai supaya penyebutnya dibatalkan.
Contoh
Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berikut:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Persamaan pertama: x 2 − 7x = 0. Ia tidak lengkap, oleh itu ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula nombor dua.
Selepas mengeluarkannya daripada kurungan, ternyata: x (x - 7) = 0.
Punca pertama mengambil nilai: x 1 = 0. Yang kedua akan didapati daripada persamaan linear: x - 7 = 0. Mudah untuk melihat bahawa x 2 = 7.
Persamaan kedua: 5x 2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula ketiga.
Selepas memindahkan 30 ke sebelah kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang anda perlu bahagikan dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawapannya ialah nombor: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Persamaan ketiga: 15 − 2x − x 2 = 0. Di sini dan seterusnya, menyelesaikan persamaan kuadratik akan bermula dengan menulis semula dalam bentuk piawai: − x 2 − 2x + 15 = 0. Kini tiba masanya untuk menggunakan yang kedua nasihat yang berguna dan darabkan semuanya dengan tolak satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 = 0. Menggunakan formula keempat, anda perlu mengira diskriminasi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ia adalah nombor positif. Daripada apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan itu mempunyai dua punca. Mereka perlu dikira menggunakan formula kelima. Ternyata x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 = 3, x 2 = - 5.
Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x = 0 diubah menjadi ini: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminasinya adalah sama dengan nilai ini: -23. Oleh kerana nombor ini negatif, jawapan kepada tugas ini ialah entri berikut: "Tiada akar."
Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 hendaklah ditulis semula seperti berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Selepas menggunakan formula untuk diskriminasi, nombor sifar diperoleh. Ini bermakna ia akan mempunyai satu punca, iaitu: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Persamaan keenam (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) memerlukan transformasi, yang terdiri daripada fakta bahawa anda perlu membawa istilah yang serupa, mula-mula membuka kurungan. Di tempat yang pertama akan terdapat ungkapan berikut: x 2 + 2x + 1. Selepas kesamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Selepas sebutan yang serupa dikira, persamaan akan mengambil bentuk: x 2 - x = 0. Ia telah menjadi tidak lengkap . Sesuatu yang serupa dengan ini telah dibincangkan lebih tinggi sedikit. Akar ini akan menjadi nombor 0 dan 1.
Mari kita pertimbangkan masalahnya. Tapak segi empat tepat adalah 10 cm lebih besar daripada ketinggiannya, dan luasnya ialah 24 cm². Cari ketinggian segi empat tepat itu. biarlah X sentimeter ialah ketinggian segi empat tepat, maka tapaknya adalah sama dengan ( X+10) cm Luas segiempat tepat ini ialah X(X+ 10) cm². Mengikut keadaan masalah X(X+ 10) = 24. Membuka kurungan dan memindahkan nombor 24 dengan tanda bertentangan ke dalam sebelah kiri persamaan, kita dapat: X² + 10 X-24 = 0. Apabila menyelesaikan masalah ini, satu persamaan telah diperolehi yang dipanggil kuadratik.
Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk
kapak ²+ bx+c= 0
di mana a, b, c- nombor yang diberikan, dan A≠ 0, dan X- tidak diketahui.
Kemungkinan a, b, c Persamaan kuadratik biasanya dipanggil: a- pekali pertama atau tertinggi, b- pekali kedua, c- ahli percuma. Sebagai contoh, dalam masalah kita, pekali utama ialah 1, pekali kedua ialah 10, dan sebutan bebas ialah -24. Menyelesaikan banyak masalah dalam matematik dan fizik datang kepada penyelesaian persamaan kuadratik.
Menyelesaikan Persamaan Kuadratik
Lengkapkan persamaan kuadratik. Langkah pertama ialah membawa persamaan yang diberikan kepada bentuk piawai kapak²+ bx+ c = 0. Mari kita kembali kepada masalah kita, di mana persamaan boleh ditulis sebagai X(X+ 10) = 24 mari bawa ke bentuk standard, buka kurungan X² + 10 X- 24 = 0, kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik am.
Ungkapan di bawah tanda akar dalam formula ini dipanggil diskriminasi D = b² - 4 ac
Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang berbeza, yang boleh didapati menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik.
Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca.
Jika D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Mari kita gantikan nilai ke dalam formula kami A= 1, b= 10, c= -24.
kita mendapat D>0, oleh itu kita mendapat dua punca.
Mari kita pertimbangkan contoh di mana D=0, di bawah keadaan ini harus ada satu punca.
25x² — 30 x+ 9 = 0
Pertimbangkan contoh di mana D<0, при этом условии решения не должно быть.
2x² + 3 x+ 4 = 0
Nombor di bawah tanda akar (diskriminan) adalah negatif; kami menulis jawapan seperti berikut: persamaan tidak mempunyai punca sebenar.
Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap
Persamaan kuadratik kapak² + bx+ c= 0 dipanggil tidak lengkap jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c sama dengan sifar. Persamaan kuadratik tidak lengkap ialah persamaan salah satu daripada jenis berikut:
kapak² = 0,
kapak² + c= 0, c≠ 0,
kapak² + bx= 0, b≠ 0.
Mari kita lihat beberapa contoh dan selesaikan persamaan
Membahagi kedua-dua belah persamaan dengan 5 memberikan persamaan X² = 0, jawapan akan mempunyai satu punca X= 0.
Pertimbangkan persamaan bentuk
3X² - 27 = 0
Membahagikan kedua-dua belah dengan 3, kita mendapat persamaan X² - 9 = 0, atau boleh ditulis X² = 9, jawapan akan mempunyai dua punca X= 3 dan X= -3.
Pertimbangkan persamaan bentuk
2X² + 7 = 0
Membahagikan kedua-dua belah dengan 2, kita mendapat persamaan X² = -7/2. Persamaan ini tidak mempunyai punca sebenar, kerana X² ≥ 0 untuk sebarang nombor nyata X.
Pertimbangkan persamaan bentuk
3X² + 5 X= 0
Memfaktorkan bahagian kiri persamaan, kita dapat X(3X+ 5) = 0, jawapan akan mempunyai dua punca X= 0, X=-5/3.
Perkara yang paling penting semasa menyelesaikan persamaan kuadratik ialah membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai, menghafal formula punca-punca persamaan kuadratik am dan tidak terkeliru dalam tanda-tanda.
Meneruskan topik "Menyelesaikan Persamaan," bahan dalam artikel ini akan memperkenalkan anda kepada persamaan kuadratik.
Mari kita lihat semuanya secara terperinci: intipati dan notasi persamaan kuadratik, tentukan istilah yang disertakan, menganalisis skema untuk menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap dan lengkap, berkenalan dengan formula akar dan diskriminasi, mewujudkan hubungan antara akar dan pekali, dan sudah tentu kami akan memberikan penyelesaian visual kepada contoh praktikal.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Persamaan kuadratik, jenisnya
Definisi 1Persamaan kuadratik ialah persamaan yang ditulis sebagai a x 2 + b x + c = 0, Di mana x– pembolehubah, a , b dan c– beberapa nombor, manakala a bukan sifar.
Selalunya, persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana pada dasarnya persamaan kuadratik ialah persamaan algebra darjah kedua.
Mari kita berikan satu contoh untuk menggambarkan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dsb. Ini adalah persamaan kuadratik.
Definisi 2
Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0, manakala pekali a dipanggil pertama, atau senior, atau pekali pada x 2, b - pekali kedua, atau pekali pada x, A c dipanggil ahli percuma.
Sebagai contoh, dalam persamaan kuadratik 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 pekali pendahulu ialah 6, pekali kedua ialah − 2 , dan istilah bebas adalah sama dengan − 11 . Marilah kita memberi perhatian kepada fakta bahawa apabila pekali b dan/atau c adalah negatif, maka bentuk pendek bentuk digunakan 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, tetapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Marilah kita juga menjelaskan aspek ini: jika pekali a dan/atau b sama rata 1 atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil bahagian yang jelas dalam menulis persamaan kuadratik, yang dijelaskan oleh keanehan menulis pekali berangka yang ditunjukkan. Sebagai contoh, dalam persamaan kuadratik y 2 − y + 7 = 0 pekali pendahulu ialah 1, dan pekali kedua ialah − 1 .
Persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang
Berdasarkan nilai pekali pertama, persamaan kuadratik dibahagikan kepada berkurang dan tidak berkurang.
Definisi 3
Persamaan kuadratik terkurang ialah persamaan kuadratik dengan pekali pendahuluan ialah 1. Untuk nilai lain pekali pendahulu, persamaan kuadratik tidak dikurangkan.
Mari kita berikan contoh: persamaan kuadratik x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 dikurangkan, di mana setiap satunya pekali pendahulu ialah 1.
9 x 2 − x − 2 = 0- persamaan kuadratik tidak dikurangkan, di mana pekali pertama berbeza daripada 1 .
Mana-mana persamaan kuadratik tidak dikurangkan boleh ditukar kepada persamaan terkurang dengan membahagikan kedua-dua belah dengan pekali pertama (transformasi setara). Persamaan yang ditransformasikan akan mempunyai punca yang sama dengan persamaan tidak dikurangkan yang diberikan atau juga tidak mempunyai punca sama sekali.
Pertimbangan contoh khusus akan membolehkan kita menunjukkan dengan jelas peralihan daripada persamaan kuadratik tidak dikurangkan kepada persamaan dikurangkan.
Contoh 1
Diberi persamaan 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Ia adalah perlu untuk menukar persamaan asal ke dalam bentuk terkurang.
Penyelesaian
Mengikut rajah di atas, kita bahagikan kedua-dua bahagian persamaan asal dengan pekali tertinggi 6. Kemudian kita dapat: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, dan ini adalah sama seperti: (6 x 2) : 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 dan seterusnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Oleh itu, persamaan yang setara dengan yang diberikan diperolehi.
Jawapan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap
Mari kita beralih kepada definisi persamaan kuadratik. Di dalamnya kami menyatakan bahawa a ≠ 0. Keadaan yang sama diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c = 0 adalah tepat segi empat sama, sejak pada a = 0 ia pada asasnya berubah menjadi persamaan linear b x + c = 0.
Dalam kes apabila pekali b Dan c adalah sama dengan sifar (yang mungkin, kedua-duanya secara individu dan bersama), persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap.
Definisi 4
Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan kuadratik sedemikian a x 2 + b x + c = 0, di mana sekurang-kurangnya satu daripada pekali b Dan c(atau kedua-duanya) adalah sifar.
Persamaan kuadratik lengkap– persamaan kuadratik di mana semua pekali berangka tidak sama dengan sifar.
Mari kita bincangkan mengapa jenis persamaan kuadratik diberikan dengan tepat nama-nama ini.
Apabila b = 0, persamaan kuadratik mengambil bentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadratik ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 = 0, yang setara a x 2 + b x = 0. Pada b = 0 Dan c = 0 persamaan akan mengambil bentuk a x 2 = 0. Persamaan yang kami perolehi berbeza daripada persamaan kuadratik lengkap kerana bahagian kirinya tidak mengandungi sama ada sebutan dengan pembolehubah x, atau sebutan bebas, atau kedua-duanya. Sebenarnya, fakta ini memberi nama kepada persamaan jenis ini - tidak lengkap.
Contohnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ialah persamaan kuadratik lengkap; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – persamaan kuadratik tidak lengkap.
Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap
Takrifan yang diberikan di atas membolehkan untuk membezakan jenis persamaan kuadratik tidak lengkap berikut:
- a x 2 = 0, persamaan ini sepadan dengan pekali b = 0 dan c = 0 ;
- a · x 2 + c = 0 pada b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 pada c = 0.
Mari kita pertimbangkan secara berurutan penyelesaian setiap jenis persamaan kuadratik tidak lengkap.
Penyelesaian persamaan a x 2 =0
Seperti yang dinyatakan di atas, persamaan ini sepadan dengan pekali b Dan c, sama dengan sifar. Persamaan a x 2 = 0 boleh ditukar kepada persamaan setara x 2 = 0, yang kita dapat dengan membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan nombor a, tidak sama dengan sifar. Fakta yang jelas ialah punca persamaan x 2 = 0 ini adalah sifar kerana 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang boleh dijelaskan oleh sifat darjah: untuk sebarang nombor p, tidak sama dengan sifar, ketaksamaan adalah benar p 2 > 0, dari mana ia mengikuti bahawa apabila p ≠ 0 kesaksamaan p 2 = 0 tidak akan tercapai.
Definisi 5
Oleh itu, untuk persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 = 0 terdapat punca tunggal x = 0.
Contoh 2
Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap − 3 x 2 = 0. Ia bersamaan dengan persamaan x 2 = 0, satu-satunya akarnya ialah x = 0, maka persamaan asal mempunyai punca tunggal - sifar.
Secara ringkas, penyelesaiannya ditulis seperti berikut:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Menyelesaikan persamaan a x 2 + c = 0
Seterusnya dalam baris ialah penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap, di mana b = 0, c ≠ 0, iaitu persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita ubah persamaan ini dengan memindahkan sebutan dari satu sisi persamaan ke yang lain, menukar tanda kepada yang bertentangan dan membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang tidak sama dengan sifar:
- pemindahan c ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = − c;
- bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, kita berakhir dengan x = - c a .
Transformasi kami adalah setara; oleh itu, persamaan yang terhasil juga bersamaan dengan yang asal, dan fakta ini memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang punca persamaan. Daripada nilai-nilai itu a Dan c nilai ungkapan - c a bergantung: ia boleh mempunyai tanda tolak (contohnya, jika a = 1 Dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (contohnya, jika a = − 2 Dan c = 6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); ia bukan sifar kerana c ≠ 0. Mari kita bincang dengan lebih terperinci tentang situasi apabila - c a< 0 и - c a > 0 .
Dalam kes apabila - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа hlm kesamaan p 2 = - c a tidak boleh benar.
Semuanya berbeza apabila - c a > 0: ingat punca kuasa dua, dan ia akan menjadi jelas bahawa punca persamaan x 2 = - c a akan menjadi nombor - c a, kerana - c a 2 = - c a. Tidak sukar untuk memahami bahawa nombor - - c a juga merupakan punca bagi persamaan x 2 = - c a: sesungguhnya, - - c a 2 = - c a.
Persamaan tidak akan mempunyai punca lain. Kita boleh menunjukkan ini menggunakan kaedah percanggahan. Sebagai permulaan, mari kita tentukan tatatanda untuk akar yang terdapat di atas sebagai x 1 Dan − x 1. Mari kita andaikan bahawa persamaan x 2 = - c a juga mempunyai punca x 2, yang berbeza dari akarnya x 1 Dan − x 1. Kita tahu bahawa dengan menggantikan ke dalam persamaan x akarnya, kita mengubah persamaan menjadi kesamaan berangka yang saksama.
Untuk x 1 Dan − x 1 kita tulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x 2- x 2 2 = - c a . Berdasarkan sifat kesamaan berangka, kami menolak satu sebutan kesamaan yang betul mengikut sebutan daripada yang lain, yang akan memberi kami: x 1 2 − x 2 2 = 0. Kami menggunakan sifat operasi dengan nombor untuk menulis semula kesamaan terakhir sebagai (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Diketahui bahawa hasil darab dua nombor adalah sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor adalah sifar. Daripada perkara di atas ia mengikuti bahawa x 1 − x 2 = 0 dan/atau x 1 + x 2 = 0, yang sama x 2 = x 1 dan/atau x 2 = − x 1. Percanggahan yang jelas timbul, kerana pada mulanya dipersetujui bahawa punca persamaan x 2 berbeza daripada x 1 Dan − x 1. Jadi, kita telah membuktikan bahawa persamaan itu tidak mempunyai punca selain daripada x = - c a dan x = - - c a.
Mari kita ringkaskan semua hujah di atas.
Definisi 6
Persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 + c = 0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 = - c a, yang:
- tidak akan mempunyai akar pada - c a< 0 ;
- akan mempunyai dua punca x = - c a dan x = - - c a untuk - c a > 0.
Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.
Contoh 3
Diberi persamaan kuadratik 9 x 2 + 7 = 0. Ia adalah perlu untuk mencari penyelesaian.
Penyelesaian
Mari kita alihkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan, maka persamaan akan menjadi bentuk 9 x 2 = − 7.
Mari kita bahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan 9
, kita tiba di x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat nombor dengan tanda tolak, yang bermaksud: persamaan yang diberikan tidak mempunyai punca. Kemudian persamaan kuadratik tidak lengkap asal 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan mempunyai akar.
Jawapan: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak mempunyai akar.
Contoh 4
Persamaan perlu diselesaikan − x 2 + 36 = 0.
Penyelesaian
Mari kita gerakkan 36 ke sebelah kanan: − x 2 = − 36.
Mari bahagikan kedua-dua bahagian dengan − 1
, kita mendapatkan x 2 = 36. Di sebelah kanan terdapat nombor positif, dari mana kita boleh membuat kesimpulan bahawa
x = 36 atau
x = - 36 .
Mari kita ekstrak punca dan tuliskan hasil akhir: persamaan kuadratik tidak lengkap − x 2 + 36 = 0 mempunyai dua akar x=6 atau x = − 6.
Jawapan: x=6 atau x = − 6.
Penyelesaian persamaan a x 2 +b x=0
Marilah kita menganalisis jenis ketiga persamaan kuadratik tidak lengkap, apabila c = 0. Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik yang tidak lengkap a x 2 + b x = 0, kita akan menggunakan kaedah pemfaktoran. Mari kita memfaktorkan polinomial yang berada di sebelah kiri persamaan, mengambil faktor sepunya daripada kurungan x. Langkah ini akan membolehkan untuk mengubah persamaan kuadratik tidak lengkap asal kepada persamaannya x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, adalah bersamaan dengan satu set persamaan x = 0 Dan a x + b = 0. Persamaan a x + b = 0 linear, dan akarnya: x = − b a.
Definisi 7
Oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 + b x = 0 akan mempunyai dua akar x = 0 Dan x = − b a.
Mari kita perkukuhkan bahan dengan contoh.
Contoh 5
Adalah perlu untuk mencari penyelesaian kepada persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.
Penyelesaian
Kami akan mengeluarkannya x di luar kurungan kita mendapat persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini bersamaan dengan persamaan x = 0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sekarang anda harus menyelesaikan persamaan linear yang terhasil: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Tulis secara ringkas penyelesaian kepada persamaan seperti berikut:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 atau x = 3 3 7
Jawapan: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminasi, formula untuk punca-punca persamaan kuadratik
Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik, terdapat rumus punca:
Definisi 8
x = - b ± D 2 · a, di mana D = b 2 − 4 a c– apa yang dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik.
Menulis x = - b ± D 2 · a pada asasnya bermakna x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Adalah berguna untuk memahami bagaimana formula ini diperoleh dan cara menggunakannya.
Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik
Marilah kita berhadapan dengan tugas menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0. Marilah kita melakukan beberapa transformasi yang setara:
- bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor a, berbeza daripada sifar, kita memperoleh persamaan kuadratik berikut: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- mari kita highlight segi empat tepat di sebelah kiri persamaan yang terhasil:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Sekarang adalah mungkin untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan, menukar tanda ke sebaliknya, selepas itu kita dapat: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Akhir sekali, kami mengubah ungkapan yang ditulis di sebelah kanan kesamaan terakhir:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
Oleh itu, kita sampai pada persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , bersamaan dengan persamaan asal a x 2 + b x + c = 0.
Kami meneliti penyelesaian persamaan tersebut dalam perenggan sebelumnya (menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap). Pengalaman yang telah diperoleh memungkinkan untuk membuat kesimpulan mengenai punca-punca persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:
- dengan b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- apabila b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 persamaan ialah x + b 2 · a 2 = 0, maka x + b 2 · a = 0.
Dari sini satu-satunya punca x = - b 2 · a adalah jelas;
- untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, yang berikut akan menjadi benar: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , yang sama dengan x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , iaitu. persamaan mempunyai dua punca.
Adalah mungkin untuk membuat kesimpulan bahawa kehadiran atau ketiadaan punca persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (dan oleh itu persamaan asal) bergantung pada tanda ungkapan b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ditulis di sebelah kanan. Dan tanda ungkapan ini diberikan oleh tanda pengangka, (penyebut 4 a 2 akan sentiasa positif), iaitu tanda ungkapan b 2 − 4 a c. Ungkapan ini b 2 − 4 a c nama diberikan - diskriminasi persamaan kuadratik dan huruf D ditakrifkan sebagai penetapannya. Di sini anda boleh menulis intipati diskriminasi - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka boleh membuat kesimpulan sama ada persamaan kuadratik akan mempunyai punca sebenar, dan, jika ya, berapakah bilangan punca - satu atau dua.
Mari kembali kepada persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Mari kita tulis semula menggunakan tatatanda diskriminasi: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Mari kita rumuskan kesimpulan kita sekali lagi:
Definisi 9
- di D< 0 persamaan tidak mempunyai punca sebenar;
- di D=0 persamaan mempunyai punca tunggal x = - b 2 · a ;
- di D > 0 persamaan mempunyai dua punca: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 atau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Berdasarkan sifat-sifat radikal, akar-akar ini boleh ditulis dalam bentuk: x = - b 2 · a + D 2 · a atau - b 2 · a - D 2 · a. Dan, apabila kita membuka modul dan membawa pecahan kepada penyebut sepunya, kita dapat: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Jadi, hasil daripada penaakulan kami ialah terbitan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminasi D dikira dengan formula D = b 2 − 4 a c.
Formula ini membolehkan untuk menentukan kedua-dua punca sebenar apabila diskriminasi lebih besar daripada sifar. Apabila diskriminasi adalah sifar, menggunakan kedua-dua formula akan memberikan punca yang sama sebagai satu-satunya penyelesaian kepada persamaan kuadratik. Dalam kes di mana diskriminasi adalah negatif, jika kita cuba menggunakan formula untuk punca persamaan kuadratik, kita akan berhadapan dengan keperluan untuk mengekstrak Punca kuasa dua daripada nombor negatif, yang akan membawa kita melebihi nombor nyata. Dengan diskriminasi negatif, persamaan kuadratik tidak akan mempunyai punca sebenar, tetapi sepasang punca konjugat kompleks mungkin, ditentukan oleh formula punca yang sama yang kami perolehi.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan rumus punca
Adalah mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan segera menggunakan formula punca, tetapi ini biasanya dilakukan apabila perlu untuk mencari punca kompleks.
Dalam kebanyakan kes, ia biasanya bermaksud mencari bukan kompleks, tetapi untuk punca sebenar persamaan kuadratik. Maka adalah optimum, sebelum menggunakan formula untuk punca persamaan kuadratik, terlebih dahulu menentukan diskriminasi dan pastikan ia tidak negatif (jika tidak, kita akan membuat kesimpulan bahawa persamaan tidak mempunyai punca sebenar), dan kemudian teruskan mengira nilai akar.
Penalaran di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.
Definisi 10
Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0, perlu:
- mengikut formula D = b 2 − 4 a c cari nilai diskriminasi;
- di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- untuk D = 0, cari punca tunggal bagi persamaan menggunakan formula x = - b 2 · a ;
- untuk D > 0, tentukan dua punca nyata bagi persamaan kuadratik menggunakan formula x = - b ± D 2 · a.
Ambil perhatian bahawa apabila diskriminasi adalah sifar, anda boleh menggunakan formula x = - b ± D 2 · a, ia akan memberikan hasil yang sama seperti formula x = - b 2 · a.
Mari lihat contoh.
Contoh penyelesaian persamaan kuadratik
Marilah kita memberi penyelesaian kepada contoh untuk nilai yang berbeza dari diskriminasi.
Contoh 6
Kita perlu mencari punca-punca persamaan x 2 + 2 x − 6 = 0.
Penyelesaian
Mari kita tuliskan pekali berangka bagi persamaan kuadratik: a = 1, b = 2 dan c = − 6. Seterusnya kita meneruskan mengikut algoritma, i.e. Mari kita mula mengira diskriminasi, yang mana kita akan menggantikan pekali a, b Dan c ke dalam formula diskriminasi: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Jadi kita mendapat D > 0, yang bermaksud bahawa persamaan asal akan mempunyai dua punca sebenar.
Untuk mencarinya, kita menggunakan formula akar x = - b ± D 2 · a dan, menggantikan nilai yang sepadan, kita dapat: x = - 2 ± 28 2 · 1. Mari kita permudahkan ungkapan yang terhasil dengan mengeluarkan faktor daripada tanda akar dan kemudian mengurangkan pecahan:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7
Jawapan: x = - 1 + 7 , x = - 1-7 .
Contoh 7
Perlu menyelesaikan persamaan kuadratik − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Penyelesaian
Mari kita tentukan diskriminasi: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Dengan nilai diskriminasi ini, persamaan asal hanya akan mempunyai satu punca, ditentukan oleh formula x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3.5
Jawapan: x = 3.5.
Contoh 8
Persamaan perlu diselesaikan 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Penyelesaian
Pekali berangka persamaan ini ialah: a = 5, b = 6 dan c = 2. Kami menggunakan nilai ini untuk mencari diskriminasi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminasi yang dikira adalah negatif, jadi persamaan kuadratik asal tidak mempunyai punca sebenar.
Dalam kes apabila tugasnya adalah untuk menunjukkan akar kompleks, kami menggunakan formula akar, melakukan tindakan dengan nombor kompleks:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 atau x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i atau x = - 3 5 - 1 5 · i.
Jawapan: tidak ada akar sebenar; punca kompleks adalah seperti berikut: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
DALAM kurikulum sekolah Tidak ada keperluan standard untuk mencari akar kompleks, oleh itu, jika semasa penyelesaian diskriminasi ditentukan untuk menjadi negatif, jawapannya segera ditulis bahawa tidak ada akar sebenar.
Formula akar untuk pekali kedua genap
Formula punca x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) memungkinkan untuk mendapatkan formula lain, lebih padat, membolehkan seseorang mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik dengan pekali genap untuk x ( atau dengan pekali bentuk 2 · n, contohnya, 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana formula ini diperolehi.
Marilah kita berhadapan dengan tugas mencari penyelesaian bagi persamaan kuadratik a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Kami meneruskan mengikut algoritma: kami menentukan diskriminasi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), dan kemudian gunakan formula akar:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
Biarkan ungkapan n 2 − a · c dilambangkan sebagai D 1 (kadangkala ia dilambangkan D "). Kemudian formula untuk punca-punca persamaan kuadratik yang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 · n akan mengambil bentuk:
x = - n ± D 1 a, dengan D 1 = n 2 − a · c.
Adalah mudah untuk melihat bahawa D = 4 · D 1, atau D 1 = D 4. Dalam erti kata lain, D 1 ialah satu perempat daripada diskriminasi. Jelas sekali, tanda D 1 adalah sama dengan tanda D, yang bermaksud tanda D 1 juga boleh berfungsi sebagai penunjuk kehadiran atau ketiadaan punca persamaan kuadratik.
Definisi 11
Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2 n, adalah perlu:
- cari D 1 = n 2 − a · c ;
- di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- apabila D 1 = 0, tentukan satu-satunya punca persamaan menggunakan formula x = - n a;
- untuk D 1 > 0, tentukan dua punca nyata menggunakan rumus x = - n ± D 1 a.
Contoh 9
Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.
Penyelesaian
Kita boleh mewakili pekali kedua bagi persamaan yang diberikan sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita menulis semula persamaan kuadratik yang diberi sebagai 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, di mana a = 5, n = − 3 dan c = − 32.
Mari kita hitung bahagian keempat diskriminasi: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Nilai yang terhasil adalah positif, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai dua punca nyata. Mari kita tentukan mereka menggunakan formula akar yang sepadan:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 atau x = - 2
Adalah mungkin untuk menjalankan pengiraan menggunakan formula biasa untuk punca-punca persamaan kuadratik, tetapi dalam kes ini penyelesaiannya akan menjadi lebih rumit.
Jawapan: x = 3 1 5 atau x = - 2 .
Mempermudahkan bentuk persamaan kuadratik
Kadang-kadang adalah mungkin untuk mengoptimumkan bentuk persamaan asal, yang akan memudahkan proses pengiraan akar.
Sebagai contoh, persamaan kuadratik 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jelas lebih mudah untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.
Lebih kerap, penyederhanaan bentuk persamaan kuadratik dijalankan dengan mendarab atau membahagi kedua-dua belahnya dengan nombor tertentu. Sebagai contoh, di atas kita menunjukkan perwakilan ringkas bagi persamaan 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, diperoleh dengan membahagikan kedua-dua belah dengan 100.
Penjelmaan sedemikian mungkin apabila pekali persamaan kuadratik bukan nombor koprima. Kemudian kita biasanya membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan pembahagi sepunya terbesar nilai mutlak pekalinya.
Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadratik 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Mari kita tentukan GCD bagi nilai mutlak pekalinya: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Mari kita bahagikan kedua-dua belah persamaan kuadratik asal dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadratik setara 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.
Dengan mendarab kedua-dua belah persamaan kuadratik, anda biasanya menyingkirkan pekali pecahan. Dalam kes ini, mereka mendarab dengan gandaan sepunya terkecil penyebut bagi pekalinya. Sebagai contoh, jika setiap bahagian persamaan kuadratik 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 didarab dengan LCM (6, 3, 1) = 6, maka ia akan ditulis dalam lebih dalam bentuk mudah x 2 + 4 x − 18 = 0 .
Akhir sekali, kita perhatikan bahawa kita hampir selalu menyingkirkan tolak pada pekali pertama persamaan kuadratik dengan menukar tanda-tanda setiap sebutan persamaan, yang dicapai dengan mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah dengan - 1. Sebagai contoh, daripada persamaan kuadratik − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, anda boleh pergi ke versi ringkasnya 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Hubungan antara punca dan pekali
Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, yang telah kita ketahui, x = - b ± D 2 · a, menyatakan punca-punca persamaan melalui pekali berangkanya. Bersandar pada formula ini, kita mempunyai peluang untuk menentukan kebergantungan lain antara punca dan pekali.
Formula yang paling terkenal dan terpakai ialah teorem Vieta:
x 1 + x 2 = - b a dan x 2 = c a.
Khususnya, untuk persamaan kuadratik yang diberikan, jumlah punca ialah pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Sebagai contoh, dengan melihat bentuk persamaan kuadratik 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, adalah mungkin untuk segera menentukan jumlah punca-puncanya ialah 7 3 dan hasil darab akar-akarnya ialah 22 3.
Anda juga boleh mencari beberapa sambungan lain antara punca dan pekali persamaan kuadratik. Sebagai contoh, jumlah kuasa dua punca persamaan kuadratik boleh dinyatakan dalam sebutan pekali:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
