Parabola ialah lengkung tak terhingga yang terdiri daripada titik yang sama jarak dari garis tertentu, dipanggil directrix parabola, dan titik tertentu, fokus parabola. Parabola ialah bahagian kon, iaitu, ia mewakili persilangan satah dan kon bulat.
DALAM Pandangan umum persamaan matematik parabola mempunyai bentuk: y=ax^2+bx+c, di mana a tidak sama dengan sifar, b mencerminkan sesaran mendatar graf fungsi berbanding dengan asalan, dan c ialah sesaran menegak bagi graf fungsi relatif kepada asal. Selain itu, jika a>0, maka apabila memplot graf ia akan diarahkan ke atas, dan jika aSifat parabola
Parabola ialah lengkung tertib kedua yang mempunyai paksi simetri yang melalui fokus parabola dan berserenjang dengan direktriks parabola.
Parabola mempunyai sifat optik khas, yang terdiri daripada memfokuskan sinar cahaya selari dengan paksi simetrinya dan diarahkan ke parabola di puncak parabola dan menyahfokus pancaran cahaya yang diarahkan pada puncak parabola menjadi sinar cahaya selari berbanding dengan paksi yang sama.
Jika anda mencerminkan parabola berbanding mana-mana tangen, maka imej parabola akan muncul pada directrixnya. Semua parabola adalah serupa antara satu sama lain, iaitu, bagi setiap dua titik A dan B satu parabola, terdapat titik A1 dan B1 yang mana pernyataan |A1,B1| = |A,B|*k, dengan k ialah pekali persamaan, yang dalam nilai berangka sentiasa lebih besar daripada sifar.
Manifestasi parabola dalam kehidupan
Beberapa jasad kosmik, seperti komet atau asteroid, melintas berhampiran objek angkasa besar kelajuan tinggi mempunyai trajektori dalam bentuk parabola. Sifat badan kosmik kecil ini digunakan dalam gerakan graviti kapal angkasa.
Untuk melatih angkasawan masa depan, penerbangan pesawat khas dilakukan di atas tanah di sepanjang trajektori parabola, dengan itu mencapai kesan tanpa berat dalam medan graviti bumi.
Dalam kehidupan seharian, parabola boleh didapati dalam pelbagai lekapan lampu. Ini disebabkan oleh sifat optik parabola. Salah satu cara terkini untuk menggunakan parabola, berdasarkan sifat memfokus dan menyahfokus sinar cahaya, ialah panel solar, yang semakin dimasukkan dalam sektor bekalan tenaga di wilayah selatan Rusia.
Fungsi borang di mana dipanggil fungsi kuadratik.
Graf fungsi kuadratik – parabola.
Mari kita pertimbangkan kes:
SAYA, PARABOLA KLASIK
Itu dia , ,
Untuk membina, isikan jadual dengan menggantikan nilai x ke dalam formula:
Tandakan mata (0;0); (1;1); (-1;1), dsb. pada satah koordinat (semakin kecil langkah yang kita ambil nilai x (dalam dalam kes ini langkah 1), dan semakin banyak nilai x yang kita ambil, semakin licin lengkungnya), kita mendapat parabola:
Adalah mudah untuk melihat bahawa jika kita mengambil kes , , , iaitu, maka kita mendapat parabola yang simetri tentang paksi (oh). Sangat mudah untuk mengesahkan ini dengan mengisi jadual yang serupa:
II KES, “a” BERBEZA DENGAN UNIT
Apa akan jadi jika kita ambil , , ? Bagaimanakah tingkah laku parabola akan berubah? Dengan tajuk="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Dalam gambar pertama (lihat di atas) jelas kelihatan bahawa mata dari jadual untuk parabola (1;1), (-1;1) telah diubah menjadi titik (1;4), (1;-4), iaitu, dengan nilai yang sama, ordinat bagi setiap titik didarab dengan 4. Ini akan berlaku kepada semua titik utama jadual asal. Kami memberi alasan yang sama dalam kes gambar 2 dan 3.
Dan apabila parabola "menjadi lebih lebar" daripada parabola:
Mari kita ringkaskan:
1)Tanda pekali menentukan arah cawangan. Dengan tajuk="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Nilai mutlak pekali (modulus) bertanggungjawab untuk "pengembangan" dan "mampatan" parabola. Semakin besar , semakin sempit parabola; semakin kecil |a|, semakin lebar parabola.
III KES, “C” MUNCUL
Sekarang mari kita perkenalkan ke dalam permainan (iaitu, pertimbangkan kes bila), kita akan mempertimbangkan parabola bentuk . Tidak sukar untuk meneka (anda sentiasa boleh merujuk kepada jadual) bahawa parabola akan beralih ke atas atau ke bawah sepanjang paksi bergantung pada tanda:
IV KES, “b” MUNCUL
Bilakah parabola akan "berpisah" dari paksi dan akhirnya "berjalan" di sepanjang seluruh satah koordinat? Bilakah ia akan berhenti menjadi sama?
Di sini untuk membina parabola yang kita perlukan formula untuk mengira bucu: , .
Jadi pada ketika ini (seperti pada titik (0;0) sistem baru koordinat) kita akan membina parabola, yang sudah boleh kita lakukan. Jika kita berurusan dengan kes itu, maka dari puncak kita meletakkan satu segmen unit ke kanan, satu ke atas, - titik yang terhasil adalah milik kita (begitu juga, satu langkah ke kiri, satu langkah ke atas adalah titik kita); jika kita berurusan dengan, sebagai contoh, maka dari puncak kita meletakkan satu segmen unit ke kanan, dua - ke atas, dll.
Sebagai contoh, puncak parabola:
Sekarang perkara utama yang perlu difahami ialah pada puncak ini kita akan membina parabola mengikut corak parabola, kerana dalam kes kita.
Apabila membina parabola selepas mencari koordinat bucu sangatAdalah mudah untuk mempertimbangkan perkara berikut:
1) parabola pasti akan melalui titik itu . Sesungguhnya, menggantikan x=0 ke dalam formula, kita memperoleh bahawa . Iaitu, ordinat titik persilangan parabola dengan paksi (oy) ialah . Dalam contoh kami (di atas), parabola bersilang dengan ordinat pada titik , sejak .
2) paksi simetri parabola ialah garis lurus, jadi semua titik parabola akan simetri mengenainya. Dalam contoh kami, kami segera mengambil titik (0; -2) dan membinanya secara simetri berbanding paksi simetri parabola, kami mendapat titik (4; -2) di mana parabola akan dilalui.
3) Menyamakan dengan , kita mengetahui titik persilangan parabola dengan paksi (oh). Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan. Bergantung pada diskriminasi, kami akan mendapat satu (, ), dua ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dalam contoh sebelumnya, punca diskriminasi kita bukan integer; apabila membina, tidak masuk akal untuk kita mencari punca, tetapi kita jelas melihat bahawa kita akan mempunyai dua titik persilangan dengan paksi (oh) (sejak title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Jadi mari kita selesaikan
Algoritma untuk membina parabola jika ia diberikan dalam bentuk
1) tentukan arah dahan (a>0 – atas, a<0 – вниз)
2) kita mencari koordinat bucu parabola menggunakan formula , .
3) kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi (oy) menggunakan istilah bebas, bina satu titik simetri ke titik ini berkenaan dengan paksi simetri parabola (perlu diperhatikan bahawa ia berlaku bahawa ia adalah tidak menguntungkan untuk menandakan titik ini, sebagai contoh, kerana nilainya besar... kita langkau titik ini...)
4) Pada titik yang ditemui - puncak parabola (seperti pada titik (0;0) sistem koordinat baharu) kami membina parabola. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Kami mencari titik persilangan parabola dengan paksi (oy) (jika mereka belum "muncul") dengan menyelesaikan persamaan
Contoh 1
Contoh 2
Nota 1. Jika parabola pada mulanya diberikan kepada kita dalam bentuk , di mana terdapat beberapa nombor (contohnya, ), maka ia akan menjadi lebih mudah untuk membinanya, kerana kita telah diberi koordinat puncak . kenapa?
Mari kita ambil trinomial kuadratik dan asingkan petak lengkap di dalamnya: Lihat, kita dapat , . Anda dan saya sebelum ini memanggil puncak parabola, iaitu, sekarang,.
Sebagai contoh, . Kami menandakan puncak parabola pada satah, kami faham bahawa cawangan diarahkan ke bawah, parabola diperluas (relatif kepada ). Iaitu, kami menjalankan mata 1; 3; 4; 5 daripada algoritma untuk membina parabola (lihat di atas).
Nota 2. Jika parabola diberikan dalam bentuk yang serupa dengan ini (iaitu, dibentangkan sebagai hasil dua faktor linear), maka kita segera melihat titik persilangan parabola dengan paksi (lembu). Dalam kes ini – (0;0) dan (4;0). Untuk selebihnya, kami bertindak mengikut algoritma, membuka kurungan.
Parabola ialah lokus titik dalam satah yang sama jaraknya dari titik F tertentu dan garis lurus tertentu d tidak melaluinya. titik yang diberikan. Definisi geometri ini menyatakan sifat pengarah parabola.
Sifat pengarah parabola
Titik F dipanggil fokus parabola, garis d ialah directrix parabola, titik tengah O serenjang diturunkan dari fokus ke directrix ialah bucu parabola, jarak p dari fokus ke directrix ialah parameter parabola, dan jarak \frac(p)(2) dari puncak parabola ke fokusnya ialah panjang fokus (Rajah 3.45a). Garis lurus berserenjang dengan directrix dan melalui fokus dipanggil paksi parabola (paksi fokus parabola). Segmen FM yang menghubungkan titik sewenang-wenangnya M parabola dengan fokusnya dipanggil jejari fokus titik M. Segmen yang menghubungkan dua titik parabola dipanggil kord parabola.
Untuk titik parabola yang sewenang-wenangnya, nisbah jarak ke fokus kepada jarak ke directrix adalah sama dengan satu. Membandingkan sifat pengarah , dan parabola, kami membuat kesimpulan bahawa kesipian parabola mengikut takrifan sama dengan satu (e=1).
Definisi geometri parabola, menyatakan sifat pengarahnya, adalah bersamaan dengan definisi analitikalnya - baris yang diberikan oleh persamaan kanonik parabola:
Malah, mari kita perkenalkan sistem koordinat segi empat tepat (Rajah 3.45, b). Kami mengambil bucu O parabola sebagai asal sistem koordinat; kita mengambil garis lurus yang melalui fokus berserenjang dengan directrix sebagai paksi absis (arah positif di atasnya adalah dari titik O ke titik F); Mari kita ambil garis lurus berserenjang dengan paksi absis dan melalui bucu parabola sebagai paksi ordinat (arah pada paksi ordinat dipilih supaya sistem koordinat segi empat tepat Oxy adalah betul).
Mari kita buat persamaan untuk parabola menggunakan definisi geometrinya, yang menyatakan sifat pengarah parabola. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F\!\left(\frac(p)(2);\,0\kanan) dan persamaan diretriks x=-\frac(p)(2) . Untuk titik arbitrari M(x,y) kepunyaan parabola, kita mempunyai:
FM=MM_d,
di mana M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\kanan) - unjuran ortografik titik M(x,y) kepada diretriks. Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat:
\sqrt((\kiri(x-\frac(p)(2)\kanan)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Kami kuasa duakan kedua-dua belah persamaan: (\kiri(x-\frac(p)(2)\kanan)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Membawa istilah yang sama, kita dapat persamaan parabola kanonik
y^2=2\cdot p\cdot x, mereka. sistem koordinat yang dipilih adalah kanonik.
Dengan menaakul dalam susunan terbalik, boleh ditunjukkan bahawa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.51), dan hanya mereka, tergolong dalam lokus titik yang dipanggil parabola. Oleh itu, definisi analitikal parabola adalah bersamaan dengan definisi geometrinya, yang menyatakan sifat pengarah parabola.
Persamaan parabola dalam sistem koordinat kutub
Persamaan parabola dalam sistem koordinat kutub Fr\varphi (Rajah 3.45, c) mempunyai bentuk
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), di mana p ialah parameter parabola, dan e=1 ialah kesipiannya.
Sebenarnya, sebagai kutub sistem koordinat kutub kita memilih fokus F parabola, dan sebagai paksi kutub - sinar dengan permulaan pada titik F, berserenjang dengan directrix dan tidak bersilang (Rajah 3.45, c) . Kemudian untuk titik arbitrari M(r,\varphi) kepunyaan parabola, menurut definisi geometri (sifat arah) parabola, kita mempunyai MM_d=r. Kerana ia MM_d=p+r\cos\varphi, kita memperoleh persamaan parabola dalam bentuk koordinat:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. Perhatikan bahawa dalam koordinat kutub persamaan elips, hiperbola dan parabola bertepatan, tetapi menerangkan garis yang berbeza, kerana ia berbeza dalam kesipian (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 untuk ).
Makna geometri parameter dalam persamaan parabola
Jom terangkan makna geometri parameter p dalam persamaan parabola kanonik. Menggantikan x=\frac(p)(2) ke dalam persamaan (3.51), kita memperoleh y^2=p^2, i.e. y=\pm p . Oleh itu, parameter p ialah separuh panjang kord parabola yang melalui fokusnya berserenjang dengan paksi parabola.
Parameter fokus parabola, dan juga untuk elips dan hiperbola, dipanggil separuh panjang kord yang melalui fokusnya berserenjang dengan paksi fokus (lihat Rajah 3.45, c). Daripada persamaan parabola dalam koordinat kutub di \varphi=\frac(\pi)(2) kita dapat r=p, i.e. parameter parabola bertepatan dengan parameter fokusnya.
Nota 3.11.
1. Parameter p parabola mencirikan bentuknya. Semakin besar p, semakin lebar cabang parabola, semakin hampir p kepada sifar, semakin sempit cabang parabola (Rajah 3.46).
2. Persamaan y^2=-2px (untuk p>0) mentakrifkan parabola, yang terletak di sebelah kiri paksi ordinat (Rajah 3.47,a). Persamaan ini dikurangkan kepada persamaan kanonik dengan menukar arah paksi-x (3.37). Dalam Rajah. 3.47,a menunjukkan sistem koordinat yang diberi Oxy dan Ox"y kanonik".
3. Persamaan (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 mentakrifkan parabola dengan bucu O"(x_0,y_0), yang paksinya selari dengan paksi absis (Rajah 3.47,6). Persamaan ini dikurangkan kepada satu kanonik menggunakan terjemahan selari (3.36).
Persamaan (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, juga mentakrifkan parabola dengan bucu O"(x_0,y_0), yang paksinya selari dengan paksi ordinat (Rajah 3.47, c). Persamaan ini dikurangkan kepada yang berkanun menggunakan terjemahan selari (3.36) dan menamakan semula paksi koordinat (3.38) Dalam Rajah 3.47,b,c menggambarkan sistem koordinat yang diberikan Oxy dan sistem koordinat kanonik Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 ialah parabola dengan bucu pada titiknya O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\kanan), paksi yang selari dengan paksi ordinat, cawangan parabola diarahkan ke atas (untuk a>0) atau ke bawah (untuk<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\kanan)^2=\frac(1)(a)\kiri(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\kanan)\!,
yang dikurangkan kepada bentuk kanonik (y")^2=2px" , di mana p=\kiri|\frac(1)(2a)\kanan|, menggunakan penggantian y"=x+\frac(b)(2a) Dan x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\kanan).
Tanda dipilih bertepatan dengan tanda pekali pendahulu a. Penggantian ini sepadan dengan komposisi: pemindahan selari (3.36) dengan x_0=-\frac(b)(2a) Dan y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), menamakan semula paksi koordinat (3.38), dan dalam kes a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 dan a<0 соответственно.
5. Paksi-x bagi sistem koordinat kanonik ialah paksi simetri parabola, kerana menggantikan pembolehubah y dengan -y tidak mengubah persamaan (3.51). Dalam erti kata lain, koordinat titik M(x,y), kepunyaan parabola, dan koordinat titik M"(x,-y), simetri kepada titik M berbanding paksi-x, memenuhi persamaan (3.S1) Paksi-paksi sistem koordinat kanonik dipanggil paksi utama parabola.
Contoh 3.22. Lukis parabola y^2=2x dalam sistem koordinat kanonik Oksi. Cari parameter fokus, koordinat fokus dan persamaan directrix.
Penyelesaian. Kami membina parabola, dengan mengambil kira simetrinya berbanding paksi absis (Rajah 3.49). Jika perlu, tentukan koordinat beberapa titik parabola. Sebagai contoh, menggantikan x=2 ke dalam persamaan parabola, kita dapat y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Akibatnya, titik dengan koordinat (2;2),\,(2;-2) tergolong dalam parabola.
Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik (3.S1), kami menentukan parameter fokus: p=1. Koordinat fokus x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, iaitu F\!\kiri(\frac(1)(2),\,0\kanan). Kami menyusun persamaan directrix x=-\frac(p)(2) , i.e. x=-\frac(1)(2) .
Sifat am elips, hiperbola, parabola
1. Sifat pengarah boleh digunakan sebagai definisi tunggal bagi elips, hiperbola, parabola (lihat Rajah 3.50): lokus titik dalam satah, bagi setiap satunya nisbah jarak ke titik F (fokus) kepada jarak ke garis lurus d (directrix) yang tidak melalui titik tertentu adalah malar dan sama dengan kesipian e , dipanggil:
a) jika 0\leqslant e<1 ;
b) jika e>1;
c) parabola jika e=1.
2. Elips, hiperbola, dan parabola diperoleh sebagai satah dalam bahagian kon bulat dan oleh itu dipanggil bahagian kon. Sifat ini juga boleh berfungsi sebagai takrifan geometri bagi elips, hiperbola dan parabola.
3. Sifat biasa elips, hiperbola dan parabola termasuk harta dua bahagian tangen mereka. Di bawah tangen ke garisan pada satu titik K difahamkan sebagai kedudukan mengehadkan KM sekan apabila titik M, kekal pada garis yang sedang dipertimbangkan, cenderung ke titik K. Garis lurus berserenjang dengan tangen kepada garis dan melalui titik tangen dipanggil biasa ke baris ini.
Sifat dua belah tangen (dan normal) kepada elips, hiperbola dan parabola dirumuskan seperti berikut: tangen (normal) kepada elips atau kepada hiperbola membentuk sudut yang sama dengan jejari fokus titik tangen(Rajah 3.51, a, b); tangen (normal) kepada parabola membentuk sudut yang sama dengan jejari fokus titik tangen dan serenjang jatuh daripadanya ke directrix.(Rajah 3.51, c). Dalam erti kata lain, tangen kepada elips pada titik K ialah pembahagi dua sudut luar segitiga F_1KF_2 (dan normal ialah pembahagi dua sudut dalaman F_1KF_2 bagi segi tiga); tangen kepada hiperbola ialah pembahagi bagi sudut dalaman segitiga F_1KF_2 (dan normal ialah pembahagi dua sudut luar); tangen kepada parabola ialah pembahagi dua bagi sudut dalam segitiga FKK_d (dan normal ialah pembahagi dua bagi sudut luar). Sifat dua belah bagi tangen kepada parabola boleh dirumuskan dengan cara yang sama seperti untuk elips dan hiperbola, jika kita mengandaikan bahawa parabola mempunyai fokus kedua pada satu titik pada infiniti.
4. Daripada sifat dua bahagian ia berikut sifat optik elips, hiperbola dan parabola, menerangkan maksud fizikal istilah "fokus". Mari kita bayangkan permukaan yang terbentuk dengan memutarkan elips, hiperbola atau parabola di sekeliling paksi fokus. Jika salutan reflektif digunakan pada permukaan ini, cermin elips, hiperbolik dan parabola diperoleh. Mengikut undang-undang optik, sudut tuju sinar cahaya pada cermin adalah sama dengan sudut pantulan, i.e. kejadian dan sinar pantulan membentuk sudut yang sama dengan normal ke permukaan, dan kedua-dua sinar dan paksi putaran berada dalam satah yang sama. Dari sini kita mendapat sifat berikut:
– jika sumber cahaya terletak pada salah satu fokus cermin elips, maka sinaran cahaya, yang dipantulkan dari cermin, dikumpulkan pada fokus lain (Rajah 3.52, a);
– jika sumber cahaya terletak di salah satu fokus cermin hiperbola, maka sinar cahaya, yang dipantulkan dari cermin, menyimpang seolah-olah ia datang dari fokus lain (Rajah 3.52, b);
– jika sumber cahaya berada pada fokus cermin parabola, maka sinaran cahaya, dipantulkan dari cermin, pergi selari dengan paksi fokus (Rajah 3.52, c).
5. Sifat diametrik elips, hiperbola dan parabola boleh dirumuskan seperti berikut:
– titik tengah kord selari elips (hiperbola) terletak pada satu garis lurus yang melalui pusat elips (hiperbola);
– titik tengah kord selari parabola terletak pada paksi kolinear simetri parabola yang lurus.
Lokus geometri bagi titik tengah semua kord selari elips (hiperbola, parabola) dipanggil diameter elips (hiperbola, parabola), bergabung dengan kord ini.
Ini adalah definisi diameter dalam erti kata sempit (lihat contoh 2.8). Sebelum ini, definisi diameter diberikan dalam erti kata yang luas, di mana diameter elips, hiperbola, parabola, dan garis tertib kedua yang lain ialah garis lurus yang mengandungi titik tengah semua kord selari. Dalam erti kata yang sempit, diameter elips ialah sebarang kord yang melalui pusatnya (Rajah 3.53, a); diameter hiperbola ialah sebarang garis lurus yang melalui pusat hiperbola (kecuali asimtot), atau sebahagian daripada garis lurus tersebut (Rajah 3.53,6); Diameter parabola ialah sebarang sinar yang terpancar dari titik tertentu parabola dan kolinear ke paksi simetri (Rajah 3.53, c).
Dua diameter, yang setiap satunya membelah semua kord selari dengan diameter yang lain, dipanggil konjugat. Dalam Rajah 3.53, garis tebal menunjukkan diameter konjugat bagi elips, hiperbola dan parabola.
Tangen kepada elips (hiperbola, parabola) pada titik K boleh ditakrifkan sebagai kedudukan had bagi secan selari M_1M_2, apabila titik M_1 dan M_2, kekal pada garis yang sedang dipertimbangkan, cenderung ke titik K. Daripada takrifan ini, ia mengikuti bahawa tangen selari dengan kord melalui hujung konjugat diameter ke kord ini.
6. Elips, hiperbola dan parabola mempunyai, sebagai tambahan kepada yang diberikan di atas, banyak sifat geometri dan aplikasi fizikal. Sebagai contoh, Rajah 3.50 boleh berfungsi sebagai ilustrasi trajektori objek angkasa yang terletak di sekitar pusat graviti F.
Pertimbangkan garis pada satah dan titik tidak terletak pada garis ini. DAN elips, Dan hiperbola boleh ditakrifkan dengan cara bersatu sebagai lokus geometri titik yang nisbah jarak ke titik tertentu dengan jarak ke garis lurus tertentu adalah nilai tetap.
pangkat ε. Pada 0 1 - hiperbola. Parameter ε ialah kesipian kedua-dua elips dan hiperbola. Daripada kemungkinan nilai positif parameter ε, satu, iaitu ε = 1, ternyata tidak digunakan. Nilai ini sepadan dengan lokus geometri titik yang sama jarak dari titik tertentu dan dari garis tertentu.
Definisi 8.1. Lokus titik dalam satah yang sama jarak dari titik tetap dan dari garis tetap dipanggil parabola.
Titik tetap dipanggil tumpuan parabola, dan garis lurus - arahan parabola. Pada masa yang sama, dipercayai bahawa kesipian parabola sama dengan satu.
Daripada pertimbangan geometri, ia menunjukkan bahawa parabola adalah simetri berkenaan dengan garis lurus yang berserenjang dengan directrix dan melalui fokus parabola. Garis lurus ini dipanggil paksi simetri parabola atau ringkasnya paksi parabola. Parabola memotong paksi simetrinya pada satu titik. Titik ini dipanggil puncak parabola. Ia terletak di tengah-tengah segmen yang menghubungkan fokus parabola dengan titik persilangan paksinya dengan directrix (Rajah 8.3).
Persamaan parabola. Untuk mendapatkan persamaan parabola, kita memilih pada satah asal usul pada puncak parabola, sebagai paksi-x- paksi parabola, arah positif yang ditentukan oleh kedudukan fokus (lihat Rajah 8.3). Sistem koordinat ini dipanggil berkanun bagi parabola berkenaan, dan pembolehubah yang sepadan ialah berkanun.
Mari kita nyatakan jarak dari fokus ke directrix dengan p. Dia dipanggil parameter fokus parabola.
Kemudian fokus mempunyai koordinat F(p/2; 0), dan diretriks d diterangkan oleh persamaan x = - p/2. Lokus titik M(x; y), sama jarak dari titik F dan dari garis d, diberikan oleh persamaan
Mari kita persamaan kuasa dua (8.2) dan kemukakan persamaan. Kami mendapat persamaan
yang dipanggil persamaan parabola kanonik.
Ambil perhatian bahawa kuasa dua dalam kes ini ialah transformasi setara bagi persamaan (8.2), kerana kedua-dua belah persamaan adalah bukan negatif, seperti ungkapan di bawah radikal.
Jenis parabola. Jika parabola y 2 = x, bentuk yang kita anggap diketahui, dimampatkan dengan pekali 1/(2р) sepanjang paksi absis, maka parabola bentuk umum diperoleh, yang diterangkan oleh persamaan (8.3).
Contoh 8.2. Mari kita cari koordinat fokus dan persamaan direktriks parabola jika ia melalui titik yang koordinat kanoniknya ialah (25; 10).
Dalam koordinat kanonik, persamaan parabola mempunyai bentuk y 2 = 2px. Oleh kerana titik (25; 10) berada pada parabola, maka 100 = 50p dan oleh itu p = 2. Oleh itu, y 2 = 4x ialah persamaan kanonik parabola, x = - 1 ialah persamaan directrixnya, dan tumpuan adalah pada titik (1; 0 ).
Sifat optik parabola. Parabola mempunyai yang berikut sifat optik. Jika sumber cahaya diletakkan pada fokus parabola, maka semua sinar cahaya selepas pantulan dari parabola akan selari dengan paksi parabola (Rajah 8.4). Sifat optik bermaksud bahawa pada mana-mana titik M parabola vektor biasa tangen membuat sudut yang sama dengan jejari fokus MF dan paksi absis.
Definisi 1. Parabola ialah set semua titik satah, setiap satunya adalah sama jauh dari titik tertentu, dipanggil fokus, dan dari garis tertentu tidak melalui titik tertentu dan dipanggil guru besar.
Mari kita buat persamaan untuk parabola dengan fokus pada titik tertentu F dan arahannya ialah garisan d, tidak melalui F. Marilah kita memilih sistem koordinat segi empat tepat seperti berikut: paksi Oh mari kita melalui fokus F berserenjang dengan pengarah d ke arah dari d Kepada F, dan asal usul TENTANG Mari letakkannya di tengah-tengah antara fokus dan directrix (Gamb. 1).
Definisi 2. Jarak fokus F kepada guru besar d dipanggil parameter parabola dan dilambangkan dengan p(hlm> 0).
Daripada Rajah. 1 adalah jelas bahawa p = FK, oleh itu fokus mempunyai koordinat F (m/2; 0), dan persamaan diretriks mempunyai bentuk X= – r/2, atau
biarlah M(x;y) ialah titik arbitrari parabola. Mari kita sambungkan titik M Dengan F dan kami akan habiskan MN d. Terus dari Rajah. 1 adalah jelas bahawa
dan mengikut formula untuk jarak antara dua titik 
Menurut definisi parabola, MF = MN, (1)
oleh itu, 
(2)
Persamaan (2) ialah persamaan parabola yang diperlukan. Untuk memudahkan persamaan (2), kita mengubahnya seperti berikut:
itu.,
Koordinat X Dan di mata M parabola memenuhi syarat (1), dan oleh itu persamaan (3).
Definisi 3. Persamaan (3) dipanggil persamaan kanonik parabola.
2. Mengkaji bentuk parabola menggunakan persamaannya. Mari kita tentukan bentuk parabola menggunakan persamaan kanoniknya (3).
1) Koordinat titik O (0; 0) memenuhi persamaan (3), oleh itu, parabola yang ditakrifkan oleh persamaan ini melalui asalan.
2) Oleh kerana dalam persamaan (3) pembolehubah di dimasukkan hanya dalam walaupun ijazah, kemudian parabola y 2 = 2px simetri tentang paksi absis.
3) Sejak p > 0, maka dari (3) ia mengikuti x ≥ 0. Akibatnya, parabola y 2 = 2px terletak di sebelah kanan paksi OU.
4) Apabila absis meningkat X daripada 0 kepada +∞ ordinat di berbeza daripada 0 sebelum ini ± ∞, iaitu titik parabola bergerak tanpa had dari paksi Oh, dan dari paksi OU.
Parabola y 2 = 2px mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 2.
Definisi 4. paksi Oh dipanggil paksi simetri parabola. titik O (0; 0) persilangan parabola dengan paksi simetri dipanggil puncak parabola. Segmen garisan FM dipanggil jejari fokus mata M.
Komen. Untuk mencipta persamaan parabola bagi bentuk y 2 = 2px kami secara khusus memilih sistem koordinat segi empat tepat (lihat titik 1). Jika sistem koordinat dipilih dengan cara yang berbeza, maka persamaan parabola akan mempunyai bentuk yang berbeza.
A
Jadi, sebagai contoh, jika anda mengarahkan paksi Oh daripada fokus kepada pengarah (Rajah 3, A
y 2 = –2px. (4)
F(–р/2; 0), dan guru besar d diberikan oleh persamaan x = p/2.
Jika paksi OU mari kita melalui fokus F d ke arah dari d Kepada F, dan asal usul TENTANG letakkannya di tengah-tengah antara fokus dan direktriks (Rajah 3, b), maka persamaan parabola adalah contoh bentuk
x 2 = 2ru . (5)
Tumpuan parabola sedemikian mempunyai koordinat F (0; hlm/2), dan guru besar d diberikan oleh persamaan y=–p/2.
Jika paksi OU mari kita melalui fokus F berserenjang dengan pengarah d ke arah dari F Kepada d(Gamb. 3, V), maka persamaan parabola mengambil bentuk
x 2 = –2ru (6)
Koordinat fokusnya ialah F (0; –р/2), dan persamaan diretriks d kehendak y = p/2.
Persamaan (4), (5), (6) dikatakan mempunyai bentuk termudah.
3. Pemindahan selari parabola. Biarkan sebuah parabola diberi dengan bucunya pada titik O" (a; b), paksi simetri yang selari dengan paksi OU, dan cawangan diarahkan ke atas (Rajah 4). Anda perlu mencipta persamaan untuk parabola.
(9)
Definisi 5. Persamaan (9) dipanggil persamaan parabola dengan bucu tersesar.
Mari kita ubah persamaan ini seperti berikut:
Meletakkan 
pasti akan 
(10)
Ia tidak sukar untuk menunjukkannya kepada mana-mana A, B, C jadual trinomial kuadratik(10) ialah parabola dalam erti kata Definisi 1. Persamaan parabola dalam bentuk (10) telah dipelajari dalam kursus algebra sekolah.
LATIHAN UNTUK PENYELESAIAN BEBAS
No 1. Tulis persamaan bulatan:
a. dengan pusat di tempat asal dan jejari 7;
b. dengan pusat pada titik (-1;4) dan jejari 2.
Bina data bulatan dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat.
No 2. Susun persamaan kanonik bagi elips dengan bucu
dan helah 
No 3. Bina elips yang diberikan oleh persamaan kanonik:
1) 2) 
No 4. Susun persamaan kanonik bagi elips dengan bucu
dan helah 
No 5. Susun persamaan kanonik hiperbola dengan bucu
dan helah
No 6. Susun persamaan kanonik hiperbola jika:
1. jarak antara fokus dan antara bucu
2. separuh paksi sebenar, dan kesipian;
3. memfokuskan pada paksi, paksi sebenar ialah 12, dan paksi khayalan ialah 8.
No 7. Bina hiperbola yang diberikan oleh persamaan kanonik:
1) 2) 
.
No 8. Tulis persamaan kanonik parabola jika:
1) parabola terletak di separuh satah kanan secara simetri berbanding paksi dan parameternya;
2) parabola terletak di separuh satah kiri secara simetri berbanding paksi dan parameternya ialah .
Bina parabola ini, fokus dan direktriksnya.
No 9. Tentukan jenis garis jika persamaannya ialah:
SOALAN UJIAN KENDIRI
1. Vektor di angkasa.
1.1. Apakah vektor?
1.2. Apakah magnitud mutlak vektor?
1.3. Apakah jenis vektor dalam ruang yang anda tahu?
1.4. Apakah tindakan yang boleh anda lakukan dengan mereka?
1.5. Apakah koordinat vektor? Bagaimana untuk mencari mereka?
2. Tindakan pada vektor yang ditentukan oleh koordinatnya.
2.1. Apakah tindakan yang boleh dilakukan dengan vektor yang diberikan dalam bentuk koordinat (peraturan, kesamaan, contoh); bagaimana untuk mencari nilai mutlak bagi vektor tersebut.
2.2. sifat:
2.2.1 kolinear;
2.2.2 berserenjang;
2.2.3 coplanar;
2.2.4 vektor yang sama.
(rumusan, persamaan).
3. Persamaan garis lurus. Masalah yang digunakan.
3.1. Apakah jenis persamaan garis lurus yang anda tahu (boleh menulis dan mentafsir daripada rakaman);
3.2. Bagaimana untuk memeriksa keselarian - keserenjangan dua garis lurus yang ditentukan oleh persamaan dengan pekali sudut atau persamaan am?
3.3. Bagaimana untuk mencari jarak dari satu titik ke garisan antara dua titik?
3.4. Bagaimana untuk mencari sudut antara garis yang diberikan oleh persamaan garis am atau persamaan cerun?
3.5. Bagaimana untuk mencari koordinat titik tengah segmen dan panjang segmen ini?
4. Persamaan satah. Masalah yang digunakan.
4.1. Apakah jenis persamaan satah yang anda tahu (boleh menulis dan mentafsir daripada rakaman)?
4.2. Bagaimana untuk memeriksa keselarian dan keserenjangan garis lurus di angkasa?
4.3. Bagaimana untuk mencari jarak dari titik ke satah dan sudut antara satah?
4.4. Bagaimana untuk meneroka susunan bersama garis lurus dan satah di angkasa?
4.5. Jenis persamaan garis dalam ruang: umum, kanonik, parametrik, melalui dua titik tertentu.
4.6. Bagaimana untuk mencari sudut antara garis lurus dan jarak antara titik dalam ruang?
5. Baris urutan kedua.
5.1. Ellipse: takrif, fokus, bucu, paksi besar dan kecil, jejari fokus, kesipian, persamaan directrix, persamaan termudah (atau kanonik) bagi elips; melukis.
5.2. Hiperbola: takrif, fokus, bucu, paksi nyata dan khayalan, jejari fokus, kesipian, persamaan directrix, persamaan hiperbola termudah (atau kanonik); melukis.
5.3. Parabola: takrif, fokus, directrix, bucu, parameter, paksi simetri, persamaan termudah (atau kanonik) parabola; melukis.
Nota kepada 4.1, 4.2, 4.3: Untuk setiap baris pesanan ke-2, dapat menerangkan pembinaan.
TUGASAN UJIAN KENDIRI
1. Mata yang diberikan: 
, dengan N ialah nombor pelajar dalam senarai.
3) cari jarak dari titik M ke satah P.
4. Bina garis tertib kedua yang diberikan oleh persamaan kanoniknya:
.
KESUSASTERAAN
1. Matematik lebih tinggi untuk ahli ekonomi - Buku teks untuk universiti, ed. N.Sh. Kremer et al., Moscow, UNITY, 2003.
2. Barkovsky V.V., Barkovska N.V. - Matematik Vischa untuk ahli ekonomi - Kiev, TsUL, 2002.
3. Suvorov I.F. - Kursus matematik yang lebih tinggi. - M., Sekolah Tinggi, 1967.
4. Tarasov N.P. - Kursus matematik tinggi untuk sekolah teknik. - M.; Sains, 1969.
5. Zaitsev I.L. - Elemen matematik tinggi untuk sekolah teknik. - M.; Sains, 1965.
6. Valutse N.N., Diligul G.D. - Matematik untuk sekolah teknik. - M.; Sains, 1990.
7. Shipachev V.S. - Matematik yang lebih tinggi. Buku teks untuk universiti - M.: Higher School, 2003.
