Rumah Lidah bersalut Penyelesaian Perelman kepada tekaan Poincaré. Satu juta dolar untuk lubang donat

Lidah bersalut

Penyelesaian Perelman kepada tekaan Poincaré. Satu juta dolar untuk lubang donat

Apakah intipati teorem Poincaré?

E telah dibuktikan oleh Sophia berambut MERAH, tetapi dia juga berambut MERAH....
Intinya ialah Alam Semesta tidak berbentuk seperti sfera, tetapi seperti donat.
Maksud tekaan Poincaré dalam rumusan asalnya ialah untuk mana-mana jasad tiga dimensi tanpa lubang terdapat perubahan yang membolehkan ia bertukar menjadi bola tanpa memotong dan melekat. Jika ini kelihatan jelas, maka bagaimana jika ruang bukan tiga dimensi, tetapi mengandungi sepuluh atau sebelas dimensi (iaitu, kita bercakap tentang rumusan umum konjektur Poincaré, yang dibuktikan oleh Perelman)
anda tidak boleh memberitahunya dalam 2 perkataan
Pada tahun 1900, Poincaré mencadangkan bahawa manifold tiga dimensi dengan semua kumpulan homologi sfera adalah homeomorfik kepada sfera. Pada tahun 1904, beliau juga menemui contoh balas, kini dipanggil sfera Poincaré, dan merumuskan versi akhir hipotesisnya. Percubaan untuk membuktikan sangkaan Poincaré telah membawa kepada banyak kemajuan dalam topologi manifold.
Bukti sangkaan Poincaré umum untuk n #10878; 5 diperoleh pada awal 1960-an dan 1970-an hampir serentak oleh Smale, secara bebas dan dengan kaedah lain oleh Stallings (Bahasa Inggeris) (untuk n #10878; 7, buktinya telah diperluaskan kepada kes n = 5 dan 6 oleh Zeeman (Bahasa Inggeris)) . Bukti kes yang lebih sukar n = 4 hanya diperoleh pada tahun 1982 oleh Friedman. Daripada teorem Novikov mengenai invarian topologi kelas ciri Pontryagin, ia mengikuti bahawa wujud setara homotopi, tetapi bukan homeomorfik, manifold dalam dimensi tinggi.
Bukti tekaan Poincaré asal (dan tekaan Trston yang lebih umum) ditemui hanya pada tahun 2002 oleh Grigory Perelman. Selepas itu, bukti Perelman telah disahkan dan dibentangkan dalam bentuk yang diperluaskan oleh sekurang-kurangnya tiga kumpulan saintis. 1 Buktinya menggunakan aliran Ricci dengan pembedahan dan sebahagian besarnya mengikut pelan yang digariskan oleh Hamilton, yang juga orang pertama menggunakan aliran Ricci.
siapa ini
Teorem Poincare:
Teorem Poincaré pada medan vektor
Teorem Poincaré Bendixson
Teorem Poincaré mengenai klasifikasi homeomorfisme bulatan
Dugaan Poincaré tentang sfera homotopi
Teorem pengembalian Poincaré
Yang mana satu yang anda tanyakan?
Dalam teori sistem dinamik, teorem Poincaré mengenai klasifikasi homeomorfisme bulatan menerangkan kemungkinan jenis dinamik boleh terbalik pada bulatan, bergantung pada nombor putaran p(f) pemetaan lelaran f. Secara kasarnya, ternyata bahawa dinamik lelaran pemetaan adalah pada tahap tertentu serupa dengan dinamik putaran oleh sudut yang sepadan.
Iaitu, biarkan homeomorfisme bulatan f diberikan. Kemudian:
1) Nombor putaran adalah rasional jika dan hanya jika f mempunyai titik berkala. Dalam kes ini, penyebut nombor putaran ialah tempoh mana-mana titik berkala, dan susunan kitaran pada bulatan titik mana-mana orbit berkala adalah sama dengan titik orbit putaran pada p(f). Selanjutnya, mana-mana trajektori cenderung kepada beberapa berkala dalam masa hadapan dan dalam masa belakang (trajektori had a- dan -w mungkin berbeza).
2) Jika nombor putaran f adalah tidak rasional, maka dua pilihan adalah mungkin:
i) sama ada f mempunyai orbit padat, dalam hal ini homeomorfisme f adalah konjugat kepada putaran oleh p(f). Dalam kes ini, semua orbit f adalah padat (kerana ini benar untuk putaran tidak rasional);
ii) sama ada f mempunyai set invarian Cantor C, yang merupakan satu-satunya set minimum sistem. Dalam kes ini, semua trajektori cenderung kepada C dalam masa hadapan dan belakang. Selain itu, pemetaan f adalah semikonjugat kepada putaran oleh p(f): untuk beberapa pemetaan h darjah 1, p o f =R p (f) o h
Selain itu, set C ialah set titik pertumbuhan h dengan kata lain, dari sudut topologi, h meruntuhkan selang pelengkap kepada C.
pokok perkara itu ialah $1 juta
Hakikatnya tiada siapa yang memahaminya kecuali 1 orang
Dalam dasar luar Perancis...
Di sini Lka menjawab terbaik daripada semua http://otvet.mail.ru/question/24963208/
Seorang ahli matematik yang cemerlang, profesor Paris Henri Poincaré bekerja dalam pelbagai bidang sains ini. Secara bebas dan bebas daripada karya Einstein pada tahun 1905, beliau mengemukakan prinsip utama Teori Relativiti Khas. Dan dia merumuskan hipotesisnya yang terkenal pada tahun 1904, jadi ia mengambil masa kira-kira satu abad untuk menyelesaikannya.
Poincaré adalah salah seorang pengasas topologi, sains sifat-sifat angka geometri yang tidak berubah di bawah ubah bentuk yang berlaku tanpa pecah. Sebagai contoh, belon boleh diubah bentuk dengan mudah menjadi pelbagai bentuk, seperti yang dilakukan untuk kanak-kanak di taman. Tetapi anda perlu memotong bola untuk memutarnya menjadi donat (atau, dalam bahasa geometri, torus tidak ada); Dan sebaliknya: ambil donat getah dan cuba ubah menjadi sfera. Walau bagaimanapun, ia masih tidak akan berfungsi. Mengikut sifat topologinya, permukaan sfera dan torus tidak serasi, atau bukan homeomorfik. Tetapi mana-mana permukaan tanpa lubang (permukaan tertutup), sebaliknya, adalah homeomorfik dan mampu menjadi cacat dan berubah menjadi sfera.
Jika semuanya telah diputuskan tentang permukaan dua dimensi sfera dan torus pada abad ke-19, ia mengambil masa yang lebih lama untuk lebih banyak kes multidimensi. Ini, sebenarnya, adalah intipati tekaan Poincaré, yang memanjangkan corak kepada kes multidimensi. Memudahkan sedikit, tekaan Poincaré menyatakan: Setiap manifold n-dimensi tertutup yang disambungkan secara ringkas adalah homeomorfik kepada sfera n-dimensi. Sungguh melucukan bahawa pilihan dengan permukaan tiga dimensi ternyata menjadi yang paling sukar. Pada tahun 1960, hipotesis telah dibuktikan untuk dimensi 5 dan lebih tinggi, pada tahun 1981 untuk n=4. Batu penghalang itu adalah tepat tiga dimensi.
Membangunkan idea William Trsten dan Richard Hamilton, yang dicadangkan oleh mereka pada 1980-an, Grigory Perelman menggunakan persamaan khas evolusi licin pada permukaan tiga dimensi. Dan dia dapat menunjukkan bahawa permukaan tiga dimensi asal (jika tiada ketakselanjaran di dalamnya) semestinya akan berkembang menjadi sfera tiga dimensi (ini adalah permukaan bola empat dimensi, dan ia wujud dalam 4 dimensi. ruang). Menurut beberapa pakar, ini adalah idea generasi baru, penyelesaiannya membuka cakrawala baru untuk sains matematik.
Adalah menarik bahawa atas sebab tertentu Perelman sendiri tidak peduli untuk membawa keputusannya kepada kecemerlangan terakhir. Setelah menerangkan penyelesaian secara keseluruhan dalam pracetak Formula entropi untuk aliran Ricci dan aplikasi geometrinya pada November 2002, pada Mac 2003 beliau menambah bukti dan membentangkannya dalam aliran Ricci pracetak dengan pembedahan pada tiga manifold, dan juga melaporkan mengenai kaedah dalam syarahan bersiri yang beliau sampaikan pada tahun 2003 atas jemputan beberapa universiti. Tiada seorang pun daripada pengulas dapat menemui kesilapan dalam versi yang dicadangkannya, tetapi Perelman tidak menerbitkan penerbitan dalam penerbitan saintifik yang disemak oleh rakan sebaya (yang, khususnya, merupakan syarat yang diperlukan untuk menerima Hadiah Institut Matematik Tanah Liat). Tetapi pada tahun 2006, berdasarkan kaedahnya, satu set bukti telah dikeluarkan, di mana ahli matematik Amerika dan Cina meneliti masalah itu secara terperinci dan lengkap, menambah mata yang ditinggalkan oleh Perelman, dan memberikan bukti muktamad bagi sangkaan Poincaré.
Konjektur umum Poincaré menyatakan bahawa:
Untuk mana-mana n, mana-mana manifold dimensi n adalah homotopi bersamaan dengan sfera dimensi n jika dan hanya jika ia adalah homeomorfik kepadanya.
Konjektur Poincaré asal ialah kes khas sangkaan umum untuk n = 3.
Untuk penjelasan, pergi ke hutan untuk memetik cendawan, Grigory Perelman pergi ke sana)
Teorem pulangan Poincaré adalah salah satu teorem asas teori ergodik. Intipatinya ialah dengan pemetaan ruang yang mengekalkan ukuran pada dirinya sendiri, hampir setiap titik akan kembali ke kawasan kejiranan awalnya. Rumusan penuh teorem adalah seperti berikut: 1:
Jadikan transformasi ukuran yang memelihara ruang dengan ukuran terhingga, dan jadikan satu set yang boleh diukur. Kemudian untuk mana-mana semula jadi
.
Teorem ini mempunyai akibat yang tidak dijangka: ternyata jika dalam sebuah kapal dibahagikan dengan partition menjadi dua petak, satu daripadanya diisi dengan gas dan yang lain kosong, partition itu dikeluarkan, maka selepas beberapa ketika semua molekul gas akan sekali lagi berkumpul di bahagian asal kapal. Penyelesaian kepada paradoks ini ialah beberapa masa berada dalam urutan berbilion tahun.
dia ada teorem macam anjing sembelih kat Korea...
alam semesta sfera... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Semalam saintis mengumumkan bahawa alam semesta adalah bahan beku... dan meminta wang yang banyak untuk membuktikan perkara ini ... sekali lagi Merikos akan menghidupkan mesin cetak ... untuk hiburan kepala telur ...
Cuba buktikan di mana naik dan turun dalam graviti sifar.
Semalam ada sebuah filem indah tentang BUDAYA, di mana masalah ini dijelaskan secara terperinci. Mungkin mereka masih memilikinya?
http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
Log masuk ke Yandex dan tulis Filem tentang Perelman dan pergi ke filem itu

Grigory Perelman. refusenik

Vasily Maksimov

Pada Ogos 2006, nama-nama ahli matematik terbaik di planet ini diumumkan yang menerima Pingat Fields yang berprestij - sejenis analog Hadiah Nobel, yang telah dilucutkan oleh ahli matematik, atas kehendak Alfred Nobel. Pingat Fields - sebagai tambahan kepada lencana penghormatan, para pemenang dianugerahkan cek sebanyak lima belas ribu dolar Kanada - dianugerahkan oleh Kongres Antarabangsa Ahli Matematik setiap empat tahun. Ia telah ditubuhkan oleh saintis Kanada John Charles Fields dan pertama kali dianugerahkan pada tahun 1936. Sejak 1950, Fields Medal telah dianugerahkan secara peribadi oleh Raja Sepanyol atas sumbangannya kepada pembangunan sains matematik. Pemenang hadiah boleh terdiri daripada seorang hingga empat saintis di bawah umur empat puluh tahun. Empat puluh empat ahli matematik, termasuk lapan orang Rusia, telah menerima hadiah itu.

Grigory Perelman. Henri Poincare.

Pada tahun 2006, pemenang ialah Wendelin Werner dari Perancis, Terence Tao dari Australia dan dua warga Rusia - Andrey Okunkov yang bekerja di Amerika Syarikat dan Grigory Perelman, seorang saintis dari St. Petersburg. Walau bagaimanapun, pada saat terakhir diketahui bahawa Perelman menolak anugerah berprestij ini - seperti yang diumumkan oleh penganjur, "atas alasan prinsip."

Tindakan boros yang dilakukan oleh ahli matematik Rusia itu tidak mengejutkan orang yang mengenalinya. Ini bukan kali pertama dia menolak anugerah matematik, menjelaskan keputusannya dengan mengatakan bahawa dia tidak suka acara istiadat dan gembar-gembur yang tidak perlu di sekeliling namanya. Sepuluh tahun yang lalu, pada tahun 1996, Perelman menolak hadiah Kongres Matematik Eropah, memetik fakta bahawa dia belum menyelesaikan kerja mengenai masalah saintifik yang dicalonkan untuk anugerah itu, dan ini bukan kes terakhir. Ahli matematik Rusia itu seolah-olah menjadikan matlamat hidupnya untuk mengejutkan orang ramai, menentang pendapat umum dan komuniti saintifik.

Grigory Yakovlevich Perelman dilahirkan pada 13 Jun 1966 di Leningrad. Dari usia muda, dia gemar sains tepat, lulus cemerlang dari sekolah menengah ke-239 yang terkenal dengan kajian mendalam matematik, memenangi banyak Olimpik matematik: sebagai contoh, pada tahun 1982, sebagai sebahagian daripada pasukan pelajar sekolah Soviet, dia mengambil bahagian. dalam Olimpik Matematik Antarabangsa, yang diadakan di Budapest. Tanpa peperiksaan, Perelman telah mendaftar di Fakulti Mekanik dan Matematik di Universiti Leningrad, di mana dia belajar dengan markah yang cemerlang, terus memenangi pertandingan matematik di semua peringkat. Selepas menamatkan pengajian dari universiti dengan kepujian, beliau memasuki sekolah siswazah di cawangan St. Petersburg Institut Matematik Steklov. Penyelia saintifiknya ialah ahli matematik terkenal Aleksandrov. Setelah mempertahankan tesis Ph.D, Grigory Perelman kekal di institut itu, di makmal geometri dan topologi. Karya beliau mengenai teori ruang Alexandrov diketahui; Walaupun banyak tawaran daripada universiti terkemuka Barat, Perelman lebih suka bekerja di Rusia.

Kejayaannya yang paling ketara ialah penyelesaian pada tahun 2002 dari tekaan Poincaré yang terkenal, diterbitkan pada tahun 1904 dan sejak itu kekal tidak terbukti. Perelman mengusahakannya selama lapan tahun. Konjektur Poincaré dianggap sebagai salah satu misteri matematik yang paling hebat, dan penyelesaiannya dianggap sebagai pencapaian paling penting dalam sains matematik: ia akan segera memajukan penyelidikan ke dalam masalah asas fizikal dan matematik alam semesta. Fikiran yang paling menonjol di planet ini meramalkan penyelesaiannya hanya dalam beberapa dekad, dan Institut Matematik Tanah Liat di Cambridge, Massachusetts, memasukkan masalah Poincaré antara tujuh masalah matematik yang tidak dapat diselesaikan paling menarik pada milenium, untuk penyelesaian setiap satunya. hadiah sejuta dolar telah dijanjikan (Masalah Hadiah Milenium).

Konjektur (kadangkala dipanggil masalah) ahli matematik Perancis Henri Poincaré (1854–1912) dirumuskan seperti berikut: mana-mana ruang tiga dimensi yang disambungkan secara ringkas adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi. Untuk menjelaskan, gunakan contoh yang jelas: jika anda membungkus epal dengan gelang getah, maka, pada dasarnya, dengan mengetatkan pita, anda boleh memampatkan epal menjadi satu titik. Jika anda membungkus donat dengan pita yang sama, anda tidak boleh memampatkannya ke satu titik tanpa mengoyakkan sama ada donat atau getahnya. Dalam konteks ini, sebiji epal dipanggil angka "bersambung sahaja", tetapi donat tidak hanya disambungkan. Hampir seratus tahun yang lalu, Poincaré menegaskan bahawa sfera dua dimensi disambungkan secara ringkas, dan mencadangkan bahawa sfera tiga dimensi juga disambungkan secara ringkas. Ahli matematik terbaik di dunia tidak dapat membuktikan hipotesis ini.

Untuk melayakkan diri untuk Hadiah Institut Tanah Liat, Perelman hanya perlu menerbitkan penyelesaiannya dalam salah satu jurnal saintifik, dan jika dalam masa dua tahun tiada siapa yang dapat menemui kesilapan dalam pengiraannya, maka penyelesaian itu akan dianggap betul. Walau bagaimanapun, Perelman menyimpang dari peraturan sejak awal, menerbitkan keputusannya di laman web pracetak Makmal Saintifik Los Alamos. Mungkin dia takut bahawa kesilapan telah menyelinap ke dalam pengiraannya - kisah yang sama telah berlaku dalam matematik. Pada tahun 1994, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles mencadangkan penyelesaian kepada teorem Fermat yang terkenal, dan beberapa bulan kemudian ternyata ralat telah merayap ke dalam pengiraannya (walaupun kemudiannya diperbetulkan, dan sensasi itu masih berlaku). Masih tiada penerbitan rasmi bukti sangkaan Poincaré, tetapi terdapat pendapat yang berwibawa dari ahli matematik terbaik di planet ini yang mengesahkan ketepatan pengiraan Perelman.

Pingat Fields telah dianugerahkan kepada Grigory Perelman dengan tepat untuk menyelesaikan masalah Poincaré. Tetapi saintis Rusia itu menolak hadiah itu, yang sudah pasti dia layak. "Gregory memberitahu saya bahawa dia berasa terasing daripada komuniti matematik antarabangsa, di luar komuniti ini, dan oleh itu tidak mahu menerima anugerah itu," kata lelaki Inggeris John Ball, presiden Kesatuan Ahli Matematik Sedunia (WUM), pada sidang akhbar di Madrid.

Terdapat khabar angin bahawa Grigory Perelman akan meninggalkan sains sama sekali: enam bulan lalu dia meletak jawatan dari Institut Matematik Steklov asalnya, dan mereka mengatakan bahawa dia tidak akan belajar matematik lagi. Mungkin saintis Rusia percaya bahawa dengan membuktikan hipotesis yang terkenal, dia telah melakukan segala yang dia boleh untuk sains. Tetapi siapa yang akan berusaha untuk membincangkan pemikiran seorang saintis yang cemerlang dan orang yang luar biasa?.. Perelman menolak sebarang komen, dan dia memberitahu akhbar The Daily Telegraph: "Tiada apa yang boleh saya katakan adalah untuk kepentingan awam sedikit pun." Walau bagaimanapun, penerbitan saintifik terkemuka sebulat suara dalam penilaian mereka apabila mereka melaporkan bahawa "Grigory Perelman, setelah menyelesaikan teorem Poincaré, berdiri setanding dengan jenius terhebat pada masa lalu dan sekarang."

Majalah dan rumah penerbitan sastera dan kewartawanan bulanan.

Para saintis percaya bahawa ahli matematik Rusia berusia 38 tahun Grigory Perelman mencadangkan penyelesaian yang betul untuk masalah Poincaré. Keith Devlin, seorang profesor matematik di Universiti Stanford, berkata demikian pada festival sains di Exeter (UK).

Masalah Poincaré (juga dipanggil masalah atau hipotesis) adalah salah satu daripada tujuh masalah matematik yang paling penting, untuk penyelesaian setiap satunya dia menganugerahkan hadiah satu juta dolar. Inilah yang menarik perhatian meluas kepada keputusan yang diperoleh oleh Grigory Perelman, seorang pekerja makmal fizik matematik.

Para saintis di seluruh dunia mengetahui tentang pencapaian Perelman daripada dua pracetak (artikel sebelum penerbitan saintifik sepenuhnya), yang disiarkan oleh pengarang pada November 2002 dan Mac 2003 di laman web arkib karya awal Makmal Saintifik Los Alamos.

Mengikut peraturan yang diterima pakai oleh Lembaga Penasihat Saintifik Institut Clay, hipotesis baharu mesti diterbitkan dalam jurnal khusus "reputasi antarabangsa." Di samping itu, mengikut peraturan Institut, keputusan mengenai pembayaran hadiah akhirnya dibuat oleh "komuniti matematik": bukti itu tidak boleh disangkal dalam masa dua tahun selepas penerbitan. Setiap bukti disemak oleh ahli matematik di negara yang berbeza di dunia.

Masalah Poincaré

Dilahirkan pada 13 Jun 1966 di Leningrad, dalam keluarga pekerja. Beliau lulus dari sekolah menengah terkenal No. 239 dengan kajian mendalam tentang matematik. Pada tahun 1982, sebagai sebahagian daripada pasukan pelajar sekolah Soviet, beliau mengambil bahagian dalam Olimpik Matematik Antarabangsa, yang diadakan di Budapest. Beliau telah mendaftar dalam matematik dan mekanik di Universiti Negeri Leningrad tanpa peperiksaan. Beliau memenangi Olimpik matematik pelajar fakulti, bandar dan semua-Kesatuan. Menerima biasiswa Lenin. Selepas menamatkan pengajian dari universiti, Perelman memasuki sekolah siswazah di cawangan St. Petersburg Institut Matematik Steklov. Calon Sains Fizikal dan Matematik. Bekerja di makmal fizik matematik.

Masalah Poincaré berkaitan dengan kawasan yang dipanggil topologi manifold - ruang yang disusun dengan cara khas yang mempunyai dimensi yang berbeza. Manifold dua dimensi boleh divisualisasikan, contohnya, menggunakan contoh permukaan badan tiga dimensi - sfera (permukaan bola) atau torus (permukaan donat).

Adalah mudah untuk membayangkan apa yang akan berlaku kepada belon jika ia cacat (bengkok, dipintal, ditarik, dimampatkan, dicubit, kempis atau kembung). Adalah jelas bahawa dengan semua ubah bentuk di atas, bola akan berubah bentuknya dalam julat yang luas. Walau bagaimanapun, kita tidak akan dapat menukar bola menjadi donat (atau sebaliknya) tanpa memecahkan kesinambungan permukaannya, iaitu, tanpa mengoyakkannya. Dalam kes ini, ahli topologi mengatakan bahawa sfera (bola) bukan homeomorfik kepada torus (donut). Ini bermakna permukaan ini tidak boleh dipetakan antara satu sama lain. Secara ringkas, sfera dan torus adalah berbeza dalam sifat topologinya. Dan permukaan belon, di bawah semua kemungkinan ubah bentuknya, adalah homeomorfik kepada sfera, sama seperti permukaan pelampung penyelamat adalah kepada torus. Dalam erti kata lain, mana-mana permukaan dua dimensi tertutup yang tidak melalui lubang mempunyai sifat topologi yang sama seperti sfera dua dimensi.

TOPOLOGI, cabang matematik yang berkaitan dengan kajian sifat rajah (atau ruang) yang dipelihara di bawah ubah bentuk berterusan, seperti regangan, mampatan atau lenturan. Ubah bentuk berterusan ialah ubah bentuk rajah di mana tiada patah (iaitu, pelanggaran keutuhan rajah) atau gam (iaitu, pengenalan titik-titiknya).
TRANFORMASI TOPOLOGI bagi satu rajah geometri kepada rajah geometri yang lain ialah pemetaan titik P sembarang rajah pertama ke titik P' rajah lain, yang memenuhi syarat berikut: 1) setiap titik P rajah pertama mesti sepadan dengan satu dan hanya satu titik P' pada rajah kedua, dan sebaliknya; 2) Pemetaan mestilah berterusan antara satu sama lain. Sebagai contoh, terdapat dua titik P dan N kepunyaan rajah yang sama. Jika, apabila titik P bergerak ke titik N, jarak antara mereka cenderung kepada sifar, maka jarak antara titik P' dan N' bagi rajah lain juga harus cenderung kepada sifar, dan sebaliknya.
HOMEOMORFISME. Angka geometri yang berubah menjadi satu sama lain semasa transformasi topologi dipanggil homeomorphic. Bulatan dan sempadan segi empat sama adalah homeomorfik, kerana ia boleh ditukar kepada satu sama lain melalui transformasi topologi (iaitu, lentur dan regangan tanpa putus atau melekat, contohnya, meregangkan sempadan segi empat sama kepada bulatan yang dihadkan di sekelilingnya) . Rantau di mana mana-mana lengkung ringkas tertutup (iaitu, homeomorfik kepada bulatan) boleh dikontrak ke satu titik sambil kekal di rantau ini sepanjang masa dipanggil bersambung sahaja, dan sifat yang sepadan bagi rantau itu disambungkan secara ringkas. Jika beberapa lengkung ringkas tertutup bagi rantau ini tidak boleh dikurangkan ke satu titik, kekal sepanjang masa di rantau ini, maka rantau itu dipanggil berganda bersambung, dan sifat sepadan rantau itu dipanggil berganda bersambung.

Masalah Poincaré menyatakan perkara yang sama untuk manifold tiga dimensi (untuk manifold dua dimensi, seperti sfera, titik ini telah dibuktikan pada abad ke-19). Seperti yang dinyatakan oleh ahli matematik Perancis, salah satu sifat terpenting bagi sfera dua dimensi ialah sebarang gelung tertutup (contohnya, laso) yang terletak di atasnya boleh ditarik ke satu titik tanpa meninggalkan permukaan. Untuk torus, ini tidak selalunya benar: gelung yang melalui lubangnya akan ditarik ke satu titik sama ada apabila torus patah atau apabila gelung itu sendiri patah. Pada tahun 1904, Poincaré mencadangkan bahawa jika gelung boleh menguncup ke titik pada permukaan tiga dimensi tertutup, maka permukaan sedemikian adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi. Membuktikan hipotesis ini ternyata menjadi tugas yang sangat sukar.

Marilah kita segera menjelaskan: perumusan masalah Poincaré yang kami nyatakan tidak bercakap sama sekali tentang bola tiga dimensi, yang boleh kita bayangkan tanpa banyak kesukaran, tetapi tentang sfera tiga dimensi, iaitu, mengenai permukaan empat -bola berdimensi, yang jauh lebih sukar untuk dibayangkan. Tetapi pada penghujung tahun 1950-an, tiba-tiba menjadi jelas bahawa manifold berdimensi tinggi lebih mudah digunakan berbanding manifold tiga dan empat dimensi. Jelas sekali, kekurangan kejelasan adalah jauh daripada kesukaran utama yang dihadapi oleh ahli matematik dalam penyelidikan mereka.

Masalah yang serupa dengan Poincaré untuk dimensi 5 dan lebih tinggi telah diselesaikan pada tahun 1960 oleh Stephen Smale, John Stallings, dan Andrew Wallace. Pendekatan yang digunakan oleh saintis ini, bagaimanapun, ternyata tidak boleh digunakan untuk manifold empat dimensi. Bagi mereka, masalah Poincaré hanya dibuktikan pada tahun 1981 oleh Michael Freedman. Kes tiga dimensi ternyata menjadi yang paling sukar; Grigory Perelman mencadangkan penyelesaiannya.

Perlu diingatkan bahawa Perelman mempunyai saingan. Pada April 2002, Martin Dunwoody, seorang profesor matematik di Universiti British Southampton, mencadangkan kaedahnya untuk menyelesaikan masalah Poincaré dan kini sedang menunggu keputusan daripada Institut Tanah Liat.

Pakar percaya bahawa menyelesaikan masalah Poincaré akan memungkinkan untuk mengambil langkah yang serius dalam penerangan matematik proses fizikal dalam objek tiga dimensi yang kompleks dan akan memberi dorongan baru kepada pembangunan topologi komputer. Kaedah yang dicadangkan oleh Grigory Perelman akan membawa kepada pembukaan arah baru dalam geometri dan topologi. Ahli matematik St. Petersburg mungkin layak untuk Hadiah Fields (sama dengan Hadiah Nobel, yang tidak dianugerahkan dalam matematik).

Sementara itu, ada yang menganggap tingkah laku Grigory Perelman pelik. Inilah yang ditulis oleh akhbar British The Guardian: "Kemungkinan besar, pendekatan Perelman untuk menyelesaikan masalah Poincaré adalah betul Tetapi tidak semuanya begitu mudah Perelman tidak memberikan bukti bahawa karya itu diterbitkan sebagai penerbitan saintifik yang lengkap (preprints tidak dianggap sedemikian). Dan ini perlu jika seseorang ingin menerima anugerah daripada Institut Tanah Liat Selain itu, dia tidak mempunyai minat sama sekali dalam wang.

Nampaknya, bagi Grigory Perelman, bagi seorang saintis sebenar, wang bukanlah perkara utama. Untuk menyelesaikan mana-mana yang dipanggil "masalah milenium", seorang ahli matematik sejati akan menjual jiwanya kepada syaitan.

Senarai Milenium

Pada 8 Ogos 1900, di Kongres Antarabangsa Matematik di Paris, ahli matematik David Hilbert menggariskan senarai masalah yang dia percaya perlu diselesaikan pada abad kedua puluh. Terdapat 23 item dalam senarai. Dua puluh satu daripadanya telah diselesaikan setakat ini. Masalah terakhir dalam senarai Hilbert yang perlu diselesaikan ialah teorem Fermat yang terkenal, yang tidak dapat diselesaikan oleh saintis selama 358 tahun. Pada tahun 1994, warga Britain Andrew Wiles mencadangkan penyelesaiannya. Ia ternyata benar.

Mengikuti contoh Gilbert, pada akhir abad yang lalu, ramai ahli matematik cuba merumuskan tugas strategik yang serupa untuk abad ke-21. Salah satu daripada senarai ini diketahui secara meluas terima kasih kepada jutawan Boston Landon T. Clay. Pada tahun 1998, dengan dananya, hadiah telah diasaskan dan ditubuhkan di Cambridge (Massachusetts, Amerika Syarikat) untuk menyelesaikan beberapa masalah terpenting dalam matematik moden. Pada 24 Mei 2000, pakar institut itu memilih tujuh masalah - mengikut jumlah berjuta-juta dolar yang diperuntukkan untuk hadiah itu. Senarai itu dipanggil Masalah Hadiah Milenium:

1. Masalah Cook (dirumuskan pada tahun 1971)

Katakan anda, berada dalam syarikat besar, ingin memastikan rakan anda berada di sana juga. Jika mereka memberitahu anda bahawa dia duduk di sudut, maka sepersekian saat sudah cukup untuk anda melihat sekilas dan yakin dengan kebenaran maklumat tersebut. Tanpa maklumat ini, anda akan terpaksa berjalan di seluruh bilik, melihat tetamu. Ini menunjukkan bahawa menyelesaikan masalah selalunya mengambil masa lebih lama daripada menyemak ketepatan penyelesaian.

Stephen Cook merumuskan masalah: bolehkah menyemak ketepatan penyelesaian kepada masalah mengambil masa lebih lama daripada mendapatkan penyelesaian itu sendiri, tanpa mengira algoritma pengesahan. Masalah ini juga merupakan salah satu masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam bidang logik dan sains komputer. Penyelesaiannya boleh merevolusikan asas kriptografi yang digunakan dalam penghantaran dan penyimpanan data.

2. Hipotesis Riemann (dirumuskan pada tahun 1859)

Sesetengah integer tidak boleh dinyatakan sebagai hasil darab dua integer yang lebih kecil, seperti 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Nombor sedemikian dipanggil nombor perdana dan memainkan peranan penting dalam matematik tulen dan aplikasinya. Taburan nombor perdana antara siri semua nombor asli tidak mengikut sebarang corak. Walau bagaimanapun, ahli matematik Jerman Riemann membuat tekaan mengenai sifat-sifat urutan nombor perdana. Jika Hipotesis Riemann terbukti, ia akan membawa kepada perubahan revolusioner dalam pengetahuan penyulitan kami dan kejayaan yang belum pernah terjadi sebelumnya dalam keselamatan Internet.

3. Hipotesis Birch dan Swinnerton-Dyer (dirumuskan pada tahun 1960)

Dikaitkan dengan perihalan set penyelesaian kepada beberapa persamaan algebra dalam beberapa pembolehubah dengan pekali integer. Contoh persamaan sedemikian ialah ungkapan x 2 + y 2 = z 2. Euclid memberikan penerangan lengkap tentang penyelesaian kepada persamaan ini, tetapi untuk persamaan yang lebih kompleks, mencari penyelesaian menjadi amat sukar.

4. Hipotesis Hodge (dirumuskan pada tahun 1941)

Pada abad ke-20, ahli matematik menemui kaedah yang ampuh untuk mengkaji bentuk objek kompleks. Idea utama ialah menggunakan "bata" mudah dan bukannya objek itu sendiri, yang dilekatkan bersama dan membentuk rupanya. Hipotesis Hodge dikaitkan dengan beberapa andaian mengenai sifat "blok bangunan" dan objek tersebut.

5. Navier - persamaan Stokes (dirumuskan pada tahun 1822)

Jika anda belayar dengan bot di tasik, ombak akan timbul, dan jika anda terbang dalam kapal terbang, arus bergelora akan timbul di udara. Diandaikan bahawa ini dan fenomena lain diterangkan oleh persamaan yang dikenali sebagai persamaan Navier-Stokes. Penyelesaian kepada persamaan ini tidak diketahui, dan tidak diketahui cara menyelesaikannya. Adalah perlu untuk menunjukkan bahawa penyelesaian wujud dan merupakan fungsi yang cukup lancar. Menyelesaikan masalah ini akan mengubah kaedah pengiraan hidro dan aerodinamik dengan ketara.

6. Masalah Poincaré (dirumuskan pada tahun 1904)

Jika anda menarik gelang getah di atas sebatang epal, anda boleh, dengan menggerakkan jalur itu secara perlahan tanpa mengangkatnya dari permukaan, memampatkannya ke satu titik. Sebaliknya, jika gelang getah yang sama diregangkan dengan sesuai di sekeliling donat, tidak ada cara untuk memampatkan jalur ke satu titik tanpa mengoyakkan pita atau memecahkan donat. Mereka mengatakan bahawa permukaan epal hanya bersambung, tetapi permukaan donat tidak. Ternyata sangat sukar untuk membuktikan bahawa hanya sfera yang disambungkan sehingga ahli matematik masih mencari jawapan yang betul.

7. Persamaan Yang-Mills (dirumuskan pada tahun 1954)

Persamaan fizik kuantum menggambarkan dunia zarah asas. Fizik Young dan Mills, setelah menemui hubungan antara geometri dan fizik zarah, menulis persamaan mereka. Oleh itu, mereka menemui cara untuk menyatukan teori interaksi elektromagnet, lemah dan kuat. Persamaan Yang-Mills membayangkan kewujudan zarah yang sebenarnya diperhatikan di makmal di seluruh dunia, jadi teori Yang-Mills diterima oleh kebanyakan ahli fizik walaupun fakta bahawa dalam kerangka teori ini masih tidak mungkin untuk meramalkan jisim zarah asas.

Mikhail Vitebsky

“Masalah yang telah diselesaikan Perelman, adalah keperluan untuk membuktikan hipotesis yang dikemukakan pada tahun 1904 oleh ahli matematik Perancis yang hebat Henri Poincaré(1854-1912) dan membawa namanya. Sukar untuk mengatakan lebih baik tentang peranan Poincaré dalam matematik daripada yang dilakukan dalam ensiklopedia: "Karya Poincaré dalam bidang matematik, di satu pihak, melengkapkan arah klasik, dan di sisi lain, membuka jalan kepada pembangunan. matematik baru, di mana, bersama-sama dengan hubungan kuantitatif, fakta-fakta ditubuhkan yang mempunyai ciri kualitatif" (TSB, 3rd ed., vol. 2). Tekaan Poincaré adalah tepat sifat kualitatif - seperti keseluruhan bidang matematik (iaitu topologi) yang berkaitan dan dalam penciptaan yang Poincaré mengambil bahagian yang menentukan.

Dalam bahasa moden, tekaan Poincaré berbunyi seperti ini: setiap manifold tiga dimensi padat yang disambungkan secara ringkas tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi.

Dalam perenggan berikut, kami akan cuba menjelaskan sekurang-kurangnya sebahagian dan sangat kasar maksud formula lisan yang menakutkan ini. Sebagai permulaan, kita perhatikan bahawa sfera biasa, yang merupakan permukaan bola biasa, adalah dua dimensi (dan bola itu sendiri adalah tiga dimensi). Sfera dua dimensi terdiri daripada semua titik ruang tiga dimensi yang sama jarak dari beberapa titik terpilih, dipanggil pusat, yang bukan kepunyaan sfera itu. Sfera tiga dimensi terdiri daripada semua titik ruang empat dimensi yang sama jarak dari pusatnya (yang bukan kepunyaan sfera). Tidak seperti sfera dua dimensi, sfera tiga dimensi tidak tersedia pemerhatian langsung kami, dan sukar bagi kami untuk membayangkan mereka seperti Vasily Ivanovich untuk membayangkan trinomial persegi dari jenaka terkenal. Walau bagaimanapun, adalah mungkin bahawa kita semua berada dalam sfera tiga dimensi, iaitu, Alam Semesta kita adalah sfera tiga dimensi.

Inilah makna hasilnya Perelman untuk fizik dan astronomi. Istilah "manifold tiga dimensi padat yang disambungkan secara ringkas tanpa tepi" mengandungi tanda-tanda sifat sepatutnya Alam Semesta kita. Istilah "homeomorphic" bermaksud tahap persamaan tinggi tertentu, dalam erti kata tertentu, tidak dapat dibezakan. Oleh itu, rumusan secara keseluruhan bermakna bahawa jika Alam Semesta kita mempunyai semua sifat manifold tiga dimensi padat yang disambungkan secara ringkas tanpa tepi, maka ia - dalam "erti kata yang diketahui" yang sama - adalah sfera tiga dimensi.

Konsep keterkaitan ringkas adalah konsep yang agak mudah. Mari kita bayangkan gelang getah (iaitu, benang getah dengan hujung terpaku) sangat anjal sehingga jika anda tidak memegangnya, ia akan mengecut sehingga satu tahap. Kami juga akan menghendaki daripada jalur anjal kami bahawa apabila ditarik ke satu titik, ia tidak melepasi permukaan di mana kami meletakkannya. Jika kita meregangkan jalur elastik sedemikian pada satah dan melepaskannya, ia akan mengecut dengan serta-merta ke satu titik. Perkara yang sama akan berlaku jika kita meletakkan jalur anjal pada permukaan glob, iaitu pada sfera. Untuk permukaan pelampung penyelamat, keadaannya akan berbeza sama sekali: pembaca yang baik hati akan dengan mudah mencari susunan anjal sedemikian pada permukaan ini di mana adalah mustahil untuk menarik anjal ke satu titik tanpa melampaui permukaan yang dipersoalkan. Angka geometri dipanggil hanya bersambung jika mana-mana kontur tertutup yang terletak dalam had rajah ini boleh dikontrak ke satu titik tanpa melampaui had yang dinamakan. Kita baru sahaja melihat bahawa satah dan sfera bersambung semata-mata, tetapi permukaan pelampung penyelamat tidak hanya disambungkan. Pesawat dengan lubang berlubang di dalamnya tidak hanya disambungkan. Konsep keterkaitan ringkas juga terpakai kepada angka tiga dimensi. Oleh itu, kiub dan bola hanya disambungkan: mana-mana kontur tertutup yang terletak dalam ketebalannya boleh dikontrak ke satu titik, dan semasa proses penguncupan kontur akan sentiasa kekal dalam ketebalan ini. Tetapi bagel tidak hanya disambungkan: di dalamnya anda boleh mencari kontur yang tidak boleh dikontrak ke satu titik supaya semasa proses penguncupan kontur sentiasa berada dalam doh bagel. Pretzel tidak bersambung sama ada. Ia boleh dibuktikan bahawa sfera tiga dimensi itu hanya disambungkan.

Kami berharap pembaca tidak lupa perbezaan antara segmen dan selang, yang diajar di sekolah. Segmen mempunyai dua hujung; ia terdiri daripada hujung ini dan semua titik yang terletak di antara mereka. Selang hanya terdiri daripada semua titik yang terletak di antara hujungnya; hujung itu sendiri tidak termasuk dalam selang: kita boleh mengatakan bahawa selang ialah segmen dengan hujungnya dikeluarkan daripadanya, dan segmen ialah selang dengan hujungnya ditambahkan padanya ia. Selang dan segmen ialah contoh paling mudah bagi manifold satu dimensi, dengan selang ialah manifold tanpa tepi, dan segmen ialah manifold dengan tepi; tepi dalam kes segmen terdiri daripada dua hujung. Sifat utama manifold, yang mendasari definisinya, adalah bahawa dalam manifold, kejiranan semua titik, kecuali titik di tepi (yang mungkin tidak wujud), disusun dengan cara yang sama.

Dalam kes ini, kejiranan titik A ialah pengumpulan semua titik yang terletak berhampiran dengan titik A ini. Makhluk mikroskopik yang hidup dalam manifold tanpa tepi dan mampu melihat hanya titik manifold ini yang paling hampir dengan dirinya tidak dapat tentukan pada titik mana ia berada, berada: di sekelilingnya ia sentiasa melihat perkara yang sama. Lebih banyak contoh manifold satu dimensi tanpa tepi: keseluruhan garis lurus, bulatan. Contoh angka satu dimensi yang bukan manifold ialah garis dalam bentuk huruf T: terdapat titik khas, kejiranan yang tidak serupa dengan kejiranan titik lain - ini adalah titik di mana tiga segmen bertemu. Satu lagi contoh manifold satu dimensi ialah garis angka lapan; Empat garisan bertumpu pada satu titik khas di sini. Satah, sfera dan permukaan pelampung penyelamat adalah contoh manifold dua dimensi tanpa tepi. Pesawat dengan lubang yang dipotong di dalamnya juga akan menjadi manifold - tetapi dengan atau tanpa tepi, ia bergantung pada tempat kita meletakkan kontur lubang. Jika kita merujuknya kepada lubang, kita mendapat manifold tanpa tepi; jika kita meninggalkan kontur pada pesawat, kita mendapat manifold dengan tepi, yang mana kontur ini akan berfungsi sebagai. Sudah tentu, kami memikirkan di sini pemotongan matematik yang ideal, dan dalam pemotongan fizikal sebenar dengan gunting, persoalan di mana kontur itu berada tidak masuk akal.

Beberapa perkataan tentang manifold tiga dimensi. Sfera, bersama-sama dengan sfera yang berfungsi sebagai permukaannya, adalah manifold dengan tepi; sfera yang ditunjukkan adalah tepat di tepi ini. Jika kita mengeluarkan bola ini dari ruang sekeliling, kita mendapat manifold tanpa tepi. Jika kita mengupas permukaan bola, kita mendapat apa yang dipanggil "bola pasir" dalam jargon matematik, dan bola terbuka dalam bahasa yang lebih saintifik. Jika kita mengeluarkan bola terbuka dari ruang sekeliling, kita mendapat manifold dengan tepi, dan tepinya akan menjadi sfera yang kita koyakkan dari bola. Bagel, bersama-sama dengan keraknya, adalah manifold tiga dimensi dengan tepi, dan jika anda mengoyakkan kerak (yang kami anggap sebagai sangat nipis, iaitu, sebagai permukaan), kami mendapat manifold tanpa tepi dalam bentuk "bagel berpasir." Semua ruang secara keseluruhan, jika kita memahaminya seperti yang difahami di sekolah menengah, adalah manifold tiga dimensi tanpa kelebihan.

Konsep matematik kekompakan sebahagiannya mencerminkan makna perkataan "padat" dalam bahasa Rusia setiap hari: "dekat", "dimampatkan". Rajah geometri dipanggil padat jika, untuk sebarang susunan nombor tak terhingga titiknya, ia terkumpul pada salah satu titik atau ke banyak titik rajah yang sama. Segmen adalah padat: untuk mana-mana set tak terhingga titiknya dalam segmen itu terdapat sekurang-kurangnya satu titik had yang dipanggil, mana-mana kejiranan yang mengandungi banyak tak terhingga unsur set yang sedang dipertimbangkan. Selang tidak padat: anda boleh menentukan satu set titiknya yang terkumpul ke arah hujungnya, dan hanya ke arahnya - tetapi hujungnya tidak tergolong dalam selang!

Oleh kerana kekurangan ruang, kami akan mengehadkan diri kami kepada ulasan ini. Katakan sahaja daripada contoh yang telah kita pertimbangkan, yang padat ialah segmen, bulatan, sfera, permukaan bagel dan pretzel, bola (bersama-sama dengan sferanya), bagel dan pretzel (bersama-sama dengan keraknya). Sebaliknya, selang, satah, bola berpasir, bagel dan pretzel tidak padat. Antara angka geometri padat tiga dimensi tanpa tepi, yang paling mudah ialah sfera tiga dimensi, tetapi angka tersebut tidak sesuai dengan ruang "sekolah" biasa kami. Mungkin konsep yang paling mendalam yang dihubungkan dengan hipotesis Poincare, ialah konsep homeomorphy. Homeomorphy ialah tahap tertinggi kesamaan geometri . Sekarang kita akan cuba memberikan penjelasan anggaran konsep ini dengan menghampirinya secara beransur-ansur.

Sudah dalam geometri sekolah kita menghadapi dua jenis kesamaan - kekongruenan angka dan persamaannya. Ingat bahawa angka dipanggil kongruen jika ia bertepatan antara satu sama lain apabila ditindih. Di sekolah, angka kongruen nampaknya tidak dibezakan, dan oleh itu kongruen dipanggil kesamaan. Angka yang kongruen adalah saiz yang sama dalam semua butirannya. Persamaan, tanpa memerlukan saiz yang sama, bermakna perkadaran yang sama bagi saiz ini; oleh itu, persamaan mencerminkan persamaan angka yang lebih penting daripada kongruen. Geometri secara amnya adalah tahap abstraksi yang lebih tinggi daripada fizik, dan fizik lebih tinggi daripada sains bahan.

Ambil contoh galas bola, bola biliard, bola kroket dan bola. Fizik tidak menyelidiki butiran seperti bahan dari mana ia dibuat, tetapi hanya berminat dengan sifat seperti isipadu, berat, kekonduksian elektrik, dll. Bagi matematik, semuanya adalah bola, hanya berbeza dari segi saiz. Jika bola mempunyai saiz yang berbeza, maka ia adalah berbeza untuk geometri metrik, tetapi semuanya adalah sama untuk geometri persamaan. Dari sudut geometri, semua bola dan semua kubus adalah serupa, tetapi bola dan kubus tidak sama.

Sekarang mari kita lihat torus. Atas ialah rajah geometri yang bentuknya berbentuk seperti roda stereng dan pelampung penyelamat. Ensiklopedia mentakrifkan torus sebagai rajah yang diperoleh dengan memutarkan bulatan mengelilingi paksi yang terletak di luar bulatan. Kami menggesa pembaca yang baik hati untuk menyedari bahawa bola dan kiub adalah "lebih serupa" antara satu sama lain daripada setiap daripada mereka dengan torus. Percubaan pemikiran berikut membolehkan kita mengisi kesedaran intuitif ini dengan makna yang tepat. Mari bayangkan bola yang diperbuat daripada bahan yang sangat lentur sehingga ia boleh dibengkokkan, diregangkan, dimampatkan dan, secara umum, cacat dalam apa jua cara yang anda suka - tidak boleh dikoyakkan atau dilekatkan bersama. Jelas sekali, bola itu kemudiannya boleh diubah menjadi kubus, tetapi mustahil untuk berubah menjadi torus. Kamus penjelasan Ushakov mentakrifkan pretzel sebagai pastri (secara harfiah: seperti roti yang dipintal mentega) dalam bentuk huruf B. Dengan segala hormatnya kepada kamus yang indah ini, perkataan "dalam bentuk nombor 8" kelihatan lebih kepada saya. tepat; Namun dari sudut yang dinyatakan dalam konsep homeomorphy, baking dalam bentuk nombor 8, baking dalam bentuk huruf B, dan baking dalam bentuk fita mempunyai bentuk yang sama. Walaupun kita menganggap bahawa pembuat roti dapat memperoleh doh yang mempunyai sifat kelenturan yang disebutkan di atas, roti adalah mustahil - tanpa koyak dan melekat! - bertukar menjadi bagel mahupun pretzel, sama seperti dua makanan bakar terakhir antara satu sama lain. Tetapi anda boleh menukar roti sfera menjadi kiub atau piramid. Pembaca yang baik pasti akan dapat mencari bentuk penaik yang mungkin di mana tidak ada roti, atau pretzel, atau bagel boleh diubah.

Tanpa menamakan konsep ini, kita telah pun berkenalan dengan homeomorphy. Dua rajah dipanggil homeomorphic jika satu boleh diubah menjadi yang lain melalui ubah bentuk berterusan (iaitu, tanpa pecah atau melekat); ubah bentuk itu sendiri dipanggil homeomorphisms. Kami baru mengetahui bahawa bola adalah homeomorfik kepada kubus dan piramid, tetapi tidak homeomorfik sama ada torus atau pretzel, dan dua jasad terakhir bukan homeomorfik antara satu sama lain. Kami meminta pembaca memahami bahawa kami hanya memberikan penerangan anggaran konsep homeomorphy, yang diberikan dari segi transformasi mekanikal.

Mari kita sentuh aspek falsafah konsep homeomorphy. Mari kita bayangkan pemikiran yang hidup di dalam beberapa angka geometri dan tidak mempunyai peluang untuk melihat angka ini dari luar, "dari luar." Baginya, figura di mana ia hidup membentuk Alam Semesta. Mari kita bayangkan juga bahawa apabila rajah tertutup itu tertakluk kepada ubah bentuk berterusan, makhluk itu berubah bentuk bersama-sama dengannya. Jika angka yang dimaksudkan adalah bola, maka makhluk itu tidak dapat membezakan sama ada dalam bola, kubus, atau piramid. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk dia yakin bahawa Alam Semestanya tidak berbentuk seperti torus atau pretzel. Secara umumnya, makhluk boleh membentuk bentuk ruang yang mengelilinginya hanya sehingga homeomorphy, iaitu, ia tidak dapat membezakan satu bentuk dengan yang lain, selagi bentuk-bentuk ini adalah homeomorphic.

Bagi matematik, maksud hipotesis Poincare, yang kini telah bertukar daripada hipotesis kepada teorem Poincaré-Perelman, adalah sangat besar (bukan untuk sia-sia satu juta dolar ditawarkan untuk menyelesaikan masalah), sama seperti kepentingan kaedah yang ditemui oleh Perelman untuk membuktikannya adalah sangat besar, tetapi menjelaskan kepentingan ini di sini adalah di luar kemampuan kami. Bagi aspek kosmologi, mungkin kepentingan aspek ini agak diperbesar-besarkan oleh wartawan.

Walau bagaimanapun, beberapa pakar berwibawa mengatakan bahawa penemuan saintifik Perelman dapat membantu dalam kajian proses pembentukan lubang hitam. Lubang hitam, omong-omong, berfungsi sebagai penyangkalan langsung tesis tentang kebolehtahuan dunia - salah satu peruntukan utama pengajaran yang paling maju, hanya benar dan mahakuasa, yang selama 70 tahun secara paksa dimasukkan ke dalam kepala kita yang miskin. Lagipun, seperti yang diajar fizik, tiada isyarat dari lubang ini boleh sampai kepada kita pada dasarnya, jadi mustahil untuk mengetahui apa yang berlaku di sana. Secara amnya, kita tahu sangat sedikit tentang bagaimana Alam Semesta kita secara keseluruhannya berfungsi, dan adalah diragui bahawa kita akan mengetahuinya. Dan makna persoalan mengenai strukturnya tidak sepenuhnya jelas. Ada kemungkinan bahawa soalan ini adalah salah satu daripada mereka yang, menurut pengajaran Buddha, tidak ada jawapan. Fizik hanya menawarkan model peranti yang lebih kurang bersetuju dengan fakta yang diketahui. Dalam kes ini, fizik, sebagai peraturan, menggunakan persediaan yang telah dibangunkan yang disediakan oleh matematik kepadanya.

Matematik tidak, sudah tentu, berpura-pura untuk menubuhkan sebarang sifat geometri Alam Semesta. Tetapi ia membolehkan kita memahami sifat-sifat yang telah ditemui oleh sains lain. Lebih-lebih lagi. Ia membolehkan kami membuat lebih mudah difahami beberapa sifat yang sukar untuk dibayangkan; Sifat yang mungkin (kami tekankan: hanya mungkin!) termasuk keterhinggaan Alam Semesta dan tidak berorientasikannya.

Untuk masa yang lama, satu-satunya model struktur geometri Alam Semesta yang boleh dibayangkan ialah ruang Euclidean tiga dimensi, iaitu ruang yang diketahui oleh semua orang dari sekolah menengah. Ruang ini tidak terhingga; nampaknya tiada idea lain yang mungkin; Nampak gila memikirkan tentang keterbatasan Alam Semesta. Walau bagaimanapun, kini idea tentang keterbatasan Alam Semesta tidak kurang sah daripada idea tentang ketakterhinggaannya. Khususnya, sfera tiga dimensi adalah terhingga. Daripada berkomunikasi dengan ahli fizik, saya ditinggalkan dengan tanggapan bahawa ada yang menjawab "kemungkinan besar. Alam Semesta adalah tidak terhingga," manakala yang lain berkata, "kemungkinan besar, Alam Semesta adalah terhingga."

Uspensky V.A. , Permohonan maaf matematik, atau tentang matematik sebagai sebahagian daripada budaya rohani, majalah "Dunia Baru", 2007, N 12, hlm. 141-145.

Hampir setiap orang, walaupun mereka yang tidak mempunyai apa-apa kaitan dengan matematik, pernah mendengar perkataan "Tekaan Poincaré," tetapi tidak semua orang dapat menjelaskan intipatinya. Bagi kebanyakan orang, matematik yang lebih tinggi nampaknya merupakan sesuatu yang sangat kompleks dan tidak dapat difahami. Oleh itu, mari kita cuba memikirkan apa maksud hipotesis Poincaré dalam perkataan yang mudah.

Kandungan:

Apakah sangkaan Poincaré?

Rumusan asal hipotesis berbunyi seperti ini: " Setiap pancarongga tiga dimensi yang disambungkan secara ringkas tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada sfera tiga dimensi».

Bola ialah badan tiga dimensi geometri, permukaannya dipanggil sfera, ia adalah dua dimensi dan terdiri daripada titik ruang tiga dimensi yang sama jarak dari satu titik yang bukan milik sfera ini - pusat bola. . Sebagai tambahan kepada sfera dua dimensi, terdapat juga sfera tiga dimensi, yang terdiri daripada banyak titik ruang empat dimensi, yang juga berjarak sama dari satu titik yang tidak tergolong dalam sfera - pusatnya. Jika kita dapat melihat sfera dua dimensi dengan mata kita sendiri, maka sfera tiga dimensi tidak tertakluk kepada persepsi visual kita.

Oleh kerana kita tidak mempunyai peluang untuk melihat Alam Semesta, kita boleh menganggap bahawa ia adalah sfera tiga dimensi di mana semua manusia hidup. Ini adalah intipati tekaan Poincaré. Iaitu, bahawa Alam Semesta mempunyai sifat-sifat berikut: tiga dimensi, keterbatasan, hanya keterkaitan, kekompakan. Konsep "homeomorphy" dalam hipotesis bermaksud tahap persamaan, persamaan, dalam kes Alam Semesta - tidak dapat dibezakan.

Siapa Poincare?

Jules Henri Poincaré- ahli matematik terhebat yang dilahirkan pada tahun 1854 di Perancis. Minatnya tidak terhad kepada sains matematik sahaja, dia belajar fizik, mekanik, astronomi, dan falsafah. Beliau adalah ahli lebih daripada 30 akademi saintifik di seluruh dunia, termasuk Akademi Sains St. Petersburg. Ahli sejarah sepanjang zaman dan bangsa meletakkan David Hilbert dan Henri Poincaré antara ahli matematik terhebat di dunia. Pada tahun 1904, saintis itu menerbitkan kertas terkenal yang mengandungi andaian yang dikenali hari ini sebagai "tekaan Poincaré." Ia adalah ruang tiga dimensi yang ternyata sangat sukar bagi ahli matematik untuk belajar; mencari bukti untuk kes lain tidaklah sukar. Sepanjang kira-kira satu abad, kebenaran teorem ini telah terbukti.

Pada awal abad ke-21, hadiah satu juta dolar AS telah ditubuhkan di Cambridge untuk menyelesaikan masalah saintifik ini, yang termasuk dalam senarai masalah milenium. Hanya seorang ahli matematik Rusia dari St. Petersburg, Grigory Perelman, dapat melakukan ini untuk sfera tiga dimensi. Pada tahun 2006, beliau telah dianugerahkan Fields Medal untuk pencapaian ini, tetapi beliau enggan menerimanya.

Untuk merit aktiviti saintifik Poincaré Pencapaian berikut boleh dikaitkan:

asas topologi (pembangunan asas teori pelbagai fenomena dan proses);
penciptaan teori kualitatif persamaan pembezaan;
perkembangan teori fungsi amorf, yang menjadi asas kepada teori relativiti khas;
mengemukakan teorem pulangan;
pembangunan kaedah mekanik cakerawala yang terkini dan paling berkesan.

Bukti hipotesis

Ruang tiga dimensi yang disambungkan secara ringkas diberikan sifat geometri dan dibahagikan kepada elemen metrik yang mempunyai jarak antara mereka untuk membentuk sudut. Untuk memudahkan, kami mengambil sebagai sampel manifold satu dimensi, di mana pada satah Euclidean, vektor tangen bersamaan dengan 1 dilukis pada setiap titik ke lengkung tertutup licin Apabila melintasi lengkung, vektor berputar dengan halaju sudut tertentu sama dengan kelengkungan. Lebih banyak garisan membengkok, lebih besar kelengkungan. Kelengkungan mempunyai cerun positif jika vektor halaju diputar ke arah bahagian dalam satah yang dibahagikan garisan, dan cerun negatif jika ia diputar ke luar. Di tempat-tempat infleksi, kelengkungan adalah sama dengan 0. Kini, setiap titik lengkung diberikan vektor yang berserenjang dengan vektor halaju sudut, dan dengan panjang yang sama dengan nilai kelengkungan. Ia bertukar ke dalam apabila kelengkungan positif, dan keluar apabila ia negatif. Vektor yang sepadan menentukan arah dan kelajuan di mana setiap titik pada satah bergerak. Jika anda melukis lengkung tertutup di mana-mana, maka dengan evolusi sedemikian ia akan berubah menjadi bulatan. Ini benar untuk ruang tiga dimensi, yang merupakan perkara yang perlu dibuktikan.

Contoh: Apabila cacat tanpa pecah, belon boleh dibuat dalam bentuk yang berbeza. Tetapi anda tidak boleh membuat bagel; untuk melakukan ini, anda hanya perlu memotongnya. Dan sebaliknya, mempunyai bagel, anda tidak boleh membuat bola pepejal. Walaupun dari mana-mana permukaan lain tanpa ketakselanjaran semasa ubah bentuk adalah mungkin untuk mendapatkan sfera. Ini menunjukkan bahawa permukaan ini adalah homeomorphic kepada bola. Mana-mana bola boleh diikat dengan benang dengan satu simpulan, tetapi ini tidak mungkin dilakukan dengan donat.

Bola ialah satah tiga dimensi yang paling mudah yang boleh diubah bentuk dan dilipat menjadi titik dan sebaliknya.

Penting! Konjektur Poincaré menyatakan bahawa manifold n-dimensi tertutup adalah bersamaan dengan sfera n-dimensi jika ia adalah homeomorfik kepadanya. Ia menjadi titik permulaan dalam perkembangan teori satah multidimensi.