Pelajaran daripada siri "Algoritma geometri"

Hello pembaca yang dikasihi!

Hari ini kita akan mula mempelajari algoritma yang berkaitan dengan geometri. Hakikatnya ialah terdapat banyak masalah Olimpik dalam sains komputer yang berkaitan dengan geometri pengiraan, dan menyelesaikan masalah sedemikian sering menyebabkan kesukaran.

Sepanjang beberapa pelajaran, kami akan mempertimbangkan beberapa subtugas asas yang berdasarkan penyelesaian kebanyakan masalah dalam geometri pengiraan.

Dalam pelajaran ini kita akan membuat program untuk mencari persamaan garis, melalui yang diberikan dua mata. Untuk menyelesaikan masalah geometri, kita memerlukan sedikit pengetahuan tentang geometri pengiraan. Kami akan menumpukan sebahagian daripada pelajaran untuk mengenali mereka.

Cerapan daripada Geometri Pengiraan

Geometri pengiraan ialah satu cabang sains komputer yang mengkaji algoritma untuk menyelesaikan masalah geometri.

Data awal untuk masalah sedemikian boleh menjadi satu set titik pada satah, satu set segmen, poligon (ditentukan, sebagai contoh, dengan senarai bucunya mengikut urutan jam), dsb.

Hasilnya boleh sama ada jawapan kepada beberapa soalan (seperti titik kepunyaan segmen, dua segmen bersilang, ...), atau beberapa objek geometri (contohnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik tertentu, luas poligon, dsb.).

Kami akan mempertimbangkan masalah geometri pengiraan hanya pada satah dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menggunakan kaedah geometri pengiraan, adalah perlu untuk menterjemah imej geometri ke dalam bahasa nombor. Kami akan menganggap bahawa satah itu diberi sistem koordinat Cartesan, di mana arah putaran lawan jam dipanggil positif.

Kini objek geometri menerima ungkapan analitikal. Jadi, untuk menentukan titik, cukup untuk menunjukkan koordinatnya: sepasang nombor (x; y). Segmen boleh ditentukan dengan menentukan koordinat hujungnya; garis lurus boleh ditentukan dengan menentukan koordinat sepasang titiknya.

Tetapi alat utama kami untuk menyelesaikan masalah ialah vektor. Oleh itu, izinkan saya mengingati beberapa maklumat tentang mereka.

Segmen garisan AB, yang mempunyai titik A dianggap sebagai permulaan (titik permohonan), dan titik DALAM– hujung, dipanggil vektor AB dan dilambangkan dengan sama ada atau dengan huruf kecil tebal, sebagai contoh A .

Untuk menandakan panjang vektor (iaitu, panjang segmen yang sepadan), kita akan menggunakan simbol modulus (contohnya, ).

Vektor arbitrari akan mempunyai koordinat yang sama dengan perbezaan antara koordinat penghujung dan permulaan yang sepadan:

,

inilah mata-matanya A Dan B mempunyai koordinat masing-masing.

Untuk pengiraan kita akan menggunakan konsep sudut berorientasikan, iaitu sudut yang mengambil kira kedudukan relatif vektor.

Sudut berorientasikan antara vektor a Dan b positif jika putaran adalah daripada vektor a kepada vektor b dilakukan dalam arah positif (lawan arah jam) dan negatif dalam kes lain. Lihat Rajah.1a, Rajah.1b. Ia juga dikatakan bahawa sepasang vektor a Dan b berorientasikan positif (negatif).

Oleh itu, nilai sudut berorientasikan bergantung pada susunan di mana vektor disenaraikan dan boleh mengambil nilai dalam selang.

Banyak masalah dalam geometri pengiraan menggunakan konsep vektor (skew atau pseudoscalar) produk vektor.

Hasil darab vektor bagi vektor a dan b ialah hasil darab panjang vektor ini dan sinus sudut di antara keduanya:

.

Hasil silang vektor dalam koordinat:

Ungkapan di sebelah kanan ialah penentu tertib kedua:

Tidak seperti definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ia adalah skalar.

Tanda produk vektor menentukan kedudukan vektor secara relatif antara satu sama lain:

a Dan b berorientasikan positif.

Jika nilainya ialah , maka sepasang vektor a Dan b berorientasikan negatif.

Hasil silang bagi vektor bukan sifar adalah sifar jika dan hanya jika ia adalah kolinear ( ). Ini bermakna mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari.

Mari kita lihat beberapa masalah mudah yang perlu apabila menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

Mari kita tentukan persamaan garis lurus daripada koordinat dua titik.

Persamaan garis yang melalui dua titik berbeza yang ditentukan oleh koordinatnya.

Biarkan dua titik tidak bertepatan diberikan pada garis lurus: dengan koordinat (x1; y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Sehubungan itu, vektor dengan permulaan pada titik dan penghujung pada titik mempunyai koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) ialah titik arbitrari pada garis kita, maka koordinat vektor adalah sama dengan (x-x1, y – y1).

Menggunakan produk vektor, syarat untuk keselarasan vektor dan boleh ditulis seperti berikut:

Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kami menulis semula persamaan terakhir seperti berikut:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Jadi, garis lurus boleh ditentukan dengan persamaan bentuk (1).

Masalah 1. Koordinat dua titik diberikan. Cari perwakilannya dalam bentuk ax + by + c = 0.

Dalam pelajaran ini kami mempelajari beberapa maklumat tentang geometri pengiraan. Kami menyelesaikan masalah mencari persamaan garis dari koordinat dua titik.

Dalam pelajaran seterusnya, kita akan mencipta program untuk mencari titik persilangan dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.

Artikel ini meneruskan topik persamaan garis pada satah: kami akan menganggap persamaan jenis ini sebagai persamaan umum garis. Mari kita takrifkan teorem dan berikan buktinya; Mari kita fikirkan apakah persamaan am yang tidak lengkap bagi garis dan cara membuat peralihan daripada persamaan am kepada jenis persamaan garis yang lain. Kami akan mengukuhkan keseluruhan teori dengan ilustrasi dan penyelesaian kepada masalah praktikal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat O x y dinyatakan pada satah.

Teorem 1

Mana-mana persamaan darjah pertama, mempunyai bentuk A x + B y + C = 0, di mana A, B, C ialah beberapa nombor nyata (A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama), mentakrifkan garis lurus dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah. Sebaliknya, sebarang garis lurus dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah ditentukan oleh persamaan yang mempunyai bentuk A x + B y + C = 0 untuk set nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorem ini terdiri daripada dua mata; kami akan membuktikan setiap satu daripadanya.

1. Mari kita buktikan bahawa persamaan A x + B y + C = 0 mentakrifkan garis lurus pada satah.

Biarkan terdapat beberapa titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sepadan dengan persamaan A x + B y + C = 0. Oleh itu: A x 0 + B y 0 + C = 0. Tolak dari sisi kiri dan kanan persamaan A x + B y + C = 0 sisi kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C = 0, kita memperoleh persamaan baru yang kelihatan seperti A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ia bersamaan dengan A x + B y + C = 0.

Persamaan yang terhasil A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 adalah perlu dan keadaan yang mencukupi keserenjangan vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Oleh itu, set titik M (x, y) mentakrifkan garis lurus dalam sistem koordinat segi empat tepat berserenjang dengan arah vektor n → = (A, B). Kita boleh menganggap bahawa ini tidak begitu, tetapi kemudian vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan berserenjang, dan kesamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak akan benar.

Akibatnya, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 mentakrifkan garis tertentu dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah, dan oleh itu persamaan setara A x + B y + C = 0 mentakrifkan baris yang sama. Ini adalah bagaimana kami membuktikan bahagian pertama teorem.

1. Mari kita berikan bukti bahawa sebarang garis lurus dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah boleh ditentukan dengan persamaan darjah pertama A x + B y + C = 0.

Mari kita takrifkan garis lurus a dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah; titik M 0 (x 0 , y 0) di mana garis ini dilalui, serta vektor normal garis ini n → = (A, B) .

Biarkan terdapat juga beberapa titik M (x, y) - titik terapung pada garis. Dalam kes ini, vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) adalah berserenjang antara satu sama lain, dan hasil darab skalarnya ialah sifar:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis semula persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, takrifkan C: C = - A x 0 - B y 0 dan sebagai hasil akhir kita mendapat persamaan A x + B y + C = 0.

Jadi, kami telah membuktikan bahagian kedua teorem, dan kami telah membuktikan keseluruhan teorem secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan bentuk A x + B y + C = 0 - Ini persamaan am garis pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepatOxy.

Berdasarkan teorem terbukti, kita boleh membuat kesimpulan bahawa garis lurus dan persamaan amnya yang ditakrifkan pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepat tetap adalah berkait rapat. Dalam erti kata lain, garis asal sepadan dengan persamaan amnya; persamaan am garis sepadan dengan garis tertentu.

Daripada pembuktian teorem itu juga menunjukkan bahawa pekali A dan B bagi pembolehubah x dan y ialah koordinat bagi vektor normal garis, yang diberikan oleh persamaan am garis A x + B y + C = 0.

Mari kita pertimbangkan contoh khusus persamaan am garis lurus.

Biarkan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0 diberikan, yang sepadan dengan garis lurus dalam sistem koordinat segi empat tepat tertentu. Vektor biasa bagi baris ini ialah vektor n → = (2 , 3) ​​​​. Mari kita lukis garis lurus yang diberikan dalam lukisan.

Kita juga boleh menyatakan perkara berikut: garis lurus yang kita lihat dalam lukisan ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, kerana koordinat semua titik pada garis lurus yang diberikan sepadan dengan persamaan ini.

Kita boleh mendapatkan persamaan λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dengan mendarab kedua-dua belah persamaan am garis dengan nombor λ tidak sama dengan sifar. Persamaan yang terhasil adalah bersamaan dengan persamaan am asal, oleh itu, ia akan menerangkan garis lurus yang sama pada satah.

Definisi 2

Lengkapkan persamaan am garis– persamaan am bagi garis lurus A x + B y + C = 0, di mana nombor A, B, C berbeza daripada sifar. Jika tidak, persamaannya ialah tidak lengkap.

Marilah kita menganalisis semua variasi persamaan am yang tidak lengkap bagi garis.

1. Apabila A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, persamaan am mengambil bentuk B y + C = 0. Persamaan am yang tidak lengkap sedemikian mentakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y garis lurus yang selari dengan paksi O x, kerana untuk sebarang nilai sebenar x pembolehubah y akan mengambil nilai - C B . Dalam erti kata lain, persamaan umum garis A x + B y + C = 0, apabila A = 0, B ≠ 0, menentukan lokus titik (x, y), yang koordinatnya sama dengan nombor yang sama - C B .
2. Jika A = 0, B ≠ 0, C = 0, persamaan am mengambil bentuk y = 0. ini persamaan tidak lengkap mentakrifkan paksi absis O x .
3. Apabila A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, kita memperoleh persamaan am yang tidak lengkap A x + C = 0, mentakrifkan garis lurus yang selari dengan ordinat.
4. Biarkan A ≠ 0, B = 0, C = 0, maka persamaan am yang tidak lengkap akan mengambil bentuk x = 0, dan ini ialah persamaan garis koordinat O y.
5. Akhir sekali, untuk A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, persamaan am yang tidak lengkap mengambil bentuk A x + B y = 0. Dan persamaan ini menerangkan garis lurus yang melalui asalan. Malah, pasangan nombor (0, 0) sepadan dengan kesamaan A x + B y = 0, kerana A · 0 + B · 0 = 0.

Marilah kita menggambarkan secara grafik semua jenis persamaan am tidak lengkap bagi garis lurus di atas.

Contoh 1

Adalah diketahui bahawa garis lurus yang diberikan adalah selari dengan paksi ordinat dan melalui titik 2 7, - 11. Ia adalah perlu untuk menuliskan persamaan am bagi garis yang diberikan.

Penyelesaian

Garis lurus yang selari dengan paksi ordinat diberikan oleh persamaan bentuk A x + C = 0, di mana A ≠ 0. Keadaan ini juga menentukan koordinat titik yang melaluinya garisan, dan koordinat titik ini memenuhi syarat persamaan am yang tidak lengkap A x + C = 0, i.e. persamaan itu benar:

A 2 7 + C = 0

Daripada itu adalah mungkin untuk menentukan C jika kita memberikan A beberapa nilai bukan sifar, sebagai contoh, A = 7. Dalam kes ini, kita dapat: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Kita tahu kedua-dua pekali A dan C, gantikannya ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis lurus yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Jawapan: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Lukisan menunjukkan garis lurus; anda perlu menulis persamaannya.

Penyelesaian

Lukisan yang diberikan membolehkan kami dengan mudah mengambil data awal untuk menyelesaikan masalah. Kita lihat dalam lukisan bahawa garis lurus yang diberikan adalah selari dengan paksi O x dan melalui titik (0, 3).

Garis lurus, yang selari dengan absis, ditentukan oleh persamaan am tidak lengkap B y + C = 0. Mari cari nilai B dan C. Koordinat titik (0, 3), kerana garis yang diberikan melaluinya, akan memenuhi persamaan garis B y + C = 0, maka kesamaan adalah sah: B · 3 + C = 0. Mari kita tetapkan B kepada beberapa nilai selain sifar. Katakan B = 1, dalam kes ini daripada kesamaan B · 3 + C = 0 kita boleh mencari C: C = - 3. Kami guna nilai yang diketahui B dan C, kita memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Jawapan: y - 3 = 0 .

Persamaan am garis yang melalui titik tertentu dalam satah

Biarkan garis yang diberi melalui titik M 0 (x 0 , y 0), maka koordinatnya sepadan dengan persamaan umum garis, i.e. kesamaan adalah benar: A x 0 + B y 0 + C = 0. Mari kita tolak sisi kiri dan kanan persamaan ini dari sisi kiri dan kanan am persamaan lengkap lurus. Kita dapat: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, persamaan ini bersamaan dengan persamaan am asal, melalui titik M 0 (x 0, y 0) dan mempunyai normal vektor n → = (A, B) .

Hasil yang kami peroleh memungkinkan untuk menulis persamaan umum garis lurus dengan koordinat yang diketahui vektor normal garis dan koordinat titik tertentu pada garis ini.

Contoh 3

Diberi titik M 0 (- 3, 4) yang melaluinya satu garisan, dan vektor normal garis ini n → = (1 , - 2) . Ia adalah perlu untuk menuliskan persamaan garis yang diberikan.

Penyelesaian

Keadaan awal membolehkan kita memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya boleh diselesaikan secara berbeza. Persamaan am garis lurus ialah A x + B y + C = 0. Vektor normal yang diberikan membolehkan kita mendapatkan nilai pekali A dan B, kemudian:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C menggunakan titik M 0 (- 3, 4) yang ditentukan oleh keadaan masalah, yang melaluinya garis lurus. Koordinat titik ini sepadan dengan persamaan x - 2 · y + C = 0, i.e. - 3 - 2 4 + C = 0. Oleh itu C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan mengambil bentuk: x - 2 · y + 11 = 0.

Jawapan: x - 2 y + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberi garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan satu titik M 0 terletak pada garis ini. Hanya abscissa titik ini diketahui, dan ia bersamaan dengan - 3. Ia adalah perlu untuk menentukan ordinat titik tertentu.

Penyelesaian

Mari kita tentukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Data sumber menunjukkan bahawa x 0 = - 3. Oleh kerana titik kepunyaan garis tertentu, maka koordinatnya sepadan dengan persamaan umum garis ini. Maka kesamaan akan menjadi benar:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Takrifkan y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Jawapan: - 5 2

Peralihan daripada persamaan am garis kepada jenis persamaan garis yang lain dan begitu juga sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, terdapat beberapa jenis persamaan untuk garis lurus yang sama pada satah. Pilihan jenis persamaan bergantung kepada keadaan masalah; adalah mungkin untuk memilih yang lebih mudah untuk menyelesaikannya. Kemahiran menukar persamaan satu jenis kepada persamaan jenis lain sangat berguna di sini.

Mula-mula, mari kita pertimbangkan peralihan daripada persamaan am bentuk A x + B y + C = 0 kepada persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jika A ≠ 0, maka kita pindahkan istilah B y kepada sebelah kanan persamaan am. Di sebelah kiri kita ambil A daripada kurungan. Hasilnya, kita dapat: A x + C A = - B y.

Kesamaan ini boleh ditulis sebagai perkadaran: x + C A - B = y A.

Jika B ≠ 0, kita tinggalkan hanya sebutan A x di sebelah kiri persamaan am, pindahkan yang lain ke sebelah kanan, kita dapat: A x = - B y - C. Kami mengambil – B daripada kurungan, kemudian: A x = - B y + C B .

Mari kita tulis semula kesamaan dalam bentuk perkadaran: x - B = y + C B A.

Sudah tentu, tidak perlu menghafal formula yang dihasilkan. Ia cukup untuk mengetahui algoritma tindakan apabila bergerak dari persamaan umum kepada persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan am bagi garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Ia adalah perlu untuk mengubahnya menjadi persamaan kanonik.

Penyelesaian

Mari kita tuliskannya persamaan asal seperti 3 y - 4 = 0 . Seterusnya, kami meneruskan mengikut algoritma: istilah 0 x kekal di sebelah kiri; dan di sebelah kanan kami letakkan - 3 daripada kurungan; kita dapat: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tulis kesamaan yang terhasil sebagai perkadaran: x - 3 = y - 4 3 0 . Oleh itu, kita telah memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawapan: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan am garis kepada parametrik, pertama peralihan dibuat kepada bentuk kanonik, dan kemudian peralihan daripada persamaan kanonik garis kepada persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0. Tuliskan persamaan parametrik untuk baris ini.

Penyelesaian

Mari kita buat peralihan daripada persamaan am kepada persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Sekarang kita ambil kedua-dua belah persamaan kanonik yang terhasil sama dengan λ, kemudian:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Jawapan:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Persamaan am boleh ditukar kepada persamaan garis lurus dengan cerun y = k · x + b, tetapi hanya apabila B ≠ 0. Untuk peralihan, kami meninggalkan istilah B y di sebelah kiri, selebihnya dipindahkan ke kanan. Kami dapat: B y = - A x - C . Mari bahagikan kedua-dua belah kesamaan yang terhasil dengan B, berbeza daripada sifar: y = - A B x - C B.

Contoh 7

Persamaan am garis diberikan: 2 x + 7 y = 0. Anda perlu menukar persamaan itu kepada persamaan cerun.

Penyelesaian

Mari lakukan tindakan yang diperlukan mengikut algoritma:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Jawapan: y = - 2 7 x .

Daripada persamaan am garis, cukup untuk mendapatkan persamaan dalam segmen bentuk x a + y b = 1. Untuk membuat peralihan sedemikian, kami memindahkan nombor C ke sebelah kanan kesamaan, bahagikan kedua-dua belah kesamaan yang terhasil dengan – C dan, akhirnya, pindahkan pekali untuk pembolehubah x dan y kepada penyebut:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Ia adalah perlu untuk menukar persamaan am garis x - 7 y + 1 2 = 0 ke dalam persamaan garis dalam segmen.

Penyelesaian

Mari kita gerakkan 1 2 ke sisi kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Mari bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Jawapan: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Secara umum, peralihan terbalik juga mudah: daripada jenis persamaan lain kepada persamaan umum.

Persamaan garis dalam segmen dan persamaan dengan pekali sudut boleh dengan mudah ditukar menjadi satu umum dengan hanya mengumpulkan semua istilah di sebelah kiri kesamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik ditukar kepada persamaan umum mengikut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Untuk beralih dari parametrik, mula-mula beralih ke kanonik, dan kemudian ke umum:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik bagi garis x = - 1 + 2 · λ y = 4 diberikan. Ia adalah perlu untuk menulis persamaan am garis ini.

Penyelesaian

Mari buat peralihan dari persamaan parametrik kepada kanonik:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Mari kita beralih dari kanonik kepada umum:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Jawapan: y - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus dalam segmen x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Ia adalah perlu untuk membuat peralihan kepada penampilan umum persamaan

Penyelesaian:

Kami hanya menulis semula persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Jawapan: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Melukis persamaan am bagi garis

Kami berkata di atas bahawa persamaan am boleh ditulis dengan koordinat diketahui bagi vektor normal dan koordinat titik yang melaluinya garisan. Garis lurus sedemikian ditakrifkan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Di sana kami juga menganalisis contoh yang sepadan.

Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks, di mana mula-mula kita perlu menentukan koordinat vektor biasa.

Contoh 11

Diberi garis selari dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Titik M 0 (4, 1) yang dilalui oleh garis yang diberikan juga diketahui. Ia adalah perlu untuk menuliskan persamaan garis yang diberikan.

Penyelesaian

Keadaan awal memberitahu kita bahawa garis adalah selari, maka, sebagai vektor normal garis, persamaan yang perlu ditulis, kita mengambil vektor arah garis n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sekarang kita tahu semua data yang diperlukan untuk mencipta persamaan umum garis:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Jawapan: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis yang diberi melalui titik asalan yang berserenjang dengan garis x - 2 3 = y + 4 5. Ia adalah perlu untuk mencipta persamaan am untuk garis tertentu.

Penyelesaian

Vektor normal bagi garis tertentu akan menjadi vektor arah garis x - 2 3 = y + 4 5.

Kemudian n → = (3, 5) . Garis lurus melalui asalan, i.e. melalui titik O (0, 0). Mari kita buat persamaan am untuk baris tertentu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Jawab: 3 x + 5 y = 0 .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Persamaan garis lurus pada satah.
Vektor arah adalah lurus. Vektor biasa

Garis lurus pada satah adalah salah satu yang paling mudah bentuk geometri, biasa kepada anda sejak itu kelas junior, dan hari ini kita akan belajar cara menanganinya menggunakan kaedah geometri analitik. Untuk menguasai bahan, anda mesti dapat membina garis lurus; tahu persamaan apa yang mentakrifkan garis lurus, khususnya, garis lurus yang melalui asal koordinat dan garis lurus selari dengan paksi koordinat. Maklumat ini boleh didapati dalam manual Graf dan sifat fungsi asas, saya menciptanya untuk matan, tetapi bahagian tentang fungsi linear Ternyata sangat berjaya dan terperinci. Oleh itu wahai teko, panaskan dahulu di sana. Di samping itu, anda perlu mempunyai pengetahuan asas tentang vektor, jika tidak, pemahaman bahan akan menjadi tidak lengkap.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat cara anda boleh mencipta persamaan garis lurus pada satah. Saya mengesyorkan agar tidak mengabaikan contoh praktikal (walaupun ia kelihatan sangat mudah), kerana saya akan memberikan mereka fakta asas dan penting, teknik teknikal yang akan diperlukan pada masa hadapan, termasuk dalam bahagian lain matematik yang lebih tinggi.

• Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus dengan pekali sudut?
• bagaimana?
• Bagaimana untuk mencari vektor arah menggunakan persamaan umum garis lurus?
• Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

dan kita mulakan:

Persamaan garis lurus dengan kecerunan

Bentuk "sekolah" yang terkenal bagi persamaan garis lurus dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunan. Sebagai contoh, jika garis lurus diberikan oleh persamaan, maka kecerunannya ialah: . Mari kita pertimbangkan makna geometri pekali ini dan cara nilainya mempengaruhi lokasi garisan:

Dalam kursus geometri terbukti bahawa kecerunan garis lurus adalah sama dengan tangen sudut antara arah paksi positifdan baris ini: , dan sudut "buka skru" lawan jam.

Untuk tidak mengacaukan lukisan, saya melukis sudut hanya untuk dua garis lurus. Mari kita pertimbangkan garis "merah" dan cerunnya. Mengikut perkara di atas: (sudut "alfa" ditunjukkan oleh lengkok hijau). Untuk garis lurus "biru" dengan pekali sudut, kesamaan adalah benar (sudut "beta" ditunjukkan oleh lengkok coklat). Dan jika tangen sudut itu diketahui, maka jika perlu ia mudah dicari dan sudut itu sendiri menggunakan fungsi songsang - arctangent. Seperti yang mereka katakan, jadual trigonometri atau mikrokalkulator di tangan anda. Oleh itu, pekali sudut mencirikan tahap kecondongan garis lurus ke paksi absis.

Dalam kes ini, adalah mungkin kes berikut:

1) Jika cerun negatif: maka garisan, secara kasarnya, pergi dari atas ke bawah. Contohnya ialah garis lurus "biru" dan "raspberi" dalam lukisan.

2) Jika cerun adalah positif: maka garisan pergi dari bawah ke atas. Contoh - garis lurus "hitam" dan "merah" dalam lukisan.

3) Jika cerun adalah sifar: , maka persamaan mengambil bentuk , dan garis lurus yang sepadan adalah selari dengan paksi. Contohnya ialah garis lurus "kuning".

4) Untuk keluarga garisan selari dengan paksi (tiada contoh dalam lukisan, kecuali paksi itu sendiri), pekali sudut tidak wujud (tangen 90 darjah tidak ditakrifkan).

Semakin besar pekali cerun dalam nilai mutlak, semakin curam graf garis lurus..

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Oleh itu, di sini, garis lurus mempunyai cerun yang lebih curam. Biar saya ingatkan anda bahawa modul itu membolehkan anda mengabaikan tanda itu, kami hanya berminat nilai mutlak pekali sudut.

Sebaliknya, garis lurus lebih curam daripada garis lurus .

Sebaliknya: lebih kecil pekali cerun dalam nilai mutlak, lebih rata garis lurus.

Untuk garis lurus ketaksamaan adalah benar, oleh itu garis lurus adalah lebih rata. Gelongsor kanak-kanak, supaya tidak memberi diri anda lebam dan benjolan.

Mengapa ini perlu?

Panjangkan siksaan anda Pengetahuan tentang fakta di atas membolehkan anda melihat dengan segera kesilapan anda, khususnya, kesilapan semasa membina graf - jika lukisan itu ternyata "jelas sesuatu yang salah." Adalah dinasihatkan bahawa anda terus adalah jelas bahawa, sebagai contoh, garis lurus adalah sangat curam dan pergi dari bawah ke atas, dan garis lurus sangat rata, ditekan dekat dengan paksi dan pergi dari atas ke bawah.

Dalam masalah geometri, beberapa garis lurus sering muncul, jadi ia adalah mudah untuk menetapkannya entah bagaimana.

Jawatan: garis lurus ditetapkan kecil dengan huruf Latin: . Pilihan yang popular adalah untuk menetapkan mereka menggunakan huruf yang sama dengan subskrip semula jadi. Sebagai contoh, lima baris yang baru kita lihat boleh dilambangkan dengan .

Oleh kerana mana-mana garis lurus ditentukan secara unik oleh dua titik, ia boleh dilambangkan dengan titik berikut: dan lain-lain. Penamaan jelas menunjukkan bahawa titik-titik itu tergolong dalam garis.

Sudah tiba masanya untuk memanaskan badan sedikit:

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus dengan pekali sudut?

Jika titik kepunyaan garis tertentu dan pekali sudut garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Contoh 1

Tulis persamaan garis lurus dengan pekali sudut jika diketahui bahawa titik itu tergolong dalam garis lurus ini.

Penyelesaian: Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan formula . DALAM dalam kes ini:

Jawab:

Peperiksaan dilakukan secara sederhana. Pertama, kita melihat persamaan yang terhasil dan pastikan cerun kita berada di tempatnya. Kedua, koordinat titik mesti memenuhi persamaan ini. Mari masukkan mereka ke dalam persamaan:

Kesamaan yang betul diperoleh, yang bermaksud bahawa titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Kesimpulan: Persamaan ditemui dengan betul.

Contoh yang lebih rumit untuk keputusan bebas:

Contoh 2

Tulis persamaan untuk garis lurus jika diketahui bahawa sudut kecondongannya kepada arah positif paksi ialah , dan titik itu tergolong dalam garis lurus ini.

Jika anda menghadapi sebarang kesulitan, baca semula bahan teori. Lebih tepat lagi, lebih praktikal, saya melangkau banyak bukti.

Ia berbunyi panggilan terakhir, parti tamat pengajian telah berlalu, dan di luar pintu gerbang sekolah asal kami, geometri analitik sendiri menanti kami. Lawak dah habis... Atau mungkin mereka baru bermula =)

Kami secara nostalgia melambai pen kami kepada yang biasa dan berkenalan dengan persamaan umum garis lurus. Kerana dalam geometri analitik inilah yang digunakan:

Persamaan am garis lurus mempunyai bentuk: , di manakah beberapa nombor. Pada masa yang sama, pekali serentak tidak sama dengan sifar, kerana persamaan kehilangan maknanya.

Mari kita berpakaian dalam sut dan mengikat persamaan dengan pekali cerun. Mula-mula, mari kita alihkan semua syarat ke sebelah kiri:

Istilah dengan "X" mesti diletakkan di tempat pertama:

Pada dasarnya, persamaan sudah mempunyai bentuk , tetapi mengikut peraturan etika matematik, pekali sebutan pertama (dalam kes ini) mestilah positif. Tanda-tanda yang berubah:

Ingat ciri teknikal ini! Kami membuat pekali pertama (paling kerap) positif!

Dalam geometri analitik, persamaan garis lurus hampir selalu diberikan bentuk umum. Nah, jika perlu, ia boleh dengan mudah dikurangkan kepada bentuk "sekolah" dengan pekali sudut (dengan pengecualian garis lurus selari dengan paksi ordinat).

Mari kita tanya diri kita apa cukup tahu membina garis lurus? Dua mata. Tetapi lebih lanjut mengenai kejadian zaman kanak-kanak ini, kini melekat dengan peraturan anak panah. Setiap garis lurus mempunyai cerun yang sangat spesifik, yang mudah untuk "disesuaikan". vektor.

Vektor yang selari dengan garis dipanggil vektor arah garis itu. Jelas sekali bahawa mana-mana garis lurus mempunyai bilangan vektor arah yang tidak terhingga, dan kesemuanya adalah kolinear (bersama arah atau tidak - tidak mengapa).

Saya akan menandakan vektor arah seperti berikut: .

Tetapi satu vektor tidak mencukupi untuk membina garis lurus; vektor adalah bebas dan tidak terikat pada mana-mana titik pada satah. Oleh itu, adalah perlu untuk mengetahui beberapa titik yang tergolong dalam garisan.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah?

Jika titik tertentu kepunyaan garis dan vektor arah garis ini diketahui, maka persamaan garis ini boleh disusun menggunakan formula:

Kadang-kadang ia dipanggil persamaan kanonik garis .

Apa yang perlu dilakukan apabila salah satu koordinat adalah sama dengan sifar, kita akan faham dalam contoh praktikal di bawah. Dengan cara ini, sila ambil perhatian - kedua-duanya sekali koordinat tidak boleh sama dengan sifar, kerana vektor sifar tidak menentukan arah tertentu.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Penyelesaian: Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan formula. Dalam kes ini:

Menggunakan sifat perkadaran kita menyingkirkan pecahan:

Dan kami membawa persamaan ke bentuk amnya:

Jawab:

Sebagai peraturan, tidak perlu membuat lukisan dalam contoh sedemikian, tetapi demi pemahaman:

Dalam lukisan kita melihat titik permulaan, vektor arah asal (ia boleh diplot dari mana-mana titik pada satah) dan garis lurus yang dibina. Ngomong-ngomong, dalam banyak kes adalah paling mudah untuk membina garis lurus menggunakan persamaan dengan pekali sudut. Sangat mudah untuk mengubah persamaan kami menjadi bentuk dan dengan mudah memilih titik lain untuk membina garis lurus.

Seperti yang dinyatakan pada permulaan perenggan, garis lurus mempunyai banyak vektor arah yang tidak terhingga, dan kesemuanya adalah kolinear. Sebagai contoh, saya melukis tiga vektor sedemikian: . Walau apa pun vektor arah yang kita pilih, hasilnya akan sentiasa sama dengan persamaan garis lurus.

Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menyelesaikan perkadaran:

Bahagikan kedua-dua belah dengan –2 dan dapatkan persamaan biasa:

Mereka yang berminat boleh menguji vektor dengan cara yang sama atau mana-mana vektor kolinear lain.

Sekarang mari kita selesaikan masalah songsang:

Bagaimana untuk mencari vektor arah menggunakan persamaan umum garis lurus?

Sangat ringkas:

Jika garis diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat segi empat tepat, maka vektor ialah vektor arah garis ini.

Contoh mencari vektor arah garis lurus:

Pernyataan itu membenarkan kami mencari hanya satu vektor arah daripada nombor tak terhingga, tetapi kami tidak memerlukan lebih banyak lagi. Walaupun dalam beberapa kes adalah dinasihatkan untuk mengurangkan koordinat vektor arah:

Oleh itu, persamaan menentukan garis lurus yang selari dengan paksi dan koordinat vektor arah yang terhasil dengan mudah dibahagikan dengan –2, mendapatkan betul-betul vektor asas sebagai vektor arah. Logik.

Begitu juga, persamaan menentukan garis lurus selari dengan paksi, dan dengan membahagikan koordinat vektor dengan 5, kita memperoleh vektor ort sebagai vektor arah.

Sekarang mari kita lakukannya menyemak Contoh 3. Contoh itu naik, jadi saya mengingatkan anda bahawa di dalamnya kami menyusun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Pertama sekali, menggunakan persamaan garis lurus kita memulihkan vektor arahnya: – semuanya baik-baik saja, kami telah menerima vektor asal (dalam beberapa kes, hasilnya mungkin merupakan vektor kolinear kepada yang asal, dan ini biasanya mudah diperhatikan oleh perkadaran koordinat yang sepadan).

Kedua, koordinat titik mesti memenuhi persamaan. Kami menggantikannya ke dalam persamaan:

Persamaan yang betul diperolehi, yang kami sangat gembira.

Kesimpulan: Tugasan telah disiapkan dengan betul.

Contoh 4

Tulis persamaan untuk garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian dan jawapan ada di akhir pelajaran. Adalah dinasihatkan untuk menyemak menggunakan algoritma yang baru dibincangkan. Cuba sentiasa (jika boleh) menyemak draf. Adalah bodoh untuk membuat kesilapan di mana mereka boleh dielakkan 100%.

Sekiranya salah satu koordinat vektor arah adalah sifar, teruskan dengan mudah:

Contoh 5

Penyelesaian: Formula tidak sesuai kerana penyebut di sebelah kanan ialah sifar. Ada jalan keluar! Dengan menggunakan sifat perkadaran, kami menulis semula formula dalam bentuk, dan selebihnya digulung di sepanjang laluan yang dalam:

Jawab:

Peperiksaan:

1) Pulihkan vektor pengarah baris:
– vektor yang terhasil adalah segaris dengan vektor arah asal.

2) Gantikan koordinat titik ke dalam persamaan:

Persamaan yang betul diperolehi

Kesimpulan: tugasan diselesaikan dengan betul

Persoalannya timbul, mengapa perlu bersusah payah dengan formula jika terdapat versi universal yang akan berfungsi dalam apa jua keadaan? Terdapat dua sebab. Pertama, formula adalah dalam bentuk pecahan jauh lebih baik diingati. Dan kedua, kelemahan formula universal ialah risiko menjadi keliru meningkat dengan ketara apabila menggantikan koordinat.

Contoh 6

Tulis persamaan untuk garis lurus menggunakan titik dan vektor arah.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Mari kita kembali kepada dua perkara di mana-mana:

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus menggunakan dua titik?

Jika dua titik diketahui, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini boleh disusun menggunakan formula:

Sebenarnya, ini adalah sejenis formula dan inilah sebabnya: jika dua titik diketahui, maka vektor akan menjadi vektor arah garis yang diberikan. Pada pelajaran Vektor untuk boneka kami pertimbangkan tugas paling mudah– bagaimana untuk mencari koordinat vektor dari dua titik. Menurut masalah ini, koordinat vektor arah adalah:

Catatan : mata boleh "ditukar" dan formula boleh digunakan . Penyelesaian sedemikian akan menjadi setara.

Contoh 7

Tulis persamaan garis lurus menggunakan dua titik .

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Menyikat penyebut:

Dan kocok dek:

Sekarang adalah masa untuk menyingkirkan nombor pecahan. Dalam kes ini, anda perlu mendarab kedua-dua belah dengan 6:

Buka kurungan dan ingatkan persamaan:

Jawab:

Peperiksaan jelas - koordinat titik permulaan mesti memenuhi persamaan yang terhasil:

1) Gantikan koordinat titik:

Kesaksamaan sebenar.

2) Gantikan koordinat titik:

Kesaksamaan sebenar.

Kesimpulan: Persamaan garis ditulis dengan betul.

Jika sekurang-kurangnya satu daripada mata tidak memenuhi persamaan, cari ralat.

Perlu diingat bahawa pengesahan grafik dalam kes ini adalah sukar, kerana bina garis lurus dan lihat sama ada mata itu miliknya , tidak begitu mudah.

Saya akan perhatikan beberapa lagi aspek teknikal penyelesaian. Mungkin dalam masalah ini lebih menguntungkan menggunakan formula cermin dan, pada titik yang sama buat persamaan:

Lebih sedikit pecahan. Jika anda mahu, anda boleh menjalankan penyelesaian hingga akhir, hasilnya harus persamaan yang sama.

Perkara kedua ialah melihat jawapan akhir dan memikirkan sama ada ia boleh dipermudahkan lagi? Sebagai contoh, jika anda mendapat persamaan , maka adalah dinasihatkan untuk mengurangkannya sebanyak dua: – persamaan akan mentakrifkan garis lurus yang sama. Walau bagaimanapun, ini sudah menjadi topik perbualan kedudukan relatif garisan.

Setelah mendapat jawapan dalam Contoh 7, untuk berjaga-jaga, saya menyemak sama ada SEMUA pekali persamaan boleh dibahagikan dengan 2, 3 atau 7. Walaupun, selalunya pengurangan sedemikian dibuat semasa penyelesaian.

Contoh 8

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik-titik tersebut .

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, yang akan membolehkan anda memahami dan mengamalkan teknik pengiraan dengan lebih baik.

Sama seperti perenggan sebelumnya: jika dalam formula salah satu penyebut (koordinat vektor arah) menjadi sifar, kemudian kita tulis semula dalam bentuk . Sekali lagi, perhatikan betapa janggal dan keliru dia kelihatan. Saya tidak nampak banyak gunanya membawa contoh praktikal, kerana kita sebenarnya telah menyelesaikan masalah sedemikian (lihat No. 5, 6).

Vektor normal langsung (vektor normal)

Apa yang normal? Dengan kata mudah, normal ialah berserenjang. Iaitu, vektor normal garis adalah berserenjang dengan garis tertentu. Jelas sekali, mana-mana garis lurus mempunyai bilangannya yang tidak terhingga (serta vektor arah), dan semua vektor normal garis lurus akan menjadi kolinear (bersama arah atau tidak, tidak ada bezanya).

Berurusan dengan mereka akan menjadi lebih mudah daripada dengan vektor panduan:

Jika garis diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat segi empat tepat, maka vektor ialah vektor normal garis ini.

Jika koordinat vektor arah perlu "ditarik keluar" dengan berhati-hati daripada persamaan, maka koordinat vektor normal boleh "dialihkan" dengan mudah.

Vektor normal sentiasa ortogon dengan vektor arah garis. Mari kita sahkan keortogonan vektor ini menggunakan produk titik:

Saya akan memberikan contoh dengan persamaan yang sama seperti untuk vektor arah:

Adakah mungkin untuk membina persamaan garis lurus diberi satu titik dan vektor normal? Saya merasakannya dalam usus saya, ia mungkin. Sekiranya vektor normal diketahui, maka arah garis lurus itu sendiri ditakrifkan dengan jelas - ini adalah "struktur tegar" dengan sudut 90 darjah.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

Jika titik tertentu kepunyaan garis dan vektor normal garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Di sini semuanya berjalan lancar tanpa pecahan dan kejutan lain. Ini adalah vektor biasa kami. Cinta dia. dan hormat =)

Contoh 9

Tulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis itu.

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Persamaan umum garis lurus telah diperolehi, mari kita semak:

1) "Alih keluar" koordinat vektor normal daripada persamaan: – ya, sememangnya, vektor asal diperoleh daripada keadaan (atau vektor kolinear harus diperolehi).

2) Mari kita semak sama ada titik itu memenuhi persamaan:

Kesaksamaan sebenar.

Selepas kami yakin bahawa persamaan itu disusun dengan betul, kami akan menyelesaikan bahagian kedua yang lebih mudah daripada tugas itu. Kami mengeluarkan vektor pengarah garis lurus:

Jawab:

Dalam lukisan keadaan kelihatan seperti ini:

Untuk tujuan latihan, tugas yang sama untuk menyelesaikan secara bebas:

Contoh 10

Tulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis itu.

Bahagian akhir pelajaran akan ditumpukan kepada jenis persamaan yang kurang biasa, tetapi juga penting bagi garis pada satah

Persamaan garis lurus dalam segmen.
Persamaan garis dalam bentuk parametrik

Persamaan garis lurus dalam segmen mempunyai bentuk , dengan pemalar bukan sifar. Sesetengah jenis persamaan tidak boleh diwakili dalam bentuk ini, contohnya, perkadaran langsung (memandangkan sebutan bebas adalah sama dengan sifar dan tiada cara untuk mendapatkan satu di sebelah kanan).

Ini, secara kiasan, jenis persamaan "teknikal". Tugas biasa adalah untuk mewakili persamaan umum garis sebagai persamaan garis dalam segmen. Bagaimana ia mudah? Persamaan garis dalam segmen membolehkan anda mencari dengan cepat titik persilangan garis dengan paksi koordinat, yang boleh menjadi sangat penting dalam beberapa masalah matematik yang lebih tinggi.

Mari kita cari titik persilangan garis dengan paksi. Kami menetapkan semula "y" kepada sifar, dan persamaan mengambil bentuk . Titik yang dikehendaki diperolehi secara automatik: .

Sama dengan paksi – titik di mana garis lurus bersilang dengan paksi ordinat.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

Selain itu, pemalar A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am bagi garis lurus. Bergantung kepada nilai pemalar A, B dan C kes khas berikut adalah mungkin:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – garis lurus melalui asalan

A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0) - garis lurus selari dengan paksi Lembu

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – garis lurus selari dengan paksi Oy

B = C = 0, A ≠0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Oy

A = C = 0, B ≠0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Lembu

Persamaan garis lurus boleh diwakili dalam dalam pelbagai bentuk bergantung pada mana-mana syarat awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, vektor dengan komponen (A, B) berserenjang dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) berserenjang dengan (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari pekali C, kita menggantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil. Kita dapat: 3 – 2 + C = 0, oleh itu, C = -1 . Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Biarkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik ini ialah:

Jika mana-mana penyebut sama dengan sifar, pengangka yang sepadan hendaklah sama dengan sifar. Pada satah, persamaan garis yang ditulis di atas dipermudahkan:

jika x 1 ≠ x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan = k dipanggil cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus dari titik dan cerun

Jika jumlah Ax + Bu + C = 0, bawa kepada bentuk:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunank.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan takrif garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1, α 2), komponen yang memenuhi syarat A α 1 + B α 2 = 0 dipanggil vektor pengarah garis

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Selaras dengan definisi, pekali mesti memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita peroleh C/ A = -3, i.e. persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan –С, kita dapat: atau

Makna geometri pekali ialah pekali A ialah koordinat titik persilangan garis dengan paksi Lembu, dan b– koordinat titik persilangan garis lurus dengan paksi Oy.

Contoh. Persamaan am bagi garis x – y + 1 = 0 diberi. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + By + C = 0 didarab dengan nombor itu yang dipanggil faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan normal garis. Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Diberi persamaan am bagi garis lurus 12x – 5y – 65 = 0. Anda perlu menulis Pelbagai jenis persamaan garis ini.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

; cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus selari dengan paksi atau melalui asal koordinat.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada paksi koordinat. Tulis persamaan garis lurus jika luas segi tiga yang dibentuk oleh segmen ini ialah 8 cm 2.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus mempunyai bentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tulis persamaan untuk garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan asalan.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus ialah: , dengan x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Sudut antara garis lurus pada satah

Definisi. Jika dua garis diberi y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini akan ditakrifkan sebagai

.

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang jika k 1 = -1/ k 2.

Teorem. Garisan Ax + Bу + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 adalah selari apabila pekali A 1 = λA, B 1 = λB adalah berkadar. Jika juga C 1 = λC, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu

Definisi. Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis lurus y = kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garisan

Teorem. Jika titik M(x 0, y 0) diberi, maka jarak ke garis Ax + Bу + C = 0 ditentukan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M ke garis lurus tertentu. Kemudian jarak antara titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 boleh didapati dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melaluinya titik ini M 0 berserenjang dengan garis lurus yang diberi. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antara garisan: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Contoh. Tunjukkan bahawa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 adalah berserenjang.

Penyelesaian. Kami dapati: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, oleh itu, garis-garisnya adalah serenjang.

Contoh. Diberi ialah bucu bagi segi tiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Cari persamaan ketinggian yang dilukis dari bucu C.

Penyelesaian. Kami mencari persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diperlukan mempunyai bentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Kemudian y = . Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dari mana b = 17. Jumlah: .

Jawapan: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Persamaan kanonik bagi garis dalam ruang ialah persamaan yang mentakrifkan garisan yang melalui titik yang diberi kolinear ke vektor arah.

Biarkan satu titik dan vektor arah diberikan. Titik sewenang-wenangnya terletak pada garis l hanya jika vektor dan adalah kolinear, iaitu, syaratnya dipenuhi untuk mereka:

.

Persamaan di atas ialah persamaan kanonik lurus.

Nombor m , n Dan hlm ialah unjuran vektor arah pada paksi koordinat. Oleh kerana vektor bukan sifar, maka semua nombor m , n Dan hlm tidak boleh serentak sama dengan sifar. Tetapi satu atau dua daripadanya mungkin menjadi sifar. Dalam geometri analitik, sebagai contoh, entri berikut dibenarkan:

,

yang bermaksud bahawa unjuran vektor pada paksi Oy Dan Oz adalah sama dengan sifar. Oleh itu, kedua-dua vektor dan garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan kanonik adalah berserenjang dengan paksi. Oy Dan Oz, iaitu kapal terbang yOz .

Contoh 1. Tulis persamaan untuk garis dalam ruang berserenjang dengan satah dan melalui titik persilangan satah ini dengan paksi Oz .

Penyelesaian. Mari kita cari titik persilangan satah ini dengan paksi Oz. Sejak mana-mana titik terletak pada paksi Oz, mempunyai koordinat , maka, dengan andaian dalam persamaan satah yang diberikan x = y = 0, kita dapat 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh itu, titik persilangan satah ini dengan paksi Oz mempunyai koordinat (0; 0; 2) . Oleh kerana garis yang dikehendaki berserenjang dengan satah, ia adalah selari dengan vektor normalnya. Oleh itu, vektor arah garis lurus boleh menjadi vektor normal kapal terbang yang diberi.

Sekarang mari kita tuliskan persamaan yang diperlukan bagi garis lurus yang melalui titik A= (0; 0; 2) dalam arah vektor:

Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus boleh ditakrifkan oleh dua titik yang terletak di atasnya Dan Dalam kes ini, vektor arah garis lurus boleh menjadi vektor . Kemudian persamaan kanonik garisan itu mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2. Tulis persamaan untuk garis dalam ruang yang melalui titik dan .

Penyelesaian. Mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang diperlukan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam rujukan teori:

.

Oleh kerana , maka garis lurus yang dikehendaki adalah berserenjang dengan paksi Oy .

Lurus sebagai garis persilangan satah

Garis lurus dalam ruang boleh ditakrifkan sebagai garis persilangan dua satah tidak selari dan, iaitu, sebagai satu set titik yang memenuhi sistem dua persamaan linear

Persamaan sistem juga dipanggil persamaan am lurus di angkasa.

Contoh 3. Susun persamaan kanonik bagi garis dalam ruang yang diberikan oleh persamaan am

Penyelesaian. Untuk menulis persamaan kanonik garis atau, apa yang sama, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, anda perlu mencari koordinat mana-mana dua titik pada garisan. Mereka boleh menjadi titik persilangan garis lurus dengan mana-mana dua satah koordinat, sebagai contoh yOz Dan xOz .

Titik persilangan garis dan satah yOz mempunyai absis x= 0 . Oleh itu, andaikan dalam sistem persamaan ini x= 0, kita mendapat sistem dengan dua pembolehubah:

keputusan dia y = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mentakrifkan satu titik A(0; 2; 6) baris yang dikehendaki. Kemudian andaikan dalam sistem persamaan yang diberikan y= 0, kita mendapat sistem

keputusan dia x = -2 , z= 0 bersama-sama dengan y= 0 mentakrifkan satu titik B(-2; 0; 0) persilangan garis dengan satah xOz .

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis yang melalui titik A(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau selepas membahagikan penyebutnya dengan -2:

,