Rumah Ortopedik Titik simetri untuk menunjukkan relatif kepada garis lurus l. Masalah paling mudah dengan garis lurus pada satah

Ortopedik

Titik simetri untuk menunjukkan relatif kepada garis lurus l. Masalah paling mudah dengan garis lurus pada satah

Biarkan beberapa garis lurus diberikan persamaan linear, dan titik yang ditentukan oleh koordinatnya (x0, y0) dan tidak terletak pada baris ini. Ia dikehendaki mencari titik yang simetri kepada titik tertentu mengenai garis lurus yang diberikan, iaitu, akan bertepatan dengannya jika satah itu secara mental dibengkokkan separuh di sepanjang garis lurus ini.

Arahan

1. Adalah jelas bahawa kedua-dua titik - yang diberi dan yang dikehendaki - mesti terletak pada garis yang sama, dan garis ini mesti berserenjang dengan yang diberikan. Oleh itu, bahagian pertama masalah adalah untuk menemui persamaan garis yang akan berserenjang dengan beberapa garis tertentu dan pada masa yang sama melalui titik tertentu.

2. Garis lurus boleh ditentukan dalam dua cara. Persamaan kanonik garis kelihatan seperti ini: Ax + By + C = 0, dengan A, B, dan C ialah pemalar. Anda juga boleh menentukan garis lurus menggunakan fungsi linear: y = kx + b, dengan k ialah eksponen sudut, b ialah sesaran. Kedua-dua kaedah ini boleh ditukar ganti, dan ia boleh bergerak dari satu sama lain. Jika Ax + By + C = 0, maka y = – (Ax + C)/B. Dalam erti kata lain, dalam fungsi linear y = kx + b, eksponen sudut k = -A/B, dan sesaran b = -C/B. Untuk tugas di tangan, ia adalah lebih selesa untuk membuat alasan berdasarkan persamaan kanonik lurus.

3. Jika dua garis berserenjang antara satu sama lain, dan persamaan baris pertama ialah Ax + By + C = 0, maka persamaan baris ke-2 sepatutnya kelihatan seperti Bx – Ay + D = 0, di mana D ialah pemalar. Untuk mengesan nilai D tertentu, perlu juga mengetahui melalui titik mana garis serenjang dilalui. DALAM dalam kes ini ini ialah titik (x0, y0). Akibatnya, D mesti memenuhi kesamaan: Bx0 – Ay0 + D = 0, iaitu D = Ay0 – Bx0.

4. Selepas garis serenjang telah ditemui, adalah perlu untuk mengira koordinat titik persilangannya dengan yang diberikan. Untuk melakukan ini, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linear: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Penyelesaiannya akan memberikan nombor (x1, y1), yang berfungsi sebagai koordinat bagi titik persilangan garis.

5. Titik yang dikehendaki mesti terletak pada garis yang dikesan, dan jaraknya ke titik persilangan mestilah sama dengan jarak dari titik persilangan ke titik (x0, y0). Koordinat titik titik simetri(x0, y0), boleh didapati dengan menyelesaikan sistem persamaan: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Tetapi anda boleh melakukannya dengan lebih mudah. Jika titik (x0, y0) dan (x, y) berada pada jarak yang sama dari titik (x1, y1), dan ketiga-tiga titik terletak pada garis lurus yang sama, maka: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. Akibatnya, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan kedua sistem pertama dan memudahkan ungkapan, adalah mudah untuk memastikan bahawa bahagian kanannya menjadi sama dengan sebelah kiri. Di samping itu, tidak ada gunanya mempertimbangkan persamaan pertama lagi, kerana diketahui bahawa titik (x0, y0) dan (x1, y1) memenuhinya, dan titik (x, y) jelas terletak pada garis yang sama. .

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik yang simetri kepada titik berbanding dengan garis lurus . Saya cadangkan anda melakukan langkah-langkah itu sendiri, tetapi saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan hasil perantaraan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat titik tengah segmen kita dapati .

Adalah idea yang baik untuk menyemak bahawa jaraknya juga 2.2 unit.

Kesukaran mungkin timbul dalam pengiraan di sini, tetapi mikrokalkulator adalah bantuan besar dalam menara, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Saya telah menasihati anda berkali-kali dan akan mengesyorkan anda sekali lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk keputusan bebas. Saya akan memberi anda sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk menyelesaikannya. Memberi taklimat pada akhir pelajaran, tetapi lebih baik anda cuba meneka sendiri, saya rasa kepintaran anda telah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah jamb:

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut "raspberi".

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah sudut "menatal" pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, contohnya jika .

Mengapa saya memberitahu anda ini? Nampaknya kita boleh bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Hakikatnya ialah formula yang kita akan cari sudut boleh dengan mudah menghasilkan keputusan negatif, dan ini tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai sudut yang sangat spesifik makna geometri. Dalam lukisan, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan anak panah (mengikut arah jam).

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis lurus? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian Dan Kaedah satu

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam Pandangan umum:

Jika lurus tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Marilah kita perhatikan dengan teliti penyebutnya - ini betul-betul produk skalar mengarah vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut formula menjadi sifar, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garis lurus dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, adalah mudah untuk memformalkan penyelesaian dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar bagi vektor arah garis:

2) Cari sudut antara garis lurus menggunakan formula:

Menggunakan fungsi songsang, adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan arctangent (lihat. Graf dan sifat fungsi asas ):

Jawab:

Dalam jawapan kami menunjukkan nilai sebenar, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam kedua-dua darjah dan radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, tolak, bukan masalah besar. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam penyataan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "membuka skru" sudut bermula tepat dengannya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama. Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Saya tidak akan menyembunyikannya, saya memilih garis lurus sendiri dalam susunan supaya sudutnya menjadi positif. Ia lebih cantik, tetapi tidak lebih.

Untuk menyemak penyelesaian anda, anda boleh mengambil protraktor dan mengukur sudut.

Kaedah kedua

Jika garis lurus diberikan oleh persamaan dengan kecerunan dan tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh didapati menggunakan formula:

Keadaan keserenjang garisan dinyatakan oleh kesamaan, dari mana, dengan cara itu, mengikuti hubungan yang sangat berguna antara pekali sudut garis serenjang: , yang digunakan dalam beberapa masalah.

Algoritma penyelesaian adalah serupa dengan perenggan sebelumnya. Tetapi pertama, mari kita tulis semula garis lurus kita dalam bentuk yang diperlukan:

Oleh itu, cerun adalah:

1) Mari kita periksa sama ada garis serenjang:
, yang bermaksud garisan tidak berserenjang.

2) Gunakan formula:

Jawab:

Kaedah kedua sesuai digunakan apabila persamaan garis lurus pada mulanya ditentukan dengan pekali sudut. Perlu diingatkan bahawa jika sekurang-kurangnya satu garis lurus selari dengan paksi ordinat, maka formula itu tidak boleh digunakan sama sekali, kerana untuk garis lurus tersebut cerun tidak ditentukan (lihat artikel Persamaan garis lurus pada satah).

Terdapat penyelesaian ketiga. Ideanya adalah untuk mengira sudut antara vektor arah garis menggunakan formula yang dibincangkan dalam pelajaran Hasil darab titik bagi vektor:

Di sini kita tidak lagi bercakap tentang sudut berorientasikan, tetapi "hanya tentang sudut," iaitu, hasilnya pasti akan positif. Tangkapannya ialah anda mungkin berakhir dengan sudut yang tidak jelas (bukan yang anda perlukan). Dalam kes ini, anda perlu membuat tempahan bahawa sudut antara garis lurus adalah sudut yang lebih kecil, dan tolak kosinus arka yang terhasil daripada radian "pi" (180 darjah).

Mereka yang berhajat boleh menyelesaikan masalah dengan cara ketiga. Tetapi saya masih mengesyorkan berpegang pada pendekatan pertama dengan sudut berorientasikan, atas sebab ia meluas.

Contoh 11

Cari sudut antara garis.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Cuba selesaikan dengan dua cara.

Entah bagaimana kisah dongeng itu pupus di sepanjang jalan... Kerana tidak ada Kashchei the Immortal. Ada saya, dan saya tidak terlalu stim. Sejujurnya, saya fikir artikel itu akan menjadi lebih panjang. Tetapi saya masih akan mengambil topi dan cermin mata saya yang baru diperoleh dan pergi berenang di air tasik September. Menghilangkan keletihan dan tenaga negatif dengan sempurna.

Sebelum ini jumpa lagi!

Dan ingat, Baba Yaga belum dibatalkan =)

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 3:Penyelesaian : Mari kita cari vektor arah garis :

Mari kita susun persamaan garis yang dikehendaki menggunakan titik dan vektor arah . Oleh kerana salah satu koordinat vektor arah ialah sifar, Pers. mari kita tulis semula dalam bentuk:

Jawab :

Contoh 5:Penyelesaian :
1) Persamaan garis mari kita buat dua mata :

2) Persamaan garis mari kita buat dua mata :

3) Pekali sepadan untuk pembolehubah tidak berkadar: , yang bermaksud garis bersilang.
4) Cari titik :

Catatan : di sini persamaan pertama sistem didarab dengan 5, kemudian ke-2 ditolak sebutan dengan sebutan daripada persamaan pertama.
Jawab :

Perumusan masalah. Cari koordinat titik simetri kepada satu titik berbanding dengan kapal terbang.

Pelan penyelesaian.

1. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan satah tertentu dan melalui titik itu . Oleh kerana garis lurus adalah berserenjang dengan satah tertentu, maka vektor normal satah itu boleh diambil sebagai vektor arahnya, i.e.

Oleh itu persamaan garis lurus akan menjadi

2. Cari titik persilangan garis lurus dan pesawat (lihat masalah 13).

3. Titik ialah titik tengah segmen di mana titik ialah titik simetri kepada titik , Itulah sebabnya

Masalah 14. Cari titik simetri kepada titik relatif kepada satah.

Persamaan garis lurus yang melalui titik berserenjang dengan satah tertentu ialah:

Mari kita cari titik persilangan garis dan satah.

di mana – titik persilangan garis dan satah ialah tengah segmen, oleh itu

Itu. .

Koordinat satah homogen. Afine transformasi pada pesawat.

biarlah M X Dan di

M(X, diMae (X, di, 1) dalam ruang (Rajah 8).

Mae (X, di

Mae (X, di hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komen

h(Sebagai contoh, h

Malah, mempertimbangkan h

Komen

Contoh 1.

b) kepada suatu sudut (Gamb. 9).

langkah pertama.

langkah ke-2. Putar mengikut sudut 

matriks penjelmaan yang sepadan.

langkah ke-3. Pindahkan ke vektor A(a, b)

matriks penjelmaan yang sepadan.

Contoh 3

 sepanjang paksi-x dan

langkah pertama.

matriks penjelmaan yang sepadan.

langkah ke-2.

langkah ke-3.

kita akan dapat akhirnya

Komen

[R],[D],[M],[T],

biarlah M- titik sewenang-wenangnya pesawat dengan koordinat X Dan di, dikira relatif kepada sistem koordinat rectilinear tertentu. Koordinat homogen bagi titik ini ialah sebarang tiga kali ganda nombor bukan sifar serentak x 1, x 2, x 3, berkaitan dengan nombor x dan y yang diberikan oleh hubungan berikut:

Apabila menyelesaikan masalah grafik komputer, koordinat homogen biasanya dimasukkan seperti berikut: ke titik sewenang-wenangnya M(X, di) satah diberi titik Mae (X, di, 1) dalam ruang (Rajah 8).

Ambil perhatian bahawa titik arbitrari pada garis yang menghubungkan asal, titik 0(0, 0, 0), dengan titik Mae (X, di, 1), boleh diberikan dengan tiga kali ganda nombor dalam bentuk (hx, hy, h).

Vektor dengan koordinat hx, hy, ialah vektor arah garis lurus yang menghubungkan titik 0 (0, 0, 0) dan Mae (X, di, 1). Garis ini bersilang dengan satah z = 1 pada titik (x, y, 1), yang secara unik mentakrifkan titik (x, y) bagi satah koordinat hu.

Oleh itu, antara titik arbitrari dengan koordinat (x, y) dan set tiga kali ganda nombor bentuk

(hx, hy, h), h  0,

surat-menyurat (satu-dengan-satu) ditubuhkan yang membolehkan kita menganggap nombor hx, hy, h sebagai koordinat baharu titik ini.

Komen

Digunakan secara meluas dalam geometri unjuran, koordinat homogen membolehkan untuk menerangkan dengan berkesan apa yang dipanggil elemen tidak wajar (pada asasnya yang satah unjuran berbeza daripada satah Euclidean yang biasa). Butiran lanjut tentang kemungkinan baharu yang disediakan oleh koordinat homogen yang diperkenalkan dibincangkan dalam bahagian keempat bab ini.

Dalam geometri projektif untuk koordinat homogen, tatatanda berikut diterima:

x:y:1, atau, lebih umum, x1:x2:x3

(ingat bahawa di sini adalah mutlak diperlukan bahawa nombor x 1, x 2, x 3 tidak bertukar kepada sifar pada masa yang sama).

Penggunaan koordinat homogen ternyata mudah walaupun apabila menyelesaikan masalah paling mudah.

Pertimbangkan, sebagai contoh, isu yang berkaitan dengan perubahan dalam skala. Jika peranti paparan hanya berfungsi dengan integer (atau jika anda perlu bekerja hanya dengan integer), maka untuk nilai arbitrari h(Sebagai contoh, h= 1) titik dengan koordinat homogen

mustahil untuk dibayangkan. Walau bagaimanapun, dengan pilihan h yang munasabah, adalah mungkin untuk memastikan bahawa koordinat titik ini adalah integer. Khususnya, untuk h = 10 untuk contoh yang sedang dipertimbangkan yang kami ada

Mari kita pertimbangkan kes lain. Untuk mengelakkan hasil transformasi daripada membawa kepada limpahan aritmetik, untuk titik dengan koordinat (80000 40000 1000) anda boleh mengambil, sebagai contoh, h=0.001. Hasilnya kita dapat (80 40 1).

Contoh-contoh yang diberikan menunjukkan kegunaan menggunakan koordinat homogen semasa menjalankan pengiraan. Walau bagaimanapun, tujuan utama memperkenalkan koordinat homogen dalam grafik komputer adalah kemudahan mereka yang tidak diragui dalam aplikasi kepada transformasi geometri.

Menggunakan tiga kali ganda koordinat homogen dan matriks tertib ketiga, sebarang penjelmaan afin bagi satah boleh diterangkan.

Malah, mempertimbangkan h= 1, bandingkan dua entri: ditandai dengan simbol * dan yang berikut, matriks:

Adalah mudah untuk melihat bahawa selepas mendarabkan ungkapan di sebelah kanan hubungan terakhir, kita memperoleh kedua-dua formula (*) dan kesamaan berangka yang betul 1=1.

Komen

Kadangkala dalam kesusasteraan notasi lain digunakan - notasi kolumnar:

Notasi ini adalah bersamaan dengan notasi baris demi baris di atas (dan diperoleh daripadanya dengan transposing).

Unsur-unsur matriks transformasi affine sewenang-wenangnya tidak membawa makna geometri yang jelas. Oleh itu, untuk melaksanakan pemetaan ini atau itu, iaitu, untuk mencari unsur-unsur matriks yang sepadan mengikut penerangan geometri yang diberikan, teknik khas diperlukan. Lazimnya, pembinaan matriks ini, mengikut kerumitan masalah yang sedang dipertimbangkan dan kes-kes khas yang diterangkan di atas, dibahagikan kepada beberapa peringkat.

Pada setiap peringkat, matriks dicari yang sepadan dengan satu atau satu lagi kes A, B, C atau D di atas, yang mempunyai sifat geometri yang jelas.

Mari kita tuliskan matriks tertib ketiga yang sepadan.

A. Matriks putaran

B. Matriks dilatasi

B. Matriks pantulan

D. Pemindahan matriks (terjemahan)

Mari kita pertimbangkan contoh transformasi affine pesawat.

Contoh 1.

Bina matriks putaran di sekeliling titik A (a,b) kepada suatu sudut (Gamb. 9).

langkah pertama. Pindahkan ke vektor – A (-a, -b) untuk menjajarkan pusat putaran dengan asal koordinat;

matriks penjelmaan yang sepadan.

langkah ke-2. Putar mengikut sudut 

matriks penjelmaan yang sepadan.

langkah ke-3. Pindahkan ke vektor A(a, b) untuk mengembalikan pusat putaran ke kedudukan sebelumnya;

matriks penjelmaan yang sepadan.

Mari kita darabkan matriks dalam susunan yang sama seperti yang ditulis:

Akibatnya, kami mendapati bahawa transformasi yang dikehendaki (dalam tatatanda matriks) akan kelihatan seperti ini:

Unsur-unsur matriks yang terhasil (terutamanya di baris terakhir) tidak begitu mudah diingati. Pada masa yang sama, setiap tiga matriks darab boleh dibina dengan mudah daripada penerangan geometri pemetaan yang sepadan.

Contoh 3

Bina matriks regangan dengan pekali regangan sepanjang paksi-x dan sepanjang paksi ordinat dan dengan pusat di titik A(a, b).

langkah pertama. Pindahkan ke vektor -A(-a, -b) untuk menjajarkan pusat regangan dengan asal koordinat;

matriks penjelmaan yang sepadan.

langkah ke-2. Regangan di sepanjang paksi koordinat dengan pekali  dan , masing-masing; matriks transformasi mempunyai bentuk

langkah ke-3. Pindahkan ke vektor A(a, b) untuk mengembalikan pusat tegangan kepada kedudukan sebelumnya; matriks penjelmaan yang sepadan -

Mendarab matriks dalam susunan yang sama

kita akan dapat akhirnya

Komen

Penaakulan dengan cara yang sama, iaitu, memecahkan transformasi yang dicadangkan kepada peringkat-peringkat yang disokong oleh matriks[R],[D],[M],[T], seseorang boleh membina matriks sebarang penjelmaan affine daripada penerangan geometrinya.

Shift dilaksanakan dengan penambahan, dan penskalaan dan putaran dilaksanakan dengan pendaraban.

Transformasi Penskalaan (dilatasi) berbanding dengan asal mempunyai bentuk:

atau dalam bentuk matriks:

di mana Dx,Dy ialah faktor penskalaan di sepanjang paksi, dan

- matriks penskalaan.

Apabila D > 1, pengembangan berlaku, apabila 0<=D<1- сжатие

Transformasi putaran relatif kepada asal mempunyai bentuk:

atau dalam bentuk matriks:

dengan φ ialah sudut putaran, dan

- matriks putaran.

Ulasan: Lajur dan baris matriks putaran adalah vektor unit yang saling ortogon. Sebenarnya, kuasa dua panjang vektor baris adalah sama dengan satu:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 dan (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

dan hasil darab skalar bagi vektor baris ialah

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Sejak hasil darab skalar bagi vektor A · B = |A| ·| B| ·cosψ, di mana | A| - panjang vektor A, |B| - panjang vektor B, dan ψ ialah sudut positif terkecil di antara mereka, maka dari kesamaan 0 hasil darab skalar dua baris vektor panjang 1, maka sudut di antara mereka ialah 90 °.

Oh-oh-oh-oh-oh... baik, sukar, seolah-olah dia membaca ayat untuk dirinya sendiri =) Namun, kelonggaran akan membantu kemudian, terutamanya sejak hari ini saya membeli aksesori yang sesuai. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya berharap pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Kedudukan relatif dua garis lurus

Ini berlaku apabila penonton menyanyi bersama dalam korus. Dua garis lurus boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : Sila ingat tanda persimpangan matematik, ia akan muncul dengan kerap. Notasi bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik .

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" supaya kesamaan itu dipenuhi

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan cipta tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan –1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan dipotong dengan 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua, apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya adalah berkadar: , Tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, ia agak jelas.

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIADA nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan itu dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan mencipta sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pembolehubah adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, anda boleh menggunakan skema penyelesaian yang baru dibincangkan. Ngomong-ngomong, ia sangat mengingatkan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami lihat di dalam kelas Konsep kebergantungan linear (dalam) vektor. Asas vektor. Tetapi terdapat pembungkusan yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, yang bermaksud bahawa vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti lebih jauh, terus ke Kashchei the Immortal =)

b) Cari vektor arah garis:

Garisan mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau bertepatan. Tidak perlu mengira penentu di sini.

Jelas sekali bahawa pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, dan .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Oleh itu,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memenuhi persamaan ini (sebarang nombor secara umum memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dibincangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak nampak apa-apa guna menawarkan apa-apa untuk penyelesaian bebas; lebih baik meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk membina garis selari dengan yang diberikan?

Kerana kejahilan tentang tugas paling mudah ini, Nightingale si Perompak menghukum dengan keras.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Mari kita nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan keadaan tentang dia? Garis lurus melalui titik itu. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor arah garis lurus "tse" juga sesuai untuk membina garis lurus "de".

Kami mengambil vektor arah daripada persamaan:

Jawab:

Contoh geometri kelihatan mudah:

Ujian analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Dalam kebanyakan kes, ujian analitik boleh dilakukan secara lisan dengan mudah. Lihatlah dua persamaan, dan ramai di antara anda akan dengan cepat menentukan keselarian garisan tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk penyelesaian bebas hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta pelbagai teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garis bertepatan adalah kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sangat biasa kepada anda dari kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Di sini anda pergi makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Kaedah grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian kepada sistem. Pada asasnya, kami melihat penyelesaian grafik sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk mencipta lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persimpangan itu sendiri mungkin terletak di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan menggunakan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang relevan, ambil pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Semakan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan tugas kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada perkara ini.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran:

Tidak ada sepasang kasut pun yang haus sebelum kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garis lurus

Mari kita mulakan dengan tugas biasa dan sangat penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang ini, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk membina garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan berserenjang dengan garis yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Dengan syarat diketahui bahawa . Alangkah baiknya untuk mencari vektor pengarah baris. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kembangkan lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Kami mengeluarkan vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab skalar bagi vektor kita sampai pada kesimpulan bahawa garis-garis itu memang berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Ujian itu, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang jika persamaan diketahui dan tempoh.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam masalah, jadi mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik.

Perjalanan menarik kami diteruskan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kami adalah jalur lurus sungai dan tugas kami adalah untuk pergi ke sana dengan laluan terpendek. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah untuk bergerak di sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "rho", sebagai contoh: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: apa yang anda perlu lakukan ialah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan menjalankan pengiraan:

Jawab:

Mari buat lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda melukis lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. = 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Mari kita pertimbangkan tugas lain berdasarkan lukisan yang sama:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat titik tengah segmen kita dapati .

Adalah idea yang baik untuk menyemak bahawa jaraknya juga 2.2 unit.

Kesukaran mungkin timbul dalam pengiraan di sini, tetapi mikrokalkulator adalah bantuan besar dalam menara, membolehkan anda mengira pecahan biasa. Saya telah menasihati anda berkali-kali dan akan mengesyorkan anda sekali lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk anda membuat keputusan sendiri. Saya akan memberi anda sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk menyelesaikannya. Memberi taklimat pada akhir pelajaran, tetapi lebih baik anda cuba meneka sendiri, saya rasa kepintaran anda telah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah sudut "menatal" pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, contohnya jika .

Mengapa saya memberitahu anda ini? Nampaknya kita boleh bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Hakikatnya ialah formula yang kita akan cari sudut boleh dengan mudah menghasilkan keputusan negatif, dan ini tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan anak panah (mengikut arah jam).

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis lurus? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian Dan Kaedah satu

Mari kita pertimbangkan dua garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Marilah kita perhatikan dengan teliti penyebutnya - ini betul-betul produk skalar mengarah vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut formula menjadi sifar, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garis lurus dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, adalah mudah untuk memformalkan penyelesaian dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar bagi vektor arah garis:
, yang bermaksud garisan tidak berserenjang.

2) Cari sudut antara garis lurus menggunakan formula:

Menggunakan fungsi songsang, adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan arctangent (lihat. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapan anda, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam kedua-dua darjah dan radian), dikira menggunakan kalkulator.

Garis lurus di angkasa sentiasa boleh ditakrifkan sebagai garis persilangan dua satah tidak selari. Jika persamaan satu satah ialah persamaan satah kedua, maka persamaan garis diberikan sebagai

Di sini bukan kolinear
. Persamaan ini dipanggil persamaan am lurus di angkasa.

Persamaan kanonik garis

Mana-mana vektor bukan sifar yang terletak pada garis tertentu atau selari dengannya dipanggil vektor arah garis ini.

Jika perkara itu diketahui
garis lurus dan vektor arahnya
, maka persamaan kanonik garis mempunyai bentuk:

. (9)

Persamaan parametrik garis

Biarkan persamaan kanonik garis diberikan

Dari sini, kita memperoleh persamaan parametrik garis:

(10)

Persamaan ini berguna untuk mencari titik persilangan garis dan satah.

Persamaan garis yang melalui dua titik
Dan
mempunyai bentuk:

Sudut antara garis lurus

Sudut antara garis lurus

Dan

sama dengan sudut antara vektor arah mereka. Oleh itu, ia boleh dikira menggunakan formula (4):

Keadaan untuk garis selari:

Keadaan untuk satah berserenjang:

Jarak titik dari garis

P katakan perkara itu diberikan
dan lurus

Daripada persamaan kanonik garisan kita tahu titiknya
, kepunyaan garis, dan vektor arahnya
. Kemudian jarak titik
daripada garis lurus adalah sama dengan ketinggian segi empat selari yang dibina di atas vektor Dan
. Oleh itu,

Keadaan untuk persilangan garisan

Dua garisan tidak selari

bersilang jika dan hanya jika

Kedudukan relatif bagi garis lurus dan satah.

Biarkan garis lurus diberikan
dan kapal terbang. Sudut antara mereka boleh didapati dengan formula

Masalah 73. Tulis persamaan kanonik bagi garis itu

(11)

Penyelesaian. Untuk menulis persamaan kanonik garis (9), adalah perlu untuk mengetahui sebarang titik kepunyaan garis dan vektor arah garis.

Mari cari vektor , selari dengan garisan ini. Oleh kerana ia mestilah berserenjang dengan vektor biasa satah ini, i.e.

,
, Itu

Daripada persamaan am garis lurus kita mempunyai itu
,
. Kemudian

Sejak perkara itu
mana-mana titik pada garis, maka koordinatnya mesti memenuhi persamaan garis dan salah satu daripadanya boleh ditentukan, sebagai contoh,
, kita dapati dua koordinat lain dari sistem (11):

Dari sini,
.

Oleh itu, persamaan kanonik bagi garis yang dikehendaki mempunyai bentuk:

atau
.

Masalah 74.

Dan
.

Penyelesaian. Daripada persamaan kanonik baris pertama, koordinat titik diketahui
kepunyaan garis, dan koordinat vektor arah
. Daripada persamaan kanonik baris kedua, koordinat titik juga diketahui
dan koordinat vektor arah
.

Jarak antara garis selari adalah sama dengan jarak titik
daripada garis lurus kedua. Jarak ini dikira dengan formula

Mari cari koordinat vektor
.

Mari kita mengira hasil vektor
:

Masalah 75. Cari titik titik simetri
agak lurus

Penyelesaian. Mari kita tuliskan persamaan satah berserenjang dengan garis tertentu dan melalui titik . Sebagai vektor biasa anda boleh mengambil vektor arah garis lurus. Kemudian
. Oleh itu,

Mari cari titik
titik persilangan garis ini dan satah P. Untuk melakukan ini, kita menulis persamaan parametrik garis menggunakan persamaan (10), kita dapat

Oleh itu,
.

biarlah
titik simetri kepada titik
berbanding baris ini. Kemudian tunjuk
titik tengah
. Untuk mencari koordinat sesuatu titik Kami menggunakan formula untuk koordinat titik tengah segmen:

,
,
.

Jadi,
.

Masalah 76. Tulis persamaan satah yang melalui garis
Dan

a) melalui satu titik
;

b) berserenjang dengan satah.

Penyelesaian. Mari kita tuliskan persamaan am bagi baris ini. Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua persamaan:

Ini bermakna satah yang diingini tergolong dalam kumpulan satah dengan penjana dan persamaannya boleh ditulis dalam bentuk (8):

a) Mari cari
Dan daripada keadaan pesawat itu melalui titik itu
, oleh itu, koordinatnya mesti memenuhi persamaan satah itu. Mari kita gantikan koordinat titik tersebut
ke dalam persamaan sekumpulan satah:

Nilai yang ditemui
Mari kita gantikannya ke dalam persamaan (12). kita memperoleh persamaan satah yang dikehendaki:

b) Mari cari
Dan daripada keadaan bahawa satah yang dikehendaki berserenjang dengan satah. Vektor normal bagi satah tertentu
, vektor normal satah yang dikehendaki (lihat persamaan sekumpulan satah (12).