Bagaimana untuk menyelesaikan ungkapan dengan pecahan. Membahagi pecahan biasa dengan pecahan

Pengangka, dan yang dibahagikan dengan ialah penyebut.

Untuk menulis pecahan, mula-mula tulis pengangka, kemudian lukis garis mendatar di bawah nombor, dan tulis penyebut di bawah garis. Garis mendatar yang memisahkan pengangka dan penyebut dipanggil garis pecahan. Kadangkala ia digambarkan sebagai "/" atau "∕" serong. Dalam kes ini, pengangka ditulis di sebelah kiri baris, dan penyebut di sebelah kanan. Jadi, sebagai contoh, pecahan "dua pertiga" akan ditulis sebagai 2/3. Untuk kejelasan, pengangka biasanya ditulis di bahagian atas baris, dan penyebut di bahagian bawah, iaitu, bukannya 2/3 anda boleh mencari: ⅔.

Untuk mengira hasil darab pecahan, pertama kalikan pengangka satu pecahan kepada pengangka adalah berbeza. Tulis hasilnya dalam pengangka yang baru pecahan. Selepas ini, darabkan penyebutnya. Masukkan jumlah nilai dalam yang baharu pecahan. Sebagai contoh, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Untuk membahagi satu pecahan dengan pecahan yang lain, pertama kalikan pengangka yang pertama dengan penyebut yang kedua. Lakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua (pembahagi). Atau, sebelum melakukan semua tindakan, mula-mula "terbalikkan" pembahagi, jika ia lebih mudah untuk anda: penyebut harus muncul sebagai ganti pengangka. Kemudian darabkan penyebut dividen dengan penyebut baru pembahagi dan darabkan pengangkanya. Contohnya, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Sumber:

• Masalah pecahan asas

Nombor pecahan boleh dinyatakan dengan cara yang berbeza nilai sebenar kuantiti. Anda boleh melakukan operasi matematik yang sama dengan pecahan seperti yang anda boleh dengan nombor bulat: penolakan, penambahan, pendaraban dan pembahagian. Untuk belajar membuat keputusan pecahan, kita mesti ingat beberapa ciri mereka. Mereka bergantung pada jenis pecahan, kehadiran bahagian integer, penyebut sepunya. Beberapa operasi aritmetik selepas pelaksanaan mereka memerlukan pengurangan bahagian pecahan hasil.

Anda perlu

• - kalkulator

Arahan

Perhatikan nombor dengan teliti. Jika di antara pecahan terdapat perpuluhan dan tidak teratur, kadangkala lebih mudah untuk melakukan operasi dengan perpuluhan dahulu, dan kemudian menukarnya kepada bentuk tidak teratur. Boleh awak terjemah pecahan dalam bentuk ini pada mulanya, menulis nilai selepas titik perpuluhan dalam pengangka dan meletakkan 10 dalam penyebut. Jika perlu, kurangkan pecahan dengan membahagikan nombor di atas dan di bawah dengan satu pembahagi. Pecahan di mana bahagian integer diasingkan mesti ditukar kepada bentuk yang salah dengan mendarabnya dengan penyebut dan menambah pengangka kepada hasilnya. Nilai ini akan menjadi pengangka baharu pecahan. Untuk memilih keseluruhan bahagian daripada bahagian yang pada mulanya tidak betul pecahan, anda perlu membahagikan pengangka dengan penyebut. Tulis keseluruhan hasil daripada pecahan. Dan baki bahagian akan menjadi pengangka baru, penyebut pecahan ia tidak berubah. Bagi pecahan dengan keseluruhan bahagian adalah mungkin untuk melakukan tindakan secara berasingan terlebih dahulu untuk integer dan kemudian untuk bahagian pecahan. Sebagai contoh, jumlah 1 2/3 dan 2 ¾ boleh dikira:
- Menukar pecahan kepada bentuk yang salah:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Menjumlahkan secara berasingan integer dan bahagian pecahan syarat:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Tulis semula mereka menggunakan pemisah ":" dan teruskan dengan pembahagian biasa.

Untuk mendapatkan hasil akhir, kurangkan pecahan yang terhasil dengan membahagikan pengangka dan penyebut dengan satu integer, yang terbesar mungkin dalam dalam kes ini. Dalam kes ini, mesti ada integer di atas dan di bawah garisan.

Nota

Jangan lakukan aritmetik dengan pecahan yang penyebutnya berbeza. Pilih nombor supaya apabila anda mendarabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengannya, hasilnya ialah penyebut kedua-dua pecahan adalah sama.

Nasihat yang berguna

Apabila menulis nombor pecahan, dividen ditulis di atas garisan. Kuantiti ini ditetapkan sebagai pengangka bagi pecahan. Pembahagi, atau penyebut, pecahan ditulis di bawah garisan. Sebagai contoh, satu setengah kilogram beras sebagai pecahan akan ditulis seperti berikut: 1 ½ kg beras. Jika penyebut pecahan ialah 10, pecahan itu dipanggil perpuluhan. Dalam kes ini, pengangka (dividen) ditulis di sebelah kanan keseluruhan bahagian, dipisahkan dengan koma: 1.5 kg beras. Untuk memudahkan pengiraan, pecahan sedemikian sentiasa boleh ditulis dalam bentuk yang salah: 1 2/10 kg kentang. Untuk memudahkan, anda boleh mengurangkan nilai pengangka dan penyebut dengan membahagikannya dengan satu integer. Dalam contoh ini, anda boleh bahagi dengan 2. Hasilnya ialah 1 1/5 kg kentang. Pastikan nombor yang anda akan lakukan aritmetik dibentangkan dalam bentuk yang sama.

) dan penyebut mengikut penyebut (kita mendapat penyebut produk).

Formula untuk mendarab pecahan:

Sebagai contoh:

Sebelum anda mula mendarab pengangka dan penyebut, anda perlu menyemak sama ada pecahan boleh dikurangkan. Jika anda boleh mengurangkan pecahan, lebih mudah untuk anda membuat pengiraan selanjutnya.

Membahagi pecahan biasa dengan pecahan.

Membahagi pecahan yang melibatkan nombor asli.

Ia tidak seram seperti yang disangka. Seperti dalam kes penambahan, kita menukar integer kepada pecahan dengan satu dalam penyebut. Sebagai contoh:

Mendarab pecahan bercampur.

Peraturan untuk mendarab pecahan (bercampur):

• menukar pecahan bercampur kepada pecahan tak wajar;
• mendarab pengangka dan penyebut pecahan;
• mengurangkan pecahan;
• Jika anda mendapat pecahan tak wajar, maka kami tukarkan pecahan tak wajar itu kepada pecahan bercampur.

Catatan! Untuk membiak pecahan bercampur kepada pecahan bercampur yang lain, anda mesti menukarnya kepada bentuk pecahan tak wajar, dan kemudian mendarabnya mengikut peraturan untuk mendarab pecahan biasa.

Cara kedua untuk mendarab pecahan dengan nombor asli.

Ia mungkin lebih mudah untuk menggunakan kaedah pendaraban kedua pecahan sepunya setiap nombor.

Catatan! Untuk mendarab pecahan dengan nombor asli Ia adalah perlu untuk membahagikan penyebut pecahan dengan nombor ini, dan biarkan pengangka tidak berubah.

Daripada contoh yang diberikan di atas, jelas bahawa pilihan ini lebih mudah digunakan apabila penyebut pecahan dibahagikan tanpa baki dengan nombor asli.

Pecahan berbilang tingkat.

Di sekolah menengah, pecahan tiga tingkat (atau lebih) sering ditemui. Contoh:

Untuk membawa pecahan sedemikian kepada bentuk biasa, gunakan pembahagian melalui 2 mata:

Catatan! Apabila membahagi pecahan, susunan pembahagian adalah sangat penting. Berhati-hati, mudah keliru di sini.

Catatan, Sebagai contoh:

Apabila membahagi satu dengan mana-mana pecahan, hasilnya akan menjadi pecahan yang sama, hanya terbalik:

Petua praktikal untuk mendarab dan membahagi pecahan:

1. Perkara yang paling penting apabila bekerja dengan ungkapan pecahan ialah ketepatan dan perhatian. Lakukan semua pengiraan dengan teliti dan tepat, tertumpu dan jelas. Lebih baik menulis beberapa baris tambahan dalam draf anda daripada tersesat dalam pengiraan mental.

2. Dalam tugasan dengan jenis yang berbeza pecahan - pergi ke bentuk pecahan biasa.

3. Kita kurangkan semua pecahan sehingga tidak dapat dikurangkan lagi.

4. Kami menukar ungkapan pecahan berbilang peringkat kepada yang biasa menggunakan pembahagian melalui 2 mata.

5. Bahagikan unit dengan pecahan dalam kepala anda, hanya terbalikkan pecahan itu.

Isi pelajaran

Menambah pecahan dengan penyebut yang sama

Terdapat dua jenis penambahan pecahan:

1. Menambah pecahan dengan penyebut yang sama
2. Menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza

Mula-mula, mari kita pelajari penambahan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya mudah di sini. Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Sebagai contoh, mari tambah pecahan dan . Tambahkan pengangka dan biarkan penyebut tidak berubah:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada empat bahagian. Jika anda menambah piza pada piza, anda mendapat piza:

Contoh 2. Tambah pecahan dan .

Jawapannya ternyata pecahan yang tidak wajar. Apabila akhir tugas tiba, adalah kebiasaan untuk menyingkirkan pecahan yang tidak wajar. Untuk menyingkirkan pecahan tidak wajar, anda perlu memilih keseluruhan bahagiannya. Dalam kes kami, keseluruhan bahagian mudah diasingkan - dua dibahagikan dengan dua sama dengan satu:

Contoh ini mudah difahami jika kita ingat tentang pizza yang terbahagi kepada dua bahagian. Jika anda menambah lebih banyak piza pada piza, anda akan mendapat satu keseluruhan piza:

Contoh 3. Tambah pecahan dan .

Sekali lagi, kami menjumlahkan pengangka dan membiarkan penyebut tidak berubah:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada tiga bahagian. Jika anda menambah lebih banyak piza pada piza, anda akan mendapat piza:

Contoh 4. Cari nilai ungkapan

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya. Pengangka mesti ditambah dan penyebut dibiarkan tidak berubah:

Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda menambah piza pada pizza dan menambah lebih banyak piza, anda akan mendapat 1 piza keseluruhan dan lebih banyak piza.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Ia cukup untuk memahami peraturan berikut:

1. Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya dan biarkan penyebutnya tidak berubah;

Menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza

Sekarang mari kita belajar cara menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Apabila menambah pecahan, penyebut pecahan mestilah sama. Tetapi mereka tidak selalu sama.

Sebagai contoh, pecahan boleh ditambah kerana mempunyai penyebut yang sama.

Tetapi pecahan tidak boleh ditambah serta-merta, kerana pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza. Dalam kes sedemikian, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut yang sama (sepunya).

Terdapat beberapa cara untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut yang sama. Hari ini kita akan melihat hanya satu daripada mereka, kerana kaedah lain mungkin kelihatan rumit untuk pemula.

Intipati kaedah ini ialah terlebih dahulu LCM penyebut kedua-dua pecahan dicari. LCM kemudiannya dibahagikan dengan penyebut pecahan pertama untuk mendapatkan faktor tambahan pertama. Mereka melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua - LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperolehi.

Pengangka dan penyebut pecahan kemudiannya didarab dengan faktor tambahannya. Hasil daripada tindakan ini, pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menambah pecahan tersebut.

Contoh 1. Mari tambah pecahan dan

Pertama sekali, kita dapati gandaan sepunya terkecil bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 3, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 2. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 6

LCM (2 dan 3) = 6

Sekarang mari kita kembali kepada pecahan dan . Mula-mula, bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama dan dapatkan faktor tambahan pertama. LCM ialah nombor 6, dan penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 3. Bahagi 6 dengan 3, kita dapat 2.

Nombor 2 yang terhasil ialah pengganda tambahan pertama. Kami menuliskannya kepada pecahan pertama. Untuk melakukan ini, buat garis serong kecil di atas pecahan dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:

Kami melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua. Kami membahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. LCM ialah nombor 6, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 2. Bahagi 6 dengan 2, kita dapat 3.

Nombor 3 yang terhasil ialah pengganda tambahan kedua. Kami menuliskannya kepada pecahan kedua. Sekali lagi, kami membuat garis serong kecil di atas pecahan kedua dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:

Sekarang kami mempunyai segala-galanya untuk penambahan. Ia kekal untuk mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:

Lihat dengan teliti apa yang telah kita perolehi. Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menambah pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini hingga akhir:

Ini melengkapkan contoh. Ternyata menambah .

Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda menambah piza pada pizza, anda akan mendapat satu keseluruhan piza dan satu lagi keenam piza:

Mengurangkan pecahan kepada penyebut yang sama (sepunya) juga boleh digambarkan menggunakan gambar. Mengurangkan pecahan dan kepada penyebut biasa, kami mendapat pecahan dan . Kedua-dua pecahan ini akan diwakili oleh kepingan piza yang sama. Satu-satunya perbezaan ialah kali ini mereka akan dibahagikan kepada bahagian yang sama (dikurangkan kepada penyebut yang sama).

Lukisan pertama mewakili pecahan (empat keping daripada enam), dan lukisan kedua mewakili pecahan (tiga keping daripada enam). Menambah kepingan ini kita dapat (tujuh keping daripada enam). Pecahan ini tidak betul, jadi kami menyerlahkan keseluruhan bahagiannya. Hasilnya, kami mendapat (satu keseluruhan piza dan satu lagi piza keenam).

Sila ambil perhatian bahawa kami telah menerangkan contoh ini dengan terlalu terperinci. DALAM institusi pendidikan Ia bukan kebiasaan untuk menulis secara terperinci. Anda perlu dapat mencari dengan cepat LCM bagi kedua-dua penyebut dan faktor tambahan kepada mereka, serta dengan cepat mendarabkan faktor tambahan yang ditemui dengan pengangka dan penyebut anda. Jika kita berada di sekolah, kita perlu menulis contoh ini seperti berikut:

Tetapi ada juga bahagian belakang pingat. Jika anda tidak mengambil nota terperinci pada peringkat pertama mempelajari matematik, maka soalan seumpama itu mula muncul. “Dari mana datangnya nombor itu?”, “Mengapa pecahan tiba-tiba bertukar menjadi pecahan yang berbeza sama sekali? «.

Untuk memudahkan menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda boleh menggunakan arahan langkah demi langkah berikut:

1. Cari LCM bagi penyebut pecahan;
2. Bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan bagi setiap pecahan;
3. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
4. Tambah pecahan yang mempunyai penyebut yang sama;
5. Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, maka pilih keseluruhan bahagiannya;

Contoh 2. Cari nilai ungkapan .

Mari gunakan arahan yang diberikan di atas.

Langkah 1. Cari KPK bagi penyebut pecahan itu

Cari LCM bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut pecahan ialah nombor 2, 3 dan 4

Langkah 2. Bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan bagi setiap pecahan

Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama. LCM ialah nombor 12, dan penyebut pecahan pertama ialah nombor 2. Bahagi 12 dengan 2, kita dapat 6. Kita dapat faktor tambahan pertama 6. Kita tulis di atas pecahan pertama:

Sekarang kita bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 12, dan penyebut pecahan kedua ialah nombor 3. Bahagi 12 dengan 3, kita dapat 4. Kita dapat faktor tambahan kedua 4. Kita tulis di atas pecahan kedua:

Sekarang kita bahagikan LCM dengan penyebut pecahan ketiga. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan ketiga ialah nombor 4. Bahagi 12 dengan 4, kita dapat 3. Kita dapat faktor tambahan ketiga 3. Kita tulis di atas pecahan ketiga:

Langkah 3. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya

Kami mendarabkan pengangka dan penyebut dengan faktor tambahannya:

Langkah 4. Tambah pecahan dengan penyebut yang sama

Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama (sepunya). Yang tinggal hanyalah menambah pecahan ini. Tambahnya:

Penambahan tidak sesuai pada satu baris, jadi kami mengalihkan ungkapan yang tinggal ke baris seterusnya. Ini dibenarkan dalam matematik. Apabila ungkapan tidak sesuai pada satu baris, ia dipindahkan ke baris seterusnya, dan perlu meletakkan tanda sama (=) pada penghujung baris pertama dan pada permulaan baris baharu. Tanda sama pada baris kedua menunjukkan bahawa ini adalah kesinambungan ungkapan yang berada pada baris pertama.

Langkah 5. Jika jawapan ternyata pecahan tak wajar, maka pilih keseluruhan bahagiannya

Jawapan kami ternyata pecahan yang tidak wajar. Kita perlu menyerlahkan sebahagian daripadanya. Kami menyerlahkan:

Kami menerima jawapan

Menolak pecahan dengan penyebut yang sama

Terdapat dua jenis penolakan pecahan:

1. Menolak pecahan dengan penyebut yang sama
2. Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza

Mula-mula, mari belajar cara menolak pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya mudah di sini. Untuk menolak pecahan lain daripada satu pecahan, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, tetapi biarkan penyebutnya sama.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai ungkapan . Untuk menyelesaikan contoh ini, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah. Mari lakukan ini:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada empat bahagian. Jika anda memotong piza daripada piza, anda mendapat piza:

Contoh 2. Cari nilai ungkapan itu.

Sekali lagi, daripada pengangka bagi pecahan pertama, tolak pengangka bagi pecahan kedua, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini mudah difahami jika kita mengingati piza yang terbahagi kepada tiga bahagian. Jika anda memotong piza daripada piza, anda mendapat piza:

Contoh 3. Cari nilai ungkapan

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya. Daripada pengangka pecahan pertama anda perlu menolak pengangka bagi pecahan yang tinggal:

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama. Ia cukup untuk memahami peraturan berikut:

1. Untuk menolak pecahan lain daripada satu pecahan, anda perlu menolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah;
2. Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, maka anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagiannya.

Menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza

Sebagai contoh, anda boleh menolak pecahan daripada pecahan kerana pecahan tersebut mempunyai penyebut yang sama. Tetapi anda tidak boleh menolak pecahan daripada pecahan, kerana pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza. Dalam kes sedemikian, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut yang sama (sepunya).

Penyebut biasa didapati menggunakan prinsip yang sama yang kami gunakan semasa menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Pertama sekali, cari KPK bagi penyebut kedua-dua pecahan. Kemudian LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan pertama dan faktor tambahan pertama diperoleh, yang ditulis di atas pecahan pertama. Begitu juga, LCM dibahagikan dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh, yang ditulis di atas pecahan kedua.

Pecahan itu kemudiannya didarabkan dengan faktor tambahannya. Hasil daripada operasi ini, pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza ditukarkan kepada pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut.

Contoh 1. Cari maksud ungkapan:

Pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza, jadi anda perlu mengurangkannya kepada penyebut yang sama (sepunya).

Mula-mula kita dapati LCM bagi penyebut kedua-dua pecahan. Penyebut pecahan pertama ialah nombor 3, dan penyebut pecahan kedua ialah nombor 4. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 12

LCM (3 dan 4) = 12

Sekarang mari kita kembali kepada pecahan dan

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Untuk melakukan ini, bahagikan LCM dengan penyebut pecahan pertama. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan pertama ialah nombor 3. Bahagi 12 dengan 3, kita dapat 4. Tulis empat di atas pecahan pertama:

Kami melakukan perkara yang sama dengan pecahan kedua. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 12, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 4. Bahagi 12 dengan 4, kita dapat 3. Tulis tiga di atas pecahan kedua:

Sekarang kita sudah bersedia untuk penolakan. Ia kekal untuk mendarabkan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini hingga akhir:

Kami menerima jawapan

Mari cuba gambarkan penyelesaian kami menggunakan lukisan. Jika anda memotong pizza daripada pizza, anda akan mendapat pizza

Ini adalah versi terperinci penyelesaian. Jika kita berada di sekolah, kita perlu menyelesaikan contoh ini dengan lebih pendek. Penyelesaian sedemikian akan kelihatan seperti ini:

Mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa juga boleh digambarkan menggunakan gambar. Mengurangkan pecahan ini kepada penyebut biasa, kami mendapat pecahan dan . Pecahan ini akan diwakili oleh kepingan piza yang sama, tetapi kali ini ia akan dibahagikan kepada bahagian yang sama (dikurangkan kepada penyebut yang sama):

Gambar pertama menunjukkan pecahan (lapan keping daripada dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga keping daripada dua belas). Dengan memotong tiga keping daripada lapan keping, kita mendapat lima keping daripada dua belas. Pecahan menerangkan lima keping ini.

Contoh 2. Cari nilai ungkapan

Pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeza, jadi pertama anda perlu mengurangkannya kepada penyebut yang sama (sepunya).

Mari kita cari LCM bagi penyebut pecahan ini.

Penyebut pecahan ialah nombor 10, 3 dan 5. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini ialah 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, bahagikan LCM dengan penyebut setiap pecahan.

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. LCM ialah nombor 30, dan penyebut pecahan pertama ialah nombor 10. Bahagikan 30 dengan 10, kita mendapat faktor tambahan pertama 3. Kami menulisnya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan kedua. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan kedua ialah nombor 3. Bahagikan 30 dengan 3, kita mendapat faktor tambahan kedua 10. Kami menulisnya di atas pecahan kedua:

Sekarang kita dapati faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bahagikan LCM dengan penyebut pecahan ketiga. LCM ialah nombor 30, dan penyebut bagi pecahan ketiga ialah nombor 5. Bahagikan 30 dengan 5, kita mendapat faktor tambahan ketiga 6. Kami menulisnya di atas pecahan ketiga:

Sekarang semuanya sedia untuk penolakan. Ia kekal untuk mendarabkan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami membuat kesimpulan bahawa pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza bertukar menjadi pecahan yang mempunyai penyebut yang sama (sepunya). Dan kita sudah tahu bagaimana untuk menolak pecahan tersebut. Mari kita selesaikan contoh ini.

Sambungan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kami mengalihkan sambungan ke baris seterusnya. Jangan lupa tentang tanda sama (=) pada baris baharu:

Jawapannya ternyata pecahan biasa, dan semuanya kelihatan sesuai dengan kita, tetapi ia terlalu rumit dan hodoh. Kita harus menjadikannya lebih mudah. Apa yang boleh dibuat? Anda boleh memendekkan pecahan ini.

Untuk mengurangkan pecahan, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebutnya dengan (GCD) bagi nombor 20 dan 30.

Jadi, kita dapati gcd nombor 20 dan 30:

Sekarang kita kembali kepada contoh kita dan bahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan gcd yang ditemui, iaitu, dengan 10

Kami menerima jawapan

Mendarab pecahan dengan nombor

Untuk mendarab pecahan dengan nombor, anda perlu mendarabkan pengangka bagi pecahan yang diberikan dengan nombor itu dan biarkan penyebutnya sama.

Contoh 1. Darab pecahan dengan nombor 1.

Darabkan pengangka pecahan dengan nombor 1

Rakaman boleh difahami sebagai mengambil separuh 1 kali. Sebagai contoh, jika anda mengambil pizza sekali, anda mendapat pizza

Daripada hukum pendaraban kita tahu bahawa jika darab dan faktor ditukar, hasil darab tidak akan berubah. Jika ungkapan ditulis sebagai , maka hasil darab akan tetap sama dengan . Sekali lagi, peraturan untuk mendarab nombor bulat dan pecahan berfungsi:

Notasi ini boleh difahami sebagai mengambil separuh daripada satu. Sebagai contoh, jika terdapat 1 keseluruhan piza dan kami mengambil separuh daripadanya, maka kami akan mempunyai piza:

Contoh 2. Cari nilai ungkapan

Darabkan pengangka pecahan dengan 4

Jawapannya ialah pecahan tidak wajar. Mari kita serlahkan keseluruhan bahagiannya:

Ungkapan itu boleh difahami sebagai mengambil dua perempat 4 kali. Sebagai contoh, jika anda mengambil 4 piza, anda akan mendapat dua piza keseluruhan

Dan jika kita menukar pengganda dan pengganda, kita mendapat ungkapan . Ia juga akan bersamaan dengan 2. Ungkapan ini boleh difahami sebagai mengambil dua piza daripada empat piza keseluruhan:

Mendarab pecahan

Untuk mendarab pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebutnya. Jika jawapannya ternyata pecahan tidak wajar, anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagiannya.

Contoh 1. Cari nilai ungkapan itu.

Kami menerima jawapan. Adalah dinasihatkan untuk mengurangkan pecahan ini. Pecahan itu boleh dikurangkan sebanyak 2. Kemudian keputusan terakhir akan mengambil bentuk berikut:

Ungkapan itu boleh difahami sebagai mengambil piza daripada separuh piza. Katakan kita mempunyai separuh pizza:

Bagaimana untuk mengambil dua pertiga daripada separuh ini? Mula-mula anda perlu membahagikan separuh ini kepada tiga bahagian yang sama:

Dan ambil dua daripada tiga keping ini:

Kami akan membuat pizza. Ingat rupa pizza, dibahagikan kepada tiga bahagian:

Satu keping piza ini dan dua keping yang kami ambil akan mempunyai dimensi yang sama:

Dalam erti kata lain, kita bercakap tentang pizza saiz yang sama. Oleh itu nilai ungkapan tersebut ialah

Contoh 2. Cari nilai ungkapan

Darabkan pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawapannya ialah pecahan tidak wajar. Mari kita serlahkan keseluruhan bahagiannya:

Contoh 3. Cari nilai ungkapan

Darabkan pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawapannya ternyata pecahan biasa, tetapi lebih baik jika ia dipendekkan. Untuk mengurangkan pecahan ini, anda perlu membahagikan pengangka dan penyebut pecahan ini dengan pembahagi sepunya terbesar (GCD) bagi nombor 105 dan 450.

Jadi, mari cari gcd nombor 105 dan 450:

Sekarang kita bahagikan pengangka dan penyebut jawapan kita dengan gcd yang kini kita temui, iaitu, dengan 15

Mewakili nombor bulat sebagai pecahan

Mana-mana nombor bulat boleh diwakili sebagai pecahan. Sebagai contoh, nombor 5 boleh diwakili sebagai . Ini tidak akan mengubah makna lima, kerana ungkapan itu bermaksud "nombor lima dibahagikan dengan satu," dan ini, seperti yang kita ketahui, bersamaan dengan lima:

Nombor timbal balik

Sekarang kita akan berkenalan dengan sangat topik yang menarik dalam matematik. Ia dipanggil "nombor terbalik".

Definisi. Balik kepada nombora ialah nombor yang, apabila didarab dengana memberikan satu.

Mari kita gantikan dalam definisi ini dan bukannya pembolehubah a nombor 5 dan cuba baca definisi:

Balik kepada nombor 5 ialah nombor yang, apabila didarab dengan 5 memberikan satu.

Adakah mungkin untuk mencari nombor yang, apabila didarab dengan 5, memberikan satu? Ternyata ia mungkin. Mari kita bayangkan lima sebagai pecahan:

Kemudian darabkan pecahan ini dengan sendirinya, cuma tukar pengangka dan penyebut. Dengan kata lain, mari kita darabkan pecahan itu dengan sendirinya, hanya terbalik:

Apakah yang akan berlaku akibat daripada ini? Jika kita terus menyelesaikan contoh ini, kita mendapat satu:

Ini bermakna songsangan bagi nombor 5 ialah nombor , kerana apabila anda mendarab 5 dengan anda mendapat satu.

Salingan nombor juga boleh didapati untuk mana-mana integer lain.

Anda juga boleh mencari timbal balik mana-mana pecahan lain. Untuk melakukan ini, hanya terbalikkannya.

Membahagi pecahan dengan nombor

Katakan kita mempunyai separuh pizza:

Mari bahagikan sama rata antara dua. Berapakah jumlah pizza yang akan diperoleh setiap orang?

Dapat dilihat bahawa selepas membahagikan separuh piza, dua keping yang sama diperolehi, setiap satunya membentuk piza. Jadi semua orang mendapat pizza.

Pembahagian pecahan dilakukan dengan menggunakan timbal balik. Nombor salingan membolehkan anda menggantikan pembahagian dengan pendaraban.

Untuk membahagi pecahan dengan nombor, anda perlu mendarab pecahan dengan songsangan pembahagi.

Menggunakan peraturan ini, kami akan menulis pembahagian separuh pizza kami kepada dua bahagian.

Jadi, anda perlu membahagikan pecahan dengan nombor 2. Di sini dividen adalah pecahan dan pembahagi adalah nombor 2.

Untuk membahagi pecahan dengan nombor 2, anda perlu mendarab pecahan ini dengan salingan pembahagi 2. Balasan bagi pembahagi 2 ialah pecahan. Jadi anda perlu mendarab dengan

Sekarang kita telah mempelajari cara menambah dan mendarab pecahan individu, kita boleh melihat lebih banyak lagi reka bentuk yang kompleks. Sebagai contoh, bagaimana jika masalah yang sama melibatkan penambahan, penolakan dan pendaraban pecahan?

Pertama sekali, anda perlu menukar semua pecahan kepada pecahan tak wajar. Kemudian kami melakukan tindakan yang diperlukan secara berurutan - dalam susunan yang sama seperti nombor biasa. Iaitu:

1. Eksponen dilakukan terlebih dahulu - buang semua ungkapan yang mengandungi eksponen;
2. Kemudian - pembahagian dan pendaraban;
3. Langkah terakhir ialah penambahan dan penolakan.

Sudah tentu, jika terdapat kurungan dalam ungkapan, susunan operasi berubah - semua yang ada di dalam kurungan mesti dikira terlebih dahulu. Dan ingat tentang pecahan tak wajar: anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagian hanya apabila semua tindakan lain telah selesai.

Mari tukar semua pecahan daripada ungkapan pertama kepada yang tidak wajar, dan kemudian lakukan langkah berikut:

Sekarang mari kita cari nilai ungkapan kedua. Tiada pecahan dengan bahagian integer, tetapi terdapat kurungan, jadi mula-mula kita melakukan penambahan, dan kemudian pembahagian. Perhatikan bahawa 14 = 7 · 2. Kemudian:

Akhir sekali, pertimbangkan contoh ketiga. Terdapat tanda kurung dan ijazah di sini - lebih baik mengiranya secara berasingan. Memandangkan 9 = 3 3, kita mempunyai:

Perhatikan contoh terakhir. Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, anda mesti menaikkan secara berasingan pengangka kepada kuasa ini, dan secara berasingan, penyebut.

Anda boleh membuat keputusan secara berbeza. Jika kita mengimbas kembali definisi ijazah, masalahnya akan dikurangkan kepada pendaraban biasa pecahan:

Pecahan berbilang tingkat

Sehingga kini, kami hanya mempertimbangkan pecahan "tulen", apabila pengangka dan penyebutnya ialah nombor biasa. Ini agak konsisten dengan definisi pecahan nombor yang diberikan dalam pelajaran pertama.

Tetapi bagaimana jika anda meletakkan objek yang lebih kompleks dalam pengangka atau penyebut? Sebagai contoh, pecahan berangka lain? Pembinaan sedemikian sering timbul, terutamanya apabila bekerja dengan ekspresi panjang. Berikut adalah beberapa contoh:

Terdapat hanya satu peraturan untuk bekerja dengan pecahan berbilang peringkat: anda mesti menyingkirkannya dengan segera. Mengeluarkan lantai "tambahan" agak mudah, jika anda ingat bahawa garis miring bermaksud operasi pembahagian standard. Oleh itu, mana-mana pecahan boleh ditulis semula seperti berikut:

Menggunakan fakta ini dan mengikut prosedur, kita boleh mengurangkan mana-mana pecahan berbilang tingkat kepada pecahan biasa dengan mudah. Lihat contoh:

Tugasan. Tukar pecahan berbilang tingkat kepada pecahan biasa:

Dalam setiap kes, kami menulis semula pecahan utama, menggantikan garis pembahagi dengan tanda bahagi. Juga ingat bahawa mana-mana integer boleh diwakili sebagai pecahan dengan penyebut 1. Iaitu 12 = 12/1; 3 = 3/1. Kita mendapatkan:

Dalam contoh terakhir, pecahan telah dibatalkan sebelum pendaraban terakhir.

Spesifik bekerja dengan pecahan pelbagai peringkat

Terdapat satu kehalusan dalam pecahan berbilang peringkat yang mesti sentiasa diingati, jika tidak, anda boleh mendapat jawapan yang salah, walaupun jika semua pengiraan adalah betul. Tengoklah:

1. Pengangka mengandungi nombor tunggal 7, dan penyebutnya mengandungi pecahan 12/5;
2. Pengangka mengandungi pecahan 7/12, dan penyebutnya mengandungi nombor berasingan 5.

Jadi, untuk satu rakaman kami mendapat dua tafsiran yang sama sekali berbeza. Jika anda mengira, jawapannya juga berbeza:

Untuk memastikan rekod sentiasa dibaca dengan jelas, gunakan peraturan mudah: garis pembahagi pecahan utama mestilah lebih panjang daripada garis pecahan bersarang. Sebaiknya beberapa kali.

Jika anda mengikuti peraturan ini, maka pecahan di atas hendaklah ditulis seperti berikut:

Ya, ia mungkin tidak sedap dipandang dan memakan terlalu banyak ruang. Tetapi anda akan mengira dengan betul. Akhir sekali, beberapa contoh di mana pecahan berbilang tingkat sebenarnya timbul:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Jadi, mari kita bekerja dengan contoh pertama. Mari tukar semua pecahan kepada pecahan tak wajar, dan kemudian lakukan operasi tambah dan bahagi:

Mari kita lakukan perkara yang sama dengan contoh kedua. Mari tukar semua pecahan kepada pecahan tak wajar dan laksanakan operasi yang diperlukan. Untuk tidak membosankan pembaca, saya akan meninggalkan beberapa pengiraan yang jelas. Kami ada:

Disebabkan fakta bahawa pengangka dan penyebut pecahan asas mengandungi jumlah, peraturan untuk menulis pecahan berbilang cerita diperhatikan secara automatik. Juga, dalam contoh terakhir, kami sengaja meninggalkan 46/1 dalam bentuk pecahan untuk melaksanakan pembahagian.

Saya juga akan ambil perhatian bahawa dalam kedua-dua contoh bar pecahan sebenarnya menggantikan kurungan: pertama sekali, kami mendapati jumlahnya, dan hanya kemudian hasil bagi.

Ada yang akan mengatakan bahawa peralihan kepada pecahan tak wajar dalam contoh kedua adalah jelas berlebihan. Mungkin ini benar. Tetapi dengan melakukan ini, kami menginsuranskan diri kami daripada kesilapan, kerana contoh lain mungkin menjadi lebih rumit. Pilih sendiri apa yang lebih penting: kelajuan atau kebolehpercayaan.

Pecahan- satu bentuk mewakili nombor dalam matematik. Bar pecahan menandakan operasi bahagi. Penbilang pecahan dipanggil dividen, dan penyebut- pembahagi. Sebagai contoh, dalam pecahan pengangkanya ialah 5 dan penyebutnya ialah 7.

Betul Pecahan dipanggil di mana modulus pengangka lebih besar daripada modulus penyebut. Jika suatu pecahan adalah wajar, maka modulus nilainya sentiasa kurang daripada 1. Semua pecahan lain adalah salah.

Pecahan itu dipanggil bercampur-campur, jika ia ditulis sebagai integer dan pecahan. Ini adalah sama dengan jumlah nombor ini dan pecahan:

Sifat utama pecahan

Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab dengan nombor yang sama, maka nilai pecahan itu tidak akan berubah, iaitu, sebagai contoh,

Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya

Untuk membawa dua pecahan kepada penyebut biasa, anda perlu:

1. Darabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut kedua
2. Darabkan pengangka pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
3. Gantikan penyebut kedua-dua pecahan dengan hasil darabnya

Operasi dengan pecahan

Penambahan. Untuk menambah dua pecahan yang anda perlukan

1. Tambahkan pengangka baru kedua-dua pecahan dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Penolakan. Untuk menolak satu pecahan daripada yang lain, anda perlukan

1. Kurangkan pecahan kepada penyebut sepunya
2. Kurangkan pengangka kedua daripada pengangka pecahan pertama dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Pendaraban. Untuk mendarab satu pecahan dengan pecahan lain, darabkan pengangka dan penyebutnya:

Pembahagian. Untuk membahagikan satu pecahan dengan yang lain, darabkan pengangka pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan kalikan penyebut pecahan pertama dengan pengangka kedua: