Kaedah keturunan paling curam dan turun mengikut koordinat walaupun untuk fungsi kuadratik memerlukan nombor tak terhingga lelaran. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk membina arah keturunan sedemikian untuk fungsi kuadratik

• (3.12)
• (di mana r ialah vektor n-dimensi) dengan matriks pasti positif simetri A, proses penurunan akan menumpu tepat kepada minimum dalam bilangan langkah terhingga.

Matriks pasti positif membolehkan kita memperkenalkan norma vektor seperti berikut:

Takrifan (3.13) bermaksud hasil darab skalar dua vektor x dan y kini bermaksud kuantiti (x, Ау). Vektor ortogon dalam erti kata produk titik ini

(x, Ау) = 0 (3.14)

dipanggil konjugat (berkaitan dengan matriks A yang diberikan).

Berdasarkan ini kumpulan besar kaedah: kecerunan konjugat, arah konjugat, tangen selari dan lain-lain.

Untuk fungsi kuadratik ia digunakan dengan kejayaan yang sama. Kaedah arah konjugat, di mana butiran algoritma dipilih dengan teliti, menyamaratakan paling baik kepada fungsi arbitrari.

Mari kita pertimbangkan dahulu bagaimana kaedah ini digunakan pada bentuk kuadratik (3.12). Untuk melakukan ini kita memerlukan beberapa sifat vektor konjugat.

Biarkan terdapat beberapa sistem vektor konjugat berpasangan x i. Kami menormalkan setiap vektor ini dalam erti kata norma (3.14), kemudian hubungan antara mereka mengambil bentuk

Mari kita buktikan bahawa vektor konjugasi bersama adalah bebas linear. Daripada kesamarataan

yang bercanggah dengan kepastian positif matriks. Percanggahan ini membuktikan kenyataan kami. Ini bermakna sistem vektor n-konjugat adalah asas dalam ruang dimensi-n. Untuk matriks tertentu terdapat bilangan asas tak terhingga yang terdiri daripada vektor konjugasi bersama.

Mari cari beberapa asas konjugat x i, 1 inci. Mari kita pilih titik arbitrari r 0 . Sebarang pergerakan dari titik ini boleh dikembangkan menjadi asas konjugat

Menggantikan ungkapan ini menjadi sebelah kanan formula (3.12), kami mengubahnya, dengan mengambil kira konjugasi asas (3.15), kepada bentuk berikut:

Jumlah terakhir terdiri daripada istilah, setiap satunya sepadan dengan hanya satu komponen jumlah (3.16). Ini bermakna pergerakan sepanjang salah satu arah konjugat x i mengubah hanya satu sebutan daripada jumlah (3.17), tanpa menjejaskan yang lain.

Dari titik r 0 kita membuat penurunan silih berganti kepada minimum sepanjang setiap arah konjugat x i . Setiap keturunan meminimumkan sebutannya dalam jumlah (3.17), supaya minimum fungsi kuadratik dicapai dengan tepat selepas melaksanakan satu kitaran penurunan, iaitu, dalam bilangan langkah yang terhad.

Asas konjugat boleh dibina menggunakan kaedah satah tangen selari.

Biarkan garis tertentu selari dengan vektor x, dan biarkan fungsi kuadratik pada garis ini mencapai nilai minimumnya pada titik r 0 . Mari kita gantikan persamaan garis ini r = r 0 + bx ke dalam ungkapan (3.12) dan menghendaki syarat untuk fungsi minimum dipenuhi

c(b) = Ф(r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),

dan letakkan (dts/db) b-0 = 0. Ini membayangkan persamaan yang dipenuhi dengan titik minimum:

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3.18)

Biarkan pada beberapa baris lain, selari dengan yang pertama, fungsi mengambil nilai minimum pada titik r 1 maka begitu juga kita dapati (x, 2Аr 1 + b) = 0. Menolak kesamaan ini daripada (3.18), kita memperoleh;

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3.19)

Akibatnya, arah yang menghubungkan titik minimum pada dua garis selari adalah konjugasi ke arah garisan ini.

Oleh itu, ia sentiasa mungkin untuk membina konjugat vektor kepada vektor x yang diberi arbitrari. Untuk melakukan ini, cukup untuk melukis dua garisan selari dengan x dan mencari pada setiap baris bentuk kuadratik minimum (3.12). Vektor r 1 r 0 yang menghubungkan minima ini adalah konjugat kepada x. Ambil perhatian bahawa garis lurus menyentuh garis aras pada titik di mana fungsi pada garis lurus ini mengambil nilai minimum; Nama kaedah dikaitkan dengan ini.

Biarkan terdapat dua satah m-dimensi selari yang dihasilkan oleh sistem vektor konjugat x i, 1 imn. Biarkan fungsi kuadratik mencapai nilai minimum pada satah ini pada titik r 0 dan r 1, masing-masing. Dengan menggunakan penaakulan yang sama, seseorang boleh membuktikan bahawa vektor r 1 r 0 yang menghubungkan titik minimum adalah konjugat kepada semua vektor x i. Akibatnya, jika sistem vektor konjugat x i yang tidak lengkap diberikan, maka menggunakan kaedah ini adalah sentiasa mungkin untuk membina vektor r 1 r 0 konjugat kepada semua vektor sistem ini.

Mari kita pertimbangkan satu kitaran proses membina asas konjugat. Biarkan asas telah dibina di mana vektor m terakhir adalah saling berganding, dan pertama n-m vektor tidak konjugat terakhir. Mari kita cari minimum fungsi kuadratik (3.12) dalam beberapa satah m-dimensi yang dijana oleh vektor m terakhir asas. Oleh kerana vektor-vektor ini saling berkonjugat, untuk melakukan ini adalah cukup untuk sewenang-wenangnya memilih titik r 0 dan membuat penurunan daripadanya secara bergilir-gilir di sepanjang setiap arah ini (sekurang-kurangnya). Mari kita nyatakan titik minimum dalam satah ini dengan r 1 .

Sekarang dari titik r 1 kita akan membuat turunan bergantian di sepanjang vektor asas n - m pertama. Penurunan ini akan membawa trajektori keluar dari satah pertama dan membawanya ke beberapa titik r 2 . Dari titik r 2 kita akan sekali lagi membuat penurunan di sepanjang arah m terakhir, yang akan membawa ke titik r 3 . Penurunan ini bermakna betul-betul mencari minimum dalam satah kedua selari dengan satah pertama. Akibatnya, arah r 3 - r 1 adalah konjugasi kepada vektor asas m terakhir.

Jika salah satu arah bukan konjugat dalam asas digantikan dengan arah r 3 - r 1, maka dalam asas baru sudah m + 1 arah akan saling berkonjugasi.

Mari kita mula mengira kitaran dari asas sewenang-wenangnya; untuk itu kita boleh menganggap bahawa m=1. Proses yang diterangkan dalam satu kitaran meningkatkan bilangan vektor konjugat dalam asas sebanyak satu. Ini bermakna dalam kitaran n - 1 semua vektor asas akan menjadi konjugat, dan kitaran seterusnya akan membawa trajektori ke titik minimum fungsi kuadratik (3.12).

Walaupun konsep asas konjugat ditakrifkan hanya untuk fungsi kuadratik, proses yang diterangkan di atas distrukturkan supaya ia boleh digunakan secara rasmi pada fungsi arbitrari. Sudah tentu, dalam kes ini adalah perlu untuk mencari minimum sepanjang arah menggunakan kaedah parabola, tanpa menggunakan mana-mana formula yang berkaitan dengan jenis fungsi kuadratik tertentu (3.12).

Dalam kejiranan kecil dengan minimum, kenaikan fungsi yang cukup lancar biasanya diwakili dalam bentuk bentuk kuadratik pasti positif simetri jenis (3.2). Jika perwakilan ini tepat, maka kaedah arah konjugat akan menumpu dalam bilangan langkah yang terhingga. Tetapi perwakilan adalah anggaran, jadi bilangan langkah akan menjadi tidak terhingga; tetapi penumpuan kaedah ini berhampiran minimum akan menjadi kuadratik.

Terima kasih kepada penumpuan kuadratik, kaedah arah konjugat membolehkan seseorang mencari minimum dengan ketepatan yang tinggi. Kaedah dengan penumpuan linear biasanya menentukan nilai koordinat ekstrem dengan kurang tepat.

Kaedah arah konjugat nampaknya paling banyak kaedah yang berkesan keturunan Ia berfungsi dengan baik dengan minimum yang merosot, dan dengan jurang yang boleh diselesaikan, dan dengan kehadiran bahagian lega yang cenderung lemah - "dataran tinggi", dan dengan sejumlah besar pembolehubah - sehingga dua dozen.

Mekanik klasik dan elektrodinamik, apabila cuba menerapkannya untuk menerangkan fenomena atom, membawa kepada keputusan yang bercanggah dengan eksperimen. Contoh yang paling menarik ialah percubaan untuk menggunakan elektrodinamik klasik pada model atom, di mana elektron bergerak mengelilingi nukleus dalam orbit klasik. Dengan pergerakan sedemikian, seperti mana-mana pergerakan cas dengan pecutan, elektron perlu terus memancarkan tenaga dalam bentuk gelombang elektromagnet dan, pada akhirnya, pasti akan jatuh ke dalam nukleus bercas positif. Oleh itu - dari sudut pandangan elektrodinamik klasik - atom tidak stabil. Seperti yang kita lihat, tesis ini tidak benar. Percanggahan yang begitu mendalam antara teori dan eksperimen menunjukkan bahawa penerangan tentang objek mikro memerlukan perubahan asas dalam konsep dan undang-undang klasik asas.

Daripada beberapa data eksperimen (seperti pembelauan elektron) menunjukkan bahawa mekanik yang mengawal fenomena atom - mekanik kuantum - mestilah berdasarkan idea tentang gerakan yang pada asasnya berbeza daripada idea mekanik klasik. Dalam mekanik kuantum tidak ada konsep trajektori zarah, dan, akibatnya, ciri dinamik lain. TESIS INI DIRUMUSKAN DALAM PRINSIP KETIDAKTENTIAN HEISENBERG:

Adalah mustahil untuk mengukur secara serentak koordinat dan momentum mikroobjek dengan sebarang ketepatan:

DxDhlm³ h (II.1)

Perlu diperhatikan (dan ini akan dibincangkan kemudian), hubungan ketidakpastian menghubungkan bukan sahaja koordinat dan momentum, tetapi juga beberapa kuantiti lain.

Sekarang mari kita kembali kepada pertimbangan radas matematik mekanik kuantum.

Operator A adalah kebiasaan untuk memanggil peraturan mengikut mana setiap fungsi f fungsi sepadan j :

j= A f (II.3)

Contoh paling mudah operator: punca kuasa dua, pembezaan, dsb.

Tidak setiap fungsi boleh dipengaruhi oleh mana-mana operator contohnya, fungsi tidak boleh dibezakan tidak boleh dipengaruhi oleh pengendali pembezaan. Oleh itu, mana-mana pengendali boleh ditakrifkan hanya pada kelas fungsi tertentu dan dianggap ditakrifkan jika bukan sahaja peraturan yang mengubah satu fungsi kepada fungsi lain ditentukan, tetapi juga set fungsi yang ia bertindak.

Dengan analogi dengan algebra nombor, kita boleh memperkenalkan algebra operator:

1) Operator jumlah atau perbezaan

(A ± B ) · f = A · f ± B · f (II.4)

2) Produk pengendali

AB · f = A (B · f ) (II.5)

mereka. pertama pada fungsi f operator sedang bertindak B , membentuk beberapa fungsi baharu, yang kemudiannya diambil tindakan oleh pengendali A . DALAM kes am tindakan pengendali AB tidak sepadan dengan tindakan pengendali B.A. .

Sesungguhnya, jika A=d/dx Dan B=x ,

Itu AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Jika AB=BA, maka pengendali dipanggil berulang-alik, dan jika AB-BAº(A,B) (II.6), maka mereka tidak berulang-alik. Ungkapan dalam kurungan dipanggil komutator.

Dalam mekanik kuantum, pengendali sambungan diri linear (atau Hermitian) biasanya digunakan. Sifat lineariti bermaksud bahawa

A(c 1 f 1 +c 2 f 2 )f =c 1 Af 1 +c 2 Af 2 (II.7)

di mana c 1 Dan c 2 - pemalar, dan f 1 Dan f 2 - fungsi sewenang-wenangnya di mana pengendali ditakrifkan A. ini harta matematik berkait rapat dengan prinsip superposisi.

Pengendali Hermitian bersebelahan sendiri ialah pengendali yang kesamarataannya dipegang:

òf 1 * (x)(Af 2 (x))dx = òf 2 (x)(A * f 1 * (x))dx (II.8)

diandaikan bahawa A ditakrifkan pada f 1 * (x) Dan f 2 (x) dan semua kamiran yang termasuk dalam (1.8) wujud. Keperluan Hermitianity sangat penting untuk mekanik kuantum dan di bawah ini kita akan mengetahui sebabnya.

Seperti yang telah disebutkan, tindakan pengendali dikurangkan untuk mengubah satu fungsi kepada yang lain, bagaimanapun, kes juga mungkin apabila, akibat tindakan pengendali, fungsi asal tidak berubah atau didarab dengan pemalar. Contoh paling mudah:

Ia boleh dikatakan bahawa setiap pengendali A boleh dibandingkan persamaan linear jenis:

Af = af (II.9) ,

di mana a = const. a ialah nilai eigen pengendali, dan f - fungsi pengendali sendiri. Persamaan ini dipanggil persamaan nilai eigen. Nilai pemalar yang persamaan (1.9) mengambil penyelesaian bukan remeh dipanggil nilai eigen. Bersama-sama mereka membentuk spektrum nilai eigen, yang boleh diskret, berterusan atau bercampur. Setiap nilai sepadan dengan satu atau lebih fungsi eigen f T , dan jika hanya satu fungsi sepadan dengan satu nilai eigen, maka ia tidak merosot, dan jika terdapat beberapa, maka ia merosot.

Fungsi eigen dan nilai eigen Hermitian (bersebelahan diri) operator mempunyai beberapa sifat:

1. Nilai eigen pengendali sedemikian adalah nyata.

2. Fungsi sendiri f 1 Dan f 2 pengendali sedemikian yang dimiliki oleh nilai eigen yang berbeza Dengan 1 Dan c 2 masing-masing ortogon antara satu sama lain, i.e. ò f 1 * (x) f 2 (x) dx = 0 (II.10)

3. Mereka mesti dinormalisasi kepada perpaduan dengan memperkenalkan faktor normalisasi khas, yang dalam kes umum diterangkan oleh keadaan ortonormal: ò f m * (x) f n (x) dx =d mn , d mn =0 di m ¹ n Dan d mn =1 di m = n (II.11)

4. Jika dua operator A Dan B mempunyai sistem fungsi eigen yang sama, kemudian ia berulang-alik, dan pernyataan sebaliknya juga benar

5. Fungsi eigen operator Hermitian membentuk set ortonormal lengkap, i.e. sebarang fungsi yang ditakrifkan dalam domain pembolehubah yang sama boleh diwakili sebagai satu siri fungsi eigen pengendali A:

(II.12),

di mana c n- beberapa pemalar, dan pengembangan ini adalah tepat.

Sifat terakhir adalah sangat penting untuk radas mekanik kuantum, kerana berdasarkannya adalah mungkin untuk membina perwakilan matriks pengendali dan menggunakan radas berkuasa algebra linear.

Memang sejak dalam (II.12) fungsi asli f n (x) dianggap diketahui, kemudian untuk mencari fungsi F(x) adalah perlu dan mencukupi untuk mencari semua pekali pengembangan ( c n). Sekarang mari kita pertimbangkan beberapa pengendali B, yang bertindak pada fungsi c(x) dan memindahkannya ke F(x):

F(x) = Bc(x) (II.13)

Mari kita bayangkan fungsinya F(x) Dan Bc(x) dalam bentuk baris (II.12):

(II.14)

dan masukkan mereka (II.13)

(II.15)

(II.16)

Mari kita darabkan kedua-dua belah kesamaan dengan f k * (x) dan menyepadukan, dengan mengambil kira keadaan ortonormal:

Kesaksamaan (II.17) menerangkan peralihan daripada fungsi c(x) untuk berfungsi F(x), yang dijalankan dengan menetapkan semua pekali M kn. Set semua kuantiti M kn ada operator B dalam perwakilan matriks dan boleh ditulis sebagai

Oleh itu, mana-mana pengendali sewenang-wenangnya B dalam perwakilan matriks boleh diwakili sebagai jadual segi empat sama nombor, matriks, dan perwakilan ini hanya akan ditentukan oleh jenis operator dan set awal fungsi asas.

Sekarang mari kita ingat secara ringkas peruntukan utama teori matriks. Secara umum, matriks ialah himpunan nombor nyata atau kompleks a ij, dipanggil elemen matriks, disusun dalam jadual segi empat tepat

Indeks i Dan j menunjukkan bahawa unsur a ij terletak di persimpangan i baris ke dan j lajur ke. Jika matriks mempunyai n garisan dan m lajur, maka ia dikatakan mempunyai dimensi ( n x m), Jika n = m, maka matriks itu dipanggil segi empat sama. Matriks segi empat tepat saiz ( 1 x m) dipanggil vektor baris, dan ( n x1) ialah vektor lajur. Unsur matriks a ij di i = j dipanggil pepenjuru, matriks di mana semua elemen kecuali yang pepenjuru adalah sama dengan sifar dipanggil pepenjuru, dan matriks pepenjuru di mana semua elemen adalah sama dengan satu dipanggil perpaduan. Jumlah unsur pepenjuru dipanggil surih: Sp.

Adalah mudah untuk membina algebra matriks, yang akan dikurangkan kepada peraturan berikut:

1. Matriks dan dikatakan sama jika untuk semua i Dan j persamaan itu benar: a ij = b ij

2. Jumlah matriks dan dimensi ( n x m) akan menjadi matriks dimensi ( n x m) supaya untuk semua orang i Dan j persamaan itu benar: c ij = a ij + b ij

3. Hasil darab matriks dengan nombor arbitrari a akan ada matriks dengan dimensi yang sama, supaya untuk semua i Dan j persamaan itu benar: c ij = aa ij

4. Hasil darab matriks dimensi ( n x m) pada matriks dimensi ( m x hlm) dipanggil matriks dimensi ( n x hlm) seperti itu

(II.20)

5. Matriks dipanggil konjugat kompleks jika ia mengandungi semua unsur matriks a ij digantikan oleh konjugat kompleks a ij * . Sesuatu matriks dikatakan ditukar kepada jika ia diperoleh dengan menggantikan baris dengan lajur dan sebaliknya: a ’ ij = a ji. Matriks tertranspos dan konjugat kompleks kepada dipanggil konjugat dan dilambangkan

FUNGSI BERSAMBUNG

Konsep teori fungsi, yang merupakan refleksi konkrit pengendali involutif tertentu untuk kelas fungsi yang sepadan.
1) S. f. kepada fungsi bernilai kompleks . dipanggil fungsi yang nilainya kompleks bergabung dengan nilai f.
2) S. f. kepada fungsi harmonik - lihat Konjugat fungsi harmonik.
3) S. f. k -berkala boleh diintegrasikan pada fungsi f(x) dipanggil. fungsi

ia wujud dan bertepatan hampir di mana-mana dengan -sum, atau jumlah Abel-Poisson siri trigonometri konjugat.
4) S. f. untuk berfungsi ditakrifkan pada ruang vektor X yang dalam dualiti (berkenaan dengan bentuk bilinear ) dengan ruang vektor Y- fungsi pada Y, diberikan oleh hubungan

Untuk fungsi yang dinyatakan di Y, fungsi konjugat ditakrifkan sama.

S. f. kepada fungsi satu pembolehubah akan ada satu fungsi

S. f. untuk berfungsi dalam ruang Hilbert X, hasil kali skalar ialah fungsinya S. f. kepada normal dalam ruang ternormal akan ada fungsi N*(y) , sama dengan sifar jika dan sama jika
Jika f licin dan berkembang lebih cepat pada infiniti fungsi linear, maka f* tidak lebih daripada Legendre fungsi f. Untuk fungsi cembung ketat satu dimensi, takrifan bersamaan dengan (*) telah diberikan oleh W. Young, dalam istilah lain. W. Jung mentakrifkan S. f. untuk berfungsi

di mana berterusan dan meningkat dengan ketat, oleh perhubungan

di manakah fungsi songsang kepada Definisi (*) untuk fungsi satu dimensi pertama kali dicadangkan oleh S. Mandelbrojt, dalam kes dimensi terhingga - oleh V. Fenchel, dalam kes dimensi tak terhingga - oleh J. Moreau dan A. Brønsted . Untuk fungsi cembung n konjugasi kepadanya, Young's

Fungsi S. ialah fungsi tertutup cembung. Operator konjugasi*: secara unik memaparkan set cembung yang betul fungsi tertutup pada X ialah koleksi fungsi tertutup cembung yang betul pada Y (Fenchel - Moreau).
Untuk butiran lanjut, lihat dan.
lihat juga Analisis cembung, Fungsi sokongan, Dualiti dalam masalah ekstrem dan analisis cembung.

Menyala.: Joung W. H., lProc. Roy. Soc. A

Ensiklopedia matematik. - M.: Ensiklopedia Soviet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apakah "FUNGSI CONJECTED" dalam kamus lain:

Fungsi sokongan bagi set A yang terletak dalam ruang vektor X ialah fungsi sA yang ditakrifkan dalam ruang vektor Y yang berada dalam dualiti dengannya oleh hubungan Contohnya, O. f. unit bekas dalam ruang biasa yang dipertimbangkan dalam... ... Ensiklopedia Matematik

Fungsi yang dikaitkan dengan perwakilan integral bagi penyelesaian kepada masalah nilai sempadan untuk persamaan pembezaan. G. f. masalah nilai sempadan bagi persamaan pembezaan linear penyelesaian asas persamaan yang memenuhi syarat sempadan homogen.... ... Ensiklopedia Matematik

Fungsi anti-analitik, fungsi satu atau lebih pembolehubah kompleks yang konjugat kompleks kepada fungsi holomorfik (lihat fungsi Analitik). E. D. Solomentsev ... Ensiklopedia Matematik

Kawalan, fungsi u(t), termasuk dalam persamaan pembezaan nilai kawanan pada setiap saat dalam masa boleh dipilih sewenang-wenangnya. Biasanya, sekatan dikenakan ke atas julat perubahan u(t) bagi setiap t di mana U ialah set tertutup yang diberikan dalam... ... Ensiklopedia Matematik

Paparan berterusan yang mengekalkan bentuk angka yang sangat kecil. Konsep asas. Pemetaan berterusan w=f(z) bagi kawasan G bagi ruang Euclidean n-dimensi ke dalam ruang Euclidean n-dimensi dipanggil. konformal pada satu titik jika pada ketika ini ia mempunyai... Ensiklopedia Matematik

1) Transformasi matematik analisis, merealisasikan dualiti antara objek dalam dua ruang (bersama-sama dengan dualiti projektif dalam geometri analitik dan dualiti kutub dalam geometri cembung). Biarkan lancar berfungsi,... ... Ensiklopedia Matematik

1) P. t tentang fungsi konjugat: biarkan berkala fungsi berterusan dengan tempoh 2p dan fungsi konjugat trigonometri dengan f(t); maka jika f(t).memuaskan keadaan Lipschitz tentang eksponen pada 0 Ensiklopedia Matematik

- (mod k) fungsi c(n)=c(n; k) pada set integer, memenuhi syarat: Dengan kata lain, D. x. (mod k) ialah aritmetik. fungsi yang tidak sama sifar adalah darab sepenuhnya dan berkala dengan kala k. Konsep D. x. masuk P....... Ensiklopedia Matematik

Salah satu generalisasi integral Lebesgue yang dicadangkan oleh A. Denjoy (A. Denjoy, 1919), dikaji secara terperinci oleh T. J. Box (T. J. Boks, 1921). Fungsi sebenar f(x).pada segmen [a, b]secara berkala (dengan noktah b a) berterusan sepanjang keseluruhan garisan. Untuk… … Ensiklopedia Matematik

Kamiran berganda di mana ialah fungsi yang diberi (secara amnya, bernilai kompleks) bagi pembolehubah nyata, boleh bersepadu kuasa dua, fungsi arbitrari (juga bernilai kompleks), boleh bersepadu kuasa dua, dan fungsi konjugat kompleks c. Jika,…… Ensiklopedia Matematik

1 1 4 LAMPIRAN B: KONSEP TEORI

Prinsip subsistem berganding

Dengan pengenalpastian mana-mana sistem bahan, persekitaran yang sepadan secara automatik muncul di mana sistem ini wujud. Oleh kerana persekitaran sentiasa lebih besar daripada sistem, evolusi sistem ditentukan oleh perubahan dalam persekitaran. Idea evolusi membayangkan dua aspek utama dan, dalam erti kata lain, aspek alternatif: pemuliharaan (C) dan perubahan (I). Jika salah satu daripada mereka hilang, maka tidak ada evolusi: sistem sama ada hilang atau stabil. Nisbah perubahan dan pemuliharaan (I/S) mencirikan keplastikan evolusi sistem. Ambil perhatian bahawa syarat ini adalah alternatif: lebih banyak Dan, lebih sedikit C dan, sebaliknya, kerana ia saling melengkapi kepada perpaduan: C + I = 1.

Untuk pelaksanaan yang lebih baik hanya aspek pertama - pemeliharaan - adalah lebih menguntungkan untuk sistem menjadi mampan, stabil, tidak boleh berubah, iaitu, sejauh mungkin (bukan dalam pengertian geometri, tetapi dalam pengertian maklumat) daripada merosakkan faktor persekitaran (Rajah B.1). Walau bagaimanapun, faktor yang sama ini secara serentak memberikan maklumat berguna tentang arah perubahan persekitaran. Dan jika sistem perlu menyesuaikan diri dengan mereka, berubah mengikut perubahan dalam persekitaran (aspek kedua), maka ia mesti sensitif, labil dan boleh berubah, iaitu, menjadi "lebih dekat" (dalam pengertian maklumat) kepada alam sekitar yang berbahaya. faktor yang mungkin. Akibatnya, terdapat situasi konflik apabila sistem, di satu pihak, perlu "lebih jauh" dari persekitaran, dan di pihak yang lain, "lebih dekat".

Masalah Persekitaran

Untuk menukar (menerima maklumat berguna) anda perlu "lebih dekat"

Penyelesaian yang mungkin

Berada pada "jarak optimum"

Bahagikan kepada dua subsistem berganding

nasi. B.1 Hubungan antara sistem dan persekitaran

Penyelesaian pertama yang mungkin: sistem secara keseluruhan harus berada pada "jarak" optimum dari persekitaran, memilih kompromi optimum I/C tertentu Penyelesaian kedua: untuk berpecah kepada dua subsistem berganding, keluarkan satu "jauh" dari persekitaran, dan gerakkan yang lain "lebih dekat". Penyelesaian kedua mengalih keluar keperluan yang bercanggah untuk pemeliharaan (C) dan perubahan (I) sistem, dan membolehkan anda memaksimumkan kedua-duanya secara serentak, meningkatkan kestabilan sistem secara keseluruhan. Kesimpulan ini mendasari konsep baru.

LAMPIRAN B: KONSEP ASAS TEORI 1 1 5

PRINSIP SUBSISTEM YANG BERHUBUNG

PEMBEZAAN SISTEM ADAPTIF, BERKEMBANG DALAM PERSEKITARAN PEMBOLEH UBAH, KEPADA DUA SUBSISTEM YANG BERHUBUNG DENGAN PENGKHUSUSAN KONSERVATIF DAN OPERASI, MENINGKATKAN KESTABILANNYA.

Pemisahan subsistem dalaman dan luaran mesti difahami bukan dalam erti kata geometri (morfologi), tetapi dalam satu maklumat, iaitu, aliran maklumat dari persekitaran tentang perubahan yang telah berlaku di dalamnya mula-mula jatuh ke dalam subsistem luaran ("RAM ”), dan kemudian ke dalam yang (“memori malar”) sistem).

Dalam bentuk umum ini, konsep ini sah untuk sistem penyesuaian yang berkembang, tanpa mengira sifat khusus mereka - biologi, teknikal, permainan atau sosial. Ia boleh dijangka bahawa antara sistem penyesuaian yang berkembang, struktur yang terdiri daripada dua subsistem berganding harus berlaku agak kerap. Dalam semua kes apabila sistem terpaksa memantau "tingkah laku musuh" (persekitaran) dan membina "tingkah laku" selaras dengan ini, pembezaan, pembahagian perkhidmatan kepada konservatif dan operasi meningkatkan kestabilan. Tentera memperuntukkan detasmen peninjau dan menghantar mereka ke arah yang berbeza untuk bertemu musuh. Kapal itu mempunyai lunas (perkhidmatan konservatif) dan kemudi yang berasingan (beroperasi), pesawat dan aileron tetap pesawat; penstabil roket dan kemudi.

Ciri umum pembezaan konjugat binari

Sebelum kemunculan subsistem berganding, kawalan utama evolusi, aliran maklumat pergi terus dari persekitaran ke sistem: E → S. Selepas kemunculan subsistem operasi, mereka adalah yang pertama menerima maklumat daripada persekitaran: persekitaran → operasi → subsistem konservatif, E → o → k. sebab tu subsistem baharu sentiasa beroperasi dan

timbul antara subsistem konservatif dan persekitaran.

Perbezaan asas antara sistem konjugat unitari dan binari adalah dalam bentuk hubungan maklumat mereka dengan persekitaran. Bagi yang pertama, maklumat mengalir dari persekitaran terus ke setiap elemen sistem, manakala untuk yang terakhir, ia mengalir pertama ke unsur-unsur subsistem operasi dan daripada mereka kepada unsur-unsur subsistem konservatif.

Dikronisme (tak segerak) dan dimorfisme (asimetri) berkait rapat: apabila sistem unsur yang sama dibahagikan kepada dua bahagian, selagi ia homogen secara kualitatif, tidak ada dimorfisme mahupun dikronisme (Rajah B.2). Tetapi sebaik sahaja salah satu daripadanya mula berkembang, kedua-dua dimorfisme dan dikronisme timbul serentak. Di sepanjang paksi morfologi, ini adalah dua bentuk yang membentuk struktur "teras stabil" (SC) dan "cengkerang labil" (LP) (Rajah B.3). Struktur ini melindungi subsistem konservatif daripada faktor persekitaran alternatif, contohnya, daripada suhu rendah dan tinggi.

1 1 6 LAMPIRAN B: KONSEP TEORI

Semua inovasi evolusi muncul pertama kali dalam subsistem operasi, menjalani ujian di sana, selepas itu (selepas banyak generasi), yang terpilih berakhir dalam subsistem konservatif. Evolusi subsistem operasi bermula dan berakhir lebih awal daripada yang konservatif. Oleh itu, sepanjang paksi kronologi mereka boleh dianggap sebagai "avant-garde" dan

“pengadang belakang” (Gamb. B.4).

Sepanjang paksi "persekitaran sistem", sistem dibahagikan kepada "teras stabil" dan "cangkang labil"

Sepanjang paksi masa, subsistem operasi boleh dianggap sebagai "avant-garde" berbanding dengan yang konservatif.

Aliran maklumat

Hadapan Rabu

Operasi Konservatif

Operasi Konservatif

Aliran maklumat

Pembahagian dan pengkhususan subsistem sedemikian untuk tugas alternatif pemeliharaan dan perubahan menyediakan keadaan optimum untuk pelaksanaan kaedah utama evolusi sistem hidup - dalam erti kata tertentu, kaedah percubaan dan kesilapan. Dengan kepekatan sampel dalam RAM, ralat dan penemuan juga disetempatkan di sana. Ini membolehkan sistem

cuba pilihan yang berbeza untuk menyelesaikan masalah evolusi tanpa risiko mengekalkan penyelesaian yang tidak berjaya.

Pembezaan kepada subsistem konservatif dan operasi tidak mutlak, tetapi relatif. Mungkin terdapat siri subsistem berturut-turut: α, β, γ,…..ω, dengan pautan paling konservatif (asas) ialah α, dan yang paling beroperasi ialah ω. Dan di dalam baris, dalam setiap pasangan, di sebelah kiri adalah subsistem konservatif, di sebelah kanan adalah subsistem operasi (seperti satu siri voltan logam dalam elektrokimia).

Agar maklumat ekologi baharu memasuki subsistem operasi, serakan fenotip unsur-unsurnya mestilah lebih luas daripada unsur-unsur subsistem konservatif, maka kecergasannya akan lebih rendah dan pekali pemilihan lebih tinggi daripada yang terakhir. Untuk melakukan ini, mereka mesti mempunyai norma tindak balas yang sama. Oleh kerana pemeliharaan sistem selalunya lebih penting daripada perubahan (kerana ketiadaan yang terakhir mengancam genangan, dan yang pertama, kepupusan), subsistem kanak-kanak adalah tidak sama rata. Subsistem konservatif adalah lebih penting dan berharga daripada subsistem operasi. Ia mengekalkan beberapa ciri dan fungsi sistem ibu, kesatuan, manakala subsistem operasi memperoleh yang baharu. Oleh itu, untuk memahami makna evolusi pembezaan binari, cukup untuk memahami makna subsistem operasi sahaja.

LAMPIRAN B: KONSEP TEORI 1 1 7

UNTUK MAKLUMAT EKOLOGI BARU UNTUK MEMASUKI SUBSISTEM OPERASI, VARIANCE FENOTYPIC

UNSURNYA HENDAKLAH LEBIH LEBIH LEBIH LEBIH LEBIH LEBIH LANJUT DAN NORMA TINDAK BALAS LEBIH SEMPIT DARIPADA UNSUR-UNSUR SUBSISTEM KONSERVATIF.

Untuk pemindahan maklumat yang berkesan antara subsistem (OP CP), elemen subsistem operasi juga mesti mempunyai "keratan rentas saluran" komunikasi yang lebih luas daripada elemen yang konservatif.

Evolusi tak segerak bagi subsistem

Evolusi sistem (S) ditentukan oleh persekitaran (E), ES. Aliran maklumat yang datang dari alam sekitar bertindak sebagai sejenis potensi ekologi yang memaksa sistem untuk berubah. Peningkatan dalam penyebaran unsur-unsur sistem kesatuan, lambat laun, secara automatik membawa kepada pembezaan mereka kepada subsistem konservatif dan operasi. Jika kita membandingkan potensi alam sekitar dengan potensi elektrik, dan sistem unitari dengan mentol lampu, maka sistem binari ialah dua mentol lampu yang boleh disambungkan kepada sumber arus secara selari atau bersiri (Rajah B.5). Ini adalah peluang baru yang asasnya tidak dimiliki oleh sistem kesatuan.

nasi. B.5 Evolusi segerak sistem kesatuan (AS) dan sistem bukan konjugat binari (BNS)

Analog litar selari. Evolusi tak segerak pembezaan konjugat binari (BCD) ialah analog skema berjujukan. Anak panah kerinting menunjukkan arah evolusi, anak panah mudah menunjukkan aliran elektron dan maklumat (Geodakyan, 2005).

Tiga rajah-model tiga kaedah utama pembiakan dan asimetri. Litar satu mentol adalah analog kaedah aseksual, litar selari adalah kaedah hermaphroditic, dan litar berjujukan adalah analog dengan dioecious (dan otak asimetri).

Fungsi berkaitan. Subdifferentials. Prinsip Minimax. Masalah pada dualiti unjuran Disebabkan 18 April 2014 (1) Cari konjugat bagi fungsi p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q ialah matriks d × d positif simetri, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , dengan A ialah set dalam Rd dan δA (x) = 0 jika x ∈ A, δA (x) = +∞ jika x∈ /A (i) hA , dengan A ialah set dalam Rd dan hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Buktikan ketaksamaan p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Bilakah kesaksamaan tepat dicapai? Bagaimanakah fungsi konjugasi kepada fungsi yang grafnya adalah polihedron cembung berfungsi? Pertimbangkan satu set segmen panjang 1 pada R+ ×R+ dengan hujung pada garis koordinat. Buktikan bahawa astroid adalah sampul untuk set ini. Fungsi yang manakah merupakan konjugat bagi fungsi yang grafnya ialah astroid? Biarkan f ialah fungsi bukan cembung. Terangkan konjugat keduanya. Biarkan f, f ∗ menjadi fungsi cembung licin, dan pada setiap titik matriks terbitan kedua (Hessians) D2 f, D2 f ∗ adalah tidak merosot. Buktikan bahawa bagi mana-mana x hubungan D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I pegang, dengan I ialah matriks identiti. (7) Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan berikut f 00 = (f − xf 0)2. (8) Kira subdifferential bagi fungsi cembung pada sifar (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (c) maks1≤i≤d |xi | (9) Buktikan bahawa x0 ialah titik minimum bagi fungsi cembung f jika dan hanya jika 0 ∈ ∂f (x0). (10) Cari minimum bagi fungsi (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Buktikan hubungan (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 dengan f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Buktikan (tanpa menggunakan prinsip minimax) bahawa maksimum dalam masalah pengaturcaraan linear tidak melebihi minimum dalam dwi. (13) Rumuskan dwi kepada masalah pengaturcaraan linear dan selesaikannya. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Masalah dualiti projektif Definisi. Satah unjuran dwi RP2∗ ialah ruang garisan pada satah unjuran RP2. 14) Buktikan bahawa satah unjuran dwi mempunyai struktur satah unjuran semula jadi, di mana garis ialah keluarga garisan dalam RP2 yang melalui titik tertentu. (Khususnya, varieti RP2 dan RP2∗ adalah difeomorfik.) 15) Pertimbangkan sewenang-wenangnya dua garisan berbeza a, b ⊂ RP2, menandakan O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. Pada setiap baris terdapat koordinat afin sebenar semula jadi, ditakrifkan secara unik sehingga komposisi dengan penjelmaan afin: a, b " R. Untuk mana-mana x ∈ a dan y ∈ b, biarkan l(x, y) ialah garis yang melalui x dan y. Buktikan bahawa peta a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) ialah sebuah peta affine kepada γ. 16) Buktikan bahawa γ ∗∗ = γ 17) Biarkan f (x) ialah fungsi cembung tegas dan f ∗ (x∗) konjugatnya dalam satah afin yang sepadan (x, y ) dan (x∗, y ∗) (lebih tepat lagi, bahagian terhingga graf di mana nilai fungsi adalah terhingga Buktikan bahawa lengkung Γ(f ∗) diubah oleh penjelmaan affine kepada dua lengkung). kepada Γ(f). Petunjuk: gunakan hasil masalah 2 18) Buktikan bahawa lengkung dwi kepada kon licin (lengkung tertib kedua yang tidak boleh dikurangkan kepada sepasang garis) juga merupakan kon licin. 19) Berikan definisi garis putus dua (poligon dwi) dan selesaikan analog masalah 3) dan 4) untuk garis putus γ dan fungsi afin sekeping f (graf – garis putus). 2