Jenis tertentu persamaan pembezaan linear tertib kedua. Persamaan pembezaan tertib kedua dan tertib yang lebih tinggi

Asas penyelesaian linear tak homogen persamaan pembezaan pesanan kedua (LNDU-2) dengan pekali malar(PC)

LDDE tertib ke-2 dengan pekali malar $p$ dan $q$ mempunyai bentuk $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, dengan $f\left(x \right)$ ialah fungsi berterusan.

Berkenaan dengan LNDU 2 dengan PC, dua kenyataan berikut adalah benar.

Mari kita andaikan bahawa sesetengah fungsi $U$ ialah penyelesaian separa arbitrari bagi persamaan pembezaan tak homogen. Mari kita juga andaikan bahawa sesetengah fungsi $Y$ ialah penyelesaian am (GS) bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Kemudian GR bagi LHDE-2 adalah sama dengan jumlah penyelesaian persendirian dan umum yang ditunjukkan, iaitu, $y=U+Y$.

Jika bahagian kanan LPDE tertib ke-2 ialah jumlah fungsi, iaitu $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, maka mula-mula kita boleh mencari PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ yang sepadan dengan setiap fungsi $f_ (1) \ kiri(x\kanan),f_(2) \kiri(x\kanan),...,f_(r) \kiri(x\kanan)$, dan selepas itu tulis CR LNDU-2 dalam bentuk $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Penyelesaian LPDE pesanan ke-2 dengan PC

Jelas sekali bahawa jenis satu atau satu lagi PD $U$ bagi LNDU-2 tertentu bergantung pada bentuk khusus sebelah kanan $f\left(x\right)$. Kes paling mudah untuk mencari PD LNDU-2 dirumuskan dalam bentuk empat peraturan berikut.

Peraturan #1.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, iaitu dipanggil a polinomial darjah $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dengan $Q_(n) \left(x\right)$ ialah satu lagi polinomial yang darjah yang sama dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri sepadan dengan LOD-2, sama dengan sifar. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah pekali tak tentu (UK).

Peraturan No. 2.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left( x\right)$ ialah polinomial darjah $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, di mana $Q_(n ) \ left(x\right)$ ialah polinomial lain yang sama darjah dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri bagi LODE-2 yang sepadan sama dengan $\alpha $. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.

Peraturan No. 3.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kanan) $, di mana $a$, $b$ dan $\beta$ berada nombor yang diketahui. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \kanan )\cdot x^(r) $, dengan $A$ dan $B$ adalah pekali yang tidak diketahui, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $i\cdot \beta $. Pekali $A$ dan $B$ didapati menggunakan kaedah tidak musnah.

Peraturan No. 4.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dengan $P_(n) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $ n$, dan $P_(m) \kiri(x\kanan)$ ialah polinomial darjah $m$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, di mana $Q_(s) \left(x\right)$ dan $ R_(s) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $s$, nombor $s$ ialah maksimum dua nombor $n$ dan $m$, dan $r$ ialah bilangan punca daripada persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $\alpha +i\cdot \beta $. Pekali polinomial $Q_(s) \left(x\right)$ dan $R_(s) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.

Kaedah NK terdiri daripada menggunakan peraturan berikut. Untuk mencari pekali polinomial yang tidak diketahui yang merupakan sebahagian daripada penyelesaian separa bagi persamaan pembezaan tak homogen LNDU-2, adalah perlu:

• gantikan PD $U$ yang ditulis Pandangan umum, V sebelah kiri LNDU-2;
• di sebelah kiri LNDU-2, lakukan penyederhanaan dan istilah kumpulan dengan kuasa yang sama $x$;
• dalam identiti yang terhasil, samakan pekali sebutan dengan kuasa yang sama $x$ sisi kiri dan kanan;
• menyelesaikan sistem persamaan linear yang terhasil untuk pekali yang tidak diketahui.

Contoh 1

Tugasan: cari ATAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\kiri(36\cdot x+12\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $. Cari juga PD , memenuhi syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$.

Kami menulis LOD-2 yang sepadan: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Persamaan ciri: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Punca-punca persamaan ciri ialah: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Akar-akar ini adalah sah dan berbeza. Oleh itu, OR bagi LODE-2 yang sepadan mempunyai bentuk: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Bahagian kanan LNDU-2 ini mempunyai bentuk $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Adalah perlu untuk mempertimbangkan pekali bagi eksponen $\alpha =3$. Pekali ini tidak bertepatan dengan mana-mana punca persamaan ciri. Oleh itu, PD LNDU-2 ini mempunyai bentuk $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Kami akan mencari pekali $A$, $B$ menggunakan kaedah NC.

Kami mendapati terbitan pertama Republik Czech:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami mendapati terbitan kedua Republik Czech:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot \kiri(e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\kiri(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami menggantikan fungsi $U""$, $U"$ dan $U$ bukannya $y""$, $y"$ dan $y$ ke dalam NLDE-2 $y""-3\cdot y" yang diberikan -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Selain itu, kerana eksponen $e^(3\cdot x) $ disertakan sebagai faktor dalam semua komponen, maka ia boleh ditinggalkan.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\kanan)=36\cdot x+12.$

Kami melakukan tindakan di sebelah kiri kesamaan yang terhasil:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Kami menggunakan kaedah NDT. Kami memperoleh sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Penyelesaian kepada sistem ini ialah: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ untuk masalah kita kelihatan seperti ini: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ untuk masalah kami kelihatan seperti ini: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.

Untuk mencari PD yang memenuhi syarat awal yang diberikan, kita dapati derivatif $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami menggantikan kepada $y$ dan $y"$ syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Kami menerima sistem persamaan:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Jom selesaikan. Kami dapati $C_(1) $ menggunakan formula Cramer, dan $C_(2) $ kami tentukan daripada persamaan pertama:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ mula(tatasusunan)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \tamat(tatasusunan)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Oleh itu, PD bagi persamaan pembezaan ini mempunyai bentuk: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.

Di sini kita akan menggunakan kaedah variasi pemalar Lagrange untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear. Penerangan terperinci kaedah ini untuk menyelesaikan persamaan susunan arbitrari diterangkan pada halaman
Penyelesaian persamaan pembezaan tak homogen linear tertib lebih tinggi dengan kaedah Lagrange >>>.

Contoh 1

Selesaikan persamaan pembezaan tertib kedua dengan pekali malar menggunakan kaedah variasi pemalar Lagrange:
(1)

Penyelesaian

Mula-mula kita selesaikan persamaan pembezaan homogen:
(2)

Ini adalah persamaan tertib kedua.

Menyelesaikan persamaan kuadratik:
.
Akar berbilang: . Sistem asas penyelesaian kepada persamaan (2) mempunyai bentuk:
(3) .
Dari sini kita mendapat penyelesaian umum persamaan homogen (2):
(4) .

Mengubah pemalar C 1 dan C 2 . Iaitu, kita menggantikan pemalar dalam (4) dengan fungsi:
.
Mencari penyelesaian persamaan asal(1) sebagai:
(5) .

Mencari terbitan:
.
Mari kita sambungkan fungsi dan persamaan:
(6) .
Kemudian
.

Kami mencari terbitan kedua:
.
Gantikan ke dalam persamaan asal (1):
(1) ;



.
Oleh kerana dan memenuhi persamaan homogen (2), jumlah sebutan dalam setiap lajur tiga baris terakhir memberikan sifar dan persamaan sebelumnya mengambil bentuk:
(7) .
Di sini.

Bersama-sama dengan persamaan (6) kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan fungsi dan:
(6) :
(7) .

Menyelesaikan sistem persamaan

Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7). Mari kita tulis ungkapan untuk fungsi dan:
.
Kami mencari derivatif mereka:
;
.

Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7) menggunakan kaedah Cramer. Kami mengira penentu matriks sistem:

.
Menggunakan formula Cramer kita dapati:
;
.

Jadi, kami mendapati derivatif fungsi:
;
.
Mari kita integrasikan (lihat Kaedah untuk menyepadukan akar). Membuat penggantian
; ; ; .

.
.

;
.

Jawab

Contoh 2

Selesaikan persamaan pembezaan dengan kaedah variasi pemalar Lagrange:
(8)

Penyelesaian

Langkah 1. Menyelesaikan persamaan homogen

Kami menyelesaikan persamaan pembezaan homogen:

(9)
Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk . Kami menyusun persamaan ciri:

Persamaan ini mempunyai punca kompleks:
.
Sistem asas penyelesaian yang sepadan dengan akar ini mempunyai bentuk:
(10) .
Penyelesaian umum persamaan homogen (9):
(11) .

Langkah 2. Variasi pemalar - menggantikan pemalar dengan fungsi

Sekarang kita mengubah pemalar C 1 dan C 2 . Iaitu, kita menggantikan pemalar dalam (11) dengan fungsi:
.
Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal (8) dalam bentuk:
(12) .

Selanjutnya, kemajuan penyelesaian adalah sama seperti dalam contoh 1. Kami tiba di sistem seterusnya persamaan untuk menentukan fungsi dan:
(13) :
(14) .
Di sini.

Menyelesaikan sistem persamaan

Jom selesaikan sistem ini. Mari kita tuliskan ungkapan untuk fungsi dan:
.
Daripada jadual derivatif kita dapati:
;
.

Kami menyelesaikan sistem persamaan (13-14) menggunakan kaedah Cramer. Penentu matriks sistem:

.
Menggunakan formula Cramer kita dapati:
;
.

.
Oleh kerana , tanda modulus di bawah tanda logaritma boleh diabaikan. Darabkan pengangka dan penyebut dengan:
.
Kemudian
.

Penyelesaian umum kepada persamaan asal:


.

Persamaan pembezaan linear bagi urutan kedua dipanggil persamaan bentuk

y"" + hlm(x)y" + q(x)y = f(x) ,

di mana y ialah fungsi yang ditemui, dan hlm(x) , q(x) Dan f(x) - fungsi berterusan pada selang waktu tertentu ( a, b) .

Jika bahagian kanan persamaan ialah sifar ( f(x) = 0), maka persamaan dipanggil persamaan homogen linear . Bahagian praktikal pelajaran ini terutamanya akan ditumpukan kepada persamaan tersebut. Jika bahagian kanan persamaan tidak sama dengan sifar ( f(x) ≠ 0), maka persamaan itu dipanggil .

Dalam masalah kita dikehendaki menyelesaikan persamaan untuk y"" :

y"" = −hlm(x)y" − q(x)y + f(x) .

Persamaan pembezaan linear tertib kedua mempunyai penyelesaian yang unik Masalah cauchy .

Persamaan pembezaan homogen linear tertib kedua dan penyelesaiannya

Pertimbangkan persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear:

y"" + hlm(x)y" + q(x)y = 0 .

Jika y1 (x) Dan y2 (x) adalah penyelesaian tertentu bagi persamaan ini, maka pernyataan berikut adalah benar:

1) y1 (x) + y 2 (x) - juga merupakan penyelesaian kepada persamaan ini;

2) Cy1 (x) , Di mana C- pemalar arbitrari (malar), juga merupakan penyelesaian kepada persamaan ini.

Daripada dua penyataan ini ia mengikuti bahawa fungsi

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

juga merupakan penyelesaian kepada persamaan ini.

Persoalan yang adil timbul: adakah penyelesaian ini penyelesaian umum persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear , iaitu, penyelesaian sedemikian di mana, untuk nilai yang berbeza C1 Dan C2 Adakah mungkin untuk mendapatkan semua penyelesaian yang mungkin untuk persamaan?

Jawapan kepada soalan ini ialah: mungkin, tetapi dalam keadaan tertentu. ini syarat pada sifat apa yang harus ada pada penyelesaian tertentu y1 (x) Dan y2 (x) .

Dan syarat ini dipanggil syarat kemerdekaan linear penyelesaian peribadi.

Teorem. Fungsi C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) ialah penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear jika fungsinya y1 (x) Dan y2 (x) bebas linear.

Definisi. Fungsi y1 (x) Dan y2 (x) dipanggil bebas linear jika nisbahnya ialah malar bukan sifar:

y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Walau bagaimanapun, penentuan mengikut takrifan sama ada fungsi ini bebas secara linear selalunya sangat sukar. Terdapat cara untuk mewujudkan kebebasan linear menggunakan penentu Wronski W(x) :

Jika penentu Wronski tidak sama dengan sifar, maka penyelesaiannya adalah bebas secara linear . Jika penentu Wronski ialah sifar, maka penyelesaiannya adalah bergantung secara linear.

Contoh 1. Cari penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear.

Penyelesaian. Kami menyepadukan dua kali dan, seperti yang mudah dilihat, agar perbezaan antara derivatif kedua fungsi dan fungsi itu sendiri adalah sama dengan sifar, penyelesaian mesti dikaitkan dengan eksponen yang terbitannya sama dengan dirinya sendiri. Iaitu, penyelesaian separa adalah dan .

Sejak penentu Wronski

tidak sama dengan sifar, maka penyelesaian ini bebas secara linear. Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan ini boleh ditulis sebagai

.

Persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar: teori dan amalan

Persamaan pembezaan homogen linear tertib kedua dengan pekali malar dipanggil persamaan bentuk

y"" + py" + qy = 0 ,

di mana hlm Dan q- nilai malar.

Fakta bahawa ini adalah persamaan tertib kedua ditunjukkan oleh kehadiran derivatif kedua bagi fungsi yang dikehendaki, dan kehomogenannya ditunjukkan oleh sifar di sebelah kanan. Nilai-nilai yang telah disebutkan di atas dipanggil pekali malar.

Kepada menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar , anda mesti terlebih dahulu menyelesaikan apa yang dipanggil persamaan ciri bentuk

k² + pq + q = 0 ,

yang, seperti yang dapat dilihat, ialah persamaan kuadratik biasa.

Bergantung pada penyelesaian persamaan ciri, tiga pilihan berbeza adalah mungkin penyelesaian kepada persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar , yang kini akan kami analisis. Untuk kepastian lengkap, kami akan menganggap bahawa semua penyelesaian tertentu telah diuji oleh penentu Wronski dan ia tidak sama dengan sifar dalam semua kes. Mereka yang meraguinya, bagaimanapun, boleh menyemaknya sendiri.

Punca-punca persamaan ciri adalah nyata dan berbeza

Dalam kata lain, . Dalam kes ini, penyelesaian kepada persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar mempunyai bentuk

.

Contoh 2. Selesaikan persamaan pembezaan homogen linear

.

Contoh 3. Selesaikan persamaan pembezaan homogen linear

.

Penyelesaian. Persamaan ciri mempunyai bentuk, akar-akarnya dan nyata dan berbeza. Penyelesaian separa yang sepadan bagi persamaan ialah: dan . Penyelesaian umum persamaan pembezaan ini mempunyai bentuk

.

Punca-punca persamaan ciri adalah nyata dan sama

Itu dia, . Dalam kes ini, penyelesaian kepada persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar mempunyai bentuk

.

Contoh 4. Selesaikan persamaan pembezaan homogen linear

.

Penyelesaian. Persamaan ciri mempunyai akar yang sama. Penyelesaian separa yang sepadan bagi persamaan ialah: dan . Penyelesaian umum persamaan pembezaan ini mempunyai bentuk

Contoh 5. Selesaikan persamaan pembezaan homogen linear

.

Penyelesaian. Persamaan ciri mempunyai punca yang sama. Penyelesaian separa yang sepadan bagi persamaan ialah: dan . Penyelesaian umum persamaan pembezaan ini mempunyai bentuk

Institusi pendidikan "Negara Belarusia

Akademi pertanian"

Jabatan Matematik Tinggi

Garis panduan

untuk mengkaji topik "Persamaan pembezaan linear urutan kedua" oleh pelajar fakulti perakaunan pendidikan surat-menyurat (NISPO)

Gorki, 2013

Persamaan pembezaan linear

tertib kedua dengan pemalarpekali

Persamaan pembezaan homogen linear

Persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar dipanggil persamaan bentuk

mereka. persamaan yang mengandungi fungsi yang dikehendaki dan derivatifnya hanya pada tahap pertama dan tidak mengandungi hasil keluarannya. Dalam persamaan ini Dan
- beberapa nombor, dan fungsi
diberikan pada selang waktu tertentu
.

Jika
pada selang waktu
, maka persamaan (1) akan mengambil bentuk

, (2)

dan dipanggil homogen linear . Jika tidak, persamaan (1) dipanggil linear tidak homogen .

Pertimbangkan fungsi kompleks

, (3)

di mana
Dan
- fungsi sebenar. Jika fungsi (3) ialah penyelesaian kompleks kepada persamaan (2), maka bahagian sebenar
, dan bahagian khayalan
penyelesaian
secara berasingan ialah penyelesaian daripada persamaan homogen yang sama. Justeru, segala-galanya penyelesaian menyeluruh persamaan (2) menjana dua penyelesaian sebenar kepada persamaan ini.

Penyelesaian homogen persamaan linear mempunyai sifat:

Jika ialah penyelesaian kepada persamaan (2), kemudian fungsinya
, Di mana DENGAN– pemalar arbitrari juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (2);

Jika Dan terdapat penyelesaian kepada persamaan (2), kemudian fungsinya
juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (2);

Jika Dan terdapat penyelesaian kepada persamaan (2), kemudian gabungan linearnya
juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (2), di mana Dan
– pemalar sewenang-wenangnya.

Fungsi
Dan
dipanggil bergantung secara linear pada selang waktu
, jika nombor sedemikian wujud Dan
, tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, bahawa pada selang ini kesamaan

Jika kesamaan (4) berlaku hanya apabila
Dan
, kemudian fungsi
Dan
dipanggil bebas linear pada selang waktu
.

Contoh 1 . Fungsi
Dan
adalah bergantung secara linear, kerana
pada keseluruhan garis nombor. Dalam contoh ini
.

Contoh 2 . Fungsi
Dan
adalah bebas secara linear pada sebarang selang, kerana kesamaan
hanya mungkin dalam kes apabila
, Dan
.

Pembinaan penyelesaian umum homogen linear

persamaan

Untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan (2), anda perlu mencari dua daripada penyelesaian bebas linearnya Dan . Gabungan linear penyelesaian ini
, Di mana Dan
adalah pemalar arbitrari, dan akan memberikan penyelesaian umum kepada persamaan homogen linear.

Kami akan mencari penyelesaian bebas linear kepada persamaan (2) dalam bentuk

, (5)

di mana - nombor tertentu. Kemudian
,
. Mari kita gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (2):

atau
.

Kerana
, Itu
. Jadi fungsinya
akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (2) jika akan memenuhi persamaan

. (6)

Persamaan (6) dipanggil persamaan ciri untuk persamaan (2). Persamaan ini ialah persamaan kuadratik algebra.

biarlah Dan terdapat punca-punca persamaan ini. Mereka boleh sama ada nyata dan berbeza, atau kompleks, atau nyata dan sama. Mari kita pertimbangkan kes-kes ini.

Biarkan akar Dan persamaan ciri adalah nyata dan berbeza. Maka penyelesaian kepada persamaan (2) akan menjadi fungsi
Dan
. Penyelesaian ini adalah bebas secara linear, kerana kesamaan
hanya boleh dijalankan apabila
, Dan
. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (2) mempunyai bentuk

,

di mana Dan
- pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh 3
.

Penyelesaian . Persamaan ciri untuk pembezaan ini ialah
. Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik ini, kita dapati puncanya
Dan
. Fungsi
Dan
adalah penyelesaian kepada persamaan pembezaan. Penyelesaian umum bagi persamaan ini ialah
.

Nombor kompleks dipanggil ungkapan bentuk
, Di mana Dan ialah nombor nyata, dan
dipanggil unit khayalan. Jika
, kemudian nombor
dipanggil khayalan semata-mata. Jika
, kemudian nombor
dikenal pasti dengan nombor nyata .

Nombor dipanggil bahagian nyata nombor kompleks, dan - bahagian khayalan. Jika dua nombor kompleks berbeza antara satu sama lain hanya dengan tanda bahagian khayalan, maka ia dipanggil konjugat:
,
.

Contoh 4 . Selesaikan persamaan kuadratik
.

Penyelesaian . Persamaan diskriminasi
. Kemudian. Begitu juga,
. Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai punca konjugat kompleks.

Biarkan punca-punca persamaan ciri menjadi kompleks, i.e.
,
, Di mana
. Penyelesaian persamaan (2) boleh ditulis dalam bentuk
,
atau
,
. Mengikut formula Euler

,
.

Kemudian ,. Seperti yang diketahui, jika fungsi kompleks ialah penyelesaian kepada persamaan homogen linear, maka penyelesaian kepada persamaan ini adalah kedua-dua bahagian nyata dan khayalan bagi fungsi ini. Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan (2) akan menjadi fungsi
Dan
. Sejak kesaksamaan

hanya boleh dilaksanakan jika
Dan
, maka penyelesaian ini adalah bebas linear. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (2) mempunyai bentuk

di mana Dan
- pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh 5 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan
adalah ciri pembezaan tertentu. Mari selesaikan dan dapatkan akar yang kompleks
,
. Fungsi
Dan
adalah penyelesaian bebas linear bagi persamaan pembezaan. Penyelesaian umum untuk persamaan ini ialah:

Biarkan punca persamaan ciri adalah nyata dan sama, i.e.
. Maka penyelesaian kepada persamaan (2) ialah fungsi
Dan
. Penyelesaian ini adalah bebas secara linear, kerana ungkapan boleh sama dengan sifar hanya apabila
Dan
. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (2) mempunyai bentuk
.

Contoh 6 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan ciri
mempunyai akar yang sama
. Dalam kes ini, penyelesaian bebas linear kepada persamaan pembezaan ialah fungsi
Dan
. Penyelesaian umum mempunyai bentuk
.

Persamaan pembezaan linear tak homogen tertib kedua dengan pekali malar

dan bahagian kanan yang istimewa

Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear (1) adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian am
persamaan homogen yang sepadan dan sebarang penyelesaian tertentu
persamaan tak homogen:
.

Dalam sesetengah kes, penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen boleh didapati dengan mudah melalui bentuk sebelah kanan.
persamaan (1). Mari kita lihat kes di mana ini mungkin.

mereka. sebelah kanan persamaan tak homogen ialah polinomial darjah m. Jika
bukan punca persamaan ciri, maka penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen perlu dicari dalam bentuk polinomial darjah m, iaitu

Kemungkinan
ditentukan dalam proses mencari penyelesaian tertentu.

Jika
ialah punca persamaan ciri, maka penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen perlu dicari dalam bentuk

Contoh 7 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan homogen yang sepadan untuk persamaan ini ialah
. Persamaan cirinya
mempunyai akar
Dan
. Penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk
.

Kerana
bukan punca persamaan ciri, maka kita akan mencari penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen dalam bentuk fungsi
. Mari cari derivatif fungsi ini
,
dan gantikannya ke dalam persamaan ini:

atau . Mari kita samakan pekali untuk dan ahli percuma:
Setelah membuat keputusan sistem ini, kita mendapatkan
,
. Kemudian penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen mempunyai bentuk
, dan penyelesaian am bagi persamaan tak homogen yang diberikan ialah hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen sepadan dan penyelesaian khusus bagi persamaan tak homogen:
.

Biarkan persamaan tak homogen mempunyai bentuk

Jika
bukan punca persamaan ciri, maka penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen perlu dicari dalam bentuk. Jika
ialah punca persamaan kepelbagaian ciri k (k=1 atau k=2), maka dalam kes ini penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen akan mempunyai bentuk .

Contoh 8 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian . Persamaan ciri untuk persamaan homogen yang sepadan mempunyai bentuk
. Akarnya
,
. Dalam kes ini, penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan ditulis dalam bentuk
.

Oleh kerana nombor 3 bukan punca persamaan ciri, penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen harus dicari dalam bentuk
. Mari cari derivatif bagi pesanan pertama dan kedua:

Mari kita gantikan ke dalam persamaan pembezaan:
+ +,
+,.

Mari kita samakan pekali untuk dan ahli percuma:

Dari sini
,
. Kemudian penyelesaian tertentu untuk persamaan ini mempunyai bentuk
, dan penyelesaian umum

.

Kaedah Lagrange variasi pemalar arbitrari

Kaedah mempelbagaikan pemalar arbitrari boleh digunakan pada mana-mana persamaan linear tak homogen dengan pekali malar, tanpa mengira jenis bahagian sebelah kanan. Kaedah ini membolehkan anda sentiasa mencari penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen jika penyelesaian umum kepada persamaan homogen sepadan diketahui.

biarlah
Dan
adalah penyelesaian bebas linear bagi persamaan (2). Maka penyelesaian umum bagi persamaan ini ialah
, Di mana Dan
- pemalar sewenang-wenangnya. Intipati kaedah mempelbagaikan pemalar arbitrari ialah penyelesaian umum kepada persamaan (1) dicari dalam bentuk

di mana
Dan
- fungsi baru yang tidak diketahui yang perlu dicari. Oleh kerana terdapat dua fungsi yang tidak diketahui, untuk mencarinya, dua persamaan yang mengandungi fungsi ini diperlukan. Kedua-dua persamaan ini membentuk sistem

yang merupakan sistem persamaan algebra linear berkenaan dengan
Dan
. Menyelesaikan sistem ini, kami dapati
Dan
. Mengintegrasikan kedua-dua belah kesamaan yang diperolehi, kita dapati

Dan
.

Menggantikan ungkapan ini kepada (9), kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan linear tak homogen (1).

Contoh 9 . Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan
.

Penyelesaian. Persamaan ciri bagi persamaan homogen yang sepadan dengan persamaan pembezaan yang diberikan ialah
. Akarnya kompleks
,
. Kerana
Dan
, Itu
,
, dan penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk. Kemudian kita akan mencari penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen ini dalam bentuk di mana
Dan
- fungsi yang tidak diketahui.

Sistem persamaan untuk mencari fungsi yang tidak diketahui ini mempunyai bentuk

Setelah menyelesaikan sistem ini, kami dapati
,
. Kemudian

,
. Marilah kita menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam formula untuk penyelesaian umum:

Ini ialah penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan ini, diperoleh menggunakan kaedah Lagrange.

Soalan untuk mengawal diri pengetahuan

Persamaan pembezaan yang manakah dipanggil persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar?

Persamaan pembezaan linear yang manakah dipanggil homogen dan yang manakah dipanggil tidak homogen?

Apakah sifat yang dimiliki oleh persamaan homogen linear?

Apakah persamaan yang dipanggil ciri untuk persamaan pembezaan linear dan bagaimana ia diperoleh?

Dalam bentuk apakah penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar ditulis dalam kes punca berlainan persamaan ciri?

Dalam bentuk apakah penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar ditulis dalam kes punca yang sama bagi persamaan ciri?

Dalam bentuk apakah penyelesaian am bagi persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar ditulis dalam kes punca kompleks persamaan ciri?

Bagaimanakah penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear ditulis?

Dalam bentuk apakah penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen linear dicari jika punca-punca persamaan ciri adalah berbeza dan tidak sama dengan sifar, dan bahagian kanan persamaan ialah polinomial darjah m?

Dalam bentuk apakah penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen linear dicari jika terdapat satu sifar di antara punca persamaan ciri dan bahagian kanan persamaan ialah polinomial darjah m?

Apakah intipati kaedah Lagrange?

Perenggan ini akan membincangkan kes istimewa persamaan linear tertib kedua, apabila pekali persamaan adalah malar, iaitu nombor. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan dengan pekali malar. Persamaan jenis ini mendapati aplikasi yang sangat luas.

1. Persamaan pembezaan homogen linear

tertib kedua dengan pekali malar

Pertimbangkan persamaan

di mana pekali adalah malar. Dengan mengandaikan bahawa membahagikan semua sebutan persamaan dengan dan menandakan

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk

Seperti yang diketahui, untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan tertib kedua homogen linear, cukup untuk mengetahuinya. sistem asas penyelesaian peribadi. Mari kita tunjukkan cara mencari sistem asas penyelesaian separa untuk persamaan pembezaan linear homogen dengan pekali malar. Kami akan mencari penyelesaian khusus untuk persamaan ini dalam bentuk

Membezakan fungsi ini dua kali dan menggantikan ungkapan ke dalam persamaan (59), kita perolehi

Oleh kerana , maka, mengurangkan dengan kita mendapat persamaan

Daripada persamaan ini, nilai-nilai k ditentukan yang mana fungsi itu akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (59).

Persamaan algebra (61) untuk menentukan pekali k dipanggil persamaan ciri bagi persamaan pembezaan ini (59).

Persamaan ciri ialah persamaan darjah kedua dan oleh itu mempunyai dua punca. Akar-akar ini boleh sama ada nyata berbeza, nyata dan sama, atau konjugat kompleks.

Mari kita pertimbangkan apakah bentuk sistem asas penyelesaian tertentu dalam setiap kes ini.

1. Punca-punca persamaan ciri adalah nyata dan berbeza: . Dalam kes ini, menggunakan formula (60) kita dapati dua penyelesaian separa:

Kedua-dua penyelesaian tertentu ini membentuk sistem asas penyelesaian pada keseluruhan paksi berangka, kerana penentu Wronski tidak hilang di mana-mana:

Akibatnya, penyelesaian umum persamaan mengikut formula (48) mempunyai bentuk

2. Punca-punca persamaan ciri adalah sama: . Dalam kes ini, kedua-dua akar akan menjadi nyata. Menggunakan formula (60), kita memperoleh hanya satu penyelesaian tertentu

Mari kita tunjukkan bahawa penyelesaian khusus kedua, yang bersama-sama dengan yang pertama membentuk sistem asas, mempunyai bentuk

Pertama sekali, mari kita semak bahawa fungsi itu adalah penyelesaian kepada persamaan (59). sungguh,

Tetapi, kerana terdapat punca persamaan ciri (61). Di samping itu, menurut teorem Vieta, oleh itu . Akibatnya, , iaitu, fungsi itu sememangnya penyelesaian kepada persamaan (59).

Mari kita tunjukkan sekarang bahawa penyelesaian separa yang ditemui membentuk sistem penyelesaian asas. sungguh,

Oleh itu, dalam kes ini penyelesaian umum persamaan linear homogen mempunyai bentuk

3. Punca-punca persamaan ciri adalah kompleks. Seperti yang diketahui, akar kompleks persamaan kuadratik dengan pekali nyata ialah konjugat nombor kompleks, iaitu mereka kelihatan seperti: . Dalam kes ini, penyelesaian separa persamaan (59), mengikut formula (60), akan mempunyai bentuk:

Menggunakan formula Euler (lihat Bab XI, § 5, perenggan 3), ungkapan untuk boleh ditulis sebagai:

Penyelesaian ini adalah menyeluruh. Untuk mendapatkan penyelesaian yang sah, pertimbangkan fungsi baharu

Ia adalah gabungan linear penyelesaian dan, oleh itu, adalah penyelesaian kepada persamaan (59) (lihat § 3, item 2, Teorem 1).

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penentu Wronski untuk penyelesaian ini adalah bukan sifar dan, oleh itu, penyelesaian membentuk sistem asas penyelesaian.

Oleh itu, penyelesaian umum persamaan pembezaan linear homogen dalam kes punca kompleks persamaan ciri mempunyai bentuk

Kesimpulannya, kami membentangkan jadual formula untuk penyelesaian umum persamaan (59) bergantung kepada jenis punca persamaan ciri.