Terdapat 2 contoh pesanan. Persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar

Pertimbangkan persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar:
(1) .
Penyelesaiannya boleh didapati dengan mengikuti kaedah umum pengurangan pesanan.

Walau bagaimanapun, lebih mudah untuk mendapatkan sistem asas dengan segera n penyelesaian bebas linear dan berdasarkannya mencipta penyelesaian umum. Dalam kes ini, keseluruhan prosedur penyelesaian dikurangkan kepada langkah seterusnya.

Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan (1) dalam bentuk . Kita mendapatkan persamaan ciri :
(2) .
Ia mempunyai n akar. Kami menyelesaikan persamaan (2) dan mencari puncanya. Kemudian persamaan ciri (2) boleh diwakili dalam bentuk berikut:
(3) .
Setiap punca sepadan dengan salah satu penyelesaian bebas linear bagi sistem asas penyelesaian kepada persamaan (1). Kemudian penyelesaian umum persamaan asal(1) mempunyai bentuk:
(4) .

Akar sebenar

Mari kita pertimbangkan akar sebenar. Biarkan akarnya tunggal. Iaitu, faktor memasuki persamaan ciri (3) sekali sahaja. Kemudian akar ini sepadan dengan penyelesaian
.

Biarkan menjadi punca gandaan bagi gandaan p. Itu dia
. Dalam kes ini, pengganda ialah p kali:
.
Punca-punca berbilang (sama) ini sepadan dengan p penyelesaian bebas linear bagi persamaan asal (1):
; ; ; ...; .

Akar kompleks

Pertimbangkan akar kompleks. Mari kita nyatakan akar kompleks dari segi bahagian nyata dan khayalan:
.
Oleh kerana pekali asal adalah nyata, maka sebagai tambahan kepada akar terdapat akar konjugat kompleks
.

Biarkan akar kompleks menjadi berbilang. Kemudian sepasang akar sepadan dengan dua penyelesaian bebas linear:
; .

Biarkan menjadi punca berbilang kompleks bagi kepelbagaian p. Kemudian nilai konjugat kompleks juga merupakan punca persamaan ciri kedaraban p dan pengganda memasuki p kali:
.
ini 2p akar sepadan 2p penyelesaian bebas linear:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Selepas sistem asas penyelesaian bebas linear ditemui, kami memperoleh penyelesaian umum.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 1

Selesaikan persamaan:
.

Penyelesaian

.
Mari kita mengubahnya:
;
;
.

Mari kita lihat punca-punca persamaan ini. Kami mendapat empat punca kompleks multiplicity 2:
; .
Mereka sepadan dengan empat penyelesaian bebas linear bagi persamaan asal:
; ; ; .

Kami juga mempunyai tiga punca sebenar berbilang 3:
.
Mereka sepadan dengan tiga penyelesaian bebas linear:
; ; .

Keputusan bersama persamaan asal mempunyai bentuk:
.

Jawab

Contoh 2

Selesaikan persamaan

Penyelesaian

Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk . Kami menyusun persamaan ciri:
.
Menyelesaikan persamaan kuadratik.
.

Kami mendapat dua akar kompleks:
.
Mereka sepadan dengan dua penyelesaian bebas linear:
.
Penyelesaian umum kepada persamaan:
.

Dalam beberapa masalah fizik, tidak mungkin untuk mewujudkan hubungan langsung antara kuantiti yang menerangkan proses. Tetapi adalah mungkin untuk mendapatkan kesamaan yang mengandungi derivatif fungsi yang dikaji. Ini adalah bagaimana mereka timbul persamaan pembezaan dan keperluan untuk menyelesaikannya untuk mencari fungsi yang tidak diketahui.

Artikel ini bertujuan untuk mereka yang berhadapan dengan masalah menyelesaikan persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi satu pembolehubah. Teori ini distrukturkan sedemikian rupa sehingga dengan pengetahuan sifar tentang persamaan pembezaan, anda boleh mengatasi tugas anda.

Setiap jenis persamaan pembezaan dikaitkan dengan kaedah penyelesaian dengan penjelasan terperinci dan penyelesaian kepada contoh dan masalah biasa. Apa yang anda perlu lakukan ialah menentukan jenis persamaan pembezaan masalah anda, cari contoh yang dianalisis yang serupa dan lakukan tindakan yang serupa.

Untuk berjaya menyelesaikan persamaan pembezaan, anda juga memerlukan keupayaan untuk mencari set antiderivatif ( kamiran tak tentu) pelbagai fungsi. Jika perlu, kami mengesyorkan anda merujuk kepada bahagian tersebut.

Pertama, kita akan mempertimbangkan jenis persamaan pembezaan biasa tertib pertama yang boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan, kemudian kita akan beralih kepada ODE tertib kedua, kemudian kita akan memikirkan persamaan peringkat tinggi dan berakhir dengan sistem persamaan pembezaan.

Ingat bahawa jika y ialah fungsi hujah x.

Persamaan pembezaan tertib pertama.

Persamaan pembezaan termudah bagi susunan pertama bentuk.

Mari tuliskan beberapa contoh alat kawalan jauh tersebut .

Persamaan pembezaan boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan dengan membahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan f(x) . Dalam kes ini, kita sampai pada persamaan yang akan bersamaan dengan persamaan asal untuk f(x) ≠ 0. Contoh ODE tersebut ialah .

Jika terdapat nilai hujah x di mana fungsi f(x) dan g(x) hilang serentak, maka penyelesaian tambahan muncul. Penyelesaian tambahan kepada persamaan diberi x ialah sebarang fungsi yang ditakrifkan untuk nilai hujah ini. Contoh persamaan pembezaan tersebut termasuk:

Persamaan pembezaan tertib kedua.

Persamaan pembezaan homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

LDE dengan pekali malar adalah jenis persamaan pembezaan yang sangat biasa. Penyelesaian mereka tidak begitu sukar. Pertama, punca persamaan ciri ditemui . Untuk p dan q yang berbeza, tiga kes mungkin: punca persamaan ciri boleh nyata dan berbeza, nyata dan bertepatan atau konjugat kompleks. Bergantung pada nilai punca persamaan ciri, penyelesaian umum persamaan pembezaan ditulis sebagai , atau , atau masing-masing.

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar. Punca-punca persamaan cirinya ialah k 1 = -3 dan k 2 = 0. Akar adalah nyata dan berbeza, oleh itu, penyelesaian umum LODE dengan pekali malar mempunyai bentuk


Persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

Penyelesaian umum LDDE tertib kedua dengan pekali malar y dicari dalam bentuk jumlah penyelesaian umum LDDE yang sepadan. dan penyelesaian tertentu kepada yang asal tidak persamaan homogen, itu dia, . Perenggan sebelumnya dikhaskan untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan homogen dengan pekali malar. Dan penyelesaian tertentu ditentukan sama ada dengan kaedah pekali tak tentu untuk bentuk tertentu fungsi f(x) di sebelah kanan persamaan asal, atau dengan kaedah mengubah pemalar arbitrari.

Sebagai contoh LDDE tertib kedua dengan pekali malar, kami berikan


Untuk memahami teori dan membiasakan diri dengan penyelesaian terperinci contoh, kami menawarkan anda pada halaman persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar.

Persamaan pembezaan homogen linear (LODE) dan persamaan pembezaan tak homogen linear (LNDE) tertib kedua.

Satu kes khas persamaan pembezaan jenis ini ialah LODE dan LDDE dengan pekali malar.

Penyelesaian am LODE pada segmen tertentu diwakili oleh gabungan linear dua penyelesaian separa bebas linear y 1 dan y 2 persamaan ini, iaitu, .

Kesukaran utama terletak tepat dalam mencari penyelesaian separa bebas linear kepada persamaan pembezaan jenis ini. Biasanya, penyelesaian tertentu dipilih secara linear daripada sistem berikut fungsi bebas:


Walau bagaimanapun, penyelesaian tertentu tidak selalu dibentangkan dalam borang ini.

Contoh LOD ialah .

Penyelesaian umum LDDE dicari dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum LDDE yang sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi persamaan pembezaan asal. Kami baru sahaja bercakap tentang mencarinya, tetapi ia boleh ditentukan menggunakan kaedah mengubah pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh LNDU boleh diberikan .

Persamaan pembezaan tertib yang lebih tinggi.

Persamaan pembezaan yang membenarkan pengurangan tertib.

Susunan persamaan pembezaan , yang tidak mengandungi fungsi yang diingini dan terbitannya sehingga tertib k-1, boleh dikurangkan kepada n-k dengan menggantikan .

Dalam kes ini, persamaan pembezaan asal akan dikurangkan kepada . Selepas mencari penyelesaiannya p(x), ia kekal untuk kembali kepada penggantian dan menentukan fungsi y yang tidak diketahui.

Sebagai contoh, persamaan pembezaan selepas penggantian, ia akan menjadi persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, dan susunannya akan dikurangkan daripada ketiga kepada pertama.

Perenggan ini akan membincangkan kes istimewa persamaan linear tertib kedua, apabila pekali persamaan adalah malar, iaitu nombor. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan dengan pekali malar. Persamaan jenis ini mendapati aplikasi yang sangat luas.

1. Persamaan pembezaan homogen linear

tertib kedua dengan pekali malar

Pertimbangkan persamaan

di mana pekali adalah malar. Dengan mengandaikan bahawa membahagikan semua sebutan persamaan dengan dan menandakan

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk

Seperti yang diketahui, untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan tertib kedua homogen linear, cukup untuk mengetahui sistem asas penyelesaian separanya. Mari kita tunjukkan cara mencari sistem asas penyelesaian separa untuk persamaan pembezaan linear homogen dengan pekali malar. Kami akan mencari penyelesaian khusus untuk persamaan ini dalam bentuk

Membezakan fungsi ini dua kali dan menggantikan ungkapan ke dalam persamaan (59), kita perolehi

Oleh kerana , maka, mengurangkan dengan kita mendapat persamaan

Daripada persamaan ini, nilai-nilai k ditentukan yang mana fungsi itu akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (59).

Persamaan algebra (61) untuk menentukan pekali k dipanggil persamaan ciri bagi persamaan pembezaan ini (59).

Persamaan ciri adalah persamaan darjah kedua dan oleh itu mempunyai dua punca. Akar-akar ini boleh sama ada nyata berbeza, nyata dan sama, atau konjugat kompleks.

Mari kita pertimbangkan apakah bentuk sistem asas penyelesaian tertentu dalam setiap kes ini.

1. Punca-punca persamaan ciri adalah nyata dan berbeza: . Dalam kes ini, menggunakan formula (60) kita dapati dua penyelesaian separa:

Kedua-dua penyelesaian tertentu ini membentuk sistem asas penyelesaian pada keseluruhan paksi berangka, kerana penentu Wronski tidak hilang di mana-mana:

Akibatnya, penyelesaian umum persamaan mengikut formula (48) mempunyai bentuk

2. Punca-punca persamaan ciri adalah sama: . Dalam kes ini, kedua-dua akar akan menjadi nyata. Menggunakan formula (60), kita memperoleh hanya satu penyelesaian tertentu

Mari kita tunjukkan bahawa penyelesaian khusus kedua, yang bersama-sama dengan yang pertama membentuk sistem asas, mempunyai bentuk

Pertama sekali, mari kita semak bahawa fungsi itu adalah penyelesaian kepada persamaan (59). sungguh,

Tetapi, kerana terdapat punca persamaan ciri (61). Di samping itu, menurut teorem Vieta, Oleh itu. Akibatnya, , iaitu, fungsi itu sememangnya penyelesaian kepada persamaan (59).

Mari kita tunjukkan sekarang bahawa penyelesaian separa yang ditemui membentuk sistem penyelesaian asas. sungguh,

Oleh itu, dalam kes ini penyelesaian umum persamaan linear homogen mempunyai bentuk

3. Punca-punca persamaan ciri adalah kompleks. Seperti yang diketahui, punca kompleks persamaan kuadratik dengan pekali nyata adalah konjugat nombor kompleks, iaitu mereka kelihatan seperti: . Dalam kes ini, penyelesaian separa persamaan (59), mengikut formula (60), akan mempunyai bentuk:

Menggunakan formula Euler (lihat Bab XI, § 5, perenggan 3), ungkapan untuk boleh ditulis sebagai:

Penyelesaian ini adalah menyeluruh. Untuk mendapatkan penyelesaian yang sah, pertimbangkan fungsi baharu

Ia adalah gabungan linear penyelesaian dan, oleh itu, adalah penyelesaian kepada persamaan (59) (lihat § 3, item 2, Teorem 1).

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penentu Wronski untuk penyelesaian ini adalah bukan sifar dan, oleh itu, penyelesaian membentuk sistem asas penyelesaian.

Oleh itu, penyelesaian umum persamaan pembezaan linear homogen dalam kes punca kompleks persamaan ciri mempunyai bentuk

Sebagai kesimpulan, kami membentangkan jadual formula untuk penyelesaian umum persamaan (59) bergantung kepada jenis punca persamaan ciri.

Asas menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear (LNDE-2) dengan pekali malar (PC)

LDDE tertib ke-2 dengan pekali malar $p$ dan $q$ mempunyai bentuk $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, dengan $f\left(x \right)$ ialah fungsi berterusan.

Berkenaan dengan LNDU 2 dengan PC, dua kenyataan berikut adalah benar.

Mari kita andaikan bahawa sesetengah fungsi $U$ ialah penyelesaian separa arbitrari bagi persamaan pembezaan tak homogen. Mari kita juga andaikan bahawa sesetengah fungsi $Y$ ialah penyelesaian am (GS) bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Kemudian GR bagi LHDE-2 adalah sama dengan jumlah penyelesaian persendirian dan umum yang ditunjukkan, iaitu, $y=U+Y$.

Jika sebelah kanan LMDE tertib ke-2 ialah jumlah fungsi, iaitu, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \kanan)+. ..+f_(r) \kiri(x\kanan)$, maka mula-mula kita boleh mencari PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ yang sepadan kepada setiap fungsi $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, dan selepas itu tulis CR LNDU-2 dalam bentuk $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Penyelesaian LPDE pesanan kedua dengan PC

Jelas sekali bahawa jenis satu atau satu lagi PD $U$ bagi LNDU-2 tertentu bergantung pada bentuk khusus sebelah kanan $f\left(x\right)$. Kes paling mudah untuk mencari PD LNDU-2 dirumuskan dalam bentuk empat peraturan berikut.

Peraturan #1.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, iaitu, ia dipanggil polinomial darjah $ n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dengan $Q_(n) \left(x\right)$ ialah satu lagi polinomial yang darjah yang sama dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri LODE-2 yang sepadan yang sama dengan sifar. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah pekali tak tentu (UK).

Peraturan No. 2.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left( x\right)$ ialah polinomial darjah $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, di mana $Q_(n ) \ left(x\right)$ ialah polinomial lain yang sama darjah dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri bagi LODE-2 yang sepadan sama dengan $\alpha $. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.

Peraturan No. 3.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kanan) $, di mana $a$, $b$ dan $\beta$ berada nombor yang diketahui. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \kanan )\cdot x^(r) $, dengan $A$ dan $B$ ialah pekali yang tidak diketahui, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $i\cdot \beta $. Pekali $A$ dan $B$ didapati menggunakan kaedah tidak musnah.

Peraturan No. 4.

Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dengan $P_(n) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $ n$, dan $P_(m) \kiri(x\kanan)$ ialah polinomial darjah $m$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, di mana $Q_(s) \left(x\right)$ dan $ R_(s) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $s$, nombor $s$ ialah maksimum dua nombor $n$ dan $m$, dan $r$ ialah bilangan punca daripada persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $\alpha +i\cdot \beta $. Pekali polinomial $Q_(s) \left(x\right)$ dan $R_(s) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.

Kaedah NK terdiri daripada menggunakan peraturan berikut. Untuk mencari pekali polinomial yang tidak diketahui yang merupakan sebahagian daripada penyelesaian separa bagi persamaan pembezaan tak homogen LNDU-2, adalah perlu:

• gantikan PD $U$ yang ditulis Pandangan umum, V sebelah kiri LNDU-2;
• di sebelah kiri LNDU-2, lakukan penyederhanaan dan istilah kumpulan dengan kuasa yang sama $x$;
• dalam identiti yang terhasil, samakan pekali sebutan dengan kuasa yang sama $x$ sisi kiri dan kanan;
• menyelesaikan sistem persamaan linear yang terhasil untuk pekali yang tidak diketahui.

Contoh 1

Tugasan: cari ATAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\kiri(36\cdot x+12\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $. Cari juga PD , memenuhi syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$.

Kami menulis LOD-2 yang sepadan: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Persamaan ciri: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Punca-punca persamaan ciri ialah: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Akar-akar ini adalah sah dan berbeza. Oleh itu, OR bagi LODE-2 yang sepadan mempunyai bentuk: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Bahagian kanan LNDU-2 ini mempunyai bentuk $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Adalah perlu untuk mempertimbangkan pekali bagi eksponen $\alpha =3$. Pekali ini tidak bertepatan dengan mana-mana punca persamaan ciri. Oleh itu, PD LNDU-2 ini mempunyai bentuk $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Kami akan mencari pekali $A$, $B$ menggunakan kaedah NC.

Kami mendapati terbitan pertama Republik Czech:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami mendapati terbitan kedua Republik Czech:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot \kiri(e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\kiri(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami menggantikan fungsi $U""$, $U"$ dan $U$ bukannya $y""$, $y"$ dan $y$ ke dalam NLDE-2 $y""-3\cdot y" yang diberikan -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Selain itu, kerana eksponen $e^(3\cdot x)$ dimasukkan sebagai faktor dalam semua komponen, maka ia boleh ditinggalkan. Kami mendapat:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Kami melakukan tindakan di sebelah kiri kesamaan yang terhasil:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Kami menggunakan kaedah NDT. Kami memperoleh sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Penyelesaian kepada sistem ini ialah: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ untuk masalah kita kelihatan seperti ini: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ untuk masalah kami kelihatan seperti ini: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.

Untuk mencari PD yang memenuhi syarat awal yang diberikan, kita dapati derivatif $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami menggantikan kepada $y$ dan $y"$ syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Kami menerima sistem persamaan:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Jom selesaikan. Kami dapati $C_(1) $ menggunakan formula Cramer, dan $C_(2) $ kami tentukan daripada persamaan pertama:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ mula(tatasusunan)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \tamat(tatasusunan)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Oleh itu, PD bagi persamaan pembezaan ini mempunyai bentuk: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.

Di sini kita akan menggunakan kaedah variasi pemalar Lagrange untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear. Penerangan terperinci kaedah ini untuk menyelesaikan persamaan susunan arbitrari diterangkan pada halaman
Penyelesaian persamaan pembezaan tak homogen linear tertib lebih tinggi dengan kaedah Lagrange >>>.

Contoh 1

Selesaikan persamaan pembezaan tertib kedua dengan pekali malar menggunakan kaedah variasi pemalar Lagrange:
(1)

Penyelesaian

Mula-mula kita selesaikan persamaan pembezaan homogen:
(2)

Ini adalah persamaan tertib kedua.

Menyelesaikan persamaan kuadratik:
.
Akar berbilang: . Sistem asas penyelesaian kepada persamaan (2) mempunyai bentuk:
(3) .
Dari sini kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan homogen (2):
(4) .

Mengubah pemalar C 1 dan C 2 . Iaitu, kita menggantikan pemalar dalam (4) dengan fungsi:
.
Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal (1) dalam bentuk:
(5) .

Mencari terbitan:
.
Mari kita sambungkan fungsi dan persamaan:
(6) .
Kemudian
.

Kami mencari terbitan kedua:
.
Gantikan ke dalam persamaan asal (1):
(1) ;



.
Oleh kerana dan memenuhi persamaan homogen (2), jumlah sebutan dalam setiap lajur tiga baris terakhir memberikan sifar dan persamaan sebelumnya mengambil bentuk:
(7) .
Di sini.

Bersama-sama dengan persamaan (6) kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan fungsi dan:
(6) :
(7) .

Menyelesaikan sistem persamaan

Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7). Mari tuliskan ungkapan untuk fungsi dan:
.
Kami mencari derivatif mereka:
;
.

Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7) menggunakan kaedah Cramer. Kami mengira penentu matriks sistem:

.
Menggunakan formula Cramer kami dapati:
;
.

Jadi, kami mendapati derivatif fungsi:
;
.
Mari kita integrasikan (lihat Kaedah untuk menyepadukan akar). Membuat penggantian
; ; ; .

.
.

;
.

Jawab

Contoh 2

Selesaikan persamaan pembezaan dengan kaedah variasi pemalar Lagrange:
(8)

Penyelesaian

Langkah 1. Menyelesaikan persamaan homogen

Kami menyelesaikan persamaan pembezaan homogen:

(9)
Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk . Kami menyusun persamaan ciri:

Persamaan ini mempunyai punca kompleks:
.
Sistem asas penyelesaian yang sepadan dengan akar ini mempunyai bentuk:
(10) .
Penyelesaian umum persamaan homogen (9):
(11) .

Langkah 2. Variasi pemalar - menggantikan pemalar dengan fungsi

Sekarang kita mengubah pemalar C 1 dan C 2 . Iaitu, kita menggantikan pemalar dalam (11) dengan fungsi:
.
Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal (8) dalam bentuk:
(12) .

Selanjutnya, kemajuan penyelesaian adalah sama seperti dalam contoh 1. Kami tiba di sistem seterusnya persamaan untuk menentukan fungsi dan:
(13) :
(14) .
Di sini.

Menyelesaikan sistem persamaan

Jom selesaikan sistem ini. Mari kita tuliskan ungkapan untuk fungsi dan:
.
Daripada jadual derivatif kita dapati:
;
.

Kami menyelesaikan sistem persamaan (13-14) menggunakan kaedah Cramer. Penentu matriks sistem:

.
Menggunakan formula Cramer kami dapati:
;
.

.
Oleh kerana , tanda modulus di bawah tanda logaritma boleh diabaikan. Darabkan pengangka dan penyebut dengan:
.
Kemudian
.

Penyelesaian umum kepada persamaan asal:


.