Mula-mula, mari kita bercakap sedikit tentang pernyataan masalah dalam Pandangan umum, dan kemudian beralih kepada contoh penyepaduan melalui penggantian. Katakan kita mempunyai kamiran tertentu $\int g(x) \; dx$. Walau bagaimanapun, jadual kamiran tidak mengandungi formula yang diperlukan, dan tidak mungkin untuk memisahkan kamiran yang diberikan kepada beberapa jadual (iaitu, pengamiran langsung dihapuskan). Walau bagaimanapun, masalah akan diselesaikan jika kita berjaya mencari penggantian tertentu $u=\varphi(x)$ yang akan mengurangkan kamiran $\int g(x) \; dx$ kepada beberapa kamiran jadual $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Selepas menggunakan formula $\int f(u)\; du=F(u)+C$ apa yang perlu kita lakukan ialah mengembalikan pembolehubah $x$ kembali. Secara formal, ini boleh ditulis seperti ini:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Masalahnya ialah bagaimana untuk memilih penggantian seperti $u$. Untuk melakukan ini, anda memerlukan pengetahuan, pertama, tentang jadual terbitan dan keupayaan untuk menggunakannya untuk membezakan fungsi kompleks, dan kedua, jadual kamiran tak tentu. Di samping itu, kami sangat memerlukan formula, yang akan saya tuliskan di bawah. Jika $y=f(x)$, maka:

\begin(equation)dy=y"dx\end(equation)

Itu. pembezaan bagi sesetengah fungsi adalah sama dengan terbitan bagi fungsi ini didarab dengan pembezaan pembolehubah bebas. Peraturan ini sangat penting, dan peraturan inilah yang akan membolehkan anda menggunakan kaedah penggantian. Di sini kami akan menunjukkan beberapa kes khas yang diperoleh daripada formula (1). Biarkan $y=x+C$, dengan $C$ ialah pemalar tertentu (nombor, mudah sahaja). Kemudian, menggantikan ungkapan $x+C$ ke dalam formula (1) dan bukannya $y$, kami memperoleh yang berikut:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Oleh kerana $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, formula di atas akan menjadi:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Mari kita tulis hasil yang diperoleh secara berasingan, i.e.

\begin(persamaan)dx=d(x+C)\end(persamaan)

Formula yang terhasil bermakna menambah pemalar di bawah pembezaan tidak mengubah pembezaan ini, i.e. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ dan seterusnya.

Mari lihat satu lagi kes istimewa untuk formula (1). Biarkan $y=Cx$, dengan $C$, sekali lagi, adalah beberapa pemalar. Mari cari pembezaan fungsi ini dengan menggantikan ungkapan $Cx$ dan bukannya $y$ ke dalam formula (1):

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Oleh kerana $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, maka formula di atas $d(Cx)=(Cx)"dx$ akan menjadi: $d(Cx)=Cdx $ . Jika kita membahagikan kedua-dua belah formula ini dengan $C$ (dengan andaian $C\neq 0$), kita mendapat $\frac(d(Cx))(C)=dx$ Hasil ini boleh ditulis semula dalam bentuk yang sedikit berbeza. :

\begin(persamaan)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(persamaan)

Formula yang terhasil mencadangkan bahawa mendarab ungkapan di bawah pembezaan dengan beberapa pemalar bukan sifar memerlukan pengenalan pengganda sepadan yang mengimbangi pendaraban tersebut. Contohnya, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

Dalam contoh No. 1 dan No. 2, formula (2) dan (3) akan dipertimbangkan secara terperinci.

Nota tentang formula

Topik ini akan menggunakan kedua-dua formula 1-3 dan formula daripada jadual kamiran tak tentu, yang juga mempunyai nombornya sendiri. Untuk mengelakkan kekeliruan, mari kita bersetuju dengan perkara berikut: jika teks "guna formula No. 1" muncul dalam topik, maka ia secara literal bermaksud yang berikut: "gunakan formula No. 1, terdapat pada halaman ini". Jika kita memerlukan formula daripada jadual kamiran, maka kami akan menentukannya secara berasingan setiap kali. Contohnya, seperti ini: "kami menggunakan formula No. 1 daripada jadual kamiran."

Dan satu lagi nota kecil

Sebelum mula bekerja dengan contoh, adalah disyorkan agar anda membiasakan diri dengan bahan yang dibentangkan dalam topik sebelumnya yang ditumpukan kepada konsep kamiran tak tentu dan. Penyampaian bahan dalam topik ini adalah berdasarkan maklumat yang diberikan dalam topik yang disebutkan.

Contoh No 1

Cari $\int \frac(dx)(x+4)$.

Jika kita beralih kepada , kita tidak dapat mencari formula yang betul-betul sepadan dengan integral $\int \frac(dx)(x+4)$. Formula No. 2 jadual kamiran adalah paling hampir dengan kamiran ini, i.e. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Masalahnya ialah ini: formula $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ mengandaikan bahawa dalam kamiran $\int \frac(du)(u)$ ungkapan dalam penyebut dan di bawah pembezaan mestilah sama (kedua-duanya mempunyai huruf $u$ yang sama). Dalam kes kami, dalam $\int \frac(dx)(x+4)$, huruf $x$ berada di bawah pembezaan, dan ungkapan $x+4$ berada dalam penyebut, i.e. Terdapat percanggahan yang jelas dengan formula jadual. Mari cuba "memastikan" kamiran kami dengan jadual. Apakah yang berlaku jika kita menggantikan $x+4$ untuk pembezaan dan bukannya $x$? Untuk menjawab soalan ini, mari gunakan , menggantikan ungkapan $x+4$ dan bukannya $y$:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Oleh kerana $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, maka kesamaan $ d(x+4)=(x+4)"dx $ menjadi:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Jadi $dx=d(x+4)$. Sejujurnya, keputusan yang sama boleh diperolehi dengan hanya menggantikan nombor $4$ menggantikan pemalar $C$. Pada masa hadapan kita akan melakukan ini, tetapi buat pertama kalinya kita meneliti prosedur untuk mendapatkan kesamaan $dx=d(x+4)$ secara terperinci. Tetapi apakah kesamaan $dx=d(x+4)$ berikan kepada kita?

Dan ia memberi kita kesimpulan berikut: jika $dx=d(x+4)$, maka dalam integral $\int \frac(dx)(x+4)$ dan bukannya $dx$ kita boleh menggantikan $d(x +4)$ , dan kamiran tidak akan berubah akibatnya:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Kami membuat transformasi ini hanya supaya kamiran yang terhasil akan sepadan sepenuhnya dengan formula jadual $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Untuk membuat surat-menyurat ini benar-benar jelas, mari kita gantikan ungkapan $x+4$ dengan huruf $u$ (iaitu, kita buat penggantian$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Malah, masalah itu telah pun selesai. Yang tinggal hanyalah mengembalikan pembolehubah $x$. Mengingati bahawa $u=x+4$, kita dapat: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Penyelesaian lengkap tanpa penjelasan ia kelihatan seperti ini:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Jawab: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Contoh No. 2

Cari $\int e^(3x) dx$.

Jika kita beralih kepada jadual kamiran tak tentu, kami tidak dapat mencari formula yang betul-betul sepadan dengan kamiran $\int e^(3x) dx$. Formula No. 4 daripada jadual kamiran adalah paling hampir dengan kamiran ini, i.e. $\int e^u du=e^u+C$. Masalahnya ialah ini: formula $\int e^u du=e^u+C$ mengandaikan bahawa dalam integral $\int e^u du$, ungkapan dalam kuasa $e$ dan di bawah pembezaan mestilah sama (kedua-duanya ada satu huruf $u$). Dalam kes kami, dalam $\int e^(3x) dx$, di bawah pembezaan terdapat huruf $x$, dan dalam kuasa $e$ terdapat ungkapan $3x$, i.e. Terdapat percanggahan yang jelas dengan formula jadual. Mari cuba "memastikan" kamiran kami dengan jadual. Apakah yang berlaku jika anda menggantikan $3x$ untuk pembezaan dan bukannya $x$? Untuk menjawab soalan ini, mari gunakan , menggantikan ungkapan $3x$ dan bukannya $y$:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Oleh kerana $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, maka kesamaan $d(3x)=(3x)"dx$ menjadi:

$$ d(3x)=3dx $$

Membahagikan kedua-dua belah kesamaan yang terhasil dengan $3$, kita akan mempunyai: $\frac(d(3x))(3)=dx$, i.e. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Malah, kesamaan $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ boleh diperolehi dengan hanya menggantikan nombor $3$ menggantikan pemalar $C$. Pada masa hadapan kami akan melakukan ini, tetapi buat kali pertama kami memeriksa prosedur untuk mendapatkan kesamaan $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ secara terperinci.

Apakah kesamaan yang terhasil $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ berikan kepada kita? Ini bermakna bukannya $dx$, $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ boleh digantikan ke dalam kamiran $\int e^(3x) dx$, dan kamiran tidak akan berubah:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Mari kita ambil pemalar $\frac(1)(3)$ daripada tanda kamiran dan gantikan ungkapan $3x$ dengan huruf $u$ (iaitu, kita buat penggantian$u=3x$), selepas itu kami menggunakan formula jadual $\int e^u du=e^u+C$:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Seperti dalam contoh sebelumnya, kita perlu mengembalikan semula pembolehubah asal $x$. Oleh kerana $u=3x$, maka $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Penyelesaian lengkap tanpa komen kelihatan seperti ini:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Jawab: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Contoh No. 3

Cari $\int (3x+2)^2 dx$.

Untuk mencari kamiran ini, kami menggunakan dua kaedah. Cara pertama ialah membuka kurungan dan menyepadukan secara langsung. Kaedah kedua ialah menggunakan kaedah penggantian.

Cara pertama

Oleh kerana $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, maka $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Mewakili kamiran $\int (9x^2+12x+4)dx$ sebagai hasil tambah tiga kamiran dan mengambil pemalar daripada tanda-tanda kamiran yang sepadan, kami memperoleh:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

Untuk mencari $\int x^2 dx$ kita gantikan $u=x$ dan $\alpha=2$ ke dalam formula No. 1 jadual kamiran: $\int x^2 dx=\frac(x^(2) +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Begitu juga, menggantikan $u=x$ dan $\alpha=1$ ke dalam formula yang sama daripada jadual, kita akan mempunyai: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Oleh kerana $\int 1 dx=x+C$, maka:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Cara kedua

Kami tidak akan membuka kurungan. Mari cuba buat ungkapan $3x+2$ muncul di bawah pembezaan dan bukannya $x$. Ini akan membolehkan anda memasukkan pembolehubah baharu dan menggunakan formula hamparan. Kita memerlukan faktor $3$ untuk muncul di bawah pembezaan, jadi menggantikan $C=3$ ke dalam nilai, kita mendapat $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. Di samping itu, istilah $2$ tiada di bawah pembezaan. Mengikut penambahan pemalar di bawah tanda pembezaan, pembezaan ini tidak berubah, i.e. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. Daripada syarat $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ dan $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ kita ada: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Biar saya ambil perhatian bahawa kesamaan $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ juga boleh diperolehi dengan cara lain:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)") dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Kami menggunakan kesamaan yang terhasil $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$, menggantikan ungkapan $\frac(1)(3)d(3x) ke dalam integral $\int (3x+2 )^2 dx$ +2)$ bukannya $dx$. Mari kita keluarkan pemalar $\frac(1)(3)$ sebagai tanda kamiran yang terhasil:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Penyelesaian selanjutnya ialah melakukan penggantian $u=3x+2$ dan menggunakan formula No. 1 daripada jadual kamiran:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Mengembalikan ungkapan $3x+2$ dan bukannya $u$, kita dapat:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Penyelesaian lengkap tanpa penjelasan ialah:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Saya meramalkan beberapa soalan, jadi saya akan cuba merumuskannya dan memberikan jawapan.

Soalan No 1

Sesuatu tidak bertambah di sini. Apabila kami menyelesaikan dengan cara pertama, kami mendapat $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Apabila menyelesaikan cara kedua, jawapannya menjadi: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Walau bagaimanapun, ia tidak mungkin untuk beralih dari jawapan kedua kepada yang pertama! Jika kami membuka kurungan, kami mendapat yang berikut:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Jawapannya tidak sepadan! Dari manakah pecahan tambahan $\frac(8)(9)$?

Soalan ini mencadangkan anda harus merujuk kepada topik sebelumnya. Baca topik tentang konsep kamiran tak tentu (memberi perhatian kepada Perhatian istimewa soalan No. 2 di hujung halaman) dan penyepaduan langsung (ia patut diberi perhatian kepada soalan No. 4). Topik-topik ini merangkumi isu ini secara terperinci. Ringkasnya, pemalar kamiran $C$ boleh diwakili dalam bentuk yang berbeza. Sebagai contoh, dalam kes kami, menamakan semula $C_1=C+\frac(8)(9)$, kami mendapat:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Oleh itu, tiada percanggahan jawapan boleh ditulis sama ada dalam bentuk $3x^3+6x^2+4x+C$, atau dalam bentuk $\frac((3x+2)^3)(9)+ C$.

Soalan No 2

Mengapa perlu membuat keputusan dengan cara kedua? Ini adalah komplikasi yang tidak perlu! Mengapa menggunakan sekumpulan formula yang tidak perlu untuk mencari jawapan yang diperoleh dalam beberapa langkah menggunakan kaedah pertama? Apa yang diperlukan ialah membuka kurungan menggunakan formula sekolah.

Nah, pertama sekali, ini bukan komplikasi seperti itu. Apabila anda memahami kaedah penggantian, anda akan mula menyelesaikan contoh yang serupa dalam satu baris: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Walau bagaimanapun, mari kita lihat contoh ini secara berbeza. Bayangkan anda tidak perlu mengira $\int (3x+2)^2 dx$, tetapi $\int (3x+2)^(200) dx$. Apabila menyelesaikan dengan cara kedua, anda hanya perlu melaraskan sedikit darjah dan jawapannya akan sedia:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Sekarang bayangkan bahawa kamiran yang sama $\int (3x+2)^(200) dx$ perlu diambil dengan cara pertama. Mula-mula, anda perlu membuka kurungan $(3x+2)^(200)$, dengan itu memperoleh jumlah dua ratus satu istilah! Dan kemudian setiap istilah juga perlu disepadukan. Oleh itu, kesimpulan di sini adalah ini: untuk kuasa besar, kaedah penyepaduan langsung tidak sesuai. Kaedah kedua, walaupun nampak kerumitannya, lebih praktikal.

Contoh No. 4

Cari $\int \sin2x dx$.

Kami akan menyelesaikan contoh ini dalam tiga cara yang berbeza.

Cara pertama

Mari kita lihat jadual kamiran. Formula No. 5 dari jadual ini paling hampir dengan contoh kami, i.e. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Untuk memasukkan kamiran $\int \sin2x dx$ ke dalam bentuk $\int \sin u du$, kami menggunakan , memperkenalkan faktor $2$ di bawah tanda pembezaan. Sebenarnya, kami sudah melakukan ini dalam contoh No. 2, jadi kami boleh melakukannya tanpa ulasan terperinci:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Jawab: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Cara kedua

Untuk menyelesaikan kaedah kedua, kami memohon yang mudah formula trigonometri: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Mari kita gantikan ungkapan $2 \sin x \cos x$ bukannya $\sin 2x$, dan ambil pemalar $2$ daripada tanda kamiran:

Apakah tujuan transformasi sedemikian? Tiada kamiran $\int \sin x\cos x dx$ dalam jadual, tetapi kita boleh mengubah $\int \sin x\cos x dx$ sedikit supaya ia kelihatan seperti jadual satu. Untuk melakukan ini, mari cari $d(\cos x)$ menggunakan . Mari kita gantikan $\cos x$ dan bukannya $y$ ke dalam formula yang disebutkan:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Oleh kerana $d(\cos x)=-\sin x dx$, maka $\sin x dx=-d(\cos x)$. Oleh kerana $\sin x dx=-d(\cos x)$, kita boleh menggantikan $-d(\cos x)$ dalam $\int \sin x\cos x dx$ dan bukannya $\sin x dx$. Nilai kamiran tidak akan berubah:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Dengan kata lain, kita ditambah di bawah pembezaan$\cos x$. Sekarang, setelah membuat penggantian $u=\cos x$, kita boleh menggunakan formula No. 1 daripada jadual kamiran:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Jawapan telah diterima. Secara umum, anda tidak perlu memasukkan huruf $u$. Apabila anda memperoleh kemahiran yang mencukupi dalam menyelesaikan kamiran jenis ini, keperluan untuk tatatanda tambahan akan hilang. Penyelesaian lengkap tanpa penjelasan ialah:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Jawab: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

cara ketiga

Untuk menyelesaikan dengan cara ketiga, kami menggunakan formula trigonometri yang sama: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Mari kita gantikan ungkapan $2 \sin x \cos x$ bukannya $\sin 2x$, dan ambil pemalar $2$ daripada tanda kamiran:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Mari cari $d(\sin x)$ menggunakan . Mari kita gantikan $\sin x$ dan bukannya $y$ ke dalam formula yang disebutkan:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Jadi $d(\sin x)=\cos x dx$. Daripada kesamaan yang terhasil, kita boleh menggantikan $d(\sin x)$ dalam $\int \sin x\cos x dx$ dan bukannya $\cos x dx$. Nilai kamiran tidak akan berubah:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Dengan kata lain, kita ditambah di bawah pembezaan$\dosa x$. Sekarang, setelah membuat penggantian $u=\sin x$, kita boleh menggunakan formula No. 1 daripada jadual kamiran:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Jawapan telah diterima. Penyelesaian lengkap tanpa penjelasan ialah:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Jawab: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Ada kemungkinan selepas membaca contoh ini, terutamanya tiga jawapan yang berbeza (sepintas lalu), satu persoalan akan timbul. Mari kita pertimbangkan.

Soalan #3

Tunggu. Jawapannya sepatutnya sama, tetapi berbeza! Dalam contoh No. 3, perbezaannya hanya dalam pemalar $\frac(8)(9)$, tetapi di sini jawapannya tidak serupa dalam rupa: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Adakah ini semua tentang pemalar integral $C$ sekali lagi?

Ya, pemalar inilah yang penting. Mari kita kurangkan semua jawapan kepada satu bentuk, selepas itu perbezaan dalam pemalar ini akan menjadi jelas sepenuhnya. Mari kita mulakan dengan $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Kami menggunakan kesamaan trigonometri mudah: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Kemudian ungkapan $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ akan menjadi:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Sekarang mari kita bekerja dengan jawapan kedua, i.e. $-\cos^2x+C$. Oleh kerana $\cos^2 x=1-\sin^2x$, maka:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Tiga jawapan yang kami terima dalam contoh No. 4 ialah: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Saya fikir kini jelas bahawa mereka berbeza antara satu sama lain hanya dalam bilangan tertentu. Itu. perkara itu sekali lagi ternyata menjadi pemalar integral. Seperti yang anda lihat, perbezaan kecil dalam pemalar kamiran boleh, pada dasarnya, sangat berubah penampilan jawapan - tetapi ini tidak menghalang jawapan daripada betul. Apa yang saya dapat: jika anda melihat jawapan dalam koleksi masalah yang tidak bertepatan dengan anda, ini sama sekali tidak bermakna jawapan anda tidak betul. Ada kemungkinan bahawa anda hanya datang ke jawapan dengan cara yang berbeza daripada pengarang masalah yang dimaksudkan. Dan semakan berdasarkan definisi kamiran tak tentu akan membantu anda mengesahkan ketepatan jawapan. Sebagai contoh, jika kamiran $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ditemui dengan betul, maka kesamaan $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Jadi mari kita semak sama ada benar bahawa terbitan $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ adalah sama dengan integrand daripada $\sin 2x $:

$$ \kiri(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\kanan)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\kanan)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x $$.

Semakan telah berjaya diselesaikan. Kesamaan $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ dipenuhi, jadi formula $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ adalah betul Dalam contoh No. 5, kami juga akan menyemak keputusan untuk memastikan ia betul, walaupun dalam beberapa pengiraan standard ia adalah perlu. ujian ah, keperluan untuk menyemak keputusan ada.

Menyertakan pengangka di bawah tanda pembezaan

Ini adalah bahagian akhir pelajaran, bagaimanapun, kamiran jenis ini agak biasa! Jika anda penat, mungkin lebih baik membaca esok? ;)

Kamiran yang akan kami pertimbangkan adalah serupa dengan kamiran perenggan sebelumnya, mereka mempunyai bentuk: atau (pekali , dan tidak sama dengan sifar).

Iaitu, dalam pengangka yang kita ada fungsi linear. Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tersebut?

Contoh 14

Sila berhati-hati, sekarang kita akan melihat algoritma biasa.

1) Apabila diberi kamiran bentuk atau (pekali , dan tidak sama dengan sifar), maka perkara pertama yang kita lakukan ialah... ambil draf. Hakikatnya sekarang kita perlu melakukan pemilihan kecil.

2) Kami menyimpulkan ungkapan yang ada dalam penyebut (tidak kira - di bawah akar atau tanpa akar) di bawah tanda pembezaan, dalam contoh ini:

3) Buka pembezaan:

Mari kita lihat pengangka integral kita:

Keadaan menjadi sedikit berbeza... Dan sekarang kita perlu memilih pengganda untuk pembezaan, supaya apabila ia dibuka, kita mendapat sekurang-kurangnya . DALAM dalam kes ini pengganda yang sesuai ialah:

4) Untuk kawalan diri, kami membuka perbezaan kami semula:

Mari kita lihat pengangka bagi kamiran kita sekali lagi: .
Ia lebih dekat, tetapi kami mempunyai istilah yang salah:

5) Kepada pembezaan kami:
– kami menetapkan istilah yang pada mulanya kami ada dalam integrand:

– Tolak ( dalam kes ini, kita tolak kadang-kadang, sebaliknya, kita perlu menambah) istilah "salah" kami:
– Kami meletakkan kedua-dua pemalar dalam kurungan dan menetapkan simbol pembezaan di sebelah kanan:

– Tolak (dalam beberapa contoh anda perlu tambah) pemalar:

6) Kami menyemak:

Kami mendapat betul-betul pengangka bagi integrand, yang bermaksud pemilihan itu berjaya.

Reka bentuk akhir penyelesaian kelihatan seperti ini:

(1) Kami memilih pengangka pada draf mengikut algoritma yang dibincangkan di atas. Kami pastikan untuk menyemak sama ada pemilihan dibuat dengan betul. Dengan beberapa pengalaman dalam menyelesaikan kamiran, pemilihan tidak sukar untuk dilakukan di kepala anda.

(2) Bahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan. Dalam penyelesaian masalah praktikal, langkah ini boleh ditinggalkan

(3) Dengan menggunakan sifat lineariti, kami mengasingkan kamiran. Adalah dinasihatkan untuk memindahkan semua pemalar di luar tanda kamiran.

(4) Kamiran pertama sebenarnya adalah satu jadual; kami menggunakan formula (kami akan menambah pemalar kemudian apabila kami mengambil kamiran kedua). Dalam kamiran kedua kami memilih segi empat sama lengkap (kami meneliti jenis kamiran ini dalam perenggan sebelumnya).

Selebihnya adalah soal teknik.

Dan, sebagai permulaan, beberapa contoh untuk keputusan bebas– satu lebih mudah, satu lagi lebih sukar.

Contoh 15

Cari kamiran tak tentu:

Contoh 16

Cari kamiran tak tentu:

Untuk menyelesaikan contoh ini, kes penyepaduan khas akan berguna fungsi kuasa yang tiada dalam jadual saya:

Seperti yang anda lihat, menyepadukan pecahan adalah tugas yang susah payah anda sering perlu menggunakan teknik dan pilihan buatan. Tetapi apa yang perlu dilakukan…

Terdapat jenis pecahan lain, yang dipanggil fungsi pecahan-rasional, ia diselesaikan dengan kaedah pekali tidak pasti. Tetapi ini sudah menjadi topik pelajaran Penyepaduan fungsi rasional pecahan.

§ 5. Kamiran dan aplikasinya

.

5.1. Definisi dan formula asas. Fungsi F(x) ialah fungsi antiderivatif f(x), jika pada beberapa set X kesaksamaan dipegang F (x)= f(x). Set semua antiderivatif untuk f(x) dipanggil kamiran tak tentu dan ditetapkan. Pada masa yang sama, jika F(x) - mana-mana primitif f(x), Itu
, malar C berjalan melalui keseluruhan set nombor nyata. Jadual 2 menunjukkan formula asas di mana u= u(x).

jadual 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Ia adalah jelas bahawa formula 10), 12) Dan 14) adalah kes khas formula 11), 13) Dan 15) masing-masing.

Jika f(x) – berfungsi berterusan pada segmen [ a; b], maka ada kamiran pasti daripada fungsi ini, yang boleh dikira dengan Formula Newton-Leibniz:

, (5.1)

di mana F(x) - sebarang antiderivatif untuk f(x). Tidak seperti kamiran tak tentu (iaitu satu set fungsi), kamiran pasti ialah nombor tertentu.

Kamiran tak tentu dan kamiran pasti mempunyai sifat kelinearan(integral daripada jumlah fungsi sama dengan jumlah kamiran, dan faktor pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran):

.

Contoh 5.1. Mencari)
; b)
.

Penyelesaian. Atas tugasan A) Kami mula-mula mempermudahkan integrand dengan membahagikan sebutan dengan sebutan setiap sebutan daripada pengangka dengan penyebut, kemudian kami menggunakan sifat kelinearan dan formula "jadual". 1)-3):

Atas tugasan b), selain itu kelinearan dan formula "jadual". 3), 9), 1), kami menggunakan formula Newton-Leibniz (5.1):

5.2. Memperkenalkan tanda pembezaan dan menggantikan pembolehubah. Anda mungkin perasan bahawa kadangkala sebahagian daripada integrand membentuk pembezaan beberapa ungkapan, yang membenarkan penggunaan formula jadual.

Contoh 5.2 Mencari)
; b)
.

Penyelesaian. Dalam contoh A) anda boleh perasan itu
, dan kemudian gunakan formula 5) di u=ln x:

Bila b)
, dan oleh itu disebabkan oleh 11) di
kita mendapatkan:

Nota 1. Apabila memasukkan tanda pembezaan, adalah berguna, bersama-sama dengan yang digunakan di atas, untuk mengambil kira perhubungan berikut:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Nota 2. Kamiran daripada contoh 5.2. juga boleh didapati menggunakan perubahan pembolehubah. Pada masa yang sama, dalam kamiran pasti had integrasi juga harus diubah. Penukaran kepada 5.2.b) akan kelihatan, sebagai contoh, seperti ini:

DALAM kes am pilihan penggantian ditentukan oleh jenis integrand. Dalam sesetengah kes, penggantian khas disyorkan. Sebagai contoh, jika ungkapan mengandungi ketidakrasionalan bentuk
, maka kita boleh meletakkan
atau
.

Contoh 5.3 Mencari)
; b)
.

Penyelesaian. Bila A) kita ada

(selepas penggantian kami menggunakan formula jadual 11 )).

Apabila membuat keputusan b) Kami memastikan untuk menggantikan had penyepaduan.

5.3. Integrasi mengikut bahagian. Dalam sesetengah kes, "formula penyepaduan mengikut bahagian" membantu. Untuk kamiran tak tentu ia mempunyai bentuk

, (5.2)

untuk sesuatu yang tertentu

, (5.3)

Adalah penting untuk mempertimbangkan perkara berikut.

1) Jika kamiran dan mengandungi hasil darab polinomial bagi x pada fungsi
, kemudian sebagai u polinomial dipilih, dan ungkapan yang tinggal di bawah tanda kamiran merujuk kepada dv.

2) Jika kamiran mengandungi trigonometri songsang ( ) atau logaritma (
) berfungsi, kemudian sebagai u salah seorang daripada mereka terpilih.

Contoh 5.4. Mencari)
; b)
.

Penyelesaian. Bila A) menggunakan formula (5.2) Dan peraturan kedua. Betul, kami percaya
. Kemudian
. Selanjutnya,
, dan oleh itu
. Oleh itu, . Dalam kamiran yang terhasil, kami memilih keseluruhan bahagian kamiran dan (ini dilakukan apabila darjah pengangka tidak kurang daripada darjah penyebut):

.

Penyelesaian akhir kelihatan seperti ini:

Dalam contoh b) kami guna (5.3) Dan pertama daripada peraturan.

5.4. Mengintegrasikan Ungkapan yang Mengandungi Trinomial Kuadratik. Idea utama adalah untuk diketengahkan trinomial kuadratik segi empat sama lengkap dan dalam menjalankan penggantian linear, yang memungkinkan untuk mengurangkan kamiran asal kepada bentuk jadual 10 )-16 ).

Contoh 5.5. Mencari)
; b)
; V)
.

Penyelesaian. Bila A) teruskan seperti berikut:

oleh itu (dengan mengambil kira 13) )

Apabila menyelesaikan contoh b) transformasi tambahan yang berkaitan dengan kehadiran pembolehubah dalam pengangka bagi integrand akan diperlukan. Memilih kuasa dua sempurna dalam penyebut (), kita dapat:

Untuk kamiran kedua, disebabkan oleh 11) (Jadual 2) kami mempunyai:
. Dalam integral pertama kita akan masukkan di bawah tanda pembezaan:

Jadi, meletakkan segala-galanya bersama-sama dan kembali kepada pembolehubah x, kita mendapatkan:

Dalam contoh V) Kami juga mula-mula memilih petak lengkap:

5.5. Penyepaduan fungsi trigonometri mudah. Apabila menyepadukan ungkapan borang
(Di mana m Dan n – integer) adalah disyorkan untuk mengambil kira peraturan berikut.

1) Jika kedua-dua darjah genap, maka formula untuk "mengurangkan darjah" digunakan: ; .

2) Katakan bahawa mana-mana nombor m Dan n– ganjil. Sebagai contoh, n=2 k+1. Dalam kes ini, salah satu darjah fungsi cosx "berpisah" untuk meletakkannya di bawah tanda pembezaan (sejak ). Dalam ungkapan yang tinggal
menggunakan identiti asas trigonometri
dinyatakan melalui
(). Selepas menukar kamiran dan (dan mengambil kira sifat kelinearan), kami memperoleh hasil tambah algebra bagi kamiran bentuk
, setiap satunya boleh didapati menggunakan formula 2) daripada jadual 2:
.

Di samping itu, dalam beberapa kes formula juga berguna

Contoh 5.6. Mencari)
; b)
; V)
.

Penyelesaian. A) Integrasi dan termasuk darjah ganjil (5). sinx, oleh itu kita bertindak mengikut peraturan kedua, mempertimbangkan itu .

Dalam contoh b) jom guna formula (5.4 ), kelinearan kamiran tak tentu, persamaan
dan formula jadual 4):

Bila V) secara berurutan menurunkan darjat, kami mengambil kira lineariti, kemungkinan memperkenalkan pemalar di bawah tanda pembezaan dan formula jadual yang diperlukan:

5.6. Aplikasi kamiran pasti. Seperti yang diketahui, trapezoid melengkung sepadan dengan bukan negatif dan berterusan pada segmen [ a; b] fungsi f(x), dipanggil kawasan yang dibatasi oleh graf fungsi y= f(x), paksi OX dan dua garisan menegak x= a, x= b. Secara ringkas ia boleh ditulis seperti berikut: (lihat. Rajah.3). dan di mana

Apabila menyelesaikan beberapa jenis kamiran, transformasi dilakukan, seperti yang mereka katakan masuk di bawah tanda pembezaan. Ini dilakukan untuk mendapatkan kamiran jadual dan menjadikannya mudah untuk diambil. Untuk melakukan ini, gunakan formula: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Saya ingin ambil perhatian ini nuansa penting yang difikirkan oleh pelajar. Bagaimanakah kaedah ini berbeza daripada kaedah menggantikan pembolehubah (penggantian)? Ia adalah perkara yang sama, cuma ia kelihatan berbeza dalam rakaman. Kedua-duanya benar.

Formula

Jika integrand menunjukkan hasil darab dua fungsi, satu daripadanya adalah pembezaan yang lain, kemudian masukkan fungsi yang dikehendaki di bawah tanda pembezaan. Ia kelihatan seperti ini:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Merumuskan fungsi utama

Untuk berjaya menggunakan kaedah penyelesaian ini, anda perlu mengetahui jadual derivatif dan integrasi. Formula berikut mengikuti daripada mereka:

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + C$$

Contoh penyelesaian

Contoh 1

Cari kamiran $$ \int \sin x \cos x dx $$

Penyelesaian

Dalam contoh ini, anda boleh meletakkan mana-mana fungsi yang dicadangkan di bawah tanda pembezaan, walaupun sinus atau kosinus. Untuk tidak keliru dengan tanda-tanda yang berubah, adalah lebih mudah untuk memasukkan $ \cos x $. Menggunakan formula yang kami ada: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ Jika anda tidak dapat menyelesaikan masalah anda, hantarkan kepada kami. Kami akan memberikan penyelesaian terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan pengiraan dan mendapatkan maklumat. Ini akan membantu anda mendapatkan gred anda daripada guru anda tepat pada masanya!

Jawab

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

Jadi, dalam artikel itu kita melihat bagaimana beberapa jenis kamiran diselesaikan dengan memasukkannya di bawah tanda pembezaan. Kami ingat perbezaan yang sering biasa fungsi asas. Jika anda tidak boleh atau tidak mempunyai masa yang mencukupi untuk menyelesaikan sendiri tugasan ujian, maka kami akan memberikan bantuan kami kepada anda. secepat mungkin. Hanya isi borang pesanan dan kami akan menghubungi anda.