Mencari isipadu jasad menggunakan kamiran. Pengiraan isipadu badan revolusi menggunakan kamiran pasti

Seperti masalah mencari kawasan, anda memerlukan kemahiran melukis yang yakin - ini hampir merupakan perkara yang paling penting (kerana kamiran itu sendiri selalunya mudah). Anda boleh menguasai teknik carta yang cekap dan pantas menggunakan bahan pengajaran dan Transformasi Geometri Graf. Tetapi, sebenarnya, saya telah bercakap tentang kepentingan lukisan beberapa kali di dalam kelas.

Secara umum, terdapat banyak aplikasi menarik dalam kalkulus kamiran, menggunakan kamiran pasti anda boleh mengira luas rajah, isipadu badan revolusi, panjang lengkok, luas permukaan revolusi dan banyak lagi. Jadi ia akan menjadi menyeronokkan, sila kekal optimistik!

Bayangkan beberapa angka rata pada satah koordinat. Diperkenalkan? ... Saya tertanya-tanya siapa yang menyampaikan apa ... =))) Kami telah menemui kawasannya. Tetapi, sebagai tambahan, angka ini juga boleh diputar, dan diputar dalam dua cara:

– sekitar paksi absis;
– mengelilingi paksi ordinat.

Artikel ini akan mengkaji kedua-dua kes. Kaedah putaran kedua adalah sangat menarik; ia menyebabkan kesukaran yang paling banyak, tetapi sebenarnya penyelesaiannya hampir sama dengan putaran yang lebih biasa di sekitar paksi-x. Sebagai bonus saya akan kembali masalah mencari luas rajah, dan saya akan memberitahu anda cara mencari kawasan dengan cara kedua - di sepanjang paksi. Ia bukan satu bonus kerana bahan itu sesuai dengan topik.

Mari kita mulakan dengan jenis putaran yang paling popular.

rajah rata di sekeliling paksi

Contoh 1

Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah, terhad oleh garisan, di sekeliling paksi.

Penyelesaian: Seperti dalam masalah mencari kawasan, penyelesaiannya bermula dengan lukisan angka rata . Iaitu, pada satah adalah perlu untuk membina angka yang dibatasi oleh garis , dan jangan lupa bahawa persamaan menentukan paksi. Cara menyiapkan lukisan dengan lebih cekap dan cepat boleh didapati di halaman Graf dan sifat fungsi Asas Dan Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah. Ini ialah peringatan bahasa Cina, dan seterusnya pada saat ini Saya tidak berhenti lagi.

Lukisan di sini agak mudah:

Angka rata yang diingini dilorekkan dengan warna biru; ia adalah yang berputar di sekeliling paksi Hasil daripada putaran, terhasilnya piring terbang yang berbentuk ovoid yang simetri pada paksi. Sebenarnya, badan itu mempunyai nama matematik, tetapi saya terlalu malas untuk menjelaskan apa-apa dalam buku rujukan, jadi kita teruskan.

Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi?

Isipadu badan revolusi boleh dikira menggunakan formula:

Dalam formula, nombor mesti ada sebelum kamiran. Jadi ia berlaku - segala-galanya yang berputar dalam kehidupan dihubungkan dengan pemalar ini.

Saya rasa mudah untuk meneka cara menetapkan had penyepaduan "a" dan "be" daripada lukisan yang telah siap.

Fungsi... apakah fungsi ini? Mari lihat lukisan itu. Rajah satah dibatasi oleh graf parabola di bahagian atas. Ini adalah fungsi yang tersirat dalam formula.

Dalam tugas praktikal, angka rata kadangkala boleh diletakkan di bawah paksi. Ini tidak mengubah apa-apa - integrand dalam formula adalah kuasa dua: , dengan itu kamiran sentiasa bukan negatif, yang sangat logik.

Mari kita mengira isipadu badan revolusi menggunakan formula ini:

Seperti yang telah saya nyatakan, integral hampir selalu ternyata mudah, perkara utama adalah berhati-hati.

Jawab:

Dalam jawapan anda, anda mesti menunjukkan dimensi - unit padu. Iaitu, dalam badan putaran kita terdapat kira-kira 3.35 "kiub". Kenapa kubik unit? Kerana formulasi yang paling universal. Mungkin ada sentimeter padu, mungkin ada meter padu, mungkin ada kilometer padu, dsb., Itulah berapa ramai lelaki hijau yang boleh imaginasi anda masukkan ke dalam piring terbang.

Contoh 2

Cari isipadu badan, dibentuk oleh putaran mengelilingi paksi rajah, dibatasi oleh garisan , ,

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita pertimbangkan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering dihadapi dalam amalan.

Contoh 3

Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis rajah yang dibatasi oleh garis , , dan

Penyelesaian: Mari kita gambarkan dalam lukisan angka rata yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa lupa bahawa persamaan mentakrifkan paksi:

Angka yang dikehendaki dilorekkan dengan warna biru. Apabila ia berputar mengelilingi paksinya, ia ternyata menjadi donat surreal dengan empat penjuru.

Mari kita hitung isipadu badan revolusi sebagai perbezaan isipadu badan.

Mula-mula, mari kita lihat angka yang dilingkari merah. Apabila ia berputar mengelilingi paksi, kon terpenggal diperolehi. Mari kita nyatakan isipadu kon terpenggal ini dengan .

Pertimbangkan rajah yang dibulatkan hijau. Jika anda memutarkan rajah ini di sekeliling paksi, anda juga akan mendapat kon terpenggal, hanya lebih kecil sedikit. Mari kita nyatakan isipadunya dengan .

Dan, jelas sekali, perbezaan dalam jumlah adalah betul-betul jumlah "donut" kami.

Kami menggunakan formula standard untuk mencari isipadu badan putaran:

1) Rajah yang dilingkari merah dibatasi di atas dengan garis lurus, oleh itu:

2) Rajah yang dilingkari hijau dibatasi di atas dengan garis lurus, oleh itu:

3) Isipadu badan revolusi yang dikehendaki:

Jawab:

Ia adalah ingin tahu bahawa dalam dalam kes ini penyelesaiannya boleh disemak menggunakan formula sekolah untuk mengira isipadu kon terpenggal.

Keputusan itu sendiri sering ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita berehat sedikit dan memberitahu anda tentang ilusi geometri.

Orang sering mempunyai ilusi yang dikaitkan dengan jilid, yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam buku itu Geometri yang menghiburkan. Lihatlah angka rata dalam masalah yang diselesaikan - ia nampaknya kecil di kawasan, dan isipadu badan revolusi hanyalah lebih daripada 50 unit padu, yang kelihatan terlalu besar. Ngomong-ngomong, orang biasa minum setara dengan bilik 18 meter persegi cecair sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, nampaknya jumlahnya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di USSR adalah yang terbaik. Buku yang sama oleh Perelman, diterbitkan pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan ahli humor, memahami dan mengajar anda untuk mencari yang asli penyelesaian bukan standard masalah. Saya baru-baru ini membaca semula beberapa bab dengan penuh minat, saya mengesyorkannya, ia boleh diakses walaupun oleh ahli kemanusiaan. Tidak, anda tidak perlu tersenyum kerana saya menawarkan masa lapang, pengetahuan dan ufuk yang luas dalam komunikasi adalah perkara yang hebat.

Selepas penyimpangan lirik, adalah sesuai untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran tentang paksi suatu rajah rata yang dibatasi oleh garis , , di mana .

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Sila ambil perhatian bahawa semua kes berlaku dalam band, dalam erti kata lain, had integrasi siap sedia sebenarnya diberikan. Lukis graf dengan betul fungsi trigonometri, izinkan saya mengingatkan anda tentang bahan pelajaran tentang transformasi geometri graf: jika hujah dibahagikan dengan dua: , maka graf diregangkan dua kali sepanjang paksi. Adalah dinasihatkan untuk mencari sekurang-kurangnya 3-4 mata mengikut jadual trigonometri untuk melengkapkan lukisan dengan lebih tepat. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. By the way, tugas itu boleh diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Pengiraan isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran
rajah rata di sekeliling paksi

Perenggan kedua akan menjadi lebih menarik daripada perenggan pertama. Tugas mengira isipadu badan revolusi di sekeliling paksi ordinat juga merupakan tetamu yang agak kerap dalam ujian. Sepanjang perjalanan ia akan dipertimbangkan masalah mencari luas rajah kaedah kedua ialah integrasi sepanjang paksi, ini akan membolehkan anda bukan sahaja untuk meningkatkan kemahiran anda, tetapi juga mengajar anda untuk mencari jalan penyelesaian yang paling menguntungkan. Terdapat juga makna kehidupan praktikal dalam ini! Semasa guru saya mengenai kaedah pengajaran matematik mengenang kembali dengan senyuman, ramai graduan mengucapkan terima kasih kepadanya dengan kata-kata: "Subjek anda banyak membantu kami, kini kami adalah pengurus yang berkesan dan menguruskan kakitangan secara optimum." Mengambil kesempatan ini, saya juga merakamkan setinggi-tinggi penghargaan kepada beliau, lebih-lebih lagi saya menggunakan ilmu yang diperoleh untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya mengesyorkannya kepada semua orang, walaupun boneka yang lengkap. Selain itu, bahan yang dipelajari dalam perenggan kedua akan memberikan bantuan yang tidak ternilai dalam mengira kamiran berganda.

Contoh 5

Diberi angka rata yang dibatasi oleh garis , , .

1) Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis-garis ini.
2) Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Perhatian! Walaupun anda hanya mahu membaca point kedua, pertama Semestinya baca yang pertama!

Penyelesaian: Tugasan terdiri daripada dua bahagian. Mari kita mulakan dengan petak.

1) Mari buat lukisan:

Adalah mudah untuk melihat bahawa fungsi menentukan cawangan atas parabola, dan fungsi menentukan cawangan bawah parabola. Di hadapan kita adalah parabola remeh yang "terletak di sisinya."

Angka yang dikehendaki, kawasan yang boleh ditemui, dilorekkan dengan warna biru.

Bagaimana untuk mencari luas angka? Ia boleh didapati dengan cara "biasa", yang dibincangkan di dalam kelas Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah. Selain itu, luas angka itu didapati sebagai jumlah kawasan:
- pada segmen ;
- pada segmen.

Itulah sebabnya:

Mengapa penyelesaian biasa buruk dalam kes ini? Pertama, kami mendapat dua kamiran. Kedua, kamiran ialah punca, dan punca kamiran bukan hadiah, dan selain itu, anda boleh keliru dalam menggantikan had kamiran. Sebenarnya, kamiran, tentu saja, bukan pembunuh, tetapi dalam praktiknya semuanya boleh menjadi lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi "lebih baik" untuk masalah itu.

Terdapat penyelesaian yang lebih rasional: ia terdiri daripada beralih kepada fungsi songsang dan menyepadukan sepanjang paksi.

Bagaimana untuk pergi ke fungsi songsang? Secara kasarnya, anda perlu menyatakan "x" melalui "y". Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tetapi mari kita pastikan bahawa fungsi yang sama boleh diperolehi daripada cawangan bawah:

Ia lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat paksi: sila condongkan kepala anda ke kanan 90 darjah secara berkala semasa anda menerangkan (ini bukan jenaka!). Angka yang kita perlukan terletak pada segmen, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus merah. Dalam kes ini, pada segmen garis lurus terletak di atas parabola, yang bermaksud bahawa kawasan angka itu harus dicari menggunakan formula yang sudah biasa kepada anda: . Apa yang telah berubah dalam formula? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan: Had penyepaduan sepanjang paksi hendaklah ditetapkan dengan ketat dari bawah ke atas!

Mencari kawasan:

Pada segmen, oleh itu:

Sila ambil perhatian bagaimana saya menjalankan penyepaduan, ini adalah cara yang paling rasional, dan dalam perenggan seterusnya tugas itu akan jelas mengapa.

Bagi pembaca yang meragui ketepatan integrasi, saya akan mencari derivatif:

Fungsi integrand asal diperolehi, yang bermaksud integrasi telah dilakukan dengan betul.

Jawab:

2) Mari kita hitung isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran rajah ini mengelilingi paksi.

Saya akan melukis semula lukisan dalam reka bentuk yang sedikit berbeza:

Jadi, rajah yang berlorek dengan warna biru berputar mengelilingi paksi. Hasilnya ialah "rama-rama melayang" yang berputar mengelilingi paksinya.

Untuk mencari isipadu badan putaran, kita akan menyepadukan sepanjang paksi. Mula-mula kita perlu pergi ke fungsi songsang. Perkara ini telah pun dilakukan dan diterangkan secara terperinci dalam perenggan sebelumnya.

Sekarang kita condongkan kepala kita ke kanan sekali lagi dan mengkaji angka kita. Jelas sekali, isipadu badan putaran harus didapati sebagai perbezaan dalam isipadu.

Kami memutarkan rajah yang dilingkari merah di sekeliling paksi, menghasilkan kon terpotong. Mari kita nyatakan jilid ini dengan .

Kami memutarkan rajah yang dilingkari hijau di sekeliling paksi dan menandakannya dengan isipadu badan putaran yang terhasil.

Isipadu rama-rama kita adalah sama dengan perbezaan isipadu.

Kami menggunakan formula untuk mencari isipadu badan putaran:

Apakah perbezaan daripada formula dalam perenggan sebelumnya? Hanya dalam surat.

Tetapi kelebihan integrasi, yang saya bincangkan baru-baru ini, adalah lebih mudah dicari , daripada menaikkan integrand terlebih dahulu kepada kuasa ke-4.

Jawab:

Walau bagaimanapun, bukan rama-rama yang sakit.

Sila ambil perhatian bahawa jika angka rata yang sama diputarkan di sekeliling paksi, anda akan mendapat badan putaran yang sama sekali berbeza, dengan isipadu yang berbeza, secara semula jadi.

Contoh 6

Diberi rajah rata yang dibatasi oleh garis dan paksi.

1) Pergi ke fungsi songsang dan cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan menyepadukan pembolehubah.
2) Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Mereka yang berminat juga boleh mencari luas angka dengan cara "biasa", dengan itu menyemak titik 1). Tetapi jika, saya ulangi, anda memutarkan angka rata di sekeliling paksi, anda akan mendapat badan putaran yang sama sekali berbeza dengan jumlah yang berbeza, dengan cara itu, jawapan yang betul (juga untuk mereka yang suka menyelesaikan masalah).

Penyelesaian lengkap kepada dua perkara yang dicadangkan dalam tugasan adalah pada akhir pelajaran.

Ya, dan jangan lupa condongkan kepala anda ke kanan untuk memahami badan putaran dan had integrasi!

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran: belajar mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran.

Tugasan:

• menyatukan keupayaan untuk mengenal pasti trapezoid lengkung daripada beberapa rajah geometri dan membangunkan kemahiran mengira luas trapezoid lengkung;
• berkenalan dengan konsep angka tiga dimensi;
• belajar mengira isipadu badan revolusi;
• menggalakkan perkembangan pemikiran logik, ucapan matematik yang cekap, ketepatan semasa membina lukisan;
• untuk memupuk minat dalam subjek, dalam beroperasi dengan konsep dan imej matematik, untuk memupuk kemahuan, berdikari, dan ketabahan dalam mencapai keputusan akhir.

Semasa kelas

I. Detik organisasi.

Salam perkenalan dari kumpulan. Menyampaikan objektif pelajaran kepada pelajar.

Refleksi. Melodi yang tenang.

– Saya ingin memulakan pelajaran hari ini dengan perumpamaan. “Pada suatu ketika, hiduplah seorang yang bijaksana yang mengetahui segala-galanya. Seorang lelaki ingin membuktikan bahawa orang bijak itu tidak mengetahui segala-galanya. Sambil memegang seekor kupu-kupu di tangannya, dia bertanya: "Beritahu saya, orang bijak, rama-rama mana yang ada di tangan saya: mati atau hidup?" Dan dia sendiri berfikir: “Jika yang hidup berkata, Aku akan membunuhnya; Orang bijak, setelah berfikir, menjawab: "Semua di tangan anda". (Pembentangan.Gelongsor)

– Oleh itu, mari kita bekerja dengan baik hari ini, memperoleh simpanan pengetahuan baharu, dan kita akan menggunakan kemahiran dan kebolehan yang diperoleh dalam kehidupan masa depan dan dalam aktiviti praktikal. "Semua di tangan anda".

II. Pengulangan bahan yang telah dipelajari sebelumnya.

– Mari kita ingat perkara utama bahan yang dipelajari sebelum ini. Untuk melakukan ini, mari kita selesaikan tugas “Kecualikan perkataan yang berlebihan”. (Gelongsor.)

(Pelajar pergi ke I.D. menggunakan pemadam untuk mengalih keluar perkataan tambahan.)

- Betul "Perbezaan". Cuba namakan perkataan yang tinggal sebagai satu secara umum. (Kalkulus bersepadu.)

– Mari kita ingat peringkat dan konsep utama yang berkaitan dengan kalkulus kamiran..

"Sekumpulan Matematik".

Senaman. Pulihkan jurang. (Pelajar itu keluar dan menulis dalam perkataan yang diperlukan dengan pen.)

– Kita akan mendengar abstrak tentang aplikasi kamiran nanti.

Bekerja dalam buku nota.

– Formula Newton-Leibniz diperolehi oleh ahli fizik Inggeris Isaac Newton (1643–1727) dan ahli falsafah Jerman Gottfried Leibniz (1646–1716). Dan ini tidak menghairankan, kerana matematik adalah bahasa yang dituturkan oleh alam semula jadi itu sendiri.

- Mari kita pertimbangkan bagaimana apabila menyelesaikan tugas amali formula ini digunakan.

Contoh 1: Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Penyelesaian: Mari bina graf fungsi pada satah koordinat . Mari pilih kawasan angka yang perlu dijumpai.

III. Mempelajari bahan baharu.

– Perhatikan skrin. Apakah yang ditunjukkan dalam gambar pertama? (Gelongsor) (Rajah menunjukkan angka rata.)

– Apakah yang ditunjukkan dalam gambar kedua? Adakah angka ini rata? (Gelongsor) (Rajah menunjukkan rajah tiga dimensi.)

– Di angkasa, di bumi dan di dalam Kehidupan seharian Kita menghadapi bukan sahaja angka rata, tetapi juga tiga dimensi, tetapi bagaimana kita boleh mengira isipadu badan tersebut? Contohnya, isipadu planet, komet, meteorit, dsb.

– Orang ramai berfikir tentang isipadu semasa membina rumah dan semasa menuang air dari satu bekas ke yang lain. Peraturan dan teknik untuk mengira isipadu terpaksa muncul; betapa tepat dan munasabahnya adalah perkara lain.

Mesej seorang pelajar. (Tyurina Vera.)

Tahun 1612 sangat membuahkan hasil bagi penduduk kota Linz di Austria, tempat tinggal ahli astronomi terkenal Johannes Kepler, terutama untuk anggur. Orang ramai sedang menyediakan tong wain dan ingin tahu cara praktikal menentukan jumlahnya. (Slaid 2)

– Oleh itu, karya-karya Kepler yang dipertimbangkan meletakkan asas bagi keseluruhan aliran penyelidikan yang memuncak pada suku terakhir abad ke-17. reka bentuk dalam karya I. Newton dan G.V. Leibniz bagi kalkulus pembezaan dan kamiran. Sejak itu, matematik pembolehubah mengambil tempat utama dalam sistem pengetahuan matematik.

– Hari ini anda dan saya akan terlibat dalam aktiviti praktikal sedemikian, oleh itu,

Topik pelajaran kami: "Mengira isipadu badan putaran menggunakan kamiran pasti." (Gelongsor)

– Anda akan mempelajari definisi badan revolusi dengan melengkapkan tugasan seterusnya.

"Labyrinth".

Labirin ( perkataan Yunani) bermaksud masuk ke dalam penjara bawah tanah. Labirin ialah rangkaian laluan, laluan dan bilik bersambung yang rumit.

Tetapi definisi itu "pecah," meninggalkan petunjuk dalam bentuk anak panah.

Senaman. Cari jalan keluar daripada situasi yang mengelirukan dan tuliskan definisinya.

Gelongsor. "Arahan peta" Pengiraan isipadu.

Menggunakan kamiran pasti, anda boleh mengira isipadu badan tertentu, khususnya, badan revolusi.

Jasad revolusi ialah jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezoid melengkung di sekeliling tapaknya (Rajah 1, 2)

Isipadu badan putaran dikira menggunakan salah satu formula:

1. sekitar paksi OX.

2. , jika putaran trapezium melengkung mengelilingi paksi op-amp.

Setiap pelajar menerima kad arahan. Guru menekankan perkara utama.

– Guru menerangkan penyelesaian kepada contoh di papan tulis.

Pertimbangkan petikan daripada cerita dongeng yang terkenal A. S. Pushkin "Kisah Tsar Saltan, tentang pahlawannya yang mulia dan perkasa Putera Guidon Saltanovich dan Puteri Swan yang cantik" (Slaid 4):

…..
Dan utusan yang mabuk itu membawa
Pada hari yang sama pesanan adalah seperti berikut:
“Raja memerintahkan anak buahnya,
Tanpa membuang masa,
Dan permaisuri dan keturunan
Diam-diam buang ke dalam jurang air.”
Tiada apa yang perlu dilakukan: budak lelaki,
Risau pada yang berdaulat
Dan kepada permaisuri muda,
Orang ramai datang ke bilik tidurnya.
Mereka mengisytiharkan kehendak raja -
Dia dan anaknya mempunyai bahagian yang jahat,
Kami membaca perintah itu dengan kuat,
Dan ratu pada jam yang sama
Mereka memasukkan saya ke dalam tong bersama anak saya,
Mereka menapis tar dan menghalau
Dan mereka membenarkan saya masuk ke dalam okiyan -
Inilah yang diperintahkan oleh Tsar Saltan.

Berapakah isipadu tong itu supaya permaisuri dan anaknya boleh muat di dalamnya?

– Pertimbangkan tugas berikut

1. Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan berputar mengelilingi paksi ordinat bagi trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Jawapan: 1163 cm 3 .

Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan trapezoid parabola mengelilingi paksi absis y = , x = 4, y = 0.

IV. Menggabungkan bahan baharu

Contoh 2. Hitung isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran kelopak mengelilingi paksi-x y = x 2 , y 2 = x.

Mari bina graf fungsi. y = x 2 , y 2 = x. Jadual y2 = x tukar kepada borang y= .

Kami ada V = V 1 – V 2 Mari kita hitung isipadu setiap fungsi

– Sekarang, mari kita lihat menara untuk stesen radio di Moscow di Shabolovka, dibina mengikut reka bentuk jurutera Rusia yang luar biasa, ahli akademik kehormat V. G. Shukhov. Ia terdiri daripada bahagian - hiperboloid putaran. Selain itu, setiap daripadanya diperbuat daripada batang logam lurus yang menghubungkan bulatan bersebelahan (Rajah 8, 9).

- Mari kita pertimbangkan masalahnya.

Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan arka hiperbola di sekeliling paksi khayalannya, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 8, di mana

kiub unit

Tugasan kumpulan. Pelajar membuat undian dengan tugasan, melukis lukisan pada kertas whatman, dan salah seorang wakil kumpulan mempertahankan hasil kerja.

kumpulan pertama.

Pukul! Pukul! Satu pukulan lagi!
Bola terbang ke gawang - BOLA!
Dan ini adalah bola tembikai
Hijau, bulat, sedap.
Lihatlah dengan lebih baik - sungguh bola!
Ia tidak diperbuat daripada apa-apa melainkan bulatan.
Potong tembikai menjadi bulatan
Dan rasa mereka.

Cari isipadu jasad yang diperoleh melalui putaran mengelilingi paksi OX bagi fungsi terhad

Ralat! Penanda halaman tidak ditentukan.

– Tolong beritahu saya di mana kita bertemu dengan angka ini?

Rumah. tugasan untuk 1 kumpulan. SILINDER (gelongsor) .

"Silinder - apa itu?" - Saya bertanya kepada ayah saya.
Bapa ketawa: Topi atas ialah topi.
Untuk mempunyai idea yang betul,
Sebuah silinder, katakanlah, ialah tin tin.
Paip bot wap - silinder,
Paip di bumbung kami juga,

Semua paip adalah serupa dengan silinder.
Dan saya memberikan contoh seperti ini -
Kaleidoskop Cinta saya,
Anda tidak boleh mengalihkan pandangan anda dari dia,
Dan ia juga kelihatan seperti silinder.

- Senaman. Kerja rumah graf fungsi dan hitung isipadu.

kumpulan ke-2. KON (gelongsor).

Ibu berkata: Dan sekarang
Cerita saya akan mengenai kon.
Stargazer bertopi tinggi
Mengira bintang sepanjang tahun.
KON - topi pemerhati bintang.
Macam tu la dia. Faham? Itu sahaja.
Ibu berdiri di meja,
Saya menuangkan minyak ke dalam botol.
-Di manakah corongnya? Tiada corong.
Tengok itu. Jangan berdiri di tepi.
- Ibu, saya tidak akan berganjak.
Beritahu saya lebih lanjut tentang kon.
– Corong itu dalam bentuk kon tin air.
Ayuh, cari dia untuk saya cepat.
Saya tidak dapat mencari corong
Tetapi ibu membuat beg,
Saya membungkus kadbod di jari saya
Dan dia dengan cekap mengamankannya dengan klip kertas.
Minyak mengalir, ibu gembira,
Kon keluar betul-betul.

Senaman. Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis

Rumah. tugasan untuk kumpulan ke-2. PIRAMID(gelongsor).

Saya melihat gambar itu. Dalam gambar ini
Terdapat PIRAMID di padang pasir.
Segala-galanya dalam piramid adalah luar biasa,
Terdapat beberapa jenis misteri dan misteri di dalamnya.
Dan Menara Spasskaya di Dataran Merah
Ia sangat biasa untuk kedua-dua kanak-kanak dan orang dewasa.
Jika anda melihat menara itu, ia kelihatan biasa,
Apa yang ada di atasnya? Piramid!

Senaman. Kerja rumah: graf fungsi dan kira isipadu piramid

– Kami mengira isipadu pelbagai jasad berdasarkan formula asas untuk isipadu jasad menggunakan kamiran.

Ini adalah satu lagi pengesahan bahawa kamiran pasti adalah beberapa asas untuk kajian matematik.

- Baiklah, sekarang mari kita berehat sedikit.

Cari sepasang.

Permainan melodi domino matematik.

“Jalan yang saya sendiri cari tidak akan dilupakan...”

Kerja penyelidikan. Aplikasi kamiran dalam ekonomi dan teknologi.

Ujian untuk pelajar yang kuat dan bola sepak matematik.

Simulator matematik.

2. Set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu dipanggil

A) kamiran tak tentu,

B) fungsi,

B) pembezaan.

7. Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan:

D/Z. Kira isipadu jasad putaran.

Refleksi.

Penerimaan refleksi dalam bentuk syncwine(lima baris).

Baris pertama – nama topik (satu kata nama).

Baris ke-2 – penerangan topik dalam dua perkataan, dua kata sifat.

Baris ke-3 – perihalan tindakan dalam topik ini dalam tiga perkataan.

Baris ke-4 ialah frasa empat perkataan yang menunjukkan sikap terhadap topik (ayat keseluruhan).

Baris ke-5 adalah sinonim yang mengulangi intipati topik.

1. Kelantangan.
2. Kamiran pasti, fungsi boleh diintegrasikan.
3. Kami membina, kami berputar, kami mengira.
4. Jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezoid yang melengkung (di sekeliling tapaknya).
5. Badan putaran (badan geometri volumetrik).

Kesimpulan (gelongsor).

• Kamiran pasti ialah asas tertentu untuk kajian matematik, yang memberikan sumbangan yang tidak boleh ditukar ganti untuk menyelesaikan masalah praktikal.
• Topik "Integral" jelas menunjukkan hubungan antara matematik dan fizik, biologi, ekonomi dan teknologi.
• Pembangunan sains moden tidak boleh difikirkan tanpa menggunakan kamiran. Dalam hal ini, adalah perlu untuk mula mempelajarinya dalam rangka pendidikan khusus menengah!

Penggredan. (Dengan ulasan.)

Udang Galah Hebat Khayyam adalah seorang ahli matematik, penyair, ahli falsafah. Dia menggalakkan kita untuk menjadi tuan atas nasib kita sendiri. Jom dengarkan petikan karya beliau:

Anda akan berkata, hidup ini sekejap.
Hargainya, dapatkan inspirasi daripadanya.
Apabila anda membelanjakannya, ia akan berlalu.
Jangan lupa: dia adalah ciptaan anda.

Topik: "Mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran pasti"

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran: belajar mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran.

Tugasan:

menyatukan keupayaan untuk mengenal pasti trapezium melengkung daripada satu siri bentuk geometri dan mengamalkan kemahiran mengira luas trapezium lengkung;

berkenalan dengan konsep angka tiga dimensi;

belajar mengira isipadu badan revolusi;

menggalakkan perkembangan pemikiran logik, ucapan matematik yang cekap, ketepatan semasa membina lukisan;

untuk memupuk minat dalam subjek, dalam beroperasi dengan konsep dan imej matematik, untuk memupuk kemahuan, berdikari, dan ketabahan dalam mencapai keputusan akhir.

Semasa kelas

I. Detik organisasi.

Salam perkenalan dari kumpulan. Menyampaikan objektif pelajaran kepada pelajar.

Saya ingin memulakan pelajaran hari ini dengan perumpamaan. “Pada suatu masa dahulu hiduplah seorang yang bijaksana yang mengetahui segala-galanya. Seorang lelaki ingin membuktikan bahawa orang bijak itu tidak mengetahui segala-galanya. Sambil memegang seekor kupu-kupu di tangannya, dia bertanya: "Beritahu saya, orang bijak, rama-rama mana yang ada di tangan saya: mati atau hidup?" Dan dia berfikir: "Jika yang hidup berkata, saya akan membunuhnya; Orang bijak, setelah berfikir, menjawab: "Semuanya ada di tanganmu."

Oleh itu, mari kita bekerja dengan baik hari ini, memperoleh simpanan pengetahuan baru, dan kita akan menggunakan kemahiran dan kebolehan yang diperoleh dalam kehidupan masa depan dan dalam aktiviti praktikal "Semuanya ada di tangan anda."

II. Pengulangan bahan yang telah dipelajari sebelumnya.

Mari kita ingat perkara utama bahan yang dipelajari sebelum ini. Untuk melakukan ini, mari selesaikan tugasan "Hapuskan perkataan tambahan."

(Pelajar menyebut perkataan tambahan.)

Betul "Perbezaan". Cuba namakan perkataan yang tinggal dengan satu perkataan biasa. (Kalkulus bersepadu.)

Mari kita ingat peringkat dan konsep utama yang berkaitan dengan kalkulus kamiran.

Senaman. Pulihkan jurang. (Pelajar itu keluar dan menulis dalam perkataan yang diperlukan dengan penanda.)

Bekerja dalam buku nota.

Formula Newton-Leibniz diperolehi oleh ahli fizik Inggeris Isaac Newton (1643-1727) dan ahli falsafah Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dan ini tidak menghairankan, kerana matematik adalah bahasa yang dituturkan oleh alam semula jadi itu sendiri.

Mari kita pertimbangkan bagaimana formula ini digunakan untuk menyelesaikan masalah praktikal.

Contoh 1: Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Penyelesaian: Mari bina graf fungsi pada satah koordinat . Mari pilih kawasan angka yang perlu dijumpai.

III. Mempelajari bahan baharu.

Perhatikan skrin. Apakah yang ditunjukkan dalam gambar pertama? (Rajah menunjukkan angka rata.)

Apakah yang ditunjukkan dalam gambar kedua? Adakah angka ini rata? (Rajah menunjukkan rajah tiga dimensi.)

Di angkasa, di bumi dan dalam kehidupan seharian, kita tidak hanya menemui angka rata, tetapi juga tiga dimensi, tetapi bagaimana kita boleh mengira isipadu badan tersebut? Contohnya: isipadu planet, komet, meteorit, dsb.

Orang ramai berfikir tentang isipadu semasa membina rumah dan semasa menuangkan air dari satu bekas ke yang lain. Peraturan dan teknik untuk mengira isipadu terpaksa muncul; betapa tepat dan wajarnya adalah perkara lain.

Tahun 1612 sangat membuahkan hasil bagi penduduk kota Linz di Austria, tempat tinggal ahli astronomi terkenal Johannes Kepler, terutama untuk anggur. Orang ramai sedang menyediakan tong wain dan ingin tahu cara praktikal menentukan jumlahnya.

Oleh itu, karya-karya Kepler yang dipertimbangkan menandakan permulaan keseluruhan aliran penyelidikan yang memuncak pada suku terakhir abad ke-17. reka bentuk dalam karya I. Newton dan G.V. Leibniz bagi kalkulus pembezaan dan kamiran. Sejak itu, matematik pembolehubah mengambil tempat utama dalam sistem pengetahuan matematik.

Hari ini anda dan saya akan terlibat dalam aktiviti praktikal sedemikian, oleh itu,

Topik pelajaran kami: "Mengira isipadu badan putaran menggunakan kamiran pasti."

Anda akan mempelajari definisi badan revolusi dengan menyelesaikan tugasan berikut.

"Labyrinth".

Senaman. Cari jalan keluar daripada situasi yang mengelirukan dan tuliskan definisinya.

IVPengiraan isipadu.

Menggunakan kamiran pasti, anda boleh mengira isipadu badan tertentu, khususnya, badan revolusi.

Jasad revolusi ialah jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezoid melengkung di sekeliling tapaknya (Rajah 1, 2)

Isipadu badan revolusi dikira menggunakan salah satu formula:

1. sekitar paksi OX.

2. , jika putaran trapezium melengkung mengelilingi paksi op-amp.

Pelajar menulis formula asas dalam buku nota.

Guru menerangkan penyelesaian kepada contoh di papan tulis.

1. Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan berputar mengelilingi paksi ordinat bagi trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Penyelesaian.

Jawapan: 1163 cm3.

2. Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan trapezium parabola mengelilingi paksi-x y = , x = 4, y = 0.

Penyelesaian.

V. Simulator matematik.

2. Set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu dipanggil

A) kamiran tak tentu,

B) fungsi,

B) pembezaan.

7. Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan:

D/Z. Menggabungkan bahan baharu

Kira isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran kelopak mengelilingi paksi-x y = x2, y2 = x.

Mari bina graf fungsi. y = x2, y2 = x. Mari tukarkan graf y2 = x kepada bentuk y = .

Kita ada V = V1 - V2 Mari kita hitung isipadu setiap fungsi:

Kesimpulan:

Kamiran pasti adalah asas tertentu untuk kajian matematik, yang memberikan sumbangan yang tidak boleh digantikan untuk menyelesaikan masalah praktikal.

Topik "Integral" jelas menunjukkan hubungan antara matematik dan fizik, biologi, ekonomi dan teknologi.

Perkembangan sains moden tidak dapat difikirkan tanpa penggunaan integral. Dalam hal ini, adalah perlu untuk mula mengkajinya dalam rangka kerja purata pendidikan Khas!

VI. Penggredan.(Dengan ulasan.)

Omar Khayyam yang hebat - ahli matematik, penyair, ahli falsafah. Dia menggalakkan kita untuk menjadi tuan atas nasib kita sendiri. Jom dengarkan petikan karya beliau:

Anda berkata, hidup ini sekejap.
Hargainya, dapatkan inspirasi daripadanya.
Apabila anda membelanjakannya, ia akan berlalu.
Jangan lupa: dia adalah ciptaan anda.

rajah rata di sekeliling paksi

Contoh 3

Diberi angka rata yang dibatasi oleh garis , , .

1) Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis-garis ini.

2) Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Perhatian! Walaupun anda hanya mahu membaca point kedua, pertama Semestinya baca yang pertama!

Penyelesaian: Tugasan terdiri daripada dua bahagian. Mari kita mulakan dengan petak.

1) Mari buat lukisan:

Adalah mudah untuk melihat bahawa fungsi menentukan cawangan atas parabola, dan fungsi menentukan cawangan bawah parabola. Di hadapan kita adalah parabola remeh yang "terletak di sisinya."

Angka yang dikehendaki, kawasan yang boleh ditemui, dilorekkan dengan warna biru.

Bagaimana untuk mencari luas angka? Ia boleh didapati dengan cara "biasa". Selain itu, luas angka itu didapati sebagai jumlah kawasan:

- pada segmen ;

- pada segmen.

Itulah sebabnya:

Terdapat penyelesaian yang lebih rasional: ia terdiri daripada beralih kepada fungsi songsang dan menyepadukan sepanjang paksi.

Bagaimana untuk pergi ke fungsi songsang? Secara kasarnya, anda perlu menyatakan "x" melalui "y". Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tetapi mari kita pastikan bahawa fungsi yang sama boleh diperolehi daripada cawangan bawah:

Ia lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat paksi: sila condongkan kepala anda ke kanan 90 darjah secara berkala semasa anda menerangkan (ini bukan jenaka!). Angka yang kita perlukan terletak pada segmen, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus merah. Dalam kes ini, pada segmen garis lurus terletak di atas parabola, yang bermaksud bahawa kawasan angka itu harus dicari menggunakan formula yang sudah biasa kepada anda: . Apa yang telah berubah dalam formula? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Catatan : Had penyepaduan paksi hendaklah diletakkandengan ketat dari bawah ke atas !

Mencari kawasan:

Pada segmen, oleh itu:

Sila ambil perhatian bagaimana saya menjalankan penyepaduan, ini adalah cara yang paling rasional, dan dalam perenggan seterusnya tugas itu akan jelas mengapa.

Bagi pembaca yang meragui ketepatan integrasi, saya akan mencari derivatif:

Fungsi integrand asal diperolehi, yang bermaksud integrasi telah dilakukan dengan betul.

Jawab:

2) Mari kita hitung isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran rajah ini mengelilingi paksi.

Saya akan melukis semula lukisan dalam reka bentuk yang sedikit berbeza:

Jadi, rajah yang berlorek dengan warna biru berputar mengelilingi paksi. Hasilnya ialah "rama-rama melayang" yang berputar mengelilingi paksinya.

Untuk mencari isipadu badan putaran, kita akan menyepadukan sepanjang paksi. Mula-mula kita perlu pergi ke fungsi songsang. Perkara ini telah pun dilakukan dan diterangkan secara terperinci dalam perenggan sebelumnya.

Sekarang kita condongkan kepala kita ke kanan sekali lagi dan mengkaji angka kita. Jelas sekali, isipadu badan putaran harus didapati sebagai perbezaan dalam isipadu.

Kami memutarkan rajah yang dilingkari merah di sekeliling paksi, menghasilkan kon terpotong. Mari kita nyatakan jilid ini dengan .

Kami memutarkan rajah yang dilingkari hijau di sekeliling paksi dan menandakannya dengan isipadu badan putaran yang terhasil.

Isipadu rama-rama kita adalah sama dengan perbezaan isipadu.

Kami menggunakan formula untuk mencari isipadu badan putaran:

Apakah perbezaan daripada formula dalam perenggan sebelumnya? Hanya dalam surat.

Tetapi kelebihan integrasi, yang saya bincangkan baru-baru ini, adalah lebih mudah dicari , daripada menaikkan integrand terlebih dahulu kepada kuasa ke-4.

Jawab:

Sila ambil perhatian bahawa jika angka rata yang sama diputarkan di sekeliling paksi, anda akan mendapat badan putaran yang sama sekali berbeza, dengan isipadu yang berbeza, secara semula jadi.

Contoh 7

Hitung isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi rajah yang dibatasi oleh lengkung dan .

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Sepanjang perjalanan, kita berkenalan dengan graf beberapa fungsi lain. Ini adalah graf yang menarik malah berfungsi ….

Untuk tujuan mencari isipadu badan revolusi, cukup menggunakan separuh kanan rajah, yang saya lorekkan dengan warna biru. Kedua-dua fungsi adalah genap, graf mereka adalah simetri tentang paksi, dan angka kami adalah simetri. Oleh itu berlorek bahagian kanan, berputar mengelilingi paksi, pasti akan bertepatan dengan bahagian kiri yang tidak menetas.

Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran pasti?

Selain itu mencari luas rajah satah menggunakan kamiran pasti aplikasi topik yang paling penting ialah mengira isipadu badan revolusi. Bahannya mudah, tetapi pembaca mesti bersedia: anda mesti dapat menyelesaikannya kamiran tak tentu kerumitan sederhana dan gunakan formula Newton-Leibniz dalam kamiran pasti . Seperti masalah mencari kawasan, anda memerlukan kemahiran melukis yang yakin - ini hampir merupakan perkara yang paling penting (kerana kamiran itu sendiri selalunya mudah). Anda boleh menguasai teknik carta yang cekap dan pantas dengan bantuan bahan metodologi . Tetapi, sebenarnya, saya telah bercakap tentang kepentingan lukisan beberapa kali di dalam kelas. .

Secara umum, terdapat banyak aplikasi menarik dalam kalkulus kamiran menggunakan kamiran pasti, anda boleh mengira luas rajah, isipadu badan putaran, panjang lengkok, luas permukaan badan dan banyak lagi. Jadi ia akan menjadi menyeronokkan, sila kekal optimistik!

Bayangkan beberapa angka rata pada satah koordinat. Diperkenalkan? ... Saya tertanya-tanya siapa yang menyampaikan apa ... =))) Kami telah menemui kawasannya. Tetapi, sebagai tambahan, angka ini juga boleh diputar, dan diputar dalam dua cara:

– sekitar paksi-x; – mengelilingi paksi ordinat.

Artikel ini akan mengkaji kedua-dua kes. Kaedah putaran kedua adalah sangat menarik; ia menyebabkan kesukaran yang paling banyak, tetapi sebenarnya penyelesaiannya hampir sama dengan putaran yang lebih biasa di sekitar paksi-x. Sebagai bonus saya akan kembali masalah mencari luas rajah , dan saya akan memberitahu anda cara mencari kawasan dengan cara kedua - di sepanjang paksi. Ia bukan satu bonus kerana bahan itu sesuai dengan topik.

Mari kita mulakan dengan jenis putaran yang paling popular.

Contoh 1

Kira isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan rajah yang dibatasi oleh garisan mengelilingi paksi.

Penyelesaian: Seperti dalam masalah mencari kawasan, penyelesaian dimulakan dengan lukisan angka rata. Iaitu, pada satah adalah perlu untuk membina angka yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahawa persamaan mentakrifkan paksi. Cara menyiapkan lukisan dengan lebih cekap dan cepat boleh didapati di halaman Graf dan sifat fungsi Asas Dan Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah . Ini adalah peringatan orang Cina, dan pada ketika ini saya tidak akan bercerita lebih jauh.

Lukisan di sini agak mudah:

Angka rata yang dikehendaki dilorekkan dengan warna biru; Hasil daripada putaran, terhasillah piring terbang sedikit bujur telur yang simetri pada paksi. Malah, badan itu mempunyai nama matematik, tetapi saya terlalu malas untuk melihat dalam buku rujukan, jadi kami teruskan.

Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi?

Isipadu badan revolusi boleh dikira menggunakan formula:

Dalam formula, nombor mesti ada sebelum kamiran. Jadi ia berlaku - segala-galanya yang berputar dalam kehidupan dihubungkan dengan pemalar ini.

Saya rasa mudah untuk meneka cara menetapkan had penyepaduan "a" dan "be" daripada lukisan yang telah siap.

Fungsi... apakah fungsi ini? Mari lihat lukisan itu. Angka rata itu dibatasi oleh graf parabola di bahagian atas. Ini adalah fungsi yang tersirat dalam formula.

Dalam tugas praktikal, angka rata kadangkala boleh diletakkan di bawah paksi. Ini tidak mengubah apa-apa - fungsi dalam formula adalah kuasa dua: dengan itu isipadu badan revolusi sentiasa bukan negatif, yang sangat logik.

Mari kita hitung isipadu badan putaran menggunakan formula ini:

Seperti yang telah saya nyatakan, integral hampir selalu ternyata mudah, perkara utama adalah berhati-hati.

Jawapan:

Dalam jawapan anda, anda mesti menunjukkan dimensi - unit padu. Iaitu, dalam badan putaran kita terdapat kira-kira 3.35 "kiub". Kenapa kubik unit? Kerana formulasi yang paling universal. Mungkin ada sentimeter padu, mungkin ada meter padu, mungkin ada kilometer padu, dsb., Itulah berapa ramai lelaki hijau yang boleh imaginasi anda masukkan ke dalam piring terbang.

Contoh 2

Cari isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi rajah yang dibatasi oleh garis,

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita pertimbangkan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering dihadapi dalam amalan.

Contoh 3

Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis rajah yang dibatasi oleh garisan ,, dan

Penyelesaian: Marilah kita menggambarkan dalam lukisan angka rata yang dibatasi oleh garis ,,,, tanpa lupa bahawa persamaan mentakrifkan paksi:

Angka yang dikehendaki dilorekkan dengan warna biru. Apabila ia berputar mengelilingi paksinya, ia ternyata menjadi donat surreal dengan empat penjuru.

Mari kita hitung isipadu badan revolusi sebagai perbezaan isipadu badan.

Mula-mula, mari kita lihat angka yang dilingkari merah. Apabila ia berputar mengelilingi paksi, kon terpenggal diperolehi. Mari kita nyatakan isipadu kon terpenggal ini dengan.

Pertimbangkan rajah yang dibulatkan dengan warna hijau. Jika anda memutarkan rajah ini di sekeliling paksi, anda juga akan mendapat kon terpenggal, hanya lebih kecil sedikit. Mari kita nyatakan isipadunya dengan.

Dan, jelas sekali, perbezaan dalam jumlah adalah betul-betul jumlah "donut" kami.

Kami menggunakan formula standard untuk mencari isipadu badan putaran:

1) Rajah yang dilingkari merah dibatasi di atas dengan garis lurus, oleh itu:

2) Rajah yang dilingkari hijau dibatasi di atas dengan garis lurus, oleh itu:

3) Isipadu badan revolusi yang dikehendaki:

Jawapan:

Adalah menarik bahawa dalam kes ini penyelesaiannya boleh disemak menggunakan formula sekolah untuk mengira isipadu kon terpenggal.

Keputusan itu sendiri sering ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita berehat sedikit dan memberitahu anda tentang ilusi geometri.

Orang sering mempunyai ilusi yang dikaitkan dengan jilid, yang diperhatikan oleh Perelman (bukan yang itu) dalam buku itu Geometri yang menghiburkan. Lihatlah angka rata dalam masalah yang diselesaikan - ia nampaknya kecil di kawasan, dan isipadu badan revolusi hanyalah lebih daripada 50 unit padu, yang kelihatan terlalu besar. Ngomong-ngomong, orang biasa minum setara dengan bilik 18 meter persegi cecair sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, nampaknya jumlahnya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di USSR adalah yang terbaik. Buku yang sama oleh Perelman, yang ditulis olehnya pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan oleh ahli humor itu, berfikir dan mengajar seseorang untuk mencari penyelesaian yang asli dan tidak standard untuk masalah. Saya baru-baru ini membaca semula beberapa bab dengan penuh minat, saya mengesyorkannya, ia boleh diakses walaupun oleh ahli kemanusiaan. Tidak, anda tidak perlu tersenyum kerana saya menawarkan masa lapang, pengetahuan dan ufuk yang luas dalam komunikasi adalah perkara yang hebat.

Selepas penyimpangan lirik, adalah sesuai untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran tentang paksi suatu rajah rata yang dibatasi oleh garis,, di mana.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Sila ambil perhatian bahawa semua perkara berlaku dalam band, dalam erti kata lain, had integrasi sedia ada diberikan. Juga cuba lukis graf fungsi trigonometri dengan betul jika hujah dibahagikan dengan dua: maka graf diregangkan di sepanjang paksi dua kali. Cuba cari sekurang-kurangnya 3-4 mata mengikut jadual trigonometri dan melengkapkan lukisan dengan lebih tepat. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. By the way, tugas itu boleh diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Pengiraan isipadu jasad yang terbentuk dengan memutarkan rajah rata di sekeliling paksi

Perenggan kedua akan menjadi lebih menarik daripada perenggan pertama. Tugas mengira isipadu badan revolusi di sekeliling paksi ordinat juga merupakan tetamu yang agak biasa dalam kerja ujian. Sepanjang perjalanan ia akan dipertimbangkan masalah mencari luas rajah kaedah kedua ialah integrasi sepanjang paksi, ini akan membolehkan anda bukan sahaja untuk meningkatkan kemahiran anda, tetapi juga mengajar anda untuk mencari jalan penyelesaian yang paling menguntungkan. Terdapat juga makna kehidupan praktikal dalam ini! Semasa guru saya mengenai kaedah pengajaran matematik mengenang kembali dengan senyuman, ramai graduan mengucapkan terima kasih kepadanya dengan kata-kata: "Subjek anda banyak membantu kami, kini kami adalah pengurus yang berkesan dan menguruskan kakitangan secara optimum." Mengambil kesempatan ini, saya juga merakamkan setinggi-tinggi penghargaan kepada beliau, lebih-lebih lagi saya menggunakan ilmu yang diperoleh untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Contoh 5

Diberi angka rata yang dibatasi oleh garis ,,.

1) Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis-garis ini. 2) Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Perhatian! Walaupun anda hanya mahu membaca point kedua, pertama Semestinya baca yang pertama!

Penyelesaian: Tugasan terdiri daripada dua bahagian. Mari kita mulakan dengan petak.

1) Mari buat lukisan:

Adalah mudah untuk melihat bahawa fungsi menentukan cawangan atas parabola, dan fungsi menentukan cawangan bawah parabola. Di hadapan kita adalah parabola remeh yang "terletak di sisinya."

Angka yang dikehendaki, kawasan yang boleh ditemui, dilorekkan dengan warna biru.

Bagaimana untuk mencari luas angka? Ia boleh didapati dengan cara "biasa", yang dibincangkan di dalam kelas Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah . Selain itu, luas rajah didapati sebagai jumlah kawasan: – pada segmen ; - pada segmen.

Itulah sebabnya:

Mengapa penyelesaian biasa buruk dalam kes ini? Pertama, kami mendapat dua kamiran. Kedua, kamiran ialah punca, dan punca kamiran bukan hadiah, dan selain itu, anda boleh keliru dalam menggantikan had kamiran. Sebenarnya, kamiran, tentu saja, bukan pembunuh, tetapi dalam praktiknya semuanya boleh menjadi lebih menyedihkan, saya hanya memilih fungsi "lebih baik" untuk masalah itu.

Terdapat penyelesaian yang lebih rasional: ia terdiri daripada beralih kepada fungsi songsang dan menyepadukan sepanjang paksi.

Bagaimana untuk pergi ke fungsi songsang? Secara kasarnya, anda perlu menyatakan "x" melalui "y". Pertama, mari kita lihat parabola:

Ini sudah cukup, tetapi mari kita pastikan bahawa fungsi yang sama boleh diperolehi daripada cawangan bawah:

Ia lebih mudah dengan garis lurus:

Sekarang lihat paksi: sila condongkan kepala anda ke kanan 90 darjah secara berkala semasa anda menerangkan (ini bukan jenaka!). Angka yang kita perlukan terletak pada segmen, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus merah. Lebih-lebih lagi, pada segmen garis lurus terletak di atas parabola, yang bermaksud bahawa kawasan angka itu harus ditemui menggunakan formula yang sudah biasa kepada anda: . Apa yang telah berubah dalam formula? Hanya sepucuk surat dan tidak lebih.

! Nota: Had penyepaduan di sepanjang paksi hendaklah ditetapkandengan ketat dari bawah ke atas !

Mencari kawasan:

Pada segmen, oleh itu:

Sila ambil perhatian bagaimana saya menjalankan penyepaduan, ini adalah cara yang paling rasional, dan dalam perenggan seterusnya tugas itu akan jelas mengapa.

Bagi pembaca yang meragui ketepatan integrasi, saya akan mencari derivatif:

Fungsi integrand asal diperolehi, yang bermaksud integrasi telah dilakukan dengan betul.

Jawapan:

2) Mari kita hitung isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran rajah ini mengelilingi paksi.

Saya akan melukis semula lukisan dalam reka bentuk yang sedikit berbeza:

Jadi, rajah yang berlorek dengan warna biru berputar mengelilingi paksi. Hasilnya ialah "rama-rama melayang" yang berputar mengelilingi paksinya.

Untuk mencari isipadu badan putaran, kita akan menyepadukan sepanjang paksi. Mula-mula kita perlu pergi ke fungsi songsang. Perkara ini telah pun dilakukan dan diterangkan secara terperinci dalam perenggan sebelumnya.

Sekarang kita condongkan kepala kita ke kanan sekali lagi dan mengkaji angka kita. Jelas sekali, isipadu badan putaran harus didapati sebagai perbezaan dalam isipadu.

Kami memutarkan rajah yang dilingkari merah di sekeliling paksi, menghasilkan kon terpotong. Mari kita nyatakan jilid ini dengan.

Kami memutarkan rajah yang dilingkari hijau di sekeliling paksi dan menandakan dengan isipadu badan putaran yang terhasil.

Isipadu rama-rama kita adalah sama dengan perbezaan isipadu.

Kami menggunakan formula untuk mencari isipadu badan putaran:

Apakah perbezaan daripada formula dalam perenggan sebelumnya? Hanya dalam surat.

Tetapi kelebihan integrasi, yang saya bincangkan baru-baru ini, adalah lebih mudah dicari , daripada menaikkan integrand terlebih dahulu kepada kuasa ke-4.