Dalam artikel ini anda akan belajar bagaimana untuk mencari luas angka, terhad oleh garisan, menggunakan pengiraan menggunakan kamiran. Buat pertama kalinya kita menghadapi perumusan masalah sedemikian di sekolah menengah, apabila kita baru sahaja menyelesaikan kajian kamiran pasti dan sudah tiba masanya untuk memulakan tafsiran geometri pengetahuan yang diperoleh dalam amalan.
Jadi, apa yang diperlukan untuk berjaya menyelesaikan masalah mencari luas rajah menggunakan kamiran:
- Keupayaan untuk membuat lukisan yang cekap;
- Kemahiran menyelesaikan kamiran pasti dengan menggunakan formula terkenal Newton-Leibniz;
- Keupayaan untuk "melihat" pilihan penyelesaian yang lebih menguntungkan - i.e. memahami bagaimana dalam satu kes atau yang lain ia akan menjadi lebih mudah untuk menjalankan integrasi? Sepanjang paksi-x (OX) atau paksi-y (OY)?
- Nah, di manakah kita tanpa pengiraan yang betul?) Ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis kamiran lain itu dan pengiraan berangka yang betul.
Algoritma untuk menyelesaikan masalah mengira luas angka yang dibatasi oleh garis:
1. Kami sedang membina lukisan. Adalah dinasihatkan untuk melakukan ini pada sekeping kertas berkotak-kotak, secara besar-besaran. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensel di atas setiap graf. Menandatangani graf dilakukan semata-mata untuk kemudahan pengiraan selanjutnya. Setelah menerima graf angka yang dikehendaki, dalam kebanyakan kes ia akan segera jelas had penyepaduan yang akan digunakan. Ini adalah cara kami menyelesaikan masalah kaedah grafik. Walau bagaimanapun, ia berlaku bahawa nilai had adalah pecahan atau tidak rasional. Oleh itu, anda boleh membuat pengiraan tambahan, pergi ke langkah dua.
2. Jika had penyepaduan tidak dinyatakan secara eksplisit, maka kita mencari titik persilangan graf antara satu sama lain dan melihat sama ada penyelesaian grafik dengan analitikal.
3. Seterusnya, anda perlu menganalisis lukisan itu. Bergantung pada bagaimana graf fungsi disusun, terdapat pendekatan yang berbeza untuk mencari luas rajah. Mari kita pertimbangkan contoh yang berbeza dalam mencari luas rajah menggunakan kamiran.
3.1. Versi masalah yang paling klasik dan paling mudah ialah apabila anda perlu mencari kawasan trapezoid melengkung. Apakah trapezoid melengkung? Ini ialah angka rata yang dihadkan oleh paksi-x (y = 0), lurus x = a, x = b dan sebarang lengkung berterusan pada selang dari a sebelum ini b. Selain itu, angka ini bukan negatif dan terletak tidak di bawah paksi-x. Dalam kes ini, luas trapezoid melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu, dikira menggunakan formula Newton-Leibniz:
Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Apakah garisan rajah yang dibatasi? Kami mempunyai parabola y = x2 – 3x + 3, yang terletak di atas paksi OH, ia bukan negatif, kerana semua titik parabola ini mempunyai nilai positif. Seterusnya, diberi garis lurus x = 1 Dan x = 3, yang berjalan selari dengan paksi OU, ialah garis sempadan rajah di kiri dan kanan. Baiklah y = 0, ia juga paksi-x, yang mengehadkan angka dari bawah. Angka yang terhasil dilorekkan, seperti yang dapat dilihat dari rajah di sebelah kiri. DALAM dalam kes ini, anda boleh mula menyelesaikan masalah dengan segera. Sebelum kita adalah contoh mudah trapezoid melengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan formula Newton-Leibniz.
3.2. Dalam perenggan 3.1 sebelumnya, kami meneliti kes apabila trapezoid melengkung terletak di atas paksi-x. Sekarang pertimbangkan kes apabila keadaan masalah adalah sama, kecuali fungsi itu terletak di bawah paksi-x. Tolak ditambah kepada formula Newton-Leibniz standard. Kami akan mempertimbangkan cara menyelesaikan masalah sedemikian di bawah.
Contoh 2 . Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Dalam contoh ini kita mempunyai parabola y = x2 + 6x + 2, yang berasal dari paksi OH, lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di sini y = 0 mengehadkan angka yang dikehendaki dari atas. Langsung x = -4 Dan x = -1 ini adalah sempadan di mana kamiran pasti akan dikira. Prinsip menyelesaikan masalah mencari luas rajah hampir sepenuhnya bertepatan dengan contoh nombor 1. Satu-satunya perbezaan ialah fungsi yang diberikan tidak positif, dan juga berterusan pada selang [-4; -1] . Apa yang anda maksudkan tidak positif? Seperti yang dapat dilihat dari rajah, angka yang terletak dalam x yang diberikan mempunyai koordinat "negatif" secara eksklusif, yang perlu kita lihat dan ingat apabila menyelesaikan masalah. Kami mencari kawasan angka menggunakan formula Newton-Leibniz, hanya dengan tanda tolak pada permulaan.
Artikel tidak selesai.
A)
Penyelesaian.
Perkara pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan.
Mari buat lukisan:
Persamaan y=0 menetapkan paksi "x";
- x=-2 Dan x=1 - lurus, selari dengan paksi OU;
- y=x 2 +2 - sebuah parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke atas, dengan bucu pada titik (0;2).
Komen. Untuk membina parabola, cukup untuk mencari titik persilangannya dengan paksi koordinat, i.e. meletakkan x=0 cari persilangan dengan paksi OU dan membuat keputusan sewajarnya persamaan kuadratik, cari persilangan dengan paksi Oh .
Puncak parabola boleh didapati menggunakan formula: 
Anda juga boleh membina garisan titik demi titik.
Pada selang [-2;1] graf fungsi y=x 2 +2 terletak di atas paksi lembu , Itulah sebabnya:
Jawapan: S =9 unit persegi
Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, akan ada kira-kira 9, nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka adalah jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.
Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid melengkung terletak di bawah gandar Oh?
b) Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan paksi koordinat.
Penyelesaian.
Jom buat lukisan.
Jika trapezium melengkung sepenuhnya terletak di bawah paksi Oh , maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:
Jawapan: S=(e-1) unit persegi" 1.72 unit persegi
Perhatian! Kedua-dua jenis tugas itu tidak boleh dikelirukan:
1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia mungkin negatif.
2) Jika anda diminta untuk mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luas itu sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.
Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah.
dengan) Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.
Penyelesaian.
Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola 
dan lurus 
Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analitikal.
Kami menyelesaikan persamaan:
Ini bermakna bahawa had bawah integrasi a=0 , had atas penyepaduan b=3 .
|
Kami sedang membina garisan yang diberikan: 1. Parabola - bucu pada titik (1;1); persimpangan paksi Oh - mata (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - pembahagi dua sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan g(x), maka luas angka yang sepadan boleh didapati menggunakan formula: Dan tidak kira di mana angka itu berada - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi yang penting ialah graf yang LEBIH TINGGI (berbanding dengan graf lain), dan yang manakah di BAWAH. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada |
.Anda boleh membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Walau bagaimanapun, kaedah analisis mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional).
Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Pada segmen 
, mengikut formula yang sepadan:
Jawapan: S =4.5 unit persegi
Sebenarnya, untuk mencari luas rajah, anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang kamiran tak tentu dan pasti. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, banyak lagi isu topikal akan menjadi pengetahuan dan kemahiran anda dalam melukis. Dalam hal ini, adalah berguna untuk menyegarkan ingatan anda tentang graf utama fungsi asas, dan, sekurang-kurangnya, boleh membina garis lurus dan hiperbola.
Trapezoid melengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh paksi, garis lurus, dan graf fungsi berterusan pada segmen yang tidak berubah tanda pada selang ini. Biarkan angka ini terletak tidak kurang paksi-x:
Kemudian luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran pasti. Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai yang sangat baik makna geometri.
Dari sudut geometri, kamiran pasti ialah LUAS.
Itu dia, kamiran tertentu (jika wujud) secara geometri sepadan dengan luas angka tertentu. Sebagai contoh, pertimbangkan kamiran pasti. Kamiran dan mentakrifkan lengkung pada satah yang terletak di atas paksi (mereka yang mahu boleh membuat lukisan), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugasan biasa. Perkara pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.
Semasa membina lukisan, saya mengesyorkan susunan berikut: pada mulanya adalah lebih baik untuk membina semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian- parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Ia lebih menguntungkan untuk membina graf fungsi titik demi titik.
Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita lukis lukisan (perhatikan bahawa persamaan mentakrifkan paksi):
Pada segmen, graf fungsi terletak di atas paksi, Itulah sebabnya:
Jawapan:
Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, akan ada kira-kira 9, nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapan: 20 unit persegi, maka jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.
Contoh 3
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi koordinat.
Penyelesaian: Mari buat lukisan:
Jika trapezium melengkung terletak di bawah gandar(atau sekurang-kurangnya tidak lebih tinggi paksi yang diberikan), maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:
Dalam kes ini:
Perhatian! Kedua-dua jenis tugas itu tidak boleh dikelirukan:
1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia mungkin negatif.
2) Jika anda diminta untuk mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luas itu sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.
Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis , .
Penyelesaian: Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan garis lurus. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:
Ini bermakna had bawah pengamiran ialah , had atas pengamiran ialah .
Jika boleh, lebih baik tidak menggunakan kaedah ini..
Ia adalah lebih menguntungkan dan lebih pantas untuk membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Walau bagaimanapun, kaedah analisis mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.
Mari kita kembali kepada tugas kita: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan hanya kemudian parabola. Mari buat lukisan:
Dan kini formula kerja: Jika terdapat beberapa fungsi berterusan pada segmen lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan , maka luas rajah yang dibatasi oleh graf fungsi ini dan garis , , boleh didapati menggunakan formula: 
Di sini anda tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, dan, secara kasarnya, penting graf mana yang LEBIH TINGGI(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.
Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada
Penyelesaian yang lengkap mungkin kelihatan seperti ini:
Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Pada segmen, mengikut formula yang sepadan:
Jawapan:
Contoh 4
Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , , , .
Penyelesaian: Mula-mula, mari buat lukisan:
Rajah yang kawasannya perlu kita cari adalah berwarna biru(lihat dengan teliti keadaan - bagaimana angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh kurangnya perhatian, "gangguan" sering timbul yang anda perlukan untuk mencari kawasan angka yang berlorek hijau!
Contoh ini juga berguna kerana ia mengira luas rajah menggunakan dua kamiran pasti.
sungguh:
1) Pada segmen di atas paksi terdapat graf garis lurus;
2) Pada segmen di atas paksi terdapat graf hiperbola.
Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan aplikasi kalkulus kamiran. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas biasa dan paling biasa mengira luas rajah satah menggunakan kamiran pasti. Akhirnya, biarkan semua orang yang mencari makna dalam matematik yang lebih tinggi menemuinya. Anda tidak pernah tahu. Kita perlu mendekatkannya dalam hidup kawasan pondok desa fungsi asas dan cari luasnya menggunakan kamiran pasti.
Untuk berjaya menguasai bahan, anda mesti:
1) Memahami kamiran tak tentu sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Oleh itu, dummies harus terlebih dahulu membaca pelajaran tidak.
2) Dapat menggunakan formula Newton-Leibniz dan mengira kamiran pasti. Anda boleh menjalin hubungan mesra yang mesra dengan kamiran tertentu pada halaman Kamiran pasti. Contoh penyelesaian. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, jadi pengetahuan dan kemahiran melukis anda juga akan menjadi isu yang berkaitan. Sekurang-kurangnya, anda perlu dapat membina garis lurus, parabola dan hiperbola.
Mari kita mulakan dengan trapezium melengkung. Trapezoid melengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh graf bagi beberapa fungsi y = f(x), paksi OX dan garisan x = a; x = b.
Luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran pasti
Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik. Pada pelajaran Kamiran pasti. Contoh penyelesaian kami mengatakan bahawa kamiran pasti ialah nombor. Dan kini tiba masanya untuk menyatakan satu lagi fakta yang berguna. Dari sudut geometri, kamiran pasti ialah LUAS. Itu dia, kamiran pasti (jika wujud) secara geometri sepadan dengan luas rajah tertentu. Pertimbangkan kamiran pasti
Integrasi
mentakrifkan lengkung pada satah (ia boleh dilukis jika dikehendaki), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.
Contoh 1
, , , .
Ini adalah pernyataan tugasan biasa. Perkara yang paling penting penyelesaian - lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.
Semasa membina lukisan, saya mengesyorkan susunan berikut: pada mulanya adalah lebih baik untuk membina semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Teknik pembinaan titik demi titik boleh didapati dalam bahan rujukan Graf dan sifat fungsi asas. Di sana anda juga boleh mencari bahan yang sangat berguna untuk pelajaran kami - cara membina parabola dengan cepat.
Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita buat lukisan (perhatikan bahawa persamaan y= 0 menentukan paksi OX):
Kami tidak akan menaungi trapezoid yang melengkung di sini jelas kawasan yang kita bicarakan. Penyelesaiannya berterusan seperti ini:
Pada segmen [-2; 1] graf fungsi y = x 2 + 2 terletak di atas paksiOX, Itulah sebabnya:
Jawapan: .
Siapa yang menghadapi kesukaran dalam mengira kamiran pasti dan menggunakan formula Newton-Leibniz
,
rujuk kuliah Kamiran pasti. Contoh penyelesaian. Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, kita mengira bilangan sel dalam lukisan "dengan mata" - baik, akan ada kira-kira 9, yang nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapan: 20 unit persegi, maka jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.
Contoh 2
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis xy = 4, x = 2, x= 4 dan paksi OX.
Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.
Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid melengkung terletak di bawah gandarOX?
Contoh 3
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y = e-x, x= 1 dan paksi koordinat.
Penyelesaian: Mari buat lukisan:
Jika trapezium melengkung sepenuhnya terletak di bawah paksi OX , maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:
Dalam kes ini:
.
Perhatian! Kedua-dua jenis tugas tidak boleh dikelirukan:
1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia mungkin negatif.
2) Jika anda diminta untuk mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luas itu sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.
Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y = 2x – x 2 , y = -x.
Penyelesaian: Mula-mula anda perlu membuat lukisan. Apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola y = 2x – x 2 dan lurus y = -x. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:
Ini bermakna bahawa had bawah integrasi a= 0, had atas penyepaduan b= 3. Selalunya lebih menguntungkan dan lebih pantas untuk membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Walau bagaimanapun, kaedah analisis mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Mari kita kembali kepada tugas kita: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan hanya kemudian parabola. Mari buat lukisan:
Mari kita ulangi bahawa apabila membina mengikut arah, had penyepaduan paling kerap ditentukan "secara automatik".
Dan sekarang formula kerja:
Jika pada segmen [ a; b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan g(x), maka kawasan angka yang sepadan boleh didapati menggunakan formula:
Di sini anda tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi penting graf mana yang LEBIH TINGGI(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.
Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu dari 2 x – x 2 mesti ditolak - x.
Penyelesaian yang lengkap mungkin kelihatan seperti ini:
Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola y = 2x – x 2 di atas dan lurus y = -x di bawah.
Pada segmen 2 x – x 2 ≥ -x. Mengikut formula yang sepadan:
Jawapan: .
Malah, formula sekolah untuk luas trapezium melengkung pada separuh satah bawah (lihat contoh No. 3) ialah kes istimewa formula
.
Kerana paksi OX diberikan oleh persamaan y= 0, dan graf fungsi g(x) terletak di bawah paksi OX, Itu
.
Dan kini beberapa contoh untuk penyelesaian anda sendiri
Contoh 5
Contoh 6
Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis
Apabila menyelesaikan masalah yang melibatkan pengiraan luas menggunakan kamiran pasti, kejadian lucu kadangkala berlaku. Lukisan dibuat dengan betul, pengiraan adalah betul, tetapi kerana kecuaian ... Kawasan angka yang salah ditemui.
Contoh 7
Mula-mula mari buat lukisan:
Rajah yang kawasannya perlu kita cari adalah berwarna biru(lihat dengan teliti keadaan - bagaimana angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh ketidakpedulian, orang sering memutuskan bahawa mereka perlu mencari kawasan angka yang berlorek dengan warna hijau!
Contoh ini juga berguna kerana ia mengira luas rajah menggunakan dua kamiran pasti. sungguh:
1) Pada segmen [-1; 1] di atas paksi OX graf terletak lurus y = x+1;
2) Pada segmen di atas paksi OX graf hiperbola terletak y = (2/x).
Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:
Jawapan:
Contoh 8
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis
Mari kita kemukakan persamaan dalam bentuk "sekolah".
dan buat lukisan titik demi titik:
Daripada lukisan itu jelas bahawa had atas kami adalah "baik": b = 1.
Tetapi apakah had yang lebih rendah?! Sudah jelas bahawa ini bukan integer, tetapi apakah itu?
Mungkin, a=(-1/3)? Tetapi di manakah jaminan bahawa lukisan itu dibuat dengan ketepatan yang sempurna, ia mungkin ternyata begitu a=(-1/4). Bagaimana jika kita membina graf dengan salah?
Dalam kes sedemikian, anda perlu meluangkan masa tambahan dan menjelaskan had penyepaduan secara analitik.
Mari cari titik persilangan graf
Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan:
.
Oleh itu, a=(-1/3).
Penyelesaian selanjutnya adalah remeh. Perkara utama ialah jangan keliru dalam penggantian dan tanda. Pengiraan di sini bukanlah yang paling mudah. Pada segmen
, 
,
mengikut formula yang sesuai:
Jawapan: 
Untuk mengakhiri pelajaran, mari kita lihat dua lagi tugas yang sukar.
Contoh 9
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis
Penyelesaian: Mari kita gambarkan angka ini dalam lukisan.
Untuk melukis lukisan titik demi titik yang anda perlu tahu penampilan sinusoid. Secara umum, adalah berguna untuk mengetahui graf semua fungsi asas, serta beberapa nilai sinus. Mereka boleh didapati dalam jadual nilai fungsi trigonometri . Dalam sesetengah kes (contohnya, dalam kes ini), adalah mungkin untuk membina lukisan skematik, di mana graf dan had penyepaduan harus dipaparkan secara asas dengan betul.
Tiada masalah dengan had penyepaduan di sini;
– “x” berubah daripada sifar kepada “pi”. Mari buat keputusan selanjutnya:
Pada segmen, graf fungsi y= dosa 3 x terletak di atas paksi OX, Itulah sebabnya:
(1) Anda boleh melihat bagaimana sinus dan kosinus disepadukan dalam kuasa ganjil dalam pelajaran Kamiran bagi fungsi trigonometri. Kami mencubit satu resdung.
(2) Kami menggunakan identiti trigonometri utama dalam bentuk
(3) Mari kita ubah pembolehubah t=kos x, maka: terletak di atas paksi, oleh itu:
.
.
Catatan: perhatikan bagaimana kamiran kubus tangen diambil sebagai akibat daripada identiti trigonometri asas digunakan di sini
.
Masalah 1(tentang mengira luas trapezium melengkung).
Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartes xOy, angka diberikan (lihat rajah) yang dibatasi oleh paksi x, garis lurus x = a, x = b (a oleh trapezoid lengkung. Ia diperlukan untuk mengira luas lengkungan. trapezoid.
Penyelesaian. Geometri memberi kita resipi untuk mengira kawasan poligon dan beberapa bahagian bulatan (sektor, segmen). Menggunakan pertimbangan geometri, kita hanya boleh mencari nilai anggaran kawasan yang diperlukan, dengan alasan seperti berikut.
Mari bahagikan segmen [a; b] (tapak trapezoid melengkung) kepada n bahagian yang sama; partition ini dijalankan menggunakan titik x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Mari kita lukis garis lurus melalui titik-titik ini selari dengan paksi-y. Kemudian trapezoid lengkung yang diberi akan dibahagikan kepada n bahagian, kepada n lajur sempit. Luas keseluruhan trapezoid adalah sama dengan jumlah luas lajur.
Mari kita pertimbangkan lajur k-th secara berasingan, i.e. trapezoid melengkung yang tapaknya ialah ruas. Mari kita gantikannya dengan segi empat tepat dengan tapak dan ketinggian yang sama bersamaan dengan f(x k) (lihat rajah). Luas segi empat tepat adalah sama dengan \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), dengan \(\Delta x_k \) ialah panjang segmen; Adalah wajar untuk menganggap produk yang terhasil sebagai nilai anggaran luas lajur k. 
Jika kita sekarang melakukan perkara yang sama dengan semua lajur lain, kita akan sampai kepada keputusan berikut: luas S bagi trapezium melengkung tertentu adalah lebih kurang sama dengan luas S n bagi rajah bertingkat yang terdiri daripada n segi empat tepat (lihat rajah):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Di sini, demi keseragaman tatatanda, kita andaikan bahawa a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - panjang segmen, \(\Delta x_1 \) - panjang segmen, dsb.; dalam kes ini, seperti yang kita bersetuju di atas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Jadi, \(S \approx S_n \), dan anggaran kesamaan ini adalah lebih tepat, semakin besar n.
Secara takrifan, dipercayai bahawa luas yang diperlukan bagi trapezium melengkung adalah sama dengan had jujukan (S n):
$$ S = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Masalah 2(mengenai memindahkan titik)
Titik material bergerak dalam garis lurus. Kebergantungan kelajuan pada masa dinyatakan dengan formula v = v(t). Cari pergerakan titik dalam satu tempoh masa [a; b].
Penyelesaian. Sekiranya pergerakan itu seragam, maka masalah itu akan diselesaikan dengan mudah: s = vt, i.e. s = v(b-a). Untuk pergerakan yang tidak sekata, anda perlu menggunakan idea yang sama di mana penyelesaian kepada masalah sebelumnya adalah berdasarkan.
1) Bahagikan selang masa [a; b] kepada n bahagian yang sama.
2) Pertimbangkan tempoh masa dan anggap bahawa dalam tempoh masa ini kelajuan adalah malar, sama seperti pada masa t k. Jadi kita andaikan bahawa v = v(t k).
3) Mari cari nilai anggaran pergerakan titik dalam tempoh masa; kita akan menandakan nilai anggaran ini sebagai s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Cari nilai anggaran sesaran s:
\(s \approx S_n \) di mana
\(S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Anjakan yang diperlukan adalah sama dengan had jujukan (S n):
$$ s = \lim_(n \hingga \infty) S_n $$
Mari kita ringkaskan. Penyelesaian pelbagai tugas dikurangkan kepada model matematik yang sama. Banyak masalah dari pelbagai bidang sains dan teknologi membawa kepada model yang sama dalam proses penyelesaian. Jadi ini model matematik perlu dikaji secara khusus.
Konsep kamiran pasti
Mari kita berikan penerangan matematik model yang dibina dalam tiga masalah yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), berterusan (tetapi tidak semestinya bukan negatif, seperti yang diandaikan dalam masalah yang dipertimbangkan) pada selang [a; b]:
1) belah segmen [a; b] kepada n bahagian yang sama;
2) jadikan jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) kira $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
saya tahu analisis matematik telah terbukti bahawa had ini wujud dalam kes fungsi berterusan (atau berterusan sekeping). Dia dipanggil kamiran tertentu bagi fungsi y = f(x) di atas segmen [a; b] dan dilambangkan seperti berikut:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Nombor a dan b dipanggil had penyepaduan (masing-masing bawah dan atas).
Mari kita kembali kepada tugasan yang dibincangkan di atas. Takrifan kawasan yang diberikan dalam Masalah 1 kini boleh ditulis semula seperti berikut:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
di sini S ialah luas trapezium melengkung yang ditunjukkan dalam rajah di atas. Ini adalah makna geometri kamiran pasti.
Takrifan anjakan s titik yang bergerak dalam garis lurus dengan kelajuan v = v(t) sepanjang tempoh masa dari t = a hingga t = b, yang diberikan dalam Masalah 2, boleh ditulis semula seperti berikut:
Formula Newton-Leibniz
Pertama, mari kita jawab soalan: apakah hubungan antara kamiran pasti dan antiterbitan?
Jawapannya boleh didapati dalam Masalah 2. Di satu pihak, sesaran s titik yang bergerak dalam garis lurus dengan kelajuan v = v(t) sepanjang tempoh masa dari t = a ke t = b dikira dengan formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Sebaliknya, koordinat titik bergerak ialah antiterbitan untuk kelajuan - mari kita nyatakan ia s(t); ini bermakna bahawa sesaran s dinyatakan oleh formula s = s(b) - s(a). Hasilnya kami mendapat:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
dengan s(t) ialah antiterbitan bagi v(t).
Teorem berikut telah dibuktikan semasa analisis matematik.
Teorem. Jika fungsi y = f(x) adalah selanjar pada selang [a; b], maka formula itu sah
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
dengan F(x) ialah antiterbitan bagi f(x).
Formula yang diberikan biasanya dipanggil Formula Newton-Leibniz sebagai penghormatan kepada ahli fizik Inggeris Isaac Newton (1643-1727) dan ahli falsafah Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang menerimanya secara bebas antara satu sama lain dan hampir serentak.
Dalam amalan, bukannya menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan tatatanda \(\kiri. F(x)\kanan|_a^b \) (ia kadangkala dipanggil penggantian berganda) dan, dengan itu, tulis semula formula Newton-Leibniz dalam bentuk ini:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b \)
Apabila mengira kamiran pasti, mula-mula cari antiterbitan, dan kemudian lakukan penggantian berganda.
Berdasarkan formula Newton-Leibniz, kita boleh mendapatkan dua sifat kamiran pasti.
Harta 1. Kamiran bagi hasil tambah fungsi sama dengan jumlah kamiran:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Harta 2. Faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Mengira luas rajah satah menggunakan kamiran pasti
Menggunakan kamiran, anda boleh mengira kawasan bukan sahaja trapezium lengkung, tetapi juga angka rata lebih jenis kompleks, contohnya yang ditunjukkan dalam rajah. Rajah P dihadkan oleh garis lurus x = a, x = b dan graf fungsi selanjar y = f(x), y = g(x), dan pada segmen [a; b] ketaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) dipegang. Untuk mengira luas S bagi rajah tersebut, kami akan meneruskan seperti berikut:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Jadi, luas S suatu rajah yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan graf fungsi y = f(x), y = g(x), selanjar pada ruas dan sedemikian rupa sehingga bagi mana-mana x daripada segmen itu. [a; b] ketaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) dipenuhi, dikira dengan formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
