Sebenarnya, untuk mencari luas rajah, anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang kamiran tak tentu dan pasti. Tugasan “mengira luas menggunakan kamiran pasti“sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, banyak lagi isu topikal akan menjadi pengetahuan dan kemahiran anda dalam melukis. Dalam hal ini, adalah berguna untuk menyegarkan ingatan anda tentang graf fungsi asas asas, dan, sekurang-kurangnya, dapat membina garis lurus dan hiperbola.

Trapezoid melengkung ialah rajah rata terhad oleh paksi, garis lurus dan graf fungsi berterusan pada selang, yang tidak mengubah tanda pada selang ini. Biarkan angka ini terletak tidak kurang paksi-x:

Kemudian luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran pasti. Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik.

Dari sudut geometri, kamiran pasti ialah LUAS.

Itu dia, kamiran tertentu (jika wujud) secara geometri sepadan dengan luas angka tertentu. Sebagai contoh, pertimbangkan kamiran pasti. Fungsi integrand menentukan lengkung pada satah yang terletak di atas paksi (mereka yang ingin boleh membuat lukisan), dan kamiran pasti itu sendiri adalah secara berangka sama dengan luas trapezoid melengkung yang sepadan.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugasan biasa. Pertama dan saat yang paling penting penyelesaian - lukisan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.

Semasa membina lukisan, saya mengesyorkan susunan berikut: pada mulanya adalah lebih baik untuk membina semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian- parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Ia lebih menguntungkan untuk membina graf fungsi titik demi titik.

Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita lukis lukisan (perhatikan bahawa persamaan mentakrifkan paksi):

Pada segmen, graf fungsi terletak di atas paksi, Itulah sebabnya:

Jawapan:

Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. DALAM dalam kes ini"dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, akan ada kira-kira 9, nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka adalah jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.

Contoh 3

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Jika trapezium melengkung terletak di bawah gandar(atau sekurang-kurangnya tidak lebih tinggi paksi yang diberikan), maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:

Dalam kes ini:

Perhatian! Kedua-dua jenis tugas itu tidak boleh dikelirukan:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Cari kawasan angka rata, dibatasi oleh garisan , .

Penyelesaian: Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan garis lurus. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:

Ini bermakna had bawah pengamiran ialah , had atas pengamiran ialah .

Jika boleh, lebih baik tidak menggunakan kaedah ini..

Ia adalah lebih menguntungkan dan lebih pantas untuk membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Walau bagaimanapun, kaedah analisis mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.

Mari kita kembali kepada tugas kita: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan hanya kemudian parabola. Mari buat lukisan:

Dan kini formula kerja: Jika terdapat beberapa fungsi berterusan pada segmen lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan, maka luas rajah yang dihadkan oleh graf fungsi ini dan garis , , boleh didapati menggunakan formula:

Di sini anda tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, dan, secara kasarnya, penting graf mana yang LEBIH TINGGI(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada

Penyelesaian yang lengkap mungkin kelihatan seperti ini:

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Pada segmen, mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Contoh 4

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , , , .

Penyelesaian: Mula-mula, mari buat lukisan:

Rajah yang kawasannya perlu kita cari adalah berwarna biru(lihat dengan teliti keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh kurangnya perhatian, "gangguan" sering timbul yang anda perlukan untuk mencari kawasan angka yang berlorek hijau!

Contoh ini juga berguna kerana ia mengira luas rajah menggunakan dua kamiran pasti.

sungguh:

1) Pada segmen di atas paksi terdapat graf garis lurus;

2) Pada segmen di atas paksi terdapat graf hiperbola.

Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:

Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan aplikasi kalkulus kamiran. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas biasa dan paling biasa – cara menggunakan kamiran pasti untuk mengira luas rajah satah. Akhir sekali, mereka yang mencari makna dalam matematik yang lebih tinggi - semoga mereka menemuinya. Anda tidak pernah tahu. Kita perlu mendekatkannya dalam hidup kawasan pondok desa fungsi asas dan cari luasnya menggunakan kamiran pasti.

Untuk berjaya menguasai bahan, anda mesti:

1) Fahami kamiran tak tentu sekurang-kurangnya pada tahap purata. Oleh itu, dummies harus terlebih dahulu membaca pelajaran tidak.

2) Dapat menggunakan formula Newton-Leibniz dan mengira kamiran pasti. Anda boleh menjalin hubungan mesra yang mesra dengan kamiran tertentu pada halaman Kamiran pasti. Contoh penyelesaian.

Sebenarnya, untuk mencari luas rajah, anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang kamiran tak tentu dan pasti. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, jadi pengetahuan dan kemahiran melukis anda akan menjadi isu yang lebih mendesak. Dalam hal ini, adalah berguna untuk menyegarkan ingatan anda tentang graf fungsi asas asas, dan, sekurang-kurangnya, dapat membina garis lurus, parabola dan hiperbola. Ini boleh dilakukan (untuk ramai, ia adalah perlu) menggunakan bahan metodologi dan artikel tentang transformasi geometri graf.

Sebenarnya, semua orang sudah biasa dengan tugas mencari kawasan menggunakan kamiran pasti sejak sekolah, dan kami tidak akan pergi lebih jauh daripada kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak wujud sama sekali, tetapi hakikatnya masalah itu berlaku dalam 99 kes daripada 100, apabila pelajar mengalami sekolah yang dibenci dan bersemangat menguasai kursus dalam matematik yang lebih tinggi.

Bahan-bahan bengkel ini dibentangkan secara ringkas, terperinci dan dengan teori yang minimum.

Mari kita mulakan dengan trapezium melengkung.

Trapezoid lengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh paksi, garis lurus, dan graf bagi fungsi selanjar pada selang yang tidak berubah tanda pada selang ini. Biarkan angka ini terletak tidak kurang paksi-x:

Kemudian luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran pasti. Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik. Pada pelajaran Kamiran pasti. Contoh penyelesaian Saya mengatakan bahawa kamiran pasti ialah nombor. Dan kini tiba masanya untuk menyatakan satu lagi fakta yang berguna. Dari sudut geometri, kamiran pasti ialah LUAS.

Itu dia, kamiran pasti (jika wujud) secara geometri sepadan dengan luas rajah tertentu. Sebagai contoh, pertimbangkan kamiran pasti. Kamiran dan mentakrifkan lengkung pada satah yang terletak di atas paksi (mereka yang ingin membuat lukisan), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugasan biasa. Perkara pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.

Semasa membina lukisan, saya mengesyorkan susunan berikut: pada mulanya adalah lebih baik untuk membina semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Adalah lebih menguntungkan untuk membina graf fungsi titik demi titik, teknik pembinaan titik demi titik boleh didapati dalam bahan rujukan Graf dan sifat fungsi asas. Di sana anda juga boleh mencari bahan yang sangat berguna untuk pelajaran kami - cara membina parabola dengan cepat.

Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita lukis lukisan (perhatikan bahawa persamaan mentakrifkan paksi):

Saya tidak akan menaungi trapezoid yang melengkung; jelas di sini kawasan yang kita bicarakan. Penyelesaiannya berterusan seperti ini:

Pada segmen, graf fungsi terletak di atas paksi, Itulah sebabnya:

Jawapan:

Siapa yang menghadapi kesukaran untuk mengira kamiran pasti dan menggunakan formula Newton-Leibniz , rujuk syarahan Kamiran pasti. Contoh penyelesaian.

Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, kita mengira bilangan sel dalam lukisan "dengan mata" - baik, akan ada kira-kira 9, nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapan: 20 unit persegi, maka jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan salah.

Contoh 2

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , , dan paksi

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid melengkung terletak di bawah gandar?

Contoh 3

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Jika trapezium melengkung terletak di bawah gandar(atau sekurang-kurangnya tidak lebih tinggi paksi yang diberikan), maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:
Dalam kes ini:

Perhatian! Kedua-dua jenis tugas itu tidak boleh dikelirukan:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia mungkin negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis , .

Penyelesaian: Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan garis lurus. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:

Ini bermakna had bawah pengamiran ialah , had atas pengamiran ialah .
Jika boleh, lebih baik tidak menggunakan kaedah ini..

Ia adalah lebih menguntungkan dan lebih pantas untuk membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Teknik pembinaan titik demi titik untuk pelbagai graf dibincangkan secara terperinci dalam bantuan Graf dan sifat fungsi asas. Walau bagaimanapun, kaedah analisis mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.

Mari kita kembali kepada tugas kita: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan hanya kemudian parabola. Mari buat lukisan:

Saya ulangi bahawa apabila membina mengikut arah, had penyepaduan paling kerap didapati "secara automatik".

Dan kini formula kerja: Jika terdapat beberapa fungsi berterusan pada segmen lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan , maka luas rajah yang dibatasi oleh graf fungsi ini dan garis , , boleh didapati menggunakan formula:

Di sini anda tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, dan, secara kasarnya, penting graf mana yang LEBIH TINGGI(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada

Penyelesaian yang lengkap mungkin kelihatan seperti ini:

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Pada segmen, mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Malah, formula sekolah untuk luas trapezium melengkung pada separuh satah bawah (lihat contoh mudah No. 3) ialah kes istimewa formula . Oleh kerana paksi ditentukan oleh persamaan, dan graf fungsi terletak tidak lebih tinggi kapak, kemudian

Dan kini beberapa contoh untuk penyelesaian anda sendiri

Contoh 5

Contoh 6

Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis , .

Apabila menyelesaikan masalah yang melibatkan pengiraan luas menggunakan kamiran pasti, kejadian lucu kadangkala berlaku. Lukisan dibuat dengan betul, pengiraan adalah betul, tetapi kerana kecuaian ... kawasan angka yang salah ditemui, ini betul-betul bagaimana hambamu yang hina ini beberapa kali kacau. Di sini kes sebenar dari kehidupan:

Contoh 7

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , , , .

Penyelesaian: Mula-mula, mari buat lukisan:

... Eh, lukisan itu keluar omong kosong, tetapi semuanya kelihatan boleh dibaca.

Rajah yang kawasannya perlu kita cari adalah berwarna biru(lihat dengan teliti keadaan - bagaimana angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh ketidakpedulian, "gangguan" sering berlaku yang anda perlukan untuk mencari kawasan angka yang berlorek dengan warna hijau!

Contoh ini juga berguna kerana ia mengira luas rajah menggunakan dua kamiran pasti. sungguh:

1) Pada segmen di atas paksi terdapat graf garis lurus;

2) Pada segmen di atas paksi terdapat graf hiperbola.

Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:

Jawapan:

Mari kita beralih kepada satu lagi tugas yang bermakna.

Contoh 8

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis,
Mari kita bentangkan persamaan dalam bentuk "sekolah" dan buat lukisan titik demi titik:

Daripada lukisan itu jelas bahawa had atas kami adalah "baik": .
Tetapi apakah had yang lebih rendah?! Sudah jelas bahawa ini bukan integer, tetapi apakah itu? Mungkin ? Tetapi di manakah jaminan bahawa lukisan itu dibuat dengan ketepatan yang sempurna, mungkin ternyata... Atau akarnya. Bagaimana jika kita membina graf dengan salah?

Dalam kes sedemikian, anda perlu meluangkan masa tambahan dan menjelaskan had penyepaduan secara analitik.

Mari kita cari titik persilangan garis lurus dan parabola.
Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan:


,

Sungguh, .

Penyelesaian selanjutnya adalah remeh, perkara utama adalah tidak keliru dalam penggantian dan tanda;

Pada segmen , mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Nah, untuk menyimpulkan pelajaran, mari kita lihat dua lagi tugas yang sukar.

Contoh 9

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , ,

Penyelesaian: Mari kita gambarkan rajah ini dalam lukisan.

Sial, saya terlupa untuk menandatangani jadual, dan, maaf, saya tidak mahu membuat semula gambar itu. Bukan hari melukis, pendek kata, hari ini adalah harinya =)

Untuk pembinaan titik demi titik anda perlu tahu penampilan sinusoid (dan umumnya berguna untuk diketahui graf semua fungsi asas), serta beberapa nilai sinus, ia boleh didapati dalam jadual trigonometri. Dalam sesetengah kes (seperti dalam kes ini), adalah mungkin untuk membina lukisan skematik, di mana graf dan had penyepaduan harus dipaparkan secara asas dengan betul.

Tiada masalah dengan had penyepaduan di sini; ia mengikut terus dari keadaan: "x" berubah dari sifar kepada "pi". Mari buat keputusan selanjutnya:

Pada segmen, graf fungsi terletak di atas paksi, oleh itu:

Dalam artikel ini anda akan belajar bagaimana untuk mencari luas angka yang dibatasi oleh garis menggunakan pengiraan kamiran. Buat pertama kalinya kita menghadapi perumusan masalah sedemikian di sekolah menengah, apabila kita baru sahaja menyelesaikan kajian kamiran pasti dan sudah tiba masanya untuk memulakan tafsiran geometri pengetahuan yang diperoleh dalam amalan.

Jadi, apa yang diperlukan untuk berjaya menyelesaikan masalah mencari luas rajah menggunakan kamiran:

• Keupayaan untuk membuat lukisan yang cekap;
• Keupayaan untuk menyelesaikan kamiran pasti menggunakan formula terkenal Newton-Leibniz;
• Keupayaan untuk "melihat" pilihan penyelesaian yang lebih menguntungkan - i.e. memahami bagaimana ia akan menjadi lebih mudah untuk menjalankan integrasi dalam satu kes atau yang lain? Sepanjang paksi-x (OX) atau paksi-y (OY)?
• Nah, di manakah kita tanpa pengiraan yang betul?) Ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis kamiran lain itu dan pengiraan berangka yang betul.

Algoritma untuk menyelesaikan masalah mengira luas angka yang dibatasi oleh garis:

1. Kami sedang membina lukisan. Adalah dinasihatkan untuk melakukan ini pada sekeping kertas berkotak-kotak, secara besar-besaran. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensel di atas setiap graf. Menandatangani graf dilakukan semata-mata untuk kemudahan pengiraan selanjutnya. Setelah menerima graf angka yang dikehendaki, dalam kebanyakan kes ia akan segera jelas had penyepaduan yang akan digunakan. Ini adalah cara kami menyelesaikan masalah kaedah grafik. Walau bagaimanapun, ia berlaku bahawa nilai had adalah pecahan atau tidak rasional. Oleh itu, anda boleh membuat pengiraan tambahan, pergi ke langkah dua.

2. Jika had penyepaduan tidak dinyatakan secara eksplisit, maka kita mencari titik persilangan graf antara satu sama lain dan melihat sama ada kita penyelesaian grafik dengan analitikal.

3. Seterusnya, anda perlu menganalisis lukisan. Bergantung pada bagaimana graf fungsi disusun, terdapat pendekatan yang berbeza untuk mencari luas rajah. Mari kita pertimbangkan contoh yang berbeza untuk mencari luas rajah menggunakan kamiran.

3.1. Versi masalah yang paling klasik dan paling mudah ialah apabila anda perlu mencari kawasan trapezoid melengkung. Apakah trapezoid melengkung? Ini ialah angka rata yang dihadkan oleh paksi-x (y = 0), lurus x = a, x = b dan sebarang lengkung berterusan pada selang dari a sebelum ini b. Selain itu, angka ini bukan negatif dan terletak tidak di bawah paksi-x. Dalam kes ini, luas trapezoid melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu, dikira menggunakan formula Newton-Leibniz:

Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Apakah garisan rajah yang dibatasi? Kami mempunyai parabola y = x2 – 3x + 3, yang terletak di atas paksi OH, ia bukan negatif, kerana semua titik parabola ini mempunyai nilai positif. Seterusnya, diberi garis lurus x = 1 Dan x = 3, yang berjalan selari dengan paksi OU, ialah garis sempadan rajah di kiri dan kanan. Baiklah y = 0, ia juga paksi-x, yang mengehadkan angka dari bawah. Angka yang terhasil dilorekkan, seperti yang dapat dilihat dari rajah di sebelah kiri. Dalam kes ini, anda boleh mula menyelesaikan masalah dengan segera. Sebelum kita adalah contoh mudah trapezoid melengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan formula Newton-Leibniz.

3.2. Dalam perenggan 3.1 sebelumnya, kami meneliti kes apabila trapezoid melengkung terletak di atas paksi-x. Sekarang pertimbangkan kes apabila keadaan masalah adalah sama, kecuali fungsi itu terletak di bawah paksi-x. Tolak ditambah kepada formula Newton-Leibniz standard. Kami akan mempertimbangkan cara menyelesaikan masalah sedemikian di bawah.

Contoh 2 . Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Dalam contoh ini kita mempunyai parabola y = x2 + 6x + 2, yang berasal dari paksi OH, lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di sini y = 0 mengehadkan angka yang dikehendaki dari atas. Langsung x = -4 Dan x = -1 ini adalah sempadan di mana kamiran pasti akan dikira. Prinsip menyelesaikan masalah mencari luas rajah hampir sepenuhnya bertepatan dengan contoh nombor 1. Satu-satunya perbezaan ialah fungsi yang diberikan tidak positif, dan juga berterusan pada selang [-4; -1] . Apa yang anda maksudkan tidak positif? Seperti yang dapat dilihat dari rajah, angka yang terletak dalam x yang diberikan mempunyai koordinat "negatif" secara eksklusif, yang perlu kita lihat dan ingat apabila menyelesaikan masalah. Kami mencari kawasan angka menggunakan formula Newton-Leibniz, hanya dengan tanda tolak pada permulaan.

Artikel tidak selesai.

A)

Penyelesaian.

Perkara pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan.

Mari buat lukisan:

Persamaan y=0 menetapkan paksi "x";

- x=-2 Dan x=1 - lurus, selari dengan paksi OU;

- y=x 2 +2 - sebuah parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke atas, dengan bucu pada titik (0;2).

Komen. Untuk membina parabola, cukup untuk mencari titik persilangannya dengan paksi koordinat, i.e. meletakkan x=0 cari persilangan dengan paksi OU dan membuat keputusan sewajarnya persamaan kuadratik, cari persilangan dengan paksi Oh .

Puncak parabola boleh didapati menggunakan formula:

Anda juga boleh membina garisan titik demi titik.

Pada selang [-2;1] graf fungsi y=x 2 +2 terletak di atas paksi lembu , Itulah sebabnya:

Jawapan: S =9 unit persegi

Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, akan ada kira-kira 9, nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapan: 20 unit persegi, maka jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan salah.

Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid melengkung terletak di bawah gandar Oh?

b) Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan paksi koordinat.

Penyelesaian.

Jom buat lukisan.

Jika trapezium melengkung sepenuhnya terletak di bawah paksi Oh , maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:

Jawapan: S=(e-1) unit persegi" 1.72 unit persegi

Perhatian! Kedua-dua jenis tugas itu tidak boleh dikelirukan:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia mungkin negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah.

dengan) Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.

Penyelesaian.

Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan lurus Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analisis.

Kami menyelesaikan persamaan:

Ini bermakna bahawa had bawah integrasi a=0 , had atas penyepaduan b=3 .

Kami membina garisan yang diberikan: 1. Parabola - bucu pada titik (1;1); persimpangan paksi Oh - mata (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - pembahagi dua sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan g(x), maka luas angka yang sepadan boleh didapati menggunakan formula: . Dan tidak kira di mana angka itu berada - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi yang penting ialah graf yang LEBIH TINGGI (berbanding dengan graf lain) dan yang manakah di BAWAH. Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada

Anda boleh membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Walau bagaimanapun, kaedah analitikal mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional).

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.

Pada segmen , mengikut formula yang sepadan:

Jawapan: S =4.5 unit persegi

Dalam bahagian sebelumnya, dikhaskan untuk analisis makna geometri kamiran pasti, kami menerima beberapa formula untuk mengira luas trapezoid curvilinear:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi selanjar dan bukan negatif y = f (x) pada selang [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi selanjar dan bukan positif y = f (x) pada selang [ a ; b] .

Formula ini boleh digunakan untuk menyelesaikan tugasan mudah. Pada hakikatnya, kita selalunya perlu bekerja dengan angka yang lebih kompleks. Dalam hal ini, kami akan menumpukan bahagian ini kepada analisis algoritma untuk mengira kawasan angka yang dihadkan oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, i.e. seperti y = f(x) atau x = g(y).

Teorem

Biarkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) ditakrifkan dan berterusan pada selang [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk sebarang nilai x daripada [ a ; b] . Kemudian formula untuk mengira luas rajah G, dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan kelihatan seperti S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Formula yang serupa akan digunakan untuk luas rajah yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Bukti

Mari kita lihat tiga kes yang formulanya akan sah.

Dalam kes pertama, dengan mengambil kira sifat ketambahan kawasan, jumlah kawasan bagi rajah asal G dan trapezoid lengkung G 1 adalah sama dengan luas rajah G 2. Maksudnya begitu

Oleh itu, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Kita boleh melakukan peralihan terakhir menggunakan sifat ketiga kamiran pasti.

Dalam kes kedua, kesamaan adalah benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrasi grafik akan kelihatan seperti:

Jika kedua-dua fungsi bukan positif, kita dapat: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafik akan kelihatan seperti:

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan kes am, apabila y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) bersilang dengan paksi O x.

Kami menandakan titik persilangan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik ini membelah segmen [a; b ] kepada n bahagian x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, dengan α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Oleh itu,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Kita boleh membuat peralihan terakhir menggunakan sifat kelima kamiran pasti.

Mari kita menggambarkan kes umum pada graf.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x boleh dianggap terbukti.

Sekarang mari kita beralih kepada menganalisis contoh pengiraan luas angka yang dihadkan oleh garis y = f (x) dan x = g (y).

Kami akan memulakan pertimbangan kami terhadap mana-mana contoh dengan membina graf. Imej akan membolehkan kita mewakili angka kompleks sebagai kesatuan angka yang lebih mudah. Jika membina graf dan rajah padanya menyebabkan anda kesulitan, anda boleh mempelajari bahagian asas fungsi asas, transformasi geometri graf fungsi, serta pembinaan graf semasa kajian sesuatu fungsi.

Contoh 1

Ia adalah perlu untuk menentukan luas rajah, yang dihadkan oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Penyelesaian

Mari kita lukis garisan pada graf dalam sistem koordinat Cartesan.

Pada segmen [1; 4 ] graf parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Dalam hal ini, untuk mendapatkan jawapan kita menggunakan formula yang diperoleh sebelum ini, serta kaedah pengiraan kamiran pasti menggunakan formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Jawapan: S(G) = 13

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 2

Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.

Penyelesaian

Dalam kes ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak selari dengan paksi-x. Ini ialah x = 7. Ini memerlukan kita sendiri untuk mencari had kedua penyepaduan.

Mari bina graf dan plot padanya garisan yang diberikan dalam pernyataan masalah.

Mempunyai graf di hadapan mata kita, kita boleh dengan mudah menentukan bahawa had bawah pengamiran ialah absis bagi titik persilangan graf garis lurus y = x dan separuh parabola y = x + 2. Untuk mencari abscissa kami menggunakan kesamaan:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ternyata absis titik persilangan ialah x = 2.

Kami menarik perhatian anda kepada fakta bahawa dalam contoh umum dalam lukisan, garisan y = x + 2, y = x bersilang pada titik (2; 2), jadi pengiraan terperinci sedemikian mungkin kelihatan tidak perlu. Kami telah memberikan penyelesaian yang begitu terperinci di sini hanya kerana dalam lebih kes yang sukar penyelesaiannya mungkin tidak begitu jelas. Ini bermakna adalah lebih baik untuk sentiasa mengira koordinat persilangan garisan secara analitik.

Pada selang [2; 7] graf fungsi y = x terletak di atas graf fungsi y = x + 2. Mari gunakan formula untuk mengira luas:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Jawapan: S (G) = 59 6

Contoh 3

Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh graf fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.

Penyelesaian

Mari kita lukiskan garisan pada graf.

Mari kita tentukan had integrasi. Untuk melakukan ini, kami menentukan koordinat titik persilangan garis dengan menyamakan ungkapan 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Dengan syarat x bukan sifar, kesamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi setara dengan persamaan darjah ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan pekali integer. Untuk menyegarkan ingatan anda tentang algoritma untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami boleh merujuk kepada bahagian "Menyelesaikan persamaan padu."

Punca bagi persamaan ini ialah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Membahagikan ungkapan - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita dapat: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kita boleh mencari punca yang tinggal daripada persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Kami mendapati selang x ∈ 1; 3 + 13 2, di mana rajah G terkandung di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kami menentukan luas rajah:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Jawapan: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Contoh 4

Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh lengkung y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan paksi absis.

Penyelesaian

Mari kita plot semua garis pada graf. Kita boleh mendapatkan graf fungsi y = - log 2 x + 1 daripada graf y = log 2 x jika kita meletakkannya secara simetri mengenai paksi-x dan menggerakkannya ke atas satu unit. Persamaan paksi-x ialah y = 0.

Mari kita tandakan titik persilangan garis.

Seperti yang dapat dilihat daripada rajah, graf bagi fungsi y = x 3 dan y = 0 bersilang pada titik (0; 0). Ini berlaku kerana x = 0 ialah satu-satunya punca sebenar bagi persamaan x 3 = 0.

x = 2 ialah satu-satunya punca persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi graf bagi fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 bersilang pada titik (2; 0).

x = 1 ialah satu-satunya punca persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Dalam hal ini, graf bagi fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 bersilang pada titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh mempunyai lebih daripada satu punca, kerana fungsi y = x 3 meningkat dengan ketat, dan fungsi y = - log 2 x + 1 ialah semakin berkurangan.

Penyelesaian selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.

Pilihan 1

Kita boleh membayangkan rajah G sebagai hasil tambah dua trapezium lengkung yang terletak di atas paksi-x, yang pertama terletak di bawah garis tengah pada ruas x ∈ 0; 1, dan yang kedua adalah di bawah garis merah pada segmen x ∈ 1; 2. Ini bermakna luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Pilihan No. 2

Rajah G boleh diwakili sebagai perbezaan dua angka, yang pertama terletak di atas paksi-x dan di bawah garis biru pada segmen x ∈ 0; 2, dan yang kedua antara garis merah dan biru pada segmen x ∈ 1; 2. Ini membolehkan kami mencari kawasan seperti berikut:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dalam kes ini, untuk mencari kawasan anda perlu menggunakan formula dalam bentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Malah, garisan yang mengikat rajah boleh diwakili sebagai fungsi hujah y.

Mari selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 berkenaan dengan x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Kami mendapat kawasan yang diperlukan:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Jawapan: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Contoh 5

Ia adalah perlu untuk mengira luas rajah, yang dihadkan oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Penyelesaian

Dengan garis merah kita plot garis yang ditakrifkan oleh fungsi y = x. Kami melukis garis y = - 1 2 x + 4 dalam warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dalam warna hitam.

Mari tandakan titik persimpangan.

Mari kita cari titik persilangan graf bagi fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Semak: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 bukan Adakah penyelesaian kepada persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ialah penyelesaian kepada persamaan ⇒ (4; 2) titik persilangan i y = x dan y = - 1 2 x + 4

Mari kita cari titik persilangan graf bagi fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Semak: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ialah penyelesaian kepada persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Tiada penyelesaian kepada persamaan itu

Mari kita cari titik persilangan garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik persilangan y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3

Kaedah No 1

Mari kita bayangkan luas angka yang dikehendaki sebagai jumlah kawasan angka individu.

Maka luas rajah itu ialah:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Kaedah No 2

Luas angka asal boleh diwakili sebagai hasil tambah dua angka lain.

Kemudian kami menyelesaikan persamaan garis relatif kepada x, dan hanya selepas itu kami menggunakan formula untuk mengira luas angka itu.

y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Jadi kawasannya ialah:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Seperti yang anda lihat, nilainya adalah sama.

Jawapan: S (G) = 11 3

Keputusan

Untuk mencari luas rajah yang dihadkan oleh garis yang diberikan, kita perlu membina garisan pada satah, mencari titik persilangannya, dan menggunakan formula untuk mencari luas. Dalam bahagian ini, kami telah mengkaji varian tugasan yang paling biasa.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter