Kaedah matriks Penyelesaian SLAU digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan di mana bilangan persamaan sepadan dengan bilangan yang tidak diketahui. Kaedah ini paling baik digunakan untuk menyelesaikan sistem pesanan rendah. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah berdasarkan aplikasi sifat pendaraban matriks.
Kaedah ini, dengan kata lain kaedah matriks songsang, dipanggil sedemikian kerana penyelesaiannya berkurang kepada persamaan matriks biasa, untuk menyelesaikan yang anda perlukan untuk mencari matriks songsang.
Kaedah penyelesaian matriks SLAE dengan penentu yang lebih besar atau kurang daripada sifar adalah seperti berikut:
Katakan terdapat SLE (sistem persamaan linear) dengan n tidak diketahui (melalui medan sewenang-wenangnya):
Ini bermakna ia boleh ditukar dengan mudah ke dalam bentuk matriks:
AX=B, Di mana A- matriks utama sistem, B Dan X— lajur terma percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing:
Mari kita darabkan persamaan matriks ini dari kiri dengan A−1— matriks songsang kepada matriks A: A −1 (AX)=A −1 B.
Kerana A −1 A=E, Bermaksud, X=A −1 B. Bahagian kanan persamaan memberikan lajur penyelesaian sistem permulaan. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah matriks ialah tidak degenerasi matriks A. Perlu dan keadaan yang mencukupi ini bermakna penentu matriks tidak sama dengan sifar A:
detA≠0.
Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu jika vektor B=0, peraturan bertentangan memegang: sistem AX=0 terdapat penyelesaian bukan remeh (iaitu tidak sama dengan sifar) hanya apabila detA=0. Hubungan antara penyelesaian sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan linear dipanggil alternatif Fredholm.
Oleh itu, penyelesaian SLAE kaedah matriks dihasilkan mengikut formula 
. Atau, penyelesaian kepada SLAE didapati menggunakan matriks songsang A−1.
Adalah diketahui bahawa untuk matriks persegi A pesanan n pada n Terdapat matriks songsang A−1 hanya jika penentunya bukan sifar. Oleh itu, sistem n linear persamaan algebra Dengan n Kami menyelesaikan perkara yang tidak diketahui menggunakan kaedah matriks hanya jika penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar.
Walaupun fakta bahawa terdapat batasan untuk kemungkinan menggunakan kaedah ini dan terdapat kesukaran pengiraan untuk nilai pekali dan sistem yang besar perintah tinggi, kaedah ini boleh dilaksanakan dengan mudah pada komputer.
Contoh penyelesaian SLAE tidak homogen.
Mula-mula, mari kita semak sama ada penentu matriks pekali SLAE yang tidak diketahui adalah tidak sama dengan sifar.
Sekarang kita dapati matriks kesatuan, alihkan dan gantikannya ke dalam formula untuk menentukan matriks songsang.
Gantikan pembolehubah ke dalam formula:
Sekarang kita mencari yang tidak diketahui dengan mendarabkan matriks songsang dan lajur sebutan bebas.
Jadi, x=2; y=1; z=4.
Apabila beralih daripada bentuk biasa SLAE ke bentuk matriks, berhati-hati dengan susunan pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan sistem. Sebagai contoh:
Ia TIDAK BOLEH ditulis sebagai:
Pertama sekali, adalah perlu untuk menyusun pembolehubah yang tidak diketahui dalam setiap persamaan sistem dan hanya selepas itu meneruskan ke notasi matriks:
Di samping itu, anda perlu berhati-hati dengan penetapan pembolehubah yang tidak diketahui, sebaliknya x 1, x 2 , …, x n mungkin ada surat lain. Cth:
dalam bentuk matriks kita menulisnya seperti ini:
Adalah lebih baik untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah matriks persamaan linear, di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah tidak sama dengan sifar. Apabila terdapat lebih daripada 3 persamaan dalam sistem, mencari matriks songsang akan memerlukan lebih banyak usaha pengiraan, oleh itu, dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk menggunakan kaedah Gaussian untuk menyelesaikannya.
Tujuan perkhidmatan. Menggunakan kalkulator dalam talian ini, tidak diketahui (x 1, x 2, ..., x n) dikira dalam sistem persamaan. Keputusan dijalankan kaedah matriks songsang. Di mana:- penentu matriks A dikira;
- melalui penambahan algebra matriks songsang A -1 ditemui;
- templat penyelesaian dibuat dalam Excel;
Arahan. Untuk mendapatkan penyelesaian menggunakan kaedah matriks songsang, anda perlu menentukan dimensi matriks. Seterusnya, dalam kotak dialog baharu, isikan matriks A dan vektor hasil B.
Lihat juga Menyelesaikan persamaan matriks.Algoritma penyelesaian
- Penentu matriks A dikira. Jika penentunya adalah sifar, maka penyelesaiannya sudah tamat. Sistem ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
- Apabila penentu berbeza daripada sifar, matriks songsang A -1 ditemui melalui penambahan algebra.
- Vektor penyelesaian X =(x 1, x 2, ..., x n) diperoleh dengan mendarab matriks songsang dengan vektor hasil B.
Penambahan algebra.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Peperiksaan:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Kaedah matriks membolehkan anda mencari penyelesaian kepada SLAE (sistem persamaan algebra linear) bagi sebarang kerumitan. Keseluruhan proses menyelesaikan SLAE datang kepada dua tindakan utama:
Penentuan matriks songsang berdasarkan matriks utama:
Mendarab matriks songsang yang terhasil dengan vektor lajur penyelesaian.
Katakan kita diberi SLAE dalam bentuk berikut:
\[\left\(\begin(matriks) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matriks)\kanan.\]
Mari kita mulakan menyelesaikan persamaan ini dengan menulis matriks sistem:
Matriks sebelah kanan:
Mari kita takrifkan matriks songsang. Anda boleh mencari matriks tertib ke-2 seperti berikut: 1 - matriks itu sendiri mestilah bukan tunggal; 2 - unsur-unsurnya yang berada pada pepenjuru utama ditukar, dan untuk unsur pepenjuru sekunder kita menukar tanda kepada yang bertentangan, selepas itu kita membahagikan unsur-unsur yang terhasil dengan penentu matriks. Kita mendapatkan:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ mula(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 matriks dianggap sama jika elemen yang sepadan adalah sama. Akibatnya, kami mempunyai jawapan berikut untuk penyelesaian SLAE:
Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah matriks dalam talian?
Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan di laman web kami. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh mengetahui cara menyelesaikan persamaan di laman web kami. Dan jika anda masih mempunyai soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan VKontakte kami.
Mari kita pertimbangkan sistem persamaan algebra linear(SLAU) secara relatifnya n tidak diketahui x 1 , x 2 , ..., x n :
Sistem ini dalam bentuk "runtuh" boleh ditulis seperti berikut:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Selaras dengan peraturan pendaraban matriks, sistem persamaan linear yang dipertimbangkan boleh ditulis dalam bentuk matriks Ax=b, Di mana
,
,.
Matriks A, lajur yang merupakan pekali untuk yang tidak diketahui yang sepadan, dan baris adalah pekali untuk yang tidak diketahui dalam persamaan yang sepadan dipanggil matriks sistem. Matriks lajur b, unsur-unsur yang merupakan sisi kanan persamaan sistem, dipanggil matriks sebelah kanan atau ringkasnya sebelah kanan sistem. Matriks lajur x , unsur-unsur yang tidak diketahui, dipanggil penyelesaian sistem.
Sistem persamaan algebra linear yang ditulis dalam bentuk Ax=b, ialah persamaan matriks.
Jika matriks sistem tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang dan kemudian penyelesaian kepada sistem ialah Ax=b diberikan oleh formula:
x=A -1 b.
Contoh Selesaikan sistem 
kaedah matriks.
Penyelesaian mari kita cari matriks songsang bagi matriks pekali sistem
Mari kita hitung penentu dengan mengembangkan sepanjang baris pertama:
Kerana ia Δ ≠ 0 , Itu A -1 wujud.
Matriks songsang ditemui dengan betul.
Mari cari penyelesaian kepada sistem 
Oleh itu, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Peperiksaan: 
7. Teorem Kronecker-Capelli tentang keserasian sistem persamaan algebra linear.
Sistem persamaan linear mempunyai bentuk:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j ialah nombor nyata yang tidak diketahui. Menggunakan konsep hasil darab matriks, kita boleh menulis semula sistem (5.1) dalam bentuk:
di mana A = (a i j) ialah matriks yang terdiri daripada pekali untuk sistem yang tidak diketahui (5.1), yang dipanggil matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ialah vektor lajur yang masing-masing terdiri daripada x j yang tidak diketahui dan sebutan bebas b i .
Koleksi yang dipesan n nombor nyata (c 1 , c 2 ,..., c n) dipanggil penyelesaian sistem(5.1), jika hasil daripada menggantikan nombor ini dan bukannya pembolehubah sepadan x 1, x 2,..., x n, setiap persamaan sistem bertukar menjadi identiti aritmetik; dengan kata lain, jika terdapat vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sedemikian sehingga AC B.
Sistem (5.1) dipanggil sendi, atau boleh diselesaikan, jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem itu dipanggil tidak serasi, atau tidak dapat diselesaikan, jika ia tidak mempunyai penyelesaian.
,
dibentuk dengan memberikan lajur sebutan bebas di sebelah kanan matriks A dipanggil matriks lanjutan sistem.
Persoalan keserasian sistem (5.1) diselesaikan dengan teorem berikut.
Teorem Kronecker-Capelli . Sistem persamaan linear adalah tekal jika dan hanya jika kedudukan matriks A danA bertepatan, i.e. r(A) = r(A) = r.
Untuk set M penyelesaian sistem (5.1) terdapat tiga kemungkinan:
1) M = (dalam kes ini sistem tidak konsisten);
2) M terdiri daripada satu unsur, iaitu. sistem mempunyai penyelesaian yang unik (dalam kes ini sistem dipanggil pasti);
3) M terdiri daripada lebih daripada satu elemen (kemudian sistem dipanggil tidak pasti). Dalam kes ketiga, sistem (5.1) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Sistem ini mempunyai penyelesaian unik hanya jika r(A) = n. Dalam kes ini, bilangan persamaan tidak kurang daripada bilangan yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n adalah akibat daripada yang lain. Jika 0 Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sewenang-wenangnya, anda perlu dapat menyelesaikan sistem di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui - yang dipanggil Sistem jenis cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistem (5.3) diselesaikan dalam salah satu cara berikut: 1) kaedah Gauss, atau kaedah menghapuskan yang tidak diketahui; 2) mengikut formula Cramer; 3) kaedah matriks. Contoh 2.12. Terokai sistem persamaan dan selesaikan jika ia konsisten: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Penyelesaian. Kami menulis matriks lanjutan sistem:
Mari kita hitung pangkat matriks utama sistem. Adalah jelas bahawa, sebagai contoh, minor urutan kedua di sudut kiri atas = 7 0; bawah umur peringkat ketiga yang mengandunginya adalah sama dengan sifar: Akibatnya, pangkat matriks utama sistem ialah 2, i.e. r(A) = 2. Untuk mengira pangkat matriks lanjutan A, pertimbangkan minor bersempadan ini bermakna pangkat bagi matriks lanjutan r(A) = 3. Oleh kerana r(A) r(A), sistem itu tidak konsisten. Persamaan secara umum, persamaan algebra linear dan sistemnya, serta kaedah untuk menyelesaikannya, menduduki tempat yang istimewa dalam matematik, baik secara teori mahupun gunaan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa sebahagian besar masalah fizikal, ekonomi, teknikal dan juga pedagogi boleh diterangkan dan diselesaikan menggunakan pelbagai persamaan dan sistemnya. Baru-baru ini, pemodelan matematik telah mendapat populariti tertentu di kalangan penyelidik, saintis dan pengamal dalam hampir semua bidang subjek, yang dijelaskan oleh kelebihannya yang jelas berbanding kaedah lain yang terkenal dan terbukti untuk mengkaji objek pelbagai sifat, khususnya, kompleks yang dipanggil. sistem. Terdapat pelbagai jenis definisi berbeza bagi model matematik yang diberikan oleh saintis pada masa yang berbeza, tetapi pada pendapat kami, yang paling berjaya ialah pernyataan berikut. Model matematik ialah idea yang dinyatakan oleh persamaan. Oleh itu, keupayaan untuk mengarang dan menyelesaikan persamaan dan sistemnya adalah ciri penting pakar moden. Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, kaedah yang paling biasa digunakan ialah Cramer, Jordan-Gauss dan kaedah matriks. Kaedah penyelesaian matriks ialah kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dengan penentu bukan sifar menggunakan matriks songsang. Jika kita menulis pekali untuk kuantiti yang tidak diketahui xi dalam matriks A, kumpulkan kuantiti yang tidak diketahui dalam lajur vektor X, dan sebutan bebas dalam lajur vektor B, maka sistem persamaan algebra linear boleh ditulis dalam bentuk mengikuti persamaan matriks A · X = B, yang mempunyai penyelesaian unik hanya apabila penentu matriks A tidak sama dengan sifar. Dalam kes ini, penyelesaian kepada sistem persamaan boleh didapati dengan cara berikut X = A-1 · B, Di mana A-1 ialah matriks songsang. Kaedah penyelesaian matriks adalah seperti berikut. Marilah kita diberikan sistem persamaan linear dengan n tidak diketahui: Ia boleh ditulis semula dalam bentuk matriks: AX =
B, Di mana A- matriks utama sistem, B Dan X- lajur ahli percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing: Mari kita darabkan persamaan matriks ini dari kiri dengan A-1 - matriks songsang matriks A: A -1 (AX) = A -1 B Kerana A -1 A = E, kita mendapatkan X= A -1 B. Bahagian kanan persamaan ini akan memberikan lajur penyelesaian sistem asal. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah ini (serta kewujudan penyelesaian secara umum) adalah tidak sistem homogen persamaan linear dengan bilangan persamaan sama dengan bilangan yang tidak diketahui) ialah bukan degenerasi matriks A. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ini ialah penentu matriks tidak sama dengan sifar A:det A≠ 0. Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu, apabila vektor B = 0
, sesungguhnya peraturan yang bertentangan: sistem AX =
0 mempunyai penyelesaian bukan remeh (iaitu, bukan sifar) hanya jika det A= 0. Hubungan sedemikian antara penyelesaian sistem persamaan linear homogen dan tidak homogen dipanggil alternatif Fredholm. Contoh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear yang tidak homogen. Mari kita pastikan bahawa penentu matriks, yang terdiri daripada pekali yang tidak diketahui bagi sistem persamaan algebra linear, tidak sama dengan sifar. Langkah seterusnya ialah mengira pelengkap algebra bagi unsur-unsur matriks yang terdiri daripada pekali yang tidak diketahui. Mereka akan diperlukan untuk mencari matriks songsang.
.
