Menyelesaikan persamaan biquadratik. Persamaan dengan dua pembolehubah

Matlamat:

1. Sistematisasi dan umumkan pengetahuan dan kemahiran mengenai topik: Penyelesaian persamaan darjah ketiga dan keempat.
2. Tingkatkan pengetahuan anda dengan menyelesaikan beberapa tugasan, beberapa daripadanya tidak biasa sama ada dalam jenis atau kaedah penyelesaian.
3. Membentuk minat terhadap matematik melalui kajian bab baharu matematik, memupuk budaya grafik melalui pembinaan graf persamaan.

Jenis pelajaran: digabungkan.

peralatan: projektor grafik.

Keterlihatan: jadual "Teorem Viete".

Semasa kelas

1. Pengiraan lisan

a) Berapakah baki pembahagian polinomial p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 oleh binomial x-a?

b) Berapakah bilangan punca yang boleh ada pada persamaan padu?

c) Bagaimanakah kita menyelesaikan persamaan darjah ketiga dan keempat?

d) Jika b ialah nombor genap dalam persamaan kuadratik, maka berapakah nilai D dan x 1;

2. Kerja bebas (dalam kumpulan)

Tulis persamaan jika punca diketahui (jawapan kepada tugasan dikodkan) "Teorem Vieta" digunakan

1 kumpulan

Akar: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Buat persamaan:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(persamaan ini kemudiannya diselesaikan oleh kumpulan 2 di papan tulis)

Penyelesaian . Kami mencari akar keseluruhan di antara pembahagi nombor 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Nombor 1 memenuhi persamaan, oleh itu =1 ialah punca persamaan. Mengikut skema Horner

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 = -3, x 4 =6

Jawapan: 1;-2;-3;6 jumlah punca 2 (P)

kumpulan ke-2

Akar: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5

Buat persamaan:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (kumpulan 3 menyelesaikan persamaan ini di papan tulis)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Jawapan: -1;2;2;5 hasil tambah punca 8(P)

3 kumpulan

Akar: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Buat persamaan:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(kumpulan 4 menyelesaikan persamaan ini kemudian di papan tulis)

Penyelesaian. Kami mencari akar keseluruhan di antara pembahagi nombor 6.

р = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Jawapan: -1;1;-2;3 Jumlah punca 1(O)

4 kumpulan

Akar: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Buat persamaan:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(persamaan ini kemudiannya diselesaikan oleh kumpulan 5 di papan tulis)

Penyelesaian. Kami mencari akar keseluruhan di antara pembahagi nombor -36

р = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Jawapan: -2; -2; -3; 3 Jumlah punca-4 (F)

5 kumpulan

Akar: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Tulis satu persamaan

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(persamaan ini kemudiannya diselesaikan oleh kumpulan 6 di papan tulis)

Penyelesaian . Kami mencari akar keseluruhan di antara pembahagi nombor 24.

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Jawapan: -1;-2;-3;-4 jumlah-10 (I)

6 kumpulan

Akar: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Tulis satu persamaan

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (persamaan ini kemudiannya diselesaikan oleh kumpulan 1 di papan tulis)

Penyelesaian . Kami mencari akar keseluruhan di antara pembahagi nombor -24.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Jawapan: 1;1;-3;8 jumlah 7 (L)

3. Menyelesaikan persamaan dengan parameter

1. Selesaikan persamaan x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; jika salah satu akar sama dengan (-1)

Tulis jawapan dalam tertib menaik

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Mengikut syarat x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Jawapan: - 1; 3

Dalam tertib menaik: -5;-1;3. (b N S)

2. Cari semua punca polinomial x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, jika baki daripada pembahagiannya kepada binomial x-1 dan x +2 adalah sama.

Penyelesaian: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Tulis satu persamaan

1 kumpulan. Akar: -4; -2; 1; 7;

kumpulan ke-2. Akar: -3; -2; 1; 2;

3 kumpulan. Akar: -1; 2; 6; 10;

4 kumpulan. Akar: -3; 2; 2; 5;

5 kumpulan. Akar: -5; -2; 2; 4;

6 kumpulan. Akar: -8; -2; 6; 7.

Dalam artikel ini kita akan belajar untuk menyelesaikan persamaan biquadratik.

Jadi, apakah jenis persamaan yang dipanggil biquadratic?
Semua persamaan bentuk ah 4 + bx 2 + c = 0 , Di mana a ≠ 0, yang segi empat sama berkenaan dengan x 2, dan dipanggil biquadratic persamaan. Seperti yang anda lihat, entri ini hampir sama dengan entri untuk persamaan kuadratik, jadi kami akan menyelesaikan persamaan biquadratik menggunakan formula yang kami gunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Hanya kita perlu memperkenalkan pembolehubah baru, iaitu, kita menandakan x 2 pembolehubah lain, contohnya di atau t (atau mana-mana huruf lain abjad Latin).

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.

Mari kita nyatakan x 2 melalui di (x 2 = y ) dan kita mendapat persamaan y 2 + 4y – 5 = 0.
Seperti yang anda lihat, anda sudah tahu cara menyelesaikan persamaan tersebut.

Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10/2 = ‒ 5,

y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2/2 = 1.

Mari kembali kepada pembolehubah x kami.

Kami mendapati bahawa x 2 = ‒ 5 dan x 2 = 1.

Kami perhatikan bahawa persamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian, tetapi yang kedua memberikan dua penyelesaian: x 1 = 1 dan x 2 = ‒1. Berhati-hati agar tidak kehilangan punca negatif (selalunya mereka mendapat jawapan x = 1, tetapi ini tidak betul).

Jawapan:- 1 dan 1.

Untuk lebih memahami topik ini, mari lihat beberapa contoh.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.

Biarkan x 2 = y, kemudian 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.

D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1.5.

Kemudian x 2 = 1 dan x 2 = 1.5.

Kami mendapat x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1.5, x 4 = √1.5.

Jawapan: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 =0.

D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8/4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2/4 = ‒ 0.5.

Kemudian x 2 = - 2 dan x 2 = - 0.5. Sila ambil perhatian bahawa tiada satu pun persamaan ini mempunyai penyelesaian.

Jawapan: tiada penyelesaian.

Persamaan biquadratik tidak lengkap- ia adalah apabila b = 0 (ax 4 + c = 0) atau c = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) diselesaikan seperti persamaan kuadratik tidak lengkap.

Contoh 3. Selesaikan persamaan x 4 ‒ 25x 2 = 0

Mari kita pemfaktoran, letakkan x 2 daripada kurungan dan kemudian x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.

Kami mendapat x 2 = 0 atau x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.

Kemudian kita mempunyai akar 0; 5 dan – 5.

Jawapan: 0; 5; – 5.

Contoh 4. Selesaikan persamaan 5x 4 ‒ 45 = 0.

x 2 = ‒ √9 (tiada penyelesaian)

x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.

Seperti yang anda lihat, jika anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik, anda juga boleh menyelesaikan persamaan biquadratik.

Jika anda masih mempunyai soalan, daftarlah untuk pelajaran saya. Tutor Valentina Galinevskaya.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Konsep persamaan dengan dua pembolehubah mula-mula dibentuk dalam kursus matematik gred 7. Masalah khusus dipertimbangkan, proses penyelesaian yang membawa kepada persamaan jenis ini.

Walau bagaimanapun, mereka dikaji secara dangkal. Program ini memberi tumpuan kepada sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Ini telah menjadi sebab bahawa masalah di mana sekatan tertentu dikenakan ke atas pekali persamaan secara praktikal tidak dipertimbangkan. Perhatian yang tidak mencukupi diberikan kepada kaedah untuk menyelesaikan tugas seperti "Selesaikan persamaan dalam nombor asli atau integer." Adalah diketahui bahawa bahan Peperiksaan Negeri Bersepadu dan tiket peperiksaan kemasukan sering mengandungi latihan sedemikian.

Persamaan yang manakah ditakrifkan sebagai persamaan dengan dua pembolehubah?

xy = 8, 7x + 3y = 13 atau x 2 + y = 7 ialah contoh persamaan dengan dua pembolehubah.

Pertimbangkan persamaan x – 4y = 16. Jika x = 4 dan y = -3, ia akan menjadi kesamaan yang betul. Ini bermakna pasangan nilai ini adalah penyelesaian kepada persamaan ini.

Penyelesaian kepada mana-mana persamaan dengan dua pembolehubah ialah set pasangan nombor (x; y) yang memenuhi persamaan ini (menjadikannya kesamaan sebenar).

Selalunya persamaan diubah supaya ia boleh digunakan untuk mendapatkan sistem untuk mencari yang tidak diketahui.

Contoh

Selesaikan persamaan: xy – 4 = 4x – y.

Dalam contoh ini, anda boleh menggunakan kaedah pemfaktoran. Untuk melakukan ini, anda perlu mengumpulkan syarat dan mengambil faktor sepunya daripada kurungan:

xy – 4 = 4x – y;

xy – 4 – 4x + y = 0;

(xy + y) – (4x + 4) = 0;

y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 4) = 0.

Jawapan: Semua pasangan (x; 4), dengan x ialah sebarang nombor rasional dan (-1; y), dengan y ialah sebarang nombor rasional.

Selesaikan persamaan: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).

Langkah pertama ialah mengumpulkan.

4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;

4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;

(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.

Menggunakan formula perbezaan kuasa dua, kita mendapat:

(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.

Apabila menjumlahkan dua ungkapan bukan negatif, sifar akan terhasil hanya jika 2x – 1 = 0 dan y + 1 = 0. Ia berikut: x = ½ dan y = -1.

Jawapan: (1/2; -1).

Selesaikan persamaan (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.

Adalah rasional untuk menggunakan kaedah anggaran, menyerlahkan petak lengkap dalam kurungan.

((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.

Dalam kes ini (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, dan (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Maka bahagian kiri persamaan sentiasa sekurang-kurangnya 4. Kesamaan adalah mungkin dalam kes

(x - 3) 2 + 1 = 1 dan (y + 5) 2 + 4 = 4. Oleh itu, x = 3, y = -5.

Jawapan: (3; -5).

Selesaikan persamaan dalam nombor bulat: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.

Persamaan ini boleh ditulis seperti berikut:

x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Jika bahagian kanan kesamaan dibahagikan dengan 5, maka 3 ialah bakinya. Ia berikutan daripada ini bahawa x 2 tidak boleh dibahagikan dengan 5. Adalah diketahui bahawa kuasa dua nombor yang tidak boleh dibahagikan dengan 5 mesti meninggalkan baki sama ada 1 atau 4. Ini bermakna persamaan itu tidak mempunyai punca.

Jawapan: Tiada penyelesaian.

Jangan berkecil hati dengan kesukaran mencari penyelesaian yang tepat untuk persamaan dengan dua pembolehubah. Ketabahan dan amalan pasti membuahkan hasil.

Kami menawarkan anda kemudahan percuma kalkulator dalam talian untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Anda boleh mendapatkan dan memahami dengan cepat cara ia diselesaikan menggunakan contoh yang jelas.
Untuk menghasilkan menyelesaikan persamaan kuadratik dalam talian, mula-mula bawa persamaan ke bentuk amnya:
ax 2 + bx + c = 0
Isikan medan borang dengan sewajarnya:

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik:	Jenis akar:
1. Kurangkan persamaan kuadratik kepada bentuk amnya: Pandangan umum Аx 2 +Bx+C=0 Contoh: 3x - 2x 2 +1=-1 Kurangkan kepada -2x 2 +3x+2=0 2. Cari diskriminasi D. D=B 2 -4*A*C . Untuk contoh kami, D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Mencari punca-punca persamaan. x1=(-B+D 1/2)/2A. Untuk kes kami x1=(-3+5)/(-4)=-0.5 x2=(-B-D 1/2)/2A. Untuk contoh kami x2=(-3-5)/(-4)=2 Jika B ialah nombor genap, maka adalah lebih mudah untuk mengira diskriminasi dan punca menggunakan formula: D=К 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Di mana K=B/2	1. Akar sebenar. Lebih-lebih lagi. x1 tidak sama dengan x2 Keadaan berlaku apabila D>0 dan A tidak sama dengan 0. 2. Akar sebenar adalah sama. x1 sama dengan x2 Keadaan berlaku apabila D=0. Walau bagaimanapun, A, atau B, atau C tidak sepatutnya sama dengan 0. 3. Dua akar kompleks. x1=d+ei, x2=d-ei, dengan i=-(1) 1/2 Keadaan itu berlaku apabila D 4. Persamaan mempunyai satu penyelesaian. A=0, B dan C tidak sama dengan sifar. Persamaan menjadi linear. 5. Persamaan mempunyai banyak penyelesaian. A=0, B=0, C=0. 6. Persamaan tidak mempunyai penyelesaian. A=0, B=0, C tidak sama dengan 0.

Untuk menyatukan algoritma, berikut adalah beberapa lagi contoh ilustrasi penyelesaian kepada persamaan kuadratik.

Contoh 1. Menyelesaikan persamaan kuadratik biasa dengan punca nyata yang berbeza.
x 2 + 3x -10 = 0
Dalam persamaan ini
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Kami akan menandakan punca kuasa dua sebagai nombor 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Untuk menyemak, mari kita gantikan:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Contoh 2. Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan padanan punca sebenar.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Mari kita ganti
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Contoh 3. Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan punca kompleks.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminasi adalah negatif - akarnya kompleks.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, di mana I ialah punca kuasa dua bagi -1

Inilah sebenarnya semua kes yang mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.
Kami berharap bahawa kami kalkulator dalam talian akan sangat berguna untuk anda.
Jika bahan itu berguna, anda boleh