Apakah logaritma?
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya persamaan dengan logaritma.
Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! Tidak percaya saya? baiklah. Kini, hanya dalam 10 - 20 minit anda:
1. Faham apa itu logaritma.
2. Belajar untuk menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar apa-apa tentang mereka.
3. Belajar mengira logaritma mudah.
Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban dan cara menaikkan nombor kepada kuasa...
Saya rasa awak ada keraguan... Baik, okey, tandakan masanya! Pergi!
Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala anda:
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Berhubung dengan
tugas mencari mana-mana tiga nombor daripada dua nombor lain yang diberi boleh ditetapkan. Jika a dan kemudian N diberikan, ia didapati dengan eksponen. Jika N dan kemudian a diberi dengan mengambil punca darjah x (atau menaikkannya kepada kuasa). Sekarang pertimbangkan kes apabila, diberi a dan N, kita perlu mencari x.
Biarkan nombor N positif: nombor a positif dan tidak sama dengan satu: .
Definisi. Logaritma nombor N ke pangkalan a ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor N; logaritma dilambangkan dengan
Oleh itu, dalam kesamaan (26.1) eksponen didapati sebagai logaritma N kepada asas a. Catatan
mempunyai maksud yang sama. Kesamaan (26.1) kadangkala dipanggil identiti utama teori logaritma; sebenarnya ia menyatakan definisi konsep logaritma. Oleh takrifan ini Asas logaritma a sentiasa positif dan berbeza daripada kesatuan; nombor logaritma N adalah positif. Nombor negatif dan sifar tidak mempunyai logaritma. Ia boleh dibuktikan bahawa mana-mana nombor dengan asas tertentu mempunyai logaritma yang jelas. Oleh itu kesaksamaan memerlukan . Perhatikan bahawa syarat itu penting di sini; jika tidak, kesimpulannya tidak akan dibenarkan, kerana kesamaan adalah benar untuk sebarang nilai x dan y.
Contoh 1. Cari
Penyelesaian. Untuk mendapatkan nombor, anda mesti menaikkan asas 2 kepada kuasa Oleh itu.
Anda boleh membuat nota apabila menyelesaikan contoh sedemikian dalam bentuk berikut:
Contoh 2. Cari .
Penyelesaian. Kami ada
Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemui logaritma yang dikehendaki dengan mewakili nombor logaritma sebagai kuasa asas dengan eksponen rasional. DALAM kes am, sebagai contoh, untuk, dsb., ini tidak boleh dilakukan, kerana logaritma mempunyai nilai tidak rasional. Mari kita perhatikan satu isu yang berkaitan dengan kenyataan ini. Dalam perenggan 12, kami memberikan konsep kemungkinan menentukan sebarang kuasa sebenar bagi nombor positif yang diberikan. Ini adalah perlu untuk pengenalan logaritma, yang, secara amnya, boleh menjadi nombor tidak rasional.
Mari kita lihat beberapa sifat logaritma.
Sifat 1. Jika nombor dan asas adalah sama, maka logaritma adalah sama dengan satu, dan, sebaliknya, jika logaritma adalah sama dengan satu, maka nombor dan asas adalah sama.
Bukti. Biar Dengan takrifan logaritma yang kita ada dan dari mana
Sebaliknya, biarkan Kemudian mengikut definisi
Sifat 2. Logaritma satu kepada sebarang tapak adalah sama dengan sifar.
Bukti. Mengikut takrifan logaritma (kuasa sifar mana-mana asas positif adalah sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini
Q.E.D.
Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Sesungguhnya, kita mempunyai .
Sebelum merumuskan sifat logaritma seterusnya, marilah kita bersetuju untuk mengatakan bahawa dua nombor a dan b terletak pada sisi yang sama bagi nombor ketiga c jika kedua-duanya lebih besar daripada c atau kurang daripada c. Jika satu daripada nombor ini lebih besar daripada c, dan satu lagi kurang daripada c, maka kita akan mengatakan bahawa mereka terletak pada sisi bertentangan c.
Harta 3. Jika nombor dan tapak terletak pada sisi yang sama dari satu, maka logaritmanya adalah positif; Jika nombor dan tapak terletak pada sisi bertentangan satu, maka logaritmanya adalah negatif.
Bukti harta 3 adalah berdasarkan fakta bahawa kuasa a adalah lebih besar daripada satu jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen positif atau asas kurang daripada satu dan eksponen negatif. Kuasa adalah kurang daripada satu jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen negatif atau asas kurang daripada satu dan eksponen positif.
Terdapat empat kes untuk dipertimbangkan:
Kami akan mengehadkan diri kami untuk menganalisis yang pertama daripada mereka;
Biarkan dalam kesamaan eksponen tidak boleh negatif atau sama dengan sifar, oleh itu, ia adalah positif, iaitu, seperti yang dikehendaki untuk dibuktikan.
Contoh 3. Ketahui yang manakah logaritma di bawah adalah positif dan yang mana negatif:
Penyelesaian, a) kerana nombor 15 dan asas 12 terletak pada sisi yang sama dari satu;
b) memandangkan 1000 dan 2 terletak pada satu sisi unit; dalam kes ini, tidak penting bahawa asas lebih besar daripada nombor logaritma;
c) kerana 3.1 dan 0.8 terletak pada bahagian yang bertentangan perpaduan;
G); kenapa?
d); kenapa?
Sifat-sifat berikut 4-6 sering dipanggil peraturan logaritma: mereka membenarkan, mengetahui logaritma beberapa nombor, untuk mencari logaritma hasil darab, hasil bagi, dan darjah setiap satu daripadanya.
Sifat 4 (peraturan logaritma produk). Logaritma hasil darab beberapa nombor positif oleh asas ini sama dengan jumlah logaritma nombor ini kepada asas yang sama.
Bukti. Biarkan nombor yang diberi adalah positif.
Untuk logaritma produk mereka, kami menulis kesamaan (26.1) yang mentakrifkan logaritma:
Dari sini kita akan dapati
Membandingkan eksponen bagi ungkapan pertama dan terakhir, kami memperoleh kesamaan yang diperlukan:
Perhatikan bahawa syarat itu penting; logaritma hasil darab dua nombor negatif masuk akal, tetapi dalam kes ini kita dapat
Secara umum, jika hasil darab beberapa faktor adalah positif, maka logaritmanya adalah sama dengan jumlah logaritma nilai mutlak faktor-faktor ini.
Sifat 5 (peraturan untuk mengambil logaritma hasil bagi). Logaritma hasil bagi nombor positif adalah sama dengan perbezaan antara logaritma dividen dan pembahagi, dibawa ke pangkalan yang sama. Bukti. Kami secara konsisten mencari
Q.E.D.
Harta 6 (peraturan logaritma kuasa). Logaritma kuasa mana-mana nombor positif adalah sama dengan logaritma nombor itu yang didarab dengan eksponen.
Bukti. Mari kita tulis semula identiti utama (26.1) untuk nombor:
Q.E.D.
Akibat. Logaritma punca nombor positif adalah sama dengan logaritma radikal dibahagikan dengan eksponen punca:
Kesahihan akibat ini boleh dibuktikan dengan membayangkan bagaimana dan menggunakan harta 6.
Contoh 4. Ambil logaritma kepada asas a:
a) (diandaikan bahawa semua nilai b, c, d, e adalah positif);
b) (diandaikan bahawa ).
Penyelesaian, a) Adalah mudah untuk pergi ke kuasa pecahan dalam ungkapan ini:
Berdasarkan kesamaan (26.5)-(26.7), kita kini boleh menulis:
Kami perhatikan bahawa operasi yang lebih mudah dilakukan pada logaritma nombor daripada pada nombor itu sendiri: apabila mendarab nombor, logaritma mereka ditambah, apabila membahagi, mereka ditolak, dsb.
Itulah sebabnya logaritma digunakan dalam amalan pengkomputeran (lihat perenggan 29).
Tindakan songsang logaritma dipanggil potentiation, iaitu: potentiation ialah tindakan di mana nombor itu sendiri ditemui daripada logaritma nombor tertentu. Pada asasnya, potentiation tidak tindakan khas: ia turun untuk menaikkan asas kepada kuasa (sama dengan logaritma nombor). Istilah "potentiation" boleh dianggap sinonim dengan istilah "exponentiation".
Apabila mempotensikan, seseorang mesti menggunakan peraturan songsang kepada peraturan logaritma: gantikan jumlah logaritma dengan logaritma hasil darab, perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi, dsb. Khususnya, jika terdapat faktor di hadapan daripada tanda logaritma, maka semasa potensiasi ia mesti dipindahkan ke darjah eksponen di bawah tanda logaritma.
Contoh 5. Cari N jika diketahui bahawa
Penyelesaian. Berhubung dengan peraturan potensiasi yang dinyatakan, kami akan memindahkan faktor 2/3 dan 1/3 yang berdiri di hadapan tanda logaritma di sebelah kanan kesamaan ini kepada eksponen di bawah tanda logaritma ini; kita mendapatkan
Sekarang kita gantikan perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi:
untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantaian kesamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya daripada ketidakrasionalan dalam penyebut (fasal 25).
Harta 7. Jika tapak lebih besar daripada satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih besar (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih kecil), jika asasnya kurang daripada satu, maka nombor yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih kecil (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih besar).
Sifat ini juga dirumuskan sebagai peraturan untuk mengambil logaritma ketaksamaan, kedua-dua belahnya adalah positif:
Apabila logaritma ketaksamaan kepada asas lebih besar daripada satu, tanda ketaksamaan dikekalkan, dan apabila logaritma kepada asas kurang daripada satu, tanda ketaksamaan berubah kepada sebaliknya (lihat juga perenggan 80).
Buktinya adalah berdasarkan sifat 5 dan 3. Pertimbangkan kes apabila Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita memperoleh
(a dan N/M terletak pada sisi perpaduan yang sama). Dari sini
Kes a berikut, pembaca akan memikirkannya sendiri.
Apabila masyarakat berkembang dan pengeluaran menjadi lebih kompleks, matematik juga berkembang. Pergerakan daripada mudah kepada kompleks. Daripada perakaunan biasa menggunakan kaedah tambah dan tolak, dengan pengulangan berulang, kami sampai kepada konsep pendaraban dan pembahagian. Mengurangkan operasi berulang darab menjadi konsep eksponen. Jadual pertama pergantungan nombor pada asas dan bilangan eksponen telah disusun semula pada abad ke-8 oleh ahli matematik India Varasena. Daripada mereka anda boleh mengira masa berlakunya logaritma.
Lakaran sejarah
Kebangkitan Eropah pada abad ke-16 turut merangsang perkembangan mekanik. T memerlukan jumlah pengiraan yang besar berkaitan pendaraban dan pembahagian nombor berbilang digit. Meja-meja kuno adalah perkhidmatan yang hebat. Mereka memungkinkan untuk menggantikan operasi kompleks dengan yang lebih mudah - penambahan dan penolakan. Satu langkah besar ke hadapan ialah karya ahli matematik Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana dia menyedari idea ramai ahli matematik. Ini memungkinkan untuk menggunakan jadual bukan sahaja untuk kuasa dalam bentuk nombor perdana, tetapi juga untuk yang rasional sewenang-wenangnya.
Pada tahun 1614, John Napier Scotsman, mengembangkan idea-idea ini, mula-mula memperkenalkan istilah baru "logaritma nombor." Baru meja kompleks untuk mengira logaritma sinus dan kosinus, serta tangen. Ini sangat mengurangkan kerja ahli astronomi.
Jadual baru mula muncul, yang berjaya digunakan oleh saintis selama tiga abad. Banyak masa berlalu sebelum ini operasi baru dalam algebra ia memperoleh bentuk siapnya. Takrifan logaritma telah diberikan dan sifatnya dikaji.
Hanya pada abad ke-20, dengan kemunculan kalkulator dan komputer, manusia meninggalkan jadual kuno yang telah berjaya berfungsi sepanjang abad ke-13.
Hari ini kita memanggil logaritma b untuk asas a nombor x iaitu kuasa a untuk membuat b. Ini ditulis sebagai formula: x = log a(b).
Sebagai contoh, log 3(9) akan bersamaan dengan 2. Ini jelas jika anda mengikut definisi. Jika kita menaikkan 3 kepada kuasa 2, kita mendapat 9.
Oleh itu, definisi yang dirumus menetapkan hanya satu sekatan: nombor a dan b mestilah nyata.
Jenis-jenis logaritma
Takrif klasik dipanggil logaritma sebenar dan sebenarnya merupakan penyelesaian kepada persamaan a x = b. Pilihan a = 1 adalah sempadan dan tidak menarik. Perhatian: 1 kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan 1.
Nilai sebenar logaritma ditakrifkan hanya apabila asas dan hujah lebih besar daripada 0, dan asas tidak boleh sama dengan 1.
Tempat istimewa dalam bidang matematik mainkan logaritma, yang akan dinamakan bergantung pada saiz pangkalannya:
Peraturan dan sekatan
Sifat asas logaritma ialah peraturan: logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).
Sebagai varian bagi pernyataan ini ia akan menjadi: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), fungsi hasil bagi adalah sama dengan perbezaan fungsi.
Daripada dua peraturan sebelumnya adalah mudah untuk melihat bahawa: log a(b p) = p * log a(b).
Harta lain termasuk:
Komen. Tidak perlu membuat kesilapan biasa - logaritma jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.
Selama berabad-abad, operasi mencari logaritma adalah tugas yang agak memakan masa. Ahli matematik digunakan formula yang terkenal teori logaritma pengembangan polinomial:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), di mana n - nombor asli lebih besar daripada 1, yang menentukan ketepatan pengiraan.
Logaritma dengan tapak lain dikira menggunakan teorem tentang peralihan dari satu tapak ke tapak yang lain dan sifat logaritma hasil darab.
Oleh kerana kaedah ini sangat intensif buruh dan semasa menyelesaikan masalah praktikal sukar untuk dilaksanakan, kami menggunakan jadual logaritma yang telah disusun sebelumnya, yang mempercepatkan semua kerja dengan ketara.
Dalam sesetengah kes, graf logaritma yang direka khas telah digunakan, yang memberikan kurang ketepatan, tetapi mempercepatkan carian dengan ketara nilai yang dikehendaki. Lengkung fungsi y = log a(x), dibina di atas beberapa titik, membolehkan anda menggunakan pembaris biasa untuk mencari nilai fungsi pada mana-mana titik lain. Jurutera masa yang lama Untuk tujuan ini, apa yang dipanggil kertas graf telah digunakan.
Pada abad ke-17, keadaan pengkomputeran analog tambahan pertama muncul, yang abad ke-19 memperoleh rupa yang telah siap. Peranti yang paling berjaya dipanggil peraturan slaid. Walaupun kesederhanaan peranti, penampilannya dengan ketara mempercepatkan proses semua pengiraan kejuruteraan, dan ini sukar untuk dinilai terlalu tinggi. Pada masa ini, beberapa orang biasa dengan peranti ini.
Kemunculan kalkulator dan komputer menjadikan penggunaan mana-mana peranti lain menjadi sia-sia.
Persamaan dan ketaksamaan
Untuk menyelesaikan pelbagai persamaan dan ketaksamaan menggunakan logaritma, formula berikut digunakan:
- Peralihan dari satu pangkalan ke pangkalan lain: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Akibat daripada pilihan sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).
Untuk menyelesaikan ketidaksamaan adalah berguna untuk mengetahui:
- Nilai logaritma akan menjadi positif hanya jika asas dan hujah kedua-duanya lebih besar atau kurang daripada satu; jika sekurang-kurangnya satu syarat dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
- Jika fungsi logaritma digunakan pada bahagian kanan dan kiri ketaksamaan, dan asas logaritma lebih besar daripada satu, maka tanda ketaksamaan itu dikekalkan; jika tidak ia berubah.
Masalah contoh
Mari kita pertimbangkan beberapa pilihan untuk menggunakan logaritma dan sifatnya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:
Pertimbangkan pilihan untuk meletakkan logaritma dalam kuasa:
- Masalah 3. Kira 25^log 5(3). Penyelesaian: dalam keadaan masalah, entri adalah serupa dengan yang berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tuliskannya secara berbeza: 5^log 5(3*2), atau kuasa dua nombor sebagai hujah fungsi boleh ditulis sebagai kuasa dua bagi fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan sifat logaritma, ungkapan ini bersamaan dengan 3^2. Jawapan: hasil pengiraan kita dapat 9.
Penggunaan praktikal
Sebagai alat matematik semata-mata, ia kelihatan jauh dari kehidupan sebenar bahawa logaritma tiba-tiba diperolehi sangat penting untuk menerangkan objek dunia sebenar. Sukar untuk mencari ilmu yang tidak digunakan. Ini terpakai sepenuhnya bukan sahaja untuk alam semula jadi, tetapi juga untuk bidang pengetahuan kemanusiaan.
Kebergantungan logaritma
Mari kita berikan beberapa contoh kebergantungan berangka:
Mekanik dan fizik
Dari segi sejarah, mekanik dan fizik sentiasa berkembang menggunakan kaedah matematik penyelidikan dan pada masa yang sama berfungsi sebagai insentif untuk pembangunan matematik, termasuk logaritma. Teori kebanyakan undang-undang fizik ditulis dalam bahasa matematik. Mari kita berikan hanya dua contoh huraian undang-undang fizikal menggunakan logaritma.
Masalah pengiraan kuantiti yang kompleks seperti kelajuan roket boleh diselesaikan dengan menggunakan formula Tsiolkovsky, yang meletakkan asas bagi teori penerokaan angkasa lepas:
V = I * ln (M1/M2), di mana
- V ialah kelajuan akhir pesawat.
- I – impuls spesifik enjin.
- M 1 – jisim awal roket.
- M 2 – jisim akhir.
Satu lagi contoh penting- ini digunakan dalam formula seorang lagi saintis hebat Max Planck, yang berfungsi untuk menilai keadaan keseimbangan dalam termodinamik.
S = k * ln (Ω), di mana
- S – sifat termodinamik.
- k – Pemalar Boltzmann.
- Ω ialah berat statistik bagi keadaan yang berbeza.
Kimia
Kurang jelas ialah penggunaan formula dalam kimia yang mengandungi nisbah logaritma. Mari kita berikan hanya dua contoh:
- Persamaan Nernst, keadaan potensi redoks medium berhubung dengan aktiviti bahan dan pemalar keseimbangan.
- Pengiraan pemalar seperti indeks autolisis dan keasidan larutan juga tidak boleh dilakukan tanpa fungsi kita.
Psikologi dan biologi
Dan ia sama sekali tidak jelas apa kaitan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai nisbah songsang nilai intensiti rangsangan kepada nilai intensiti yang lebih rendah.
Selepas contoh di atas, tidak hairan lagi topik logaritma digunakan secara meluas dalam biologi. Keseluruhan jilid boleh ditulis tentang bentuk biologi yang sepadan dengan lingkaran logaritma.
Kawasan lain
Nampaknya kewujudan dunia adalah mustahil tanpa kaitan dengan fungsi ini, dan ia memerintah semua undang-undang. Lebih-lebih lagi apabila undang-undang alam berkaitan dengan janjang geometri. Perlu beralih ke tapak web MatProfi, dan terdapat banyak contoh sedemikian dalam bidang aktiviti berikut:
Senarai itu boleh menjadi tidak berkesudahan. Setelah menguasai prinsip asas fungsi ini, anda boleh terjun ke dunia kebijaksanaan yang tidak terhingga.
Hari ini kita akan bercakap tentang formula logaritma dan memberi petunjuk contoh penyelesaian.
Mereka sendiri membayangkan corak penyelesaian mengikut sifat asas logaritma. Sebelum menggunakan formula logaritma untuk menyelesaikan, izinkan kami mengingatkan anda tentang semua sifat:
Sekarang, berdasarkan formula (sifat) ini, kami akan tunjukkan contoh penyelesaian logaritma.
Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan formula.
Logaritma nombor positif b kepada asas a (ditandakan dengan log a b) ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.
Mengikut definisi, log a b = x, yang bersamaan dengan a x = b, oleh itu log a a x = x.
Logaritma, contoh:
log 2 8 = 3, kerana 2 3 = 8
log 7 49 = 2, kerana 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, kerana 5 -1 = 1/5
Logaritma perpuluhan- ini ialah logaritma biasa, asasnya ialah 10. Ia dilambangkan sebagai lg.
log 10 100 = 2, kerana 10 2 = 100
Logaritma semula jadi- juga logaritma biasa, logaritma, tetapi dengan asas e (e = 2.71828... - nombor tak rasional). Ditandakan sebagai ln.
Adalah dinasihatkan untuk menghafal formula atau sifat logaritma, kerana kita akan memerlukannya kemudian apabila menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma dan ketaksamaan. Mari kita teliti setiap formula sekali lagi dengan contoh.
- Identiti logaritma asas
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritma hasil darab adalah sama dengan hasil tambah logaritma
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Sifat kuasa nombor logaritma dan asas logaritma
Eksponen logaritma nombor log a b m = mlog a b
Eksponen asas log logaritma a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jika m = n, kita mendapat log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Peralihan kepada asas baharu
log a b = log c b/log c a,jika c = b, kita mendapat log b b = 1
kemudian log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
Seperti yang anda boleh lihat, formula untuk logaritma tidaklah begitu rumit seperti yang kelihatan. Sekarang, setelah melihat contoh penyelesaian logaritma, kita boleh beralih kepada persamaan logaritma. Kami akan melihat contoh penyelesaian persamaan logaritma dengan lebih terperinci dalam artikel: "". Jangan lepaskan!
Jika anda masih mempunyai soalan tentang penyelesaian, tuliskannya dalam ulasan artikel.
Nota: kami memutuskan untuk mendapatkan kelas pendidikan yang berbeza dan belajar di luar negara sebagai pilihan.
Logaritma nombor positif b kepada asas a (a>0, a tidak sama dengan 1) ialah nombor c supaya a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Ambil perhatian bahawa logaritma nombor bukan positif tidak ditentukan. Di samping itu, asas logaritma mestilah nombor positif yang tidak sama dengan 1. Sebagai contoh, jika kita kuasa dua -2, kita mendapat nombor 4, tetapi ini tidak bermakna bahawa asas -2 logaritma 4 adalah sama. kepada 2.
Identiti logaritma asas
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Adalah penting bahawa skop definisi bahagian kanan dan kiri formula ini adalah berbeza. Sebelah kiri ditakrifkan hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Bahagian kanan ditakrifkan untuk mana-mana b, tetapi tidak bergantung pada a sama sekali. Oleh itu, penggunaan "identiti" logaritma asas apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan boleh membawa kepada perubahan dalam OD.
Dua akibat yang jelas dari definisi logaritma
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Sesungguhnya, apabila menaikkan nombor a kepada kuasa pertama, kita mendapat nombor yang sama, dan apabila menaikkannya kepada kuasa sifar, kita mendapat satu.
Logaritma hasil darab dan logaritma hasil bagi
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Saya ingin memberi amaran kepada pelajar sekolah supaya tidak menggunakan formula ini secara tidak sengaja semasa menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan. Apabila menggunakannya "dari kiri ke kanan," ODZ mengecil, dan apabila bergerak dari jumlah atau perbezaan logaritma ke logaritma hasil atau hasil, ODZ mengembang.
Sesungguhnya, ungkapan log a (f (x) g (x)) ditakrifkan dalam dua kes: apabila kedua-dua fungsi adalah positif atau apabila f (x) dan g (x) kedua-duanya kurang daripada sifar.
Mengubah ungkapan ini kepada log jumlah a f (x) + log a g (x), kita terpaksa mengehadkan diri kita hanya kepada kes apabila f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan julat nilai yang boleh diterima, dan ini secara kategorinya tidak boleh diterima, kerana ia boleh menyebabkan kehilangan penyelesaian. Masalah yang sama wujud untuk formula (6).
Darjah boleh diambil daripada tanda logaritma
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Dan sekali lagi saya ingin meminta ketepatan. Pertimbangkan contoh berikut:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Bahagian kiri kesamaan jelas ditakrifkan untuk semua nilai f(x) kecuali sifar. Bahagian kanan hanya untuk f(x)>0! Dengan mengeluarkan darjah daripada logaritma, kami sekali lagi mengecilkan ODZ. Prosedur sebaliknya membawa kepada pengembangan julat nilai yang boleh diterima. Semua kenyataan ini terpakai bukan sahaja untuk kuasa 2, tetapi juga untuk mana-mana kuasa genap.
Formula untuk berpindah ke asas baru
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Kes yang jarang berlaku apabila ODZ tidak berubah semasa transformasi. Jika anda telah memilih asas c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), formula untuk berpindah ke pangkalan baharu adalah selamat sepenuhnya.
Jika kita memilih nombor b sebagai asas baru c, kita mendapat yang penting kes istimewa formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Beberapa contoh mudah dengan logaritma
Contoh 1. Kira: log2 + log50.
Penyelesaian. log2 + log50 = log100 = 2. Kami menggunakan jumlah formula logaritma (5) dan takrifan logaritma perpuluhan.
Contoh 2. Kira: lg125/lg5.
Penyelesaian. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan formula untuk berpindah ke pangkalan baharu (8).
Jadual rumus berkaitan logaritma
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
