Formula logaritma asas. Mari berikan beberapa contoh kebergantungan berangka

Logaritma nombor b (b > 0) kepada asas a (a > 0, a ≠ 1)– eksponen yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b.

Logaritma asas 10 b boleh ditulis sebagai log(b), dan logaritma kepada asas e (logaritma semula jadi) ialah ln(b).

Selalunya digunakan semasa menyelesaikan masalah dengan logaritma:

Sifat logaritma

Terdapat empat utama sifat logaritma.

Biarkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.

Sifat 1. Logaritma hasil

Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Harta 2. Logaritma hasil bagi

Logaritma hasil bagi sama dengan perbezaan logaritma:

log a (x / y) = log a x – log a y

Harta 3. Logaritma kuasa

Logaritma darjah sama dengan hasil darab kuasa dan logaritma:

Jika asas logaritma adalah dalam darjah, maka formula lain digunakan:

Sifat 4. Logaritma punca

Sifat ini boleh didapati daripada sifat logaritma kuasa, kerana punca ke-n kuasa adalah sama dengan kuasa 1/n:

Formula untuk menukar daripada logaritma dalam satu asas kepada logaritma dalam asas lain

Formula ini juga sering digunakan semasa menyelesaikan pelbagai tugasan pada logaritma:

Kes istimewa:

Membandingkan logaritma (ketaksamaan)

Mari kita mempunyai 2 fungsi f(x) dan g(x) di bawah logaritma dengan asas yang sama dan di antara mereka terdapat tanda ketaksamaan:

Untuk membandingkannya, anda perlu terlebih dahulu melihat asas logaritma a:

• Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
• Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Bagaimana untuk menyelesaikan masalah dengan logaritma: contoh

Masalah dengan logaritma termasuk dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk gred 11 dalam tugasan 5 dan tugasan 7, anda boleh mencari tugasan dengan penyelesaian di laman web kami di bahagian yang sesuai. Juga, tugasan dengan logaritma ditemui dalam bank tugas matematik. Anda boleh mencari semua contoh dengan mencari tapak.

Apakah itu logaritma

Logaritma sentiasa dianggap sebagai topik yang sukar dalam kursus matematik sekolah. Terdapat banyak definisi logaritma yang berbeza, tetapi atas sebab tertentu kebanyakan buku teks menggunakan yang paling kompleks dan tidak berjaya.

Kami akan mentakrifkan logaritma dengan mudah dan jelas. Untuk melakukan ini, mari buat jadual:

Jadi, kita ada kuasa dua.

Logaritma - sifat, formula, cara menyelesaikan

Jika anda mengambil nombor dari baris bawah, anda boleh dengan mudah mencari kuasa yang anda perlu menaikkan dua untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keenam. Ini boleh dilihat dari jadual.

Dan sekarang - sebenarnya, takrifan logaritma:

asas a bagi hujah x ialah kuasa yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x.

Penetapan: log a x = b, di mana a ialah asas, x ialah hujah, b ialah logaritma sebenarnya sama dengannya.

Contohnya, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logaritma asas 2 bagi 8 ialah tiga kerana 2 3 = 8). Dengan kejayaan yang sama, log 2 64 = 6, kerana 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma nombor kepada asas tertentu dipanggil. Jadi, mari tambah baris baharu pada jadual kami:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Malangnya, tidak semua logaritma dikira dengan begitu mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5. Nombor 5 tiada dalam jadual, tetapi logik menentukan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat pada selang. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional: nombor selepas titik perpuluhan boleh ditulis ad infinitum, dan ia tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma ialah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Pada mulanya, ramai yang keliru di mana asasnya dan di mana hujahnya. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat sahaja gambar:

Di hadapan kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma ialah kuasa, di mana pangkalan mesti dibina untuk mendapatkan hujah. Ia adalah pangkalan yang dinaikkan kepada kuasa - ia diserlahkan dengan warna merah dalam gambar. Ternyata asasnya sentiasa di bawah! Saya memberitahu pelajar saya peraturan indah ini pada pelajaran pertama - dan tiada kekeliruan timbul.

Cara mengira logaritma

Kami telah mengetahui definisinya - yang tinggal hanyalah untuk mempelajari cara mengira logaritma, i.e. buang tanda "log". Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Hujah dan asas mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar. Ini berikutan daripada takrifan darjah oleh eksponen rasional, yang mana takrifan logaritma dikurangkan.
2. Asas mestilah berbeza daripada satu, kerana satu hingga mana-mana darjah masih kekal satu. Oleh kerana itu, persoalan "kepada apa kuasa seseorang mesti dibangkitkan untuk mendapat dua" tidak bermakna. Tidak ada ijazah seperti itu!

Sekatan sedemikian dipanggil julat nilai yang boleh diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritma kelihatan seperti ini: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ambil perhatian bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma). Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 = −1, kerana 0.5 = 2 −1.

Walau bagaimanapun, kini kami hanya mempertimbangkan ungkapan berangka, di mana ia tidak diperlukan untuk mengetahui VA logaritma. Semua sekatan telah diambil kira oleh pengarang tugas. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketaksamaan berlaku, keperluan DL akan menjadi wajib. Lagipun, asas dan hujah mungkin mengandungi pembinaan yang sangat kuat yang tidak semestinya sepadan dengan sekatan di atas.

Sekarang mari kita lihat skema umum untuk mengira logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:

1. Nyatakan asas a dan hujah x sebagai kuasa dengan kemungkinan asas minimum yang lebih besar daripada satu. Sepanjang perjalanan, lebih baik untuk menyingkirkan perpuluhan;
2. Selesaikan persamaan bagi pembolehubah b: x = a b ;
3. Nombor b yang terhasil akan menjadi jawapannya.

Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan kelihatan pada langkah pertama. Keperluan bahawa asas lebih besar daripada satu adalah sangat penting: ini mengurangkan kemungkinan ralat dan sangat memudahkan pengiraan. Sama dengan perpuluhan: jika anda segera menukarnya kepada yang biasa, akan terdapat banyak ralat yang lebih sedikit.

Mari lihat bagaimana skema ini berfungsi menggunakan contoh khusus:

Tugasan. Kira logaritma: log 5 25

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Kami menerima jawapan: 2.

Tugasan. Kira logaritma:

Tugasan. Kira logaritma: log 4 64

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaan:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Kami menerima jawapan: 3.

Tugasan. Kira logaritma: log 16 1

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaan:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Kami menerima jawapan: 0.

Tugasan. Kira logaritma: log 7 14

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak boleh diwakili sebagai kuasa tujuh, sejak 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Daripada perenggan sebelumnya, logaritma tidak dikira;
3. Jawapannya tiada perubahan: log 7 14.

Nota kecil pada contoh terakhir. Bagaimanakah anda boleh memastikan bahawa nombor bukan kuasa tepat nombor lain? Ia sangat mudah - hanya masukkannya ke dalam faktor utama. Jika pengembangan mempunyai sekurang-kurangnya dua faktor berbeza, bilangannya bukanlah kuasa yang tepat.

Tugasan. Ketahui sama ada nombor adalah kuasa yang tepat: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - darjah tepat, kerana hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan kuasa yang tepat, kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - darjah tepat;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan kuasa yang tepat;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan darjah yang tepat;

Perhatikan juga bahawa nombor perdana itu sendiri sentiasa kuasa tepat bagi diri mereka sendiri.

Logaritma perpuluhan

Sesetengah logaritma adalah sangat biasa sehingga mereka mempunyai nama dan simbol khas.

daripada hujah x ialah logaritma kepada asas 10, i.e. Kuasa yang nombor 10 mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: lg x.

Sebagai contoh, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dsb.

Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" muncul dalam buku teks, ketahui bahawa ini bukan kesilapan menaip. Ini ialah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak biasa dengan notasi ini, anda boleh menulis semula pada bila-bila masa:
log x = log 10 x

Semua yang benar untuk logaritma biasa adalah benar untuk logaritma perpuluhan.

Logaritma semula jadi

Terdapat satu lagi logaritma yang mempunyai sebutan tersendiri. Dalam beberapa cara, ia lebih penting daripada perpuluhan. Kita bercakap tentang logaritma semula jadi.

daripada hujah x ialah logaritma kepada asas e, i.e. kuasa yang nombor e mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: ln x.

Ramai orang akan bertanya: apakah nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional, itu nilai sebenar mustahil untuk mencari dan merekodkan. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2.718281828459…

Kami tidak akan menjelaskan secara terperinci tentang apakah nombor ini dan mengapa ia diperlukan. Ingatlah bahawa e ialah asas logaritma asli:
ln x = log e x

Oleh itu ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 ialah nombor tak rasional. Secara amnya, logaritma semula jadi mana-mana nombor rasional tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, untuk satu: ln 1 = 0.

Untuk logaritma semula jadi semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah sah.

Lihat juga:

Logaritma. Sifat logaritma (kuasa logaritma).

Bagaimana untuk mewakili nombor sebagai logaritma?

Kami menggunakan definisi logaritma.

Logaritma ialah eksponen yang asasnya mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor di bawah tanda logaritma.

Oleh itu, untuk mewakili nombor c tertentu sebagai logaritma kepada asas a, anda perlu meletakkan kuasa dengan asas yang sama dengan asas logaritma di bawah tanda logaritma, dan tulis nombor c ini sebagai eksponen:

Semestinya sebarang nombor boleh diwakili sebagai logaritma - positif, negatif, integer, pecahan, rasional, tidak rasional:

Untuk tidak mengelirukan a dan c dalam keadaan tertekan ujian atau peperiksaan, anda boleh menggunakan peraturan hafalan berikut:

yang di bawah turun, yang di atas naik.

Sebagai contoh, anda perlu mewakili nombor 2 sebagai logaritma kepada asas 3.

Kami mempunyai dua nombor - 2 dan 3. Nombor ini adalah asas dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Ia kekal untuk menentukan yang mana antara nombor ini harus ditulis, ke pangkal kuasa, dan yang mana - naik, ke eksponen.

Asas 3 dalam tatatanda logaritma berada di bahagian bawah, yang bermaksud bahawa apabila kita mewakili dua sebagai logaritma kepada asas 3, kita juga akan menulis 3 ke pangkalan.

2 lebih tinggi daripada tiga. Dan dalam notasi darjah dua kita tulis di atas tiga, iaitu, sebagai eksponen:

Logaritma. Tahap pertama.

Logaritma

Logaritma nombor positif b berdasarkan a, Di mana a > 0, a ≠ 1, dipanggil eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan a, Untuk mendapatkan b.

Definisi logaritma boleh ditulis secara ringkas seperti ini:

Persamaan ini sah untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ia biasanya dipanggil identiti logaritma.
Tindakan mencari logaritma nombor dipanggil dengan logaritma.

Sifat logaritma:

Logaritma produk:

Logaritma hasil bagi:

Menggantikan asas logaritma:

Logaritma darjah:

Logaritma akar:

Logaritma dengan asas kuasa:

Logaritma perpuluhan dan semula jadi.

Logaritma perpuluhan nombor memanggil logaritma nombor ini kepada asas 10 dan tulis   lg b
Logaritma semula jadi nombor dipanggil logaritma nombor itu kepada asas e, Di mana e- nombor tak rasional lebih kurang sama dengan 2.7. Pada masa yang sama mereka menulis ln b.

Nota lain mengenai algebra dan geometri

Sifat asas logaritma

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya, tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak yang dibina atas fakta ini kertas ujian. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Ia mudah untuk menyedarinya peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , iaitu Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma log a x diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma perpuluhan, berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu.

Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan kepada kuasa sedemikian sehingga nombor b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: hasilnya adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kami mendapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. log a a = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana 0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetaknya dan selesaikan masalah.

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya, tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. log a x+ log a y=log a (x · y);
2. log a x− log a y=log a (x : y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:

[Kapsyen untuk gambar]

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan log logaritma diberikan a x. Kemudian untuk sebarang nombor c seperti itu c> 0 dan c≠ 1, kesamaan adalah benar:

[Kapsyen untuk gambar]

Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapatkan:

[Kapsyen untuk gambar]

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

[Kapsyen untuk gambar]

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

[Kapsyen untuk gambar]

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

[Kapsyen untuk gambar]

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi penunjuk darjah berdiri dalam hujah. Nombor n boleh jadi apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah yang dipanggil: identiti logaritma asas.

Malah, apa yang akan berlaku jika nombor b meningkatkan kuasa sehingga bilangan b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: anda mendapat nombor yang sama ini a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kami mendapat:

[Kapsyen untuk gambar]

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. log a a= 1 ialah unit logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a dari asas ini adalah sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 ialah sifar logaritma. Pangkalan a boleh jadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a 0 = 1 adalah akibat langsung daripada definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetaknya dan selesaikan masalah.

Logaritma nombor positif b kepada asas a (a>0, a tidak sama dengan 1) ialah nombor c supaya a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Ambil perhatian bahawa logaritma nombor bukan positif tidak ditentukan. Di samping itu, asas logaritma mestilah nombor positif yang tidak sama dengan 1. Sebagai contoh, jika kita kuasa dua -2, kita mendapat nombor 4, tetapi ini tidak bermakna bahawa asas -2 logaritma 4 adalah sama. kepada 2.

Identiti logaritma asas

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Adalah penting bahawa skop definisi bahagian kanan dan kiri formula ini adalah berbeza. Sebelah kiri ditakrifkan hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Bahagian kanan ditakrifkan untuk mana-mana b, tetapi tidak bergantung pada a sama sekali. Oleh itu, penggunaan "identiti" logaritma asas apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan boleh membawa kepada perubahan dalam OD.

Dua akibat yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Sesungguhnya, apabila menaikkan nombor a kepada kuasa pertama, kita mendapat nombor yang sama, dan apabila menaikkannya kepada kuasa sifar, kita mendapat satu.

Logaritma hasil darab dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memberi amaran kepada pelajar sekolah supaya tidak menggunakan formula ini secara tidak sengaja semasa menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan. Apabila menggunakannya "dari kiri ke kanan," ODZ mengecil, dan apabila bergerak dari jumlah atau perbezaan logaritma ke logaritma hasil atau hasil, ODZ mengembang.

Sesungguhnya, ungkapan log a (f (x) g (x)) ditakrifkan dalam dua kes: apabila kedua-dua fungsi adalah positif atau apabila f(x) dan g(x) kedua-duanya kurang daripada sifar.

Mengubah ungkapan ini kepada log jumlah a f (x) + log a g (x) , kita terpaksa mengehadkan diri kita hanya kepada kes apabila f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan julat nilai yang boleh diterima, dan ini secara kategorinya tidak boleh diterima, kerana ia boleh menyebabkan kehilangan penyelesaian. Masalah yang sama wujud untuk formula (6).

Darjah boleh diambil daripada tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta ketepatan. Pertimbangkan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bahagian kiri kesamaan jelas ditakrifkan untuk semua nilai f(x) kecuali sifar. Bahagian kanan hanya untuk f(x)>0! Dengan mengeluarkan darjah daripada logaritma, kami sekali lagi mengecilkan ODZ. Prosedur sebaliknya membawa kepada pengembangan julat nilai yang boleh diterima. Semua kenyataan ini terpakai bukan sahaja untuk kuasa 2, tetapi juga untuk mana-mana kuasa genap.

Formula untuk berpindah ke asas baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kes yang jarang berlaku apabila ODZ tidak berubah semasa transformasi. Jika anda telah memilih asas c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), formula untuk berpindah ke pangkalan baharu adalah selamat sepenuhnya.

Jika kita memilih nombor b sebagai asas baru c, kita mendapat satu yang penting kes istimewa formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh mudah dengan logaritma

Contoh 1. Kira: log2 + log50.
Penyelesaian. log2 + log50 = log100 = 2. Kami menggunakan jumlah formula logaritma (5) dan takrifan logaritma perpuluhan.

Contoh 2. Kira: lg125/lg5.
Penyelesaian. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan formula untuk berpindah ke pangkalan baharu (8).

Jadual rumus berkaitan logaritma

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1. Semak sama ada terdapat nombor negatif atau satu di bawah tanda logaritma. Kaedah ini terpakai kepada ungkapan borang log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Walau bagaimanapun, ia tidak sesuai untuk beberapa kes khas:

   • Logaritma nombor negatif tidak ditentukan atas sebarang asas (contohnya, log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) atau log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Dalam kes ini tulis "tiada penyelesaian".
   • Logaritma sifar kepada sebarang asas juga tidak ditentukan. Jika anda tertangkap ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), tuliskan "tiada penyelesaian".
   • Logaritma satu kepada sebarang asas ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) sentiasa sifar, kerana x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) untuk semua nilai x. Tulis 1 sebagai ganti logaritma ini dan jangan gunakan kaedah di bawah.
   • Jika logaritma mempunyai asas yang berbeza, contohnya l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), dan tidak dikurangkan kepada integer, nilai ungkapan tidak boleh ditemui secara manual.

2. Tukarkan ungkapan kepada satu logaritma. Jika ungkapan tersebut bukan salah satu di atas majlis-majlis khas, ia boleh diwakili sebagai logaritma tunggal. Gunakan formula berikut untuk ini: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Contoh 1: Pertimbangkan ungkapan log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Pertama, mari kita mewakili ungkapan sebagai logaritma tunggal menggunakan formula di atas: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Formula untuk "menggantikan asas" logaritma ini diperoleh daripada sifat asas logaritma.

3. Jika boleh, nilaikan nilai ungkapan secara manual. Untuk mencari log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), bayangkan ungkapan " a? = x (\gaya paparan a^(?)=x)", iaitu, tanya soalan berikut: "Kepada kuasa apa yang perlu anda bangkitkan a, Untuk mendapatkan x?. Menjawab soalan ini mungkin memerlukan kalkulator, tetapi jika anda bernasib baik, anda mungkin dapat mencarinya secara manual.

   • Contoh 1 (bersambung): Tulis semula sebagai 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Anda perlu mencari nombor apa yang sepatutnya menggantikan tanda "?" Ini boleh dilakukan melalui percubaan dan kesilapan:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\gaya paparan 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\gaya paparan 2^(4)=8*2=16)
     Jadi nombor yang kami cari ialah 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Tinggalkan jawapan anda dalam bentuk logaritma jika anda tidak dapat memudahkannya. Banyak logaritma sangat sukar untuk dikira dengan tangan. Dalam kes ini, untuk mendapatkan jawapan yang tepat, anda memerlukan kalkulator. Walau bagaimanapun, jika anda menyelesaikan masalah di dalam kelas, kemungkinan besar guru akan berpuas hati dengan jawapan dalam bentuk logaritma. Kaedah yang dibincangkan di bawah digunakan untuk menyelesaikan contoh yang lebih kompleks:

   • contoh 2: apa yang sama log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Mari tukar ungkapan ini kepada satu logaritma: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Ambil perhatian bahawa asas 3 sepunya kepada kedua-dua logaritma hilang; ini adalah benar untuk sebarang sebab.
   • Mari kita tulis semula ungkapan dalam bentuk 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) dan mari cuba cari nilainya?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\gaya paparan 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\gaya paparan 7^(3)=49*7=343)
     Kerana 58 berada di antara dua nombor ini, ia tidak dinyatakan sebagai nombor bulat.
   • Kami meninggalkan jawapan dalam bentuk logaritma: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).