sering mengambil nombor e = 2,718281828 . Logaritma oleh asas ini dipanggil semula jadi. Apabila melakukan pengiraan dengan logaritma semula jadi, ia adalah perkara biasa untuk beroperasi dengan tanda ln, tetapi tidak log; manakala nombor 2,718281828 , menentukan asas, tidak ditunjukkan.
Dengan kata lain, rumusan akan kelihatan seperti: logaritma semula jadi nombor X- ini ialah eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan e, Untuk mendapatkan x.
Jadi, ln(7,389...)= 2, sejak e 2 =7,389... . Logaritma asli bagi nombor itu sendiri e= 1 kerana e 1 =e, dan logaritma semula jadi bagi perpaduan ialah sifar, kerana e 0 = 1.
Nombor itu sendiri e mentakrifkan had jujukan sempadan monotonic
dikira itu e = 2,7182818284... .
Selalunya, untuk menetapkan nombor dalam ingatan, digit nombor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tarikh tertunggak. Kelajuan menghafal sembilan digit pertama nombor e selepas titik perpuluhan akan meningkat jika anda perasan bahawa 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!
Hari ini sudah cukup meja penuh logaritma semula jadi.
Graf logaritma semula jadi(fungsi y =ln x) ialah akibat daripada graf eksponen menjadi imej cermin bagi garis lurus y = x dan mempunyai bentuk:
Logaritma asli boleh didapati untuk setiap nombor nyata positif a sebagai kawasan di bawah lengkung y = 1/x daripada 1 sebelum ini a.
Sifat asas rumusan ini, yang konsisten dengan banyak formula lain di mana logaritma asli terlibat, adalah sebab pembentukan nama "semula jadi".
Jika anda menganalisis logaritma semula jadi, sebagai fungsi sebenar pembolehubah sebenar, maka ia bertindak fungsi songsang kepada fungsi eksponen, yang mengurangkan kepada identiti:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma asli menukarkan pendaraban kepada penambahan, pembahagian kepada penolakan:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritma boleh didapati untuk setiap asas positif yang tidak sama dengan satu, bukan hanya untuk e, tetapi logaritma untuk asas lain berbeza daripada logaritma asli hanya dengan faktor malar, dan biasanya ditakrifkan dari segi logaritma asli.
Setelah menganalisis graf logaritma semula jadi, kami mendapati bahawa ia wujud untuk nilai positif pembolehubah x. Ia meningkat secara monotonik dalam domain definisinya.
Pada x → 0 had logaritma asli ialah tolak infiniti ( -∞ ).Pada x → +∞ had logaritma asli ialah campur infiniti ( + ∞ ). Pada umumnya x Logaritma meningkat agak perlahan. Mana-mana fungsi kuasa xa dengan eksponen positif a meningkat lebih cepat daripada logaritma. Logaritma semula jadi adalah fungsi yang meningkat secara monoton, jadi ia tidak mempunyai ekstrem.
Penggunaan logaritma semula jadi sangat rasional apabila lulus matematik yang lebih tinggi. Oleh itu, menggunakan logaritma adalah mudah untuk mencari jawapan kepada persamaan di mana tidak diketahui muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma semula jadi dalam pengiraan memungkinkan untuk memudahkan sebilangan besar formula matematik. Logaritma kepada pangkalan e hadir dalam menyelesaikan sejumlah besar masalah fizikal dan secara semula jadi termasuk dalam penerangan matematik bagi kimia individu, biologi dan proses lain. Oleh itu, logaritma digunakan untuk mengira pemalar pereputan untuk separuh hayat yang diketahui, atau untuk mengira masa pereputan dalam menyelesaikan masalah radioaktiviti. Mereka membuat persembahan dalam watak utama dalam banyak cabang matematik dan sains praktikal, ia digunakan dalam bidang kewangan untuk menyelesaikan sejumlah besar masalah, termasuk pengiraan faedah kompaun.
Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Logaritma asli. Asas logaritma asli. Logaritma nombor asli"
Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 11
Manual interaktif untuk gred 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk gred 10–11 "Logaritma"
Apakah itu logaritma semula jadi
Kawan-kawan, dalam pelajaran lepas kita belajar nombor baharu yang istimewa - e. Hari ini kita akan terus bekerja dengan nombor ini.Kami telah mengkaji logaritma dan kami tahu bahawa asas logaritma boleh menjadi banyak nombor yang lebih besar daripada 0. Hari ini kita juga akan melihat logaritma yang asasnya ialah nombor e. Logaritma sebegini biasanya dipanggil logaritma asli. Ia mempunyai tatatanda sendiri: $\ln(n)$ ialah logaritma asli. Entri ini bersamaan dengan entri: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Fungsi eksponen dan logaritma adalah songsang, maka logaritma asli ialah songsang bagi fungsi: $y=e^x$.
Fungsi songsang adalah simetri berkenaan dengan garis lurus $y=x$.
Mari kita plot logaritma asli dengan memplot fungsi eksponen berkenaan dengan garis lurus $y=x$.
Perlu diingat bahawa sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi $y=e^x$ pada titik (0;1) ialah 45°. Kemudian sudut kecondongan tangen kepada graf logaritma asli pada titik (1;0) juga akan sama dengan 45°. Kedua-dua tangen ini akan selari dengan garis $y=x$. Mari kita rajah tangen: 
Sifat fungsi $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat di seluruh domain definisi.
4. Tidak terhad dari atas, tidak terhad dari bawah.
5. Nilai terhebat tidak, nilai terendah Tidak.
6. Berterusan.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Cembung ke atas.
9. Boleh dibezakan di mana-mana.
Dalam perjalanan matematik yang lebih tinggi terbukti bahawa terbitan bagi fungsi songsang ialah songsangan bagi terbitan bagi fungsi yang diberi.
Tidak ada gunanya untuk masuk ke dalam pembuktian, mari kita tulis formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Contoh.
Hitung nilai terbitan bagi fungsi: $y=\ln(2x-7)$ pada titik $x=4$.
Penyelesaian.
DALAM Pandangan umum fungsi kita diwakili oleh fungsi $y=f(kx+m)$, kita boleh mengira derivatif bagi fungsi tersebut.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Mari kita hitung nilai terbitan pada titik yang diperlukan: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Jawapan: 2.
Contoh.
Lukis tangen pada graf fungsi $y=ln(x)$ pada titik $х=е$.
Penyelesaian.
Kita ingat betul persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Kami mengira nilai yang diperlukan secara berurutan.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Persamaan tangen pada titik $x=e$ ialah fungsi $y=\frac(x)(e)$.
Mari kita lukiskan logaritma asli dan garis tangen. 
Contoh.
Periksa fungsi untuk monotonicity dan extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Penyelesaian.
Domain takrifan fungsi $D(y)=(0;+∞)$.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Terbitan wujud untuk semua x daripada domain definisi, maka tiada titik kritikal. Mari cari titik pegun:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Titik $х=-1$ tidak tergolong dalam domain definisi. Kemudian kita mempunyai satu titik pegun $x=1$. Mari cari selang peningkatan dan penurunan: 
Titik $x=1$ ialah titik minimum, kemudian $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Jawapan: Fungsi berkurangan pada segmen (0;1), fungsi bertambah pada sinar $ (\displaystyle ). Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak formula lain yang menggunakan logaritma ini, menerangkan asal usul nama "semula jadi".
Jika kita menganggap logaritma asli sebagai fungsi sebenar pembolehubah sebenar, maka ia adalah fungsi songsang bagi fungsi eksponen, yang membawa kepada identiti:
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Seperti semua logaritma, logaritma asli memetakan pendaraban kepada penambahan:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)
