Terbitan bagi fungsi ialah salah satu daripada topik yang sukar V kurikulum sekolah. Tidak setiap graduan akan menjawab soalan tentang apa itu derivatif.
Artikel ini menerangkan dengan cara yang mudah dan jelas apa itu derivatif dan mengapa ia diperlukan.. Kami sekarang tidak akan berusaha untuk ketelitian matematik dalam pembentangan. Perkara yang paling penting ialah memahami maksudnya.
Mari kita ingat definisi:
Derivatif ialah kadar perubahan fungsi.
Rajah menunjukkan graf bagi tiga fungsi. Mana satu yang anda fikir berkembang lebih cepat?
Jawapannya jelas - yang ketiga. Ia mempunyai kadar perubahan tertinggi, iaitu terbitan terbesar.
Ini satu lagi contoh.
Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan pada masa yang sama. Mari lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:
Graf menunjukkan semuanya sekaligus, bukan? Pendapatan Kostya meningkat lebih daripada dua kali ganda dalam tempoh enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tetapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matvey menurun kepada sifar. Keadaan permulaan adalah sama, tetapi kadar perubahan fungsi, iaitu terbitan, - berbeza. Bagi Matvey, derivatif pendapatannya secara amnya negatif.
Secara intuitif, kami menganggarkan kadar perubahan fungsi dengan mudah. Tetapi bagaimana kita melakukan ini?
Apa yang kita benar-benar melihat ialah betapa curamnya graf fungsi naik (atau turun). Dengan kata lain, berapa cepatkah y berubah apabila x berubah? Jelas sekali, fungsi yang sama pada titik yang berbeza boleh ada makna yang berbeza derivatif - iaitu, ia boleh berubah lebih cepat atau lebih perlahan.
Terbitan bagi suatu fungsi dilambangkan .
Kami akan menunjukkan kepada anda cara mencarinya menggunakan graf.
Satu graf bagi beberapa fungsi telah dilukis. Mari kita ambil satu titik dengan abscissa di atasnya. Mari kita lukis tangen pada graf fungsi pada ketika ini. Kami ingin menganggarkan betapa curamnya graf fungsi naik. Nilai yang sesuai untuk ini ialah tangen sudut tangen.
Terbitan bagi fungsi pada satu titik adalah sama dengan tangen sudut tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik ini.
Sila ambil perhatian bahawa sebagai sudut kecondongan tangen kita mengambil sudut antara tangen dan arah positif paksi.
Kadangkala pelajar bertanya apakah tangen kepada graf fungsi. Ini ialah garis lurus yang mempunyai satu titik sepunya dengan graf dalam bahagian ini, dan seperti yang ditunjukkan dalam rajah kami. Ia kelihatan seperti tangen kepada bulatan.
Jom cari. Kita ingat bahawa tangen sudut akut dalam segi tiga tepat sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Dari segi tiga:
Kami mendapati terbitan menggunakan graf tanpa mengetahui formula fungsi itu. Masalah sebegini sering ditemui dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik di bawah nombor.
Terdapat satu lagi hubungan penting. Ingat bahawa garis lurus diberikan oleh persamaan
Kuantiti dalam persamaan ini dipanggil kecerunan garis lurus. Ia sama dengan tangen sudut kecondongan garis lurus ke paksi.
.
Kami dapat itu
Mari kita ingat formula ini. Dia meluahkan makna geometri terbitan.
Terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.
Dalam erti kata lain, terbitan adalah sama dengan tangen sudut tangen.
Kami telah mengatakan bahawa fungsi yang sama boleh mempunyai derivatif yang berbeza pada titik yang berbeza. Mari lihat bagaimana derivatif berkaitan dengan kelakuan fungsi.
Mari kita lukis graf bagi beberapa fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa kawasan dan berkurangan di kawasan lain, dan pada kadar yang berbeza. Dan biarkan fungsi ini mempunyai mata maksimum dan minimum.
Pada satu ketika fungsi meningkat. Tangen kepada graf yang dilukis pada titik membentuk sudut lancip; dengan arah paksi positif. Ini bermakna derivatif pada titik adalah positif.
Pada ketika itu fungsi kita berkurangan. Tangen pada titik ini membentuk sudut tumpul; dengan arah paksi positif. Oleh kerana tangen bagi sudut tumpul adalah negatif, terbitan pada titik adalah negatif.
Inilah yang berlaku:
Jika fungsi bertambah, terbitannya adalah positif.
Jika ia berkurangan, terbitannya adalah negatif.
Apakah yang akan berlaku pada mata maksimum dan minimum? Kita lihat bahawa pada titik (titik maksimum) dan (titik minimum) tangen adalah mendatar. Oleh itu, tangen tangen pada titik ini adalah sifar, dan terbitan juga sifar.
Titik - titik maksimum. Pada ketika ini, peningkatan dalam fungsi digantikan dengan penurunan. Akibatnya, tanda derivatif berubah pada titik dari "tambah" kepada "tolak".
Pada titik - titik minimum - terbitan juga sifar, tetapi tandanya berubah daripada "tolak" kepada "tambah".
Kesimpulan: menggunakan derivatif kita boleh mengetahui segala-galanya yang menarik minat kita tentang kelakuan sesuatu fungsi.
Jika derivatif adalah positif, maka fungsi meningkat.
Jika terbitan negatif, maka fungsi berkurangan.
Pada titik maksimum, derivatif adalah sifar dan menukar tanda daripada "tambah" kepada "tolak".
Pada titik minimum, terbitan juga sifar dan menukar tanda daripada "tolak" kepada "tambah".
Mari kita tulis kesimpulan ini dalam bentuk jadual:
| bertambah | titik maksimum | berkurangan | titik minimum | bertambah | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Mari kita buat dua penjelasan kecil. Anda akan memerlukan salah satu daripada mereka apabila menyelesaikan masalah. Satu lagi - pada tahun pertama, dengan kajian yang lebih serius tentang fungsi dan derivatif.
Ada kemungkinan bahawa terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar, tetapi fungsi itu tidak mempunyai maksimum mahupun minimum pada ketika ini. Inilah yang dipanggil :
Pada satu titik, tangen kepada graf adalah mendatar dan terbitan ialah sifar. Walau bagaimanapun, sebelum titik fungsi meningkat - dan selepas titik ia terus meningkat. Tanda derivatif tidak berubah - ia kekal positif seperti dahulu.
Ia juga berlaku bahawa pada titik maksimum atau minimum derivatif tidak wujud. Pada graf, ini sepadan dengan pecahan mendadak, apabila mustahil untuk melukis tangen pada titik tertentu.
Bagaimana untuk mencari derivatif jika fungsi diberikan bukan oleh graf, tetapi oleh formula? Dalam kes ini ia terpakai
Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.
Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif bagi fungsi termudah (dan tidak terlalu mudah) dengan mentakrifkan derivatif sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual terbitan dan peraturan pembezaan yang ditakrifkan dengan tepat muncul. . Yang pertama bekerja dalam bidang mencari derivatif ialah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, anda tidak perlu mengira had yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi anda hanya perlu menggunakan jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.
Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda perdana memecahkan fungsi mudah kepada komponen dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Seterusnya, kita dapati derivatif fungsi asas dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil darab, jumlah dan hasil - dalam peraturan pembezaan. Jadual terbitan dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.
Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan bagi jumlah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.
Daripada jadual derivatif kita dapati bahawa terbitan "x" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus adalah sama dengan kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:
Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami membezakan sebagai terbitan jumlah di mana sebutan kedua mempunyai faktor tetap; ia boleh diambil daripada tanda terbitan:
Jika soalan masih timbul tentang dari mana datangnya sesuatu, ia biasanya diselesaikan selepas membiasakan diri dengan jadual derivatif dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami beralih kepada mereka sekarang.
Jadual terbitan bagi fungsi mudah
| 1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sama dengan sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap | |
| 2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "X". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingati untuk masa yang lama | |
| 3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa. | |
| 4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1 | |
| 5. Terbitan punca kuasa dua | |
| 6. Terbitan sinus | |
| 7. Terbitan kosinus |  |
| 8. Terbitan tangen |  |
| 9. Terbitan kotangen |  |
| 10. Terbitan arcsine |  |
| 11. Terbitan kosinus lengkok |  |
| 12. Terbitan arkatangen |  |
| 13. Terbitan arka cotangen |  |
| 14. Terbitan logaritma asli | |
| 15. Terbitan bagi fungsi logaritma |  |
| 16. Terbitan bagi eksponen | |
| 17. Terbitan bagi fungsi eksponen |
Peraturan pembezaan
| 1. Terbitan daripada jumlah atau perbezaan |  |
| 2. Terbitan produk |  |
| 2a. Terbitan ungkapan didarab dengan faktor malar | |
| 3. Terbitan hasil bagi |  |
| 4. Terbitan bagi fungsi kompleks |  |
Peraturan 1.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu titik, maka fungsi boleh dibezakan pada titik yang sama
dan
mereka. terbitan bagi hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini.
Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan sebutan tetap, maka terbitan mereka adalah sama, iaitu
Peraturan 2.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu ketika, maka produk mereka boleh dibezakan pada titik yang sama
dan
mereka. Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.
Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:
Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.
Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:
Peraturan 3.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu ketika Dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakanu/v , dan
mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka.
Di mana untuk mencari perkara di halaman lain
Apabila mencari derivatif produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar, ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus, jadi terdapat lebih banyak contoh tentang derivatif ini dalam artikel"Terbitan hasil dan hasil bagi fungsi".
Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes faktor malar, ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. ini kesilapan tipikal, yang berlaku pada peringkat awal mengkaji derivatif, tetapi apabila pelajar purata menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bahagian, dia tidak lagi membuat kesilapan ini.
Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes ini dibincangkan dalam contoh 10).
Lain-lain kesilapan biasa- penyelesaian mekanikal bagi terbitan fungsi kompleks sebagai terbitan bagi fungsi mudah. sebab tu terbitan bagi fungsi kompleks artikel berasingan dikhaskan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.
Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukan tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual dalam tetingkap baharu. Tindakan dengan kuasa dan akar Dan Operasi dengan pecahan .
Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada terbitan pecahan dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti 
, kemudian ikuti pelajaran "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca."
Jika anda mempunyai tugas seperti 
, maka anda akan mengambil pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah".
Contoh langkah demi langkah - cara mencari derivatif
Contoh 3. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami mentakrifkan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah tersebut mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dengan terbitan satu lagi:
Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua mempunyai tanda tolak. Dalam setiap jumlah kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "X" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 bertukar menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kami memperoleh nilai terbitan berikut:
Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:
Contoh 4. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan formula untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan bagi penyebut, dan penyebut adalah kuasa dua bekas pengangka. Kita mendapatkan:
Kami telah pun menemui derivatif faktor dalam pengangka dalam contoh 2. Jangan lupa juga bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:
Jika anda mencari penyelesaian kepada masalah yang anda perlukan untuk mencari terbitan fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan kuasa yang berterusan, seperti, sebagai contoh, 
, kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca" .
Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, iaitu, apabila fungsi kelihatan seperti , maka pengajaran untuk anda "Terbitan fungsi trigonometri mudah" .
Contoh 5. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat produk, salah satu faktornya ialah punca kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, terbitan yang kita kenali dalam jadual derivatif. Menggunakan peraturan untuk membezakan hasil darab dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kita memperoleh:
Contoh 6. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya ialah punca kuasa dua pembolehubah bebas. Dengan menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi, yang kami ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kami memperoleh:
Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .
Tarikh: 11/20/2014
Apakah derivatif?
Jadual derivatif.
Derivatif adalah salah satu konsep utama matematik yang lebih tinggi. Dalam pelajaran ini kita akan memperkenalkan konsep ini. Mari berkenalan, tanpa rumusan dan pembuktian matematik yang ketat.
Kenalan ini akan membolehkan anda:
Memahami intipati tugasan mudah dengan derivatif;
Selesaikan tugas paling mudah ini dengan jayanya;
Sediakan untuk pelajaran yang lebih serius tentang terbitan.
Pertama - kejutan yang menyenangkan.)
Definisi derivatif yang ketat adalah berdasarkan teori had dan perkara itu agak rumit. Ini menjengkelkan. Tetapi aplikasi praktikal derivatif, sebagai peraturan, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!
Untuk berjaya menyelesaikan kebanyakan tugas di sekolah dan universiti, sudah cukup untuk mengetahui hanya beberapa istilah- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa peraturan- untuk menyelesaikannya. Itu sahaja. Ini membuatkan saya gembira.
Mari kita mula berkenalan?)
Terma dan sebutan.
Terdapat banyak operasi matematik yang berbeza dalam matematik asas. Penambahan, penolakan, pendaraban, eksponen, logaritma, dsb. Jika anda menambah satu lagi operasi pada operasi ini, matematik asas menjadi lebih tinggi. ini operasi baru dipanggil pembezaan. Definisi dan maksud operasi ini akan dibincangkan dalam pelajaran berasingan.
Adalah penting untuk memahami di sini bahawa pembezaan hanyalah operasi matematik pada fungsi. Kami mengambil sebarang fungsi dan, mengikut peraturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya akan menjadi fungsi baharu. Fungsi baru ini dipanggil: terbitan.
Pembezaan- tindakan pada fungsi.
Derivatif- hasil daripada tindakan ini.
Sama seperti, contohnya, jumlah- hasil penambahan. Ataupun persendirian- hasil pembahagian.
Mengetahui istilah, anda sekurang-kurangnya dapat memahami tugas.) Rumusannya adalah seperti berikut: cari terbitan bagi suatu fungsi; ambil derivatif; membezakan fungsi; mengira derivatif dan sebagainya. Itu sahaja sama. Sudah tentu, terdapat juga tugas yang lebih kompleks, di mana mencari derivatif (pembezaan) akan menjadi salah satu langkah dalam menyelesaikan masalah.
Derivatif ditunjukkan dengan tanda sempang di bahagian atas sebelah kanan fungsi. seperti ini: y" atau f"(x) atau S"(t) dan sebagainya.
Membaca strok igrek, strok daripada x, strok daripada te, baik, anda faham...)
Perdana juga boleh menunjukkan terbitan bagi fungsi tertentu, contohnya: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" dan lain-lain. Selalunya derivatif dilambangkan menggunakan pembezaan, tetapi kami tidak akan mempertimbangkan tatatanda sedemikian dalam pelajaran ini.
Mari kita anggap bahawa kita telah belajar untuk memahami tugasan. Apa yang tinggal ialah belajar cara menyelesaikannya.) Biar saya ingatkan anda sekali lagi: mencari derivatif ialah transformasi fungsi mengikut peraturan tertentu. Yang menghairankan, terdapat sangat sedikit peraturan ini.
Untuk mencari terbitan fungsi, anda perlu mengetahui hanya tiga perkara. Tiga tiang di mana semua pembezaan berdiri. Inilah tiga tiang ini:
1. Jadual derivatif (formula pembezaan).
3. Terbitan fungsi kompleks.
Mari kita mulakan mengikut urutan. Dalam pelajaran ini kita akan melihat jadual derivatif.
Jadual derivatif.
Terdapat bilangan fungsi yang tidak terhingga di dunia. Di antara set ini terdapat fungsi yang paling penting untuk kegunaan praktikal. Fungsi ini terdapat dalam semua undang-undang alam. Daripada fungsi ini, seperti dari batu bata, anda boleh membina semua yang lain. Kelas fungsi ini dipanggil fungsi asas. Fungsi-fungsi ini yang dipelajari di sekolah - linear, kuadratik, hiperbola, dll.
Pembezaan fungsi "dari awal", i.e. Berdasarkan definisi derivatif dan teori had, ini adalah perkara yang agak intensif buruh. Dan ahli matematik juga orang, ya, ya!) Jadi mereka memudahkan kehidupan mereka (dan kita). Mereka mengira derivatif fungsi asas sebelum kita. Hasilnya ialah jadual derivatif, di mana semuanya sudah sedia.)
Ini dia, plat ini untuk fungsi yang paling popular. Dibiarkan - fungsi asas, di sebelah kanan ialah terbitannya.
| Fungsi y |
Terbitan fungsi y y" |
|
| 1 | C (nilai malar) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - sebarang nombor) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | dosa x | (dosa x)" = cosx |
| kerana x | (cos x)" = - dosa x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Saya mengesyorkan memberi perhatian kepada kumpulan ketiga fungsi dalam jadual terbitan ini. Derivatif fungsi kuasa- salah satu formula yang paling biasa, jika bukan yang paling biasa! Adakah anda mendapat petunjuk?) Ya, adalah dinasihatkan untuk mengetahui jadual terbitan dengan teliti. By the way, ini tidaklah sesukar yang disangka. Cuba selesaikan lebih banyak contoh, jadual itu sendiri akan diingati!)
Cari nilai jadual derivatif, seperti yang anda faham, tugas itu bukanlah yang paling sukar. Oleh itu, selalunya dalam tugas sedemikian terdapat cip tambahan. Sama ada dalam perkataan tugas, atau dalam fungsi asal, yang nampaknya tidak terdapat dalam jadual...
Mari lihat beberapa contoh:
1. Cari terbitan bagi fungsi y = x 3
Tiada fungsi sedemikian dalam jadual. Tetapi terdapat derivatif fungsi kuasa dalam Pandangan umum(kumpulan ketiga). Dalam kes kami n=3. Jadi kita gantikan tiga dan bukannya n dan tuliskan hasilnya dengan teliti:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Itu sahaja.
Jawapan: y" = 3x 2
2. Cari nilai terbitan bagi fungsi y = sinx pada titik x = 0.
Tugasan ini bermakna anda mesti mencari terbitan sinus dahulu, dan kemudian menggantikan nilainya x = 0 ke dalam derivatif yang sama ini. Tepat dalam susunan itu! Jika tidak, ia berlaku bahawa mereka segera menggantikan sifar ke dalam fungsi asal... Kami diminta untuk mencari bukan nilai fungsi asal, tetapi nilai terbitannya. Derivatif, biar saya ingatkan anda, adalah fungsi baharu.
Menggunakan tablet kita mencari sinus dan terbitan yang sepadan:
y" = (sin x)" = cosx
Kami menggantikan sifar ke dalam derivatif:
y"(0) = cos 0 = 1
Ini akan menjadi jawapannya.
3. Bezakan fungsi:
Apa, adakah ia memberi inspirasi?) Tiada fungsi sedemikian dalam jadual derivatif.
Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk membezakan fungsi adalah semata-mata untuk mencari terbitan fungsi ini. Jika anda terlupa trigonometri asas, mencari derivatif fungsi kami agak menyusahkan. Meja tidak membantu...
Tetapi jika kita melihat bahawa fungsi kita adalah kosinus sudut berganda , maka semuanya menjadi lebih baik serta-merta!
Ya Ya! Ingat bahawa mengubah fungsi asal sebelum pembezaan agak boleh diterima! Dan ia berlaku untuk menjadikan hidup lebih mudah. Menggunakan formula kosinus sudut berganda:
Itu. fungsi rumit kami tidak lebih daripada y = cosx. Dan ini adalah fungsi jadual. Kami segera mendapat:
Jawapan: y" = - dosa x.
Contoh untuk siswazah lanjutan dan pelajar:
4. Cari terbitan bagi fungsi:
Tiada fungsi sedemikian dalam jadual derivatif, sudah tentu. Tetapi jika anda masih ingat matematik asas, operasi dengan kuasa... Maka sangat mungkin untuk memudahkan fungsi ini. seperti ini:
Dan x kuasa satu persepuluh sudah menjadi fungsi jadual! Kumpulan ketiga, n=1/10. Kami menulis secara langsung mengikut formula:
Itu sahaja. Ini akan menjadi jawapannya.
Saya berharap segala-galanya jelas dengan tonggak pertama pembezaan - jadual derivatif. Ia kekal untuk berurusan dengan dua ikan paus yang tinggal. Dalam pelajaran seterusnya kita akan mempelajari peraturan pembezaan.
Apakah derivatif?
Definisi dan maksud fungsi terbitan
Ramai yang akan terkejut dengan penempatan yang tidak dijangka artikel ini dalam kursus pengarang saya tentang terbitan fungsi satu pembolehubah dan aplikasinya. Lagipun, seperti yang berlaku sejak sekolah: buku teks standard pertama sekali memberikan definisi derivatif, makna geometri dan mekanikalnya. Seterusnya, pelajar mencari derivatif fungsi mengikut definisi, dan, sebenarnya, barulah mereka menyempurnakan teknik pembezaan menggunakan jadual terbitan.
Tetapi dari sudut pandangan saya, pendekatan berikut adalah lebih pragmatik: pertama sekali, adalah dinasihatkan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK had sesuatu fungsi, dan, khususnya, kuantiti tak terhingga. Hakikatnya ialah takrifan terbitan adalah berdasarkan konsep had, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebahagian besar pengguna muda granit pengetahuan tidak memahami intipati derivatif. Oleh itu, jika anda mempunyai sedikit pengetahuan tentang kalkulus pembezaan atau otak yang bijak untuk tahun yang panjang berjaya menyingkirkan bagasi ini, sila mulakan dengan had fungsi. Pada masa yang sama, kuasai / ingat penyelesaian mereka.
Pengertian praktikal yang sama menentukan bahawa ia adalah berfaedah terlebih dahulu belajar mencari derivatif, termasuk derivatif fungsi kompleks. Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, anda sentiasa mahu membezakan. Dalam hal ini, adalah lebih baik untuk bekerja melalui pelajaran asas yang disenaraikan, dan mungkin tuan pembezaan tanpa menyedari intipati tindakan mereka.
Saya mengesyorkan bermula dengan bahan di halaman ini selepas membaca artikel. Masalah paling mudah dengan derivatif, di mana, khususnya, masalah tangen kepada graf fungsi dipertimbangkan. Tetapi anda boleh menunggu. Hakikatnya adalah bahawa banyak aplikasi terbitan tidak memerlukan pemahamannya, dan tidak menghairankan bahawa pelajaran teori muncul agak lewat - apabila saya perlu menjelaskan mencari peningkatan/pengurangan selang dan ekstrem fungsi. Lebih-lebih lagi, dia bercakap mengenai topik itu untuk masa yang lama. Fungsi dan graf”, sehingga akhirnya saya memutuskan untuk meletakkannya lebih awal.
Oleh itu, teko yang dikasihi, jangan tergesa-gesa menyerap intipati terbitan seperti haiwan lapar, kerana ketepuan akan menjadi tawar dan tidak lengkap.
Konsep peningkatan, penurunan, maksimum, minimum fungsi
banyak alat bantu mengajar membawa kepada konsep derivatif menggunakan beberapa masalah praktikal, dan saya juga menghasilkan satu contoh yang menarik. Bayangkan kita akan pergi ke bandar yang boleh dicapai dengan cara yang berbeza. Mari segera buang laluan berliku melengkung dan pertimbangkan hanya lebuh raya lurus. Walau bagaimanapun, arah garis lurus juga berbeza: anda boleh pergi ke bandar di sepanjang lebuh raya yang rata. Atau di sepanjang lebuh raya berbukit - naik dan turun, naik dan turun. Jalan lain hanya menanjak, dan satu lagi menurun sepanjang masa. Penggemar ekstrem akan memilih laluan melalui gaung dengan tebing yang curam dan pendakian yang curam.
Tetapi apa pun pilihan anda, adalah dinasihatkan untuk mengetahui kawasan itu atau sekurang-kurangnya mempunyai peta topografinya. Bagaimana jika maklumat tersebut tiada? Lagipun, anda boleh memilih, sebagai contoh, laluan yang lancar, tetapi akibatnya tersandung pada cerun ski dengan orang Finland yang ceria. Ia bukan fakta bahawa pelayar atau imej satelit akan memberikan data yang boleh dipercayai. Oleh itu, adalah baik untuk memformalkan pelepasan laluan menggunakan matematik.
Mari lihat beberapa jalan (pandangan sisi): 
Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan anda tentang fakta asas: perjalanan berlaku dari kiri ke kanan. Untuk kesederhanaan, kami menganggap bahawa fungsi berterusan di kawasan yang dipertimbangkan.
Apakah ciri-ciri graf ini?
Pada selang waktu 
fungsi bertambah, iaitu setiap nilai seterusnya lebih yang sebelumnya. Secara kasarnya, jadual sudah ada bawah atas(kita panjat bukit). Dan pada selang fungsi berkurangan– setiap nilai seterusnya kurang sebelumnya, dan jadual kami dihidupkan atas bawah(kita turun cerun).
Mari kita juga memberi perhatian kepada mata khas. Pada titik yang kita sampai maksimum, itu dia wujud bahagian laluan sedemikian yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama ia dicapai minimum, Dan wujud kejiranannya yang nilainya paling kecil (paling rendah).
Kami akan melihat istilah dan definisi yang lebih ketat dalam kelas. tentang keterlaluan fungsi, tetapi buat masa ini mari kita kaji satu lagi ciri penting: pada selang waktu 
fungsi meningkat, tetapi ia meningkat pada kelajuan yang berbeza. Dan perkara pertama yang menarik perhatian anda ialah graf melonjak naik semasa selang waktu lebih keren, daripada pada selang waktu . Adakah mungkin untuk mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematik?
Kadar perubahan fungsi
Ideanya ialah: mari kita ambil sedikit nilai (baca "delta x"), yang akan kami panggil pertambahan hujah, dan mari kita mulakan "mencubanya" ke pelbagai titik di laluan kita: 
1) Mari kita lihat titik paling kiri: melepasi jarak, kita mendaki cerun ke ketinggian (garisan hijau). Kuantiti itu dipanggil kenaikan fungsi, dan dalam dalam kes ini kenaikan ini adalah positif (perbezaan nilai di sepanjang paksi lebih besar daripada sifar). Mari kita cipta nisbah yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah nombor yang sangat khusus, dan kerana kedua-dua kenaikan adalah positif, maka .
Perhatian! Jawatan adalah SATU simbol, iaitu, anda tidak boleh "mencabut" "delta" daripada "X" dan mempertimbangkan huruf ini secara berasingan. Sudah tentu, ulasan itu juga berkaitan dengan simbol kenaikan fungsi.
Mari kita terokai sifat pecahan yang terhasil dengan lebih bermakna. Biarkan kita pada mulanya berada pada ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah menempuh jarak beberapa meter (garisan merah kiri), kita akan mendapati diri kita berada pada ketinggian 60 meter. Kemudian kenaikan fungsi akan menjadi 
meter (garisan hijau) dan: . Oleh itu, pada setiap meter bahagian jalan ini ketinggian bertambah purata dengan 4 meter... terlupa peralatan mendaki anda? =) Dalam erti kata lain, hubungan yang dibina mencirikan KADAR PURATA PERUBAHAN (dalam kes ini, pertumbuhan) fungsi.
Catatan : nilai angka Contoh yang sedang dipertimbangkan sepadan dengan perkadaran lukisan hanya lebih kurang.
2) Sekarang mari kita pergi pada jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih beransur-ansur, jadi kenaikan (garis merah) agak kecil, dan nisbah berbanding kes sebelumnya akan menjadi sangat sederhana. Secara relatifnya, 
meter dan kadar pertumbuhan fungsi ialah . Iaitu, di sini untuk setiap meter laluan yang ada purata setengah meter kenaikan.
3) Sedikit pengembaraan di lereng gunung. Mari lihat bahagian atas titik hitam, terletak pada paksi ordinat. Mari kita anggap bahawa ini adalah tanda 50 meter. Kami mengatasi jarak itu sekali lagi, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada tahap 30 meter. Sejak pergerakan itu dijalankan atas bawah(dalam arah "kaunter" paksi), kemudian yang terakhir kenaikan fungsi (ketinggian) akan menjadi negatif: 
meter (segmen coklat dalam lukisan). Dan dalam kes ini kita sudah bercakap tentang kadar penurunan Ciri-ciri: 
, iaitu, untuk setiap meter laluan bahagian ini, ketinggian berkurangan purata dengan 2 meter. Jaga pakaian anda pada titik kelima.
Sekarang mari kita tanya diri kita sendiri: apakah nilai "standard pengukur" yang terbaik untuk digunakan? Ia boleh difahami sepenuhnya, 10 meter adalah sangat kasar. Sedozen hummock yang bagus boleh dimuatkan dengan mudah padanya. Tidak kira bonjolan, mungkin terdapat gaung yang dalam di bawah, dan selepas beberapa meter terdapat sisi lain dengan kenaikan curam lagi. Oleh itu, dengan sepuluh meter kita tidak akan mendapat penerangan yang boleh difahami tentang bahagian laluan tersebut melalui nisbah .
Daripada pembahasan di atas, kesimpulan berikut adalah: bagaimana kurang nilai , lebih tepat kita menerangkan bentuk muka bumi jalan. Selain itu, fakta berikut adalah benar:
– Untuk sesiapa titik angkat 
anda boleh memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dalam sempadan kenaikan tertentu. Ini bermakna bahawa kenaikan ketinggian yang sepadan akan dijamin positif, dan ketaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi dengan betul pada setiap titik selang ini.
- Begitu juga, bagi apa apa titik cerun terdapat nilai yang akan sesuai sepenuhnya pada cerun ini. Akibatnya, peningkatan ketinggian yang sepadan adalah jelas negatif, dan ketaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi dengan betul pada setiap titik selang yang diberikan.
– Kes yang sangat menarik ialah apabila kadar perubahan fungsi adalah sifar: . Pertama, kenaikan ketinggian sifar () ialah tanda laluan yang lancar. Dan kedua, terdapat situasi menarik lain, contoh yang anda lihat dalam angka itu. Bayangkan bahawa nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan helang yang melayang atau dasar jurang dengan katak kuak. Jika anda mengambil langkah kecil ke mana-mana arah, perubahan ketinggian akan diabaikan, dan kita boleh mengatakan bahawa kadar perubahan fungsi sebenarnya adalah sifar. Ini betul-betul gambar yang diperhatikan pada titik-titik tersebut.
Oleh itu, kita telah mendapat peluang yang menakjubkan untuk mencirikan kadar perubahan fungsi dengan tepat dengan sempurna. Lagipun analisis matematik membolehkan anda mengarahkan kenaikan hujah kepada sifar: , iaitu, buat sangat kecil.
Akibatnya, satu lagi persoalan logik timbul: adakah mungkin untuk mencari jalan dan jadualnya fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua bahagian rata, pendakian, penurunan, puncak, lembah, serta kadar pertumbuhan/penurunan pada setiap titik di sepanjang jalan?
Apakah derivatif? Definisi derivatif.
Makna geometri terbitan dan pembezaan
Sila baca dengan teliti dan tidak terlalu cepat - bahannya mudah dan boleh diakses oleh semua orang! Tidak mengapa jika di sesetengah tempat sesuatu yang kelihatan tidak begitu jelas, anda sentiasa boleh kembali ke artikel itu kemudian. Saya akan mengatakan lebih lanjut, adalah berguna untuk mengkaji teori beberapa kali untuk memahami semua perkara dengan teliti (nasihat itu sangat relevan untuk pelajar "teknikal", yang mana matematik yang lebih tinggi memainkan peranan penting dalam proses pendidikan).
Sememangnya, dalam definisi derivatif pada satu titik kita menggantikannya dengan:
Apa yang telah kita datangi? Dan kami sampai pada kesimpulan bahawa untuk fungsi mengikut undang-undang 
diletakkan mengikut fungsi lain, yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan).
Derivatif mencirikan kadar perubahan fungsi Bagaimana? Idea ini berjalan seperti benang merah dari awal artikel. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara domain definisi fungsi Biarkan fungsi boleh dibezakan pada titik tertentu. Kemudian:
1) Jika , maka fungsi bertambah pada titik . Dan jelas ada selang waktu(walaupun yang sangat kecil), mengandungi titik di mana fungsi berkembang, dan grafnya pergi "dari bawah ke atas".
2) Jika , maka fungsi berkurangan pada titik . Dan terdapat selang yang mengandungi titik di mana fungsi berkurangan (graf pergi "atas ke bawah").
3) Jika , maka dekat tak terhingga berhampiran satu titik fungsi mengekalkan kelajuannya tetap. Ini berlaku, seperti yang dinyatakan, dengan fungsi malar dan pada titik kritikal fungsi, khususnya pada mata minimum dan maksimum.
Sedikit semantik. Apakah maksud kata kerja "membezakan" dalam erti kata yang luas? Membezakan bermaksud menyerlahkan ciri. Dengan membezakan fungsi, kita "mengasingkan" kadar perubahannya dalam bentuk terbitan fungsi. Apa, dengan cara ini, yang dimaksudkan dengan perkataan "derivatif"? Fungsi berlaku daripada fungsi.
Istilah-istilah ini sangat berjaya ditafsirkan oleh makna mekanikal derivatif
:
Mari kita pertimbangkan undang-undang perubahan dalam koordinat badan, bergantung pada masa, dan fungsi kelajuan pergerakan badan yang diberi. Fungsi ini mencirikan kadar perubahan koordinat badan, oleh itu ia merupakan terbitan pertama bagi fungsi berkenaan dengan masa: . Sekiranya konsep "pergerakan badan" tidak wujud dalam alam semula jadi, maka tidak akan ada terbitan konsep "kelajuan badan".
Pecutan badan ialah kadar perubahan kelajuan, oleh itu: 
. Jika konsep awal "gerakan badan" dan "kelajuan badan" tidak wujud dalam alam semula jadi, maka tidak akan wujud terbitan konsep "pecutan badan".
Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) ditakrifkan dalam selang tertentu yang mengandungi titik \(x_0\). Mari kita berikan hujah kenaikan \(\Delta x \) supaya ia tidak meninggalkan selang ini. Mari cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila bergerak dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat had kepada nisbah ini pada \(\Delta x \rightarrow 0\), maka had yang ditentukan dipanggil terbitan bagi suatu fungsi\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbol y sering digunakan untuk menandakan terbitan. Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi berkaitan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y = f(x).
Makna geometri terbitan adalah seperti berikut. Jika boleh melukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik dengan absis x=a, yang tidak selari dengan paksi-y, maka f(a) menyatakan kecerunan tangen. :
\(k = f"(a)\)
Oleh kerana \(k = tg(a) \), maka kesamaan \(f"(a) = tan(a) \) adalah benar.
Sekarang mari kita tafsirkan takrifan terbitan dari sudut kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x kesamaan anggaran \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \lebih kurang f"(x)\), iaitu \(\Delta y \lebih kurang f"(x) \cdot\ Delta x\). Maksud bermakna kesamaan anggaran yang terhasil adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan dalam titik yang diberikan X. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2\) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.
Mari kita rumuskan.
Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x)?
1. Betulkan nilai \(x\), cari \(f(x)\)
2. Berikan hujah \(x\) kenaikan \(\Delta x\), pergi ke titik baharu \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Cipta hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada titik x.
Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).
Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan antara satu sama lain?
Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M(x; f(x)), dan, ingat, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu fungsi mesti selanjar pada titik x.
Ini adalah hujah "hands-on". Mari kita berikan alasan yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x \) dipegang. Jika dalam kesamaan ini \(\Delta x \) cenderung kepada sifar, maka \(\Delta y\) akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.
Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia berterusan pada titik itu.
Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik simpang" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika tangen tidak boleh ditarik ke graf fungsi, maka terbitan tidak wujud pada titik itu.
Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 . Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x = 0. Garis lurus sedemikian tidak mempunyai pekali sudut, yang bermaksud bahawa \(f "(0)\) tidak wujud.
Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah seseorang boleh membuat kesimpulan daripada graf fungsi bahawa ia boleh dibezakan?
Jawapan sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika adalah mungkin untuk melukis tangen pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.
Peraturan pembezaan
Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, hasil tambah, hasil darab fungsi, serta "fungsi fungsi," iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C ialah nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
