Persamaan tangen kepada graf fungsi
P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Wilayah Chelyabinsk
Persamaan tangen kepada graf fungsi
Artikel itu diterbitkan dengan sokongan Kompleks Hotel ITAKA+. Apabila tinggal di bandar pembuat kapal Severodvinsk, anda tidak akan menghadapi masalah mencari perumahan sementara. , di laman web kompleks hotel "ITHAKA+" http://itakaplus.ru, anda boleh dengan mudah dan cepat menyewa sebuah apartmen di bandar, untuk sebarang tempoh, dengan bayaran harian.
hidup peringkat moden pembangunan pendidikan, salah satu tugas utamanya ialah pembentukan sahsiah yang berfikiran kreatif. Keupayaan untuk kreativiti dalam diri pelajar hanya boleh dibangunkan jika mereka terlibat secara sistematik dalam asas aktiviti penyelidikan. Asas untuk pelajar menggunakan kuasa kreatif, kebolehan dan bakat mereka dibentuk pengetahuan dan kemahiran sepenuhnya. Sehubungan dengan itu, masalah membentuk sistem pengetahuan dan kemahiran asas bagi setiap topik kursus matematik sekolah tidak begitu penting. Pada masa yang sama, kemahiran sepenuhnya harus menjadi matlamat didaktik bukan tugasan individu, tetapi sistem pemikiran mereka dengan teliti. Dalam erti kata yang luas, sistem difahami sebagai satu set elemen berinteraksi yang saling berkaitan yang mempunyai integriti dan struktur yang stabil.
Mari kita pertimbangkan teknik untuk mengajar pelajar cara menulis persamaan bagi tangen kepada graf fungsi. Pada asasnya, semua masalah mencari persamaan tangen datang kepada keperluan untuk memilih daripada set (himpunan, keluarga) garis yang memenuhi keperluan tertentu - ia adalah tangen kepada graf fungsi tertentu. Dalam kes ini, set baris dari mana pemilihan dijalankan boleh ditentukan dalam dua cara:
a) titik terletak pada satah xOy (pensel tengah garis);
b) pekali sudut (rasuk selari garis lurus).
Dalam hal ini, apabila mengkaji topik "Tangen kepada graf fungsi" untuk mengasingkan unsur-unsur sistem, kami mengenal pasti dua jenis masalah:
1) masalah pada tangen yang diberikan oleh titik yang dilaluinya;
2) masalah pada tangen yang diberikan oleh cerunnya.
Latihan dalam menyelesaikan masalah tangen telah dijalankan menggunakan algoritma yang dicadangkan oleh A.G. Mordkovich. Perbezaan asasnya daripada yang telah diketahui ialah absis titik tangen dilambangkan dengan huruf a (bukan x0), dan oleh itu persamaan tangen mengambil bentuk
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(bandingkan dengan y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ini teknik berkaedah, pada pendapat kami, membolehkan pelajar memahami dengan cepat dan mudah di mana dalam persamaan tangen am koordinat titik semasa ditulis, dan di mana titik tangen berada.
Algoritma untuk menyusun persamaan tangen kepada graf fungsi y = f(x)
1. Tentukan absis titik tangen dengan huruf a.
2. Cari f(a).
3. Cari f "(x) dan f "(a).
4. Gantikan nombor yang ditemui a, f(a), f "(a) ke dalam persamaan am tangen y = f(a) = f "(a)(x – a).
Algoritma ini boleh disusun berdasarkan pengenalpastian bebas pelajar bagi operasi dan urutan pelaksanaannya.
Amalan telah menunjukkan bahawa penyelesaian berurutan bagi setiap masalah utama menggunakan algoritma membolehkan anda mengembangkan kemahiran menulis persamaan tangen kepada graf fungsi secara berperingkat, dan langkah-langkah algoritma berfungsi sebagai titik rujukan untuk tindakan. . Pendekatan ini sepadan dengan teori pembentukan secara beransur-ansur tindakan mental yang dibangunkan oleh P.Ya. Galperin dan N.F. Talyzina.
Dalam jenis tugas pertama, dua tugas utama telah dikenal pasti:
- tangen melepasi titik yang terletak pada lengkung (masalah 1);
- tangen melalui titik yang tidak terletak pada lengkung (masalah 2).
Tugasan 1. Tulis satu persamaan bagi tangen kepada graf fungsi itu 
pada titik M(3; – 2).
Penyelesaian. Titik M(3; – 2) ialah titik tangen, kerana
1. a = 3 – absis titik tangen.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – persamaan tangen.
Masalah 2. Tulis persamaan semua tangen kepada graf fungsi y = – x 2 – 4x + 2 yang melalui titik M(– 3; 6).
Penyelesaian. Titik M(– 3; 6) bukan titik tangen, kerana f(– 3) 6 (Gamb. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – persamaan tangen.
Tangen melalui titik M(– 3; 6), oleh itu, koordinatnya memenuhi persamaan tangen.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Jika a = – 4, maka persamaan tangen ialah y = 4x + 18.
Jika a = – 2, maka persamaan tangen mempunyai bentuk y = 6.
Dalam jenis kedua, tugas utama adalah seperti berikut:
- tangen adalah selari dengan beberapa garis (masalah 3);
- tangen melepasi pada sudut tertentu ke garisan yang diberikan (masalah 4).
Masalah 3. Tuliskan persamaan semua tangen kepada graf fungsi y = x 3 – 3x 2 + 3, selari dengan garis y = 9x + 1.
Penyelesaian.
1. a – absis titik tangen.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.
Tetapi, sebaliknya, f "(a) = 9 (keadaan selari). Ini bermakna kita perlu menyelesaikan persamaan 3a 2 – 6a = 9. Puncanya ialah a = – 1, a = 3 (Rajah 3). ).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – persamaan tangen;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – persamaan tangen.
Masalah 4. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi y = 0.5x 2 – 3x + 1, melepasi pada sudut 45° kepada garis lurus y = 0 (Rajah 4).
Penyelesaian. Daripada keadaan f "(a) = tan 45° kita dapati a: a – 3 = 1^a = 4.
1. a = 4 – absis titik tangen.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – persamaan tangen.
Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa menyelesaikan sebarang masalah lain adalah untuk menyelesaikan satu atau lebih masalah utama. Pertimbangkan dua masalah berikut sebagai contoh.
1. Tuliskan persamaan tangen kepada parabola y = 2x 2 – 5x – 2, jika tangen bersilang pada sudut tegak dan salah satu daripadanya menyentuh parabola pada titik dengan absis 3 (Rajah 5).
Penyelesaian. Oleh kerana absis titik tangen diberikan, bahagian pertama penyelesaian dikurangkan kepada masalah utama 1.
1. a = 3 – absis titik tangen salah satu sisi sudut tegak.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – persamaan tangen pertama.
Biarkan a – sudut kecondongan tangen pertama. Oleh kerana tangen adalah serenjang, maka ialah sudut kecondongan tangen kedua. Daripada persamaan y = 7x – 20 tangen pertama kita mempunyai tg a = 7. Mari cari
Ini bermakna kecerunan tangen kedua adalah sama dengan .
Penyelesaian selanjutnya datang ke tugas utama 3.
Biarkan B(c; f(c)) ialah titik tangen bagi garis kedua, kemudian
1. – absis titik tangen kedua.
2.
3.
4.– persamaan tangen kedua.
Catatan. Pekali sudut tangen boleh didapati dengan lebih mudah jika pelajar mengetahui nisbah pekali garis serenjang k 1 k 2 = – 1.
2. Tulis persamaan semua tangen sepunya kepada graf fungsi
Penyelesaian. Tugasan datang kepada mencari absis titik tangen sepunya, iaitu, menyelesaikan masalah utama 1 dalam bentuk umum, merangka sistem persamaan dan kemudian menyelesaikannya (Rajah 6).
1. Biarkan a menjadi absis bagi titik tangen yang terletak pada graf fungsi y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Biarkan c ialah absis bagi titik tangen yang terletak pada graf fungsi itu
2.
3. f "(c) = c.
4.
Oleh kerana tangen adalah am, maka
Jadi y = x + 1 dan y = – 3x – 3 ialah tangen sepunya.
Matlamat utama tugasan yang dipertimbangkan adalah untuk menyediakan pelajar untuk mengenali secara bebas jenis masalah utama apabila menyelesaikan masalah yang lebih kompleks yang memerlukan kemahiran penyelidikan tertentu (keupayaan untuk menganalisis, membandingkan, membuat generalisasi, mengemukakan hipotesis, dll.). Tugasan sedemikian termasuk apa-apa tugas di mana tugas utama dimasukkan sebagai komponen. Mari kita pertimbangkan sebagai contoh masalah (terbalikan kepada Masalah 1) mencari fungsi daripada keluarga tangennya.
3. Untuk apakah b dan c garis y = x dan y = – 2x tangen kepada graf fungsi y = x 2 + bx + c?
Penyelesaian.
Biarkan t ialah absis bagi titik tangen bagi garis lurus y = x dengan parabola y = x 2 + bx + c; p ialah absis bagi titik tangen bagi garis lurus y = – 2x dengan parabola y = x 2 + bx + c. Kemudian persamaan tangen y = x akan mengambil bentuk y = (2t + b)x + c – t 2 , dan persamaan tangen y = – 2x akan mengambil bentuk y = (2p + b)x + c – p 2 .
Mari kita karang dan selesaikan sistem persamaan
Jawapan: 
Masalah untuk diselesaikan secara bebas
1. Tuliskan persamaan tangen yang dilukis pada graf fungsi y = 2x 2 – 4x + 3 pada titik persilangan graf dengan garis y = x + 3.
Jawapan: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.
2. Apakah nilai tangen yang dilukis pada graf fungsi y = x 2 – ax pada titik graf dengan absis x 0 = 1 melalui titik M(2; 3)?
Jawapan: a = 0.5.
3. Untuk nilai p apakah garis lurus y = px – 5 menyentuh lengkung y = 3x 2 – 4x – 2?
Jawapan: p 1 = – 10, p 2 = 2.
4. Cari semua titik sepunya graf bagi fungsi y = 3x – x 3 dan tangen yang dilukis pada graf ini melalui titik P(0; 16).
Jawapan: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. Cari jarak terpendek antara parabola y = x 2 + 6x + 10 dengan garis lurus
Jawapan:
6. Pada lengkung y = x 2 – x + 1, cari titik di mana tangen kepada graf adalah selari dengan garis y – 3x + 1 = 0.
Jawapan: M(2; 3).
7. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi y = x 2 + 2x – | 4x |, yang menyentuhnya pada dua titik. Buat lukisan.
Jawapan: y = 2x – 4.
8. Buktikan bahawa garis y = 2x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = x 4 + 3x 2 + 2x. Cari jarak antara titik terdekat mereka.
Jawapan:
9. Pada parabola y = x 2, dua titik diambil dengan abscissas x 1 = 1, x 2 = 3. Satu sekan dilukis melalui titik-titik ini. Pada titik manakah parabola akan tangen kepadanya selari dengan sekan? Tulis persamaan sekan dan tangen.
Jawapan: y = 4x – 3 – persamaan secant; y = 4x – 4 – persamaan tangen.
10. Cari sudut q antara tangen kepada graf fungsi y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, dilukis pada titik dengan absis 0 dan 1.
Jawapan: q = 45°.
11. Pada titik apakah tangen kepada graf fungsi membentuk sudut 135° dengan paksi Lembu?
Jawapan: A(0; – 1), B(4; 3).
12. Pada titik A(1; 8) ke lengkung 
tangen dilukis. Cari panjang ruas tangen antara paksi koordinat.
Jawapan:
13. Tuliskan persamaan semua tangen sepunya kepada graf bagi fungsi y = x 2 – x + 1 dan y = 2x 2 – x + 0.5.
Jawapan: y = – 3x dan y = x.
14. Cari jarak antara tangen dengan graf fungsi 
selari dengan paksi-x.
Jawapan:
15. Tentukan pada sudut apakah parabola y = x 2 + 2x – 8 bersilang dengan paksi-x.
Jawapan: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).
16. Graf fungsi 
cari semua titik, tangen pada setiap satunya dengan graf ini bersilang separuh paksi positif koordinat, memotong segmen yang sama daripadanya.
Jawapan: A(– 3; 11).
17. Garis y = 2x + 7 dan parabola y = x 2 – 1 bersilang pada titik M dan N. Cari titik K persilangan garis tangen kepada parabola pada titik M dan N.
Jawapan: K(1; – 9).
18. Untuk nilai b apakah garis y = 9x + b tangen kepada graf fungsi y = x 3 – 3x + 15?
Jawapan: – 1; 31.
19. Untuk nilai k apakah garis lurus y = kx – 10 hanya mempunyai satu titik sepunya dengan graf fungsi y = 2x 2 + 3x – 2? Untuk nilai k yang ditemui, tentukan koordinat titik itu.
Jawapan: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).
20. Untuk nilai b apakah tangen yang dilukis pada graf fungsi y = bx 3 – 2x 2 – 4 pada titik dengan absis x 0 = 2 melalui titik M(1; 8)?
Jawapan: b = – 3.
21. Parabola dengan bucu pada paksi Lembu menyentuh garis yang melalui titik A(1; 2) dan B(2; 4) di titik B. Cari persamaan parabola itu.
Jawapan: 
22. Pada nilai pekali k apakah parabola y = x 2 + kx + 1 menyentuh paksi Lembu?
Jawapan: k = d 2.
23. Cari sudut antara garis lurus y = x + 2 dan lengkung y = 2x 2 + 4x – 3.
29. Cari jarak antara tangen kepada graf fungsi dan penjana dengan arah positif paksi Lembu pada sudut 45°.
Jawapan:
30. Cari lokus bagi bucu semua parabola dalam bentuk y = x 2 + ax + b tangen kepada garis y = 4x – 1.
Jawapan: garis lurus y = 4x + 3.
kesusasteraan
1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra dan permulaan analisis: 3600 masalah untuk pelajar sekolah dan mereka yang memasuki universiti. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar empat untuk guru muda. Topik: Aplikasi Terbitan. – M., “Matematik”, No. 21/94.
3. Pembentukan pengetahuan dan kemahiran berdasarkan teori asimilasi secara beransur-ansur tindakan mental. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Universiti Negeri Moscow, 1968.
Artikel ini memberikan penjelasan terperinci tentang takrifan, makna geometri terbitan dengan tatatanda grafik. Persamaan garis tangen akan dipertimbangkan dengan contoh, persamaan tangen kepada lengkung tertib ke-2 akan dijumpai.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1
Sudut kecondongan garis lurus y = k x + b dipanggil sudut α, yang diukur dari arah positif paksi x ke garis lurus y = k x + b dalam arah positif.
Dalam rajah, arah x ditunjukkan oleh anak panah hijau dan lengkok hijau, dan sudut kecondongan oleh lengkok merah. Garis biru merujuk kepada garis lurus.
Definisi 2
Kecerunan garis lurus y = k x + b dipanggil pekali berangka k.
Pekali sudut adalah sama dengan tangen garis lurus, dengan kata lain k = t g α.
- Sudut kecondongan garis lurus adalah sama dengan 0 hanya jika ia selari dengan x dan cerunnya sama dengan sifar, kerana tangen sifar adalah sama dengan 0. Ini bermakna bentuk persamaan ialah y = b.
- Jika sudut kecondongan garis lurus y = k x + b adalah akut, maka syarat 0 dipenuhi< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, dan terdapat peningkatan dalam graf.
- Jika α = π 2, maka lokasi garis itu berserenjang dengan x. Kesamaan ditentukan oleh x = c dengan nilai c ialah nombor nyata.
- Jika sudut kecondongan garis lurus y = k x + b adalah tumpul, maka ia sepadan dengan keadaan π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Sekan ialah garis yang melalui 2 titik fungsi f (x). Dalam erti kata lain, sekan ialah garis lurus yang dilukis melalui mana-mana dua titik pada graf fungsi tertentu.
Rajah menunjukkan bahawa A B ialah sekan, dan f (x) ialah lengkung hitam, α ialah lengkok merah, menunjukkan sudut kecondongan bagi sekan itu.
Apabila pekali sudut garis lurus adalah sama dengan tangen sudut kecondongan, jelaslah tangen bagi segi tiga tegak A B C boleh didapati dengan nisbah sisi bertentangan dengan yang bersebelahan.
Definisi 4
Kami mendapat formula untuk mencari bahagian dalam bentuk:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, di mana abscissas titik A dan B ialah nilai x A, x B, dan f (x A), f (x B) ialah fungsi nilai pada titik ini.
Jelas sekali, pekali sudut bagi sekan ditentukan menggunakan kesamaan k = f (x B) - f (x A) x B - x A atau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , dan persamaan mesti ditulis sebagai y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) atau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
Sekan membahagikan graf secara visual kepada 3 bahagian: ke kiri titik A, dari A ke B, ke kanan B. Rajah di bawah menunjukkan terdapat tiga sekan yang dianggap bertepatan, iaitu, ia ditetapkan menggunakan a persamaan yang serupa.
Secara takrifan, jelas bahawa garis lurus dan keratannya masuk dalam kes ini padankan.
Sekan boleh memotong graf bagi fungsi tertentu beberapa kali. Jika terdapat persamaan bentuk y = 0 untuk sekan, maka bilangan titik persilangan dengan sinusoid adalah tidak terhingga.
Definisi 5
Tangen kepada graf fungsi f (x) pada titik x 0 ; f (x 0) ialah garis lurus yang melalui titik tertentu x 0; f (x 0), dengan kehadiran segmen yang mempunyai banyak nilai x hampir dengan x 0.
Contoh 1
Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah. Maka jelaslah bahawa garis yang ditakrifkan oleh fungsi y = x + 1 dianggap tangen kepada y = 2 x pada titik dengan koordinat (1; 2). Untuk kejelasan, adalah perlu untuk mempertimbangkan graf dengan nilai yang hampir dengan (1; 2). Fungsi y = 2 x ditunjukkan dalam warna hitam, garis biru ialah garis tangen, dan titik merah ialah titik persilangan.
Jelas sekali, y = 2 x bergabung dengan garis y = x + 1.
Untuk menentukan tangen, kita harus mempertimbangkan kelakuan tangen A B apabila titik B menghampiri titik A secara tak terhingga Untuk kejelasan, kami membentangkan lukisan.
Sekan A B, yang ditunjukkan oleh garis biru, cenderung kepada kedudukan tangen itu sendiri, dan sudut kecondongan α sekan akan mula cenderung kepada sudut kecondongan tangen itu sendiri α x.
Definisi 6
Tangen kepada graf fungsi y = f (x) pada titik A dianggap sebagai kedudukan pengehad bagi sekan A B kerana B cenderung kepada A, iaitu, B → A.
Sekarang mari kita teruskan untuk mempertimbangkan makna geometri bagi terbitan fungsi pada satu titik.
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan secan A B untuk fungsi f (x), di mana A dan B dengan koordinat x 0, f (x 0) dan x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), dan ∆ x ialah dilambangkan sebagai pertambahan hujah . Sekarang fungsi akan mengambil bentuk ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Untuk kejelasan, mari kita berikan contoh lukisan.
Mari kita pertimbangkan hasilnya segi tiga tepat A B C. Kami menggunakan takrif tangen untuk menyelesaikan, iaitu, kami memperoleh hubungan ∆ y ∆ x = t g α . Daripada takrifan tangen ia mengikuti bahawa lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Mengikut peraturan terbitan pada satu titik, kita mempunyai terbitan f (x) pada titik x 0 dipanggil had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, di mana ∆ x → 0 , maka kita menandakannya sebagai f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Ia berikutan bahawa f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, dengan k x dilambangkan sebagai cerun tangen.
Iaitu, kita mendapat bahawa f ’ (x) boleh wujud pada titik x 0 dan seperti tangen kepada jadual yang diberikan fungsi pada titik tangen sama dengan x 0, f 0 (x 0), di mana nilai kecerunan tangen pada titik itu adalah sama dengan terbitan pada titik x 0. Kemudian kita mendapat k x = f " (x 0) .
Makna geometri terbitan bagi fungsi pada satu titik ialah konsep kewujudan tangen kepada graf pada titik yang sama diberikan.
Untuk menulis persamaan mana-mana garis lurus pada satah, adalah perlu untuk mempunyai pekali sudut dengan titik yang dilaluinya. Notasinya diambil sebagai x 0 di persimpangan.
Persamaan tangen kepada graf fungsi y = f (x) pada titik x 0, f 0 (x 0) mengambil bentuk y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).
Ini bermakna nilai akhir terbitan f "(x 0) boleh menentukan kedudukan tangen, iaitu secara menegak, dengan syarat lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ dan lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ atau tidak hadir sama sekali di bawah keadaan lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
Lokasi tangen bergantung pada nilai pekali sudutnya k x = f "(x 0). Apabila selari dengan paksi o x, kita memperoleh k k = 0, apabila selari dengan o y - k x = ∞, dan bentuk persamaan tangen x = x 0 bertambah dengan k x > 0, berkurang sebagai k x< 0 .
Contoh 2
Susun persamaan untuk tangen kepada graf fungsi y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 pada titik dengan koordinat (1; 3) dan tentukan sudut kecondongan.
Penyelesaian
Dengan syarat, kita mempunyai bahawa fungsi ditakrifkan untuk semua nombor nyata. Kami mendapati bahawa titik dengan koordinat yang ditentukan oleh keadaan, (1; 3) ialah titik tangen, maka x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.
Ia adalah perlu untuk mencari derivatif pada titik dengan nilai - 1. Kami dapat itu
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Nilai f' (x) pada titik tangen ialah kecerunan tangen, yang sama dengan tangen cerun itu.
Kemudian k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Ia berikutan bahawa α x = a r c t g 3 3 = π 6
Jawapan: persamaan tangen mengambil bentuk
y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Untuk kejelasan, kami memberikan contoh dalam ilustrasi grafik.
Warna hitam digunakan untuk graf fungsi asal, warna biru– imej tangen, titik merah – titik tangen. Rajah di sebelah kanan menunjukkan pandangan yang diperbesarkan.
Contoh 3
Tentukan kewujudan tangen kepada graf fungsi yang diberi
y = 3 · x - 1 5 + 1 pada titik dengan koordinat (1 ; 1) . Tulis persamaan dan tentukan sudut kecondongan.
Penyelesaian
Dengan syarat, kita mempunyai bahawa domain takrifan fungsi tertentu dianggap sebagai set semua nombor nyata.
Mari kita teruskan untuk mencari derivatif
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Jika x 0 = 1, maka f' (x) tidak ditentukan, tetapi hadnya ditulis sebagai lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ dan lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , yang bermaksud kewujudan tangen menegak pada titik (1; 1).
Jawapan: persamaan akan mengambil bentuk x = 1, di mana sudut kecondongan akan sama dengan π 2.
Untuk kejelasan, mari kita gambarkan secara grafik.
Contoh 4
Cari titik pada graf fungsi y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, di mana
- Tiada tangen;
- Tangen adalah selari dengan x;
- Tangen adalah selari dengan garis y = 8 5 x + 4.
Penyelesaian
Ia perlu memberi perhatian kepada skop definisi. Dengan syarat, kita mempunyai bahawa fungsi ditakrifkan pada set semua nombor nyata. Kami mengembangkan modul dan menyelesaikan sistem dengan selang x ∈ - ∞ ; 2 dan [- 2 ; + ∞). Kami dapat itu
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Ia adalah perlu untuk membezakan fungsi. Kami ada itu
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Apabila x = − 2, maka terbitan tidak wujud kerana had satu sisi tidak sama pada titik itu:
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Kami mengira nilai fungsi pada titik x = - 2, di mana kami mendapatnya
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, iaitu tangen pada titik ( - 2; - 2) tidak akan wujud.
- Tangen adalah selari dengan x apabila cerun sifar. Kemudian k x = t g α x = f "(x 0). Iaitu, adalah perlu untuk mencari nilai x tersebut apabila terbitan fungsi mengubahnya kepada sifar. Iaitu, nilai f ' (x) akan menjadi titik tangen, di mana tangen adalah selari dengan x .
Apabila x ∈ - ∞ ; - 2, maka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, dan untuk x ∈ (- 2; + ∞) kita dapat 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Kira nilai fungsi yang sepadan
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Oleh itu - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 dianggap sebagai titik yang diperlukan bagi graf fungsi.
Mari kita lihat perwakilan grafik penyelesaian.
Garis hitam ialah graf fungsi, titik merah ialah titik tangen.
- Apabila garis selari, pekali sudut adalah sama. Maka adalah perlu untuk mencari titik pada graf fungsi di mana cerun akan sama dengan nilai 8 5. Untuk melakukan ini, anda perlu menyelesaikan persamaan bentuk y "(x) = 8 5. Kemudian, jika x ∈ - ∞; - 2, kita memperoleh bahawa - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, dan jika x ∈ ( - 2 ; + ∞), maka 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.
Persamaan pertama tidak mempunyai punca kerana diskriminasi adalah kurang daripada sifar. Mari kita tuliskan itu
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
Persamaan lain mempunyai dua punca nyata, kemudian
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Mari kita teruskan untuk mencari nilai fungsi. Kami dapat itu
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Mata dengan nilai - 1; 4 15, 5; 8 3 ialah titik di mana tangennya selari dengan garis y = 8 5 x + 4.
Jawapan: garis hitam – graf fungsi, garis merah – graf y = 8 5 x + 4, garis biru – tangen pada titik - 1; 4 15, 5; 8 3.
Mungkin terdapat bilangan tangen yang tidak terhingga untuk fungsi tertentu.
Contoh 5
Tuliskan persamaan semua tangen yang tersedia bagi fungsi y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, yang terletak berserenjang dengan garis lurus y = - 2 x + 1 2.
Penyelesaian
Untuk menyusun persamaan tangen, adalah perlu untuk mencari pekali dan koordinat titik tangen, berdasarkan keadaan serenjang garis. Takrifannya adalah seperti berikut: hasil darab pekali sudut yang berserenjang dengan garis lurus adalah sama dengan - 1, iaitu, ditulis sebagai k x · k ⊥ = - 1. Daripada keadaan kita mempunyai bahawa pekali sudut terletak berserenjang dengan garis dan bersamaan dengan k ⊥ = - 2, kemudian k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.
Kini anda perlu mencari koordinat titik sentuh. Anda perlu mencari x dan kemudian nilainya untuk fungsi tertentu. Perhatikan bahawa daripada makna geometri bagi terbitan pada titik
x 0 kita memperoleh k x = y "(x 0). Daripada kesamaan ini kita dapati nilai x untuk titik sentuhan.
Kami dapat itu
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Persamaan trigonometri ini akan digunakan untuk mengira ordinat bagi titik tangen.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk atau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z ialah set integer.
x titik hubungan telah ditemui. Sekarang anda perlu meneruskan untuk mencari nilai y:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 atau y 0 = - 4 5 + 1 3
Daripada ini kita memperoleh bahawa 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 ialah titik tangen.
Jawapan: persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Untuk perwakilan visual, pertimbangkan fungsi dan tangen pada garis koordinat.
Rajah menunjukkan bahawa lokasi fungsi datang pada selang [-10; 10 ], di mana garis hitam ialah graf fungsi, garis biru adalah tangen, yang terletak berserenjang dengan garis yang diberikan dalam bentuk y = - 2 x + 1 2. Titik merah ialah titik sentuh.
Persamaan kanonik bagi lengkung tertib ke-2 bukanlah fungsi bernilai tunggal. Persamaan tangen untuk mereka disusun mengikut skema yang diketahui.
Tangen kepada bulatan
Untuk menentukan bulatan dengan pusat pada titik x c e n t e r ; y c e n t e r dan radius R, gunakan formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .
Kesamaan ini boleh ditulis sebagai gabungan dua fungsi:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y
Fungsi pertama terletak di bahagian atas, dan yang kedua di bahagian bawah, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
Untuk menyusun persamaan bulatan pada titik x 0; y 0 , yang terletak di separuh bulatan atas atau bawah, anda harus mencari persamaan graf bagi fungsi bentuk y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r or y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r pada titik yang ditunjukkan.
Apabila pada titik x c e n t e r ; y c e n t e r + R dan x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangen boleh diberikan oleh persamaan y = y c e n t e r + R dan y = y c e n t e r - R , dan pada titik x c e n t e r + R ; y c e n t e r dan
x c e n t e r - R ; y c e n t e r akan selari dengan o y, maka kita memperoleh persamaan bentuk x = x c e n t e r + R dan x = x c e n t e r - R .
Tangen kepada elips
Apabila elips mempunyai pusat di x c e n t e r ; y c e n t e r dengan separuh paksi a dan b, maka ia boleh ditentukan menggunakan persamaan x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.
Elips dan bulatan boleh dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi, iaitu separuh elips atas dan bawah. Kemudian kita mendapat itu
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y
Jika tangen terletak pada bucu elips, maka ia adalah selari tentang x atau kira-kira y. Di bawah, untuk kejelasan, pertimbangkan angka tersebut.
Contoh 6
Tuliskan persamaan tangen kepada elips x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 pada titik dengan nilai x sama dengan x = 2.
Penyelesaian
Ia adalah perlu untuk mencari titik tangen yang sepadan dengan nilai x = 2. Kami menggantikan ke dalam persamaan elips sedia ada dan mendapati bahawa
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Kemudian 2; 5 3 2 + 5 dan 2; - 5 3 2 + 5 ialah titik tangen yang tergolong dalam separuh elips atas dan bawah.
Mari kita teruskan mencari dan menyelesaikan persamaan elips berkenaan dengan y. Kami dapat itu
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Jelas sekali, separuh elips atas ditentukan menggunakan fungsi bentuk y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, dan separuh elips bawah y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.
Mari kita gunakan algoritma piawai untuk mencipta persamaan bagi tangen pada graf fungsi pada satu titik. Mari kita tulis bahawa persamaan untuk tangen pertama pada titik 2; 5 3 2 + 5 akan kelihatan seperti
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Kami mendapati bahawa persamaan tangen kedua dengan nilai pada titik
2 ; - 5 3 2 + 5 mengambil borang
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Secara grafik, tangen ditetapkan seperti berikut:
Tangen kepada hiperbola
Apabila hiperbola mempunyai pusat di x c e n t e r ; y c e n t e r dan vertex x c e n t e r + α ; y c e n t e r dan x c e n t e r - α ; y c e n t e r , ketaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 berlaku, jika dengan bucu x c e n t e r ; y c e n t e r + b dan x c e n t e r ; y c e n t e r - b , kemudian ditentukan menggunakan ketaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
Hiperbola boleh diwakili sebagai dua gabungan fungsi bentuk
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r or y = b a · (x - x c e n t e r y) 2 + a 2 + · y c e n t e r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
Dalam kes pertama kita mempunyai tangen adalah selari dengan y, dan dalam kes kedua mereka selari dengan x.
Oleh itu, untuk mencari persamaan tangen kepada hiperbola, adalah perlu untuk mengetahui fungsi mana yang dimiliki oleh titik tangen. Untuk menentukan ini, adalah perlu untuk menggantikan ke dalam persamaan dan menyemak identiti.
Contoh 7
Tuliskan persamaan untuk tangen kepada hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 pada titik 7; - 3 3 - 3 .
Penyelesaian
Ia adalah perlu untuk mengubah rekod penyelesaian untuk mencari hiperbola menggunakan 2 fungsi. Kami dapat itu
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 dan y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Ia adalah perlu untuk mengenal pasti fungsi mana yang dimiliki titik tetapan dengan koordinat 7; - 3 3 - 3 .
Jelas sekali, untuk menyemak fungsi pertama adalah perlu y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, maka titik itu tidak tergolong dalam graf, kerana kesaksamaan tidak berlaku.
Untuk fungsi kedua kita mempunyai y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, yang bermaksud titik itu tergolong dalam graf yang diberikan. Dari sini anda harus mencari cerun.
Kami dapat itu
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Jawapan: persamaan tangen boleh diwakili sebagai
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
Ia digambarkan dengan jelas seperti ini:
Tangen kepada parabola
Untuk mencipta persamaan bagi tangen kepada parabola y = a x 2 + b x + c pada titik x 0, y (x 0), anda mesti menggunakan algoritma piawai, maka persamaan akan mengambil bentuk y = y "(x). 0) x - x 0 + y ( x 0).
Anda harus mentakrifkan parabola x = a y 2 + b y + c sebagai penyatuan dua fungsi. Oleh itu, kita perlu menyelesaikan persamaan untuk y. Kami dapat itu
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Mari kita gambarkan secara grafik sebagai:
Untuk mengetahui sama ada titik x 0, y (x 0) tergolong dalam fungsi, teruskan perlahan-lahan mengikut algoritma standard. Tangen sedemikian akan selari dengan o y relatif kepada parabola.
Contoh 8
Tuliskan persamaan tangen kepada graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 apabila kita mempunyai sudut tangen 150 °.
Penyelesaian
Kami memulakan penyelesaian dengan mewakili parabola sebagai dua fungsi. Kami dapat itu
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
Nilai cerun adalah sama dengan nilai terbitan pada titik x 0 fungsi ini dan sama dengan tangen sudut kecenderungan.
Kita mendapatkan:
k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
Dari sini kita tentukan nilai x untuk titik hubungan.
Fungsi pertama akan ditulis sebagai
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Jelas sekali, tiada punca sebenar, kerana kami mendapat nilai negatif. Kami membuat kesimpulan bahawa tiada tangen dengan sudut 150° untuk fungsi sedemikian.
Fungsi kedua akan ditulis sebagai
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Kami mempunyai bahawa titik hubungan adalah 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Jawapan: persamaan tangen mengambil bentuk
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Mari kita gambarkan secara grafik dengan cara ini:
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Adakah anda sudah tahu apa itu derivatif? Jika tidak, baca topik dahulu. Jadi anda katakan anda tahu terbitan. Jom semak sekarang. Cari kenaikan fungsi apabila kenaikan argumen adalah sama dengan. Adakah anda berjaya? Ia sepatutnya berfungsi. Sekarang cari terbitan fungsi pada satu titik. Jawapan: . Terjadi? Jika anda menghadapi sebarang masalah dengan mana-mana contoh ini, saya amat mengesyorkan agar anda kembali kepada topik tersebut dan mengkaji semula. Saya tahu topik itu sangat besar, tetapi jika tidak, tidak ada gunanya pergi lebih jauh. Pertimbangkan graf beberapa fungsi:
Mari kita pilih titik tertentu pada garis graf. Biarkan absisnya, maka ordinatnya sama. Kemudian kita pilih titik dengan abscissa dekat dengan titik; koordinatnya ialah:
Mari kita lukis garis lurus melalui titik-titik ini. Ia dipanggil secant (sama seperti dalam geometri). Mari kita nyatakan sudut kecondongan garis lurus kepada paksi sebagai. Seperti dalam trigonometri, sudut ini diukur dari arah positif paksi-x melawan arah jam. Apakah nilai yang boleh diambil oleh sudut? Tidak kira bagaimana anda mencondongkan garis lurus ini, separuh akan tetap melekat. Oleh itu, sudut maksimum yang mungkin ialah , dan sudut minimum yang mungkin ialah . Bermaksud, . Sudut tidak termasuk, kerana kedudukan garis lurus dalam kes ini betul-betul bertepatan dengan, dan lebih logik untuk memilih sudut yang lebih kecil. Mari kita ambil satu titik dalam rajah supaya garis lurus selari dengan paksi absis dan a ialah paksi ordinat:
Daripada rajah tersebut dapat dilihat bahawa, a. Maka nisbah kenaikan adalah:
(kerana ia adalah segi empat tepat).
Jom kurangkan sekarang. Kemudian titik akan mendekati titik. Apabila ia menjadi sangat kecil, nisbah menjadi sama dengan terbitan fungsi pada titik. Apa yang akan berlaku kepada secant? Titik itu akan menjadi hampir tidak terhingga dengan titik, supaya mereka boleh dianggap sebagai titik yang sama. Tetapi garis lurus yang hanya mempunyai satu titik sepunya dengan lengkung tidak lebih daripada tangen(dalam kes ini, keadaan ini hanya dipenuhi di kawasan kecil - berhampiran titik, tetapi ini sudah cukup). Mereka mengatakan bahawa dalam kes ini secant mengambil had kedudukan.
Mari kita panggil sudut kecondongan sekan kepada paksi. Kemudian ia ternyata bahawa terbitan
itu dia terbitan adalah sama dengan tangen sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu.
Oleh kerana tangen ialah garis, mari kita ingat persamaan garis:
Apakah pekali yang bertanggungjawab? Untuk kecerunan garis lurus. Inilah yang dipanggil: cerun. Apakah maksudnya? Dan hakikat bahawa ia adalah sama dengan tangen sudut antara garis lurus dan paksi! Jadi inilah yang berlaku:
Tetapi kami mendapat peraturan ini dengan mempertimbangkan fungsi yang semakin meningkat. Apakah yang akan berubah jika fungsi berkurangan? Mari lihat: 
Sekarang sudutnya tumpul. Dan kenaikan fungsi adalah negatif. Mari kita pertimbangkan lagi: . Di sebelah sana, . Kami mendapat: , iaitu, semuanya sama seperti kali terakhir. Mari kita sekali lagi mengarahkan titik ke titik, dan sekan akan mengambil kedudukan mengehadkan, iaitu, ia akan bertukar menjadi tangen kepada graf fungsi pada titik itu. Jadi, mari kita rumuskan peraturan terakhir:
Terbitan fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan tangen sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi pada titik ini, atau (yang sama) kecerunan tangen ini:
Itulah yang berlaku makna geometri terbitan. Okay, semua ini menarik, tetapi mengapa kita memerlukannya? Di sini contoh:
Rajah menunjukkan graf bagi suatu fungsi dan tangen kepadanya pada titik absis. Cari nilai terbitan bagi fungsi pada titik itu. 
Penyelesaian.
Seperti yang kita ketahui baru-baru ini, nilai terbitan pada titik tangen adalah sama dengan cerun tangen, yang seterusnya adalah sama dengan tangen sudut kecondongan tangen ini kepada paksi absis: . Ini bermakna untuk mencari nilai terbitan kita perlu mencari tangen sudut tangen. Dalam rajah itu kita telah menandakan dua titik yang terletak pada tangen, koordinatnya diketahui oleh kita. Jadi mari kita lengkapkan pembinaan segi tiga tepat yang melalui titik-titik ini dan cari tangen sudut tangen! 
Sudut kecondongan tangen kepada paksi ialah. Mari cari tangen bagi sudut ini: . Oleh itu, terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan.
Jawapan:. Sekarang cuba sendiri:
Jawapan:
Mengetahui makna geometri terbitan, kita boleh menerangkan dengan mudah peraturan bahawa terbitan pada titik maksimum tempatan atau minimum ialah sifar. Sesungguhnya, tangen kepada graf pada titik ini adalah "mendatar", iaitu selari dengan paksi-x: 
Apakah sudut antara garis selari? Sudah tentu, sifar! Dan tangen sifar juga sifar. Jadi derivatif adalah sama dengan sifar:
Baca lebih lanjut mengenai perkara ini dalam topik “Kemonotonan fungsi. Mata melampau."
Sekarang mari kita fokus pada tangen sewenang-wenangnya. Katakan kita mempunyai beberapa fungsi, sebagai contoh, . Kami telah melukis grafnya dan ingin melukis tangen padanya pada satu ketika. Sebagai contoh, pada satu ketika. Kami mengambil pembaris, pasangkannya pada graf dan lukis:
Apa yang kita tahu tentang baris ini? Apakah perkara yang paling penting untuk diketahui tentang garis pada satah koordinat? Oleh kerana garis lurus adalah imej fungsi linear, adalah sangat mudah untuk mengetahui persamaannya. Iaitu, pekali dalam persamaan
Tetapi kita sudah tahu! Ini ialah cerun tangen, yang sama dengan terbitan fungsi pada ketika ini:
Dalam contoh kami ia akan menjadi seperti ini:
Sekarang yang tinggal hanyalah mencarinya. Ia semudah membedil pear: selepas semua - nilai. Secara grafik, ini ialah koordinat persilangan garis dengan paksi ordinat (lagipun, di semua titik paksi):
Mari kita lukisnya (jadi segi empat tepat). Kemudian (ke sudut yang sama antara tangen dan paksi-x). Apakah dan sama dengan? Rajah tersebut jelas menunjukkan bahawa, a. Kemudian kita dapat:
Kami menggabungkan semua formula yang diperolehi ke dalam persamaan garis lurus:
Sekarang tentukan sendiri:
- Cari persamaan tangen kepada fungsi pada satu titik.
- Tangen kepada parabola memotong paksi pada sudut. Cari persamaan tangen ini.
- Garis itu selari dengan tangen kepada graf fungsi. Cari absis bagi titik tangen.
- Garis itu selari dengan tangen kepada graf fungsi. Cari absis bagi titik tangen.
Penyelesaian dan jawapan:
PERSAMAAN TANGENT KEPADA GRAF FUNGSI. HURAIAN RINGKAS DAN FORMULA ASAS
Terbitan fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan tangen tangen kepada graf fungsi pada titik ini, atau cerun tangen ini:
Persamaan tangen kepada graf fungsi pada suatu titik:
Algoritma untuk mencari persamaan tangen:
Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.
Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!
Sekarang perkara yang paling penting.
Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.
Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...
Untuk apa?
Kerana berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, kerana memasuki kolej dengan bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...
Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tetapi ini bukan perkara utama.
Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...
Tapi fikir sendiri...
Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.
Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.
Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.
Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.
Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!
Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.
Bagaimana? Terdapat dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 gosok.
- Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - 499 gosok.
Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.
Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.
Kesimpulannya...
Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.
"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.
Cari masalah dan selesaikan!
