Perubahan dalam fungsi pada titik tertentu ditakrifkan sebagai had kenaikan fungsi kepada kenaikan argumen, yang cenderung kepada sifar. Untuk mencarinya, gunakan jadual derivatif. Sebagai contoh, terbitan bagi fungsi y = x3 akan sama dengan y’ = x2.
Samakan derivatif ini kepada sifar (dalam dalam kes ini x2=0).
Cari nilai pembolehubah yang diberi. Ini akan menjadi nilai di mana terbitan yang diberikan akan sama dengan 0. Untuk melakukan ini, gantikan nombor arbitrari dalam ungkapan dan bukannya x, di mana keseluruhan ungkapan akan menjadi sifar. Sebagai contoh:
2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1
Plotkan nilai yang diperoleh pada garis koordinat dan hitung tanda terbitan bagi setiap nilai yang diperoleh. Titik ditanda pada garis koordinat, yang diambil sebagai asal. Untuk mengira nilai dalam selang, gantikan nilai arbitrari yang sepadan dengan kriteria. Sebagai contoh, untuk fungsi sebelumnya sebelum selang -1, anda boleh memilih nilai -2. Untuk nilai dari -1 hingga 1, anda boleh memilih 0, dan untuk nilai yang lebih besar daripada 1, pilih 2. Gantikan nombor ini ke dalam derivatif dan ketahui tanda derivatif. Dalam kes ini, terbitan dengan x = -2 akan sama dengan -0.24, i.e. negatif dan akan terdapat tanda tolak pada selang ini. Jika x=0, maka nilainya akan sama dengan 2, dan tanda diletakkan pada selang ini. Jika x=1, maka terbitan juga akan sama dengan -0.24 dan tolak diletakkan.
Jika, apabila melalui titik pada garis koordinat, derivatif menukar tandanya dari tolak kepada tambah, maka ini adalah titik minimum, dan jika dari tambah kepada tolak, maka ini adalah titik maksimum.
Video mengenai topik
Untuk mencari derivatif, terdapat perkhidmatan dalam talian yang mengira nilai yang diperlukan dan paparkan hasilnya. Di tapak sedemikian anda boleh menemui derivatif sehingga tertib ke-5.
Sumber:
- Salah satu perkhidmatan untuk mengira derivatif
- titik maksimum fungsi
Titik maksimum fungsi, bersama dengan titik minimum, dipanggil titik ekstrem. Pada titik ini fungsi mengubah tingkah lakunya. Extrema ditentukan pada selang berangka terhad dan sentiasa setempat.
Arahan
Proses mencari ekstrema tempatan dipanggil fungsi dan dilakukan dengan menganalisis terbitan pertama dan kedua bagi fungsi tersebut. Sebelum memulakan kajian, pastikan julat nilai hujah yang ditentukan tergolong dalam nilai yang sah. Sebagai contoh, untuk fungsi F=1/x hujah x=0 tidak sah. Atau untuk fungsi Y=tg(x) hujah tidak boleh mempunyai nilai x=90°.
Pastikan fungsi Y boleh dibezakan sepanjang tempoh yang diberikan. Cari terbitan pertama bagi Y." Jelas sekali, sebelum mencapai titik maksimum tempatan, fungsi meningkat, dan apabila melalui maksimum, fungsi itu menjadi berkurangan. Derivatif pertama dalam makna fizikal mencirikan kadar perubahan fungsi. Walaupun fungsi semakin meningkat, kadar proses ini adalah positif. Apabila melalui maksimum tempatan, fungsi mula berkurangan, dan kadar perubahan fungsi menjadi negatif. Peralihan kadar perubahan fungsi melalui sifar berlaku pada titik maksimum tempatan.
Untuk fungsi f(x) daripada banyak pembolehubah, titik x ialah vektor, f'(x) ialah vektor derivatif pertama (kecerunan) bagi fungsi f(x), f ′ ′(x) ialah matriks simetri kedua derivatif separa (matriks Hessian - Hessian) berfungsi f(x).
Untuk fungsi banyak pembolehubah, keadaan optimum dirumuskan seperti berikut.
Satu syarat yang diperlukan untuk optimum tempatan. Biarkan f(x) boleh dibezakan pada titik x * R n . Jika x * ialah titik ekstrem tempatan, maka f’(x *) = 0.
Seperti sebelum ini, titik yang merupakan penyelesaian kepada sistem persamaan dipanggil pegun. Sifat titik pegun x * dikaitkan dengan tanda pasti bagi matriks Hessian f′ ′(x).
Tanda matriks A bergantung kepada tanda-tanda bentuk kuadratik Q(α)=< α A, α >untuk semua bukan sifar α∈R n .
Di sini dan seterusnya melalui
Matriks A adalah positif (bukan negatif) pasti jika Q(α)>0 (Q(α)≥0) untuk semua bukan sifar α∈R n ; negatif (bukan positif) pasti jika Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 untuk beberapa bukan sifar α∈R n dan Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Keadaan yang mencukupi untuk optimum tempatan. Biarkan f(x) dua kali boleh dibezakan pada titik x * R n, dan f’(x *)=0, i.e. x * − titik pegun. Kemudian, jika matriks f′′(x *) ialah positif (negatif) pasti, maka x * ialah titik minimum (maksimum) tempatan; jika matriks f′′(x *) tidak ditentukan, maka x * ialah titik pelana.
Jika matriks f′′(x *) adalah pasti bukan negatif (tidak positif), maka untuk menentukan sifat titik pegun x * memerlukan kajian derivatif tertib tinggi.
Untuk memeriksa tanda matriks, sebagai peraturan, kriteria Sylvester digunakan. Mengikut kriteria ini, matriks simetri A adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor sudutnya positif. Dalam kes ini, minor sudut matriks A ialah penentu matriks yang dibina daripada unsur matriks A yang terletak di persimpangan baris dan lajur dengan nombor yang sama (dan pertama). Untuk menyemak matriks simetri A untuk kepastian negatif, anda perlu menyemak matriks (−A) untuk kepastian positif.
Jadi, algoritma untuk menentukan titik ekstrem tempatan bagi fungsi banyak pembolehubah adalah seperti berikut.
1. Cari f′(x).
2. Sistem sedang diselesaikan 
Hasilnya, titik pegun x i dikira.
3. Cari f′′(x), set i=1.
4. Cari f′′(x i)
5. Kecil sudut bagi matriks f′′(x i) dikira. Jika tidak semua minor sudut bukan sifar, maka menentukan sifat titik pegun x i memerlukan kajian terbitan tertib tinggi. Dalam kes ini, peralihan ke langkah 8 dijalankan.
Jika tidak, pergi ke langkah 6.
6. Tanda-tanda minor sudut f′′(x i) dianalisis. Jika f′′(x i) ialah positif pasti, maka x i ialah titik minimum tempatan. Dalam kes ini, peralihan ke langkah 8 dijalankan.
Jika tidak, pergi ke langkah 7.
7. Kecil sudut matriks -f′′(x i) dikira dan tandanya dianalisis.
Jika -f′′(x i) − ialah positif pasti, maka f′′(x i) ialah negatif pasti dan x i ialah titik maksimum tempatan.
Jika tidak f′′(x i) tidak ditentukan dan x i ialah titik pelana.
8. Syarat untuk menentukan sifat semua titik pegun i=N diperiksa.
Jika terpenuhi, maka selesailah pengiraan.
Jika syarat tidak dipenuhi, maka i=i+1 diandaikan dan peralihan ke langkah 4 dijalankan.
Contoh No. 1. Tentukan titik ekstrem tempatan bagi fungsi f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 
Oleh kerana semua minor sudut bukan sifar, watak x 2 ditentukan menggunakan f′′(x).
Oleh kerana matriks f′′(x 2) ialah pasti positif, x 2 ialah titik minimum setempat.
Jawapan: fungsi f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 mempunyai minimum setempat pada titik x = (5/3; 8/3).
MATA MAKSIMUM DAN MINIMUM
mata yang mengambil masa yang paling besar atau nilai terkecil pada domain definisi; mata sedemikian dipanggil juga mata maksimum mutlak atau minimum mutlak. Jika f ditakrifkan pada topologi ruang X, kemudian titik x 0 dipanggil titik maksimum tempatan (minimum tempatan), jika titik sedemikian wujud x 0, bahawa untuk sekatan fungsi yang sedang dipertimbangkan dalam kejiranan ini titik x 0 ialah titik maksimum (minimum) mutlak. Terdapat titik maksimum yang ketat dan tidak ketat (minimum) (kedua-dua mutlak dan tempatan). Sebagai contoh, dot dipanggil titik maksimum tempatan yang tidak ketat (ketat) bagi fungsi f, jika kejiranan titik tersebut wujud x 0, yang berlaku untuk semua orang (masing-masing f(x)
Untuk fungsi yang ditakrifkan pada domain dimensi terhingga, dari segi kalkulus pembezaan, terdapat syarat dan tanda untuk titik tertentu menjadi titik maksimum setempat (minimum). Biarkan fungsi f ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik x 0 paksi nombor. Jika x 0 - titik maksimum tempatan yang tidak ketat (minimum) dan pada ketika ini wujud f"( x 0),
maka ia sama dengan sifar.
Jika fungsi yang diberi f boleh dibezakan dalam kejiranan suatu titik x 0 , kecuali, mungkin, titik ini sendiri, di mana ia berterusan, dan terbitan f" pada setiap sisi titik x 0 dalam kejiranan ini mengekalkan tanda yang berterusan, maka untuk x 0 ialah titik maksimum tempatan yang ketat (minimum tempatan), adalah perlu dan mencukupi untuk derivatif menukar tanda daripada tambah kepada tolak, iaitu, untuk f" (x)>0 pada x<.x 0 dan f"(x)<0 при x>x 0(masing-masing dari tolak hingga tambah: f"(X) <0
pada x<x 0 dan f"(x)>0 pada x>x 0).
Walau bagaimanapun, bukan untuk setiap fungsi yang boleh dibezakan dalam kejiranan sesuatu titik x 0 , kita boleh bercakap tentang tanda perubahan derivatif pada ketika ini. . "
Jika fungsi f mempunyai pada satu titik x 0 t derivatif, dan kemudian untuk x 0 ialah titik maksimum tempatan yang ketat, adalah perlu dan mencukupi bahawa te adalah genap dan f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.
Biarkan fungsi f( x 1 ..., x n] ditakrifkan dalam kejiranan n-dimensi bagi suatu titik dan boleh dibezakan pada titik ini. Jika x (0) ialah titik maksimum tempatan tidak ketat (minimum), maka fungsi f pada titik ini adalah sama dengan sifar. Keadaan ini bersamaan dengan kesamaan kepada sifar pada titik ini bagi semua terbitan separa tertib pertama bagi fungsi f. Jika suatu fungsi mempunyai terbitan separa selanjar ke-2 pada x(0), semua terbitan pertamanya pada x(0) lenyap, dan pembezaan tertib ke-2 pada x(0) ialah bentuk kuadratik negatif (positif), maka x (0) ialah titik maksimum tempatan yang ketat (minimum). Syarat dikenali untuk fungsi boleh dibezakan M. dan M.T, apabila sekatan tertentu dikenakan ke atas perubahan dalam hujah: persamaan sambungan dipenuhi. Syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk maksimum (minimum) fungsi sebenar, yang mempunyai struktur yang lebih kompleks, dipelajari dalam cabang matematik khas: contohnya, dalam analisis cembung, pengaturcaraan matematik(lihat juga Memaksimumkan dan meminimumkan fungsi).
M. dan fungsi m.t yang ditakrifkan pada manifold dikaji dalam kalkulus variasi secara umum, a M. dan m.t. untuk fungsi yang ditakrifkan pada ruang fungsi, iaitu, untuk fungsi dalam kalkulus variasi. Terdapat juga pelbagai kaedah penentuan anggaran berangka m dan m.t.
Menyala.: Il'in V. A., Poznya k E. G., Asas analisis matematik, ed. ke-3, bahagian 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.
Ensiklopedia matematik. - M.: Ensiklopedia Soviet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Lihat apa "MATA MAKSIMUM DAN MINIMUM" dalam kamus lain:
Prinsip maksimum diskret Pontryagin untuk proses kawalan diskret masa. Untuk proses sedemikian, pengendali perbezaan terhingga mungkin tidak tahan, walaupun untuk analog berterusannya, diperoleh dengan menggantikan pengendali perbezaan terhingga dengan yang berbeza... ... Ensiklopedia Matematik
Teorem yang menyatakan salah satu sifat utama modul analitik. fungsi. Biarkan f(z) menjadi fungsi analitik biasa, atau holomorfik, bagi pembolehubah kompleks dalam domain ruang nombor kompleks D yang berbeza daripada pemalar, M.m.p dalam... ... Ensiklopedia Matematik
Nilai terbesar dan, dengan itu, nilai terkecil fungsi yang mengambil nilai sebenar. Titik dalam domain takrifan fungsi yang sedang dipertimbangkan, di mana ia mengambil masa maksimum atau minimum, dipanggil. masing-masing, titik maksimum atau titik minimum... ... Ensiklopedia Matematik
Lihat Maksimum dan Minimum Fungsi, Maksimum dan Minimum Mata... Ensiklopedia Matematik
Nilai fungsi berterusan yang maksimum atau minimum (lihat Mata Maksimum dan Minimum). Istilah lE... Ensiklopedia Matematik
Penunjuk- (Penunjuk) Penunjuknya ialah Sistem informasi, bahan, peranti, peranti yang memaparkan perubahan dalam sebarang parameter Penunjuk carta pasaran mata wang forex, apakah itu dan di mana ia boleh dimuat turun? Penerangan penunjuk MACD,... ... Ensiklopedia Pelabur
Istilah ini mempunyai makna lain, lihat Extremum (makna). Extremum (lat. extremum extreme) dalam matematik ialah nilai maksimum atau minimum fungsi pada set tertentu. Titik di mana ekstrem dicapai... ... Wikipedia
Kalkulus pembezaan ialah satu cabang analisis matematik yang mengkaji konsep derivatif dan pembezaan dan bagaimana ia digunakan untuk kajian fungsi. Kandungan 1 Kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah ... Wikipedia
Lemniscate dan fokusnya Lemniscate Bernoulli ialah lengkung algebra satah. Ditakrifkan sebagai lokus mata, produk ... Wikipedia
Perbezaan- (Divergence) Divergence sebagai penunjuk Strategi perdagangan dengan MACD divergence Kandungan Kandungan Bahagian 1. pada. Bahagian 2. Divergence bagaimana. Divergence ialah istilah yang digunakan dalam ekonomi untuk merujuk kepada pergerakan sepanjang divergen... ... Ensiklopedia Pelabur
$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mereka kata $f$ telah maksimum tempatan pada titik $x_(0) \dalam E$, jika terdapat kejiranan $U$ daripada titik $x_(0)$ supaya untuk semua $x \dalam U$ ketaksamaan $f\kiri(x\kanan ) \leqslant f berpuas hati \left(x_(0)\right)$.
Maksimum tempatan dipanggil tegas , jika kejiranan $U$ boleh dipilih supaya untuk semua $x \dalam U$ berbeza daripada $x_(0)$ terdapat $f\kiri(x\kanan)< f\left(x_{0}\right)$.
Definisi
Biarkan $f$ menjadi fungsi sebenar pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mereka kata $f$ telah minimum tempatan pada titik $x_(0) \dalam E$, jika terdapat kejiranan $U$ daripada titik $x_(0)$ supaya untuk semua $x \dalam U$ ketaksamaan $f\kiri(x\kanan ) \geqslant f berpuas hati \left(x_(0)\right)$.
Minimum tempatan dipanggil ketat jika kejiranan $U$ boleh dipilih supaya untuk semua $x \dalam U$ berbeza daripada $x_(0)$ terdapat $f\kiri(x\kanan) > f\kiri(x_ ( 0)\kanan)$.
Local extremum menggabungkan konsep minimum tempatan dan maksimum tempatan.
Teorem ( syarat yang perlu melampau fungsi boleh dibezakan)
Biarkan $f$ menjadi fungsi sebenar pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jika pada titik $x_(0) \dalam E$ fungsi $f$ mempunyai ekstrem tempatan dan pada ketika ini, maka $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Kesamaan pembezaan kepada sifar adalah bersamaan dengan fakta bahawa setiap orang adalah sama dengan sifar, i.e. $$\displaystyle\frac(\sebahagian f)(\sebahagian x_(i))\kiri(x_(0)\kanan)=0.$$
Dalam kes satu dimensi ini ialah – . Mari kita nyatakan $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, dengan $h$ ialah vektor arbitrari. Fungsi $\phi$ ditakrifkan untuk nilai $t$ yang cukup kecil dalam nilai mutlak. Selain itu, ia boleh dibezakan berkenaan dengan , dan $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Biarkan $f$ mempunyai maksimum tempatan pada titik x $0$. Ini bermakna fungsi $\phi$ pada $t = 0$ mempunyai maksimum tempatan dan, mengikut teorem Fermat, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Jadi, kami mendapat $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ adalah sama dengan sifar pada mana-mana vektor $h$.
Definisi
Titik di mana pembezaan adalah sifar, i.e. yang mana semua terbitan separa adalah sama dengan sifar dipanggil pegun. Mata kritikal fungsi $f$ ialah titik di mana $f$ tidak boleh dibezakan atau sama dengan sifar. Jika titik adalah pegun, maka ia tidak mengikuti dari ini bahawa fungsi mempunyai ekstrem pada ketika ini.
Contoh 1.
Biarkan $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Kemudian $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, jadi $\left(0,0\right)$ ialah titik pegun, tetapi fungsi tidak mempunyai extremum pada ketika ini. Memang, $f \left(0,0\right) = 0$, tetapi mudah untuk melihat bahawa dalam mana-mana kejiranan titik $\left(0,0\right)$ fungsi mengambil kedua-dua nilai positif dan negatif.
Contoh 2.
Fungsi $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ mempunyai titik pegun pada asalnya, tetapi jelas bahawa tiada ekstrem pada ketika ini.
Teorem (syarat yang mencukupi untuk ekstrem).
Biarkan fungsi $f$ dua kali boleh dibezakan secara berterusan pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Biarkan $x_(0) \dalam E$ menjadi titik pegun dan $$\gaya paparan Q_(x_(0)) \kiri(h\kanan) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian x_(i) \sebahagian x_(j)) \kiri(x_(0)\kanan)h^(i)h^(j).$ $ Kemudian
- jika $Q_(x_(0))$ – , maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ mempunyai ekstrem tempatan, iaitu, minimum jika bentuk itu pasti positif, dan maksimum jika bentuk itu pasti negatif;
- jika bentuk kuadratik $Q_(x_(0))$ tidak ditakrifkan, maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ tidak mempunyai ekstrem.
Mari kita gunakan pengembangan mengikut formula Taylor (12.7 ms 292). Memandangkan derivatif separa tertib pertama pada titik $x_(0)$ adalah sama dengan sifar, kami memperoleh $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \kiri(x_(0)+\theta h\kanan)h^(i)h^(j),$$ dengan $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, dan $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ untuk $h \rightarrow 0$, kemudian bahagian kanan akan menjadi positif untuk mana-mana vektor $h$ dengan panjang yang cukup kecil.
Jadi, kami telah membuat kesimpulan bahawa dalam kejiranan tertentu titik $x_(0)$ ketaksamaan $f \kiri(x\kanan) >f \kiri(x_(0)\kanan)$ berlaku jika hanya $ x \neq x_ (0)$ (kami meletakkan $x=x_(0)+h$\kanan). Ini bermakna bahawa pada titik $x_(0)$ fungsi mempunyai minimum tempatan yang ketat, dan dengan itu bahagian pertama teorem kami terbukti.
Katakan sekarang bahawa $Q_(x_(0))$ – bentuk tak tentu. Kemudian terdapat vektor $h_(1)$, $h_(2)$ sehingga $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \kiri(h_(2)\kanan)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Kemudian kita dapat $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \kiri(th_(1)\kanan) \kanan] = \frac(1)(2) t^(2) \ kiri[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \kiri(th_(1)\kanan) \kanan].$$ Untuk $t>0$ yang cukup kecil, tangan kanan sebelah adalah positif. Ini bermakna dalam mana-mana kejiranan titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai $f \left(x\right)$ lebih besar daripada $f \left(x_(0)\right)$.
Begitu juga, kita dapati bahawa dalam mana-mana kejiranan titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai kurang daripada $f \left(x_(0)\right)$. Ini, bersama-sama dengan yang sebelumnya, bermakna bahawa pada titik $x_(0)$ fungsi $f$ tidak mempunyai ekstrem.
Mari kita pertimbangkan kes istimewa teorem ini untuk fungsi $f \left(x,y\right)$ dua pembolehubah yang ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik $\left(x_(0),y_(0)\kanan)$ dan mempunyai separa berterusan terbitan pertama dalam kejiranan ini dan pesanan kedua. Andaikan bahawa $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ialah titik pegun dan menandakan $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \kiri(x_(0) ,y_(0)\kanan), a_(12)=\frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian x \sebahagian y) \kiri(x_( 0 ), y_(0)\kanan), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Kemudian teorem sebelumnya mengambil bentuk berikut.
Teorem
Biarkan $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Kemudian:
- jika $\Delta>0$, maka fungsi $f$ mempunyai ekstrem tempatan pada titik $\left(x_(0),y_(0)\right)$, iaitu, minimum jika $a_(11)> 0$ , dan maksimum jika $a_(11)<0$;
- jika $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Contoh penyelesaian masalah
Algoritma untuk mencari ekstrem bagi fungsi banyak pembolehubah:
- Mencari titik pegun;
- Cari pembezaan tertib ke-2 di semua titik pegun
- Menggunakan keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi banyak pembolehubah, kami menganggap pembezaan tertib ke-2 pada setiap titik pegun
- Siasat fungsi untuk ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
PenyelesaianMari cari derivatif separa tertib pertama: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Mari kita karang dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Daripada persamaan ke-2 kita nyatakan $x=4 \cdot y^(2)$ - gantikannya ke dalam persamaan 1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Hasilnya, 2 titik pegun diperoleh:
1) $y=0 \Anak panah kanan x = 0, M_(1) = \kiri(0, 0\kanan)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \kiri(\frac(1)(2), 1\kanan)$
Mari kita semak sama ada syarat yang mencukupi untuk ekstrem dipenuhi:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian y^(2))=48 \cdot y$$
1) Untuk titik $M_(1)= \kiri(0,0\kanan)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Untuk mata $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, yang bermaksud bahawa pada titik $M_(2)$ terdapat ekstrem, dan sejak $A_(2)> 0$, maka ini adalah minimum.
Jawapan: Titik $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ialah titik minimum bagi fungsi $f$. - Siasat fungsi bagi ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
PenyelesaianMari cari titik pegun: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Mari kita karang dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Anak panah kanan \begin(huruf)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(huruf) \Rightarrow \begin(huruf) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \kiri(-1, 2\kanan)$ ialah titik pegun.
Mari kita semak sama ada syarat yang mencukupi untuk ekstrem dipenuhi: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Jawapan: tidak ada keterlaluan.
Had masa: 0
Navigasi (nombor kerja sahaja)
0 daripada 4 tugasan selesai
Maklumat
Ambil kuiz ini untuk menguji pengetahuan anda tentang topik yang baru anda baca: Ekstrem Setempat bagi Fungsi Berbilang Pembolehubah.
Anda telah pun mengambil ujian sebelum ini. Anda tidak boleh memulakannya semula.
Pemuatan ujian...
Anda mesti log masuk atau mendaftar untuk memulakan ujian.
Anda mesti melengkapkan ujian berikut untuk memulakan ujian ini:
keputusan
Jawapan betul: 0 daripada 4
Masa kamu:
Masa sudah tamat
Anda mendapat 0 daripada 0 mata (0)
Keputusan anda telah direkodkan pada papan pendahulu
- Dengan jawapan
- Dengan tanda tontonan
Tugasan 2 daripada 4
2 .
Bilangan mata: 1Adakah fungsi $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ mempunyai ekstrem
Tugasan 1 daripada 4
1 .
Bilangan mata: 1Siasat fungsi $f$ untuk ekstrem: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Betul
salah
$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mereka kata $f$ telah maksimum tempatan pada titik $x_(0) \dalam E$, jika terdapat kejiranan $U$ daripada titik $x_(0)$ supaya untuk semua $x \dalam U$ ketaksamaan $f\kiri(x\kanan ) \leqslant f berpuas hati \left(x_(0)\right)$.
Maksimum tempatan dipanggil tegas , jika kejiranan $U$ boleh dipilih supaya untuk semua $x \dalam U$ berbeza daripada $x_(0)$ terdapat $f\kiri(x\kanan)< f\left(x_{0}\right)$.
Definisi
Biarkan $f$ menjadi fungsi sebenar pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mereka kata $f$ telah minimum tempatan pada titik $x_(0) \dalam E$, jika terdapat kejiranan $U$ daripada titik $x_(0)$ supaya untuk semua $x \dalam U$ ketaksamaan $f\kiri(x\kanan ) \geqslant f berpuas hati \left(x_(0)\right)$.
Minimum tempatan dipanggil ketat jika kejiranan $U$ boleh dipilih supaya untuk semua $x \dalam U$ berbeza daripada $x_(0)$ terdapat $f\kiri(x\kanan) > f\kiri(x_ ( 0)\kanan)$.
Local extremum menggabungkan konsep minimum tempatan dan maksimum tempatan.
Teorem (syarat yang diperlukan untuk ekstrem bagi fungsi boleh dibezakan)
Biarkan $f$ menjadi fungsi sebenar pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jika pada titik $x_(0) \dalam E$ fungsi $f$ mempunyai ekstrem tempatan pada ketika ini, maka $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Pembezaan sama dengan sifar adalah bersamaan dengan fakta bahawa semua adalah sama dengan sifar, i.e. $$\displaystyle\frac(\sebahagian f)(\sebahagian x_(i))\kiri(x_(0)\kanan)=0.$$
Dalam kes satu dimensi ini ialah – . Mari kita nyatakan $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, dengan $h$ ialah vektor arbitrari. Fungsi $\phi$ ditakrifkan untuk nilai $t$ yang cukup kecil dalam nilai mutlak. Selain itu, ia boleh dibezakan berkenaan dengan , dan $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Biarkan $f$ mempunyai maksimum tempatan pada titik x $0$. Ini bermakna fungsi $\phi$ pada $t = 0$ mempunyai maksimum tempatan dan, mengikut teorem Fermat, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Jadi, kami mendapat $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ adalah sama dengan sifar pada mana-mana vektor $h$.
Definisi
Titik di mana pembezaan adalah sifar, i.e. yang mana semua terbitan separa adalah sama dengan sifar dipanggil pegun. Mata kritikal fungsi $f$ ialah titik di mana $f$ tidak boleh dibezakan atau sama dengan sifar. Jika titik adalah pegun, maka ia tidak mengikuti dari ini bahawa fungsi mempunyai ekstrem pada ketika ini.
Contoh 1.
Biarkan $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Kemudian $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, jadi $\left(0,0\right)$ ialah titik pegun, tetapi fungsi tidak mempunyai extremum pada ketika ini. Memang, $f \left(0,0\right) = 0$, tetapi mudah untuk melihat bahawa dalam mana-mana kejiranan titik $\left(0,0\right)$ fungsi mengambil kedua-dua nilai positif dan negatif.
Contoh 2.
Fungsi $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ mempunyai titik pegun pada asalnya, tetapi jelas bahawa tiada ekstrem pada ketika ini.
Teorem (syarat yang mencukupi untuk ekstrem).
Biarkan fungsi $f$ dua kali boleh dibezakan secara berterusan pada set terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Biarkan $x_(0) \dalam E$ menjadi titik pegun dan $$\gaya paparan Q_(x_(0)) \kiri(h\kanan) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian x_(i) \sebahagian x_(j)) \kiri(x_(0)\kanan)h^(i)h^(j).$ $ Kemudian
- jika $Q_(x_(0))$ – , maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ mempunyai ekstrem tempatan, iaitu, minimum jika bentuk itu pasti positif, dan maksimum jika bentuk itu pasti negatif;
- jika bentuk kuadratik $Q_(x_(0))$ tidak ditakrifkan, maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ tidak mempunyai ekstrem.
Mari kita gunakan pengembangan mengikut formula Taylor (12.7 ms 292). Memandangkan derivatif separa tertib pertama pada titik $x_(0)$ adalah sama dengan sifar, kami memperoleh $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \kiri(x_(0)+\theta h\kanan)h^(i)h^(j),$$ dengan $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, dan $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ untuk $h \rightarrow 0$, maka sebelah kanan akan menjadi positif untuk mana-mana vektor $h$ yang mempunyai panjang yang cukup kecil.
Jadi, kami telah membuat kesimpulan bahawa dalam kejiranan tertentu titik $x_(0)$ ketaksamaan $f \kiri(x\kanan) >f \kiri(x_(0)\kanan)$ berlaku jika hanya $ x \neq x_ (0)$ (kami meletakkan $x=x_(0)+h$\kanan). Ini bermakna bahawa pada titik $x_(0)$ fungsi mempunyai minimum tempatan yang ketat, dan dengan itu bahagian pertama teorem kami terbukti.
Sekarang mari kita andaikan bahawa $Q_(x_(0))$ ialah bentuk tak tentu. Kemudian terdapat vektor $h_(1)$, $h_(2)$ sehingga $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \kiri(h_(2)\kanan)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Kemudian kita dapat $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \kiri(th_(1)\kanan) \kanan] = \frac(1)(2) t^(2) \ kiri[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \kiri(th_(1)\kanan) \kanan].$$ Untuk $t>0$ yang cukup kecil, tangan kanan sebelah adalah positif. Ini bermakna dalam mana-mana kejiranan titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai $f \left(x\right)$ lebih besar daripada $f \left(x_(0)\right)$.
Begitu juga, kita dapati bahawa dalam mana-mana kejiranan titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai kurang daripada $f \left(x_(0)\right)$. Ini, bersama-sama dengan yang sebelumnya, bermakna bahawa pada titik $x_(0)$ fungsi $f$ tidak mempunyai ekstrem.
Mari kita pertimbangkan kes khas teorem ini untuk fungsi $f \left(x,y\right)$ dua pembolehubah, ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik $\left(x_(0),y_(0)\right )$ dan mempunyai terbitan separa berterusan bagi pesanan pertama dan kedua. Andaikan bahawa $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ialah titik pegun dan menandakan $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \kiri(x_(0) ,y_(0)\kanan), a_(12)=\frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian x \sebahagian y) \kiri(x_( 0 ), y_(0)\kanan), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Kemudian teorem sebelumnya mengambil bentuk berikut.
Teorem
Biarkan $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Kemudian:
- jika $\Delta>0$, maka fungsi $f$ mempunyai ekstrem tempatan pada titik $\left(x_(0),y_(0)\right)$, iaitu, minimum jika $a_(11)> 0$ , dan maksimum jika $a_(11)<0$;
- jika $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Contoh penyelesaian masalah
Algoritma untuk mencari ekstrem bagi fungsi banyak pembolehubah:
- Mencari titik pegun;
- Cari pembezaan tertib ke-2 di semua titik pegun
- Menggunakan keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi banyak pembolehubah, kami menganggap pembezaan tertib ke-2 pada setiap titik pegun
- Siasat fungsi untuk ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
PenyelesaianMari cari derivatif separa tertib pertama: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Mari kita karang dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Daripada persamaan ke-2 kita nyatakan $x=4 \cdot y^(2)$ - gantikannya ke dalam persamaan 1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Hasilnya, 2 titik pegun diperoleh:
1) $y=0 \Anak panah kanan x = 0, M_(1) = \kiri(0, 0\kanan)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \kiri(\frac(1)(2), 1\kanan)$
Mari kita semak sama ada syarat yang mencukupi untuk ekstrem dipenuhi:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\sebahagian^(2) f)(\sebahagian y^(2))=48 \cdot y$$
1) Untuk titik $M_(1)= \kiri(0,0\kanan)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Untuk mata $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, yang bermaksud bahawa pada titik $M_(2)$ terdapat ekstrem, dan sejak $A_(2)> 0$, maka ini adalah minimum.
Jawapan: Titik $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ialah titik minimum bagi fungsi $f$. - Siasat fungsi bagi ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
PenyelesaianMari cari titik pegun: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Mari kita karang dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Anak panah kanan \begin(huruf)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(huruf) \Rightarrow \begin(huruf) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \kiri(-1, 2\kanan)$ ialah titik pegun.
Mari kita semak sama ada syarat yang mencukupi untuk ekstrem dipenuhi: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Jawapan: tidak ada keterlaluan.
Had masa: 0
Navigasi (nombor kerja sahaja)
0 daripada 4 tugasan selesai
Maklumat
Ambil kuiz ini untuk menguji pengetahuan anda tentang topik yang baru anda baca: Ekstrem Setempat bagi Fungsi Berbilang Pembolehubah.
Anda telah pun mengambil ujian sebelum ini. Anda tidak boleh memulakannya semula.
Pemuatan ujian...
Anda mesti log masuk atau mendaftar untuk memulakan ujian.
Anda mesti melengkapkan ujian berikut untuk memulakan ujian ini:
keputusan
Jawapan betul: 0 daripada 4
Masa kamu:
Masa sudah tamat
Anda mendapat 0 daripada 0 mata (0)
Keputusan anda telah direkodkan pada papan pendahulu
- Dengan jawapan
- Dengan tanda tontonan
Tugasan 2 daripada 4
2 .
Bilangan mata: 1Adakah fungsi $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ mempunyai ekstrem
Tugasan 1 daripada 4
1 .
Bilangan mata: 1Siasat fungsi $f$ untuk ekstrem: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Betul
salah
