Yang sudah cukup membosankan. Dan saya merasakan bahawa masanya telah tiba apabila tiba masanya untuk mengekstrak barangan dalam tin baru daripada rizab strategik teori. Adakah mungkin untuk mengembangkan fungsi menjadi satu siri dengan cara lain? Sebagai contoh, nyatakan segmen garis lurus dari segi sinus dan kosinus? Nampaknya luar biasa, tetapi fungsi yang kelihatan jauh seperti itu boleh dilakukan
"penyatuan semula". Sebagai tambahan kepada ijazah biasa dalam teori dan amalan, terdapat pendekatan lain untuk mengembangkan fungsi menjadi satu siri.

Dalam pelajaran ini kita akan belajar tentang trigonometri. berhampiran Fourier, kami akan menyentuh isu penumpuan dan jumlahnya dan, sudah tentu, kami akan menganalisis banyak contoh pengembangan fungsi dalam siri Fourier. Saya benar-benar ingin memanggil artikel itu "Siri Fourier untuk Dummies," tetapi ini adalah tidak jujur, kerana menyelesaikan masalah memerlukan pengetahuan tentang cabang analisis matematik yang lain dan beberapa pengalaman praktikal. Oleh itu mukadimah akan menyerupai latihan angkasawan =)

Pertama, anda harus mendekati kajian bahan halaman dalam bentuk yang sangat baik. Mengantuk, berehat dan sedar. Tanpa emosi yang kuat tentang kaki hamster yang patah dan pemikiran obsesif tentang kesusahan hidup ikan akuarium. Walau bagaimanapun, siri Fourier tidak sukar difahami tugas amali mereka hanya memerlukan peningkatan tumpuan perhatian - idealnya, anda harus melepaskan diri sepenuhnya daripada rangsangan luar. Keadaan diburukkan lagi kerana tiada cara mudah untuk menyemak penyelesaian dan jawapan. Oleh itu, jika kesihatan anda di bawah purata, maka lebih baik untuk melakukan sesuatu yang lebih mudah. Adakah benar.

Kedua, sebelum terbang ke angkasa, anda perlu mengkaji panel instrumen kapal angkasa. Mari kita mulakan dengan nilai-nilai fungsi yang harus diklik pada mesin:

Untuk sebarang nilai semula jadi:

1) . Sesungguhnya, sinusoid "menjahit" paksi-x melalui setiap "pi":
. Dalam kes nilai negatif hujah, hasilnya, tentu saja, akan sama: .

2) . Tetapi tidak semua orang tahu ini. Kosinus "pi" adalah bersamaan dengan "kerlip":

Hujah negatif tidak mengubah perkara itu: .

Mungkin itu sudah cukup.

Dan ketiga, kor angkasawan yang dihormati, anda mesti dapat... mengintegrasikan.
Khususnya, dengan yakin masukkan fungsi di bawah tanda pembezaan, sepadukan sedikit demi sedikit dan berdamai dengan Formula Newton-Leibniz. Mari mulakan latihan pra-penerbangan yang penting. Saya secara mutlaknya tidak mengesyorkan melangkaunya, agar tidak menjadi tidak berbobot kemudian:

Contoh 1

Kira kamiran pasti

di mana mengambil nilai semula jadi.

Penyelesaian: penyepaduan dijalankan ke atas pembolehubah “x” dan pada peringkat ini pembolehubah diskret “en” dianggap sebagai pemalar. Dalam semua kamiran letakkan fungsi di bawah tanda pembezaan:

Versi pendek penyelesaian yang sesuai untuk disasarkan kelihatan seperti ini:

Jom biasakan diri:

Empat mata yang tinggal adalah untuk anda sendiri. Cuba mendekati tugasan dengan teliti dan tulis kamiran dengan cara yang singkat. Contoh penyelesaian pada akhir pelajaran.

Selepas melakukan latihan KUALITI, kami memakai pakaian angkasa lepas
dan bersedia untuk bermula!

Pengembangan fungsi ke dalam siri Fourier pada selang

Pertimbangkan beberapa fungsi itu ditentukan sekurang-kurangnya untuk satu tempoh masa (dan mungkin untuk tempoh yang lebih lama). Jika fungsi ini boleh diintegrasikan pada selang, maka ia boleh dikembangkan menjadi trigonometri Siri Fourier:
, di manakah kononnya Pekali Fourier.

Dalam kes ini nombor dipanggil tempoh penguraian, dan nombornya ialah separuh hayat penguraian.

Jelas sekali bahawa dalam kes umum siri Fourier terdiri daripada sinus dan kosinus:

Sesungguhnya, mari kita tuliskannya secara terperinci:

Sebutan sifar siri biasanya ditulis dalam bentuk .

Pekali Fourier dikira menggunakan formula berikut:

Saya faham dengan baik bahawa istilah baharu masih kurang jelas bagi mereka yang mula mempelajari topik tersebut: tempoh penguraian, separuh kitaran, Pekali Fourier dan lain-lain. Jangan panik, ini tidak setanding dengan keseronokan sebelum pergi ke angkasa lepas. Mari kita fahami segala-galanya dalam contoh berikut, sebelum melaksanakan yang mana logik untuk bertanya soalan praktikal yang mendesak:

Apakah yang perlu anda lakukan dalam tugasan berikut?

Kembangkan fungsi ke dalam siri Fourier. Selain itu, selalunya perlu untuk menggambarkan graf fungsi, graf jumlah siri, jumlah separa, dan dalam hal fantasi profesor yang canggih, lakukan sesuatu yang lain.

Bagaimana untuk mengembangkan fungsi menjadi siri Fourier?

Pada asasnya, anda perlu mencari Pekali Fourier, iaitu mengarang dan mengira tiga kamiran pasti.

Sila salin bentuk umum siri Fourier dan tiga formula kerja ke dalam buku nota anda. Saya sangat gembira kerana beberapa pelawat tapak merealisasikan impian zaman kanak-kanak mereka untuk menjadi angkasawan di depan mata saya =)

Contoh 2

Kembangkan fungsi ke dalam siri Fourier pada selang. Bina graf, graf hasil tambah siri dan hasil tambah separa.

Penyelesaian: Bahagian pertama tugas adalah untuk mengembangkan fungsi ke dalam siri Fourier.

Permulaan adalah standard, pastikan anda menulis bahawa:

Dalam masalah ini, tempoh pengembangan adalah separuh tempoh.

Mari kita kembangkan fungsi menjadi siri Fourier pada selang:

Menggunakan formula yang sesuai, kita dapati Pekali Fourier. Sekarang kita perlu mengarang dan mengira tiga kamiran pasti. Untuk kemudahan, saya akan nomborkan mata:

1) Kamiran pertama adalah yang paling mudah, bagaimanapun, ia juga memerlukan bola mata:

2) Gunakan formula kedua:

Integral ini terkenal dan dia mengambilnya sekeping demi sekeping:

Digunakan apabila ditemui kaedah memasukkan fungsi di bawah tanda pembezaan.

Dalam tugas yang sedang dipertimbangkan, lebih mudah untuk digunakan dengan segera formula untuk pengamiran mengikut bahagian dalam kamiran pasti :

Beberapa nota teknikal. Pertama, selepas menggunakan formula keseluruhan ungkapan mesti disertakan dalam kurungan besar, kerana terdapat pemalar sebelum kamiran asal. Jangan kita kehilangan dia! Tanda kurung boleh dikembangkan pada mana-mana langkah selanjutnya; Dalam "kepingan" pertama Kami menunjukkan penjagaan yang melampau dalam penggantian seperti yang anda lihat, pemalar tidak digunakan, dan had penyepaduan digantikan ke dalam produk. Tindakan ini diserlahkan dalam kurungan segi empat sama. Nah, anda sudah biasa dengan integral "kepingan" kedua formula dari tugas latihan;-)

Dan yang paling penting - kepekatan yang melampau!

3) Kami sedang mencari pekali Fourier ketiga:

Saudara bagi kamiran sebelumnya diperolehi, iaitu juga mengintegrasikan sedikit demi sedikit:

Contoh ini lebih rumit sedikit, saya akan mengulas tentang langkah selanjutnya langkah demi langkah:

(1) Ungkapan itu disertakan sepenuhnya dalam kurungan besar. Saya tidak mahu kelihatan membosankan, mereka kehilangan pemalar terlalu kerap.

(2) V dalam kes ini Saya segera membuka kurungan besar itu. Perhatian istimewa Kami menumpukan perhatian kami kepada "kepingan" pertama: yang berterusan berasap di luar dan tidak mengambil bahagian dalam penggantian had penyepaduan ( dan ) ke dalam produk . Disebabkan kekacauan rekod, sekali lagi dinasihatkan untuk menyerlahkan tindakan ini dengan kurungan segi empat sama. Dengan "kepingan" kedua segala-galanya lebih mudah: di sini pecahan muncul selepas membuka kurungan besar, dan pemalar - sebagai hasil daripada penyepaduan kamiran biasa;-)

(3) Kami menjalankan transformasi dalam kurungan segi empat sama, dan dalam kamiran yang betul kami menggantikan had kamiran.

(4) Kami mengeluarkan "lampu berkelip" dari kurungan segi empat sama: , dan kemudian buka kurungan dalam: .

(5) Kami membatalkan 1 dan –1 dalam kurungan dan membuat pemudahan terakhir.

Akhirnya, ketiga-tiga pekali Fourier ditemui:

Mari kita gantikannya ke dalam formula :

Pada masa yang sama, jangan lupa bahagikan kepada separuh. Pada langkah terakhir, pemalar ("tolak dua"), yang tidak bergantung pada "en," diambil di luar jumlah.

Oleh itu, kita telah memperoleh pengembangan fungsi ke dalam siri Fourier pada selang:

Mari kita kaji isu penumpuan siri Fourier. Saya akan menerangkan teori, khususnya Teorem Dirichlet, secara harfiah "di jari", jadi jika anda memerlukan formulasi yang ketat, sila rujuk buku teks mengenai analisis matematik (contohnya, jilid ke-2 Bohan; atau jilid ke-3 Fichtenholtz, tetapi ia lebih sukar).

Bahagian kedua masalah memerlukan lukisan graf, graf jumlah siri, dan graf jumlah separa.

Graf fungsi adalah biasa garis lurus pada satah, yang dilukis dengan garis putus-putus hitam:

Mari kita fikirkan jumlah siri itu. Seperti yang anda ketahui, siri fungsi menumpu kepada fungsi. Dalam kes kami, siri Fourier yang dibina untuk sebarang nilai "x" akan menumpu kepada fungsi, yang ditunjukkan dalam warna merah. Fungsi ini bertahan pecah jenis pertama pada titik, tetapi juga ditakrifkan padanya (titik merah dalam lukisan)

Oleh itu: . Ia adalah mudah untuk melihat bahawa ia adalah ketara berbeza daripada fungsi asal, itulah sebabnya dalam entri Tilde digunakan dan bukannya tanda sama.

Mari kita kaji algoritma yang sesuai untuk membina jumlah siri.

Pada selang tengah, siri Fourier menumpu kepada fungsi itu sendiri (segmen merah tengah bertepatan dengan garis titik hitam fungsi linear).

Sekarang mari kita bercakap sedikit tentang sifat pengembangan trigonometri yang sedang dipertimbangkan. Siri Fourier hanya fungsi berkala (malar, sinus dan kosinus) disertakan, jadi jumlah siri itu juga merupakan fungsi berkala.

Apakah maksud ini dalam contoh khusus kami? Dan ini bermakna jumlah siri itu –semestinya berkala dan segmen merah selang mesti diulang tanpa henti di kiri dan kanan.

Saya fikir maksud frasa "tempoh penguraian" kini akhirnya menjadi jelas. Ringkasnya, setiap kali situasi itu berulang lagi dan lagi.

Dalam amalan, ia biasanya mencukupi untuk menggambarkan tiga tempoh penguraian, seperti yang dilakukan dalam lukisan. Nah, dan juga "tunggul" tempoh jiran - supaya jelas bahawa graf berterusan.

Kepentingan tertentu ialah titik ketakselanjaran jenis pertama. Pada titik sedemikian, siri Fourier menumpu kepada nilai terpencil, yang terletak betul-betul di tengah-tengah "lompat" ketakselanjaran (titik merah dalam lukisan). Bagaimana untuk mengetahui ordinat titik-titik ini? Mula-mula, mari kita cari ordinat "tingkat atas": untuk melakukan ini, kita mengira nilai fungsi pada titik paling kanan tempoh pusat pengembangan: . Untuk mengira ordinat "tingkat bawah" cara paling mudah adalah dengan mengambil yang melampau nilai yang ditinggalkan tempoh yang sama: . Ordinasi nilai purata ialah min aritmetik hasil tambah "atas dan bawah": . Fakta yang menyenangkan ialah apabila membina lukisan, anda akan segera melihat sama ada bahagian tengah dikira dengan betul atau tidak betul.

Mari kita bina jumlah separa siri dan pada masa yang sama ulangi maksud istilah "penumpuan." Motif juga diketahui daripada pelajaran tentang hasil tambah siri nombor. Mari kita huraikan kekayaan kita secara terperinci:

Untuk mengarang jumlah separa, anda perlu menulis sifar + dua sebutan lagi bagi siri itu. Itu dia,

Lukisan menunjukkan graf fungsi hijau, dan, seperti yang anda lihat, ia "membungkus" jumlah penuh dengan agak ketat. Jika kita mempertimbangkan jumlah separa lima sebutan siri, maka graf fungsi ini akan menghampiri garis merah dengan lebih tepat jika terdapat seratus istilah, maka "ular hijau" sebenarnya akan bergabung sepenuhnya dengan segmen merah, dan lain-lain. Oleh itu, siri Fourier menumpu kepada hasil tambahnya.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa sebarang amaun separa adalah fungsi berterusan, bagaimanapun, jumlah keseluruhan siri itu masih tidak berterusan.

Dalam amalan, ia tidak begitu jarang untuk membina graf jumlah separa. Bagaimana hendak melakukannya? Dalam kes kami, adalah perlu untuk mempertimbangkan fungsi pada segmen, hitung nilainya di hujung segmen dan pada titik perantaraan (semakin banyak mata yang anda pertimbangkan, semakin tepat graf itu). Kemudian anda harus menandakan titik-titik ini pada lukisan dan berhati-hati melukis graf pada tempoh, dan kemudian "meniru" ke dalam selang yang bersebelahan. Bagaimana lagi? Lagipun, anggaran juga merupakan fungsi berkala... ...dalam beberapa cara grafnya mengingatkan saya pada irama jantung yang lancar pada paparan peranti perubatan.

Menjalankan pembinaan, tentu saja, tidak begitu mudah, kerana anda perlu berhati-hati, mengekalkan ketepatan tidak kurang daripada setengah milimeter. Walau bagaimanapun, saya akan menggembirakan pembaca yang tidak selesa dengan lukisan - dalam masalah "sebenar" ia tidak semestinya perlu untuk menjalankan lukisan dalam kira-kira 50% kes adalah perlu untuk mengembangkan fungsi menjadi siri Fourier dan itu sahaja .

Selepas melengkapkan lukisan, kami menyelesaikan tugas:

Jawab:

Dalam banyak tugas, fungsi itu terjejas pecah jenis 1 tepat semasa tempoh penguraian:

Contoh 3

Kembangkan fungsi yang diberikan pada selang ke dalam siri Fourier. Lukiskan graf bagi fungsi dan jumlah keseluruhan siri itu.

Fungsi yang dicadangkan dinyatakan secara sekeping (dan, ambil perhatian, hanya pada segmen) dan bertahan pecah jenis 1 pada titik. Adakah mungkin untuk mengira pekali Fourier? Tiada masalah. Kedua-dua sisi kiri dan kanan fungsi boleh diintegrasikan pada selangnya, oleh itu kamiran dalam setiap tiga formula harus diwakili sebagai hasil tambah dua kamiran. Mari lihat, sebagai contoh, bagaimana ini dilakukan untuk pekali sifar:

Kamiran kedua ternyata sama dengan sifar, yang mengurangkan kerja, tetapi ini tidak selalu berlaku.

Dua pekali Fourier yang lain diterangkan sama.

Bagaimana untuk menunjukkan jumlah siri? Pada selang kiri kami melukis segmen garis lurus, dan pada selang - segmen garis lurus (kami menyerlahkan bahagian paksi dalam huruf tebal dan tebal). Iaitu, pada selang pengembangan, jumlah siri itu bertepatan dengan fungsi di mana-mana kecuali untuk tiga titik "buruk". Pada titik ketakselanjaran fungsi, siri Fourier akan menumpu kepada nilai terpencil, yang terletak betul-betul di tengah-tengah "lompat" ketakselanjaran. Tidak sukar untuk melihatnya secara lisan: had sebelah kiri: , had sebelah kanan: dan, jelas sekali, ordinat bagi titik tengah ialah 0.5.

Disebabkan oleh keberkalaan jumlah, gambar mesti "didarabkan" ke dalam tempoh bersebelahan, khususnya, perkara yang sama mesti digambarkan pada selang dan . Pada masa yang sama, pada titik siri Fourier akan menumpu kepada nilai median.

Sebenarnya, tidak ada yang baru di sini.

Cuba atasi tugas ini sendiri. Contoh anggaran reka bentuk akhir dan lukisan pada akhir pelajaran.

Peluasan fungsi ke dalam siri Fourier dalam tempoh sewenang-wenangnya

Untuk tempoh pengembangan sewenang-wenangnya, di mana "el" ialah sebarang nombor positif, formula untuk siri Fourier dan pekali Fourier dibezakan dengan hujah yang lebih rumit untuk sinus dan kosinus:

Jika , maka kita mendapat formula selang yang kita mulakan.

Algoritma dan prinsip untuk menyelesaikan masalah dipelihara sepenuhnya, tetapi kerumitan teknikal pengiraan meningkat:

Contoh 4

Kembangkan fungsi ke dalam siri Fourier dan plot jumlahnya.

Penyelesaian: sebenarnya analog Contoh No 3 dengan pecah jenis 1 pada titik. Dalam masalah ini, tempoh pengembangan adalah separuh tempoh. Fungsi ditakrifkan hanya pada separuh selang, tetapi ini tidak mengubah perkara itu - adalah penting bahawa kedua-dua bahagian fungsi itu boleh disepadukan.

Mari kembangkan fungsi menjadi siri Fourier:

Oleh kerana fungsi itu tidak selanjar pada asalan, setiap pekali Fourier jelas harus ditulis sebagai hasil tambah dua kamiran:

1) Saya akan menulis integral pertama dengan seberapa terperinci yang mungkin:

2) Kami melihat dengan teliti permukaan Bulan:

Kamiran kedua ambil sekeping demi sekeping:

Apakah yang perlu kita perhatikan selepas kita membuka sambungan penyelesaian dengan asterisk?

Pertama, kita tidak kehilangan kamiran pertama , di mana kami segera melaksanakan melanggan tanda pembezaan. Kedua, jangan lupa pemalar malang sebelum kurungan besar dan jangan keliru dengan tanda-tanda apabila menggunakan formula . Kurungan besar masih lebih mudah dibuka dengan segera dalam langkah seterusnya.

Selebihnya adalah masalah teknik; kesukaran hanya boleh disebabkan oleh pengalaman yang tidak mencukupi dalam menyelesaikan kamiran.

Ya, bukan tanpa alasan bahawa rakan-rakan terkemuka ahli matematik Perancis Fourier marah - bagaimana dia berani mengatur fungsi ke dalam siri trigonometri?! =) By the way, semua orang mungkin berminat dengan maksud praktikal tugasan yang dimaksudkan. Fourier sendiri bekerja model matematik kekonduksian haba, dan seterusnya siri yang dinamakan sempena namanya mula digunakan untuk mengkaji banyak proses berkala, yang boleh dilihat dan tidak kelihatan di dunia sekeliling. Sekarang, dengan cara ini, saya terfikir bahawa bukan secara kebetulan saya membandingkan graf contoh kedua dengan irama jantung berkala. Mereka yang berminat boleh membiasakan diri dengan aplikasi praktikal Transformasi Fourier dalam sumber pihak ketiga. ...Walaupun lebih baik tidak - ia akan diingati sebagai Cinta Pertama =)

3) Dengan mengambil kira pautan lemah yang berulang kali disebut, mari kita lihat pekali ketiga:

Mari kita integrasikan mengikut bahagian:

Mari kita gantikan pekali Fourier yang ditemui ke dalam formula , tidak lupa untuk membahagikan pekali sifar kepada separuh:

Mari kita plot jumlah siri itu. Mari kita ulangi prosedur secara ringkas: kita membina garis lurus pada selang, dan garis lurus pada selang. Jika nilai "x" ialah sifar, kami meletakkan satu titik di tengah-tengah "lompat" jurang dan "meniru" graf untuk tempoh jiran:


Di "persimpangan" tempoh, jumlahnya juga akan sama dengan titik tengah "lompatan" jurang.

sedia. Biar saya ingatkan anda bahawa fungsi itu sendiri adalah mengikut syarat yang ditakrifkan hanya pada separuh selang dan, jelas sekali, bertepatan dengan jumlah siri pada selang.

Jawab:

Kadangkala fungsi yang diberikan sekeping adalah berterusan sepanjang tempoh pengembangan. Contoh paling mudah: . Penyelesaian (lihat Bohan jilid 2) sama seperti dalam dua contoh sebelumnya: walaupun kesinambungan fungsi pada titik , setiap pekali Fourier dinyatakan sebagai hasil tambah dua kamiran.

Pada selang penguraian titik ketakselanjaran jenis pertama dan/atau mungkin terdapat lebih banyak titik "simpang" graf (dua, tiga dan umumnya mana-mana muktamad kuantiti). Jika fungsi boleh diintegrasikan pada setiap bahagian, maka ia juga boleh dikembangkan dalam siri Fourier. Tetapi dari pengalaman praktikal saya tidak ingat perkara yang kejam itu. Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang lebih sukar daripada yang baru dipertimbangkan, dan pada akhir artikel terdapat pautan ke siri Fourier yang meningkatkan kerumitan untuk semua orang.

Sementara itu, mari berehat, bersandar di kerusi kita dan renungkan hamparan bintang yang tidak berkesudahan:

Contoh 5

Kembangkan fungsi ke dalam siri Fourier pada selang dan plot jumlah siri itu.

Dalam masalah ini fungsi berterusan pada separuh selang pengembangan, yang memudahkan penyelesaian. Semuanya hampir sama dengan Contoh No. 2. Tiada pelarian dari kapal angkasa - anda perlu membuat keputusan =) Contoh reka bentuk anggaran pada akhir pelajaran, jadual dilampirkan.

Pengembangan siri Fourier bagi fungsi genap dan ganjil

Dengan fungsi genap dan ganjil, proses menyelesaikan masalah dipermudahkan. Dan itulah sebabnya. Mari kita kembali kepada pengembangan fungsi dalam siri Fourier dengan tempoh "dua pi" dan tempoh "dua el" sewenang-wenangnya .

Mari kita anggap bahawa fungsi kita adalah sekata. Istilah umum siri, seperti yang anda lihat, mengandungi kosinus genap dan sinus ganjil. Dan jika kita mengembangkan fungsi EVEN, maka mengapa kita memerlukan sinus ganjil?! Mari kita set semula pekali yang tidak perlu: .

Oleh itu, fungsi genap boleh dikembangkan dalam siri Fourier hanya dalam kosinus:

Kerana ia kamiran bagi fungsi genap sepanjang segmen penyepaduan yang simetri berkenaan dengan sifar boleh digandakan, maka pekali Fourier yang tinggal dipermudahkan.

Untuk jurang:

Untuk selang masa sewenang-wenangnya:

Contoh buku teks yang boleh didapati dalam hampir mana-mana buku teks mengenai analisis matematik termasuk pengembangan fungsi genap . Di samping itu, mereka telah ditemui beberapa kali dalam amalan peribadi saya:

Contoh 6

Fungsi diberikan. Diperlukan:

1) mengembangkan fungsi menjadi siri Fourier dengan noktah , di mana ialah nombor positif arbitrari;

2) tuliskan pengembangan pada selang, bina fungsi dan graf jumlah keseluruhan siri itu.

Penyelesaian: dalam perenggan pertama dicadangkan untuk menyelesaikan masalah dalam Pandangan umum, dan ia sangat mudah! Jika perlu, gantikan sahaja nilai anda.

1) Dalam masalah ini, tempoh pengembangan adalah separuh tempoh. semasa tindakan selanjutnya, khususnya semasa penyepaduan, "el" dianggap pemalar

Fungsinya adalah genap, yang bermaksud ia boleh dikembangkan menjadi siri Fourier hanya dalam kosinus: .

Kami mencari pekali Fourier menggunakan formula . Perhatikan kelebihan tanpa syarat mereka. Pertama, penyepaduan dijalankan ke atas segmen positif pengembangan, yang bermaksud kami selamat menyingkirkan modul , hanya mengambil kira "X" daripada dua keping. Dan, kedua, penyepaduan nyata dipermudahkan.

dua:

Mari kita integrasikan mengikut bahagian:

Oleh itu:
, manakala pemalar , yang tidak bergantung pada “en”, diambil di luar jumlah.

Jawab:

2) Mari kita tulis pengembangan pada selang, untuk tujuan ini dalam formula am pengganti nilai yang dikehendaki separuh kitaran:

Siri Fourier fungsi berkala dengan kala 2π.

Siri Fourier membolehkan kita mengkaji fungsi berkala dengan menguraikannya kepada komponen. Arus ulang alik dan voltan, anjakan, kelajuan dan pecutan mekanisme engkol dan gelombang akustik adalah tipikal contoh praktikal aplikasi fungsi berkala dalam pengiraan kejuruteraan.

Pengembangan siri Fourier adalah berdasarkan andaian bahawa semua fungsi kepentingan praktikal dalam selang -π ≤x≤ π boleh dinyatakan dalam bentuk siri trigonometri penumpu (satu siri dianggap menumpu jika jujukan jumlah separa terdiri daripada sebutannya. menumpu):

Tatatanda piawai (=biasa) melalui hasil tambah sinx dan cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

di mana a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ialah pemalar nyata, i.e.

Di mana, untuk julat dari -π hingga π, pekali siri Fourier dikira menggunakan formula:

Pekali a o , a n dan b n dipanggil Pekali Fourier, dan jika ia boleh ditemui, maka siri (1) dipanggil di sebelah Fourier, sepadan dengan fungsi f(x). Untuk siri (1), istilah (a 1 cosx+b 1 sinx) dipanggil pertama atau harmonik asas,

Satu lagi cara untuk menulis siri ialah menggunakan hubungan acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Di mana a o ialah pemalar, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ialah amplitud pelbagai komponen, dan sama dengan a n =arctg a n /b n.

Untuk siri (1), istilah (a 1 cosx+b 1 sinx) atau c 1 sin(x+α 1) dipanggil yang pertama atau harmonik asas,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x+α 2) dipanggil harmonik kedua dan sebagainya.

Untuk mewakili isyarat kompleks dengan tepat biasanya memerlukan bilangan istilah yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, dalam banyak masalah praktikal adalah memadai untuk mempertimbangkan hanya beberapa istilah pertama.

Siri Fourier fungsi bukan berkala dengan kala 2π.

Peluasan fungsi bukan berkala.

Jika fungsi f(x) adalah tidak berkala, ia bermakna ia tidak boleh dikembangkan menjadi siri Fourier untuk semua nilai x. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk mentakrifkan siri Fourier yang mewakili fungsi ke atas sebarang julat lebar 2π.

Memandangkan fungsi bukan berkala, fungsi baharu boleh dibina dengan memilih nilai f(x) dalam julat tertentu dan mengulanginya di luar julat itu pada selang 2π. Oleh kerana fungsi baharu adalah berkala dengan kala 2π, ia boleh dikembangkan menjadi siri Fourier untuk semua nilai x. Sebagai contoh, fungsi f(x)=x bukan berkala. Walau bagaimanapun, jika perlu untuk mengembangkannya menjadi siri Fourier dalam selang dari o hingga 2π, maka di luar selang ini fungsi berkala dengan tempoh 2π dibina (seperti ditunjukkan dalam rajah di bawah).

Untuk fungsi bukan berkala seperti f(x)=x, jumlah siri Fourier adalah sama dengan nilai f(x) pada semua titik dalam julat tertentu, tetapi ia tidak sama dengan f(x) untuk mata di luar julat. Untuk mencari siri Fourier bagi fungsi bukan berkala dalam julat 2π, formula pekali Fourier yang sama digunakan.

Fungsi genap dan ganjil.

Mereka mengatakan fungsi y=f(x) malah, jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Graf bagi fungsi genap sentiasa simetri tentang paksi-y (iaitu, ia adalah imej cermin). Dua contoh fungsi genap: y=x2 dan y=cosx.

Mereka mengatakan bahawa fungsi y=f(x) ganjil, jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Graf bagi fungsi ganjil sentiasa simetri tentang asalan.

Banyak fungsi tidak genap dan tidak ganjil.

Pengembangan siri Fourier dalam kosinus.

Siri Fourier bagi fungsi berkala genap f(x) dengan kala 2π hanya mengandungi sebutan kosinus (iaitu, tiada sebutan sinus) dan mungkin termasuk sebutan tetap. Oleh itu,

di manakah pekali bagi siri Fourier,

Siri Fourier bagi fungsi berkala ganjil f(x) dengan kala 2π mengandungi hanya sebutan dengan sinus (iaitu, ia tidak mengandungi sebutan dengan kosinus).

Oleh itu,

di manakah pekali bagi siri Fourier,

Siri Fourier pada separuh kitaran.

Jika fungsi ditakrifkan untuk julat, katakan dari 0 hingga π, dan bukan hanya dari 0 hingga 2π, ia boleh dikembangkan dalam siri hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Siri Fourier yang terhasil dipanggil berhampiran Fourier pada separuh kitaran.

Jika anda ingin mendapatkan penguraian Fourier separuh kitaran mengikut kosinus fungsi f(x) dalam julat dari 0 hingga π, maka adalah perlu untuk membina fungsi berkala genap. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f(x)=x, dibina pada selang dari x=0 hingga x=π. Kerana ia malah berfungsi simetri tentang paksi f(x), lukis garis AB, seperti ditunjukkan dalam Rajah. di bawah. Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan yang diperolehi bentuk segi tiga adalah berkala dengan tempoh 2π, maka graf akhir kelihatan seperti, tunjukkan. dalam Rajah. di bawah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier dalam kosinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier a o dan a n

Jika anda perlu dapatkan Pengembangan sinus separuh kitaran Fourier fungsi f(x) dalam julat dari 0 hingga π, maka adalah perlu untuk membina fungsi berkala ganjil. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f(x)=x, dibina pada selang dari x=0 hingga x=π. Oleh kerana fungsi ganjil adalah simetri tentang asal, kami membina CD baris, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan isyarat gigi gergaji yang terhasil adalah berkala dengan tempoh 2π, maka graf akhir mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier separuh kitaran dari segi sinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier. b

Siri Fourier untuk selang sewenang-wenangnya.

Peluasan fungsi berkala dengan kala L.

Fungsi berkala f(x) berulang apabila x bertambah sebanyak L, i.e. f(x+L)=f(x). Peralihan daripada fungsi yang dipertimbangkan sebelum ini dengan tempoh 2π kepada fungsi dengan tempoh L agak mudah, kerana ia boleh dilakukan menggunakan perubahan pembolehubah.

Untuk mencari siri Fourier bagi fungsi f(x) dalam julat -L/2≤x≤L/2, kami memperkenalkan pembolehubah baharu u supaya fungsi f(x) mempunyai tempoh 2π berbanding u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Juga biarkan f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Siri Fourier F(u) mempunyai bentuk

(Had penyepaduan boleh digantikan dengan sebarang selang panjang L, contohnya, dari 0 hingga L)

Siri Fourier pada separuh kitaran untuk fungsi yang dinyatakan dalam selang L≠2π.

Untuk penggantian u=πх/L, selang dari x=0 hingga x=L sepadan dengan selang dari u=0 hingga u=π. Akibatnya, fungsi boleh dikembangkan menjadi siri hanya dalam kosinus atau hanya dalam sinus, i.e. V Siri Fourier pada separuh kitaran.

Pengembangan kosinus dalam julat dari 0 hingga L mempunyai bentuk

Siri Fourier bagi fungsi berkala genap f(x) dengan kala 2p hanya mengandungi sebutan dengan kosinus (iaitu, tidak mengandungi sebutan dengan sinus) dan mungkin termasuk sebutan tetap. Oleh itu,

di manakah pekali bagi siri Fourier,

Pengembangan siri Fourier dalam sinus

Siri Fourier bagi fungsi berkala ganjil f (x) dengan kala 2p mengandungi hanya sebutan dengan sinus (iaitu, ia tidak mengandungi sebutan dengan kosinus).

Oleh itu,

di manakah pekali bagi siri Fourier,

Siri Fourier pada separuh kitaran

Jika fungsi ditakrifkan untuk julat, katakan dari 0 hingga p, dan bukan hanya dari 0 hingga 2p, ia boleh dikembangkan menjadi siri hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Siri Fourier yang terhasil dipanggil dekat Fourier pada separuh kitaran.

Jika anda ingin mendapatkan penguraian Fourier pada separuh kitaran Oleh kosinus fungsi f (x) dalam julat dari 0 hingga p, maka adalah perlu untuk membina fungsi berkala genap. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f (x) = x, dibina pada selang dari x = 0 hingga x = p. Oleh kerana fungsi genap adalah simetri tentang paksi f (x), kita lukis garis AB, seperti ditunjukkan dalam Rajah. di bawah. Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan, bentuk segi tiga yang terhasil adalah berkala dengan tempoh 2p, maka graf akhir kelihatan seperti ini: dalam Rajah. di bawah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier dalam kosinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier a o dan a n

Jika anda perlu dapatkan penguraian Fourier pada separuh kitaran Oleh resdung fungsi f (x) dalam julat dari 0 hingga p, maka adalah perlu untuk membina fungsi berkala ganjil. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f (x) =x, dibina pada selang dari x=0 hingga x=p. Oleh kerana fungsi ganjil adalah simetri tentang asal, kami membina CD baris, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah.

Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan isyarat gigi gergaji yang terhasil adalah berkala dengan tempoh 2p, maka graf akhir mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier separuh kitaran dari segi sinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier. b

Siri Fourier ialah perwakilan fungsi arbitrari dengan tempoh tertentu dalam bentuk siri. Secara umum, penyelesaian ini dipanggil penguraian unsur sepanjang asas ortogon. Peluasan fungsi ke dalam siri Fourier ialah alat yang agak berkuasa untuk menyelesaikan pelbagai masalah disebabkan sifat transformasi ini semasa penyepaduan, pembezaan, serta peralihan ungkapan melalui hujah dan konvolusi.

Seseorang yang tidak biasa dengan matematik yang lebih tinggi, serta dengan karya saintis Perancis Fourier, kemungkinan besar tidak akan memahami apa "siri" ini dan untuk apa ia diperlukan. Sementara itu, transformasi ini telah menjadi agak bersepadu dalam kehidupan kita. Ia digunakan bukan sahaja oleh ahli matematik, tetapi juga oleh ahli fizik, ahli kimia, doktor, ahli astronomi, ahli seismologi, ahli oseanografi dan lain-lain lagi. Marilah kita juga melihat dengan lebih dekat karya saintis Perancis yang hebat yang membuat penemuan yang mendahului zamannya.

Transformasi Manusia dan Fourier

Siri Fourier adalah salah satu kaedah (bersama analisis dan lain-lain Proses ini berlaku setiap kali seseorang mendengar bunyi. Telinga kita secara automatik melakukan transformasi zarah asas dalam medium elastik dibentangkan dalam baris (di sepanjang spektrum) nilai tahap kenyaringan berturut-turut untuk nada ketinggian yang berbeza. Seterusnya, otak mengubah data ini menjadi bunyi yang biasa kita dengar. Semua ini berlaku tanpa keinginan atau kesedaran kita, dengan sendirinya, tetapi untuk memahami proses ini, ia akan mengambil masa beberapa tahun untuk mempelajari matematik yang lebih tinggi.

Lebih lanjut mengenai transformasi Fourier

Transformasi Fourier boleh dijalankan menggunakan kaedah analitikal, berangka dan lain-lain. Siri Fourier merujuk kepada kaedah berangka untuk menguraikan sebarang proses berayun - daripada pasang surut lautan dan gelombang cahaya kepada kitaran aktiviti suria (dan objek astronomi lain). Menggunakan teknik matematik ini, anda boleh menganalisis fungsi, mewakili sebarang proses berayun sebagai satu siri komponen sinusoidal yang bergerak dari minimum kepada maksimum dan belakang. Transformasi Fourier ialah fungsi yang menerangkan fasa dan amplitud sinusoid sepadan dengan frekuensi tertentu. Proses ini boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang sangat kompleks yang menggambarkan proses dinamik yang timbul di bawah pengaruh haba, cahaya atau tenaga elektrik. Juga, siri Fourier memungkinkan untuk mengasingkan komponen malar dalam isyarat berayun yang kompleks, menjadikannya mungkin untuk mentafsir pemerhatian eksperimen yang diperoleh dengan betul dalam bidang perubatan, kimia dan astronomi.

Rujukan sejarah

Bapa pengasas teori ini ialah ahli matematik Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier. Transformasi ini kemudiannya dinamakan sempena namanya. Pada mulanya, saintis menggunakan kaedahnya untuk mengkaji dan menerangkan mekanisme kekonduksian terma - penyebaran haba dalam pepejal. Fourier mencadangkan bahawa taburan tidak teratur awal boleh diuraikan menjadi sinusoid ringkas, setiap satunya akan mempunyai suhu minimum dan maksimumnya sendiri, serta fasanya sendiri. Dalam kes ini, setiap komponen tersebut akan diukur dari minimum kepada maksimum dan belakang. Fungsi matematik yang menerangkan puncak atas dan bawah lengkung, serta fasa setiap harmonik, dipanggil transformasi Fourier bagi ungkapan taburan suhu. Pengarang teori dibawa bersama fungsi umum pengedaran, yang sukar untuk diterangkan secara matematik, kepada siri kosinus dan sinus yang sangat mudah, yang bersama-sama memberikan pengedaran asal.

Prinsip transformasi dan pandangan sezaman

Rakan seangkatan saintis - ahli matematik terkemuka pada awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Bantahan utama ialah penegasan Fourier bahawa fungsi tak selanjar, menggambarkan garis lurus atau lengkung tak selanjar, boleh diwakili sebagai jumlah ungkapan sinusoidal yang berterusan. Sebagai contoh, pertimbangkan langkah Heaviside: nilainya ialah sifar di sebelah kiri ketakselanjaran dan satu di sebelah kanan. Fungsi ini menerangkan pergantungan arus elektrik pada pembolehubah sementara apabila litar ditutup. Kontemporari teori pada masa itu tidak pernah menghadapi situasi yang sama di mana ungkapan tak selanjar akan diterangkan dengan gabungan fungsi biasa yang berterusan seperti eksponen, sinus, linear atau kuadratik.

Apakah yang mengelirukan ahli matematik Perancis tentang teori Fourier?

Lagipun, jika ahli matematik itu betul dalam kenyataannya, maka, merumuskan yang tidak terhingga siri trigonometri Fourier, adalah mungkin untuk mendapatkan perwakilan tepat bagi ungkapan langkah walaupun ia mempunyai banyak langkah yang serupa. Pada awal abad kesembilan belas, kenyataan sedemikian kelihatan tidak masuk akal. Tetapi di sebalik semua keraguan, ramai ahli matematik telah meluaskan skop kajian mereka tentang fenomena ini, mengambilnya di luar kajian kekonduksian terma. Walau bagaimanapun, kebanyakan saintis terus diseksa oleh soalan: "Bolehkah jumlah siri sinusoidal menumpu kepada nilai sebenar fungsi tak selanjar?

Konvergensi siri Fourier: contoh

Persoalan penumpuan timbul apabila perlu menjumlahkan siri nombor tak terhingga. Untuk memahami fenomena ini, pertimbangkan contoh klasik. Adakah anda akan dapat mencapai dinding jika setiap langkah berikutnya adalah separuh daripada saiz sebelumnya? Katakan anda berada dua meter dari sasaran anda, langkah pertama membawa anda ke tanda separuh jalan, langkah seterusnya membawa anda ke tanda tiga suku, dan selepas yang kelima anda akan mencapai hampir 97 peratus perjalanan. Walau bagaimanapun, tidak kira berapa banyak langkah yang anda ambil, anda tidak akan mencapai matlamat yang anda inginkan dalam pengertian matematik yang ketat. Menggunakan pengiraan berangka, ia boleh dibuktikan bahawa ia akhirnya mungkin untuk mendapatkan sedekat jarak yang diberikan. Bukti ini bersamaan dengan menunjukkan bahawa jumlah satu setengah, satu perempat, dsb. akan cenderung kepada perpaduan.

Persoalan Penumpuan: Kedatangan Kedua, atau Instrumen Lord Kelvin

Isu ini dibangkitkan semula pada akhir abad kesembilan belas, apabila mereka cuba menggunakan siri Fourier untuk meramalkan keamatan pasang surut. Pada masa ini, Lord Kelvin mencipta peranti yang merupakan analog peranti pengkomputeran, yang membenarkan pelayar tentera dan saudagar marin menjejaki fenomena semula jadi ini. Mekanisme ini menentukan set fasa dan amplitud daripada jadual ketinggian air pasang dan titik masa yang sepadan, diukur dengan teliti di pelabuhan tertentu sepanjang tahun. Setiap parameter ialah komponen sinusoidal bagi ekspresi ketinggian air pasang dan merupakan salah satu komponen biasa. Pengukuran telah dimasukkan ke dalam instrumen pengiraan Lord Kelvin, yang mensintesis lengkung yang meramalkan ketinggian air sebagai fungsi masa untuk tahun berikutnya. Tidak lama kemudian lengkung yang serupa telah disediakan untuk semua pelabuhan di dunia.

Bagaimana jika proses itu terganggu oleh fungsi terputus?

Pada masa itu nampaknya jelas bahawa peramal gelombang pasang surut dengan sejumlah besar elemen pengiraan boleh mengira sejumlah besar fasa dan amplitud dan dengan itu memberikan ramalan yang lebih tepat. Walau bagaimanapun, ternyata corak ini tidak diperhatikan dalam kes di mana ekspresi pasang surut yang harus disintesis mengandungi lompatan tajam, iaitu, ia tidak berterusan. Jika data daripada jadual detik masa dimasukkan ke dalam peranti, ia mengira beberapa pekali Fourier. Fungsi asal dipulihkan terima kasih kepada komponen sinusoidal (mengikut pekali yang ditemui). Percanggahan antara ungkapan asal dan yang dibina semula boleh diukur pada bila-bila masa. Apabila melakukan pengiraan dan perbandingan berulang, jelas bahawa nilai ralat terbesar tidak berkurangan. Walau bagaimanapun, ia disetempatkan di rantau yang sepadan dengan titik ketakselanjaran, dan pada mana-mana titik lain ia cenderung kepada sifar. Pada tahun 1899, keputusan ini secara teorinya disahkan oleh Joshua Willard Gibbs dari Universiti Yale.

Konvergensi siri Fourier dan perkembangan matematik secara umum

Analisis Fourier tidak boleh digunakan untuk ungkapan yang mengandungi bilangan pancang yang tidak terhingga dalam selang waktu tertentu. Secara umum, siri Fourier, jika fungsi asal diwakili oleh hasil sebenar dimensi fizikal, sentiasa bertumpu. Soalan mengenai penumpuan proses ini untuk kelas fungsi tertentu membawa kepada kemunculan cabang baru dalam matematik, contohnya, teori fungsi umum. Dia dikaitkan dengan nama seperti L. Schwartz, J. Mikusinski dan J. Temple. Dalam kerangka teori ini, yang jelas dan tepat asas teori di bawah ungkapan seperti fungsi delta Dirac (ia menerangkan kawasan bagi satu kawasan yang tertumpu dalam kejiranan yang sangat kecil pada suatu titik) dan "langkah" Heaviside. Terima kasih kepada kerja ini, siri Fourier menjadi terpakai untuk menyelesaikan persamaan dan masalah yang melibatkan konsep intuitif: cas titik, jisim titik, dipol magnetik, dan beban tertumpu pada rasuk.

Kaedah Fourier

Siri Fourier, mengikut prinsip gangguan, bermula dengan penguraian bentuk kompleks kepada yang lebih mudah. Sebagai contoh, perubahan dalam aliran haba dijelaskan melalui laluannya melalui pelbagai halangan yang diperbuat daripada bahan penebat haba bentuk yang tidak teratur atau perubahan di permukaan bumi - gempa bumi, perubahan orbit. badan angkasa- pengaruh planet. Sebagai peraturan, persamaan sedemikian yang menggambarkan sistem klasik mudah boleh diselesaikan dengan mudah untuk setiap gelombang individu. Fourier menunjukkan itu penyelesaian mudah juga boleh dijumlahkan untuk mendapatkan penyelesaian kepada masalah yang lebih kompleks. Dalam istilah matematik, siri Fourier ialah teknik untuk mewakili ungkapan sebagai jumlah harmonik - kosinus dan sinus. sebab tu analisis ini juga dikenali sebagai analisis harmonik.

Siri Fourier - teknik yang ideal sebelum "zaman komputer"

Sebelum penciptaan kelengkapan komputer Teknik Fourier adalah senjata terbaik dalam senjata para saintis apabila bekerja dengan sifat gelombang dunia kita. Siri Fourier bentuk kompleks membolehkan anda membuat keputusan bukan sahaja tugasan mudah, yang boleh diterima pakai secara langsung undang-undang mekanik Newton, tetapi juga persamaan asas. Kebanyakan penemuan sains Newton pada abad kesembilan belas hanya dimungkinkan oleh teknik Fourier.

Siri Fourier hari ini

Dengan perkembangan komputer, transformasi Fourier telah meningkat ke tahap baharu secara kualitatif. Teknik ini mantap dalam hampir semua bidang sains dan teknologi. Contohnya ialah audio dan video digital. Pelaksanaannya menjadi mungkin hanya terima kasih kepada teori yang dibangunkan oleh seorang ahli matematik Perancis pada awal abad kesembilan belas. Oleh itu, siri Fourier dalam bentuk yang kompleks memungkinkan untuk membuat satu kejayaan dalam kajian angkasa lepas. Selain itu, ia mempengaruhi kajian fizik bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, dan seismologi.

Siri Trigonometri Fourier

Dalam matematik, siri Fourier ialah satu cara untuk mewakili sewenang-wenangnya fungsi yang kompleks jumlah yang lebih mudah. DALAM kes umum bilangan ungkapan tersebut boleh menjadi tidak terhingga. Lebih-lebih lagi, lebih banyak bilangan mereka diambil kira dalam pengiraan, lebih tepat keputusan akhir. Selalunya, fungsi trigonometri kosinus atau sinus digunakan sebagai yang paling mudah. Dalam kes ini, siri Fourier dipanggil trigonometri, dan penyelesaian ungkapan tersebut dipanggil pengembangan harmonik. Kaedah ini bermain peranan penting dalam matematik. Pertama sekali, siri trigonometri menyediakan cara untuk menggambarkan dan juga mengkaji fungsi; ia adalah alat utama teori. Di samping itu, ia membolehkan anda menyelesaikan beberapa masalah dalam fizik matematik. Akhirnya, teori ini menyumbang kepada perkembangan beberapa cabang sains matematik yang sangat penting (teori kamiran, teori fungsi berkala). Di samping itu, ia berfungsi sebagai titik permulaan untuk pembangunan fungsi berikut pembolehubah sebenar, dan juga meletakkan asas untuk analisis harmonik.