Ang mga sulok ng isang gilid ay mga pagpapatuloy ng mga gilid ng isa. Mga patayo at katabing sulok

Aralin 8 Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay extension ng mga gilid ng isa. TEOREM. Ang mga patayong anggulo ay pantay. Patunay: = = 180 Katulad = = = 3 2 = 4 Paglutas ng problema: 64, 66 Takdang aralin: p. 11, 66, 67

Pagdidikta sa matematika. 1 opsyon. 1. Kumpletuhin ang pangungusap: "Kung ang mga anggulo 1 at 2 ay magkatabi, kung gayon ang kanilang kabuuan ..." 2. Ang anggulo ba na katabi ng 30 degree na anggulo ay acute, obtuse o right? 3. Ang kabuuan ng dalawang anggulo ay 180 degrees. Kailangan bang magkatabi ang mga anggulong ito? 4. Ang mga linyang AM at CE ay nagsalubong sa puntong O, na nasa pagitan ng mga ito. Nagresulta ba ito sa mga patayong anggulo? Kung oo, mangyaring pangalanan sila. 5. Ano ang anggulo kung ang patayong anggulo dito ay 34 degrees? 6. Ang isa sa apat na anggulo na nagreresulta mula sa intersection ng dalawang tuwid na linya ay 140 degrees. Ano ang natitirang mga anggulo? 7. Ang dalawang sulok ay may isang karaniwang vertex, ang unang sulok ay 40 degrees, ang pangalawa ay 140 degrees. Ang mga sulok ba na ito ay patayo? Opsyon 2. 1. Kumpletuhin ang pangungusap: “Two angles are called adjacent if one side is common and the other ...” 2. Ang anggulo ba na katabi ng anggulo na 130 degrees ay acute, obtuse o right? 3. Ang kabuuan ng dalawang anggulo na may karaniwang panig na 180 degrees. Kailangan bang magkatabi ang mga anggulong ito? 4. Ang mag-aaral ay gumawa ng 2 patayong sulok. Ilang pares ng tuwid na linya ang naging resulta nito? 5. Ang dalawang sulok ay may isang karaniwang vertex, ang bawat isa sa mga sulok na ito ay katumbas ng 60 degrees. Kailangan bang patayo ang mga anggulong ito? 6. Ang isa sa apat na anggulo na nagreresulta mula sa intersection ng dalawang tuwid na linya ay 80 degrees. Ano ang natitirang mga anggulo? 7. Ano ang anggulo kung ang patayong anggulo dito ay 120 degrees?

Mga sagot. 1. Katumbas ng 180 degrees 2. Obtuse angle 3. No 4. Angles AOC at EOM, AOE at COM degrees at 40 degrees 7. Oo 1. Karagdagang mga sinag 2. Acute angle 3. Hindi 4. Isang pares 5. Hindi at 100 digri degree

Ang geometry ay isang napaka-multifaceted na agham. Ito ay bubuo ng lohika, imahinasyon at katalinuhan. Siyempre, dahil sa pagiging kumplikado nito at marami theorems at axioms, hindi laging gusto ito ng mga mag-aaral. Bilang karagdagan, mayroong pangangailangan na patuloy na patunayan ang kanilang mga konklusyon gamit ang karaniwang tinatanggap na mga pamantayan at panuntunan.

Ang magkatabi at patayong mga anggulo ay isang mahalagang bahagi ng geometry. Tiyak na maraming mga mag-aaral ang sumasamba sa kanila sa kadahilanang ang kanilang mga ari-arian ay malinaw at madaling patunayan.

Pagbuo ng mga sulok

Ang anumang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang linya o sa pamamagitan ng pagguhit ng dalawang ray mula sa isang punto. Maaari silang tawaging alinman sa isang titik o tatlo, na sunud-sunod na itinalaga ang mga punto ng pagtatayo ng sulok.

Ang mga anggulo ay sinusukat sa mga degree at maaaring (depende sa kanilang halaga) ay tinatawag na iba. So, may right angle, acute, obtuse and deployed. Ang bawat isa sa mga pangalan ay tumutugma sa isang tiyak na sukat ng antas o pagitan nito.

Ang talamak na anggulo ay isang anggulo na ang sukat ay hindi lalampas sa 90 degrees.

Ang obtuse angle ay isang anggulo na higit sa 90 degrees.

Ang isang anggulo ay tinatawag na tama kapag ang sukat nito ay 90.

Sa kaso kapag ito ay nabuo ng isang tuloy-tuloy na tuwid na linya, at ang sukat ng antas nito ay 180, ito ay tinatawag na deployed.

Ang mga anggulo na may isang karaniwang panig, na ang pangalawang panig ay nagpapatuloy sa isa't isa, ay tinatawag na katabi. Maaari silang maging matalim o mapurol. Ang intersection ng linya ay bumubuo ng mga katabing anggulo. Ang kanilang mga ari-arian ay ang mga sumusunod:

1. Ang kabuuan ng naturang mga anggulo ay magiging katumbas ng 180 degrees (mayroong theorem na nagpapatunay nito). Samakatuwid, ang isa sa kanila ay madaling kalkulahin kung ang isa ay kilala.
2. Ito ay sumusunod mula sa unang punto na ang mga katabing anggulo ay hindi maaaring mabuo ng dalawang mapurol o dalawang talamak na anggulo.

Salamat sa mga katangiang ito, maaaring palaging kalkulahin ng isa ang sukat ng antas ng isang anggulo na ibinigay sa halaga ng isa pang anggulo, o hindi bababa sa ratio sa pagitan ng mga ito.

Mga patayong anggulo

Ang mga anggulo na ang mga panig ay pagpapatuloy ng bawat isa ay tinatawag na patayo. Anuman sa kanilang mga varieties ay maaaring kumilos bilang isang pares. Ang mga patayong anggulo ay palaging katumbas ng bawat isa.

Nabubuo ang mga ito kapag nagsalubong ang mga linya. Kasama nila, ang mga katabing sulok ay laging naroroon. Ang isang anggulo ay maaaring magkatabi para sa isa at patayo para sa isa.

Kapag tumatawid sa isang arbitrary na linya, maraming iba pang mga uri ng mga anggulo ang isinasaalang-alang din. Ang nasabing linya ay tinatawag na isang secant, at ito ay bumubuo ng katumbas, isang panig at cross-lying na mga anggulo. Pantay-pantay sila sa isa't isa. Maaari silang tingnan sa liwanag ng mga katangian na mayroon ang mga patayo at katabing anggulo.

Kaya, ang paksa ng mga sulok ay tila medyo simple at naiintindihan. Ang lahat ng kanilang mga pag-aari ay madaling tandaan at patunayan. Ang paglutas ng mga problema ay hindi mahirap hangga't ang mga sulok ay tumutugma sa numerical value. Isa pa, kapag nagsimula na ang pag-aaral ng kasalanan at cos, marami kang kailangang isaulo kumplikadong mga formula, ang kanilang mga konklusyon at kahihinatnan. Hanggang sa panahong iyon, masisiyahan ka lang sa mga madaling puzzle kung saan kailangan mong maghanap ng mga katabing sulok.

KABANATA I.

BATAYANG KONSEPTO.

§labingisa. ADJACENT AT VERTICAL ANGLES.

1. Mga katabing sulok.

Kung ipagpapatuloy natin ang gilid ng ilang sulok na lampas sa tuktok nito, makakakuha tayo ng dalawang sulok (Larawan 72): / Isang araw at / SVD, kung saan karaniwan ang isang panig na BC, at ang dalawa pang AB at BD ay bumubuo ng isang tuwid na linya.

Ang dalawang anggulo na may magkatulad na panig at ang dalawa pa ay bumubuo ng isang tuwid na linya ay tinatawag na magkatabing mga anggulo.

Ang mga katabing anggulo ay maaari ding makuha sa ganitong paraan: kung gumuhit tayo ng isang sinag mula sa isang punto sa isang tuwid na linya (hindi nakahiga sa isang naibigay na tuwid na linya), pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga katabing anggulo.
Halimbawa, / ADF at / FDВ - mga katabing sulok (Larawan 73).

Ang mga katabing sulok ay maaaring magkaroon ng malawak na pagkakaiba-iba ng mga posisyon (Larawan 74).

Ang mga katabing anggulo ay nagdaragdag sa isang tuwid na anggulo, kaya ang umma ng dalawang magkatabing anggulo ay 2d.

Samakatuwid, ang tamang anggulo ay maaaring tukuyin bilang isang anggulo na katumbas ng katabing anggulo nito.

Alam ang halaga ng isa sa mga katabing anggulo, mahahanap natin ang halaga ng iba pang katabing anggulo.

Halimbawa, kung ang isa sa mga katabing anggulo ay 3/5 d, kung gayon ang pangalawang anggulo ay magiging katumbas ng:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Mga patayong anggulo.

Kung palawigin natin ang mga gilid ng isang anggulo na lampas sa tuktok nito, makakakuha tayo ng mga patayong anggulo. Sa pagguhit ng 75, ang mga anggulo ng EOF at AOC ay patayo; patayo din ang mga anggulong AOE at COF.

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay mga extension ng mga gilid ng kabilang anggulo.

Hayaan / 1 = 7 / 8 d(Larawan 76). Katabi nito / 2 ay katumbas ng 2 d- 7 / 8 d, ibig sabihin, 1 1/8 d.

Sa parehong paraan, maaari mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng / 3 at / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Larawan 77).

Nakikita natin yan / 1 = / 3 at / 2 = / 4.

Maaari mong lutasin ang ilan pa sa parehong mga problema, at sa bawat oras na makakuha ka ng parehong resulta: ang mga patayong anggulo ay pantay sa bawat isa.

Gayunpaman, upang matiyak na ang mga patayong anggulo ay palaging katumbas ng bawat isa, hindi sapat na isaalang-alang ang indibidwal mga halimbawa ng numero, dahil ang mga konklusyong ginawa batay sa mga partikular na halimbawa ay maaaring minsan ay mali.

Kinakailangang i-verify ang bisa ng ari-arian ng mga patayong anggulo sa pamamagitan ng pangangatwiran, sa pamamagitan ng patunay.

Ang patunay ay maaaring isagawa tulad ng sumusunod (Larawan 78):

/ isang +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 2 d).

/ isang +/ c = / b+/ c

(dahil at kaliwang bahagi ang pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng 2 d, at ang kanang bahagi nito ay katumbas din ng 2 d).

Kasama sa pagkakapantay-pantay na ito ang parehong anggulo Sa.

Kung ibawas natin nang pantay-pantay ang mga halaga, mananatili itong pantay. Ang magiging resulta ay: / a = / b, ibig sabihin, ang mga patayong anggulo ay katumbas ng bawat isa.

Kung isasaalang-alang ang tanong ng mga patayong anggulo, ipinaliwanag muna namin kung aling mga anggulo ang tinatawag na patayo, ibig sabihin, ibinigay namin kahulugan patayong sulok.

Pagkatapos ay gumawa kami ng paghatol (pahayag) tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga patayong anggulo at kami ay kumbinsido sa bisa ng paghatol na ito sa pamamagitan ng patunay. Ang ganitong mga paghatol, na ang bisa nito ay dapat patunayan, ay tinatawag theorems. Kaya, sa seksyong ito ay ibinigay namin ang kahulugan ng mga patayong anggulo, at ipinahayag at pinatunayan din ang isang teorama tungkol sa kanilang pag-aari.

Sa hinaharap, kapag nag-aaral ng geometry, kailangan nating patuloy na matugunan ang mga kahulugan at patunay ng mga theorems.

3. Ang kabuuan ng mga anggulo na may karaniwang vertex.

Sa drawing 79 / 1, / 2, / 3 at / 4 ay matatagpuan sa parehong gilid ng isang tuwid na linya at may isang karaniwang vertex sa tuwid na linya na ito. Sa kabuuan, ang mga anggulong ito ay bumubuo ng isang tuwid na anggulo, i.e.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Sa drawing 80 / 1, / 2, / 3, / 4 at / 5 ay may karaniwang tuktok. Sa kabuuan, ang mga anggulong ito ay bumubuo ng isang buong anggulo, i.e. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Mga ehersisyo.

1. Ang isa sa mga katabing anggulo ay 0.72 d. Kalkulahin ang anggulo na nabuo ng mga bisector ng mga katabing anggulo na ito.

2. Patunayan na ang mga bisector ng dalawang magkatabing anggulo ay bumubuo ng tamang anggulo.

3. Patunayan na kung magkapantay ang dalawang anggulo, magkapantay din ang magkatabing mga anggulo.

4. Ilang pares ng magkatabing sulok ang nasa drawing 81?

5. Maaari bang ang isang pares ng magkatabing anggulo ay binubuo ng dalawang talamak na anggulo? mula sa dalawang matulis na sulok? mula sa tama at malabo anggulo? mula sa isang tama at matalim na anggulo?

6. Kung tama ang isa sa mga katabing anggulo, ano ang masasabi tungkol sa halaga ng anggulong katabi nito?

7. Kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya ay may isang tamang anggulo, ano ang masasabi tungkol sa laki ng natitirang tatlong anggulo?