Ano ang logarithm?
Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")
Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na ang mga equation na may logarithms.
Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! Huwag maniwala sa akin? ayos lang. Ngayon, sa loob lang ng 10 - 20 minuto ay:
1. Maiintindihan mo ano ang logarithm.
2. Matutong lutasin ang isang buong klase ng mga exponential equation. Kahit na wala kang narinig tungkol sa kanila.
3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.
Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang multiplication table at kung paano itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan...
Pakiramdam ko ay may pagdududa ka... Well, okay, markahan ang oras! Go!
Una, lutasin ang equation na ito sa iyong ulo:
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Kaugnay sa
ang gawain ng paghahanap ng alinman sa tatlong mga numero mula sa iba pang dalawang ibinigay na mga ay maaaring itakda. Kung ang a at pagkatapos ay ang N ay ibinigay, sila ay matatagpuan sa pamamagitan ng exponentiation. Kung ang N at pagkatapos ay a ay ibinigay sa pamamagitan ng pagkuha ng ugat ng digri x (o pagpapataas nito sa kapangyarihan). Ngayon isaalang-alang ang kaso kung kailan, ibinigay ang a at N, kailangan nating hanapin ang x.
Hayaang maging positibo ang bilang N: ang bilang a ay positibo at hindi katumbas ng isa: .
Kahulugan. Ang logarithm ng numero N sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang a upang makuha ang numerong N; ang logarithm ay tinutukoy ng
Kaya, sa pagkakapantay-pantay (26.1) ang exponent ay matatagpuan bilang logarithm ng N sa base a. Mga post
may parehong kahulugan. Ang pagkakapantay-pantay (26.1) ay kung minsan ay tinatawag na pangunahing pagkakakilanlan ng teorya ng logarithms; sa katotohanan ito ay nagpapahayag ng kahulugan ng konsepto ng logarithm. Sa pamamagitan ng depinisyon na ito Ang batayan ng logarithm a ay palaging positibo at naiiba sa pagkakaisa; ang logarithmic number N ay positibo. Ang mga negatibong numero at zero ay walang logarithms. Mapapatunayan na ang anumang numero na may ibinigay na base ay may mahusay na tinukoy na logarithm. Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay kasama. Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga dito; kung hindi, ang konklusyon ay hindi makatwiran, dahil ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y.
Halimbawa 1. Hanapin
Solusyon. Upang makakuha ng numero, dapat mong itaas ang base 2 sa kapangyarihan Samakatuwid.
Maaari kang gumawa ng mga tala kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa sa sumusunod na anyo:
Halimbawa 2. Hanapin .
Solusyon. Meron kami
Sa mga halimbawa 1 at 2, madali naming natagpuan ang nais na logarithm sa pamamagitan ng pagre-represent sa numero ng logarithm bilang kapangyarihan ng base na may rational exponent. SA pangkalahatang kaso, halimbawa para sa, atbp., hindi ito magagawa, dahil ang logarithm ay may hindi makatwirang halaga. Bigyang-pansin natin ang isang isyu na may kaugnayan sa pahayag na ito. Sa talata 12, ibinigay namin ang konsepto ng posibilidad ng pagtukoy ng anumang tunay na kapangyarihan ng isang naibigay na positibong numero. Ito ay kinakailangan para sa pagpapakilala ng mga logarithms, na, sa pangkalahatan, ay maaaring hindi makatwiran na mga numero.
Tingnan natin ang ilang mga katangian ng logarithms.
Property 1. Kung ang numero at base ay pantay, kung gayon ang logarithm ay katumbas ng isa, at, sa kabaligtaran, kung ang logarithm ay katumbas ng isa, kung gayon ang numero at base ay pantay.
Patunay. Hayaan Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm mayroon tayo at kung saan
Sa kabaligtaran, hayaan ang Pagkatapos sa pamamagitan ng kahulugan
Property 2. Ang logarithm ng isa sa anumang base ay katumbas ng zero.
Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm (ang zero na kapangyarihan ng anumang positibong base ay katumbas ng isa, tingnan ang (10.1)). Mula rito
Q.E.D.
Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung , kung gayon N = 1. Sa katunayan, mayroon tayong .
Bago bumalangkas ng susunod na katangian ng logarithms, sumang-ayon tayo na sabihin na ang dalawang numero a at b ay nasa magkabilang panig ng ikatlong numero c kung pareho silang mas malaki sa c o mas mababa sa c. Kung ang isa sa mga numerong ito ay mas malaki kaysa sa c, at ang isa ay mas mababa sa c, pagkatapos ay sasabihin namin na sila ay nakahiga sa magkabilang panig ng c.
Property 3. Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay positibo; Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay negatibo.
Ang patunay ng property 3 ay batay sa katotohanan na ang kapangyarihan ng a ay mas malaki kaysa sa isa kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa at ang exponent ay positibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay negatibo. Ang kapangyarihan ay mas mababa sa isa kung ang base ay mas malaki sa isa at ang exponent ay negatibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay positibo.
Mayroong apat na kaso na dapat isaalang-alang:
Limitahan natin ang ating sarili sa pagsusuri sa una sa kanila;
Hayaan pagkatapos sa pagkakapantay-pantay ang exponent ay maaaring hindi negatibo o katumbas ng zero, samakatuwid, ito ay positibo, ibig sabihin, kung kinakailangan upang mapatunayan.
Halimbawa 3. Alamin kung alin sa mga logarithm sa ibaba ang positibo at alin ang negatibo:
Solusyon, a) dahil ang numero 15 at ang base 12 ay matatagpuan sa parehong bahagi ng isa;
b) dahil ang 1000 at 2 ay matatagpuan sa isang bahagi ng yunit; sa kasong ito, hindi mahalaga na ang base ay mas malaki kaysa sa logarithmic number;
c) dahil ang 3.1 at 0.8 ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa;
G); Bakit?
d); Bakit?
Ang mga sumusunod na katangian 4-6 ay madalas na tinatawag na mga patakaran ng logarithmation: pinapayagan nila, alam ang logarithms ng ilang mga numero, upang mahanap ang logarithms ng kanilang produkto, quotient, at antas ng bawat isa sa kanila.
Property 4 (product logarithm rule). Logarithm ng produkto ng ilang positibong numero sa pamamagitan ng itong batayan katumbas ng kabuuan logarithms ng mga numerong ito sa parehong base.
Patunay. Hayaang maging positibo ang ibinigay na mga numero.
Para sa logarithm ng kanilang produkto, isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (26.1) na tumutukoy sa logarithm:
Mula dito makikita natin
Ang paghahambing ng mga exponents ng una at huling mga expression, makuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay:
Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga; logarithm ng produkto ng dalawa mga negatibong numero makatuwiran, ngunit sa kasong ito nakukuha natin
Sa pangkalahatan, kung ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay positibo, kung gayon ang logarithm nito ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithms ng mga ganap na halaga ng mga salik na ito.
Property 5 (panuntunan para sa pagkuha ng logarithms ng mga quotient). Ang logarithm ng isang quotient ng mga positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor, na dinala sa parehong base. Patunay. Palagi kaming nakakahanap
Q.E.D.
Property 6 (power logarithm rule). Ang logarithm ng kapangyarihan ng anumang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng numerong iyon na pinarami ng exponent.
Patunay. Isulat nating muli ang pangunahing pagkakakilanlan (26.1) para sa numero:
Q.E.D.
Bunga. Ang logarithm ng isang ugat ng isang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng radical na hinati sa exponent ng ugat:
Ang bisa ng corollary na ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pag-iisip kung paano at paggamit ng ari-arian 6.
Halimbawa 4. Kunin ang logarithm sa base a:
a) (pinapalagay na ang lahat ng mga halaga b, c, d, e ay positibo);
b) (pinapalagay na ).
Solusyon, a) Maginhawang pumunta sa fractional powers sa expression na ito:
Batay sa mga pagkakapantay-pantay (26.5)-(26.7), maaari na nating isulat ang:
Napansin namin na ang mga mas simpleng operasyon ay ginagawa sa mga logarithms ng mga numero kaysa sa mga numero mismo: kapag nagpaparami ng mga numero, ang kanilang mga logarithm ay idinagdag, kapag naghahati, sila ay ibawas, atbp.
Iyon ang dahilan kung bakit ginagamit ang mga logarithm sa pagsasanay sa pag-compute (tingnan ang talata 29).
Ang kabaligtaran na aksyon ng logarithm ay tinatawag na potentiation, ibig sabihin: ang potentiation ay ang aksyon kung saan ang numero mismo ay matatagpuan mula sa isang ibinigay na logarithm ng isang numero. Mahalaga, ang potentiation ay hindi espesyal na aksyon: bumababa ito sa pagtaas ng base sa isang kapangyarihan (katumbas ng logarithm ng numero). Ang terminong "potentiation" ay maaaring ituring na kasingkahulugan ng terminong "exponentiation".
Kapag potentiating, dapat gamitin ng isang tao ang mga patakaran na kabaligtaran sa mga patakaran ng logarithmation: palitan ang kabuuan ng logarithm ng logarithm ng produkto, ang pagkakaiba ng logarithm sa logarithm ng quotient, atbp. Sa partikular, kung mayroong isang kadahilanan sa harap ng sign ng logarithm, pagkatapos ay sa panahon ng potentiation dapat itong ilipat sa exponent degrees sa ilalim ng sign ng logarithm.
Halimbawa 5. Hanapin ang N kung alam na
Solusyon. Kaugnay ng nakasaad na tuntunin ng potentiation, ililipat namin ang mga salik na 2/3 at 1/3 na nakatayo sa harap ng mga palatandaan ng logarithms sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa mga exponent sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms na ito; nakukuha namin
Ngayon ay pinapalitan namin ang pagkakaiba ng logarithms sa logarithm ng quotient:
para makuha ang huling fraction sa chain of equalities na ito, pinalaya namin ang nakaraang fraction mula sa irrationality sa denominator (seksyon 25).
Ari-arian 7. Kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon mas malaking bilang ay may mas malaking logarithm (at ang isang mas maliit na numero ay may mas maliit), kung ang base ay mas mababa sa isa, kung gayon ang isang mas malaking numero ay may mas maliit na logarithm (at ang isang mas maliit na numero ay may mas malaki).
Ang ari-arian na ito ay binabalangkas din bilang isang panuntunan para sa pagkuha ng mga logarithms ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang magkabilang panig nito ay positibo:
Kapag dinadala ang logarithms ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang base na mas malaki kaysa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinapanatili, at kapag ang logarithming sa isang base na mas mababa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran (tingnan din ang talata 80).
Ang patunay ay batay sa mga katangian 5 at 3. Isaalang-alang ang kaso kapag Kung , pagkatapos at, pagkuha ng logarithms, nakuha namin
(a at N/M ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa). Mula rito
Kaso a sumusunod, ang mambabasa ang mag-isa niyang unawain.
Habang umuunlad ang lipunan at naging mas kumplikado ang produksyon, umunlad din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa ordinaryong accounting gamit ang paraan ng pagdaragdag at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating kami sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng paulit-ulit na operasyon ng multiplikasyon ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng logarithms.
Makasaysayang sketch
Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos may kaugnayan sa multiplikasyon at paghahati ng mga multi-digit na numero. Napakahusay ng serbisyo ng mga sinaunang mesa. Ginawa nilang posible na palitan ang mga kumplikadong operasyon ng mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga kapangyarihan sa anyo ng mga pangunahing numero, kundi pati na rin para sa mga di-makatwirang makatuwiran.
Noong 1614, unang ipinakilala ng Scotsman na si John Napier ang mga ideyang ito, ang bagong terminong "logarithm ng isang numero." Ang mga bago ay pinagsama-sama kumplikadong mga talahanayan para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.
Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa loob ng tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas kanina bagong operasyon sa algebra nakuha nito ang kumpletong anyo. Ang kahulugan ng logarithm ay ibinigay at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.
Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.
Tinatawag natin ngayon ang logarithm ng b upang ibase sa a ang numerong x na siyang kapangyarihan ng a upang gawing b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).
Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.
Kaya, ang nabuong kahulugan ay nagtatakda lamang ng isang paghihigpit: ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.
Mga uri ng logarithms
Ang klasikong kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang ang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at hindi interesado. Pansin: Ang 1 sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng 1.
Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kapag ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.
Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa laki ng kanilang base:
Mga tuntunin at paghihigpit
Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).
Bilang isang variant ng pahayag na ito ay magiging: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.
Mula sa nakaraang dalawang panuntunan, madaling makita na: log a(b p) = p * log a(b).
Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:
Magkomento. Hindi na kailangang gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng isang kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan ng logarithms.
Sa loob ng maraming siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician kilalang formula teorya ng logarithmic ng polynomial expansion:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kung saan n - natural na numero higit sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.
Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng isang produkto.
Dahil ang pamamaraang ito ay napaka-labor-intensive at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit kami ng mga pre-compiled na talahanayan ng logarithms, na makabuluhang pinabilis ang lahat ng gawain.
Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na idinisenyong logarithm graph, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng isang regular na ruler upang mahanap ang halaga ng function sa anumang iba pang punto. Mga inhinyero matagal na panahon Para sa mga layuning ito, ginamit ang tinatawag na graph paper.
Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na ika-19 na siglo nakakuha ng tapos na hitsura. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at ito ay mahirap na mag-overestimate. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.
Ang pagdating ng mga calculator at computer ay ginawa ang paggamit ng anumang iba pang mga aparato na walang kabuluhan.
Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay
Upang malutas ang iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms, ang mga sumusunod na formula ay ginagamit:
- Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Bilang resulta ng nakaraang opsyon: log a(b) = 1 / log b(a).
Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:
- Ang halaga ng logarithm ay magiging positibo lamang kung ang base at argumento ay parehong mas malaki o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
- Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng isang hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan; kung hindi ito ay nagbabago.
Mga halimbawa ng problema
Isaalang-alang natin ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:
Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa isang kapangyarihan:
- Suliranin 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang entry ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang parisukat ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay katumbas ng 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.
Praktikal na paggamit
Ang pagiging isang purong mathematical tool, tila malayo sa totoong buhay na biglang nakuha ng logarithm pinakamahalaga upang ilarawan ang mga tunay na bagay sa mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa makataong larangan ng kaalaman.
Mga dependency ng logarithmic
Magbigay tayo ng ilang halimbawa numerical dependencies:
Mechanics at physics
Sa kasaysayan, ang mechanics at physics ay palaging binuo gamit mga pamamaraan sa matematika pananaliksik at sa parehong oras ay nagsilbi bilang isang insentibo para sa pagbuo ng matematika, kabilang ang logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa ng mga paglalarawan pisikal na batas gamit ang logarithm.
Ang problema sa pagkalkula ng tulad ng isang kumplikadong dami bilang ang bilis ng isang rocket ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paggamit ng Tsiolkovsky formula, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:
V = I * ln (M1/M2), kung saan
- Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
- I - tiyak na salpok ng makina.
- M 1 - paunang masa ng rocket.
- M 2 – huling masa.
Isa pang mahalagang halimbawa- ito ay ginagamit sa pormula ng isa pang mahusay na siyentipiko na si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.
S = k * ln (Ω), kung saan
- S - thermodynamic na pag-aari.
- k – Boltzmann pare-pareho.
- Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.
Chemistry
Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa:
- Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
- Ang pagkalkula ng mga pare-pareho tulad ng autolysis index at ang kaasiman ng solusyon ay hindi rin magagawa nang wala ang ating function.
Sikolohiya at biyolohiya
At hindi malinaw kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng stimulus intensity sa mas mababang halaga ng intensity.
Matapos ang mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang paksa ng logarithms ay malawakang ginagamit sa biology. Maaaring isulat ang buong volume tungkol sa mga biyolohikal na anyo na tumutugma sa mga logarithmic spiral.
Ibang lugar
Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay may kaugnayan sa geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagpunta sa MatProfi website, at mayroong maraming mga tulad na halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:
Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing prinsipyo ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.
Ngayon ay pag-uusapan natin mga logarithmic formula at magbibigay kami ng indicative mga halimbawa ng solusyon.
Sila mismo ay nagpapahiwatig ng mga pattern ng solusyon ayon sa mga pangunahing katangian ng logarithms. Bago mag-apply ng mga logarithmic formula upang malutas, ipaalala namin sa iyo ang lahat ng mga katangian:
Ngayon, batay sa mga formula na ito (properties), ipapakita namin mga halimbawa ng paglutas ng logarithms.
Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms batay sa mga formula.
Logarithm ang isang positibong numero b sa base a (na tinutukoy ng log a b) ay isang exponent kung saan dapat itaas ang a upang makakuha ng b, na may b > 0, a > 0, at 1.
Ayon sa kahulugan, mag-log a b = x, na katumbas ng isang x = b, samakatuwid mag-log a a x = x.
Logarithms, mga halimbawa:
log 2 8 = 3, dahil 2 3 = 8
log 7 49 = 2, dahil 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, dahil 5 -1 = 1/5
Decimal logarithm- ito ay isang ordinaryong logarithm, ang base nito ay 10. Ito ay tinutukoy bilang lg.
log 10 100 = 2, dahil 10 2 = 100
Likas na logarithm- din ng isang ordinaryong logarithm, isang logarithm, ngunit may base e (e = 2.71828... - isang hindi makatwirang numero). Tinutukoy bilang ln.
Maipapayo na kabisaduhin ang mga formula o katangian ng logarithms, dahil kakailanganin natin ang mga ito sa paglutas ng mga logarithms, logarithmic equation at inequalities. Gawin nating muli ang bawat formula na may mga halimbawa.
- Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
isang log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithm
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Ang logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Mga katangian ng kapangyarihan ng isang logarithmic number at ang base ng logarithm
Exponent ng logarithm mga numero ng log a b m = mlog a b
Exponent ng base ng logarithm log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
kung m = n, makakakuha tayo ng log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Paglipat sa isang bagong pundasyon
log a b = log c b/log c a,kung c = b, makakakuha tayo ng log b b = 1
pagkatapos ay mag-log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
Tulad ng nakikita mo, ang mga formula para sa logarithms ay hindi kasing kumplikado ng tila. Ngayon, sa pagtingin sa mga halimbawa ng paglutas ng mga logarithms, maaari tayong magpatuloy sa mga logarithmic equation. Titingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga logarithmic equation nang mas detalyado sa artikulo: "". Huwag palampasin!
Kung mayroon ka pa ring mga katanungan tungkol sa solusyon, isulat ang mga ito sa mga komento sa artikulo.
Tandaan: nagpasya kaming kumuha ng ibang klase ng edukasyon at mag-aral sa ibang bansa bilang opsyon.
Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi natukoy. Bilang karagdagan, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero na hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang logarithm sa base -2 ng 4 ay katumbas ng 2.
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Mahalagang magkaiba ang saklaw ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Kaliwang bahagi tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, ngunit hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa OD.
Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.
Logarithm ng produkto at logarithm ng quotient
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Gusto kong bigyan ng babala ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paggamit ng mga formula na ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginagamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan," ang ODZ ay lumiliit, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, lumalawak ang ODZ.
Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f(x) at g(x) ay parehong mas mababa sa zero.
Ang pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x), napipilitan tayong limitahan ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. Mayroong pagpapaliit ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).
Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)At muli gusto kong humimok ng pag-iingat. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Sa pamamagitan ng pagkuha ng degree sa logarithm, muli nating pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.
Formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.
Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalagang espesyal na kaso mga formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Ilang simpleng halimbawa na may logarithms
Halimbawa 1. Kalkulahin: log2 + log50.
Solusyon. log2 + log50 = log100 = 2. Ginamit namin ang sum ng logarithms formula (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.
Halimbawa 2. Kalkulahin: lg125/lg5.
Solusyon. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base (8).
Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms
| isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
