Extrema ng mga function ng ilang mga variable. Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Sapat na kondisyon para sa isang extremum. Conditional extremum. Paraan ng Lagrange multiplier. Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Lektura 5.

Kahulugan 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamataas na punto mga function z = f (x, y), Kung f (x o , y o) > f(x,y) para sa lahat ng puntos (x, y) M 0.

Kahulugan 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamababang punto mga function z = f (x, y), Kung f (x o , y o) < f(x,y) para sa lahat ng puntos (x, y) mula sa ilang kapitbahayan ng isang punto M 0.

Tandaan 1. Tinatawag ang pinakamataas at pinakamababang puntos matinding puntos mga function ng ilang mga variable.

Puna 2. Ang extremum point para sa isang function ng anumang bilang ng mga variable ay tinutukoy sa katulad na paraan.

Teorama 5.1 (mga kinakailangang kondisyon extremum). Kung M 0 (x 0, y 0)– matinding punto ng pag-andar z = f (x, y), pagkatapos sa puntong ito ang unang-order na bahagyang derivatives ng function na ito ay katumbas ng zero o wala.

Patunay.

Ayusin natin ang halaga ng variable sa, nagbibilang y = y 0. Pagkatapos ang function f (x, y 0) ay magiging function ng isang variable X, para sa x = x 0 ay ang matinding punto. Samakatuwid, sa pamamagitan ng teorama ni Fermat, o hindi umiiral. Ang parehong pahayag ay napatunayang katulad para sa .

Kahulugan 5.3. Ang mga puntos na kabilang sa domain ng isang function ng ilang variable kung saan ang mga partial derivatives ng function ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag nakatigil na mga punto function na ito.

Magkomento. Kaya, ang extremum ay maaabot lamang sa mga nakatigil na punto, ngunit hindi ito kinakailangang maobserbahan sa bawat isa sa kanila.

Teorama 5.2(sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaan sa ilang kapitbahayan ng punto M 0 (x 0, y 0), na isang nakatigil na punto ng function z = f (x, y), ang function na ito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa 3rd order inclusive. Tukuyin natin Pagkatapos:

1) f(x,y) ay nasa punto M 0 maximum kung AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ay nasa punto M 0 pinakamababa kung AC–B² > 0, A > 0;

3) walang extremum sa kritikal na punto kung AC–B² < 0;

4) kung AC–B² = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Patunay.

Isulat natin ang pangalawang order na Taylor formula para sa function f(x,y), pag-alala na sa isang nakatigil na punto ang unang-order na bahagyang derivatives ay katumbas ng zero:

saan Kung ang anggulo sa pagitan ng segment M 0 M, Saan M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ sa), at ang O axis X tukuyin ang φ, pagkatapos ay Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. Sa kasong ito, ang formula ni Taylor ay kukuha ng form: . Let Then we can divide and multiply the expression in brackets by A. Nakukuha namin:

Isaalang-alang natin ngayon ang apat posibleng mga kaso:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и sa sapat na maliit na Δρ. Samakatuwid, sa ilang kapitbahayan M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), yan ay M 0- pinakamataas na punto.

2) Hayaan AC–B² > 0, A > 0. Pagkatapos , At M 0- pinakamababang punto.

3) Hayaan AC-B² < 0, A> 0. Isaalang-alang ang pagtaas ng mga argumento kasama ang ray φ = 0. Pagkatapos mula sa (5.1) ito ay sumusunod na , iyon ay, kapag gumagalaw sa sinag na ito, tumataas ang function. Kung tayo ay gumagalaw sa isang sinag tulad na tg φ 0 = -A/B, yun , samakatuwid, kapag gumagalaw sa sinag na ito, bumababa ang function. Kaya, period M 0 ay hindi isang matinding punto.

3`) Kailan AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

katulad ng nauna.

3``) Kung AC–B² < 0, A= 0, pagkatapos . Kung saan . Pagkatapos para sa sapat na maliit φ ang expression 2 B cosφ + C ang sinφ ay malapit sa 2 SA, iyon ay, ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda, ngunit ang sinφ ay nagbabago ng tanda sa paligid ng punto M 0. Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng function ay nagbabago ng sign sa paligid ng isang nakatigil na punto, na samakatuwid ay hindi isang extremum point.

4) Kung AC–B² = 0, at , , iyon ay, ang tanda ng pagtaas ay tinutukoy ng tanda ng 2α 0. Kasabay nito, ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang linawin ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum.

Halimbawa. Hanapin natin ang extremum point ng function z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Upang makahanap ng mga nakatigil na punto, nilulutas namin ang system . Kaya, ang nakatigil na punto ay (-2,-1). Kung saan A = 2, SA = -2, SA= 4. Pagkatapos AC–B² = 4 > 0, samakatuwid, sa isang nakatigil na punto ay naabot ang isang extremum, ibig sabihin, ang minimum (mula sa A > 0).

Kahulugan 5.4. Kung ang function arguments f (x 1 , x 2 ,…, x n) konektado karagdagang mga kondisyon bilang m mga equation ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kung saan ang mga function φ i ay may tuluy-tuloy na partial derivatives, kung gayon ang mga equation (5.2) ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Kahulugan 5.5. Extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) kapag natugunan ang mga kundisyon (5.2), ito ay tinatawag conditional extremum.

Magkomento. Maaari kaming mag-alok ng sumusunod na geometric na interpretasyon ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable: hayaan ang mga argumento ng function f(x,y) nauugnay sa equation na φ (x,y)= 0, na tumutukoy sa ilang curve sa O plane xy. Reconstructing perpendiculars sa plane O mula sa bawat punto ng curve na ito xy hanggang sa mag-intersect ito sa ibabaw z = f (x,y), nakakakuha tayo ng spatial curve na nakahiga sa ibabaw sa itaas ng curve φ (x,y)= 0. Ang gawain ay upang mahanap ang mga extremum point ng resultang curve, na, siyempre, pangkalahatang kaso huwag mag-tutugma sa mga walang kundisyong extremum point ng function f(x,y).

Alamin natin ang mga kinakailangang kundisyon para sa isang conditional extremum para sa isang function ng dalawang variable sa pamamagitan ng unang pagpapakilala ng sumusunod na kahulugan:

Kahulugan 5.6. Function L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

saan λi – ang ilan ay pare-pareho, tinatawag Lagrange function, at ang mga numero λi– hindi tiyak na mga multiplier ng Lagrange.

Teorama 5.3(mga kinakailangang kondisyon para sa isang conditional extremum). Conditional extremum ng isang function z = f (x, y) sa pagkakaroon ng coupling equation φ ( x, y) Ang = 0 ay maaari lamang makamit sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Patunay. Ang coupling equation ay tumutukoy sa isang implicit na relasyon sa mula sa X, samakatuwid ay ipagpalagay natin iyon sa mayroong isang function mula sa X: y = y(x). Pagkatapos z mayroong isang kumplikadong function mula sa X, at ang mga kritikal na punto nito ay tinutukoy ng kondisyon: . (5.4) Mula sa coupling equation ito ay sumusunod na . (5.5)

I-multiply natin ang pagkakapantay-pantay (5.5) sa ilang bilang na λ at idagdag ito sa (5.4). Nakukuha namin:

, o .

Ang huling pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan sa mga nakatigil na punto, kung saan ito ay sumusunod:

(5.6)

Ang isang sistema ng tatlong equation para sa tatlong hindi alam ay nakuha: x, y at λ, at ang unang dalawang equation ay ang mga kondisyon para sa nakatigil na punto ng Lagrange function. Sa pamamagitan ng pagbubukod ng auxiliary unknown λ mula sa system (5.6), nakita namin ang mga coordinate ng mga punto kung saan ang orihinal na function ay maaaring magkaroon ng conditional extremum.

Puna 1. Ang pagkakaroon ng conditional extremum sa nahanap na punto ay masusuri sa pamamagitan ng pag-aaral ng second-order partial derivatives ng Lagrange function sa pamamagitan ng pagkakatulad sa Theorem 5.2.

Puna 2. Mga punto kung saan maaaring maabot ang conditional extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) kapag natugunan ang mga kundisyon (5.2), maaaring tukuyin bilang mga solusyon ng system (5.7)

Halimbawa. Hanapin natin ang conditional extremum ng function z = xy Kung ganoon x + y= 1. Buuin natin ang Lagrange function L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Ang System (5.6) ay ganito ang hitsura:

Kung saan -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Kung saan L(x,y) maaaring katawanin sa anyo L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, samakatuwid sa natagpuang nakatigil na punto L(x,y) ay may maximum, at z = xy – conditional maximum.

Conditional extremum.

Extrema ng isang function ng ilang variable

Pinakamababang parisukat na pamamaraan.

Lokal na extremum ng FNP

Hayaang ibigay ang function At= f(P), РÎDÌR n at hayaang ituro ang P 0 ( A 1 , A 2 , ..., isang p) –panloob punto ng set D.

Kahulugan 9.4.

1) Point P 0 ay tinatawag pinakamataas na punto mga function At= f(P), kung mayroong kapitbahayan ng puntong ito U(P 0) М D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , nasiyahan ang kondisyon f(P)£ f(P 0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum ng function at itinalaga f(P0) = max f(P) .

2) Point P 0 ay tinatawag pinakamababang punto mga function At= f(P), kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0)Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , nasiyahan ang kondisyon f(P)³ f(P 0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamababang punto ay tinatawag pinakamababang function at itinalaga f(P 0) = min f(P).

Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ng isang function matinding puntos, ang mga halaga ng function sa mga extrema point ay tinatawag extrema ng function.

Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay f(P)£ f(P 0), f(P)³ f Ang (P 0) ay dapat masiyahan lamang sa isang partikular na kapitbahayan ng puntong P 0, at hindi sa buong domain ng kahulugan ng function, na nangangahulugan na ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema ng parehong uri (maraming minima, ilang maxima) . Samakatuwid, ang extrema na tinukoy sa itaas ay tinatawag lokal(lokal) extremes.

Theorem 9.1. (kinakailangang kundisyon para sa extremum ng FNP)

Kung ang function At= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ay may extremum sa puntong P 0 , kung gayon ang mga partial derivatives ng unang-order nito sa puntong ito ay maaaring katumbas ng zero o wala.

Patunay. Hayaan sa puntong P 0 ( A 1 , A 2 , ..., isang p) function At= f(P) ay may isang extremum, halimbawa, isang maximum. Ayusin natin ang mga argumento X 2 , ..., x n, paglalagay X 2 =A 2 ,..., x n = isang p. Pagkatapos At= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., isang p) ay isang function ng isang variable X 1 . Dahil ang function na ito ay may X 1 = A 1 extremum (maximum), pagkatapos f 1 ¢=0o wala kapag X 1 =A 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng isang variable). Ngunit, iyon ay nangangahulugan o wala sa puntong P 0 - ang extremum point. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang mga partial derivatives na may paggalang sa iba pang mga variable. CTD.

Ang mga punto sa domain ng isang function kung saan ang mga first-order na partial derivative ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na puntos function na ito.

Tulad ng sumusunod mula sa Theorem 9.1, ang mga extremum point ng FNP ay dapat hanapin sa mga kritikal na punto ng function. Ngunit, para sa isang function ng isang variable, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point.

Theorem 9.2. (sapat na kondisyon para sa extremum ng FNP)

Hayaan ang P 0 ang kritikal na punto ng function At= f(P) at ay ang second order differential ng function na ito. Pagkatapos

at kung d 2 u(P 0) > 0 sa , pagkatapos ay ang P 0 ay isang punto pinakamababa mga function At= f(P);

b) kung d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum mga function At= f(P);

c) kung d 2 u Ang (P 0) ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng pag-sign, kung gayon ang P 0 ay hindi isang extremum point;

Isasaalang-alang namin ang teorama na ito nang walang patunay.

Tandaan na hindi isinasaalang-alang ng theorem ang kaso kung kailan d 2 u(P 0) = 0 o wala. Nangangahulugan ito na ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa punto P 0 sa ilalim ng naturang mga kondisyon ay nananatiling bukas - kailangan namin karagdagang pananaliksik, halimbawa, pag-aaral ng pagtaas ng isang function sa puntong ito.

Sa mas detalyadong mga kurso sa matematika ito ay napatunayan na, sa partikular para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable, ang second order differential nito ay kabuuan ng form

ang pag-aaral ng pagkakaroon ng isang extremum sa kritikal na punto P 0 ay maaaring gawing simple.

Tukuyin natin ang , , . Bumuo tayo ng determinant

.

Kinalabasan:

d 2 z> 0 sa puntong P 0, ibig sabihin. P 0 – pinakamababang punto, kung A(P 0) > 0 at D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

kung D(P 0)< 0, то d 2 z sa paligid ng point P 0 nagbabago ito ng sign at walang extremum sa point P 0;

kung D(Р 0) = 0, kung gayon ang mga karagdagang pag-aaral ng function sa paligid ng kritikal na punto Р 0 ay kinakailangan din.

Kaya, para sa pag-andar z = f(x,y) ng dalawang variable mayroon kaming sumusunod na algorithm (tawagin natin itong "algorithm D") para sa paghahanap ng extremum:

1) Hanapin ang domain ng kahulugan D( f) mga function.

2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. puntos mula sa D( f), kung saan at katumbas ng zero o wala.

3) Sa bawat kritikal na punto P 0, suriin ang sapat na mga kondisyon para sa extremum. Upang gawin ito, hanapin , kung saan , , at kalkulahin ang D(P 0) at A(P 0).Pagkatapos:

kung D(P 0) >0, pagkatapos ay sa puntong P 0 mayroong extremum, at kung A(P 0) > 0 – ito ang pinakamababa, at kung A(P 0)< 0 – максимум;

kung D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Kung D(P 0) = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

4) Sa mga nakitang extremum point, kalkulahin ang halaga ng function.

Halimbawa 1.

Hanapin ang extremum ng function z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Solusyon. Ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong coordinate plane. Maghanap tayo ng mga kritikal na punto.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Suriin natin kung ang mga sapat na kondisyon para sa extremum ay natutugunan. Hahanapin natin

6X, = -3, = 48sa At = 288xy – 9.

Pagkatapos D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – sa point Р 1 mayroong extremum, at dahil A(P 1) = 3 >0, kung gayon ang extremum na ito ay isang minimum. Kaya min z=z(P 1) = .

Halimbawa 2.

Hanapin ang extremum ng function .

Solusyon: D( f) =R 2 . Mga kritikal na puntos: ; ay hindi umiiral kapag sa= 0, na nangangahulugang P 0 (0,0) ang kritikal na punto ng function na ito.

2, = 0, = , = , ngunit hindi tinukoy ang D(P 0), kaya imposibleng pag-aralan ang sign nito.

Para sa parehong dahilan, imposibleng direktang ilapat ang Theorem 9.2 - d 2 z ay wala sa puntong ito.

Isaalang-alang natin ang pagtaas ng function f(x, y) sa puntong P 0. Kung si D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, kung gayon ang P 0 ang pinakamababang punto, ngunit kung D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Sa aming kaso mayroon kami

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Sa D x= 0.1 at D y= -0.008 nakukuha natin ang D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 at D y= 0.001 D f= 0.01 + 0.1 > 0, ibig sabihin. sa paligid ng punto P 0 alinman sa kondisyon D ay hindi natutugunan f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) at samakatuwid ang P 0 ay hindi isang maximum na punto), o kundisyon D f>0 (ibig sabihin. f(x, y) > f(0, 0) at pagkatapos ay ang P 0 ay hindi pinakamababang punto). Nangangahulugan ito, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang extremum, ang function na ito ay walang extrema.

Conditional extremum.

Ang itinuturing na extremum ng function ay tinatawag walang kondisyon, dahil walang mga paghihigpit (kondisyon) na ipinapataw sa mga argumento ng function.

Kahulugan 9.2. Extremum ng function At = f(X 1 , X 2 , ... , x n), natagpuan sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito X 1 , X 2 , ... , x n matugunan ang mga equation j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kung saan ang P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), tinawag conditional extremum .

Mga Equation j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, ay tinatawag na mga equation ng koneksyon.

Tingnan natin ang mga pag-andar z = f(x,y) dalawang variable. Kung ang equation ng koneksyon ay isa, i.e. , pagkatapos ay ang paghahanap ng conditional extremum ay nangangahulugan na ang extremum ay hinahanap hindi sa buong domain ng kahulugan ng function, ngunit sa ilang curve na nasa D( f) (ibig sabihin, hindi ito ang pinakamataas o pinakamababang punto ng ibabaw ang hinahanap z = f(x,y), at ang pinakamataas o pinakamababang punto sa mga punto ng intersection ng ibabaw na ito sa silindro, Fig. 5).

Conditional extremum ng isang function z = f(x,y) ng dalawang variable ay matatagpuan sa sumusunod na paraan( paraan ng pag-aalis). Mula sa equation, ipahayag ang isa sa mga variable bilang isang function ng isa pa (halimbawa, isulat ) at, palitan ang halagang ito ng variable sa function, isulat ang huli bilang isang function ng isang variable (sa kaso na isinasaalang-alang ). Hanapin ang extremum ng resultang function ng isang variable.

Kahulugan1: Ang isang function ay sinasabing mayroong lokal na maximum sa isang punto kung mayroong isang kapitbahayan ng punto na para sa anumang punto M may mga coordinate (x, y) ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: . Sa kasong ito, ibig sabihin, ang pagtaas ng function< 0.

Kahulugan2: Ang isang function ay sinasabing mayroong lokal na minimum sa isang punto kung mayroong isang kapitbahayan ng punto na para sa anumang punto M may mga coordinate (x, y) ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: . Sa kasong ito, ibig sabihin, ang pagtaas ng function > 0.

Kahulugan 3: Ang mga punto ng lokal na minimum at maximum ay tinatawag matinding puntos.

Mga Kondisyon na Extremes

Kapag naghahanap ng extrema ng isang function ng maraming mga variable, ang mga problema ay madalas na lumitaw na may kaugnayan sa tinatawag na conditional extremum. Ang konseptong ito ay maaaring ipaliwanag gamit ang halimbawa ng isang function ng dalawang variable.

Hayaang magbigay ng isang function at isang linya L sa ibabaw 0xy. Ang gawain ay upang makakuha ng sa linya L makahanap ng ganoong punto P(x, y), kung saan ang halaga ng isang function ay ang pinakamalaki o pinakamaliit kumpara sa mga halaga ng function na ito sa mga punto sa linya L, na matatagpuan malapit sa punto P. Mga ganyang puntos P ay tinatawag conditional extremum points mga function sa linya L. Sa kaibahan sa karaniwang extremum point, ang halaga ng function sa conditional extremum point ay inihambing sa mga halaga ng function hindi sa lahat ng mga punto ng kapitbahayan nito, ngunit sa mga nasa linya lamang. L.

Ito ay ganap na malinaw na ang punto ng karaniwang extremum (sinasabi rin nila walang pasubaling extremum) ay isa ring conditional extremum point para sa anumang linyang dumadaan sa puntong ito. Ang kabaligtaran, siyempre, ay hindi totoo: ang conditional extremum point ay maaaring hindi ang ordinaryong extremum point. Hayaan akong ipaliwanag kung ano ang sinabi ko sa isang simpleng halimbawa. Ang graph ng function ay ang upper hemisphere (Appendix 3 (Fig. 3)).

Ang function na ito ay may maximum sa pinanggalingan; ang vertex ay tumutugma dito M hemispheres. Kung ang linya L may linyang dumadaan sa mga punto A At SA(ang kanyang equation x+y-1=0), pagkatapos ito ay geometrically malinaw na para sa mga punto ng linyang ito pinakamataas na halaga ang pag-andar ay nakamit sa isang puntong nakahiga sa gitna sa pagitan ng mga punto A At SA. Ito ang punto ng conditional extremum (maximum) ng function sa linyang ito; ito ay tumutugma sa punto M 1 sa hemisphere, at mula sa figure ay malinaw na walang maaaring pag-usapan ang anumang ordinaryong extremum dito.

Tandaan na sa huling bahagi ng problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang saradong rehiyon, kailangan nating hanapin ang matinding halaga ng function sa hangganan ng rehiyong ito, i.e. sa ilang linya, at sa gayon ay malulutas ang conditional extremum na problema.

Magpatuloy tayo ngayon sa praktikal na paghahanap para sa mga conditional extremum point ng function na Z= f(x, y) sa kondisyon na ang mga variable na x at y ay nauugnay sa equation (x, y) = 0. Tatawagin natin ang kaugnayang ito ng equation ng koneksyon. Kung mula sa coupling equation y ay maaaring ipahayag nang tahasan sa mga tuntunin ng x: y=(x), makakakuha tayo ng function ng isang variable Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Ang pagkakaroon ng natagpuan ang halaga x kung saan ang function na ito ay umabot sa isang extremum, at pagkatapos ay natukoy mula sa equation ng koneksyon ang kaukulang mga halaga ng y, nakuha namin ang nais na mga punto ng conditional extremum.

Kaya, sa halimbawa sa itaas, mula sa equation ng kaugnayan x+y-1=0 mayroon tayong y=1-x. Mula rito

Madaling suriin na ang z ay umabot sa maximum nito sa x = 0.5; ngunit pagkatapos ay mula sa koneksyon equation y = 0.5, at makuha namin ang eksaktong punto P, na natagpuan mula sa geometric na pagsasaalang-alang.

Ang problema ng isang conditional extremum ay napakadaling malutas kahit na ang koneksyon equation ay maaaring kinakatawan parametric equation x=x(t), y=y(t). Ang pagpapalit ng mga expression para sa x at y sa function na ito, muli tayong dumating sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable.

Kung ang coupling equation ay may higit sa kumplikadong hitsura at hindi namin maipahayag nang tahasan ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, o palitan ito ng mga parametric equation, kung gayon ang gawain ng paghahanap ng conditional extremum ay nagiging mas mahirap. Patuloy nating ipagpalagay na sa pagpapahayag ng function na z= f(x, y) ang variable (x, y) = 0. Ang kabuuang derivative ng function na z= f(x, y) ay katumbas ng:

Kung saan matatagpuan ang derivative y` gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng implicit function. Sa mga punto ng conditional extremum, ang nahanap na kabuuang derivative ay dapat na katumbas ng zero; nagbibigay ito ng isang equation na may kaugnayan sa x at y. Dahil dapat din nilang matugunan ang coupling equation, nakakakuha tayo ng sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ibahin natin ang sistemang ito sa isang mas maginhawa sa pamamagitan ng pagsulat ng unang equation sa anyo ng isang proporsyon at pagpapakilala ng isang bagong pantulong na hindi alam:

(Ang minus sign sa harap ay para sa kaginhawahan). Mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay madaling lumipat sa sumusunod na sistema:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

na, kasama ang equation ng koneksyon (x, y) = 0, ay bumubuo ng isang sistema ng tatlong equation na may mga hindi kilalang x, y at.

Ang mga equation na ito (*) ay pinakamadaling tandaan gamit ang sumusunod na panuntunan: upang makahanap ng mga punto na maaaring maging mga punto ng conditional extremum ng function.

Z= f(x, y) na may connection equation (x, y) = 0, kailangan mong bumuo ng auxiliary function

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Nasaan ang ilang pare-pareho, at lumikha ng mga equation upang mahanap ang mga extremum point ng function na ito.

Ang ipinahiwatig na sistema ng mga equation ay nagbibigay, bilang isang panuntunan, lamang ng mga kinakailangang kondisyon, i.e. hindi lahat ng pares ng mga value na x at y na nakakatugon sa sistemang ito ay kinakailangang isang conditional extremum point. Hindi ako magbibigay ng sapat na kondisyon para sa mga punto ng conditional extremum; kadalasan ang partikular na nilalaman ng problema mismo ay nagmumungkahi kung ano ang natagpuang punto. Ang inilarawang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa isang conditional extremum ay tinatawag na Lagrange multiplier method.

Hayaang tukuyin ang function na z - /(x, y) sa ilang domain D at hayaan ang Mo(xo, Vo) na maging interior point ng domain na ito. Kahulugan. Kung mayroong isang numero na para sa lahat ng nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kung gayon ang puntong Mo(xo, y) ay tinatawag na lokal na pinakamataas na punto ng function na f(x, y); kung para sa lahat ng Dx, Du, nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon | pagkatapos ang puntong Mo(xo,yo) ay tinatawag na manipis na lokal na minimum. Sa madaling salita, ang puntong M0(x0, y0) ay isang punto ng maximum o minimum ng function na f(x, y) kung mayroong 6-kapitbahayan ng puntong A/o(x0, y0) nang sa gayon ay puntos M(x, y) nito sa kapitbahayan, ang pagtaas ng function ay nagpapanatili ng tanda nito. Mga halimbawa. 1. Para sa function point - minimum point (Fig. 17). 2. Para sa function, ang point 0(0,0) ay ang maximum point (Fig. 18). 3. Para sa isang function, ang point 0(0,0) ay isang lokal na maximum point. 4 Sa katunayan, mayroong isang kapitbahayan ng puntong 0(0, 0), halimbawa, isang bilog na radius j (tingnan ang Fig. 19), sa anumang punto kung saan, naiiba sa puntong 0(0,0), ang halaga ng function /(x,y) mas mababa sa 1 = Isasaalang-alang lamang namin ang mga punto ng mahigpit na maximum at minimum ng mga function kapag ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay o mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa lahat ng mga puntos M(x) y) mula sa ilang nabutas na 6-kapitbahayan ng puntong Mq. Ang halaga ng isang function sa pinakamataas na punto ay tinatawag na maximum, at ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag na minimum ng function na ito. Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point ng function, at ang maximum at minimum ng function mismo ay tinatawag na extrema nito. Theorem 11 (kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung ang Extremum function ay isang function ng ilang Konsepto ng Variable extremum ng isang function ng ilang variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga pag-andar ay may isang extremum sa punto at sa puntong ito ang bawat bahagyang derivative u ay naglalaho o wala. Hayaang sa puntong M0(x0, yо) ang Function z = f(x) y) ay may extremum. Bigyan natin ang variable y ang halaga yo. Pagkatapos ang function na z = /(x, y) ay magiging function ng isang variable x\ Dahil sa x = xo ito ay may extremum (maximum o minimum, Fig. 20), kung gayon ang derivative nito na may kinalaman sa x = "o, | (*o,l>)" Katumbas ng sero o wala. Katulad nito, kumbinsido tayo na) ay alinman sa katumbas ng sero o wala. Ang mga punto kung saan = 0 at χ = ​​0 o wala ay tinatawag na kritikal mga punto ng function z = Dx, y). Ang mga punto kung saan $£ = φ = 0 ay tinatawag ding mga nakatigil na punto ng function. Ang Theorem 11 ay nagpapahayag lamang ng mga kinakailangang kondisyon para sa extremum, na hindi sapat. Halimbawa. Function Fig 18 Fig. 20 immt derivatives na naglalaho sa Ngunit ang function na ito ay manipis sa imvat ng strum. Sa katunayan, ang function ay katumbas ng zero sa puntong 0(0,0) at kumukuha ng mga positibong coefficient sa mga puntos na M(x, y), arbitraryong malapit sa puntong 0(0,0), at mga negatibong halaga. Para dito sa mga punto sa mga punto (0, y) para sa arbitraryong maliit na Point 0(0,0) ng ipinahiwatig na uri ay tinatawag na mini- max point (Larawan 21). Ang sapat na mga kondisyon para sa extremum ng isang function ng dalawang variable ay ipinahayag bilang sumusunod na theorem. Theorem 12 (sapat na kundisyon para sa extremum ng function ng ζ xy variables). Hayaang ang point Mo(xo» V0 ) ay isang nakatigil na punto ng function na f(x, y), at sa ilang kapitbahayan ng puntong /, kasama ang mismong puntong Mo, ang function na f(z, y ) ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa pangalawang order na kasama. Pagkatapos". sa puntong Mo(xo, V0) ang function /(xo, y) ay walang extremum kung D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ang extremum ng function na f(x, y) ay maaaring umiiral o hindi. Sa kasong ito, kinakailangan ang karagdagang pananaliksik. Limitahan natin ang ating sarili sa pagpapatunay ng mga pahayag 1) at 2) ng teorama. Isulat natin ang second-order Taylor formula para sa function /(i, y): kung saan. Ayon sa kondisyon, malinaw na ang sign ng increment D/ ay tinutukoy ng sign ng trinomial sa kanang bahagi ng (1), ibig sabihin, ang sign ng second differential d2f. Tukuyin natin ito para sa kaiklian. Pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (l) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: Hayaan sa puntong MQ(so, V0) mayroon tayo... Dahil, ayon sa kondisyon, ang pangalawang-order na partial derivatives ng function na f(s, y) ay tuloy-tuloy, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (3) ay magkakaroon din sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(s0,yo). Kung ang kundisyon ay nasiyahan (sa punto А/0, at sa bisa ng pagpapatuloy ng derivative /,z(s,y) ay mananatili ang sign nito sa ilang kapitbahayan ng puntong Af0. Sa rehiyon kung saan А Ф 0, mayroon kaming Malinaw mula dito na kung ang ЛС - В2 > 0 sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(x0) y0), kung gayon ang tanda ng trinomial AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ay tumutugma sa tanda ng A sa punto (kaya , V0) (pati na rin sa tanda ng C, dahil para sa AC - B2 > 0 A at C ay hindi maaaring magkaroon ng magkakaibang mga palatandaan). Dahil ang tanda ng kabuuan na AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 sa punto (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) ay tumutukoy sa tanda ng pagkakaiba, dumating tayo sa sumusunod na konklusyon: kung para sa function /(s,y) sa ang nakatigil na punto (s0, V0) na kondisyon, pagkatapos ay para sa sapat na maliit || masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, sa punto (sq, V0) ang function /(s, y) ay may maximum. Kung ang kondisyon ay nasiyahan sa nakatigil na punto (s0, y0), pagkatapos ay para sa lahat ng sapat na maliit |Dr| at |Du| ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, na nangangahulugan na sa punto (so, yo) ang function /(s, y) ay may pinakamababa. Mga halimbawa. 1. Siyasatin ang function para sa isang extremum 4 Gamit ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, hinahanap namin ang mga nakatigil na punto ng function. Upang gawin ito, hinahanap namin ang mga partial derivatives u at itinutumbas ang mga ito sa zero. Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation mula sa kung saan - isang nakatigil na punto. Gamitin natin ngayon ang Theorem 12. Mayroon tayong Ito ay nangangahulugan na mayroong isang extremum sa punto Ml. Dahil ito ang pinakamababa. Kung ibahin natin ang function r upang mabuo, madaling makita iyon kanang bahagi(“) ay magiging minimal kapag ang absolute minimum ng function na ito. 2. Suriin ang function para sa isang extremum. Nakahanap kami ng mga nakatigil na punto ng function, kung saan binubuo namin ang isang sistema ng mga equation. Kaya, upang ang punto ay nakatigil. Dahil, sa bisa ng Theorem 12, walang extremum sa point M. * 3. Siyasatin ang extremum ng function. Hanapin ang mga nakatigil na punto ng function. Mula sa sistema ng mga equation ay nakuha natin iyon, kaya ang punto ay nakatigil. Susunod na mayroon tayo na ang Theorem 12 ay hindi sumasagot sa tanong tungkol sa pagkakaroon o kawalan ng isang extremum. Gawin natin ito sa ganitong paraan. Para sa isang function tungkol sa lahat ng mga puntos na naiiba mula sa punto kaya, sa pamamagitan ng kahulugan, at ang puntong A/o(0,0) ang function r ay may ganap na minimum. Sa pamamagitan ng mga katulad na kalkulasyon, itinatag namin na ang function ay may maximum sa punto, ngunit ang function ay walang extremum sa punto. Hayaan ang isang function ng n independiyenteng mga variable na maging differentiable sa isang punto. Point Mo ay tinatawag na isang nakatigil na punto ng function kung Theorem 13 (hanggang sa sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaang tukuyin ang function at magkaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng pangalawang order sa ilang kapitbahayan ng fine Mt(xi..., na isang stationary fine function kung ang quadratic form (ang pangalawang differential ng function f sa fine ay positive definite (negative definite), ang minimum point (respectively, fine maximum) ng function f ay maayos Kung ang quadratic form (4) ay alternating in sign, kung gayon walang extremum sa fine LG0. Upang matukoy kung ang quadratic ang form (4) ay magiging positibo o negatibong tiyak, maaari mong gamitin, halimbawa, ang Sylvester criterion para sa positibong (negatibong) katiyakan ng quadratic form. 15.2 Conditional extremum Hanggang ngayon, hinahanap namin ang mga lokal na sukdulan isang function sa buong domain ng kahulugan nito, kapag ang mga argumento ng function ay hindi nakatali sa anumang karagdagang kundisyon. Ang ganitong extrema ay tinatawag na unconditional. Gayunpaman, madalas may mga problema sa paghahanap ng tinatawag na conditional extrema. Hayaang tukuyin ang function na z = /(x, y) sa domain na D. Ipagpalagay natin na ang isang curve L ay ibinigay sa domain na ito, at kailangan nating hanapin ang extrema ng function na f(x> y) sa mga iyon lamang. ng mga halaga nito na tumutugma sa mga punto ng curve L. Ang parehong extrema ay tinatawag na conditional extrema ng function z = f(x) y) sa curve L. Depinisyon Sinasabi nila na sa isang puntong nakahiga sa curve L , ang function na f(x, y) ay may conditional maximum (minimum) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa lahat ng mga puntong M (s, y) y) curve L, na kabilang sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(x0, V0) at iba't ibang mula sa puntong M0 (Kung ang curve L ay ibinigay ng isang equation, kung gayon ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng function r - f(x,y) sa curve! ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: find extrema ng function x = /(z, y) sa rehiyon D, sa kondisyon na Kaya, kapag hinahanap ang conditional extrema ng function na z = y), ang mga argumento ng wildebeest ay hindi na maaaring ituring bilang mga independiyenteng variable: ang mga ito ay nauugnay sa isa't isa ng kaugnayan y) = 0, na tinatawag na connection equation. Upang linawin ang pagkakaiba sa pagitan ng unconditional at conditional extremum, tingnan natin ang isang halimbawa kung saan ang unconditional maximum ng function (Fig. 23) ay katumbas ng isa at nakamit sa punto (0,0). Ito ay tumutugma sa point M - ang vertex ng pvvboloid. Idagdag natin ang connection equation na y = j. Kung gayon ang maximum na kondisyon ay malinaw na magiging katumbas nito. Naabot ito sa punto (o,|), at tumutugma ito sa vertex Afj ng bola, na siyang linya ng intersection ng bola sa eroplanong y = j. Sa kaso ng unconditional mvximum, mayroon kaming mvximum applicate sa lahat ng vpplicvt ng surface * = 1 - l;2 ~ y1; summvv conditional - kabilang lamang sa mga vllikvt point na pvraboloidv, na tumutugma sa punto* ng tuwid na linya y = j hindi ang xOy plane. Ang isa sa mga pamamaraan para sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function sa presensya at koneksyon ay ang mga sumusunod. Hayaan ang connection equation na y) - O tukuyin ang y bilang isang natatanging function na naiba-iba ng argument x: Ang pagpapalit ng function sa halip na y sa function, makakakuha tayo ng function ng isang argument kung saan ang kundisyon ng koneksyon ay isinasaalang-alang na. Ang (unconditional) extremum ng function ay ang gustong conditional extremum. Halimbawa. Hanapin ang extremum ng isang function sa ilalim ng kundisyon Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function A Mula sa equation ng koneksyon (2") nakita namin ang y = 1-x. Ang pagpapalit ng halagang ito na y sa (V), makakakuha tayo ng function ng isang argumentong x: Suriin natin ito para sa extremum: kung saan ang x = 1 ang kritikal na punto; , upang makapagbigay ito ng kondisyon na minimum ng function r (Fig. 24). Ipahiwatig natin ang isa pang paraan upang malutas ang conditional extremum na problema, na tinatawag na Lagrange multiplier method. Hayaang magkaroon ng conditional extremum point ng isang function sa pagkakaroon ng isang koneksyon. Ipagpalagay natin na ang connection equation ay tumutukoy sa isang natatanging patuloy na differentiable function sa isang partikular na kapitbahayan ng point xx. Isinasaalang-alang na nakuha natin na ang derivative na may kinalaman sa x ng function /(r, ip(x)) sa puntong xq ay dapat na katumbas ng zero o, na katumbas nito, ang differential ng f(x, y) sa ang puntong Mo" O ay dapat na katumbas ng zero ) Mula sa equation ng koneksyon na mayroon tayo (5) Pag-multiply ng huling pagkakapantay-pantay sa isang hindi pa natukoy na numerical factor A at pagdaragdag ng term sa pamamagitan ng term na may pagkakapantay-pantay (4), magkakaroon tayo (ipagpalagay natin na ).Pagkatapos, dahil sa arbitrariness ng dx, nakakakuha tayo ng Equalities (6) at (7) na nagpapahayag ng mga kinakailangang kondisyon para sa unconditional extremum sa punto ng function na tinatawag na Lagrange function. Kaya, ang conditional extremum point ng function /(x, y), kung, ay kinakailangang isang nakatigil na punto ng Lagrange function kung saan ang A ay isang tiyak na numerical coefficient. Mula dito ay nakakuha tayo ng panuntunan para sa paghahanap ng conditional extrema: upang mahanap ang mga punto na maaaring maging mga punto ng pangkalahatang extremum ng isang function sa pagkakaroon ng isang koneksyon: 1) binubuo namin ang Lagrange function, 2) sa pamamagitan ng equating ang mga derivatives at U ng function na ito sa zero at pagdaragdag ng connection equation sa mga resultang equation, nakakakuha kami ng isang sistema ng tatlong equation kung saan nakita namin ang mga halaga ng A at mga coordinate x, y posibleng extremum point. Ang tanong ng pagkakaroon at likas na katangian ng conditional extremum ay nalutas batay sa pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function para sa isinasaalang-alang na sistema ng mga halaga x0, V0, A, nakuha mula sa (8) sa kondisyon na Kung , pagkatapos ay sa puntong (x0, V0) ang function /(x, y ) ay may conditional maximum; kung d2F > 0 - pagkatapos ay isang kondisyon na minimum. Sa partikular, kung sa isang nakatigil na punto (xo, J/o) ang determinant D para sa function na F(x, y) ay positibo, pagkatapos ay sa punto (®o, V0) mayroong isang conditional maximum ng function na f( x, y), kung at kondisyon na minimum ng function /(x, y), kung Halimbawa. Balikan natin muli ang mga kondisyon ng nakaraang halimbawa: hanapin ang extremum ng function sa ilalim ng kondisyon na x + y = 1. Lutasin natin ang problema gamit ang Lagrange multiplier method. Lagrange function sa sa kasong ito ay may anyo Upang makahanap ng mga nakatigil na puntos, bumubuo tayo ng isang sistema Mula sa unang dalawang equation ng sistema, nakuha natin na x = y. Pagkatapos mula sa ikatlong equation ng system (ang connection equation) nakita namin na ang x - y = j ay ang mga coordinate ng posibleng extremum point. Sa kasong ito (ito ay ipinahiwatig na A = -1. Kaya, ang Lagrange function. ay ang kondisyon na pinakamababang punto ng function * = x2 + y2 sa ilalim ng kondisyon Walang unconditional extremum para sa Lagrange function. P(x, y ) ay hindi pa nangangahulugan ng kawalan ng conditional extremum para sa function /(x, y) sa pagkakaroon ng koneksyon Halimbawa: Hanapin ang extremum ng isang function sa ilalim ng kundisyong y 4 Binubuo namin ang Lagrange function at nagsusulat ng system para sa pagtukoy sa A at sa mga coordinate ng posibleng extremum point: Mula sa unang dalawang equation ay nakukuha natin ang x + y = 0 at nakarating tayo sa system mula sa kung saan ang x = y = A = 0. Kaya, ang kaukulang Lagrange function ay may anyo Sa punto (0,0) ang function na F(x, y; 0) ay walang unconditional extremum, gayunpaman, ang conditional extremum ng function r = xy. Kapag y = x, mayroong ". Sa katunayan, sa kasong ito r = x2. Mula dito ay malinaw na sa puntong (0,0) mayroong isang minimum na kondisyon. "Ang pamamaraan ng mga multiplier ng Lagrange ay inililipat sa kaso ng mga pag-andar ng anumang bilang ng mga argumento/ Hanapin natin ang extremum ng function sa pagkakaroon ng mga equation ng koneksyon Buuin ang Lagrange function kung saan ang A|, Az,..., A„, ay hindi tiyak na pare-parehong mga kadahilanan. Equating sa zero ang lahat ng first-order partial derivatives ng function F at pagdaragdag ng mga connection equation (9) sa mga resultang equation, nakakakuha tayo ng system ng n + m equation, kung saan natin tinutukoy ang Ab A3|..., At at coordinates x \) x2). » xn ng mga posibleng punto ng conditional extremum. Ang tanong kung ang mga puntos na natagpuan gamit ang pamamaraang Lagrange ay aktwal na mga punto ng isang kondisyon na labis ay kadalasang malulutas batay sa mga pagsasaalang-alang ng isang pisikal o geometriko na kalikasan. 15.3. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga pag-andar Hayaang kailanganin upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng pagpapaandar z = /(x, y), tuloy-tuloy sa ilang saradong limitadong domain D. Sa pamamagitan ng Theorem 3, sa domain na ito doon ay isang punto (xo, V0) kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga. Kung ang punto (xo, y0) ay nasa loob ng domain D, kung gayon ang function / ay may maximum (minimum) dito, kaya sa kasong ito ang punto ng interes sa amin ay nakapaloob sa mga kritikal na punto ng function /(x, y). Gayunpaman, maaaring maabot ng function /(x, y) ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga nito sa hangganan ng rehiyon. Samakatuwid, upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na kinuha ng function z = /(x, y) sa isang limitadong saradong lugar 2), kailangan mong hanapin ang lahat ng maxima (minimum) ng function na nakamit sa loob ng lugar na ito, pati na rin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa hangganan ng lugar na ito. Ang pinakamalaki (pinakamaliit) sa lahat ng mga numerong ito ay ang nais na pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function na z = /(x,y) sa rehiyon 27. Ipakita natin kung paano ito ginagawa sa kaso ng isang differentiable function. Prmmr. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function ng rehiyon 4. Nahanap namin ang mga kritikal na punto ng function sa loob ng rehiyon D. Upang gawin ito, bumuo kami ng isang sistema ng mga equation. Mula dito makuha namin ang x = y « 0, upang Ang punto 0 (0,0) ay ang kritikal na punto ng function na x. Dahil Hanapin natin ngayon ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa hangganan Г ng rehiyon D. Sa bahagi ng hangganan mayroon tayo na ang y = 0 ay isang kritikal na punto, at dahil = pagkatapos sa puntong ito ang function na z = 1 + y2 ay may pinakamababang katumbas ng isa. Sa mga dulo ng segment Г", sa mga punto (, mayroon kami. Gamit ang mga pagsasaalang-alang ng simetriya, nakukuha namin ang parehong mga resulta para sa iba pang mga bahagi ng hangganan. Sa wakas ay nakuha namin ang: pinakamaliit na halaga function z = x2+y2 sa rehiyon "B ay katumbas ng zero at ito ay nakakamit sa panloob na punto 0(0, 0) ng rehiyon, at ang pinakamataas na halaga ng function na ito, katumbas ng dalawa, ay nakakamit sa apat na puntos ng hangganan (Fig. 25) Fig. 25 Mga Pagsasanay Maghanap ng domain ng kahulugan ng mga function: Bumuo ng antas ng mga linya ng mga function: 9 Maghanap ng mga antas ng ibabaw ng mga function ng tatlong independent variable: Kalkulahin ang mga limitasyon ng mga function: Maghanap ng mga partial derivatives ng mga function at ang kanilang buong pagkakaiba : Maghanap ng mga derivatives ng kumplikadong mga function: 3 Hanapin ang J. Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function 34. Gamit ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ng dalawang variable, hanapin at mga function: 35. Gamit ang formula para sa derivative ng isang complex function ng dalawang variable, hanapin |J at functions: Hanapin ang jj function na implicitly na ibinigay: 40. Hanapin ang angular coefficient ng tangent curve sa punto ng intersection nito sa tuwid na linya x = 3. 41. Hanapin ang mga punto kung saan ang tangent ng curve x ay parallel sa Ox axis. . Sa mga sumusunod na problema, hanapin at T: Isulat ang mga equation ng tangent plane at ang normal ng surface: 49. Isulat ang mga equation ng tangent plane ng surface x2 + 2y2 + 3z2 = 21, parallel sa plane x + 4y + 6z = 0. Hanapin ang unang tatlo o apat na termino ng pagpapalawak gamit ang Taylor formula : 50. y sa paligid ng punto (0, 0). Gamit ang kahulugan ng extremum ng isang function, suriin ang mga sumusunod na function para sa extremum:). Gamit ang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function ng dalawang variable, suriin ang extremum ng function: 84. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function z = x2 - y2 sa isang closed circle 85. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function * = x2y(4-x-y) sa isang tatsulok na may hangganan ng mga tuwid na linya x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Tukuyin ang mga sukat ng isang hugis-parihaba na bukas na pool na may pinakamaliit na ibabaw, sa kondisyon na ang volume nito ay katumbas ng V. 87. Hanapin ang mga sukat ng isang parihabang parallelepiped na may pinakamataas na volume na ibinigay sa kabuuang ibabaw 5. Mga sagot 1. at | Isang parisukat na nabuo ng mga segment ng linya x kasama ang mga gilid nito. 3. Pamilya ng concentric rings 2= 0,1,2,... .4. Ang buong eroplano maliban sa mga punto sa mga tuwid na linya. Bahagi ng eroplano na matatagpuan sa itaas ng parabola y = -x?. 8. Mga punto ng bilog x. Ang buong eroplano maliban sa mga tuwid na linya x Ang radikal na expression ay hindi negatibo sa dalawang kaso j * ^ o j x ^ ^ na katumbas ng isang walang katapusang serye ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ayon sa pagkakabanggit. Ang domain ng kahulugan ay may kulay na mga parisukat (Fig. 26); l na katumbas ng isang walang katapusang serye Ang function ay tinukoy sa mga puntos. a) Mga tuwid na linya na kahanay ng tuwid na linya x b) mga concentric na bilog na ang gitna ay nasa pinanggalingan. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hyperbolas | .Eroplano xc. 13.Prime - single-cavity hyperboloids ng pag-ikot sa paligid ng Oz axis; kapag at mga dalawang-sheet na hyperboloids ng pag-ikot sa paligid ng Oz axis, ang parehong mga pamilya ng mga ibabaw ay pinaghihiwalay ng isang kono; Walang limitasyon, b) 0. 18. Itakda natin ang y = kxt pagkatapos z lim z = -2, kaya ang ibinigay na function sa punto (0,0) ay walang limitasyon. 19. a) Punto (0,0); b) punto (0,0). 20. a) Break line - bilog x2 + y2 = 1; b) ang break line ay ang tuwid na linya y = x. 21. a) Break lines - coordinate axes Ox at Oy; b) 0 (empty set). 22. Lahat ng mga puntos (m, n), kung saan at n ay mga integer

Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa extremum ng mga function ng dalawang variable. Ang isang punto ay tinatawag na isang minimum (maximum) na punto ng isang function kung sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto ang function ay tinukoy at natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay (ayon sa pagkakabanggit, ang maximum at minimum na mga puntos ay tinatawag na extremum point ng function.

Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Kung sa isang extremum point ang isang function ay may unang partial derivatives, pagkatapos ay maglaho ang mga ito sa puntong ito. Kasunod nito na upang mahanap ang mga extremum point ng naturang function, dapat lutasin ng isa ang isang sistema ng mga equation.Ang mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa sistemang ito ay tinatawag na mga kritikal na punto ng function. Kabilang sa mga ito ay maaaring may pinakamataas na puntos, pinakamababang puntos, at mga puntos din na hindi matinding puntos.

Ang sapat na extremum na kundisyon ay ginagamit upang matukoy ang extremum na mga punto mula sa isang hanay ng mga kritikal na punto at nakalista sa ibaba.

Hayaan ang function na magkaroon ng tuloy-tuloy na pangalawang partial derivatives sa kritikal na punto. Kung sa puntong ito

kondisyon kung gayon ito ay isang minimum na punto sa at isang pinakamataas na punto sa Kung sa isang kritikal na punto kung gayon ito ay hindi isang matinding punto. Sa kasong ito, ang isang mas banayad na pag-aaral ng likas na katangian ng kritikal na punto ay kinakailangan, na sa kasong ito ay maaaring o hindi maaaring isang extremum point.

Extrema ng mga function ng tatlong variable. Sa kaso ng isang function ng tatlong variable, ang mga kahulugan ng extremum point ay inuulit sa verbatim ang kaukulang mga kahulugan para sa isang function ng dalawang variable. Nililimitahan namin ang aming sarili sa paglalahad ng pamamaraan para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum. Kapag nilulutas ang isang sistema ng mga equation, dapat isa mahanap ang mga kritikal na punto ng function, at pagkatapos ay sa bawat isa sa mga kritikal na punto kalkulahin ang mga halaga

Kung ang lahat ng tatlong dami ay positibo, kung gayon ang kritikal na puntong pinag-uusapan ay ang pinakamababang punto; kung gayon ang kritikal na puntong ito ay isang pinakamataas na punto.

Conditional extremum ng isang function ng dalawang variable. Ang isang punto ay tinatawag na isang kondisyon na minimum (maximum) na punto ng isang function sa kondisyon na mayroong isang kapitbahayan ng punto kung saan ang function ay tinukoy at kung saan (ayon sa pagkakabanggit) para sa lahat ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation

Upang makahanap ng mga conditional extremum point, gamitin ang Lagrange function

kung saan ang numero ay tinatawag na Lagrange multiplier. Paglutas ng isang sistema ng tatlong equation

hanapin ang mga kritikal na punto ng Lagrange function (pati na rin ang halaga ng auxiliary factor A). Sa mga kritikal na puntong ito ay maaaring magkaroon ng conditional extremum. Ang sistema sa itaas ay nagbibigay lamang ng mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ngunit hindi sapat: maaari itong masiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga punto na hindi mga punto ng isang conditional extremum. Gayunpaman, batay sa kakanyahan ng problema, madalas na posible upang matukoy ang likas na katangian ng kritikal na punto.

Conditional extremum ng isang function ng ilang variable. Isaalang-alang natin ang pag-andar ng mga variable sa ilalim ng kondisyon na ang mga ito ay nauugnay sa pamamagitan ng mga equation