Tingnan kung ano ang "CONDITIONAL EXTREME" sa iba pang mga diksyunaryo:

Relative extremum, extremum ng isang function f (x1,..., xn + m) mula sa n + m variable sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga variable na ito ay napapailalim din sa m connection equation (kondisyon): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (tingnan ang Extremum).… …

Hayaang bukas ang set at ibinigay ang mga function. Hayaan. Ang mga equation na ito ay tinatawag na constraint equation (ang terminolohiya ay hiniram mula sa mechanics). Hayaang tukuyin ang isang function sa G... Wikipedia

- (mula sa Latin na extreme extreme) ang halaga ng tuluy-tuloy na function na f (x), na maaaring maximum o minimum. Mas tiyak: ang isang function na f (x) na tuluy-tuloy sa isang puntong x0 ay may maximum (minimum) sa x0 kung mayroong isang neighborhood (x0 + δ, x0 δ) ng puntong ito,... ... Great Soviet Encyclopedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Extremum (mga kahulugan). Ang Extremum (lat. extreme extreme) sa matematika ay ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set. Ang punto kung saan naabot ang extremum... ... Wikipedia

Ginagamit ang function kapag nilulutas ang mga problema sa conditional extreme function ng maraming variable at functional. Sa tulong ni L. f. ay naitala mga kinakailangang kondisyon pinakamainam sa mga problema sa conditional extremum. Sa kasong ito, hindi kinakailangan na ipahayag lamang ang mga variable... Mathematical Encyclopedia

Isang disiplina sa matematika na nakatuon sa paghahanap ng matinding (pinakamalaking at pinakamaliit) na mga halaga ng mga pag-andar ng mga variable na nakasalalay sa pagpili ng isa o higit pang mga pag-andar. Sa at. ay isang likas na pag-unlad ng kabanatang iyon... ... Great Soviet Encyclopedia

Mga variable, sa tulong ng kung saan ang Lagrange function ay itinayo kapag nag-aaral ng mga problema sa isang conditional extremum. Ang paggamit ng mga linear na pamamaraan at ang Lagrange function ay nagbibigay-daan sa amin upang makuha ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality sa mga problemang kinasasangkutan ng conditional extremum sa isang pare-parehong paraan... Mathematical Encyclopedia

Ang Calculus of Variations ay isang sangay ng functional analysis na nag-aaral ng mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang problema sa calculus ng mga variation ay ang paghahanap ng isang function kung saan ang isang ibinigay na functional ay nakakamit... ... Wikipedia

Isang sangay ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paghahanap ng extrema ng mga functional na nakasalalay sa pagpili ng isa o ilang mga function sa ilalim ng iba't ibang uri ng mga paghihigpit (phase, differential, integral, atbp.) na ipinataw sa mga ito... ... Mathematical Encyclopedia

Ang Calculus of Variations ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang problema sa calculus ng mga variation ay upang mahanap ang function kung saan ang functional ay umabot sa isang matinding halaga. Pamamaraan... ...Wikipedia

Mga libro

• Mga lektura sa teorya ng kontrol. Volume 2. Pinakamainam na kontrol, V. Boss. Ang mga klasikal na problema ng pinakamainam na teorya ng kontrol ay isinasaalang-alang. Nagsisimula ang pagtatanghal sa mga pangunahing konsepto ng pag-optimize sa mga may hangganang dimensyon na espasyo: conditional at unconditional extremum,...

Halimbawa

Hanapin ang extremum ng function na ibinigay na X At sa ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan: . Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugang ang mga sumusunod: sa isang tambilugan
eroplano
.

Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ganitong paraan: mula sa equation
nahanap namin
X:

sa kondisyon na
, nabawasan sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable sa pagitan
.

Sa geometriko, ang problema ay nangangahulugang ang mga sumusunod: sa isang tambilugan , nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa silindro
eroplano
, kailangan mong hanapin ang maximum o minimum na halaga ng applicate (Larawan.9). Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ganitong paraan: mula sa equation
nahanap namin
. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga ng y sa equation ng eroplano, nakakakuha tayo ng function ng isang variable X:

Kaya, ang problema ng paghahanap ng extremum ng function
sa kondisyon na
, nabawasan sa problema ng paghahanap ng extremum ng isang function ng isang variable sa isang interval.

Kaya, ang problema ng paghahanap ng conditional extremum– ito ang problema sa paghahanap ng extremum ng objective function
, sa kondisyon na ang mga variable X At sa napapailalim sa paghihigpit
, tinawag equation ng koneksyon.

Sabihin na natin tuldok
, nagbibigay-kasiyahan sa coupling equation, ay ang punto ng local conditional maximum (minimum), kung mayroong isang kapitbahayan
tulad na para sa anumang mga puntos
, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation ng koneksyon, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan.

Kung mula sa coupling equation ay makakahanap ng expression para sa sa, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression na ito sa orihinal na function, ginagawa namin ang huli sa isang kumplikadong function ng isang variable X.

Ang pangkalahatang paraan para sa paglutas ng conditional extremum na problema ay Paraan ng Lagrange multiplier. Gumawa tayo ng auxiliary function, kung saan ─ ilang numero. Ang function na ito ay tinatawag na Lagrange function, A ─ Lagrange multiplier. Kaya, ang gawain ng paghahanap ng conditional extremum ay nabawasan sa paghahanap ng mga lokal na extremum point para sa Lagrange function. Upang makahanap ng mga posibleng extremum point, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam x, y At.

Pagkatapos ay dapat mong gamitin ang sumusunod na sapat na kondisyon para sa isang extremum.

TEOREM. Hayaang ang punto ay isang posibleng extremum point para sa Lagrange function. Ipagpalagay natin na sa paligid ng punto
may mga tuloy-tuloy na partial derivatives ng pangalawang order ng mga function At . Tukuyin natin

Tapos kung
, Iyon
─ conditional extremum point ng function
kasama ang coupling equation
sa kasong ito, kung
, Iyon
─ kondisyon na pinakamababang punto, kung
, Iyon
─ kondisyon na pinakamataas na punto.

§8. Gradient at directional derivative

Hayaan ang function
tinukoy sa ilang (bukas) na rehiyon. Isaalang-alang ang anumang punto
ang lugar na ito at anumang direktang tuwid na linya (axis) , na dumadaan sa puntong ito (Larawan 1). Hayaan
- ibang punto sa axis na ito,
– haba ng segment sa pagitan
At
, kinuha na may plus sign, kung ang direksyon
tumutugma sa direksyon ng axis , at may minus sign kung magkasalungat ang kanilang mga direksyon.

Hayaan
lumalapit nang walang katapusan
. Limitahan

tinawag derivative ng isang function
patungo sa (o kasama ang axis ) at tinutukoy bilang mga sumusunod:

.

Tinutukoy ng derivative na ito ang "rate ng pagbabago" ng function sa punto
patungo sa . Sa partikular, ang mga ordinaryong partial derivatives ,maaari ding isipin bilang mga derivatives "may paggalang sa direksyon".

Ipagpalagay natin ngayon na ang function
ay may tuluy-tuloy na partial derivatives sa rehiyong isinasaalang-alang. Hayaan ang axis bumubuo ng mga anggulo na may mga coordinate axes
At . Sa ilalim ng mga pagpapalagay na ginawa, ang directional derivative umiiral at ipinahayag ng pormula

.

Kung ang vector
ibinigay ng mga coordinate nito
, pagkatapos ay ang derivative ng function
sa direksyon ng vector
maaaring kalkulahin gamit ang formula:

.

Vector na may mga coordinate
tinawag gradient vector mga function
sa punto
. Ang gradient vector ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pinakamabilis na pagtaas ng function sa isang naibigay na punto.

Halimbawa

Dahil sa isang function, point A(1, 1) at vector
. Hanapin ang: 1)grad z sa punto A; 2) derivative sa point A sa direksyon ng vector .

Mga partial derivatives ng isang ibinigay na function sa isang punto
:

;
.

Pagkatapos ang gradient vector ng function sa puntong ito ay:
. Ang gradient vector ay maaari ding isulat gamit ang vector decomposition At :

. Derivative ng isang function sa direksyon ng vector :

Kaya,
,
.◄

Conditional extremum.

Extrema ng isang function ng ilang variable

Pinakamababang parisukat na pamamaraan.

Lokal na extremum ng FNP

Hayaang maibigay ang function At= f(P), РÎDÌR n at hayaang ituro ang P 0 ( A 1 , A 2 , ..., isang p) –panloob punto ng set D.

Kahulugan 9.4.

1) Point P 0 ay tinatawag pinakamataas na punto mga function At= f(P), kung mayroong kapitbahayan ng puntong ito U(P 0) М D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , nasiyahan ang kondisyon f(P)£ f(P 0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum ng function at itinalaga f(P0) = max f(P) .

2) Point P 0 ay tinatawag pinakamababang punto mga function At= f(P), kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0)Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , nasiyahan ang kondisyon f(P)³ f(P 0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamababang punto ay tinatawag pinakamababang function at itinalaga f(P 0) = min f(P).

Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ng isang function matinding puntos, ang mga halaga ng function sa mga extrema point ay tinatawag extrema ng function.

Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay f(P)£ f(P 0), f(P)³ f Ang (P 0) ay dapat masiyahan lamang sa isang partikular na kapitbahayan ng puntong P 0, at hindi sa buong domain ng kahulugan ng function, na nangangahulugan na ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema ng parehong uri (maraming minima, ilang maxima) . Samakatuwid, ang extrema na tinukoy sa itaas ay tinatawag lokal(lokal) extremes.

Theorem 9.1 (kinakailangang kondisyon para sa extremum ng FNP)

Kung ang function At= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ay may extremum sa puntong P 0 , kung gayon ang mga partial derivatives ng unang-order nito sa puntong ito ay maaaring katumbas ng zero o wala.

Patunay. Hayaan sa puntong P 0 ( A 1 , A 2 , ..., isang p) function At= f(P) ay may isang extremum, halimbawa, isang maximum. Ayusin natin ang mga argumento X 2 , ..., x n, paglalagay X 2 =A 2 ,..., x n = isang p. Pagkatapos At= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., isang p) ay isang function ng isang variable X 1 . Dahil ang function na ito ay may X 1 = A 1 extremum (maximum), pagkatapos f 1 ¢=0o wala kapag X 1 =A 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng isang variable). Ngunit, iyon ay nangangahulugan o wala sa puntong P 0 - ang extremum point. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang mga partial derivatives na may paggalang sa iba pang mga variable. CTD.

Ang mga punto sa domain ng isang function kung saan ang mga first-order na partial derivative ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na puntos function na ito.

Tulad ng sumusunod mula sa Theorem 9.1, ang mga extremum point ng FNP ay dapat hanapin sa mga kritikal na punto ng function. Ngunit, para sa isang function ng isang variable, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point.

Theorem 9.2 (sapat na kondisyon para sa extremum ng FNP)

Hayaan ang P 0 ang kritikal na punto ng function At= f(P) at ay ang second order differential ng function na ito. Pagkatapos

at kung d 2 u(P 0) > 0 sa , pagkatapos ay ang P 0 ay isang punto pinakamababa mga function At= f(P);

b) kung d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum mga function At= f(P);

c) kung d 2 u Ang (P 0) ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng pag-sign, kung gayon ang P 0 ay hindi isang extremum point;

Isasaalang-alang namin ang teorama na ito nang walang patunay.

Tandaan na hindi isinasaalang-alang ng theorem ang kaso kung kailan d 2 u(P 0) = 0 o wala. Nangangahulugan ito na ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa punto P 0 sa ilalim ng naturang mga kondisyon ay nananatiling bukas - kailangan namin karagdagang pananaliksik, halimbawa, pag-aaral ng pagtaas ng isang function sa puntong ito.

Sa mas detalyadong mga kurso sa matematika ito ay napatunayan na, sa partikular para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable, ang second order differential nito ay kabuuan ng form

ang pag-aaral ng pagkakaroon ng isang extremum sa kritikal na punto P 0 ay maaaring gawing simple.

Tukuyin natin ang , , . Bumuo tayo ng determinant

.

Kinalabasan:

d 2 z> 0 sa puntong P 0, ibig sabihin. P 0 – pinakamababang punto, kung A(P 0) > 0 at D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

kung D(P 0)< 0, то d 2 z sa paligid ng point P 0 nagbabago ito ng sign at walang extremum sa point P 0;

kung D(Р 0) = 0, kung gayon ang mga karagdagang pag-aaral ng function sa paligid ng kritikal na punto Р 0 ay kinakailangan din.

Kaya, para sa pag-andar z = f(x,y) ng dalawang variable mayroon kaming sumusunod na algorithm (tawagin natin itong "algorithm D") para sa paghahanap ng extremum:

1) Hanapin ang domain ng kahulugan D( f) mga function.

2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. puntos mula sa D( f), kung saan at katumbas ng zero o wala.

3) Sa bawat kritikal na punto P 0 check sapat na kondisyon sukdulan. Upang gawin ito, hanapin , kung saan , , at kalkulahin ang D(P 0) at A(P 0).Pagkatapos:

kung D(P 0) >0, pagkatapos ay sa puntong P 0 mayroong extremum, at kung A(P 0) > 0 – ito ang pinakamababa, at kung A(P 0)< 0 – максимум;

kung D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Kung D(P 0) = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

4) Sa mga nakitang extremum point, kalkulahin ang halaga ng function.

Halimbawa 1.

Hanapin ang extremum ng function z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Solusyon. Ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong coordinate plane. Maghanap tayo ng mga kritikal na punto.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Suriin natin kung ang mga sapat na kondisyon para sa extremum ay natutugunan. Hahanapin natin

6X, = -3, = 48sa At = 288xy – 9.

Pagkatapos D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – sa point Р 1 mayroong extremum, at dahil A(P 1) = 3 >0, kung gayon ang extremum na ito ay isang minimum. Kaya min z=z(P 1) = .

Halimbawa 2.

Hanapin ang extremum ng function .

Solusyon: D( f) =R 2 . Mga kritikal na puntos: ; ay hindi umiiral kapag sa= 0, na nangangahulugang P 0 (0,0) ang kritikal na punto ng function na ito.

2, = 0, = , = , ngunit hindi tinukoy ang D(P 0), kaya imposibleng pag-aralan ang sign nito.

Para sa parehong dahilan, imposibleng direktang ilapat ang Theorem 9.2 - d 2 z ay wala sa puntong ito.

Isaalang-alang natin ang pagtaas ng function f(x, y) sa puntong P 0. Kung si D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, kung gayon ang P 0 ang pinakamababang punto, ngunit kung D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Sa aming kaso mayroon kami

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Sa D x= 0.1 at D y= -0.008 nakukuha natin ang D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 at D y= 0.001 D f= 0.01 + 0.1 > 0, ibig sabihin. sa paligid ng punto P 0 alinman sa kondisyon D ay hindi natutugunan f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) at samakatuwid ang P 0 ay hindi isang maximum na punto), o kundisyon D f>0 (ibig sabihin. f(x, y) > f(0, 0) at pagkatapos ay ang P 0 ay hindi pinakamababang punto). Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang extremum, function na ito walang extremes.

Conditional extremum.

Ang itinuturing na extremum ng function ay tinatawag walang kondisyon, dahil walang mga paghihigpit (kondisyon) na ipinapataw sa mga argumento ng function.

Kahulugan 9.2. Extremum ng function At = f(X 1 , X 2 , ... , x n), natagpuan sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito X 1 , X 2 , ... , x n matugunan ang mga equation j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kung saan ang P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), tinawag conditional extremum .

Mga Equation j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Tingnan natin ang mga pag-andar z = f(x,y) dalawang variable. Kung ang equation ng koneksyon ay isa, i.e. , pagkatapos ay ang paghahanap ng conditional extremum ay nangangahulugan na ang extremum ay hinahanap hindi sa buong domain ng kahulugan ng function, ngunit sa ilang curve na nasa D( f) (ibig sabihin, hindi ito ang pinakamataas o pinakamababang punto ng ibabaw ang hinahanap z = f(x,y), at ang pinakamataas o pinakamababang punto sa mga punto ng intersection ng ibabaw na ito sa silindro, Fig. 5).

Conditional extremum ng isang function z = f(x,y) ng dalawang variable ay matatagpuan sa sumusunod na paraan( paraan ng pag-aalis). Mula sa equation, ipahayag ang isa sa mga variable bilang isang function ng isa pa (halimbawa, isulat ) at, palitan ang value na ito ng variable sa function, isulat ang huli bilang isang function ng isang variable (sa kaso na isinasaalang-alang ). Hanapin ang extremum ng resultang function ng isang variable.

Extrema ng mga function ng ilang mga variable. Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Sapat na kondisyon para sa isang extremum. Conditional extremum. Paraan ng Lagrange multiplier. Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Lektura 5.

Kahulugan 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamataas na punto mga function z = f (x, y), Kung f (x o , y o) > f(x,y) para sa lahat ng puntos (x, y) M 0.

Kahulugan 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) tinawag pinakamababang punto mga function z = f (x, y), Kung f (x o , y o) < f(x,y) para sa lahat ng puntos (x, y) mula sa ilang kapitbahayan ng isang punto M 0.

Tandaan 1. Tinatawag ang pinakamataas at pinakamababang puntos matinding puntos mga function ng ilang mga variable.

Puna 2. Ang extremum point para sa isang function ng anumang bilang ng mga variable ay tinutukoy sa katulad na paraan.

Teorama 5.1(mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung M 0 (x 0, y 0)– matinding punto ng pag-andar z = f (x, y), pagkatapos sa puntong ito ang unang-order na bahagyang derivatives ng function na ito ay katumbas ng zero o wala.

Patunay.

Ayusin natin ang halaga ng variable sa, nagbibilang y = y 0. Pagkatapos ang function f (x, y 0) ay magiging function ng isang variable X, para sa x = x 0 ay ang matinding punto. Samakatuwid, sa pamamagitan ng teorama ni Fermat, o hindi umiiral. Ang parehong pahayag ay napatunayang katulad para sa .

Kahulugan 5.3. Ang mga puntos na kabilang sa domain ng isang function ng ilang variable kung saan ang mga partial derivatives ng function ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag nakatigil na mga punto function na ito.

Magkomento. Kaya, ang extremum ay maaabot lamang sa mga nakatigil na punto, ngunit hindi ito kinakailangang maobserbahan sa bawat isa sa kanila.

Teorama 5.2(sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaan sa ilang kapitbahayan ng punto M 0 (x 0, y 0), na isang nakatigil na punto ng function z = f (x, y), ang function na ito ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa 3rd order inclusive. Tukuyin natin Pagkatapos:

1) f(x,y) ay nasa punto M 0 maximum kung AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ay nasa punto M 0 pinakamababa kung AC–B² > 0, A > 0;

3) walang extremum sa kritikal na punto kung AC–B² < 0;

4) kung AC–B² = 0, kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Patunay.

Isulat natin ang pangalawang order na Taylor formula para sa function f(x,y), pag-alala na sa isang nakatigil na punto ang unang-order na bahagyang derivatives ay katumbas ng zero:

saan Kung ang anggulo sa pagitan ng segment M 0 M, Saan M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ sa), at ang O axis X tukuyin ang φ, pagkatapos ay Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. Sa kasong ito, ang formula ni Taylor ay kukuha ng form: . Let Then we can divide and multiply the expression in brackets by A. Nakukuha namin:

Isaalang-alang natin ngayon ang apat posibleng mga kaso:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и sa sapat na maliit na Δρ. Samakatuwid, sa ilang kapitbahayan M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), yan ay M 0- pinakamataas na punto.

2) Hayaan AC–B² > 0, A > 0. Pagkatapos , At M 0- pinakamababang punto.

3) Hayaan AC-B² < 0, A> 0. Isaalang-alang ang pagtaas ng mga argumento kasama ang ray φ = 0. Pagkatapos mula sa (5.1) ito ay sumusunod na , iyon ay, kapag gumagalaw sa sinag na ito, tumataas ang function. Kung tayo ay gumagalaw sa isang sinag tulad na tg φ 0 = -A/B, yun , samakatuwid, kapag gumagalaw sa sinag na ito, bumababa ang function. Kaya, period M 0 ay hindi isang matinding punto.

3`) Kailan AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

katulad ng nauna.

3``) Kung AC–B² < 0, A= 0, pagkatapos . Kung saan . Pagkatapos para sa sapat na maliit φ ang expression 2 B cosφ + C ang sinφ ay malapit sa 2 SA, iyon ay, ito ay nagpapanatili ng isang palaging tanda, ngunit ang sinφ ay nagbabago ng tanda sa paligid ng punto M 0. Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng function ay nagbabago ng sign sa paligid ng isang nakatigil na punto, na samakatuwid ay hindi isang extremum point.

4) Kung AC–B² = 0, at , , iyon ay, ang tanda ng pagtaas ay tinutukoy ng tanda ng 2α 0. Kasabay nito, ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan upang linawin ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum.

Halimbawa. Hanapin natin ang extremum point ng function z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Upang makahanap ng mga nakatigil na punto, nilulutas namin ang system . Kaya, ang nakatigil na punto ay (-2,-1). Kung saan A = 2, SA = -2, SA= 4. Pagkatapos AC–B² = 4 > 0, samakatuwid, sa isang nakatigil na punto ay naabot ang isang extremum, ibig sabihin ay isang minimum (mula sa A > 0).

Kahulugan 5.4. Kung ang function arguments f (x 1 , x 2 ,…, x n) konektado karagdagang kondisyon bilang m mga equation ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kung saan ang mga function φ i ay may tuluy-tuloy na partial derivatives, kung gayon ang mga equation (5.2) ay tinatawag mga equation ng koneksyon.

Kahulugan 5.5. Extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) kapag natugunan ang mga kundisyon (5.2), ito ay tinatawag conditional extremum.

Magkomento. Maaari kaming mag-alok ng sumusunod na geometric na interpretasyon ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable: hayaan ang mga argumento ng function f(x,y) nauugnay sa equation na φ (x,y)= 0, na tumutukoy sa ilang curve sa O plane xy. Reconstructing perpendiculars sa plane O mula sa bawat punto ng curve na ito xy hanggang sa mag-intersect ito sa ibabaw z = f (x,y), nakakakuha tayo ng spatial curve na nakahiga sa ibabaw sa itaas ng curve φ (x,y)= 0. Ang gawain ay upang mahanap ang mga extremum point ng resultang curve, na, siyempre, pangkalahatang kaso huwag mag-tutugma sa mga walang kundisyong extremum point ng function f(x,y).

Tukuyin natin ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang conditional extremum para sa isang function ng dalawang variable sa pamamagitan ng unang pagpapakilala ng sumusunod na kahulugan:

Kahulugan 5.6. Function L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

saan λi – ang ilan ay pare-pareho, tinatawag Lagrange function, at ang mga numero λi– hindi tiyak na mga multiplier ng Lagrange.

Teorama 5.3(mga kinakailangang kondisyon para sa isang conditional extremum). Conditional extremum ng isang function z = f (x, y) sa pagkakaroon ng coupling equation φ ( x, y) Ang = 0 ay maaari lamang makamit sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Patunay. Ang coupling equation ay tumutukoy sa isang implicit na relasyon sa mula sa X, samakatuwid ay ipagpalagay natin iyon sa mayroong isang function mula sa X: y = y(x). Pagkatapos z mayroong isang kumplikadong function mula sa X, at ang mga kritikal na punto nito ay tinutukoy ng kondisyon: . (5.4) Mula sa coupling equation ito ay sumusunod na . (5.5)

I-multiply natin ang pagkakapantay-pantay (5.5) sa ilang numerong λ at idagdag ito sa (5.4). Nakukuha namin:

, o .

Ang huling pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan sa mga nakatigil na punto, kung saan ito ay sumusunod:

(5.6)

Ang isang sistema ng tatlong equation para sa tatlong hindi alam ay nakuha: x, y at λ, at ang unang dalawang equation ay ang mga kondisyon para sa nakatigil na punto ng Lagrange function. Sa pamamagitan ng pagbubukod ng auxiliary unknown λ mula sa system (5.6), nakita namin ang mga coordinate ng mga punto kung saan ang orihinal na function ay maaaring magkaroon ng conditional extremum.

Puna 1. Ang pagkakaroon ng conditional extremum sa nahanap na punto ay masusuri sa pamamagitan ng pag-aaral sa second-order na partial derivatives ng Lagrange function sa pamamagitan ng pagkakatulad sa Theorem 5.2.

Puna 2. Mga punto kung saan maaaring maabot ang conditional extremum ng function f (x 1 , x 2 ,…, x n) kapag natugunan ang mga kundisyon (5.2), maaaring tukuyin bilang mga solusyon ng system (5.7)

Halimbawa. Hanapin natin ang conditional extremum ng function z = xy Kung ganoon x + y= 1. Buuin natin ang Lagrange function L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Ang System (5.6) ay ganito ang hitsura:

Kung saan -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Kung saan L(x,y) maaaring katawanin sa anyo L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, samakatuwid sa natagpuang nakatigil na punto L(x,y) ay may maximum, at z = xy – conditional maximum.

Hayaang tukuyin ang function na z - /(x, y) sa ilang domain D at hayaan ang Mo(xo, Vo) na maging interior point ng domain na ito. Kahulugan. Kung mayroong isang bilang na para sa lahat ng nagbibigay-kasiyahan sa mga kundisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kung gayon ang puntong Mo(xo, yo) ay tinatawag na lokal na pinakamataas na punto ng function /(x, y); kung para sa lahat ng Dx, Du, nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon | pagkatapos ang puntong Mo(xo,yo) ay tinatawag na manipis na lokal na minimum. Sa madaling salita, ang puntong M0(x0, y0) ay isang punto ng maximum o minimum ng function na f(x, y) kung mayroong 6-kapitbahayan ng puntong A/o(x0, y0) nang sa gayon ay puntos M(x, y) nito sa kapitbahayan, ang pagtaas ng function ay nagpapanatili ng tanda nito. Mga halimbawa. 1. Para sa function point - minimum point (Fig. 17). 2. Para sa function, ang point 0(0,0) ay ang maximum point (Fig. 18). 3. Para sa isang function, ang point 0(0,0) ay isang lokal na maximum point. 4 Sa katunayan, mayroong isang kapitbahayan ng puntong 0(0, 0), halimbawa, isang bilog na radius j (tingnan ang Fig. 19), sa anumang punto kung saan, naiiba sa puntong 0(0,0), ang halaga ng function /(x,y) mas mababa sa 1 = Isasaalang-alang lamang namin ang mga punto ng mahigpit na maximum at minimum ng mga function kapag ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay o mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa lahat ng mga puntos M(x) y) mula sa ilang nabutas na 6-kapitbahayan ng puntong Mq. Ang halaga ng isang function sa pinakamataas na punto ay tinatawag na maximum, at ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag na minimum ng function na ito. Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point ng function, at ang maximum at minimum ng function mismo ay tinatawag na extrema nito. Theorem 11 (kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung ang isang function ay isang extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga pag-andar ay may isang extremum sa punto at sa puntong ito ang bawat bahagyang derivative u ay naglalaho o wala. Hayaang sa puntong M0(x0, yо) ang Function z = f(x) y) ay may extremum. Bigyan natin ang variable y ang halaga yo. Pagkatapos ang function na z = /(x, y) ay magiging function ng isang variable x\ Dahil sa x = xo ito ay may extremum (maximum o minimum, Fig. 20), kung gayon ang derivative nito na may kinalaman sa x = "o, | (*o,l>)" Katumbas ng sero o wala. Katulad nito, kumbinsido tayo na) ay alinman sa katumbas ng sero o wala. Ang mga punto kung saan = 0 at χ = ​​0 o wala ay tinatawag na kritikal mga punto ng function na z = Dx, y). 18 Fig. 20 immt derivatives na nagiging zero sa. Ngunit ang function na ito ay manipis sa imvat ng strum. Sa katunayan, ang function ay katumbas ng zero sa puntong 0(0,0) at kumukuha ng mga positibo at negatibong halaga sa mga puntong M(x,y), arbitraryong malapit sa puntong 0(0,0). Para dito, kaya sa mga punto sa mga punto (0, y) para sa arbitraryong maliit na Point 0(0,0) ng ipinahiwatig na uri ay tinatawag na mini-max point (Fig. 21). Ang mga sapat na kondisyon para sa isang extremum ng isang function ng dalawang variable ay ipinahayag ng sumusunod na theorem. Theorem 12 (sapat na mga kondisyon para sa isang extremum sa dalawang variable). Hayaang ang puntong Mo(xo»Yo) ay isang nakatigil na punto ng function na f(x, y), at sa ilang kapitbahayan ng puntong /, kasama ang mismong puntong Mo, ang function na f(z, y) ay may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa pangalawang order kasama. Pagkatapos". sa puntong Mo(xo, V0) ang function /(xo, y) ay walang extremum kung D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ang extremum ng function na f(x, y) ay maaaring umiiral o hindi. Sa kasong ito, kinakailangan ang karagdagang pananaliksik. Limitahan natin ang ating sarili sa pagpapatunay ng mga pahayag 1) at 2) ng teorama. Isulat natin ang second-order Taylor formula para sa function /(i, y): kung saan. Ayon sa kondisyon, malinaw na ang sign ng increment D/ ay tinutukoy ng sign ng trinomial sa kanang bahagi ng (1), ibig sabihin, ang sign ng second differential d2f. Tukuyin natin ito para sa kaiklian. Pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (l) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: Hayaan sa puntong MQ(so, V0) mayroon tayo... Dahil, ayon sa kondisyon, ang pangalawang-order na partial derivatives ng function na f(s, y) ay tuloy-tuloy, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (3) ay magkakaroon din sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(s0,yo). Kung ang kundisyon ay nasiyahan (sa punto А/0, at sa bisa ng pagpapatuloy ng derivative /,z(s,y) ay mananatili ang sign nito sa ilang kapitbahayan ng puntong Af0. Sa rehiyon kung saan А Ф 0, mayroon kaming Malinaw mula dito na kung ang ЛС - В2 > 0 sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(x0) y0), kung gayon ang tanda ng trinomial AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ay tumutugma sa tanda ng A sa punto (kaya , V0) (pati na rin sa tanda ng C, dahil para sa AC - B2 > 0 A at C ay hindi maaaring magkaroon ng magkakaibang mga palatandaan). Dahil ang tanda ng kabuuan na AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 sa punto (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) ay tumutukoy sa tanda ng pagkakaiba, dumating tayo sa sumusunod na konklusyon: kung para sa function /(s,y) sa ang nakatigil na punto (s0, V0) na kondisyon, pagkatapos ay para sa sapat na maliit || masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, sa punto (sq, V0) ang function /(s, y) ay may maximum. Kung ang kondisyon ay nasiyahan sa nakatigil na punto (s0, y0), pagkatapos ay para sa lahat ng sapat na maliit |Dr| at |Du| ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, na nangangahulugan na sa punto (so, yo) ang function /(s, y) ay may pinakamababa. Mga halimbawa. 1. Siyasatin ang function para sa isang extremum 4 Gamit ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, hinahanap namin ang mga nakatigil na punto ng function. Upang gawin ito, hinahanap namin ang mga partial derivatives u at itinutumbas ang mga ito sa zero. Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation mula sa kung saan - isang nakatigil na punto. Gamitin natin ngayon ang Theorem 12. Mayroon tayong Ito ay nangangahulugan na mayroong isang extremum sa punto Ml. Dahil ito ang pinakamababa. Kung babaguhin natin ang function r sa anyo, madaling makita iyon kanang bahagi (“) ay magiging minimal kapag ang absolute minimum ng function na ito. 2. Suriin ang function para sa isang extremum Nakahanap kami ng mga nakatigil na punto ng function, kung saan kami ay bumubuo ng isang sistema ng mga equation, upang ang punto ay nakatigil. Dahil, sa bisa ng Theorem 12, walang extremum sa point M. * 3. Siyasatin ang extremum ng function. Mula sa sistema ng mga equation ay nakuha natin iyon, kaya ang punto ay nakatigil. Susunod na mayroon tayo na ang Theorem 12 ay hindi sumasagot sa tanong tungkol sa pagkakaroon o kawalan ng isang extremum. Gawin natin ito sa ganitong paraan. Para sa isang function tungkol sa lahat ng mga puntos na naiiba mula sa punto kaya, sa pamamagitan ng kahulugan, at ang puntong A/o(0,0) ang function r ay may ganap na minimum. Sa pamamagitan ng mga katulad na kalkulasyon, itinatag namin na ang function ay may maximum sa punto, ngunit ang function ay walang extremum sa punto. Hayaang ang isang function ng n independiyenteng mga variable ay naiba-iba sa isang punto Point Mo ay tinatawag na isang nakatigil na punto ng function kung ang Theorem 13 (hanggang sa sapat na mga kondisyon para sa isang extremum). Hayaang tukuyin ang function at magkaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng pangalawang order sa ilang kapitbahayan ng fine Mt(xi..., na isang stationary fine function kung ang quadratic form (ang pangalawang differential ng function f sa fine ay positive definite (negative definite), ang minimum point (ayon, fine maximum) ng function na f ay maayos Kung ang quadratic form (4) ay sign-alternating, kung gayon walang extremum sa fine LG0 ang parisukat na anyo (4) ay positibo o negatibong tiyak, maaari mong gamitin, halimbawa, ang Sylvester criterion para sa positibo (negatibong ) ang katiyakan ng quadratic na anyo 15.2 Conditional extrema Hanggang ngayon, hinahanap namin ang lokal na extrema ng a function sa buong domain ng kahulugan nito, kapag ang mga argumento ng function ay hindi nakatali sa anumang karagdagang kundisyon ay tinatawag na unconditional Gayunpaman, ang mga problema sa paghahanap ng tinatawag na conditional extrema ay madalas na nakatagpo. x, y) ay tinukoy sa domain na D. Ipagpalagay natin na ang isang curve L ay ibinibigay sa domain na ito, at kailangan nating hanapin ang extrema ng function na f(x> y) sa mga value nito na tumutugma. sa mga punto ng curve L. Ang parehong extrema ay tinatawag na conditional extrema ng function z = f(x) y) sa curve L. Depinisyon Sinasabi nila na sa isang puntong nakahiga sa curve L, ang function na f(x, y) ay may kondisyon na maximum (minimum) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa lahat ng mga puntong M (s, y) y) kurba L, na kabilang sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(x0, V0) at naiiba sa puntong M0 (Kung ang Ang curve L ay ibinibigay ng isang equation, kung gayon ang problema ay upang mahanap ang conditional extremum ng function r - f(x,y) sa curve! ay maaaring bumalangkas tulad ng sumusunod: hanapin ang extrema ng function na x = /(z, y) sa rehiyon D, sa kondisyon na Kaya, kapag hinahanap ang conditional extrema ng function z = y), ang mga argumento ng wildebeest ay hindi na itinuturing na mga independiyenteng variable: ang mga ito ay nauugnay sa isa't isa sa pamamagitan ng kaugnayan y ) = 0, na tinatawag na coupling equation. Upang linawin ang pagkakaiba sa pagitan ng unconditional at conditional extremum, tingnan natin ang isang halimbawa kung saan ang unconditional maximum ng function (Fig. 23) ay katumbas ng isa at nakamit sa punto (0,0). Ito ay tumutugma sa point M - ang vertex ng pvvboloid Idagdag natin ang connection equation y = j. Kung gayon ang maximum na kondisyon ay malinaw na magiging katumbas nito. Ito ay naabot sa punto (o,|), at tumutugma ito sa vertex Afj ng bola, na siyang linya ng intersection ng bola sa eroplano y = j. Sa kaso ng unconditional mvximum, mayroon kaming mvximum applicate sa lahat ng vpplicvt ng surface * = 1 - l;2 ~ y1; summvv conditional - kabilang lamang sa mga vllikvt point na pvraboloidv, na tumutugma sa punto* ng tuwid na linya y = j hindi ang xOy plane. Ang isa sa mga pamamaraan para sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function sa presensya at koneksyon ay ang mga sumusunod. Hayaan ang connection equation na y) - O tukuyin ang y bilang isang natatanging function na naiba-iba ng argument x: Ang pagpapalit ng function sa halip na y sa function, makakakuha tayo ng function ng isang argument kung saan ang kundisyon ng koneksyon ay isinasaalang-alang na. Ang (unconditional) extremum ng function ay ang gustong conditional extremum. Halimbawa. Hanapin ang extremum ng isang function sa ilalim ng kundisyon Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function A Mula sa equation ng koneksyon (2") nakita namin ang y = 1-x. Ang pagpapalit ng halagang ito sa y sa (V), nakakakuha kami ng isang function ng isang argumento x: Suriin natin ito para sa extremum: kung saan ang x = 1 ay isang kritikal na punto, kaya nagbibigay ito ng conditional na minimum ng function na g (Larawan 24). , na tinatawag na Lagrange multiplier na paraan na magkaroon ng isang punto ng isang conditional extremum ng isang function sa pagkakaroon ng isang koneksyon ay tumutukoy sa isang natatanging patuloy na pagkakaiba-iba ng function sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto xx sa x ng function /(r, ip(x)) sa puntong xq ay dapat na katumbas ng zero o, na katumbas nito, ang differential ng ay dapat na katumbas ng f(x, y) sa puntong Mo " O) Mula sa connection equation mayroon tayong (5) Multiply the last equality by an undetermined numerical factor A and adding term by term with equality (4), magkakaroon tayo (ipagpalagay natin na). Pagkatapos, dahil sa arbitrariness ng dx, nakakakuha tayo ng Equalities (6) at (7) na nagpapahayag ng mga kinakailangang kondisyon para sa unconditional extremum sa punto ng function, na tinatawag na Lagrange function. Kaya, ang conditional extremum point ng function /(x, y), kung, ay kinakailangang isang stationary point ng Lagrange function kung saan ang A ay isang tiyak na numerical coefficient. Mula dito nakakuha kami ng isang panuntunan para sa paghahanap ng conditional extrema: upang makahanap ng mga punto na maaaring mga punto ng conventional extremum ng isang function sa pagkakaroon ng isang koneksyon, 1) binubuo namin ang Lagrange function, 2) sa pamamagitan ng equating ang mga derivatives nito function sa zero at pagdaragdag ng equation ng koneksyon sa mga nagresultang equation, nakakakuha kami ng isang sistema ng tatlong equation kung saan nahanap namin ang mga halaga ng A at ang mga coordinate x, y ng mga posibleng extremum point. Ang tanong ng pagkakaroon at likas na katangian ng conditional extremum ay nalutas batay sa pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function para sa isinasaalang-alang na sistema ng mga halaga x0, V0, A, nakuha mula sa (8) sa kondisyon na Kung , pagkatapos ay sa puntong (x0, V0) ang function /(x, y ) ay may conditional maximum; kung d2F > 0 - pagkatapos ay isang kondisyon na minimum. Sa partikular, kung sa isang nakatigil na punto (xo, J/o) ang determinant D para sa function na F(x, y) ay positibo, pagkatapos ay sa punto (®o, V0) mayroong isang conditional maximum ng function na f( x, y), kung at kondisyon na minimum ng function /(x, y), kung Halimbawa. Balikan natin muli ang mga kondisyon ng nakaraang halimbawa: hanapin ang extremum ng function sa ilalim ng kondisyon na x + y = 1. Lutasin natin ang problema gamit ang Lagrange multiplier method. Lagrange function sa sa kasong ito ay may anyo Upang makahanap ng mga nakatigil na puntos, bumubuo tayo ng isang sistema Mula sa unang dalawang equation ng sistema, nakuha natin na x = y. Pagkatapos mula sa ikatlong equation ng system (ang connection equation) nakita namin na ang x - y = j ay ang mga coordinate ng posibleng extremum point. Sa kasong ito (ito ay ipinahiwatig na A = -1. Kaya, ang Lagrange function. ay ang kondisyon na pinakamababang punto ng function * = x2 + y2 sa ilalim ng kondisyon Walang unconditional extremum para sa Lagrange function. P(x, y ) ay hindi pa nangangahulugan ng kawalan ng conditional extremum para sa function /(x, y) sa pagkakaroon ng koneksyon Halimbawa: Hanapin ang extremum ng isang function sa ilalim ng kundisyong y 4 Binubuo namin ang Lagrange function at nagsusulat ng system para sa pagtukoy sa A at sa mga coordinate ng posibleng extremum point: Mula sa unang dalawang equation ay nakukuha natin ang x + y = 0 at dumating tayo sa system kung saan ang x = y = A = 0. Kaya, ang kaukulang Lagrange function ay may anyo Sa punto (0,0), ang function na F(x, y; 0) ay walang unconditional extremum, gayunpaman, mayroong conditional extremum ng function r = xy kapag y = x Sa katunayan, sa kasong ito r = x2. Mula dito ay malinaw na sa punto (0,0) mayroong isang minimum na kondisyon "Ang pamamaraan ng mga multiplier ng Lagrange ay inililipat sa kaso ng mga pag-andar ng anumang bilang ng mga argumento. Hanapin natin ang extremum ng function sa presensya ng mga equation ng koneksyon. Equating sa zero ang lahat ng first-order partial derivatives ng function F at pagdaragdag ng mga connection equation (9) sa mga resultang equation, nakakakuha tayo ng system ng n + m equation, kung saan natin tinutukoy ang Ab A3|..., At at coordinates x \) x2). » xn ng mga posibleng punto ng conditional extremum. Ang tanong kung ang mga puntos na natagpuan gamit ang pamamaraang Lagrange ay aktwal na mga punto ng isang kondisyon na labis ay kadalasang malulutas batay sa mga pagsasaalang-alang ng isang pisikal o geometriko na kalikasan. 15.3. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga pag-andar Hayaang kailanganin upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng pagpapaandar z = /(x, y), tuloy-tuloy sa ilang saradong limitadong domain D. Sa pamamagitan ng Theorem 3, sa domain na ito doon ay isang punto (xo, V0) kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga. Kung ang punto (xo, y0) ay nasa loob ng domain D, kung gayon ang function / ay may maximum (minimum) dito, kaya sa kasong ito ang punto ng interes sa amin ay nakapaloob sa mga kritikal na punto ng function /(x, y). Gayunpaman, maaaring maabot ng function /(x, y) ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga nito sa hangganan ng rehiyon. Samakatuwid, upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na kinuha ng function na z = /(x, y) sa isang limitadong saradong lugar 2), kailangan mong hanapin ang lahat ng maxima (minimum) ng function na nakamit sa loob ng lugar na ito, pati na rin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa hangganan ng lugar na ito. Ang pinakamalaki (pinakamaliit) sa lahat ng mga numerong ito ay ang nais na pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function na z = /(x,y) sa rehiyon 27. Ipakita natin kung paano ito ginagawa sa kaso ng isang differentiable function. Prmmr. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function ng rehiyon 4. Nahanap namin ang mga kritikal na punto ng function sa loob ng rehiyon D. Upang gawin ito, bumuo kami ng isang sistema ng mga equation mula dito makuha namin ang x = y « 0, upang Ang punto 0 (0,0) ay ang kritikal na punto ng function na x. Dahil Hanapin natin ngayon ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa hangganan Г ng rehiyon D. Sa bahagi ng hangganan mayroon tayo na ang y = 0 ay isang kritikal na punto, at dahil = pagkatapos sa puntong ito ang function na z = 1 + y2 ay may pinakamababang katumbas ng isa. Sa mga dulo ng segment na Г", sa mga punto (, mayroon kami. Gamit ang mga pagsasaalang-alang sa symmetry, nakuha namin ang parehong mga resulta para sa iba pang mga bahagi ng hangganan. Sa wakas ay nakuha namin: ang pinakamaliit na halaga ng function na z = x2+y2 sa rehiyon "B ay katumbas ng zero at ito ay nakakamit sa panloob na punto 0( 0, 0) na mga lugar, at pinakamataas na halaga ng function na ito, katumbas ng dalawa, ay nakakamit sa apat na punto ng hangganan (Fig. 25) Fig. 25 Exercises Hanapin ang domain ng kahulugan ng mga function: Bumuo ng mga linya ng antas ng mga function: 9 Hanapin ang antas ng ibabaw ng mga function ng tatlong independent variable: Kalkulahin ang mga limitasyon ng mga function: Hanapin ang mga partial derivatives ng mga function at ang kanilang buong pagkakaiba-iba : Maghanap ng mga derivatives ng kumplikadong mga function: 3 Hanapin ang J. Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function 34. Gamit ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ng dalawang variable, hanapin at mga function: 35. Gamit ang formula para sa derivative ng isang complex function ng dalawang variable, hanapin |J at functions: Hanapin ang jj function na implicitly na ibinigay: 40. Hanapin ang angular coefficient ng tangent curve sa punto ng intersection nito sa tuwid na linya x = 3. 41. Hanapin ang mga punto kung saan ang tangent ng curve x ay parallel sa Ox axis. . Sa mga sumusunod na problema, hanapin at T: Isulat ang mga equation ng tangent plane at ang normal ng surface: 49. Isulat ang mga equation ng tangent plane ng surface x2 + 2y2 + 3z2 = 21, parallel sa plane x + 4y + 6z = 0. Hanapin ang unang tatlo o apat na termino ng pagpapalawak gamit ang Taylor formula : 50. y sa paligid ng punto (0, 0). Gamit ang kahulugan ng extremum ng isang function, suriin ang mga sumusunod na function para sa extremum:). Gamit ang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function ng dalawang variable, suriin ang extremum ng function: 84. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function z = x2 - y2 sa isang closed circle 85. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function * = x2y(4-x-y) sa isang tatsulok na may hangganan ng mga tuwid na linya x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Tukuyin ang mga sukat ng isang hugis-parihaba na bukas na pool na may pinakamaliit na ibabaw, sa kondisyon na ang volume nito ay katumbas ng V. 87. Hanapin ang mga sukat ng isang parihabang parallelepiped na may pinakamataas na volume na ibinigay sa kabuuang ibabaw 5. Mga sagot 1. at | Isang parisukat na nabuo ng mga segment ng linya x kasama ang mga gilid nito. 3. Pamilya ng concentric rings 2= 0,1,2,... .4. Ang buong eroplano maliban sa mga punto sa mga tuwid na linya. Bahagi ng eroplano na matatagpuan sa itaas ng parabola y = -x?. 8. Mga punto ng bilog x. Ang buong eroplano maliban sa mga tuwid na linya x Ang radikal na ekspresyon ay hindi negatibo sa dalawang kaso j * ^ o j x ^ ^ na katumbas ng isang walang katapusang serye ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ayon sa pagkakabanggit Ang domain ng kahulugan ay may kulay na mga parisukat (Fig. 26); l na katumbas ng isang walang katapusang serye Ang function ay tinukoy sa mga puntos. a) Mga tuwid na linya na kahanay ng tuwid na linya x b) mga concentric na bilog na ang gitna ay nasa pinanggalingan. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hyperbolas | .Eroplano xc. 13.Prime - single-cavity hyperboloids ng pag-ikot sa paligid ng Oz axis; kapag at mga dalawang-sheet na hyperboloids ng pag-ikot sa paligid ng axis ng Oz, ang parehong pamilya ng mga ibabaw ay pinaghihiwalay ng isang kono; Walang limitasyon, b) 0. 18. Itakda natin ang y = kxt pagkatapos z lim z = -2, kaya ang ibinigay na function sa punto (0,0) ay walang limitasyon. 19. a) Punto (0,0); b) punto (0,0). 20. a) Break line - bilog x2 + y2 = 1; b) ang break line ay ang tuwid na linya y = x. 21. a) Break lines - coordinate axes Ox at Oy; b) 0 (empty set). 22. Lahat ng mga puntos (m, n), kung saan at n ay mga integer