Iba't-ibang paraan patunay ng Pythagorean theorem
mag-aaral ng ika-9 na "A" na klase
Munisipal na institusyong pang-edukasyon sekondaryang paaralan No. 8
Siyentipikong tagapayo:
guro sa matematika,
Munisipal na institusyong pang-edukasyon sekondaryang paaralan No. 8
Art. Novorozhdestvenskaya
Rehiyon ng Krasnodar.
Art. Novorozhdestvenskaya
ANNOTASYON.
Ang Pythagorean theorem ay nararapat na itinuturing na pinakamahalaga sa kurso ng geometry at nararapat na masusing pansin. Ito ang batayan para sa paglutas ng maraming mga geometric na problema, ang batayan para sa pag-aaral ng teoretikal at praktikal na mga kursong geometry sa hinaharap. Ang teorama ay napapalibutan ng isang kayamanan ng makasaysayang materyal na may kaugnayan sa hitsura nito at mga pamamaraan ng patunay. Ang pag-aaral sa kasaysayan ng pag-unlad ng geometry ay nagbubunsod ng pagmamahal sa paksang ito, nagtataguyod ng pag-unlad ng interes sa pag-iisip, pangkalahatang kultura at pagkamalikhain, at nagkakaroon din ng mga kasanayan sa pananaliksik.
Bilang resulta ng aktibidad sa paghahanap, nakamit ang layunin ng gawain, na lagyang muli at gawing pangkalahatan ang kaalaman sa patunay ng Pythagorean theorem. Posibleng makahanap at isaalang-alang ang iba't ibang paraan ng patunay at palalimin ang kaalaman sa paksa, na lampas sa mga pahina ng aklat-aralin ng paaralan.
Ang nakolektang materyal ay higit pang nakakumbinsi sa atin na ang Pythagorean theorem ay isang mahusay na theorem ng geometry at may napakalaking teoretikal at praktikal na kahalagahan.
Panimula. Makasaysayang sanggunian 5 Pangunahing bahagi 8
3. Konklusyon 19
4. Literatura na ginamit 20
1. PANIMULA. HISTORIKAL NA SANGGUNIAN.
Ang kakanyahan ng katotohanan ay para sa atin magpakailanman,
Kapag kahit isang beses sa kanyang pananaw nakita natin ang liwanag,
At ang Pythagorean theorem pagkatapos ng napakaraming taon
Para sa amin, bilang para sa kanya, ito ay hindi maikakaila, hindi nagkakamali.
Upang magalak, si Pythagoras ay nanumpa sa mga diyos:
Para sa makabagbag-damdaming karunungan,
Siya ay pumatay ng isang daang toro, salamat sa mga walang hanggan;
Nag-alay siya ng panalangin at papuri pagkatapos ng biktima.
Mula noon, kapag naamoy ito ng mga toro, itinutulak nila,
Na ang landas ay muling magdadala sa mga tao sa isang bagong katotohanan,
Sila ay umuungal nang galit, kaya walang saysay na makinig,
Ang ganitong mga Pythagoras ay nagtanim ng takot sa kanila magpakailanman.
Mga toro, walang kapangyarihang labanan ang bagong katotohanan,
Ano ang natitira? - Nakapikit lang, umuungol, nanginginig.
Hindi alam kung paano pinatunayan ni Pythagoras ang kanyang teorama. Ano ang tiyak ay natuklasan niya ito sa ilalim ng malakas na impluwensya ng Egyptian science. Ang isang espesyal na kaso ng Pythagorean theorem - ang mga katangian ng isang tatsulok na may mga gilid 3, 4 at 5 - ay kilala sa mga tagabuo ng mga pyramids bago pa ang kapanganakan ni Pythagoras, at siya mismo ay nag-aral sa mga pari ng Egypt nang higit sa 20 taon. Ang isang alamat ay napanatili na nagsasabing, nang napatunayan ang kanyang tanyag na teorama, si Pythagoras ay naghain ng toro sa mga diyos, at ayon sa iba pang mga mapagkukunan, kahit na 100 mga toro. Ito, gayunpaman, ay sumasalungat sa impormasyon tungkol sa moral at relihiyosong pananaw ni Pythagoras. Sa mga mapagkukunang pampanitikan mababasa mo na "ipinagbawal niya kahit ang pagpatay ng mga hayop, lalo na ang pagpapakain sa kanila, sapagkat ang mga hayop ay may mga kaluluwa, tulad natin." Si Pythagoras ay kumain lamang ng pulot, tinapay, gulay at paminsan-minsang isda. Kaugnay ng lahat ng ito, ang sumusunod na entry ay maaaring ituring na mas makatwiran: "... at kahit na natuklasan niya na sa isang kanang tatsulok ang hypotenuse ay tumutugma sa mga binti, nagsakripisyo siya ng isang toro na gawa sa kuwarta ng trigo."
Ang katanyagan ng Pythagorean theorem ay napakahusay na ang mga patunay nito ay matatagpuan kahit sa fiction, halimbawa, sa kwentong "Young Archimedes" ng sikat na manunulat ng Ingles na si Huxley. Ang parehong Patunay, ngunit para sa espesyal na kaso ng isang isosceles right triangle, ay ibinigay sa dialogue ni Plato na "Meno".
Fairy tale "Tahanan".
"Malayo, malayo, kung saan kahit na ang mga eroplano ay hindi lumilipad, ay ang bansa ng Geometry. Sa hindi pangkaraniwang bansang ito mayroong isang kamangha-manghang lungsod - ang lungsod ng Teorem. Isang araw napunta ako sa lungsod na ito magandang babae pinangalanang Hypotenuse. Sinubukan niyang umupa ng kwarto, ngunit kahit saan siya mag-apply, tinanggihan siya. Sa wakas ay nilapitan niya ang rickety house at kumatok. Isang lalaki na tinawag ang kanyang sarili na Right Angle ang nagbukas ng pinto sa kanya, at inanyayahan niya si Hypotenuse na tumira sa kanya. Ang hypotenuse ay nanatili sa bahay kung saan nakatira ang Right Angle at ang kanyang dalawang anak na lalaki na nagngangalang Katetes. Simula noon, ang buhay sa bahay na Right Angle ay nagbago sa isang bagong paraan. Ang hypotenuse ay nagtanim ng mga bulaklak sa bintana at nagtanim ng mga pulang rosas sa harapang hardin. Ang bahay ay kinuha ang hugis ng isang kanang tatsulok. Ang magkabilang binti ay talagang nagustuhan ang Hypotenuse at hiniling sa kanya na manatili magpakailanman sa kanilang bahay. Sa gabi, ang magiliw na pamilyang ito ay nagtitipon sa hapag ng pamilya. Minsan ang Right Angle ay nakikipaglaro ng taguan kasama ang kanyang mga anak. Kadalasan kailangan niyang tumingin, at ang Hypotenuse ay nagtatago nang napakahusay na maaaring napakahirap hanapin. Isang araw, habang naglalaro, napansin ng Right Angle ang isang kawili-wiling pag-aari: kung mahahanap niya ang mga binti, hindi mahirap hanapin ang Hypotenuse. Kaya ginagamit ng Right Angle ang pattern na ito, dapat kong sabihin, napaka-matagumpay. Ang Pythagorean theorem ay nakabatay sa ari-arian ng right triangle na ito."
(Mula sa aklat ni A. Okunev "Salamat sa aralin, mga bata").
Isang nakakatawang pagbabalangkas ng teorama:
Kung bibigyan tayo ng tatsulok
At, bukod dito, na may tamang anggulo,
Iyon ang parisukat ng hypotenuse
Madali nating mahahanap ang:
Ilapat namin ang mga binti,
Nahanap namin ang kabuuan ng mga kapangyarihan -
At sa simpleng paraan
Darating tayo sa resulta.
Habang nag-aaral ng algebra at ang simula ng pagsusuri at geometry sa ika-10 baitang, nakumbinsi ako na bilang karagdagan sa paraan ng pagpapatunay ng teorema ng Pythagorean na tinalakay sa ika-8 baitang, may iba pang mga pamamaraan ng patunay. Iniharap ko sila para sa iyong pagsasaalang-alang.
2. PANGUNAHING BAHAGI.
Teorama. Sa isang kanang tatsulok ay may isang parisukat
Ang hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.
1 PARAAN.
Gamit ang mga katangian ng mga lugar ng polygons, magtatatag kami ng isang kahanga-hangang relasyon sa pagitan ng hypotenuse at mga binti ng isang right triangle.
Patunay.
a, c at hypotenuse Sa(Larawan 1, a).
Patunayan natin yan c²=a²+b².
Patunay.
Kumpletuhin natin ang tatsulok sa isang parisukat na may gilid a + b tulad ng ipinapakita sa Fig. 1, b. Ang lugar S ng parisukat na ito ay (a + b)². Sa kabilang banda, ang parisukat na ito ay binubuo ng apat na pantay na right-angled triangles, bawat isa ay may sukat na ½ aw, at isang parisukat na may gilid kasama, samakatuwid S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².
kaya,
(a + b)² = 2 aw + c²,
c²=a²+b².
Ang teorama ay napatunayan.
2 PARAAN.
Matapos pag-aralan ang paksang "Katulad na mga tatsulok", nalaman ko na maaari mong ilapat ang pagkakapareho ng mga tatsulok sa patunay ng Pythagorean theorem. Ibig sabihin, ginamit ko ang pahayag na ang binti ng isang kanang tatsulok ay ang mean na proporsyonal sa hypotenuse at ang segment ng hypotenuse na nakapaloob sa pagitan ng binti at ang altitude na iginuhit mula sa vertex tamang anggulo.
Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C, CD - taas (Larawan 2). Patunayan natin yan AC² +NE² = AB²
.
Patunay.
Batay sa pahayag tungkol sa binti ng isang right triangle:
AC = , SV = .
Hayaan kaming parisukat at idagdag ang mga nagresultang pagkakapantay-pantay:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), kung saan AD+DB=AB, pagkatapos
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Kumpleto na ang patunay.
3 PARAAN.
Upang patunayan ang Pythagorean theorem, maaari mong ilapat ang kahulugan ng cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle. Tingnan natin ang Fig. 3.
Patunay:
Hayaang ang ABC ay isang ibinigay na right triangle na may right angle C. Iguhit natin ang altitude CD mula sa vertex ng right angle C.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng cosine ng isang anggulo:
cos A = AD/AC = AC/AB. Kaya AB * AD = AC²
Gayundin,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Kaya AB * BD = BC².
Ang pagdaragdag ng mga resultang equalities term sa pamamagitan ng term at pagpuna na AD + DB = AB, makuha namin ang:
AC² + araw² = AB (AD + DB) = AB²
Kumpleto na ang patunay.
4 PARAAN.
Ang pagkakaroon ng pag-aaral sa paksang "Mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok", sa palagay ko ang Pythagorean theorem ay maaaring mapatunayan sa ibang paraan.
Isaalang-alang ang isang kanang tatsulok na may mga binti a, c at hypotenuse Sa. (Larawan 4).
Patunayan natin yan c²=a²+b².
Patunay.
kasalanan B= mataas na kalidad ; cos B= a/c , pagkatapos, pag-squaring ng mga nagresultang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin ang:
kasalanan² B= sa²/s²; cos² SA= a²/c².
Ang pagdaragdag sa kanila, makakakuha tayo ng:
kasalanan² SA+cos² B=в²/с²+ а²/с², kung saan sin² SA+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², samakatuwid,
c²= a² + b².
Kumpleto na ang patunay.
5 PARAAN.
Ang patunay na ito ay batay sa pagputol ng mga parisukat na binuo sa mga binti (Larawan 5) at paglalagay ng mga resultang bahagi sa isang parisukat na binuo sa hypotenuse.
6 PARAAN.
Para sa patunay sa gilid Araw nagtatayo kami BCD ABC(Larawan 6). Alam namin na ang mga lugar ng magkatulad na mga figure ay nauugnay bilang mga parisukat ng kanilang mga katulad na linear na sukat:
Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa unang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin
c2 = a2 + b2.
Kumpleto na ang patunay.
7 PARAAN.
Ibinigay(Larawan 7):
ABC,= 90° , araw= a, AC=b, AB = c.
Patunayan:c2 = a2 +b2.
Patunay.
Hayaan ang binti b A. Ituloy natin ang segment NE bawat punto SA at bumuo ng isang tatsulok BMD upang ang mga puntos M At A humiga sa isang gilid ng tuwid na linya CD at bukod sa, BD =b, BDM= 90°, DM= a, pagkatapos BMD= ABC sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Puntos A at M kumonekta sa mga segment AM. Meron kami M.D. CD At A.C. CD, ibig sabihin tuwid AC parallel sa linya M.D. kasi M.D.< АС, tapos diretso CD At A.M. hindi parallel. Samakatuwid, AMDC- hugis-parihaba na trapezoid.
Sa kanang triangles ABC at BMD 1 + 2 = 90° at 3 + 4 = 90°, ngunit dahil = =, pagkatapos ay 3 + 2 = 90°; Pagkatapos AVM=180° - 90° = 90°. Ito ay naka-out na ang trapezoid AMDC ay nahahati sa tatlong hindi magkakapatong na right triangle, pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga axiom ng lugar
(a+b)(a+b)
Hinahati ang lahat ng mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng , nakukuha natin
Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Kumpleto na ang patunay.
8 PARAAN.
Ang pamamaraang ito ay batay sa hypotenuse at mga binti ng isang right triangle ABC. Binubuo niya ang kaukulang mga parisukat at pinatutunayan na ang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na itinayo sa mga binti (Larawan 8).
Patunay.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, Ibig sabihin, FBC = DBA.
kaya, FBC=ABD(sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila).
2) 
,
kung saan ang AL DE, dahil ang BD ay isang karaniwang base, DL- kabuuang taas.
3) 
, dahil foundation ang FB, AB- kabuuang taas.
4) 
5) Katulad nito, mapapatunayan iyon 
6) Pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino, makakakuha tayo ng:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Kumpleto na ang patunay.
9 PARAAN.
Patunay.
1) Hayaan ABDE- isang parisukat (Larawan 9), ang gilid nito ay katumbas ng hypotenuse ng isang right triangle ABC= s, BC = a, AC =b).
2) Hayaan DK B.C. At DK = araw, dahil 1 + 2 = 90° (tulad ng mga talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok), 3 + 2 = 90° (tulad ng anggulo ng isang parisukat), AB= BD(mga gilid ng parisukat).
Ibig sabihin, ABC= BDK(sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle).
3) Hayaan EL D.K., A.M. E.L. Madaling mapatunayan na ang ABC = BDK = DEL = EAM (may mga binti A At b). Pagkatapos KS= CM= M.L.= L.K.= A-b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Sa2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Kumpleto na ang patunay.
10 PARAAN.
Ang patunay ay maaaring isagawa sa isang pigura na pabiro na tinatawag na "Pythagorean pants" (Fig. 10). Ang ideya nito ay gawing pantay na tatsulok ang mga parisukat na itinayo sa mga gilid na magkakasamang bumubuo sa parisukat ng hypotenuse.
ABC ilipat ito tulad ng ipinapakita ng arrow, at ito ay tumatagal ng posisyon KDN. Ang natitirang figure AKTCB pantay na lugar ng parisukat AKDC ito ay isang paralelogram AKNB.
Isang paralelogram na modelo ang ginawa AKNB. Inaayos namin ang parallelogram bilang sketch sa mga nilalaman ng trabaho. Upang ipakita ang pagbabago ng isang paralelogram sa isang pantay na lugar na tatsulok, sa harap ng mga mag-aaral, pinutol namin ang isang tatsulok sa modelo at inilipat ito pababa. Kaya, ang lugar ng parisukat AKDC naging katumbas ng lugar ng parihaba. Katulad nito, binago namin ang lugar ng isang parisukat sa lugar ng isang rektanggulo.
Gumawa tayo ng pagbabago para sa isang parisukat na itinayo sa isang gilid A(Larawan 11,a):
a) ang parisukat ay binago sa isang pantay na paralelogram (Larawan 11.6):
b) ang paralelogram ay umiikot sa isang quarter turn (Larawan 12):
c) ang paralelogram ay binago sa isang pantay na parihaba (Larawan 13): 11 PARAAN.
Patunay:
PCL - tuwid (Larawan 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Tapos na ang patunay .
12 PARAAN.
kanin. Ang Figure 15 ay naglalarawan ng isa pang orihinal na patunay ng Pythagorean theorem.
Dito: tatsulok na ABC na may tamang anggulo C; segment ng linya B.F. patayo NE at katumbas nito, ang segment MAGING patayo AB at katumbas nito, ang segment AD patayo AC at katumbas nito; puntos F, C,D nabibilang sa parehong linya; quadrilaterals ADFB At ASVE pantay ang sukat, dahil ABF = ECB; mga tatsulok ADF At ACE katumbas ng laki; ibawas sa magkaparehong quadrilateral ang tatsulok na kanilang pinagsasaluhan ABC, nakukuha namin
, c2 = a2 +
b2.
Kumpleto na ang patunay.
13 PARAAN.
Ang lugar ng isang ibinigay na tamang tatsulok, sa isang gilid, ay katumbas ng ,
kasamang iba, ,
3. KONKLUSYON.
Bilang resulta ng aktibidad sa paghahanap, nakamit ang layunin ng gawain, na lagyang muli at gawing pangkalahatan ang kaalaman sa patunay ng Pythagorean theorem. Posibleng makahanap at isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang patunayan ito at palalimin ang kaalaman sa paksa, lampas sa mga pahina ng aklat-aralin ng paaralan.
Ang materyal na aking nakolekta ay mas nakakumbinsi sa akin na ang Pythagorean theorem ay isang mahusay na theorem ng geometry at may napakalaking teoretikal at praktikal na kahalagahan. Sa konklusyon, nais kong sabihin: ang dahilan para sa katanyagan ng Pythagorean triune theorem ay ang kagandahan, pagiging simple at kahalagahan nito!
4. PANITIKAN NA GINAMIT.
1. Nakakaaliw na algebra. . Moscow "Science", 1978.
2. Lingguhang pang-edukasyon at pamamaraan na suplemento sa pahayagan na "Una ng Setyembre", 24/2001.
3. Geometry 7-9. at iba pa.
4. Geometry 7-9. at iba pa.
(ayon sa papyrus 6619 ng Berlin Museum). Ayon kay Cantor, ang mga harpedonaptes, o “mga rope pullers,” ay gumawa ng mga tamang anggulo gamit ang mga right triangle na may mga gilid na 3, 4, at 5.
Napakadaling kopyahin ang kanilang paraan ng pagtatayo. Kumuha tayo ng lubid na 12 m ang haba at itali ang isang kulay na strip dito sa layo na 3 m mula sa isang dulo at 4 na metro mula sa kabilang dulo. Ang tamang anggulo ay nasa pagitan ng mga gilid na 3 at 4 na metro ang haba. Maaaring tutol sa mga Harpedonaptian na ang kanilang paraan ng pagtatayo ay nagiging kalabisan kung ang isa ay gagamit, halimbawa, ng isang kahoy na parisukat, na ginagamit ng lahat ng mga karpintero. Sa katunayan, ang mga guhit ng Egypt ay kilala kung saan matatagpuan ang gayong tool, halimbawa, mga guhit na naglalarawan ng isang pagawaan ng karpintero.
Medyo higit pa ang nalalaman tungkol sa Pythagorean theorem sa mga Babylonians. Sa isang teksto mula noong panahon ni Hammurabi, iyon ay, hanggang 2000 BC. e. , isang tinatayang pagkalkula ng hypotenuse ng isang right triangle ay ibinigay. Mula dito maaari nating tapusin na sa Mesopotamia ay nakapagsagawa sila ng mga kalkulasyon na may mga tamang tatsulok, hindi bababa sa ilang mga kaso. Batay, sa isang banda, sa kasalukuyang antas ng kaalaman tungkol sa Egyptian at Babylonian mathematics, at sa kabilang banda, sa isang kritikal na pag-aaral ng mga mapagkukunang Griyego, napagpasyahan ni Van der Waerden (isang Dutch mathematician) na mayroong mataas na posibilidad na ang Ang teorama sa parisukat ng hypotenuse ay kilala sa India noong mga ika-18 siglo BC. e.
Mga 400 BC. BC, ayon kay Proclus, nagbigay si Plato ng paraan para sa paghahanap ng mga triplet ng Pythagorean, pagsasama-sama ng algebra at geometry. Mga 300 BC. e. Ang pinakalumang axiomatic proof ng Pythagorean theorem ay lumitaw sa Euclid's Elements.
Mga pormulasyon
Geometric formulation:
Ang teorama ay orihinal na nabuo tulad ng sumusunod:
Algebraic formulation:
Iyon ay, tinutukoy ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng , at ang haba ng mga binti sa pamamagitan ng at :
Ang parehong mga pormulasyon ng teorama ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya; hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring ma-verify nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.
Converse Pythagorean theorem:
Patunay
Naka-on sa sandaling ito 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang, ang Pythagorean theorem ay ang tanging theorem na may ganoong kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba ay maaari lamang ipaliwanag sa pamamagitan ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa geometry.
Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay ayon sa pamamaraan ng lugar, axiomatic at exotic na mga patunay (halimbawa, gamit ang differential equation).
Sa pamamagitan ng mga katulad na tatsulok
Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng patunay, na direktang binuo mula sa mga axiom. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.
Hayaan ABC may tamang tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit natin ang taas C at tukuyin ang base nito sa pamamagitan ng H. Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Gayundin, tatsulok CBH katulad ABC. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon
nakukuha namin
Ano ang katumbas
Pagdaragdag nito, nakukuha natin
, na kung ano ang kailangang patunayanMga patunay gamit ang paraan ng lugar
Ang mga patunay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.
Patunay sa pamamagitan ng equicomplementation
- Ayusin natin ang apat na pantay na right triangle gaya ng ipinapakita sa Figure 1.
- Quadrangle na may mga gilid c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang matinding anggulo ay 90°, at ang tuwid na anggulo ay 180°.
- Ang lugar ng buong figure ay katumbas, sa isang banda, sa lugar ng isang parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, sa kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at ang lugar ng panloob na parisukat.
Q.E.D.
Patunay ni Euclid
Ang ideya ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahating lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng magkapantay ang malaki at dalawang maliit na parisukat.
Tingnan natin ang guhit sa kaliwa. Dito ay nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang tatsulok at gumuhit ng isang ray s mula sa tuktok ng kanang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong katumbas ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti.
Subukan nating patunayan na ang lugar ng parisukat na DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo na AHJK. Upang gawin ito, gagamit tayo ng isang pantulong na obserbasyon: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base bilang ang ibinigay na parihaba ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ibinigay na parihaba. Ito ay bunga ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa obserbasyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinapakita sa figure), na kung saan ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parihaba AHJK.
Patunayan natin ngayon na ang area ng triangle ACK ay katumbas din ng kalahati ng area ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat ayon sa pag-aari sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay halata: ang mga tatsulok ay pantay sa magkabilang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Namely - AB=AK, AD=AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng paraan ng paggalaw: iniikot namin ang tatsulok na CAK 90° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang kaukulang panig ng dalawang tatsulok sa ang tanong ay magkakasabay (dahil sa katotohanan na ang anggulo sa tuktok ng parisukat ay 90°).
Ang pangangatwiran para sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang parihaba na BHJI ay ganap na magkatulad.
Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binubuo ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang ideya sa likod ng patunay na ito ay higit na inilalarawan ng animation sa itaas.
Patunay ni Leonardo da Vinci
Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.
Isaalang-alang natin ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa mahusay na proporsyon, pinutol ng segment ang parisukat sa dalawang magkaparehong bahagi (dahil ang mga tatsulok ay pantay sa pagtatayo).
Gamit ang 90-degree na counterclockwise na pag-ikot sa paligid ng punto, nakikita natin ang pagkakapantay-pantay ng mga may kulay na figure at.
Ngayon ay malinaw na ang lugar ng figure na na-shade namin ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng maliit na mga parisukat (itinayo sa mga binti) at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng malaking parisukat (itinayo sa hypotenuse) kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Kaya, kalahati ng kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng kalahati ng lugar ng malaking parisukat, at samakatuwid ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse.
Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan
Ang sumusunod na patunay gamit ang mga differential equation ay kadalasang iniuugnay sa sikat na English mathematician na si Hardy, na nabuhay noong unang kalahati ng ika-20 siglo.
Tinitingnan ang guhit na ipinapakita sa pigura at pinagmamasdan ang pagbabago sa gilid a, maaari nating isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa infinitesimal side increments Sa At a(gamit ang pagkakatulad ng tatsulok):
Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nakita namin
Higit pa pangkalahatang pagpapahayag upang baguhin ang hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti
Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kundisyon, nakuha namin
Kaya nakarating kami sa nais na sagot
Tulad ng madaling makita, lumilitaw ang quadratic dependence sa huling formula dahil sa linear na proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagdaragdag, habang ang kabuuan ay nauugnay sa mga independiyenteng kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.
Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas (sa sa kasong ito binti). Pagkatapos ay para sa integration constant na nakukuha namin
Mga pagkakaiba-iba at paglalahat
Magkatulad na mga geometric na hugis sa tatlong panig
Paglalahat para sa mga katulad na tatsulok, lugar ng berdeng mga hugis A + B = lugar ng asul C
Pythagorean theorem gamit ang magkatulad na right triangles
Euclid pangkalahatan ang Pythagorean teorama sa kanyang trabaho Mga simula, pagpapalawak ng mga lugar ng mga parisukat sa mga gilid sa mga lugar ng magkatulad na mga geometric na figure:
Kung bumuo ka ng katulad mga geometric na numero(tingnan ang Euclidean geometry) sa mga gilid ng isang kanang tatsulok, kung gayon ang kabuuan ng dalawang mas maliliit na figure ay magiging katumbas ng lugar ng mas malaking figure.
Ang pangunahing ideya ng generalization na ito ay ang lugar ng naturang geometric figure ay proporsyonal sa parisukat ng alinman sa mga linear na sukat nito at, sa partikular, sa parisukat ng haba ng anumang panig. Samakatuwid, para sa mga katulad na figure na may mga lugar A, B At C binuo sa mga gilid na may haba a, b At c, meron kami:
Ngunit, ayon sa Pythagorean theorem, a 2 + b 2 = c 2 pagkatapos A + B = C.
Sa kabaligtaran, kung mapapatunayan natin iyon A + B = C para sa tatlong magkakatulad na geometric na figure nang hindi ginagamit ang Pythagorean theorem, pagkatapos ay mapapatunayan natin ang theorem mismo, na gumagalaw sa tapat na direksyon. Halimbawa, ang panimulang gitnang tatsulok ay maaaring magamit muli bilang isang tatsulok C sa hypotenuse, at dalawang magkatulad na right triangle ( A At B), na binuo sa iba pang dalawang panig, na nabuo sa pamamagitan ng paghati sa gitnang tatsulok sa taas nito. Ang kabuuan ng mga lugar ng dalawang mas maliit na tatsulok ay malinaw na katumbas ng lugar ng pangatlo, kaya A + B = C at, pagtupad sa nakaraang patunay sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod, makuha natin ang Pythagorean theorem a 2 + b 2 = c 2 .
Cosine theorem
Ang Pythagorean theorem ay espesyal na kaso isang mas pangkalahatang teorama ng mga cosine, na nag-uugnay sa mga haba ng mga gilid sa isang arbitraryong tatsulok:
kung saan ang θ ay ang anggulo sa pagitan ng mga gilid a At b.
Kung ang θ ay 90 degrees kung gayon ang cos θ = 0 at ang formula ay pinapasimple sa karaniwang Pythagorean theorem.
Libreng Triangle
Sa alinmang napiling sulok ng isang arbitrary na tatsulok na may mga gilid a, b, c Isulat natin ang isang isosceles triangle sa paraang ang pantay na mga anggulo sa base nito θ ay katumbas ng napiling anggulo. Ipagpalagay natin na ang napiling anggulo θ ay matatagpuan sa tapat ng gilid na itinalaga c. Bilang isang resulta, nakuha namin ang tatsulok na ABD na may anggulo θ, na matatagpuan sa tapat ng gilid a at mga partido r. Ang pangalawang tatsulok ay nabuo sa pamamagitan ng anggulo θ, na matatagpuan sa tapat ng gilid b at mga partido Sa haba s, gaya ng ipinapakita sa larawan. Nagtalo si Thabit Ibn Qurra na ang mga panig sa tatlong tatsulok na ito ay magkakaugnay tulad ng sumusunod:
Habang papalapit ang anggulo θ sa π/2, ang base ng isosceles triangle ay nagiging mas maliit at ang dalawang panig na r at s ay nagkakapatong sa isa't isa nang paunti-unti. Kapag θ = π/2, ang ADB ay nagiging isang tamang tatsulok, r + s = c at nakuha namin ang paunang Pythagorean theorem.
Isaalang-alang natin ang isa sa mga argumento. Ang Triangle ABC ay may parehong mga anggulo tulad ng triangle ABD, ngunit sa reverse order. (May dalawang tatsulok karaniwang anggulo sa vertex B, parehong may isang anggulo θ at mayroon ding parehong ikatlong anggulo, sa pamamagitan ng kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok) Alinsunod dito, ang ABC ay katulad ng reflection ABD ng tatsulok na DBA, tulad ng ipinapakita sa ibabang pigura. Isulat natin ang ugnayan sa pagitan ng magkabilang panig at ang mga katabi ng anggulo θ,
Isang salamin din ng isa pang tatsulok,
I-multiply natin ang mga fraction at idagdag ang dalawang ratio na ito:
Q.E.D.
Generalization para sa arbitrary triangles sa pamamagitan ng parallelograms
Paglalahat para sa mga arbitrary na tatsulok,
luntiang lugar plot = lugar asul
Patunay ng thesis na sa figure sa itaas
Gumawa tayo ng karagdagang paglalahat para sa mga hindi tamang tatsulok sa pamamagitan ng paggamit ng mga paralelogram sa tatlong panig sa halip na mga parisukat. (Ang mga parisukat ay isang espesyal na kaso.) Ipinapakita ng itaas na figure na para sa isang talamak na tatsulok, ang lugar ng parallelogram sa mahabang bahagi ay katumbas ng kabuuan ng parallelograms sa iba pang dalawang panig, sa kondisyon na ang parallelogram sa mahabang side ay itinayo tulad ng ipinapakita sa figure (ang mga sukat na ipinahiwatig ng mga arrow ay pareho at tinutukoy ang mga gilid ng mas mababang paralelogram). Ang pagpapalit na ito ng mga parisukat na may parallelograms ay may malinaw na pagkakahawig sa unang teorama ng Pythagoras, na inaakalang binuo ni Pappus ng Alexandria noong 4 AD. e.
Ang ibabang pigura ay nagpapakita ng pag-unlad ng patunay. Tingnan natin ang kaliwang bahagi ng tatsulok. Ang kaliwang berdeng paralelogram ay may parehong lugar bilang kaliwang bahagi asul na paralelogram dahil pareho sila ng base b at taas h. Gayundin, ang kaliwang berdeng paralelogram ay may parehong lugar tulad ng kaliwang berdeng paralelogram sa itaas na larawan dahil sila ay magkaparehong base (itaas kaliwang bahagi tatsulok) at ang kabuuang taas na patayo sa gilid na iyon ng tatsulok. Gamit ang katulad na pangangatwiran para sa kanang bahagi ng tatsulok, papatunayan natin na ang mas mababang parallelogram ay may parehong lugar sa dalawang berdeng parallelogram.
Mga kumplikadong numero
Ang Pythagorean theorem ay ginagamit upang mahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos sa isang Cartesian coordinate system, at ang theorem na ito ay wasto para sa lahat ng tunay na coordinate: distansya s sa pagitan ng dalawang puntos ( a, b) At ( c, d) katumbas
Walang mga problema sa formula kung ang mga kumplikadong numero ay itinuturing bilang mga vector na may mga tunay na bahagi x + ako y = (x, y). . Halimbawa, distansya s sa pagitan ng 0 + 1 i at 1 + 0 i kinakalkula bilang modulus ng vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o
Gayunpaman, para sa mga operasyon na may mga vector na may kumplikadong mga coordinate, kinakailangan na gumawa ng ilang mga pagpapabuti sa formula ng Pythagorean. Distansya sa pagitan ng mga puntos na may kumplikadong mga numero (a, b) At ( c, d); a, b, c, At d lahat kumplikado, ipaalam sa amin bumalangkas gamit ganap na mga halaga. Distansya s batay sa pagkakaiba ng vector (a − c, b − d) sa sumusunod na anyo: hayaan ang pagkakaiba a − c = p+i q, Saan p- tunay na bahagi ng pagkakaiba, q ay ang haka-haka na bahagi, at i = √(−1). Gayundin, hayaan b − d = r+i s. Pagkatapos:
nasaan ang complex conjugate number para sa . Halimbawa, ang distansya sa pagitan ng mga punto (a, b) = (0, 1) At (c, d) = (i, 0) , kalkulahin natin ang pagkakaiba (a − c, b − d) = (−i, 1) at ang magiging resulta ay 0 kung hindi ginamit ang mga kumplikadong conjugates. Samakatuwid, gamit ang pinahusay na formula, nakukuha namin
Ang module ay tinukoy bilang mga sumusunod:
Stereometry
Ang isang makabuluhang generalization ng Pythagorean theorem para sa three-dimensional space ay ang theorem ni de Goy, na pinangalanang J.-P. de Gois: kung ang isang tetrahedron ay may tamang anggulo (tulad ng sa isang kubo), kung gayon ang parisukat ng lugar ng mukha sa tapat ng tamang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga lugar ng iba pang tatlong mukha. Ang konklusyong ito ay maaaring ibuod bilang " n-dimensional na Pythagorean theorem":
Pythagorean theorem tatlong-dimensional na espasyo nag-uugnay sa dayagonal AD sa tatlong panig.
Isa pang paglalahat: Ang Pythagorean theorem ay maaaring ilapat sa stereometry sa sumusunod na anyo. Isaalang-alang ang isang parihabang parallelepiped tulad ng ipinapakita sa figure. Hanapin natin ang haba ng dayagonal na BD gamit ang Pythagorean theorem:
kung saan ang tatlong panig ay bumubuo ng isang tamang tatsulok. Ginagamit namin ang pahalang na dayagonal na BD at ang vertical na gilid AB upang mahanap ang haba ng dayagonal AD, para dito muli naming ginagamit ang Pythagorean theorem:
o, kung isusulat natin ang lahat sa isang equation:
Ang resultang ito ay isang three-dimensional na expression para sa pagtukoy ng magnitude ng vector v(diagonal AD), na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga perpendikular na bahagi nito ( v k ) (tatlong magkabilang patayo na gilid):
Ang equation na ito ay maaaring ituring bilang isang generalization ng Pythagorean theorem para sa multidimensional space. Gayunpaman, ang resulta ay talagang walang iba kundi ang paulit-ulit na aplikasyon ng Pythagorean theorem sa isang sequence ng right triangles sa sunud-sunod na perpendicular planes.
Vector space
Sa kaso ng isang orthogonal system ng mga vectors, mayroong isang pagkakapantay-pantay, na tinatawag ding Pythagorean theorem:
Kung - ito ay mga projection ng vector papunta sa mga coordinate axes, ang formula na ito ay tumutugma sa Euclidean distance - at nangangahulugan na ang haba ng vector ay katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga bahagi nito.
Ang pagkakatulad ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaso ng isang walang katapusang sistema ng mga vector ay tinatawag na pagkakapantay-pantay ng Parseval.
Non-Euclidean geometry
Ang Pythagorean theorem ay nagmula sa mga axiom ng Euclidean geometry at, sa katunayan, ay hindi wasto para sa non-Euclidean geometry, sa anyo kung saan ito nakasulat sa itaas. (Iyon ay, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang uri ng katumbas ng Euclid's postulate of parallelism) Sa madaling salita, sa non-Euclidean geometry ang relasyon sa pagitan ng mga gilid ng isang tatsulok ay kinakailangang nasa isang anyo na naiiba sa Pythagorean theorem. Halimbawa, sa spherical geometry, lahat ng tatlong panig ng isang right triangle (sabihin a, b At c), na naglilimita sa octant (ika-walong bahagi) ng unit sphere, ay may haba na π/2, na sumasalungat sa Pythagorean theorem, dahil a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Isaalang-alang natin dito ang dalawang kaso ng non-Euclidean geometry - spherical at hyperbolic geometry; sa parehong mga kaso, tulad ng para sa Euclidean space para sa right triangles, ang resulta, na pumapalit sa Pythagorean theorem, ay sumusunod mula sa cosine theorem.
Gayunpaman, ang Pythagorean theorem ay nananatiling wasto para sa hyperbolic at elliptic geometry kung ang pangangailangan na ang tatsulok ay hugis-parihaba ay papalitan ng kondisyon na ang kabuuan ng dalawang anggulo ng tatsulok ay dapat na katumbas ng pangatlo, sabihin nating A+B = C. Pagkatapos ay ganito ang ugnayan sa pagitan ng mga panig: ang kabuuan ng mga lugar ng mga bilog na may mga diameter a At b katumbas ng lugar ng isang bilog na may diameter c.
Spherical geometry
Para sa anumang tamang tatsulok sa isang globo na may radius R(halimbawa, kung ang anggulo γ sa isang tatsulok ay tama) na may mga gilid a, b, c Ang relasyon sa pagitan ng mga partido ay magiging ganito:
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring makuha bilang isang espesyal na kaso spherical cosine theorem, na wasto para sa lahat ng spherical triangles:
kung saan ang cosh ay ang hyperbolic cosine. Ang formula na ito ay isang espesyal na kaso ng hyperbolic cosine theorem, na wasto para sa lahat ng mga tatsulok:
kung saan ang γ ay ang anggulo na ang vertex ay nasa tapat ng gilid c.
saan g ij tinatawag na metric tensor. Maaaring ito ay isang function ng posisyon. Ang nasabing mga curvilinear space ay kinabibilangan ng Riemannian geometry bilang pangkalahatang halimbawa. Ang pormulasyon na ito ay angkop din para sa Euclidean space kapag gumagamit ng curvilinear coordinates. Halimbawa, para sa mga polar coordinates:
Vector na likhang sining
Ang Pythagorean theorem ay nag-uugnay sa dalawang expression para sa magnitude ng isang vector product. Ang isang diskarte sa pagtukoy ng cross product ay nangangailangan na matugunan nito ang equation:
Ginagamit ng formula na ito ang produkto ng tuldok. Kanang bahagi ang equation ay tinatawag na Gram determinant para sa a At b, na katumbas ng lugar ng parallelogram na nabuo ng dalawang vector na ito. Batay sa pangangailangang ito, pati na rin ang pangangailangan na ang produkto ng vector ay patayo sa mga bahagi nito a At b sinusundan nito na, maliban sa mga maliit na kaso mula sa 0- at 1-dimensional na espasyo, ang cross product ay tinukoy lamang sa tatlo at pitong dimensyon. Ginagamit namin ang kahulugan ng anggulo sa n-dimensional na espasyo:
Ang pag-aari na ito ng isang cross product ay nagbibigay ng magnitude nito tulad ng sumusunod:
Sa pamamagitan ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ng Pythagoras nakakakuha tayo ng isa pang anyo ng pagsulat ng halaga nito:
Ang isang alternatibong diskarte sa pagtukoy ng cross product ay ang paggamit ng expression para sa magnitude nito. Pagkatapos, pangangatwiran sa reverse order, nakakakuha kami ng koneksyon sa scalar product:
Tingnan din
Mga Tala
- Paksa sa kasaysayan: Pythagoras's theorem sa Babylonian mathematics
- ( , p. 351) p. 351
- ( , Tomo I, p. 144)
- Pagtalakay makasaysayang katotohanan ibinigay sa (, p. 351) p. 351
- Kurt Von Fritz (Abr., 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Ikalawang Serye(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, "The Story with Knots", M., Mir, 1985, p. 7
- Asger Aaboe Mga yugto mula sa unang bahagi ng kasaysayan ng matematika. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Proposisyon ng Python ni Elisha Scott Loomis
- kay Euclid Mga elemento: Aklat VI, Proposisyon VI 31: “Sa mga tatsulok na may tamang anggulo, ang pigura sa gilid na nagpapa-subtend sa tamang anggulo ay katumbas ng magkatulad at katulad na inilarawang mga pigura sa mga gilid na naglalaman ng tamang anggulo.”
- Lawrence S. Leff binanggit na gawain. - Barron's Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...generalization ng Pythagorean theorem // Mga magagandang sandali sa matematika (bago ang 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Si Tâbit ibn Qorra (buong pangalan na Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) ay isang manggagamot na naninirahan sa Baghdad na malawakang sumulat sa Mga Elemento ni Euclid at iba pang mga paksang matematika.
- Aydin Sayili (Mar. 1960). Paglalahat ng Pythagorean Theorem ni "Thâbit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Pagsasanay 2.10 (ii) // Binanggit na gawain. - P. 62. - ISBN 0821844032
- Para sa mga detalye ng naturang konstruksiyon, tingnan George Jennings Figure 1.32: Ang pangkalahatang Pythagorean theorem // Modernong geometry na may mga aplikasyon: na may 150 figure. - ika-3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy item C: Norm para sa isang arbitrary n-tuple ... // Isang panimula sa pagsusuri . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Tingnan din ang mga pahina 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry ng mga curve at surface na may Mathematica. - ika-3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Pagsusuri ng matris. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking binanggit na gawain. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics. - ika-2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Noong una mong sinimulan ang pag-aaral tungkol sa mga square root at kung paano lutasin ang mga hindi makatwirang equation (mga pagkakapantay-pantay na kinasasangkutan ng hindi alam sa ilalim ng root sign), malamang na nakuha mo ang iyong unang lasa ng kanilang mga praktikal na gamit. Kakayahang mag-extract Kuwadrado na ugat mula sa mga numero ay kinakailangan din upang malutas ang mga problema gamit ang Pythagorean theorem. Ang theorem na ito ay nag-uugnay sa mga haba ng mga gilid ng anumang tamang tatsulok.
Hayaang ang mga haba ng mga binti ng isang tamang tatsulok (ang dalawang panig na nagsasalubong sa tamang mga anggulo) ay itinalaga ng mga titik at, at ang haba ng hypotenuse (ang pinakamahabang bahagi ng tatsulok na matatagpuan sa tapat ng tamang anggulo) ay itatalaga ng ang sulat. Pagkatapos ang kaukulang mga haba ay nauugnay sa sumusunod na kaugnayan:
Ang equation na ito ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang haba ng isang gilid ng isang right triangle kapag ang haba ng iba pang dalawang panig nito ay kilala. Bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong matukoy kung ang tatsulok na pinag-uusapan ay isang tamang tatsulok, sa kondisyon na ang mga haba ng lahat ng tatlong panig ay alam nang maaga.
Paglutas ng mga problema gamit ang Pythagorean theorem
Upang pagsama-samahin ang materyal, lulutasin natin ang mga sumusunod na problema gamit ang Pythagorean theorem.
Kaya, ibinigay:
- Ang haba ng isa sa mga binti ay 48, ang hypotenuse ay 80.
- Ang haba ng binti ay 84, ang hypotenuse ay 91.
Pumunta tayo sa solusyon:
a) Ang pagpapalit ng data sa equation sa itaas ay nagbibigay ng mga sumusunod na resulta:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 o b = -64
Dahil ang haba ng isang gilid ng isang tatsulok ay hindi maipahayag negatibong numero, ang pangalawang opsyon ay awtomatikong itinatapon.
Sagot sa unang larawan: b = 64.
b) Ang haba ng binti ng pangalawang tatsulok ay matatagpuan sa parehong paraan:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 o b = -35
Tulad ng sa nakaraang kaso, ang isang negatibong desisyon ay itinapon.
Sagot sa pangalawang larawan: b = 35
Binigyan kami ng:
- Ang mga haba ng mas maliliit na gilid ng tatsulok ay 45 at 55, ayon sa pagkakabanggit, at ang mas malaking panig ay 75.
- Ang mga haba ng mas maliliit na gilid ng tatsulok ay 28 at 45, ayon sa pagkakabanggit, at ang mas malaking panig ay 53.
Lutasin natin ang problema:
a) Kinakailangang suriin kung ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mas maikling gilid ng isang naibigay na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng haba ng mas malaki:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Samakatuwid, ang unang tatsulok ay hindi isang tamang tatsulok.
b) Ang parehong operasyon ay isinasagawa:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Samakatuwid, ang pangalawang tatsulok ay isang tamang tatsulok.
Una, hanapin natin ang haba ng pinakamalaking segment na nabuo ng mga puntos na may mga coordinate (-2, -3) at (5, -2). Para dito ginagamit namin kilalang formula upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga punto sa isang rectangular coordinate system:
Katulad nito, nakita namin ang haba ng segment na nakapaloob sa pagitan ng mga puntos na may mga coordinate (-2, -3) at (2, 1):
Sa wakas, tinutukoy namin ang haba ng segment sa pagitan ng mga puntos na may mga coordinate (2, 1) at (5, -2):
Dahil ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:
pagkatapos ay ang katumbas na tatsulok ay right-angled.
Kaya, maaari nating bumalangkas ang sagot sa problema: dahil ang kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid na may pinakamaikling haba ay katumbas ng parisukat ng gilid na may pinakamahabang haba, ang mga punto ay ang mga vertices ng isang tamang tatsulok.
Ang base (matatagpuan nang mahigpit na pahalang), ang hamba (mahigpit na matatagpuan patayo) at ang cable (nakaunat nang pahilis) ay bumubuo ng isang tamang tatsulok, ayon sa pagkakabanggit, upang mahanap ang haba ng cable ang Pythagorean theorem ay maaaring gamitin:
Kaya, ang haba ng cable ay magiging humigit-kumulang 3.6 metro.
Ibinigay: ang distansya mula sa point R hanggang point P (ang binti ng triangle) ay 24, mula sa point R hanggang point Q (hypotenuse) ay 26.
Kaya, tulungan natin si Vita na malutas ang problema. Dahil ang mga gilid ng tatsulok na ipinapakita sa figure ay dapat na bumuo ng isang tamang tatsulok, maaari mong gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap ang haba ng ikatlong panig:
Kaya, ang lapad ng pond ay 10 metro.
Sergey Valerievich
Pythagorean theorem- isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na nagtatatag ng kaugnayan
sa pagitan ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.
Ito ay pinaniniwalaan na ito ay napatunayan ng Greek mathematician na si Pythagoras, kung kanino ito pinangalanan.
Geometric formulation ng Pythagorean theorem.
Ang teorama ay orihinal na nabuo tulad ng sumusunod:
Sa isang kanang tatsulok, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat,
binuo sa mga binti.
Algebraic formulation ng Pythagorean theorem.
Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.
Iyon ay, denoting ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang mga haba ng mga binti sa pamamagitan ng a At b:
Parehong formulations Pythagorean theorem ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi
nangangailangan ng konsepto ng lugar. Ibig sabihin, mapapatunayan ang pangalawang pahayag nang hindi alam ang anumang bagay tungkol sa lugar at
sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.
Converse Pythagorean theorem.
Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig, kung gayon
kanang tatsulok.
O, sa madaling salita:
Para sa bawat triple ng mga positibong numero a, b At c, ganyan
mayroong isang kanang tatsulok na may mga binti a At b at hypotenuse c.
Pythagorean theorem para sa isang isosceles triangle.
Pythagorean theorem para sa isang equilateral triangle.
Mga patunay ng Pythagorean theorem.
Sa kasalukuyan, 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang ang theorem
Ang Pythagoras ay ang tanging teorama na may napakaraming mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba
maaari lamang ipaliwanag sa pamamagitan ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa geometry.
Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila:
patunay paraan ng lugar, axiomatic At kakaibang ebidensya(Halimbawa,
sa pamamagitan ng paggamit differential equation).
1. Patunay ng Pythagorean theorem gamit ang mga katulad na triangles.
Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng mga patunay na binuo
direkta mula sa axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.
Hayaan ABC may tamang tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit natin ang taas C at magpakilala
pundasyon nito sa pamamagitan ng H.
Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok AB C sa dalawang sulok. Gayundin, tatsulok CBH katulad ABC.
Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon:
nakukuha natin:
,
na tumutugma sa -
Nakatupi a 2 at b 2, nakukuha namin:
o , na kung ano ang kailangang patunayan.
2. Patunay ng Pythagorean theorem gamit ang area method.
Ang mga patunay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila
gumamit ng mga katangian ng lugar, ang mga patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.
- Patunay sa pamamagitan ng equicomplementarity.
Ayusin natin ang apat na pantay na parihaba
tatsulok tulad ng ipinapakita sa figure
sa kanan.
Quadrangle na may mga gilid c- parisukat,
dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90°, at
nakabukas na anggulo - 180°.
Ang lugar ng buong figure ay pantay, sa isang banda,
lugar ng isang parisukat na may gilid ( a+b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at
Q.E.D.
3. Patunay ng Pythagorean theorem sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan.
Pagtingin sa guhit na ipinapakita sa pigura at
pinapanood ang pagbabago sa gilida, kaya natin
isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa walang hanggan
maliit mga pagtaas sa gilidSa At a(gamit ang pagkakatulad
mga tatsulok):
Gamit ang variable na paraan ng paghihiwalay, makikita natin ang:
Isang mas pangkalahatang pagpapahayag para sa pagbabago sa hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas sa magkabilang panig:
Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kundisyon, makuha namin ang:
Kaya nakarating tayo sa nais na sagot:
Gaya ng madaling makita, lumilitaw ang quadratic dependence sa huling formula dahil sa linear
proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagtaas, habang ang kabuuan ay nauugnay sa independyente
kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.
Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas
(sa kasong ito ang binti b). Pagkatapos ay para sa pare-parehong pagsasama makuha namin:
Pythagorean theorem
Katulad nito, ang tatsulok na CBH ay katulad ng ABC. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon 
1. Maglagay ng apat na pantay na tamang tatsulok tulad ng ipinapakita sa figure. 
Ang ideya ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahating lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng magkapantay ang malaki at dalawang maliit na parisukat. Tingnan natin ang guhit sa kaliwa. Dito ay nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang tatsulok at gumuhit ng isang ray s mula sa tuktok ng kanang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong katumbas ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti. Subukan nating patunayan na ang lugar ng parisukat na DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo na AHJK. Upang gawin ito, gagamit tayo ng isang pantulong na obserbasyon: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base bilang ang ibinigay na parihaba ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ibinigay na parihaba. Ito ay bunga ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa obserbasyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinapakita sa figure), na kung saan ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parihaba AHJK. Patunayan natin ngayon na ang area ng triangle ACK ay katumbas din ng kalahati ng area ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat ayon sa pag-aari sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay ay halata, ang mga tatsulok ay pantay sa magkabilang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Namely - AB=AK,AD=AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng paraan ng paggalaw: iniikot namin ang tatsulok na CAK 90° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang mga kaukulang panig ng dalawang tatsulok sa ang tanong ay magkakasabay (dahil sa katotohanan na ang anggulo sa tuktok ng parisukat ay 90°). Ang pangangatwiran para sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang parihaba na BHJI ay ganap na magkatulad. Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binubuo ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. 
Isaalang-alang natin ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa mahusay na proporsyon, pinutol ng segment na CI ang parisukat na ABHJ sa dalawang magkaparehong bahagi (dahil ang mga tatsulok na ABC at JHI ay pantay sa konstruksyon). Gamit ang 90-degree na counterclockwise na pag-ikot, nakikita namin ang pagkakapantay-pantay ng mga shaded figure na CAJI at GDAB. Ngayon ay malinaw na ang lugar ng figure na na-shade namin ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse, kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay naiwan sa mambabasa.
