Ang mga canonical equation ng isang linya sa espasyo ay ang mga equation na tumutukoy sa linyang dumadaan puntong ito collinear sa vector ng direksyon.

Hayaang magbigay ng isang punto at isang vector ng direksyon. Ang isang arbitrary na punto ay namamalagi sa isang linya l lamang kung ang mga vector at ay collinear, ibig sabihin, ang kondisyon ay nasiyahan para sa kanila:

.

Ang mga equation sa itaas ay ang mga canonical equation ng tuwid na linya.

Numero m , n At p ay mga projection ng vector ng direksyon papunta sa mga coordinate axes. Dahil ang vector ay hindi zero, kung gayon ang lahat ng mga numero m , n At p hindi maaaring sabay na katumbas ng zero. Ngunit ang isa o dalawa sa mga ito ay maaaring maging zero. Sa analytical geometry, halimbawa, pinapayagan ang sumusunod na entry:

,

na nangangahulugan na ang mga projection ng vector sa axis Oy At Oz ay katumbas ng zero. Samakatuwid, pareho ang vector at ang tuwid na linya na tinukoy ng mga canonical equation ay patayo sa mga axes Oy At Oz, ibig sabihin, mga eroplano yOz .

Halimbawa 1. Sumulat ng mga equation para sa isang linya sa espasyo na patayo sa isang eroplano at dumadaan sa punto ng intersection ng eroplanong ito sa axis Oz .

Solusyon. Hanapin natin ang punto ng intersection ng eroplanong ito sa axis Oz. Dahil ang anumang punto na nakahiga sa axis Oz, ay may mga coordinate , kung gayon, ipagpalagay sa ibinigay na equation ng eroplano x = y = 0, nakakakuha tayo ng 4 z- 8 = 0 o z= 2 . Samakatuwid, ang punto ng intersection ng eroplanong ito sa axis Oz ay may mga coordinate (0; 0; 2) . Dahil ang nais na linya ay patayo sa eroplano, ito ay parallel sa normal na vector nito. Samakatuwid, ang direktang vector ng tuwid na linya ay maaaring maging normal na vector binigay na eroplano.

Ngayon ay isulat natin ang mga kinakailangang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A= (0; 0; 2) sa direksyon ng vector:

Mga equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos

Ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng dalawang puntos na nakahiga dito At Sa kasong ito, ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya ay maaaring ang vector . Pagkatapos ay ang mga canonical equation ng linya ay kunin ang anyo

.

Tinutukoy ng mga equation sa itaas ang isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos.

Halimbawa 2. Sumulat ng isang equation para sa isang linya sa espasyo na dumadaan sa mga puntos at .

Solusyon. Isulat natin ang mga kinakailangang equation ng tuwid na linya sa form na ibinigay sa itaas sa teoretikal na sanggunian:

.

Dahil , pagkatapos ay ang nais na tuwid na linya ay patayo sa axis Oy .

Tuwid bilang linya ng intersection ng mga eroplano

Ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring tukuyin bilang linya ng intersection ng dalawang di-parallel na eroplano at, ibig sabihin, bilang isang set ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa isang sistema ng dalawang linear equation

Ang mga equation ng system ay tinatawag ding pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Halimbawa 3. Bumuo ng mga canonical equation ng isang linya sa espasyo na ibinigay ng mga pangkalahatang equation

Solusyon. Upang isulat ang mga canonical equation ng isang linya o, kung ano ang pareho, ang mga equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng anumang dalawang puntos sa linya. Maaari silang maging mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may anumang dalawang coordinate na eroplano, halimbawa yOz At xOz .

Point ng intersection ng isang linya at isang eroplano yOz may abscissa x= 0 . Samakatuwid, ipagpalagay sa sistemang ito ng mga equation x= 0, nakakakuha tayo ng system na may dalawang variable:

Ang kanyang desisyon y = 2 , z= 6 kasama ang x= 0 ay tumutukoy sa isang punto A(0; 2; 6) ang gustong linya. Pagkatapos ay ipinapalagay sa ibinigay na sistema ng mga equation y= 0, nakukuha namin ang system

Ang kanyang desisyon x = -2 , z= 0 kasama ng y= 0 ay tumutukoy sa isang punto B(-2; 0; 0) intersection ng isang linya na may eroplano xOz .

Ngayon isulat natin ang mga equation ng linyang dumadaan sa mga puntos A(0; 2; 6) at B (-2; 0; 0) :

,

o pagkatapos hatiin ang mga denominador sa -2:

,

Hayaang dumaan ang linya sa mga puntong M 1 (x 1; y 1) at M 2 (x 2; y 2). Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 ay may anyo na y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

saan k - hindi pa rin alam na koepisyent.

Dahil ang tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M 2 (x 2 y 2), ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Mula dito makikita natin ang Pagpapalit sa nahanap na halaga k sa equation (10.6), nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 at M 2:

Ipinapalagay na sa equation na ito x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kung x 1 = x 2, kung gayon ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 (x 1,y I) at M 2 (x 2,y 2) ay parallel sa ordinate axis. Ang equation nito ay x = x 1 .

Kung y 2 = y I, kung gayon ang equation ng linya ay maaaring isulat bilang y = y 1, ang tuwid na linya M 1 M 2 ay parallel sa abscissa axis.

Equation ng isang linya sa mga segment

Hayaang magsalubong ang tuwid na linya sa axis ng Ox sa puntong M 1 (a;0), at sa axis ng Oy sa puntong M 2 (0;b). Ang equation ay kukuha ng anyo:
mga.
. Ang equation na ito ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, dahil Ang mga numero a at b ay nagpapahiwatig kung aling mga segment ang pinuputol ng linya sa mga coordinate axes.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector

Hanapin natin ang equation ng linyang dumadaan ibinigay na punto Ang Mo (x O; y o) ay patayo sa ibinigay na non-zero vector n = (A; B).

Kumuha tayo ng arbitrary point M(x; y) sa linya at isaalang-alang ang vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (tingnan ang Fig. 1). Dahil ang mga vectors n at M o M ay patayo, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: iyon ay

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ang equation (10.8) ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector .

Vector n= (A; B), patayo sa linya, ay tinatawag na normal normal na vector ng linyang ito .

Ang equation (10.8) ay maaaring muling isulat bilang Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kung saan ang A at B ay ang mga coordinate ng normal na vector, C = -Ax o - Vu o ang libreng termino. Equation (10.9) ay ang pangkalahatang equation ng linya(tingnan ang Fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Canonical equation ng linya

,

saan
- mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at
- vector ng direksyon.

Second order curves Circle

Ang bilog ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro.

Canonical equation ng isang bilog ng radius R nakasentro sa isang punto
:

Sa partikular, kung ang sentro ng stake ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, ang equation ay magiging ganito:

Ellipse

Ang ellipse ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa dalawang ibinigay na mga punto At , na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong dami
, mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci
.

Ang canonical equation ng isang ellipse na ang foci ay nasa Ox axis, at ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna sa pagitan ng foci ay may anyo
G de a semi-major axis haba; b – haba ng semi-minor na axis (Larawan 2).

Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.
Ang vector ng direksyon ay tuwid. Normal na vector

Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay isa sa pinakasimpleng mga geometric na hugis, pamilyar sa iyo mula noon mga junior class, at ngayon ay matututunan natin kung paano ito haharapin gamit ang mga pamamaraan ng analytical geometry. Upang makabisado ang materyal, dapat kang makabuo ng isang tuwid na linya; alamin kung anong equation ang tumutukoy sa isang tuwid na linya, sa partikular, isang tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate at mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes. Ang impormasyong ito makikita sa manwal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar, nilikha ko ito para sa matan, ngunit ang seksyon tungkol sa linear function Ito ay naging napaka-matagumpay at detalyado. Samakatuwid, mahal na mga teapot, magpainit muna diyan. Bilang karagdagan, kailangan mong magkaroon ng pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector, kung hindi, ang pag-unawa sa materyal ay hindi kumpleto.

Sa araling ito ay titingnan natin ang mga paraan kung saan maaari kang lumikha ng isang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Inirerekumenda ko na huwag pabayaan ang mga praktikal na halimbawa (kahit na ito ay tila napakasimple), dahil bibigyan ko sila ng elementarya at mahahalagang katotohanan, mga teknikal na pamamaraan na kakailanganin sa hinaharap, kasama ang iba pang mga seksyon ng mas mataas na matematika.

• Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na may isang koepisyent ng anggulo?
• paano ?
• Paano makahanap ng isang vector ng direksyon gamit ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?
• Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

at magsisimula tayo:

Equation ng isang tuwid na linya na may slope

Ang kilalang "paaralan" na anyo ng isang tuwid na linyang equation ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na may slope. Halimbawa, kung ang isang tuwid na linya ay ibinigay ng equation, kung gayon ang slope nito ay: . Isaalang-alang natin ang geometric na kahulugan ng koepisyent na ito at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa lokasyon ng linya:

Sa isang kursong geometry ay napatunayan na ang slope ng tuwid na linya ay katumbas ng padaplis ng anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng axisat ang linyang ito: , at ang anggulo ay "nag-unscrew" nang pakaliwa.

Upang hindi makalat ang pagguhit, gumuhit ako ng mga anggulo para lamang sa dalawang tuwid na linya. Isaalang-alang natin ang "pula" na linya at ang slope nito. Ayon sa itaas: (ang anggulo ng "alpha" ay ipinahiwatig ng isang berdeng arko). Para sa "asul" na tuwid na linya na may koepisyent ng anggulo, ang pagkakapantay-pantay ay totoo (ang anggulo ng "beta" ay ipinahiwatig ng isang brown na arko). At kung ang tangent ng anggulo ay kilala, kung kinakailangan ay madaling mahanap at ang sulok mismo gamit ang inverse function - arctangent. Tulad ng sinasabi nila, isang trigonometric table o isang microcalculator sa iyong mga kamay. kaya, ang angular coefficient ay nagpapakilala sa antas ng pagkahilig ng tuwid na linya sa abscissa axis.

Sa kasong ito, posible mga sumusunod na kaso:

1) Kung ang slope ay negatibo: pagkatapos ang linya, halos pagsasalita, ay mula sa itaas hanggang sa ibaba. Ang mga halimbawa ay ang "asul" at "raspberry" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

2) Kung ang slope ay positibo: pagkatapos ay ang linya ay mula sa ibaba hanggang sa itaas. Mga halimbawa - "itim" at "pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

3) Kung ang slope ay zero: , kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo , at ang katumbas na tuwid na linya ay parallel sa axis. Ang isang halimbawa ay ang "dilaw" na tuwid na linya.

4) Para sa isang pamilya ng mga linya na kahanay sa isang axis (walang halimbawa sa pagguhit, maliban sa axis mismo), ang angular coefficient ay wala (hindi tinukoy ang tangent ng 90 degrees).

Kung mas malaki ang slope coefficient sa absolute value, mas matarik ang straight line graph..

Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Dito, samakatuwid, ang tuwid na linya ay may mas matarik na dalisdis. Ipaalala ko sa iyo na pinapayagan ka ng module na huwag pansinin ang sign, interesado lang kami ganap na mga halaga angular coefficients.

Sa turn, ang isang tuwid na linya ay mas matarik kaysa sa mga tuwid na linya .

Sa kabaligtaran: mas maliit ang slope coefficient sa absolute value, mas flatter ang tuwid na linya.

Para sa mga tuwid na linya ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kaya ang tuwid na linya ay mas patag. Pag-slide ng mga bata, upang hindi bigyan ang iyong sarili ng mga pasa at bukol.

Bakit kailangan ito?

Patagalin ang iyong pagdurusa Ang kaalaman sa mga katotohanan sa itaas ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na makita ang iyong mga pagkakamali, lalo na, ang mga pagkakamali kapag gumagawa ng mga graph - kung ang pagguhit ay lumabas na "malinaw na mali." Maipapayo na ikaw kaagad malinaw na, halimbawa, ang tuwid na linya ay napakatarik at napupunta mula sa ibaba hanggang sa itaas, at ang tuwid na linya ay napaka-flat, na pinindot malapit sa axis at napupunta mula sa itaas hanggang sa ibaba.

Sa mga problemang geometriko, maraming mga tuwid na linya ang madalas na lumilitaw, kaya maginhawang italaga ang mga ito sa anumang paraan.

Mga pagtatalaga: ang mga tuwid na linya ay itinalagang maliit may mga letrang Latin: . Ang isang popular na opsyon ay ang pagtatalaga sa kanila gamit ang parehong titik na may natural na mga subscript. Halimbawa, ang limang linyang tiningnan lang natin ay maaaring tukuyin ng .

Dahil ang anumang tuwid na linya ay natatanging tinutukoy ng dalawang puntos, maaari itong tukuyin ng mga puntong ito: atbp. Ang pagtatalaga ay malinaw na nagpapahiwatig na ang mga punto ay kabilang sa linya.

Oras na para magpainit ng kaunti:

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na may isang koepisyent ng anggulo?

Kung ang isang punto na kabilang sa isang tiyak na linya at ang angular coefficient ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Halimbawa 1

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na may slope kung alam na ang punto ay kabilang sa ibinigay na linya.

Solusyon: Buuin natin ang equation ng tuwid na linya gamit ang formula . SA sa kasong ito:

Sagot:

Pagsusulit ay ginagawa nang simple. Una, tinitingnan natin ang resultang equation at siguraduhing nasa lugar ang ating slope. Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang equation na ito. Isaksak natin sila sa equation:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Konklusyon: Nahanap nang tama ang equation.

Isang mas nakakalito na halimbawa para sa malayang desisyon:

Halimbawa 2

Sumulat ng equation para sa isang tuwid na linya kung alam na ang anggulo ng pagkahilig nito sa positibong direksyon ng axis ay , at ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, muling basahin ang teoretikal na materyal. Mas tiyak, mas praktikal, laktawan ko ang maraming ebidensya.

Tumunog ito huling tawag, lumipas na ang graduation party, at sa labas ng gate ng aming katutubong paaralan, naghihintay sa amin ang analytical geometry mismo. Tapos na ang mga biro... O baka nagsisimula pa lang sila =)

Nostalgically namin iwagayway ang aming panulat sa pamilyar at maging pamilyar sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Dahil sa analytical geometry ito mismo ang ginagamit:

Pangkalahatang equation ang tuwid na linya ay may anyo: , nasaan ang ilang mga numero. Kasabay nito, ang mga coefficients sabay-sabay ay hindi katumbas ng zero, dahil nawawalan ng kahulugan ang equation.

Magsuot tayo ng suit at itali ang equation sa slope coefficient. Una, ilipat natin ang lahat ng mga tuntunin sa kaliwang bahagi:

Ang terminong may "X" ay dapat ilagay sa unang lugar:

Sa prinsipyo, ang equation ay mayroon nang anyo , ngunit ayon sa mga tuntunin ng mathematical etiquette, ang koepisyent ng unang termino (sa kasong ito) ay dapat na positibo. Pagbabago ng mga palatandaan:

Tandaan ang teknikal na tampok na ito! Ginagawa naming positibo ang unang koepisyent (madalas)!

Sa analytical geometry, ang equation ng isang tuwid na linya ay halos palaging ibibigay sa pangkalahatang anyo. Buweno, kung kinakailangan, madali itong mabawasan sa anyo ng "paaralan" na may isang angular na koepisyent (maliban sa mga tuwid na linya na kahanay sa ordinate axis).

Tanungin natin ang ating sarili kung ano tama na marunong gumawa ng tuwid na linya? Dalawang puntos. Ngunit higit pa tungkol sa insidenteng ito ng pagkabata, nananatili na ngayon sa panuntunan ng mga arrow. Ang bawat tuwid na linya ay may napakaspesipikong slope, na madaling "i-adapt" sa. vector.

Ang isang vector na kahanay ng isang linya ay tinatawag na vector ng direksyon ng linyang iyon. Malinaw na ang anumang tuwid na linya ay may walang katapusang bilang ng mga vector ng direksyon, at lahat ng mga ito ay magiging collinear (co-directional o hindi - hindi mahalaga).

Ipapahiwatig ko ang vector ng direksyon tulad ng sumusunod: .

Ngunit ang isang vector ay hindi sapat upang bumuo ng isang tuwid na linya; ang vector ay libre at hindi nakatali sa anumang punto sa eroplano. Samakatuwid, kinakailangan din na malaman ang ilang punto na kabilang sa linya.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon?

Kung ang isang tiyak na punto na kabilang sa isang linya at ang vector ng direksyon ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay maaaring maipon gamit ang formula:

Minsan ito ay tinatawag canonical equation ng linya .

Ano ang gagawin kapag isa sa mga coordinate ay katumbas ng zero, mauunawaan natin sa mga praktikal na halimbawa sa ibaba. Sa pamamagitan ng paraan, mangyaring tandaan - sabay sabay Ang mga coordinate ay hindi maaaring katumbas ng zero, dahil ang zero vector ay hindi tumutukoy ng isang tiyak na direksyon.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon

Solusyon: Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang formula. Sa kasong ito:

Gamit ang mga katangian ng proporsyon, inaalis namin ang mga fraction:

At dinadala namin ang equation sa pangkalahatang anyo:

Sagot:

Bilang isang patakaran, hindi na kailangang gumawa ng isang pagguhit sa mga naturang halimbawa, ngunit para sa kapakanan ng pag-unawa:

Sa pagguhit nakikita natin ang panimulang punto, ang orihinal na vector ng direksyon (maaari itong i-plot mula sa anumang punto sa eroplano) at ang itinayong tuwid na linya. Sa pamamagitan ng paraan, sa maraming mga kaso ito ay pinaka-maginhawa upang bumuo ng isang tuwid na linya gamit ang isang equation na may isang angular coefficient. Madaling ibahin ang anyo ng ating equation at madaling pumili ng isa pang punto para makabuo ng tuwid na linya.

Tulad ng nabanggit sa simula ng talata, ang isang tuwid na linya ay may walang katapusan na maraming mga vector ng direksyon, at lahat ng mga ito ay collinear. Halimbawa, gumuhit ako ng tatlong tulad ng mga vector: . Anuman ang vector ng direksyon na pipiliin natin, ang resulta ay palaging magiging parehong straight line equation.

Gumawa tayo ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Paglutas ng proporsyon:

Hatiin ang magkabilang panig sa -2 at kunin ang pamilyar na equation:

Maaaring subukan ng mga interesado ang mga vector sa parehong paraan o anumang iba pang collinear vector.

Ngayon lutasin natin ang kabaligtaran na problema:

Paano makahanap ng isang vector ng direksyon gamit ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?

Napakasimple:

Kung ang isang linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang vector ng direksyon ng linyang ito.

Mga halimbawa ng paghahanap ng mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Binibigyang-daan kami ng pahayag na makahanap lamang ng isang vector ng direksyon mula sa isang walang katapusang numero, ngunit hindi na namin kailangan ng higit pa. Bagaman sa ilang mga kaso, ipinapayong bawasan ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon:

Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na parallel sa axis at ang mga coordinate ng resultang vector ng direksyon ay maginhawang hinati sa -2, na nakakakuha ng eksaktong batayan ng vector bilang ang vector ng direksyon. Lohikal.

Katulad nito, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, at sa pamamagitan ng paghahati ng mga coordinate ng vector sa pamamagitan ng 5, nakuha namin ang unit vector bilang direksyon ng vector.

Ngayon gawin natin pagsuri Halimbawa 3. Ang halimbawa ay tumaas, kaya ipinapaalala ko sa iyo na sa loob nito ay pinagsama-sama namin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon

Una, gamit ang equation ng tuwid na linya ay muling itinatayo natin ang vector ng direksyon nito: - lahat ay maayos, natanggap namin ang orihinal na vector (sa ilang mga kaso ang resulta ay maaaring isang collinear vector sa orihinal, at ito ay karaniwang madaling mapansin sa pamamagitan ng proporsyonalidad ng kaukulang mga coordinate).

Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang equation. Pinapalitan namin ang mga ito sa equation:

Nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay, na labis naming ikinatutuwa.

Konklusyon: Nakumpleto nang tama ang gawain.

Halimbawa 4

Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin. Ito ay lubos na ipinapayong suriin gamit ang algorithm na tinalakay lamang. Subukang palaging (kung maaari) suriin ang isang draft. Ito ay hangal na gumawa ng mga pagkakamali kung saan maaari silang 100% na iwasan.

Kung ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, magpatuloy nang simple:

Halimbawa 5

Solusyon: Ang formula ay hindi angkop dahil ang denominator sa kanang bahagi ay zero. May labasan! Gamit ang mga katangian ng proporsyon, muling isinulat namin ang formula sa form, at ang natitira ay pinagsama sa isang malalim na rut:

Sagot:

Pagsusulit:

1) Ibalik ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya:
– ang resultang vector ay collinear sa orihinal na vector ng direksyon.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto sa equation:

Nakukuha ang tamang pagkakapantay-pantay

Konklusyon: gawaing natapos nang tama

Ang tanong ay lumitaw, bakit mag-abala sa formula kung mayroong isang unibersal na bersyon na gagana sa anumang kaso? May dalawang dahilan. Una, ang formula ay nasa anyo ng isang fraction mas mabuting tandaan. At pangalawa, ang kawalan unibersal na pormula iyan ba ang panganib na malito ay tumataas nang malaki kapag pinapalitan ang mga coordinate.

Halimbawa 6

Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa.

Bumalik tayo sa nasa lahat ng dako ng dalawang punto:

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang dalawang puntos?

Kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito ay maaaring i-compile gamit ang formula:

Sa katunayan, ito ay isang uri ng formula at narito kung bakit: kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang vector ang magiging direksyon ng vector ng ibinigay na linya. Sa aralin Mga vector para sa mga dummies isinasaalang-alang namin pinakasimpleng gawain– kung paano hanapin ang mga coordinate ng isang vector mula sa dalawang puntos. Ayon sa problemang ito, ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay:

Tandaan : ang mga puntos ay maaaring "palitan" at ang formula ay maaaring gamitin . Ang ganitong solusyon ay magiging katumbas.

Halimbawa 7

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang dalawang puntos .

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Pagsusuklay ng mga denominador:

At i-shuffle ang deck:

Ngayon na ang oras para mag-alis mga fractional na numero. Sa kasong ito, kailangan mong i-multiply ang magkabilang panig ng 6:

Buksan ang mga bracket at isaisip ang equation:

Sagot:

Pagsusulit halata - mga coordinate mga panimulang punto dapat matugunan ang resultang equation:

1) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Konklusyon: Ang equation ng linya ay nakasulat nang tama.

Kung kahit isa ng mga puntos ay hindi nasiyahan ang equation, maghanap ng isang error.

Ito ay nagkakahalaga na tandaan na ang graphical na pag-verify sa kasong ito ay mahirap, dahil bumuo ng isang tuwid na linya at tingnan kung ang mga puntos ay kabilang dito , hindi gaanong simple.

Mapapansin ko ang ilang higit pang teknikal na aspeto ng solusyon. Marahil sa problemang ito ay mas kumikita ang paggamit ng formula ng salamin at, sa parehong mga punto gumawa ng equation:

Mas kaunting fraction. Kung gusto mo, maaari mong isagawa ang solusyon hanggang sa dulo, ang resulta ay dapat na parehong equation.

Ang pangalawang punto ay tingnan ang huling sagot at alamin kung maaari pa itong gawing simple? Halimbawa, kung nakuha mo ang equation , pagkatapos ay ipinapayong bawasan ito ng dalawa: – ang equation ay tutukuyin ang parehong tuwid na linya. Gayunpaman, ito ay isang paksa ng pag-uusap tungkol sa relatibong posisyon ng mga linya.

Pagkatanggap ng sagot sa Halimbawa 7, kung sakali, sinuri ko kung ang LAHAT ng mga coefficient ng equation ay nahahati sa 2, 3 o 7. Bagaman, kadalasan ang mga naturang pagbawas ay ginagawa sa panahon ng solusyon.

Halimbawa 8

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa mga puntos .

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, na magbibigay-daan sa iyong mas maunawaan at magsanay ng mga diskarte sa pagkalkula.

Katulad ng naunang talata: kung nasa formula ang isa sa mga denominator (ang coordinate ng vector ng direksyon) ay nagiging zero, pagkatapos ay muling isulat namin ito sa form . Muli, pansinin kung gaano siya awkward at nalilito. Wala akong nakikitang punto sa pagdadala praktikal na mga halimbawa, dahil nalutas na natin ang gayong problema (tingnan ang Blg. 5, 6).

Direktang normal na vector (normal na vector)

Ano ang normal? Sa simpleng salita, ang normal ay patayo. Iyon ay, ang normal na vector ng isang linya ay patayo sa isang naibigay na linya. Malinaw, ang anumang tuwid na linya ay may walang katapusang bilang ng mga ito (pati na rin ang mga vector ng direksyon), at ang lahat ng mga normal na vector ng tuwid na linya ay magiging collinear (codirectional o hindi, wala itong pagkakaiba).

Ang pakikitungo sa kanila ay magiging mas madali kaysa sa mga gabay na vector:

Kung ang isang linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang normal na vector ng linyang ito.

Kung ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay kailangang maingat na "hugot" mula sa equation, kung gayon ang mga coordinate ng normal na vector ay maaaring "alisin" lamang.

Ang normal na vector ay palaging orthogonal sa vector ng direksyon ng linya. I-verify natin ang orthogonality ng mga vector na ito na ginagamit produkto ng tuldok:

Magbibigay ako ng mga halimbawa na may parehong mga equation tulad ng para sa vector ng direksyon:

Posible bang bumuo ng isang equation ng isang tuwid na linya na ibinigay ng isang punto at isang normal na vector? Nararamdaman ko ito sa aking bituka, posible. Kung kilala ang normal na vector, kung gayon ang direksyon ng tuwid na linya mismo ay malinaw na tinukoy - ito ay isang "matibay na istraktura" na may anggulo na 90 degrees.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

Kung ang isang tiyak na punto na kabilang sa isang linya at ang normal na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Dito gumagana ang lahat nang walang mga fraction at iba pang mga sorpresa. Ito ang aming normal na vector. Mahalin mo siya. At respeto =)

Halimbawa 9

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng linya.

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ay nakuha, suriin natin:

1) "Alisin" ang mga coordinate ng normal na vector mula sa equation: – oo, sa katunayan, ang orihinal na vector ay nakuha mula sa kundisyon (o isang collinear vector ay dapat makuha).

2) Suriin natin kung ang punto ay nakakatugon sa equation:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Pagkatapos nating kumbinsihin na ang equation ay binubuo ng tama, kukumpletuhin natin ang pangalawa, mas madaling bahagi ng gawain. Inalis namin ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya:

Sagot:

Sa pagguhit, ang sitwasyon ay ganito:

Para sa mga layunin ng pagsasanay, isang katulad na gawain para sa paglutas nang nakapag-iisa:

Halimbawa 10

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng linya.

Ang huling seksyon ng aralin ay ilalaan sa hindi gaanong karaniwan, ngunit pati na rin ang mahahalagang uri ng mga equation ng isang linya sa isang eroplano

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.
Equation ng isang linya sa parametric form

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay may anyo , kung saan ang mga nonzero constants. Ang ilang mga uri ng mga equation ay hindi maaaring katawanin sa form na ito, halimbawa, direktang proporsyonalidad (dahil ang libreng termino ay katumbas ng zero at walang paraan upang makuha ang isa sa kanang bahagi).

Ito ay, sa makasagisag na pagsasalita, isang "teknikal" na uri ng equation. Ang isang karaniwang gawain ay upang kumatawan sa pangkalahatang equation ng isang linya bilang isang equation ng isang linya sa mga segment. Paano ito maginhawa? Ang equation ng isang linya sa mga segment ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na mahanap ang mga punto ng intersection ng isang linya na may mga coordinate axes, na maaaring maging napakahalaga sa ilang mga problema ng mas mataas na matematika.

Hanapin natin ang punto ng intersection ng linya na may axis. Ni-reset namin ang "y" sa zero, at ang equation ay nasa anyo . Ang nais na punto ay awtomatikong nakuha: .

Pareho sa axis – ang punto kung saan ang tuwid na linya ay nag-intersect sa ordinate axis.

Kahulugan. Anumang tuwid na linya sa eroplano ay maaaring tukuyin ng isang first-order equation

Ax + Wu + C = 0,

Bukod dito, ang mga constants A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga pare-pareho ang A, B at C ang mga sumusunod na espesyal na kaso ay posible:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - tuwid na linya na kahanay ng Ox axis

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – tuwid na linya na kahanay ng Oy axis

B = C = 0, A ≠0 – ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A = C = 0, B ≠0 – ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring katawanin sa sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at normal na vector

Kahulugan. Sa Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa tuwid na linya na ibinigay ng equation na Ax + By + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa puntong A(1, 2) patayo sa (3, -1).

Solusyon. Sa A = 3 at B = -1, buuin natin ang equation ng tuwid na linya: 3x – y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan natin ang mga coordinate ng ibinigay na point A sa resultang expression. Nakukuha natin ang: 3 – 2 + C = 0, samakatuwid, C = -1 . Kabuuan: ang kinakailangang equation: 3x – y – 1 = 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), kung gayon ang equation ng linyang dumadaan sa mga puntong ito ay:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat na katumbas ng zero. Sa eroplano, ang equation ng linyang nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2.

Ang fraction = k ay tinatawag dalisdis tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa mga puntos A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula na nakasulat sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at slope

Kung ang kabuuang Ax + Bu + C = 0, humantong sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang resultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang vector ng direksyon

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang normal na vector, maaari mong ipasok ang kahulugan ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya.

Kahulugan. Ang bawat non-zero vector (α 1, α 2), ang mga bahagi nito ay nakakatugon sa kundisyon A α 1 + B α 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ax + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa puntong A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin namin ang equation ng nais na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para sa x = 1, y = 2 makuha natin ang C/ A = -3, i.e. kinakailangang equation:

Equation ng isang linya sa mga segment

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ах + Ву + С = 0 С≠0, kung gayon, paghahati sa –С, nakukuha natin: o

Geometric na kahulugan coefficients ay ang coefficient A ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may Ox axis, at b– ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya na may Oy axis.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng linyang x – y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal na equation ng isang linya

Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + By + C = 0 ay i-multiply sa numero na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal na equation ng isang linya. Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang ang μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya 12x – 5y – 65 = 0. Kailangan mong isulat Iba't ibang uri mga equation ng linyang ito.

equation ng linyang ito sa mga segment:

equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

; cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p = 5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Solusyon. Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Halimbawa. Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A(-2, -3) at ang pinagmulan.

Solusyon. Ang equation ng tuwid na linya ay: , kung saan x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa isang eroplano

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

.

Dalawang linya ay magkatulad kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2.

Teorama. Ang mga linyang Ax + Bу + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay parallel kapag ang mga coefficient A 1 = λA, B 1 = λB ay proporsyonal. Kung din C 1 = λC, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa tuwid na linya y = kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang puntong M(x 0, y 0) ay ibinigay, ang distansya sa linyang Ax + Bу + C = 0 ay tinutukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang point M 1 (x 1, y 1) ang base ng perpendikular na bumaba mula sa point M hanggang sa isang tuwid na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang mga coordinate x 1 at y 1 ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x – 5y + 7 = 0 at 10x + 6y – 3 = 0 ay patayo.

Solusyon. Nakikita natin ang: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ibinigay ang vertices ng triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Hanapin ang equation ng taas na nakuha mula sa vertex C.

Solusyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ang kinakailangang equation ng taas ay may anyo: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: mula sa kung saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang paksa ng equation ng isang linya sa isang eroplano: isasaalang-alang namin ang ganitong uri ng equation bilang pangkalahatang equation ng isang linya. Tukuyin natin ang teorama at ibigay ang patunay nito; Alamin natin kung ano ang isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang linya at kung paano gumawa ng mga paglipat mula sa isang pangkalahatang equation patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang linya. Pagtitibayin natin ang buong teorya na may mga guhit at solusyon sa mga praktikal na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hayaang tukuyin ang isang rectangular coordinate system O x y sa eroplano.

Teorama 1

Anumang equation ng unang degree, na may anyong A x + B y + C = 0, kung saan ang A, B, C ay ilang tunay na numero (A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras), ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano. Sa turn, ang anumang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay tinutukoy ng isang equation na may anyo na A x + B y + C = 0 para sa isang tiyak na hanay ng mga halaga A, B, C.

Patunay

Ang teorama na ito ay binubuo ng dalawang puntos; patunayan natin ang bawat isa sa kanila.

1. Patunayan natin na ang equation na A x + B y + C = 0 ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa eroplano.

Hayaang magkaroon ng ilang punto M 0 (x 0 , y 0) na ang mga coordinate ay tumutugma sa equation na A x + B y + C = 0. Kaya: A x 0 + B y 0 + C = 0. Ibawas mula sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation A x + B y + C = 0 ang kaliwa at kanang bahagi ng equation A x 0 + B y 0 + C = 0, nakakakuha tayo ng bagong equation na parang A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ito ay katumbas ng A x + B y + C = 0.

Ang resultang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ay kinakailangan at sapat na kondisyon perpendicularity ng mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Kaya, ang hanay ng mga puntos na M (x, y) ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate na patayo sa direksyon ng vector n → = (A, B). Maaari nating ipagpalagay na hindi ito ganoon, ngunit ang mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ay hindi magiging patayo, at ang pagkakapantay-pantay A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ay hindi magiging totoo.

Dahil dito, ang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ay tumutukoy sa isang tiyak na linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano, at samakatuwid ang katumbas na equation na A x + B y + C = 0 ay tumutukoy sa parehong linya. Ito ay kung paano namin pinatunayan ang unang bahagi ng teorama.

1. Magbigay tayo ng patunay na ang anumang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay maaaring tukuyin ng isang equation ng unang degree na A x + B y + C = 0.

Tukuyin natin ang isang tuwid na linya a sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano; ang puntong M 0 (x 0 , y 0) kung saan dumadaan ang linyang ito, gayundin ang normal na vector ng linyang ito n → = (A, B) .

Hayaang magkaroon din ng ilang punto M (x, y) - isang lumulutang na punto sa isang linya. Sa kasong ito, ang mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ay patayo sa isa't isa, at ang kanilang scalar product ay zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Isulat muli natin ang equation A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, tukuyin ang C: C = - A x 0 - B y 0 at bilang pangwakas na resulta makuha natin ang equation A x + B y + C = 0.

Kaya, napatunayan na natin ang ikalawang bahagi ng theorem, at napatunayan na natin ang buong theorem sa kabuuan.

Kahulugan 1

Isang equation ng form A x + B y + C = 0 - Ito pangkalahatang equation ng isang linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate systemOxy.

Batay sa napatunayang teorama, maaari nating tapusin na ang isang tuwid na linya at ang pangkalahatang equation na tinukoy sa isang eroplano sa isang nakapirming rectangular coordinate system ay hindi mapaghihiwalay. Sa madaling salita, ang orihinal na linya ay tumutugma sa pangkalahatang equation nito; ang pangkalahatang equation ng isang linya ay tumutugma sa isang naibigay na linya.

Mula sa patunay ng theorem ay sumusunod din na ang mga coefficients A at B para sa mga variable na x at y ay ang mga coordinate ng normal na vector ng linya, na ibinibigay ng pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C = 0.

Isaalang-alang natin ang isang tiyak na halimbawa ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Hayaang ibigay ang equation na 2 x + 3 y - 2 = 0, na tumutugma sa isang tuwid na linya sa isang ibinigay na rectangular coordinate system. Ang normal na vector ng linyang ito ay ang vector n → = (2 , 3) ​​​​. Iguhit natin ang ibinigay na tuwid na linya sa pagguhit.

Maaari din nating sabihin ang mga sumusunod: ang tuwid na linya na nakikita natin sa pagguhit ay tinutukoy ng pangkalahatang equation 2 x + 3 y - 2 = 0, dahil ang mga coordinate ng lahat ng mga punto sa isang naibigay na tuwid na linya ay tumutugma sa equation na ito.

Makukuha natin ang equation na λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng pangkalahatang equation ng linya sa isang numerong λ na hindi katumbas ng zero. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na pangkalahatang equation, samakatuwid, ilalarawan nito ang parehong tuwid na linya sa eroplano.

Kahulugan 2

Kumpletuhin ang pangkalahatang equation ng isang linya– tulad ng isang pangkalahatang equation ng tuwid na linya A x + B y + C = 0, kung saan ang mga numero A, B, C ay iba mula sa zero. Kung hindi, ang equation ay hindi kumpleto.

Suriin natin ang lahat ng mga pagkakaiba-iba ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang linya.

1. Kapag A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ang pangkalahatang equation ay nasa anyong B y + C = 0. Ang ganitong hindi kumpletong pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang rectangular coordinate system O x y isang tuwid na linya na parallel sa O x axis, dahil para sa anumang tunay na halaga ng x ang variable y ay kukuha ng halaga - C B . Sa madaling salita, ang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C = 0, kapag A = 0, B ≠ 0, ay tumutukoy sa locus ng mga puntos (x, y), na ang mga coordinate ay katumbas ng parehong numero - C B .
2. Kung A = 0, B ≠ 0, C = 0, ang pangkalahatang equation ay nasa anyong y = 0. Ito hindi kumpletong equation tumutukoy sa abscissa axis O x .
3. Kapag A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, nakakakuha tayo ng hindi kumpletong pangkalahatang equation na A x + C = 0, na tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay ng ordinate.
4. Hayaan ang A ≠ 0, B = 0, C = 0, kung gayon ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay kukuha ng anyo na x = 0, at ito ang equation ng coordinate line O y.
5. Sa wakas, para sa A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay nasa anyong A x + B y = 0. At ang equation na ito ay naglalarawan ng isang tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan. Sa katunayan, ang pares ng mga numero (0, 0) ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay na A x + B y = 0, dahil A · 0 + B · 0 = 0.

Ilarawan natin nang grapiko ang lahat ng nasa itaas na uri ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 1

Alam na ang ibinigay na tuwid na linya ay kahanay sa ordinate axis at dumadaan sa punto 2 7, - 11. Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng ibinigay na linya.

Solusyon

Ang isang tuwid na linya na parallel sa ordinate axis ay ibinibigay ng isang equation ng form na A x + C = 0, kung saan ang A ≠ 0. Tinutukoy din ng kundisyon ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at ang mga coordinate ng puntong ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C = 0, i.e. ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

A 2 7 + C = 0

Mula dito posible upang matukoy ang C kung bibigyan namin ang A ng ilang hindi zero na halaga, halimbawa, A = 7. Sa kasong ito, makakakuha tayo ng: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Alam natin ang parehong coefficient A at C, palitan ang mga ito sa equation A x + C = 0 at makuha ang kinakailangang straight line equation: 7 x - 2 = 0

Sagot: 7 x - 2 = 0

Halimbawa 2

Ang pagguhit ay nagpapakita ng isang tuwid na linya; kailangan mong isulat ang equation nito.

Solusyon

Ang ibinigay na pagguhit ay nagpapahintulot sa amin na madaling kunin ang paunang data upang malutas ang problema. Nakikita natin sa pagguhit na ang ibinigay na tuwid na linya ay kahanay sa O x axis at dumadaan sa punto (0, 3).

Ang tuwid na linya, na kahanay ng abscissa, ay tinutukoy ng hindi kumpletong pangkalahatang equation B y + C = 0. Hanapin natin ang mga halaga ng B at C. Ang mga coordinate ng punto (0, 3), dahil ang ibinigay na linya ay dumaan dito, ay masisiyahan ang equation ng linya B y + C = 0, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay wasto: B · 3 + C = 0. Itakda natin ang B sa ilang halaga maliban sa zero. Sabihin nating B = 1, kung saan mula sa pagkakapantay-pantay B · 3 + C = 0 makikita natin ang C: C = - 3. Ginagamit namin kilalang halaga B at C, nakuha namin ang kinakailangang equation ng tuwid na linya: y - 3 = 0.

Sagot: y - 3 = 0 .

Pangkalahatang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang eroplano

Hayaang dumaan ang ibinigay na linya sa puntong M 0 (x 0 , y 0), pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linya, i.e. totoo ang pagkakapantay-pantay: A x 0 + B y 0 + C = 0. Ibawas natin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation na ito mula sa kaliwa at kanang bahagi ng general kumpletong equation tuwid. Nakukuha namin ang: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ang equation na ito ay katumbas ng orihinal na pangkalahatan, dumadaan sa puntong M 0 (x 0, y 0) at may normal vector n → = (A, B) .

Ang resulta na aming nakuha ay ginagawang posible na isulat ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya na may kilalang mga coordinate ang normal na vector ng isang linya at ang mga coordinate ng isang tiyak na punto sa linyang ito.

Halimbawa 3

Ibinigay ang isang puntong M 0 (- 3, 4) kung saan dumadaan ang isang linya, at ang normal na vector ng linyang ito n → = (1 , - 2) . Kinakailangang isulat ang equation ng ibinigay na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kundisyon ay nagbibigay-daan sa amin na makuha ang kinakailangang data upang mabuo ang equation: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Pagkatapos:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ang problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay A x + B y + C = 0. Ang ibinigay na normal na vector ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang mga halaga ng mga coefficient A at B, pagkatapos:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ngayon hanapin natin ang halaga ng C gamit ang puntong M 0 (- 3, 4) na tinukoy ng kondisyon ng problema, kung saan dumadaan ang tuwid na linya. Ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa equation x - 2 · y + C = 0, i.e. - 3 - 2 4 + C = 0. Kaya C = 11. Ang kinakailangang straight line equation ay nasa anyong: x - 2 · y + 11 = 0.

Sagot: x - 2 y + 11 = 0 .

Halimbawa 4

Ibinigay ang isang linya 2 3 x - y - 1 2 = 0 at isang punto M 0 na nakahiga sa linyang ito. Tanging ang abscissa ng puntong ito ay kilala, at ito ay katumbas ng - 3. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ordinate ng isang naibigay na punto.

Solusyon

Italaga natin ang mga coordinate ng point M 0 bilang x 0 at y 0 . Isinasaad ng source data na x 0 = - 3. Dahil ang punto ay kabilang sa isang naibigay na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linyang ito. Kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tukuyin ang y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Sagot: - 5 2

Ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng isang linya patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang linya at vice versa

Tulad ng alam natin, may ilang uri ng mga equation para sa parehong tuwid na linya sa isang eroplano. Ang pagpili ng uri ng equation ay depende sa mga kondisyon ng problema; posible na piliin ang isa na mas maginhawa para sa paglutas nito. Ang kasanayan sa pag-convert ng isang equation ng isang uri sa isang equation ng isa pang uri ay lubhang kapaki-pakinabang dito.

Una, isaalang-alang natin ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng anyong A x + B y + C = 0 hanggang sa canonical equation x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Kung A ≠ 0, ililipat namin ang terminong B y sa kanang bahagi pangkalahatang equation. Sa kaliwang bahagi kinuha namin ang A sa labas ng mga bracket. Bilang resulta, nakukuha natin ang: A x + C A = - B y.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang proporsyon: x + C A - B = y A.

Kung B ≠ 0, iniiwan lamang natin ang terminong A x sa kaliwang bahagi ng pangkalahatang equation, ilipat ang iba sa kanang bahagi, makukuha natin ang: A x = - B y - C. Kinukuha namin ang – B mula sa mga bracket, pagkatapos ay: A x = - B y + C B .

Isulat muli natin ang pagkakapantay-pantay sa anyo ng isang proporsyon: x - B = y + C B A.

Siyempre, hindi na kailangang kabisaduhin ang mga resultang formula. Sapat na malaman ang algorithm ng mga aksyon kapag lumilipat mula sa isang pangkalahatang equation sa isang kanonikal.

Halimbawa 5

Ang pangkalahatang equation ng linya 3 y - 4 = 0 ay ibinigay. Kinakailangang ibahin ito sa isang canonical equation.

Solusyon

Isulat natin ito orihinal na equation parang 3 y - 4 = 0 . Susunod, nagpapatuloy kami ayon sa algorithm: ang terminong 0 x ay nananatili sa kaliwang bahagi; at sa kanang bahagi inilalagay namin - 3 sa labas ng mga bracket; makuha natin ang: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Isulat natin ang resultang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - 3 = y - 4 3 0 . Kaya, nakuha namin ang isang equation ng canonical form.

Sagot: x - 3 = y - 4 3 0.

Upang baguhin ang pangkalahatang equation ng isang linya sa mga parametric, gawin muna ang paglipat sa canonical form, at pagkatapos ay ang paglipat mula sa canonical equation tuwid na linya sa parametric equation.

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation na 2 x - 5 y - 1 = 0. Isulat ang mga parametric equation para sa linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa pangkalahatang equation patungo sa kanonikal:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ngayon ay kinuha namin ang magkabilang panig ng nagreresultang canonical equation na katumbas ng λ, pagkatapos:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Sagot:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ang pangkalahatang equation ay maaaring i-convert sa isang equation ng isang tuwid na linya na may slope y = k · x + b, ngunit kapag B ≠ 0 lamang. Para sa paglipat, iniiwan namin ang terminong B y sa kaliwang bahagi, ang iba ay inililipat sa kanan. Nakukuha namin ang: B y = - A x - C . Hatiin natin ang magkabilang panig ng resultang pagkakapantay-pantay sa B, naiiba sa zero: y = - A B x - C B.

Halimbawa 7

Ang pangkalahatang equation ng linya ay ibinigay: 2 x + 7 y = 0. Kailangan mong i-convert ang equation na iyon sa isang slope equation.

Solusyon

Gawin natin ang mga kinakailangang aksyon ayon sa algorithm:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Sagot: y = - 2 7 x .

Mula sa pangkalahatang equation ng isang linya, sapat na upang makakuha lamang ng isang equation sa mga segment ng form na x a + y b = 1. Upang makagawa ng gayong paglipat, inililipat namin ang numero C sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, hatiin ang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng – C at, sa wakas, ilipat ang mga koepisyent para sa mga variable na x at y sa mga denominator:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Halimbawa 8

Kinakailangang baguhin ang pangkalahatang equation ng linyang x - 7 y + 1 2 = 0 sa equation ng linya sa mga segment.

Solusyon

Ilipat natin ang 1 2 sa kanang bahagi: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Sagot: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Sa pangkalahatan, madali din ang reverse transition: mula sa iba pang uri ng equation hanggang sa pangkalahatan.

Ang equation ng isang linya sa mga segment at isang equation na may isang angular coefficient ay madaling ma-convert sa isang pangkalahatan sa pamamagitan lamang ng pagkolekta ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ang canonical equation ay na-convert sa isang pangkalahatan ayon sa sumusunod na scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Upang lumipat mula sa mga parametric, lumipat muna sa kanonikal, at pagkatapos ay sa pangkalahatan:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Halimbawa 9

Ang mga parametric equation ng linyang x = - 1 + 2 · λ y = 4 ay ibinigay. Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa mga parametric equation patungo sa mga canonical:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Lumipat tayo mula sa kanonikal hanggang sa pangkalahatan:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Sagot: y - 4 = 0

Halimbawa 10

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment x 3 + y 1 2 = 1 ay ibinigay. Kinakailangang lumipat sa pangkalahatang anyo ng equation.

Solusyon:

Isusulat lang namin muli ang equation sa kinakailangang form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Sagot: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Pagguhit ng isang pangkalahatang equation ng isang linya

Sinabi namin sa itaas na ang pangkalahatang equation ay maaaring isulat sa mga kilalang coordinate ng normal na vector at mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya. Ang ganitong tuwid na linya ay tinukoy ng equation na A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Doon din namin sinuri ang kaukulang halimbawa.

Ngayon tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa, kung saan kailangan muna nating matukoy ang mga coordinate ng normal na vector.

Halimbawa 11

Ibinigay ang isang linya na kahanay ng linya 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ang puntong M 0 (4, 1) kung saan dumadaan ang ibinigay na linya ay kilala rin. Kinakailangang isulat ang equation ng ibinigay na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagsasabi sa amin na ang mga linya ay parallel, pagkatapos, bilang normal na vector ng linya, ang equation kung saan kailangang isulat, kinuha namin ang direksyon ng vector ng linya n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ngayon alam namin ang lahat ng kinakailangang data upang lumikha ng pangkalahatang equation ng linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Sagot: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Halimbawa 12

Ang ibinigay na linya ay dumadaan sa pinanggalingan patayo sa linyang x - 2 3 = y + 4 5. Ito ay kinakailangan upang lumikha ng isang pangkalahatang equation para sa isang naibigay na linya.

Solusyon

Ang normal na vector ng isang linya ay magiging direksyon ng vector ng linya x - 2 3 = y + 4 5.

Pagkatapos n → = (3, 5) . Ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan, i.e. sa pamamagitan ng punto O (0, 0). Gumawa tayo ng pangkalahatang equation para sa isang naibigay na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Sagot: 3 x + 5 y = 0 .

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter