Ang ilang mga problema sa pisika at matematika ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng serye ng numero. Ang dalawang pinakasimpleng pagkakasunud-sunod ng numero na itinuturo sa mga paaralan ay algebraic at geometric. Sa artikulong ito, susuriin natin ang tanong kung paano mahahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.
Heometriko ng pag-unlad
Ang mga salitang ito ay nangangahulugan ng isang serye ng mga tunay na numero na ang mga elemento ay nagbibigay-kasiyahan sa pagpapahayag:
Narito ang i ay ang bilang ng elemento sa serye, ang r ay isang pare-parehong numero na tinatawag na denominator.
Ipinapakita ng kahulugang ito na, alam mo ang sinumang miyembro ng progression at ang denominator nito, maaari mong ibalik ang buong serye ng mga numero. Halimbawa, kung ang ika-10 elemento ay kilala, pagkatapos ay ang paghahati nito sa pamamagitan ng r ay makakakuha ng ika-9 na elemento, pagkatapos ang paghahati muli ay makakakuha ng ika-8 at iba pa. Ang mga simpleng argumentong ito ay nagbibigay-daan sa amin na isulat ang isang expression na wasto para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang:
Ang isang halimbawa ng progression na may denominator na 2 ay ang sumusunod na serye:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Kung ang denominator ay katumbas ng -2, kung gayon ang isang ganap na magkakaibang serye ay nakuha:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Ang geometric progression ay mas mabilis kaysa sa algebraic progression, ibig sabihin, ang mga termino nito ay mabilis na tumataas at mabilis na bumababa.
Kabuuan ng i mga tuntunin ng pag-unlad
Upang malutas ang mga praktikal na problema, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang kabuuan ng ilang mga elemento ng numerical sequence na isinasaalang-alang. Para sa kasong ito ang sumusunod na formula ay wasto:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Makikita na upang kalkulahin ang kabuuan ng mga terminong i, kailangan mong malaman lamang ang dalawang numero: a 1 at r, na lohikal, dahil natatanging tinutukoy nila ang buong pagkakasunud-sunod.
Pagbaba ng pagkakasunod-sunod at ang kabuuan ng mga termino nito
Ngayon isaalang-alang natin espesyal na kaso. Ipagpalagay namin na ang modulus ng denominator r ay hindi lalampas sa isa, iyon ay -1 Ang isang bumababang geometric na pag-unlad ay kawili-wiling isaalang-alang dahil ang walang katapusang kabuuan ng mga termino nito ay may posibilidad sa isang may hangganang tunay na numero. Kunin natin ang formula para sa kabuuan. Madali itong gawin kung isusulat mo ang expression para sa S i na ibinigay sa nakaraang talata. Meron kami: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Isaalang-alang natin ang kaso kapag i->∞. Dahil ang modulus ng denominator ay mas mababa sa 1, ang pagtaas nito sa isang walang katapusang kapangyarihan ay magbibigay ng zero. Maaari itong suriin gamit ang halimbawa ng r=0.5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Bilang resulta, ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang bumababa na geometric na pag-unlad ay magkakaroon ng anyo: Ang formula na ito ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay, halimbawa, upang kalkulahin ang mga lugar ng mga numero. Ginagamit din ito upang malutas ang kabalintunaan ni Zeno ng Elea kasama ang pagong at Achilles. Malinaw na ang pagsasaalang-alang sa kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pagtaas ng pag-unlad (r>1) ay hahantong sa resulta na S ∞ = +∞. Ipakita natin kung paano ilapat ang mga formula sa itaas gamit ang isang halimbawa ng paglutas ng problema. Ito ay kilala na ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad ay 11. Bukod dito, ang ika-7 termino nito ay 6 na beses na mas mababa kaysa sa ikatlong termino. Ano ang unang elemento para sa serye ng numerong ito? Una, sumulat tayo ng dalawang expression upang matukoy ang ika-7 at ika-3 elemento. Nakukuha namin: Ang paghahati ng unang expression sa pangalawa at pagpapahayag ng denominator, mayroon tayong: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Dahil ang ratio ng ikapito at pangatlong termino ay ibinigay sa pahayag ng problema, maaari mo itong palitan at hanapin ang r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894 Kinakalkula namin ang r sa limang decimal na lugar. Dahil ang resultang halaga ay mas mababa sa isa, ang pag-unlad ay bumababa, na nagbibigay-katwiran sa paggamit ng formula para sa walang katapusang kabuuan nito. Isulat natin ang expression para sa unang termino sa pamamagitan ng sum S ∞: Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga sa formula na ito at makuha ang sagot: a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166. Si Zeno ng Elea ay isang tanyag na pilosopong Griyego na nabuhay noong ika-5 siglo BC. e. Ang isang bilang ng mga apogees o kabalintunaan nito ay umabot na sa kasalukuyan, kung saan ang problema ng walang hanggan na malaki at walang katapusan na maliit sa matematika ay nabuo. Isa sa mga sikat na kabalintunaan ni Zeno ay ang kompetisyon sa pagitan ni Achilles at ng pagong. Naniniwala si Zeno na kung bibigyan ni Achilles ng kalamangan ang pagong sa malayo, hindi na niya ito maaabutan. Halimbawa, hayaang tumakbo si Achilles ng 10 beses na mas mabilis kaysa sa isang gumagapang na hayop, na, halimbawa, ay 100 metro sa harap niya. Kapag ang mandirigma ay tumakbo ng 100 metro, ang pagong ay gumagapang palayo ng 10 metro. Matapos tumakbo muli ng 10 metro, nakita ni Achilles na ang pagong ay gumagapang ng isa pang metro. Maaari kang magtaltalan sa ganitong paraan ad infinitum, ang distansya sa pagitan ng mga kakumpitensya ay talagang bababa, ngunit ang pagong ay palaging nasa harap. Pinangunahan si Zeno sa konklusyon na ang paggalaw ay hindi umiiral, at lahat ng nakapaligid na paggalaw ng mga bagay ay isang ilusyon. Siyempre, mali ang sinaunang pilosopong Griyego. Ang solusyon sa kabalintunaan ay nakasalalay sa katotohanan na ang isang walang katapusang kabuuan ng patuloy na pagbaba ng mga segment ay may posibilidad sa isang may hangganang bilang. Sa kaso sa itaas, para sa distansya na tinakbo ni Achilles, nakukuha natin: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Ang paglalapat ng pormula para sa kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad, makuha namin: S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 metro Makikita sa resultang ito na maaabutan ni Achilles ang pagong kapag gumapang lamang ito ng 11.111 metro. Ang mga sinaunang Griyego ay hindi alam kung paano gumawa ng walang katapusang dami sa matematika. Gayunpaman, malulutas ang kabalintunaan na ito kung bibigyan natin ng pansin hindi ang walang katapusang bilang ng mga puwang na dapat pagtagumpayan ni Achilles, ngunit sa limitadong bilang ng mga hakbang na kailangan ng mananakbo upang maabot ang kanyang layunin. Layunin ng aralin: upang ipakilala ang mga mag-aaral sa isang bagong uri ng pagkakasunud-sunod - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Aralin sa paksa "Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad" (algebra, ika-10 baitang) Layunin ng aralin: pagpapakilala sa mga mag-aaral sa isang bagong uri ng pagkakasunud-sunod - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Mga gawain: pagbabalangkas ng isang paunang ideya ng limitasyon ng isang numerical sequence; kakilala sa isa pang paraan upang i-convert ang mga infinite periodic fraction sa ordinaryo gamit ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric progression; pag-unlad ng mga intelektwal na katangian ng personalidad ng mga mag-aaral tulad ng lohikal na pag-iisip, kakayahang gumawa ng mga aksyong pagsusuri, at paglalahat; pagpapaunlad ng aktibidad, pagtulong sa isa't isa, kolektibismo, at interes sa paksa. Kagamitan: klase ng kompyuter, projector, screen. Uri ng aralin: aralin - pag-aaral ng bagong paksa. Sa panahon ng mga klase I. Org. sandali. Sabihin ang paksa at layunin ng aralin. II. Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral. Sa ika-9 na baitang nag-aral ka ng arithmetic at geometric progressions. Mga tanong 1. Kahulugan pag-unlad ng aritmetika.
(Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro Simula sa pangalawa, ito ay katumbas ng nakaraang termino na idinagdag sa parehong numero). 2. Pormula n ika-kataga ng isang pag-unlad ng aritmetika 3. Formula para sa kabuuan ng una n mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika. (o) 4. Kahulugan ng geometric progression. (Ang geometric progression ay isang sequence ng mga non-zero na numero Ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng Parehong numero). 5. Pormula n ika-kataga ng geometric progression 6. Formula para sa kabuuan ng una n mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad. 7. Ano pang mga formula ang alam mo? (, Saan ; ; ;
,
)
Mga gawain 1. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng formula a n = 7 – 4n . Maghanap ng 10. (-33) 2. Sa arithmetic progression a 3 = 7 at a 5 = 1 . Maghanap ng 4. (4) 3. Sa pag-unlad ng arithmetic a 3 = 7 at a 5 = 1 . Maghanap ng 17 . (-35) 4. Sa arithmetic progression a 3 = 7 at a 5 = 1 . Hanapin ang S 17. (-187) 5. Para sa geometric progressionhanapin ang ikalimang termino. 6. Para sa geometric progression hanapin ang nth term. 7. Exponentially b 3 = 8 at b 5 = 2. Hanapin ang b 4 . (4) 8. Exponentially b 3 = 8 at b 5 = 2. Hanapin ang b 1 at q. 9. Exponentially b 3 = 8 at b 5 = 2. Hanapin ang S5. (62) III. Pag-aaral ng bagong paksa(pagpapakita ng pagtatanghal). Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Gumuhit tayo ng isa pang parisukat na ang gilid ay kalahati ng laki ng unang parisukat, pagkatapos ay isa pa na ang panig ay kalahati ng pangalawa, pagkatapos ay ang susunod, atbp. Sa bawat oras na ang gilid ng bagong parisukat ay katumbas ng kalahati ng nauna. Bilang resulta, nakatanggap kami ng pagkakasunod-sunod ng mga gilid ng mga parisukatbumubuo ng isang geometric na pag-unlad na may denominator.
At, kung ano ang napakahalaga, kapag mas marami tayong bubuo ng gayong mga parisukat, magiging mas maliit ang gilid ng parisukat. Halimbawa , Yung. Habang tumataas ang bilang n, ang mga tuntunin ng pag-unlad ay lumalapit sa zero. Gamit ang figure na ito, maaari mong isaalang-alang ang isa pang pagkakasunud-sunod. Halimbawa, ang pagkakasunud-sunod ng mga lugar ng mga parisukat: At, muli, kung n tataas nang walang katiyakan, pagkatapos ay lalapit sa zero ang lugar hangga't gusto mo. Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Isang equilateral triangle na may mga gilid na katumbas ng 1 cm. Buuin natin ang sumusunod na tatsulok na may mga vertices sa mga midpoint ng mga gilid ng 1st triangle, ayon sa theorem tungkol sa midline ng triangle - ang gilid ng 2nd ay katumbas ng kalahati ng gilid ng una, ang gilid ng 3rd ay katumbas ng kalahati ng gilid ng ika-2, atbp. Muli naming nakuha ang isang pagkakasunud-sunod ng mga haba ng mga gilid ng triangles. Sa . Kung isasaalang-alang natin ang isang geometric na pag-unlad na may negatibong denominador.
Pagkatapos, muli, sa pagtaas ng mga numero n mga tuntunin ng pag-unlad na approach zero. Bigyang-pansin natin ang mga denominador ng mga sequence na ito. Saanman ang mga denominator ay mas mababa sa 1 sa ganap na halaga. Maaari nating tapusin: ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bababa kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa 1. Pangharap na gawain. Kahulugan: Geometric na pag-unlad ay tinatawag na walang katapusang pagbaba kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa isa..
Gamit ang kahulugan, maaari kang magpasya kung ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bumababa o hindi. Gawain Ang sequence ba ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad kung ito ay ibinigay ng formula: Solusyon: Hanapin natin q. ;
;
;
.
ang geometric na pag-unlad na ito ay walang katapusan na bumababa. b) ang sequence na ito ay hindi isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Hatiin ito sa kalahati, isa sa mga halves sa kalahati, atbp. Ang mga lugar ng lahat ng nagresultang mga parihaba ay bumubuo ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad: Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga parihaba na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng lugar ng 1st square at katumbas ng 1. Ngunit sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. Isaalang-alang natin ang kabuuan ng unang n termino. Ayon sa formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad, ito ay katumbas ng.
Kung n tumataas nang walang limitasyon, kung gayon o . Samakatuwid, i.e. . Kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unladmay sequence limit S 1, S 2, S 3, …, S n, …. Halimbawa, para sa pag-unlad,
meron kami kasi Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unladay matatagpuan gamit ang formula.
III. Pag-unawa at pagpapatatag(pagkumpleto ng mga gawain). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Pagbubuod. Anong sequence ang nakilala mo ngayon? Tukuyin ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Paano patunayan na ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bumababa? Ibigay ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. V. Takdang-Aralin. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Upang gumamit ng mga preview ng presentasyon, gumawa ng Google account at mag-log in dito: https://accounts.google.com Ang bawat isa ay dapat na makapag-isip nang tuluy-tuloy, humatol nang may ebidensya, at pabulaanan ang mga maling konklusyon: isang physicist at isang makata, isang tractor driver at isang chemist. E. Kolman Sa matematika, hindi dapat tandaan ang mga formula, kundi ang mga proseso ng pag-iisip. V.P. Ermakov Mas madaling mahanap ang squaring ng isang bilog kaysa sa dayain ang isang mathematician. Augustus de Morgan Anong agham ang maaaring maging mas marangal, mas kahanga-hanga, mas kapaki-pakinabang sa sangkatauhan kaysa sa matematika? Franklin Walang katapusang pagbaba ng geometric progression grade 10 ako. Arithmetic at geometric progressions. Mga Tanong 1. Kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na idinagdag sa parehong numero. 2. Formula para sa ika-1 termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. 3. Formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. 4. Kahulugan ng geometric progression. Ang geometric progression ay isang sequence ng mga non-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang term na pina-multiply sa parehong numero 5. Formula para sa ika-n na termino ng isang geometric progression. 6. Formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad. II. Arithmetic progression. Mga Gawain Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng formula a n = 7 – 4 n Find a 10 . (-33) 2. Sa arithmetic progression, a 3 = 7 at a 5 = 1. Maghanap ng 4. (4) 3. Sa arithmetic progression a 3 = 7 at a 5 = 1. Maghanap ng 17 . (-35) 4. Sa arithmetic progression, a 3 = 7 at a 5 = 1. Hanapin ang S 17. (-187) II. Geometric na pag-unlad. Mga Gawain 5. Para sa isang geometric progression, hanapin ang ikalimang termino 6. Para sa isang geometric progression, hanapin ang nth term. 7. Sa geometric progression b 3 = 8 at b 5 = 2. Hanapin ang b 4 . (4) 8. Sa geometric progression b 3 = 8 at b 5 = 2. Hanapin ang b 1 at q. 9. Sa geometric progression b 3 = 8 at b 5 = 2. Hanapin ang S5. (62) kahulugan: Ang isang geometric na pag-unlad ay tinatawag na walang katapusang pagbaba kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa isa. Problema Blg. 1 Ang sequence ba ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad kung ito ay ibinibigay ng formula: Solusyon: a) ang geometric na pag-unlad na ito ay walang katapusan na bumababa. b) ang sequence na ito ay hindi isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay ang limitasyon ng sequence S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Halimbawa, para sa pag-unlad na mayroon tayo Dahil ang Kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay matatagpuan gamit ang formula Pagkumpleto ng mga gawain Hanapin ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad sa unang termino 3, ang pangalawang 0.3. 2. Blg. 13; No. 14; aklat-aralin, p. 138 3. Blg. 15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. Blg. 19; No. 20. Anong sequence ang nakilala mo ngayon? Tukuyin ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Paano patunayan na ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bumababa? Ibigay ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Mga tanong Ang sikat na Polish mathematician na si Hugo Steinhaus ay pabiro na nagsasabing mayroong isang batas na nabuo tulad ng sumusunod: isang mathematician ang gagawa nito nang mas mahusay. Ibig sabihin, kung pinagkatiwalaan mo ang dalawang tao, na ang isa ay isang matematiko, na magsagawa ng anumang gawaing hindi pamilyar sa kanila, kung gayon ang magiging resulta ay palaging ang mga sumusunod: ang mathematician ay gagawin ito nang mas mahusay. Hugo Steinhaus 01/14/1887-02/25/1972 NUMERIC SEQUENCS VI § l48. Kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad Hanggang ngayon, kapag pinag-uusapan ang mga kabuuan, palagi nating ipinapalagay na ang bilang ng mga termino sa mga kabuuan na ito ay may hangganan (halimbawa, 2, 15, 1000, atbp.). Ngunit kapag nilulutas ang ilang mga problema (lalo na ang mas mataas na matematika) ang isa ay kailangang harapin ang mga kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino S= a
1 + a
2 + ... + a
n
+ ... . (1) Ano ang mga halagang ito? A-priory ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino a
1 , a
2 , ..., a
n
, ... ay tinatawag na limitasyon ng kabuuan S n
una P
mga numero kung kailan P
-> ∞
: S=S n
= (a
1 + a
2 + ... + a
n
). (2) Limitasyon (2), siyempre, maaaring umiiral o hindi. Alinsunod dito, sinasabi nila na ang kabuuan (1) ay umiiral o wala. Paano natin malalaman kung ang kabuuan (1) ay umiiral sa bawat partikular na kaso? Karaniwang desisyon Ang isyung ito ay higit pa sa saklaw ng aming programa. Gayunpaman, mayroong isang mahalagang espesyal na kaso na dapat nating isaalang-alang. Pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbubuod ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Hayaan a
1 , a
1 q
, a
1 q
2, ... ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Nangangahulugan ito na | q
|< 1. Сумма первых P
ang mga tuntunin ng pag-unlad na ito ay pantay Mula sa mga pangunahing teorema sa mga limitasyon ng mga variable (tingnan ang § 136) nakukuha natin ang: Ngunit 1 = 1, a qn
= 0. Samakatuwid Kaya, ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay katumbas ng unang termino ng pag-unlad na ito na hinati ng isang minus ang denominator ng pag-unlad na ito. 1) Ang kabuuan ng geometric progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ay katumbas ng at ang kabuuan ng geometric progression ay 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... katumbas 2) I-convert ang isang simpleng periodic fraction 0.454545 ... sa isang ordinaryo. Upang malutas ang problemang ito, isipin ang fraction na ito bilang isang walang katapusang kabuuan: kanang bahagi Ang pagkakapantay-pantay na ito ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang unang termino ay katumbas ng 45/100, at ang denominator ay 1/100. kaya lang Gamit ang inilarawan na paraan, maaari din itong makuha pangkalahatang tuntunin conversion ng mga simpleng periodic fraction sa ordinaryo (tingnan ang Kabanata II, § 38): Upang i-convert ang isang simpleng periodic fraction sa isang ordinaryong fraction, kailangan mong gawin ang mga sumusunod: sa numerator ilagay ang panahon ng decimal fraction, at sa denominator - isang numero na binubuo ng nines na kinuha nang maraming beses hangga't mayroong mga digit sa period ng decimal fraction.
3) I-convert ang mixed periodic fraction 0.58333 .... sa isang ordinaryong fraction. Isipin natin ang fraction na ito bilang isang walang katapusang kabuuan: Sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, ang lahat ng mga termino, simula sa 3/1000, ay bumubuo ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang unang termino kung saan ay katumbas ng 3/1000, at ang denominator ay 1/10. kaya lang Gamit ang inilarawang pamamaraan, ang isang pangkalahatang tuntunin para sa pag-convert ng mga pinaghalong periodic fraction sa ordinaryong mga fraction ay maaaring makuha (tingnan ang Kabanata II, § 38). Hindi namin sinasadyang ipakita ito dito. Hindi na kailangang tandaan ang masalimuot na tuntuning ito. Higit na kapaki-pakinabang na malaman na ang anumang halo-halong periodic fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad at isang tiyak na numero. At ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, dapat mo, siyempre, tandaan. Bilang isang ehersisyo, iminumungkahi namin na ikaw, bilang karagdagan sa mga problema No. 995-1000 na ibinigay sa ibaba, ay muling bumaling sa problema No. 301 § 38. Mga ehersisyo
995. Ano ang tinatawag na kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad? 996. Hanapin ang mga kabuuan ng walang katapusang pagbaba ng mga geometric na pag-unlad: 997. Sa anong mga halaga X
pag-unlad ito ba ay walang katapusan na bumababa? Hanapin ang kabuuan ng naturang pag-unlad. 998. Sa isang equilateral triangle na may gilid A
ang isang bagong tatsulok ay nakasulat sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga midpoint ng mga gilid nito; isang bagong tatsulok ang nakasulat sa tatsulok na ito sa parehong paraan, at iba pa ang ad infinitum. a) ang kabuuan ng mga perimeter ng lahat ng mga tatsulok na ito; b) ang kabuuan ng kanilang mga lugar. 999. Square na may gilid A
ang isang bagong parisukat ay nakasulat sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga midpoint ng mga gilid nito; ang isang parisukat ay nakasulat sa parisukat na ito sa parehong paraan, at iba pa ang ad infinitum. Hanapin ang kabuuan ng mga perimeter ng lahat ng mga parisukat na ito at ang kabuuan ng kanilang mga lugar. 1000. Bumuo ng walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na ang kabuuan nito ay katumbas ng 25/4, at ang kabuuan ng mga parisukat ng mga termino nito ay katumbas ng 625/24. Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa: Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming mga numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero: Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero. Halimbawa, para sa aming sequence: Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho. Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-na miyembro ng sequence. Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: . Sa kaso natin: Ang pinakakaraniwang uri ng progression ay arithmetic at geometric. Sa paksang ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pangalawang uri - geometric na pag-unlad. Kahit noong sinaunang panahon, ang Italyano na mathematician na monghe na si Leonardo ng Pisa (mas kilala bilang Fibonacci) ay humarap sa mga praktikal na pangangailangan ng kalakalan. Ang monghe ay nahaharap sa gawain ng pagtukoy kung ano ang pinakamaliit na bilang ng mga timbang na maaaring gamitin sa pagtimbang ng isang produkto? Sa kanyang mga gawa, pinatunayan ni Fibonacci na ang gayong sistema ng mga timbang ay pinakamainam: Ito ay isa sa mga unang sitwasyon kung saan ang mga tao ay kailangang harapin ang isang geometric na pag-unlad, na marahil ay narinig mo na at mayroon man lang pangkalahatang konsepto. Kapag naunawaan mo nang lubusan ang paksa, isipin kung bakit pinakamainam ang ganitong sistema? Sa kasalukuyan, sa pagsasanay sa buhay, ang geometric na pag-unlad ay nagpapakita ng sarili kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kapag ang halaga ng interes ay naipon sa halagang naipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglagay ka ng pera sa isang time deposit sa isang savings bank, pagkatapos ng isang taon ang deposito ay tataas ng orihinal na halaga, i.e. ang bagong halaga ay magiging katumbas ng kontribusyon na pinarami ng. Sa ibang taon, ang halagang ito ay tataas ng, i.e. ang halaga na nakuha sa oras na iyon ay muling i-multiply sa at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema ng pagkalkula ng tinatawag na tambalang interes- ang porsyento ay kinuha sa bawat oras mula sa halaga na nasa account, na isinasaalang-alang ang nakaraang interes. Pag-uusapan natin ang mga gawaing ito mamaya. Marami pang mga simpleng kaso kung saan inilalapat ang geometric progression. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: ang isang tao ay nahawahan ng isa pang tao, sila naman ay nahawahan ng isa pang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksyon ay isang tao, at sila naman ay nahawahan ng isa pa... at iba pa.. . Sa pamamagitan ng paraan, ang isang financial pyramid, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyo na pagkalkula batay sa mga katangian ng isang geometric na pag-unlad. Interesting? Alamin natin ito. Sabihin nating mayroon tayong pagkakasunod-sunod ng numero: Agad mong sasagutin na ito ay madali at ang pangalan ng naturang sequence ay isang arithmetic progression na may pagkakaiba ng mga termino nito. Paano ito: Kung ibawas mo ang nakaraang numero mula sa susunod na numero, makikita mo na sa bawat oras na makakakuha ka ng isang bagong pagkakaiba (at iba pa), ngunit ang pagkakasunud-sunod ay tiyak na umiiral at madaling mapansin - ang bawat kasunod na numero ay beses na mas malaki kaysa sa nauna! Ang ganitong uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay tinatawag geometric na pag-unlad at itinalaga. Ang geometric progression () ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad. Ang mga paghihigpit na ang unang termino ( ) ay hindi pantay at hindi random. Ipagpalagay natin na wala, at ang unang termino ay pantay pa rin, at ang q ay katumbas ng, hmm.. hayaan mo, pagkatapos ito ay lumabas: Sumang-ayon na ito ay hindi na isang pag-unlad. Tulad ng naiintindihan mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung mayroong anumang numero maliban sa zero, a. Sa mga kasong ito, walang magiging progression, dahil ang buong serye ng numero ay magiging lahat ng mga zero, o isang numero, at ang lahat ng natitira ay magiging mga zero. Ngayon ay pag-usapan natin nang mas detalyado ang tungkol sa denominator ng geometric progression, iyon ay, o. Ulitin natin: - ito ang numero ilang beses nagbabago ang bawat kasunod na termino? geometric na pag-unlad. Ano sa tingin mo ang maaaring mangyari? Tama iyon, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (napag-usapan namin ito nang medyo mas mataas). Ipagpalagay natin na ang atin ay positibo. Hayaan sa aming kaso, a. Ano ang halaga ng ikalawang termino at? Madali mong masasagot iyan: Tama iyan. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo. Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang halaga ng ikalawang termino at? Ito ay isang ganap na naiibang kuwento Subukang bilangin ang mga tuntunin ng pag-unlad na ito. Magkano ang nakuha mo? Meron akong. Kaya, kung, pagkatapos ay ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad ay kahalili. Ibig sabihin, kung makakita ka ng progression na may mga alternating sign para sa mga miyembro nito, negatibo ang denominator nito. Makakatulong sa iyo ang kaalamang ito na subukan ang iyong sarili kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito. Ngayon ay magsanay tayo ng kaunti: subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang geometric na pag-unlad at kung alin ang isang pag-unlad ng aritmetika: Nakuha ko? Ihambing natin ang ating mga sagot: Bumalik tayo sa ating huling pag-unlad at subukang hanapin ang miyembro nito, tulad ng sa aritmetika. Tulad ng maaaring nahulaan mo, mayroong dalawang paraan upang mahanap ito. Sunud-sunod naming i-multiply ang bawat termino sa. Kaya, ang ika-termino ng inilarawang geometric na pag-unlad ay katumbas ng. Tulad ng nahulaan mo na, ngayon ikaw mismo ay makakakuha ng isang formula na tutulong sa iyo na mahanap ang sinumang miyembro ng geometric progression. O nabuo mo na ba ito para sa iyong sarili, na naglalarawan kung paano hanapin ang ika-miyembro nang hakbang-hakbang? Kung gayon, suriin kung tama ang iyong pangangatwiran. Ilarawan natin ito sa halimbawa ng paghahanap ng ika-taning termino ng pag-unlad na ito: Sa ibang salita: Hanapin ang halaga ng termino ng ibinigay na geometric progression sa iyong sarili. Nangyari? Ihambing natin ang ating mga sagot: Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, kapag sunud-sunod naming pinarami sa bawat nakaraang termino ng geometric na pag-unlad. Ang nagmula na formula ay totoo para sa lahat ng mga halaga - parehong positibo at negatibo. Suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad sa ang mga sumusunod na kondisyon: , A. Nagbilang ka ba? Ihambing natin ang mga resulta: Sumang-ayon na posibleng makahanap ng termino ng isang pag-unlad sa parehong paraan tulad ng isang termino, gayunpaman, may posibilidad na mali ang pagkalkula. At kung nahanap na natin ang ika-kataga ng geometric na pag-unlad, kung gayon ano ang maaaring mas simple kaysa sa paggamit ng "pinutol" na bahagi ng formula. Kamakailan lamang, napag-usapan namin ang katotohanan na maaari itong maging mas malaki o mas mababa sa zero, gayunpaman, mayroong mga espesyal na halaga kung saan tinatawag ang geometric progression. walang katapusan na bumababa. Bakit sa palagay mo ibinigay ang pangalang ito? Nakikita namin na ang bawat kasunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna sa pamamagitan ng isang kadahilanan, ngunit magkakaroon ba ng anumang numero? Sasagot ka kaagad - "hindi". Iyon ang dahilan kung bakit ito ay walang katapusan na bumababa - ito ay bumababa at bumababa, ngunit hindi kailanman nagiging zero. Upang malinaw na maunawaan kung paano ito nakikita, subukan nating gumuhit ng isang graph ng ating pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay tumatagal ng sumusunod na form: Sa mga graph, nakasanayan na naming magplano ng pag-asa, samakatuwid: Ang kakanyahan ng expression ay hindi nagbago: sa unang entry ipinakita namin ang pag-asa ng halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad sa ordinal na numero nito, at sa pangalawang entry kinuha lang namin ang halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad bilang , at itinalaga ang ordinal na numero hindi bilang, ngunit bilang. Ang kailangan lang gawin ay bumuo ng isang graph. Nakikita mo ba? Bumababa ang function, nagiging zero, ngunit hindi ito lumalampas, kaya ito ay walang katapusan na bumababa. Markahan natin ang ating mga punto sa graph, at sa parehong oras kung ano ang ibig sabihin ng coordinate at: Subukang ilarawan nang eskematiko ang isang graph ng isang geometric na pag-unlad kung ang unang termino nito ay pantay din. Suriin kung ano ang pagkakaiba sa aming nakaraang graph? Inayos mo ba? Narito ang graph na aking naisip: Ngayon na ganap mong naunawaan ang mga pangunahing kaalaman ng paksa ng geometric na pag-unlad: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano hanapin ang termino nito, at alam mo rin kung ano ang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, lumipat tayo sa pangunahing pag-aari nito. Naaalala mo ba ang pag-aari ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic? Oo, oo, kung paano mahanap ang halaga ng isang tiyak na bilang ng isang pag-unlad kapag may mga nauna at kasunod na mga halaga ng mga tuntunin ng pag-unlad na ito. naaalala mo ba ito: Ngayon ay nahaharap tayo sa eksaktong parehong tanong para sa mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad. Upang makuha ang gayong pormula, simulan natin ang pagguhit at pangangatwiran. Makikita mo, napakadali nito, at kung nakalimutan mo, maaari mo itong ilabas sa iyong sarili. Kumuha tayo ng isa pang simpleng geometric progression, kung saan alam natin at. Paano hanapin? Sa pag-unlad ng aritmetika ito ay madali at simple, ngunit paano ang tungkol dito? Sa katunayan, walang kumplikado sa geometric alinman - kailangan mo lamang isulat ang bawat halaga na ibinigay sa amin ayon sa formula. Maaari mong itanong, ano ang dapat nating gawin tungkol dito ngayon? Oo, napakasimple. Una, ilarawan natin ang mga formula na ito sa figure at subukang gawin sa kanila iba't ibang manipulasyon upang makarating sa isang halaga. I-abstract natin ang mga numerong ibinibigay sa atin, tumutok lamang tayo sa kanilang ekspresyon sa pamamagitan ng formula. Kailangan nating hanapin ang value na naka-highlight sa orange, alam ang mga terminong katabi nito. Subukan nating gumawa sa kanila iba't ibang aksyon, bilang isang resulta kung saan maaari naming makuha. Dagdag. Mula sa expression na ito, tulad ng nakikita mo, hindi namin maipahayag ito sa anumang paraan, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas. Pagbabawas. Tulad ng nakikita mo, hindi rin natin ito maipahayag, samakatuwid, subukan nating i-multiply ang mga expression na ito sa bawat isa. Pagpaparami. Ngayon tingnang mabuti kung ano ang mayroon tayo sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga termino ng geometric na pag-unlad na ibinigay sa atin kumpara sa kung ano ang kailangang matagpuan: Hulaan mo kung ano ang sinasabi ko? Tama, para mahanap kailangan nating kunin Kuwadrado na ugat mula sa mga geometric na numero ng pag-unlad na katabi ng nais na isa na pinarami ng bawat isa: Eto na. Ikaw mismo ang nakakuha ng pag-aari ng geometric progression. Subukang isulat ang formula na ito pangkalahatang pananaw. Nangyari? Nakalimutan ang kondisyon para sa? Pag-isipan kung bakit ito mahalaga, halimbawa, subukang kalkulahin ito sa iyong sarili. Ano ang mangyayari sa kasong ito? Tama, kumpletong kalokohan dahil ganito ang formula: Alinsunod dito, huwag kalimutan ang limitasyong ito. Ngayon kalkulahin natin kung ano ang katumbas nito Tamang sagot - ! Kung hindi mo nakalimutan ang pangalawa kapag nagkalkula posibleng kahulugan, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa at maaari kaagad na magpatuloy sa pagsasanay, at kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang tinalakay sa ibaba at bigyang-pansin kung bakit kailangang isulat ang parehong mga ugat sa sagot. Iguhit natin ang pareho ng ating mga geometric na pag-unlad - ang isa ay may halaga at ang isa ay may halaga at suriin kung pareho silang may karapatang umiral: Upang masuri kung ang gayong geometric na pag-unlad ay umiiral o wala, kinakailangan upang makita kung ang lahat ng mga ibinigay na termino ay pareho? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang kaso. Tingnan kung bakit kailangan nating sumulat ng dalawang sagot? Dahil ang sign ng term na hinahanap mo ay depende kung positive o negative! At dahil hindi natin alam kung ano ito, kailangan nating isulat ang parehong mga sagot na may plus at minus. Ngayon na pinagkadalubhasaan mo ang mga pangunahing punto at nakuha ang pormula para sa pag-aari ng geometric progression, hanapin, alamin at Ihambing ang iyong mga sagot sa mga tama: Ano sa palagay mo, paano kung bibigyan kami ng hindi mga halaga ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad na katabi ng nais na numero, ngunit katumbas ng layo mula dito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at bigyan at. Maaari ba nating gamitin ang formula na nakuha natin sa kasong ito? Subukang kumpirmahin o pabulaanan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, na naglalarawan kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo noong orihinal mong hinango ang formula, sa. Ngayon tingnan mong mabuti. Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang formula hindi lang sa kapitbahay na may mga nais na termino ng geometric na pag-unlad, ngunit pati na rin sa magkapantay ang layo mula sa hinahanap ng mga miyembro. Kaya, ang aming paunang pormula ay nasa anyo: Ibig sabihin, kung sa unang kaso sinabi natin iyan, ngayon ay sasabihin natin na maaari itong maging katumbas ng anuman natural na numero, na mas maliit. Ang pangunahing bagay ay pareho ito para sa parehong ibinigay na mga numero. Magsanay gamit ang mga partikular na halimbawa, maging maingat lamang! Nagpasya? Umaasa ako na ikaw ay lubos na matulungin at napansin ang isang maliit na catch. Ihambing natin ang mga resulta. Sa unang dalawang kaso, mahinahon naming inilalapat ang formula sa itaas at makuha ang mga sumusunod na halaga: Sa ikatlong kaso, sa mas malapit na pagsusuri serial number mga numerong ibinigay sa amin, naiintindihan namin na ang mga ito ay hindi katumbas ng distansya mula sa numerong hinahanap namin: ito ang nakaraang numero, ngunit tinanggal sa posisyon, kaya hindi posible na ilapat ang formula. Paano ito lutasin? Ito ay talagang hindi kasing hirap ng tila! Isulat natin kung ano ang binubuo ng bawat numero na ibinigay sa atin at ang numerong hinahanap natin. Kaya mayroon kaming at. Tingnan natin kung ano ang magagawa natin sa kanila? Iminumungkahi kong hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin: Pinapalitan namin ang aming data sa formula: Ang susunod na hakbang na mahahanap natin ay - para dito kailangan nating kunin ang cube root ng resultang numero. Ngayon tingnan natin muli kung ano ang mayroon tayo. Mayroon tayo nito, ngunit kailangan nating hanapin ito, at ito naman, ay katumbas ng: Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Palitan sa formula: Ang aming sagot: . Subukang lutasin ang isa pang katulad na problema sa iyong sarili: Magkano ang nakuha mo? Meron akong - . Tulad ng nakikita mo, mahalagang kailangan mo tandaan ang isang formula lamang- . Maaari mong bawiin ang lahat ng natitira sa iyong sarili nang walang anumang kahirapan anumang oras. Upang gawin ito, isulat lamang ang pinakasimpleng geometric na pag-unlad sa isang piraso ng papel at isulat kung ano ang katumbas ng bawat isa sa mga numero nito, ayon sa formula na inilarawan sa itaas. Ngayon tingnan natin ang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na kalkulahin ang kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad sa isang naibigay na agwat: Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang may hangganang geometric na pag-unlad, i-multiply ang lahat ng bahagi ng equation sa itaas sa. Nakukuha namin: Tingnang mabuti: ano ang pagkakatulad ng huling dalawang formula? Tama, mga karaniwang miyembro, halimbawa, at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang 1st sa 2nd equation. Ano ang nakuha mo? Ngayon ipahayag ang termino ng geometric progression sa pamamagitan ng formula at palitan ang resultang expression sa aming huling formula: Pangkatin ang ekspresyon. Dapat kang makakuha ng: Ang kailangan lang gawin ay ipahayag: Alinsunod dito, sa kasong ito. Paano kung? Anong formula ang gumagana pagkatapos? Isipin ang isang geometric na pag-unlad sa. Ano siya? Ang isang serye ng magkatulad na mga numero ay tama, kaya ang formula ay magiging ganito: Mayroong maraming mga alamat tungkol sa parehong arithmetic at geometric progression. Isa na rito ang alamat ni Set, ang lumikha ng chess. Alam ng maraming tao na ang laro ng chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng haring Hindu, natuwa siya sa kanyang katalinuhan at sa iba't ibang posisyon na posible sa kanya. Nang malaman na ito ay naimbento ng isa sa kanyang mga nasasakupan, nagpasya ang hari na personal siyang gantimpalaan. Ipinatawag niya ang imbentor sa kanyang sarili at inutusan siyang hilingin sa kanya ang lahat ng gusto niya, na nangangako na tuparin kahit na ang pinaka mahusay na pagnanais. Humingi si Seta ng panahon para makapag-isip, at nang sumunod na araw ay humarap si Seta sa hari, nagulat siya sa hari sa walang katulad na kahinhinan ng kanyang kahilingan. Hiniling niya na magbigay ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, isang butil ng trigo para sa pangalawa, isang butil ng trigo para sa ikatlo, isang ikaapat, atbp. Nagalit ang hari at itinaboy si Seth, na sinasabi na ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat sa kabutihang-loob ng hari, ngunit nangako na tatanggapin ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga parisukat ng tabla. At ngayon ang tanong: gamit ang formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat matanggap ni Seth? Simulan na natin ang pangangatwiran. Dahil, ayon sa kondisyon, humingi si Seth ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ikaapat, atbp., Pagkatapos ay makikita natin na ang problema ay tungkol sa isang geometric na pag-unlad. Ano ang katumbas nito sa kasong ito? Kabuuang mga parisukat ng chessboard. Kaugnay nito, . Mayroon kaming lahat ng data, ang natitira lamang ay isaksak ito sa formula at kalkulahin. Upang isipin ang hindi bababa sa humigit-kumulang na "scale" ng isang naibigay na numero, binabago namin ang paggamit ng mga katangian ng degree: Siyempre, kung gusto mo, maaari kang kumuha ng calculator at kalkulahin kung anong numero ang napupunta sa iyo, at kung hindi, kailangan mong kunin ang aking salita para dito: ang huling halaga ng expression ay magiging. quintillion quadrillion trillion billion million thousand. Phew) Kung gusto mong isipin ang kalakihan ng bilang na ito, tantiyahin kung gaano kalaki ang isang kamalig na kakailanganin upang ma-accommodate ang buong dami ng butil. Kung ang hari ay malakas sa matematika, maaari niyang anyayahan ang mismong siyentipiko na magbilang ng mga butil, dahil upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng kahit isang araw ng walang kapagurang pagbibilang, at dahil kailangan na magbilang ng quintillion, ang mga butil. ay kailangang mabilang sa buong buhay niya. Ngayon, lutasin natin ang isang simpleng problema na kinasasangkutan ng kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad. Kaya, ang unang termino ng geometric progression ay Vasya, iyon ay, isang tao. Ang ika-apat na termino ng geometric progression ay ang dalawang taong nahawahan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. kabuuang halaga ang mga miyembro ng progression ay katumbas ng bilang ng mga mag-aaral sa 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-unlad kung saan: Palitan natin ang ating data sa formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad: Ang buong klase ay magkakasakit sa loob ng mga araw. Hindi naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan ang "impeksyon" ng mga mag-aaral sa iyong sarili. Nangyari? Tingnan kung ano ang hitsura nito para sa akin: Kalkulahin para sa iyong sarili kung ilang araw ang aabutin para sa mga mag-aaral na magkasakit ng trangkaso kung ang bawat isa ay nahawahan ng isang tao, at mayroon lamang isang tao sa klase. Anong halaga ang nakuha mo? Ito ay lumabas na ang lahat ay nagsimulang magkasakit pagkatapos ng isang araw. Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain at ang pagguhit para dito ay kahawig ng isang pyramid, kung saan ang bawat kasunod na isa ay "nagdudulot" ng mga bagong tao. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon darating ang isang sandali na ang huli ay hindi makaakit ng sinuman. Sa aming kaso, kung akala namin na ang klase ay nakahiwalay, ang tao mula sa pagsasara ng chain (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa pyramid sa pananalapi, kung saan ibinigay ang pera kung magdadala ka ng dalawa pang kalahok, pagkatapos ay ang tao (o pangkalahatang kaso) ay hindi magdadala ng sinuman, at samakatuwid ay mawawala ang lahat ng kanilang namuhunan sa pinansiyal na scam na ito. Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang bumababa o tumataas na geometric na pag-unlad, ngunit, tulad ng natatandaan mo, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Paano makalkula ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga katangian? Sabay-sabay nating alamin ito. Kaya, una, tingnan natin muli ang pagguhit na ito ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad mula sa aming halimbawa: Ngayon tingnan natin ang pormula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, na nakuha nang mas maaga: Ano ang ating pinagsisikapan? Tama, ipinapakita ng graph na ito ay may posibilidad na maging zero. Iyon ay, sa, ay magiging halos pantay, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang expression na makukuha natin halos. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang bracket na ito ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay magiging pantay. - Ang formula ay ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan walang hanggan bilang ng mga miyembro. Kung ang isang tiyak na numero n ay tinukoy, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng n termino, kahit na o. Ngayon ay magsanay tayo. Sana ay naging maingat ka. Ihambing natin ang ating mga sagot: Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression, at oras na para lumipat mula sa teorya patungo sa pagsasanay. Ang pinakakaraniwang problema sa geometric progression na nakatagpo sa pagsusulit ay mga problema sa pagkalkula ng compound interest. Ito ang mga pag-uusapan natin. Marahil ay narinig mo na ang tinatawag na compound interest formula. Naiintindihan mo ba ang ibig sabihin nito? Kung hindi, alamin natin ito, dahil kapag naiintindihan mo ang proseso mismo, mauunawaan mo kaagad kung ano ang kinalaman ng geometric na pag-unlad dito. Pumunta kaming lahat sa bangko at alam namin na mayroon iba't ibang kondisyon sa mga deposito: ito ang termino, at karagdagang serbisyo, at interes na may dalawa iba't ibang paraan ang mga kalkulasyon nito - simple at kumplikado. SA simpleng interes ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: ang interes ay naipon nang isang beses sa pagtatapos ng termino ng deposito. Iyon ay, kung sasabihin namin na nagdeposito kami ng 100 rubles para sa isang taon, pagkatapos ay mai-kredito lamang sila sa pagtatapos ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito makakatanggap kami ng mga rubles. Pinagsamang interes- ito ay isang opsyon kung saan ito nangyayari capitalization ng interes, ibig sabihin. ang kanilang pagdaragdag sa halaga ng deposito at kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa inisyal, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang capitalization ay hindi nangyayari palagi, ngunit may ilang dalas. Bilang isang patakaran, ang mga naturang panahon ay pantay-pantay at kadalasan ang mga bangko ay gumagamit ng isang buwan, quarter o taon. Ipagpalagay natin na nagdedeposito tayo ng parehong rubles taun-taon, ngunit may buwanang capitalization ng deposito. Anong gagawin natin? Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, alamin natin ito nang hakbang-hakbang. Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, dapat ay mayroon tayong halaga sa ating account na binubuo ng ating mga rubles kasama ang interes sa kanila, iyon ay: Sumasang-ayon? Maaari naming alisin ito sa mga bracket at pagkatapos ay makukuha namin: Sumang-ayon, ang pormula na ito ay mas katulad ng isinulat namin sa simula. Ang natitira na lang ay alamin ang mga porsyento Sa pahayag ng problema ay sinabihan kami tungkol sa taunang mga rate. Tulad ng alam mo, hindi kami dumarami sa - nagko-convert kami ng mga porsyento sa mga decimal, yan ay: tama? Ngayon ay maaari mong itanong, saan nagmula ang numero? Napakasimple! Napagtanto ito? Ngayon subukang isulat kung ano ang magiging hitsura ng bahaging ito ng formula kung sinabi kong ang interes ay kinakalkula araw-araw. Magaling! Bumalik tayo sa ating gawain: isulat kung magkano ang maikredito sa ating account sa ikalawang buwan, na isinasaalang-alang na ang interes ay naipon sa naipon na halaga ng deposito. O, sa madaling salita: Sa tingin ko, napansin mo na ang isang pattern at nakakita ka ng geometric na pag-unlad sa lahat ng ito. Isulat kung ano ang magiging katumbas ng miyembro nito, o, sa madaling salita, kung anong halaga ng pera ang matatanggap natin sa katapusan ng buwan. Tulad ng nakikita mo, kung naglalagay ka ng pera sa bangko sa loob ng isang taon sa isang simpleng rate ng interes, makakatanggap ka ng mga rubles, at kung sa isang compound na rate ng interes, makakatanggap ka ng mga rubles. Ang benepisyo ay maliit, ngunit ito ay nangyayari lamang sa ika-taon, ngunit para sa higit pa mahabang panahon mas kumikita ang capitalization: Tingnan natin ang isa pang uri ng problema na kinasasangkutan ng tambalang interes. Pagkatapos ng iyong naisip, ito ay magiging elementarya para sa iyo. Kaya, ang gawain: Ang kumpanya ng Zvezda ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2000, na may kapital sa dolyar. Bawat taon mula noong 2001, nakatanggap ito ng tubo na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Magkano ang kita na matatanggap ng kumpanya ng Zvezda sa katapusan ng 2003 kung ang mga kita ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon? Kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2000. O maaari tayong sumulat nang maikli: Para sa aming kaso: 2000, 2001, 2002 at 2003. Mga sagot: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Ang geometric progression ( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad. 2) Ang equation ng mga termino ng geometric progression ay . 3) maaaring kumuha ng anumang mga halaga maliban sa at. 4), na may - property ng geometric progression (katabing termino) o Kapag nahanap mo ito, huwag kalimutan iyon dapat dalawa ang sagot. Halimbawa, 5) Ang kabuuan ng mga tuntunin ng geometric progression ay kinakalkula ng formula: Kung ang pag-unlad ay walang katapusan na bumababa, kung gayon: MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. 6) Ang mga problemang kinasasangkutan ng tambalang interes ay kinakalkula din gamit ang pormula para sa ika-taning termino ng isang geometric na pag-unlad, sa kondisyon na cash ay hindi inalis mula sa sirkulasyon: Geometric na pag-unlad( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag denominator ng isang geometric progression. Denominator ng geometric progression maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa at. Equation ng mga termino ng geometric progression - . Kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad kinakalkula ng formula: Aralin sa paksa "Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad" (algebra, ika-10 baitang)
Layunin ng aralin: pagpapakilala sa mga mag-aaral sa isang bagong uri ng pagkakasunud-sunod - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Kagamitan: projector, screen. Uri ng aralin: aralin - pag-aaral ng bagong paksa. Sa panahon ng mga klase ako
. Org. sandali. Sabihin ang paksa at layunin ng aralin. II
. Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral. Sa ika-9 na baitang nag-aral ka ng arithmetic at geometric progressions. Mga tanong 1. Kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. (Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro na idinagdag sa parehong numero). 2. Pormula n ika-apat na termino ng pag-unlad ng arithmetic ( 3. Formula para sa kabuuan ng una n mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika. ( 4. Kahulugan ng geometric progression. (Ang geometric progression ay isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero). 5. Pormula n ika-kataga ng geometric progression ( 6. Formula para sa kabuuan ng una n mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad. ( 7. Ano pang mga formula ang alam mo? ( 5. Para sa geometric progression 6. Para sa geometric progression 7. Exponentially b
3
= 8
At b
5
= 2
. Hanapin b
4
. (4) 8. Exponentially b
3
= 8
At b
5
= 2
. Hanapin b
1
At
q
. 9. Exponentially b
3
= 8
At b
5
= 2
. Hanapin S
5
. (62) III
. Pag-aaral ng bagong paksa(pagpapakita ng pagtatanghal). Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Gumuhit tayo ng isa pang parisukat na ang gilid ay kalahati ng laki ng unang parisukat, pagkatapos ay isa pa na ang panig ay kalahati ng pangalawa, pagkatapos ay ang susunod, atbp. Sa bawat oras na ang gilid ng bagong parisukat ay katumbas ng kalahati ng nauna. Bilang resulta, nakatanggap kami ng pagkakasunod-sunod ng mga gilid ng mga parisukat At, kung ano ang napakahalaga, kapag mas marami tayong bubuo ng gayong mga parisukat, magiging mas maliit ang gilid ng parisukat. Halimbawa, Yung. Habang tumataas ang bilang n, ang mga tuntunin ng pag-unlad ay lumalapit sa zero. Gamit ang figure na ito, maaari mong isaalang-alang ang isa pang pagkakasunud-sunod. Halimbawa, ang pagkakasunud-sunod ng mga lugar ng mga parisukat: Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Isang equilateral triangle na may mga gilid na katumbas ng 1 cm. Buuin natin ang sumusunod na tatsulok na may mga vertices sa mga midpoint ng mga gilid ng 1st triangle, ayon sa theorem tungkol sa midline ng triangle - ang gilid ng 2nd ay katumbas ng kalahati ng gilid ng una, ang gilid ng 3rd ay katumbas ng kalahati ng gilid ng ika-2, atbp. Muli naming nakuha ang isang pagkakasunud-sunod ng mga haba ng mga gilid ng triangles. Kung isasaalang-alang natin ang isang geometric na pag-unlad na may negatibong denominator. Pagkatapos, muli, sa pagtaas ng mga numero n mga tuntunin ng pag-unlad na approach zero. Bigyang-pansin natin ang mga denominador ng mga sequence na ito. Saanman ang mga denominator ay mas mababa sa 1 sa ganap na halaga. Maaari nating tapusin: ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bababa kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa 1. Kahulugan:
Ang isang geometric na pag-unlad ay sinasabing walang katapusan na bumababa kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa isa. Gamit ang kahulugan, maaari kang magpasya kung ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bumababa o hindi. Gawain Ang sequence ba ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad kung ito ay ibinigay ng formula: Solusyon: ang geometric na pag-unlad na ito ay walang katapusan na bumababa. b) ang sequence na ito ay hindi isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Hatiin ito sa kalahati, isa sa mga halves sa kalahati, atbp. Ang mga lugar ng lahat ng nagresultang mga parihaba ay bumubuo ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad: Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga parihaba na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng lugar ng 1st square at katumbas ng 1.
Ang gawain ng paghahanap ng unang termino ng isang pag-unlad
Ang sikat na kabalintunaan ni Zeno sa mabilis na Achilles at mabagal na pagong
Mga gawain:
pagbabalangkas ng isang paunang ideya ng limitasyon ng isang numerical sequence;
kakilala sa isa pang paraan upang i-convert ang mga infinite periodic fraction sa ordinaryo gamit ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric progression;
pag-unlad ng mga intelektwal na katangian ng personalidad ng mga mag-aaral tulad ng lohikal na pag-iisip, kakayahang gumawa ng mga aksyong pagsusuri, at paglalahat;
pagpapaunlad ng aktibidad, pagtulong sa isa't isa, kolektibismo, at interes sa paksa.I-download:
Preview:
Preview:
Mga slide caption:
Geometric na pag-unlad. Komprehensibong gabay may mga halimbawa (2019)
Pagkakasunod-sunod ng numero
Bakit kailangan ang geometric progression at ang kasaysayan nito?
Geometric na pag-unlad.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito- Ilagay natin ito sa pangkalahatang anyo at makuha ang:Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.
Una, isulat natin ang ilang geometric progression na binubuo ng mga termino.
Sabihin natin, kung gayon:
Tingnan natin kung ano ang nakuha mo. Narito ang graph na aking naisip:
Property ng geometric progression.
Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at makuha natin:
Ano ang nakuha mo?
at naaayon:
Ibinigay: ,
Hanapin:Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad.
Tama.
Yan ay:
Kung ang kamalig ay m mataas at m ang lapad, ang haba nito ay kailangang pahabain ng km, i.e. dalawang beses na mas malayo kaysa sa Earth hanggang sa Araw.
Ang isang mag-aaral ng klase 5A Vasya ay nagkasakit ng trangkaso, ngunit patuloy na pumasok sa paaralan. Araw-araw ay nahahawa ni Vasya ang dalawang tao, na, naman, ay nakakahawa ng dalawa pang tao, at iba pa. May tao lang sa klase. Sa ilang araw magkakaroon ng trangkaso ang buong klase?
o
Mga problema sa pagkalkula ng tambalang interes.
Uulitin ko: ang pahayag ng problema ay nagsasabi tungkol sa TAON interes na naipon MONTHLY. Tulad ng alam mo, sa isang taon ng mga buwan, nang naaayon, sisingilin kami ng bangko ng isang bahagi ng taunang interes bawat buwan:
Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga resulta:
Narito ang nakuha ko:
ginawa? Suriin natin!
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2001.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2002.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2003.
Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
Pakitandaan na sa problemang ito wala kaming dibisyon alinman sa pamamagitan o ni, dahil ang porsyento ay ibinibigay TAUN-TAON at ito ay kinakalkula TAUN-TAON. Iyon ay, kapag nagbabasa ng isang problema sa tambalang interes, bigyang-pansin kung anong porsyento ang ibinigay at sa anong panahon ito kinakalkula, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa mga kalkulasyon.
Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression.Pagsasanay.
MDM Capital Company:
- tumataas ng 100%, ibig sabihin, 2 beses.
Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
Kumpanya ng MSK Cash Flows:
- tumataas ng, iyon ay, sa pamamagitan ng mga oras.
Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
rublesI-summarize natin.
, sa (magkaparehong mga termino)
o
oGEOMETRIC PROGRESSION. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY
o
)
o 
)
)
)
, Saan 
; 
; 
; 
, 
)
hanapin ang ikalimang termino. 
hanapin n ika miyembro. 
bumubuo ng isang geometric na progression na may denominator .
. At, muli, kung n tataas nang walang katiyakan, pagkatapos ay lalapit sa zero ang lugar hangga't gusto mo.
sa 
.
.
; 
.. Hahanapin natin q
.
; 
; 
; 
.
