Homogeneous na sistema linear na equation sa ibabaw ng field
DEPINISYON. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang sistema ng mga equation (1) ay isang walang laman na linearly independent na sistema ng mga solusyon nito, ang linear span na kung saan ay tumutugma sa hanay ng lahat ng solusyon sa system (1).
Tandaan na ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation na mayroon lamang isang zero na solusyon ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.
PANUKALA 3.11. Anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay binubuo ng parehong bilang ng mga solusyon.
Patunay. Sa katunayan, anumang dalawang pangunahing sistema ng mga solusyon sa homogenous na sistema ng mga equation (1) ay katumbas at linearly independyente. Samakatuwid, ayon sa Proposisyon 1.12, ang kanilang mga ranggo ay pantay. Samakatuwid, ang bilang ng mga solusyon na kasama sa isa pangunahing sistema, ay katumbas ng bilang ng mga solusyon na kasama sa anumang iba pang pangunahing sistema ng mga solusyon.
Kung ang pangunahing matrix A ng homogenous na sistema ng mga equation (1) ay zero, kung gayon ang anumang vector mula sa ay isang solusyon sa system (1); sa kasong ito, ang anumang koleksyon ay linear independiyenteng mga vector ng ay isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Kung ang ranggo ng hanay ng matrix A ay katumbas ng , kung gayon ang sistema (1) ay may isang solusyon lamang - zero; samakatuwid, sa kasong ito, ang sistema ng mga equation (1) ay walang pangunahing sistema ng mga solusyon.
TEOREM 3.12. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ng isang homogenous na sistema ng mga linear equation (1) ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable , kung gayon ang system (1) ay may pangunahing sistema ng solusyon na binubuo ng mga solusyon.
Patunay. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix A ng homogenous system (1) ay katumbas ng zero o , pagkatapos ay ipinakita sa itaas na ang teorama ay totoo. Samakatuwid, sa ibaba ay ipinapalagay na Sa pag-aakalang , ipapalagay natin na ang mga unang column ng matrix A ay linearly independent. Sa kasong ito, ang matrix A ay rowwise na katumbas ng pinababang stepwise matrix, at ang system (1) ay katumbas ng sumusunod na pinababang stepwise na sistema ng mga equation:
Madaling suriin kung ang anumang sistema ng mga libreng halaga mga variable ng system(2) ay tumutugma sa isa at tanging solusyon sa system (2) at, samakatuwid, sa system (1). Sa partikular, tanging ang zero na solusyon ng system (2) at system (1) ang tumutugma sa isang sistema ng mga zero na halaga.
Sa system (2) itatalaga namin ang isa sa libre halaga ng mga variable, katumbas ng 1, at ang natitirang mga variable ay may mga zero na halaga. Bilang resulta, nakakakuha kami ng mga solusyon sa sistema ng mga equation (2), na isinusulat namin sa anyo ng mga hilera ng sumusunod na matrix C:
Ang row system ng matrix na ito ay linearly independent. Sa katunayan, para sa anumang mga scalar mula sa pagkakapantay-pantay
sumusunod ang pagkakapantay-pantay
at, samakatuwid, pagkakapantay-pantay
Patunayan natin na ang linear span ng sistema ng mga hilera ng matrix C ay tumutugma sa hanay ng lahat ng mga solusyon sa system (1).
Arbitrary na solusyon ng system (1). Tapos yung vector
ay isa ring solusyon sa system (1), at
Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema!!!Upang maunawaan kung ano ito pangunahing sistema ng pagpapasya maaari kang manood ng video tutorial para sa parehong halimbawa sa pamamagitan ng pag-click. Ngayon ay lumipat tayo sa paglalarawan ng kabuuan kinakailangang gawain. Makakatulong ito sa iyo na maunawaan ang kakanyahan ng isyung ito nang mas detalyado.
Paano mahahanap ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang linear equation?
Kunin natin halimbawa ang sumusunod na sistema ng mga linear na equation:
Hanapin natin ang solusyon sa linear system na ito ng mga equation. Upang magsimula sa, kami kinakailangang isulat ang matrix ng mga coefficient ng system.
Ibahin natin ang matrix na ito sa isang tatsulok. Sinusulat namin muli ang unang linya nang walang mga pagbabago. At lahat ng mga elemento na nasa ilalim ng $a_(11)$ ay dapat gawing mga zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(21)$, kailangan mong ibawas ang una sa pangalawang linya, at isulat ang pagkakaiba sa pangalawang linya. Upang makagawa ng zero sa halip na elementong $a_(31)$, kailangan mong ibawas ang una sa ikatlong linya at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(41)$, kailangan mong ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang makagawa ng zero sa halip na elementong $a_(31)$, kailangan mong ibawas ang unang pinarami ng 2 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya. 
Sinusulat namin muli ang una at pangalawang linya nang walang mga pagbabago. At ang lahat ng mga elemento na nasa ilalim ng $a_(22)$ ay dapat gawing zero. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(32)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikatlong linya at isulat ang pagkakaiba sa ikatlong linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(42)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 mula sa ikaapat na linya at isulat ang pagkakaiba sa ikaapat na linya. Upang makagawa ng zero sa lugar ng elementong $a_(52)$, kailangan mong ibawas ang pangalawa na pinarami ng 3 mula sa ikalimang linya at isulat ang pagkakaiba sa ikalimang linya. 
Nakikita natin yan ang huling tatlong linya ay pareho, kaya kung ibawas mo ang pangatlo sa ikaapat at ikalima, magiging zero sila. 
Ayon sa matrix na ito isulat bagong sistema mga equation.
Nakikita natin na mayroon lamang tayong tatlong linearly independent equation, at limang hindi alam, kaya ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay bubuo ng dalawang vectors. Kaya kami kailangan nating ilipat sa kanan ang huling dalawang hindi alam.
Ngayon, nagsisimula kaming ipahayag ang mga hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga nasa kanang bahagi. Magsisimula tayo sa huling equation, una nating ipinapahayag ang $x_3$, pagkatapos ay pinapalitan natin ang resultang resulta sa pangalawang equation at ipahayag ang $x_2$, at pagkatapos ay sa unang equation at dito ipinapahayag natin ang $x_1$. Kaya, ipinahayag namin ang lahat ng hindi alam na nasa kaliwang bahagi sa pamamagitan ng mga hindi alam na nasa kanang bahagi. 
Pagkatapos ay sa halip na $x_4$ at $x_5$, maaari naming palitan ang anumang numero at hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Ang bawat lima sa mga numerong ito ang magiging ugat ng ating orihinal na sistema ng mga equation. Upang mahanap ang mga vector na kasama sa FSR kailangan nating palitan ang 1 sa halip na $x_4$, at palitan ang 0 sa halip na $x_5$, hanapin ang $x_1$, $x_2$ at $x_3$, at pagkatapos ay vice versa $x_4=0$ at $x_5=1$.
Patuloy nating pakinisin ang ating teknolohiya mga pagbabagong elementarya sa homogenous na sistema ng mga linear equation.
Batay sa mga unang talata, ang materyal ay maaaring mukhang boring at karaniwan, ngunit ang impression na ito ay mapanlinlang. Bilang karagdagan sa karagdagang pag-unlad ng mga teknikal na pamamaraan, magkakaroon ng marami bagong impormasyon, kaya mangyaring subukang huwag pabayaan ang mga halimbawa sa artikulong ito.
Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation?
Ang sagot ay nagmumungkahi mismo. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay homogenous kung ang libreng termino lahat equation ng system ay zero. Halimbawa:
Ito ay ganap na malinaw na ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, ibig sabihin, laging may solusyon. At, una sa lahat, ang nakakakuha ng iyong mata ay ang tinatawag na walang kuwenta solusyon 
. Trivial, para sa mga hindi naiintindihan ang kahulugan ng adjective sa lahat, ay nangangahulugan na walang pakitang-tao. Siyempre, hindi sa akademya, ngunit sa katinuan =) ...Bakit kailangan mo lang gawin, alamin natin kung may iba pang solusyon ang sistemang ito:
Halimbawa 1
Solusyon: upang malutas ang isang homogenous na sistema kinakailangan na magsulat system matrix at sa tulong ng mga elementarya na pagbabago ay dalhin ito sa isang hakbang-hakbang na anyo. Pakitandaan na dito hindi na kailangang isulat ang vertical bar at ang zero na column ng mga libreng termino - pagkatapos ng lahat, anuman ang gawin mo sa mga zero, mananatili silang mga zero: 
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –3.
(2) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –1.
Ang paghahati sa ikatlong linya ng 3 ay hindi gaanong makatwiran.
Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na homogenous na sistema 
, at, nag-aaplay reverse stroke Gauss's method, madaling i-verify na kakaiba ang solusyon.
Sagot: 
Bumuo tayo ng malinaw na pamantayan: isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay mayroon maliit na solusyon lang, Kung ranggo ng system matrix(V sa kasong ito 3) katumbas ng bilang ng mga variable (sa kasong ito - 3 piraso).
Magpainit tayo at ibagay ang ating radyo sa alon ng elementarya na pagbabago:
Halimbawa 2
Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation 
Upang tuluyang pagsamahin ang algorithm, suriin natin ang panghuling gawain:
Halimbawa 7
Lutasin ang isang homogenous system, isulat ang sagot sa vector form. 
Solusyon: isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo: 
(1) Ang tanda ng unang linya ay binago. Muli kong iginuhit ang pansin sa isang pamamaraan na nakatagpo ng maraming beses, na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pasimplehin ang susunod na aksyon.
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa ika-2 at ika-3 linya. Ang unang linya, na pinarami ng 2, ay idinagdag sa ika-4 na linya.
(3) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ang tinanggal.
Bilang isang resulta, ang isang karaniwang step matrix ay nakuha, at ang solusyon ay nagpapatuloy kasama ang knurled track:
- pangunahing mga variable;
– mga libreng variable.
Ipahayag natin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable. Mula sa 2nd equation:
– palitan sa 1st equation:
kaya, karaniwang desisyon:
Dahil sa halimbawang isinasaalang-alang mayroong tatlong libreng variable, ang pangunahing sistema ay naglalaman ng tatlong vectors.
Palitan natin ang isang triple ng mga halaga 
sa pangkalahatang solusyon at kumuha ng vector na ang mga coordinate ay nakakatugon sa bawat equation ng homogenous system. At muli, inuulit ko na lubos na maipapayo na suriin ang bawat natanggap na vector - hindi ito kukuha ng maraming oras, ngunit ganap itong maprotektahan ka mula sa mga pagkakamali.
Para sa isang triple ng mga halaga 
hanapin ang vector
At sa wakas para sa tatlo 
nakuha namin ang pangatlong vector:
Sagot: , Saan
Ang mga nagnanais na maiwasan ang mga fractional na halaga ay maaaring isaalang-alang ang mga triplet at makuha ang sagot sa katumbas na anyo:
Speaking of fractions. Tingnan natin ang matrix na nakuha sa problema 
at itanong natin sa ating sarili: posible bang gawing simple ang karagdagang solusyon? Pagkatapos ng lahat, dito namin unang ipinahayag ang pangunahing variable sa pamamagitan ng mga fraction, pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga fraction ang pangunahing variable, at, dapat kong sabihin, ang prosesong ito ay hindi ang pinakasimpleng at hindi ang pinaka-kaaya-aya.
Pangalawang solusyon:
Ang ideya ay subukan pumili ng iba pang mga variable na batayan. Tingnan natin ang matrix at pansinin ang dalawa sa ikatlong hanay. Kaya bakit walang zero sa itaas? Magsagawa tayo ng isa pang elementarya na pagbabago:
Ang isang sistema ng mga linear equation kung saan ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous :
Ang anumang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil palagi itong mayroon sero (walang kuwenta ) solusyon. Ang tanong ay bumangon sa ilalim ng kung anong mga kundisyon ang isang homogenous na sistema ay magkakaroon ng isang nontrivial na solusyon.
Teorama 5.2.Ang isang homogenous na sistema ay may isang nontrivial na solusyon kung at kung ang ranggo ng pinagbabatayan na matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam nito.
Bunga. Ang isang square homogeneous system ay may nontrivial solution kung at kung ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero.
Halimbawa 5.6. Tukuyin ang mga halaga ng parameter l kung saan ang sistema ay may mga hindi kapansin-pansing solusyon, at hanapin ang mga solusyong ito:
Solusyon. Ang sistemang ito ay magkakaroon ng di-trivial na solusyon kapag ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero:
Kaya, ang sistema ay hindi mahalaga kapag l=3 o l=2. Para sa l=3, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 1. Pagkatapos, iiwan lamang ang isang equation at ipagpalagay na y=a At z=b, nakukuha namin x=b-a, ibig sabihin.
Para sa l=2, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2. Pagkatapos, ang pagpili ng minor bilang batayan:
nakakakuha tayo ng pinasimpleng sistema
Mula dito makikita natin iyan x=z/4, y=z/2. Naniniwala z=4a, nakukuha namin
Ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay may napakahalaga linear na ari-arian : kung ang mga hanay X 1 at X 2 - mga solusyon sa isang homogenous na sistema AX = 0, pagkatapos ay anumang linear na kumbinasyon ng mga ito a X 1 + b X 2 magiging solusyon din sa sistemang ito. Sa katunayan, mula noong AX 1 = 0 At AX 2 = 0 , Iyon A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Dahil sa katangiang ito na kung ang isang linear system ay may higit sa isang solusyon, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyong ito.
Mga linearly independent na column E 1 , E 2 , Ek, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema, ay tinatawag pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous na sistema ng mga linear equation kung ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito ay maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng mga column na ito:
Kung ang isang homogenous na sistema ay may n mga variable, at ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng r, Iyon k = n-r.
Halimbawa 5.7. Hanapin ang pangunahing sistema ng solusyon susunod na sistema linear na equation:
Solusyon. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system:
Kaya, ang hanay ng mga solusyon sa sistemang ito ng mga equation ay bumubuo ng isang linear na subspace ng dimensyon n-r= 5 - 2 = 3. Piliin natin ang menor de edad bilang batayan
.
Pagkatapos, iiwan lamang ang mga pangunahing equation (ang natitira ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga equation na ito) at ang mga pangunahing variable (ginagalaw namin ang natitira, ang tinatawag na mga libreng variable sa kanan), nakakakuha kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:
Naniniwala x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nahanap namin
, 
.
Naniniwala a= 1, b = c= 0, nakuha namin ang unang pangunahing solusyon; naniniwala b= 1, a = c= 0, nakuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon; naniniwala c= 1, a = b= 0, nakukuha namin ang ikatlong pangunahing solusyon. Bilang resulta, ang normal na pangunahing sistema ng mga solusyon ay magkakaroon ng anyo
Gamit ang pangunahing sistema, ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ay maaaring isulat bilang
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Tandaan natin ang ilang mga katangian ng mga solusyon sa isang hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation AX=B at ang kanilang kaugnayan sa kaukulang homogenous na sistema ng mga equation AX = 0.
Pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous systemay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system na AX = 0 at isang arbitrary na partikular na solusyon ng hindi homogenous na sistema. Sa katunayan, hayaan Y 0 ay isang di-makatwirang partikular na solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistema, i.e. AY 0 = B, At Y- pangkalahatang solusyon ng isang heterogenous system, i.e. AY=B. Ang pagbabawas ng isang pagkakapantay-pantay mula sa isa, nakukuha natin
A(Y-Y 0) = 0, ibig sabihin. Y-Y Ang 0 ay ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system AX=0. Kaya naman, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Hayaang ang inhomogeneous system ay may anyo na AX = B 1 + B 2 . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng naturang sistema ay maaaring isulat bilang X = X 1 + X 2 , kung saan si AX 1 = B 1 at AX 2 = B 2. Ang pag-aari na ito ay nagpapahayag ng pangkalahatang pag-aari ng alinman mga linear na sistema(algebraic, differential, functional, atbp.). Sa physics tinatawag ang property na ito prinsipyo ng superposisyon, sa electrical at radio engineering - prinsipyo ng superposisyon. Halimbawa, sa teorya ng mga linear na electrical circuit, ang kasalukuyang sa anumang circuit ay maaaring makuha bilang algebraic na kabuuan ng mga alon na dulot ng bawat pinagmumulan ng enerhiya nang hiwalay.
Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho at may maliit na solusyon 
. Para umiral ang isang nontrivial na solusyon, kinakailangan na ang ranggo ng matrix 
ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam:
.
Pangunahing sistema ng mga solusyon
homogenous na sistema 
tumawag sa isang sistema ng mga solusyon sa anyo ng mga vector ng haligi 
, na tumutugma sa kanonikal na batayan, i.e. batayan kung saan arbitrary constants 
ay halili na itinakda katumbas ng isa, habang ang iba ay nakatakda sa zero.
Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistema ay may anyo:
saan 
- di-makatwirang mga pare-pareho. Sa madaling salita, ang pangkalahatang solusyon ay isang linear na kumbinasyon ng pangunahing sistema ng mga solusyon.
Kaya, ang mga pangunahing solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon kung ang mga libreng hindi alam ay binibigyan ng halaga ng isa, na nagtatakda ng lahat ng iba na katumbas ng zero.
Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema
Tanggapin natin , pagkatapos ay makakakuha tayo ng solusyon sa form:
Bumuo tayo ngayon ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon:
.
Ang pangkalahatang solusyon ay isusulat bilang:
Ang mga solusyon ng isang sistema ng homogenous linear equation ay may mga sumusunod na katangian:
Sa madaling salita, ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ay muling isang solusyon.
Paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang Gauss method
Ang paglutas ng mga sistema ng linear equation ay interesado sa mga mathematician sa loob ng ilang siglo. Ang mga unang resulta ay nakuha noong ika-18 siglo. Noong 1750, inilathala ni G. Kramer (1704–1752) ang kanyang mga gawa sa mga determinant ng square matrices at nagmungkahi ng algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix. Noong 1809, binalangkas ni Gauss ang isang bagong paraan ng solusyon na kilala bilang paraan ng pag-aalis.
Ang pamamaraang Gauss, o ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ay binubuo sa katotohanan na, gamit ang elementarya na pagbabago, ang isang sistema ng mga equation ay binabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang hakbang (o tatsulok) na anyo. Ginagawang posible ng mga ganitong sistema na magkakasunod na mahanap ang lahat ng hindi alam sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod.
Ipagpalagay natin na sa system (1) 
(na laging posible).
(1)
Pagpaparami ng unang equation nang paisa-isa sa tinatawag na angkop na mga numero
at pagdaragdag ng resulta ng multiplikasyon sa mga katumbas na equation ng system, makakakuha tayo ng katumbas na sistema kung saan sa lahat ng equation maliban sa una ay walang malalaman. X 1
(2)
I-multiply natin ngayon ang pangalawang equation ng system (2) sa mga angkop na numero, sa pag-aakalang iyon 
,
at idagdag ito sa mga mas mababa, inaalis namin ang variable 
mula sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.
Ang pagpapatuloy ng prosesong ito, pagkatapos 
hakbang na nakukuha namin:
(3)
Kung hindi bababa sa isa sa mga numero 
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang katumbas na pagkakapantay-pantay ay magkasalungat at ang sistema (1) ay hindi pare-pareho. Sa kabaligtaran, para sa anumang pinagsamang sistema ng numero 
ay katumbas ng zero. Numero 
ay walang iba kundi ang ranggo ng matrix ng system (1).
Ang paglipat mula sa system (1) hanggang (3) ay tinatawag dumiretso Gauss method, at paghahanap ng mga hindi alam mula sa (3) - sa kabaligtaran .
Magkomento : Mas madaling magsagawa ng mga pagbabagong-anyo hindi sa mga equation mismo, ngunit sa pinahabang matrix ng system (1).
Halimbawa. Maghanap tayo ng solusyon sa sistema
.
Isulat natin ang pinahabang matrix ng system:
.
Idagdag natin ang una sa mga linyang 2,3,4, na pinarami ng (-2), (-3), (-2) ayon sa pagkakabanggit:
.
Pagpalitin natin ang row 2 at 3, pagkatapos ay sa resultang matrix idagdag ang row 2 sa row 4, na pinarami ng 
:
.
Idagdag sa linya 4 na linya 3 na pinarami ng 
:
.
Obvious naman yun 
, samakatuwid, ang sistema ay pare-pareho. Mula sa nagresultang sistema ng mga equation
mahanap namin ang solusyon sa pamamagitan ng reverse substitution:
,
,
,
.
Halimbawa 2. Maghanap ng solusyon sa system:
.
Obvious naman na inconsistent ang system, kasi 
, A 
.
Mga kalamangan ng pamamaraang Gauss :
Hindi gaanong labor intensive kaysa sa pamamaraan ni Cramer.
Hindi malabo na itinatatag ang pagiging tugma ng system at nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng solusyon.
Ginagawang posible upang matukoy ang ranggo ng anumang mga matrice.
