Logarithm ng numerong b (b > 0) sa base a (a > 0, a ≠ 1)– exponent kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha b.
Ang base 10 logarithm ng b ay maaaring isulat bilang log(b), at ang logarithm sa base e (natural logarithm) ay ln(b).
Kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga problema sa logarithms:
Mga katangian ng logarithms
Mayroong apat na pangunahing mga katangian ng logarithms.
Hayaan ang a > 0, a ≠ 1, x > 0 at y > 0.
Ari-arian 1. Logarithm ng produkto
Logarithm ng produkto katumbas ng kabuuan logarithms:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Property 2. Logarithm ng quotient
Logarithm ng quotient katumbas ng pagkakaiba ng logarithms:
log a (x / y) = log a x – log a y
Ari-arian 3. Logarithm ng kapangyarihan
Logarithm ng degree katumbas ng produkto ng kapangyarihan at ang logarithm:
Kung ang base ng logarithm ay nasa degree, ang isa pang formula ay nalalapat:
Ari-arian 4. Logarithm ng ugat
Ang pag-aari na ito ay maaaring makuha mula sa pag-aari ng logarithm ng isang kapangyarihan, dahil ang ika-n ugat ng kapangyarihan ay katumbas ng kapangyarihan ng 1/n:
Formula para sa pag-convert mula sa isang logarithm sa isang base patungo sa isang logarithm sa isa pang base
Ang formula na ito ay madalas ding ginagamit kapag nilulutas ang iba't ibang gawain sa logarithms:
Espesyal na kaso:
Paghahambing ng mga logarithms (hindi pagkakapantay-pantay)
Magkaroon tayo ng 2 function na f(x) at g(x) sa ilalim ng logarithms na may parehong mga base at sa pagitan ng mga ito ay may isang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay:
Upang ihambing ang mga ito, kailangan mo munang tingnan ang base ng logarithms a:
- Kung a > 0, f(x) > g(x) > 0
- Kung 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Paano malutas ang mga problema sa logarithms: mga halimbawa
Mga problema sa logarithms kasama sa Unified State Exam sa matematika para sa grade 11 sa task 5 at task 7, makakahanap ka ng mga gawain na may mga solusyon sa aming website sa mga naaangkop na seksyon. Gayundin, ang mga gawain na may logarithms ay matatagpuan sa math task bank. Maaari mong mahanap ang lahat ng mga halimbawa sa pamamagitan ng paghahanap sa site.
Ano ang logarithm
Ang logarithms ay palaging itinuturing na isang mahirap na paksa sa mga kurso sa matematika ng paaralan. Mayroong maraming iba't ibang mga kahulugan ng logarithm, ngunit sa ilang kadahilanan ang karamihan sa mga aklat-aralin ay gumagamit ng pinakamasalimuot at hindi matagumpay sa mga ito.
Tutukuyin natin ang logarithm nang simple at malinaw. Upang gawin ito, gumawa tayo ng talahanayan:
So, we have powers of two.
Logarithms - mga katangian, mga formula, kung paano malutas
Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.
At ngayon - talaga, ang kahulugan ng logarithm:
ang base a ng argumentong x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x.
Pagtatalaga: log a x = b, kung saan ang a ay ang batayan, x ang argumento, b ang aktwal na katumbas ng logarithm.
Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Sa parehong tagumpay, log 2 64 = 6, dahil 2 6 = 64.
Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang ibinigay na base ay tinatawag. Kaya, magdagdag tayo ng bagong linya sa ating talahanayan:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay madaling kalkulahin. Halimbawa, subukang hanapin ang log 2 5. Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa pagitan. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Ang mga nasabing numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat ng ad infinitum, at hindi na mauulit ang mga ito. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mahusay na iwanan ito sa ganoong paraan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (ang base at ang argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:
Sa harap natin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: Ang logarithm ay isang kapangyarihan, kung saan dapat itayo ang base upang makakuha ng argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - ito ay naka-highlight sa pula sa larawan. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko sa aking mga mag-aaral ang napakagandang tuntuning ito sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan na lumitaw.
Paano magbilang ng logarithms
Naisip namin ang kahulugan - ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:
- Ang argumento at ang base ay dapat palaging mas malaki sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang degree sa pamamagitan ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng isang logarithm ay nabawasan.
- Ang base ay dapat na iba sa isa, dahil ang isa sa anumang antas ay nananatiling isa. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganyang degree!
Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Tandaan na walang mga paghihigpit sa numero b (ang halaga ng logarithm). Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 = −1, dahil 0.5 = 2 −1.
Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerical na expression kung saan hindi kinakailangang malaman ang VA ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay isinasaalang-alang na ng mga may-akda ng mga problema. Ngunit kapag naganap ang mga logarithmic equation at inequalities, magiging mandatory ang mga kinakailangan sa DL. Pagkatapos ng lahat, ang batayan at argumento ay maaaring maglaman ng napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.
Ngayon tingnan natin ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:
- Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamababang posibleng base na mas malaki sa isa. Sa daan, mas mainam na alisin ang mga decimal;
- Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
- Ang resultang numero b ang magiging sagot.
yun lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napakahalaga: binabawasan nito ang posibilidad ng pagkakamali at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Pareho sa mga decimal: kung agad mong i-convert ang mga ito sa mga regular, magkakaroon ng mas kaunting mga error.
Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito gamit ang mga partikular na halimbawa:
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Natanggap namin ang sagot: 2.
Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Gawain. Kalkulahin ang logarithm:
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Natanggap namin ang sagot: 3.
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Natanggap namin ang sagot: 0.
Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14
- Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
- Mula sa nakaraang talata ay sumusunod na ang logarithm ay hindi binibilang;
- Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.
Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano ka makatitiyak na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple nito - isama lang ito sa mga pangunahing kadahilanan. Kung ang pagpapalawak ay may hindi bababa sa dalawang magkaibang mga kadahilanan, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.
Gawain. Alamin kung ang mga numero ay eksaktong kapangyarihan: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ay hindi eksaktong kapangyarihan, dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 · 5 - muli hindi isang eksaktong kapangyarihan;
14 = 7 · 2 - muli hindi isang eksaktong antas;
Tandaan din na ang mga prime number mismo ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang mga sarili.
Decimal logarithm
Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at simbolo.
ng argumentong x ay ang logarithm sa base 10, i.e. Ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x.
Halimbawa, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.
Mula ngayon, kapag lumitaw ang isang pariralang tulad ng "Hanapin ang lg 0.01" sa isang aklat-aralin, alamin na hindi ito isang typo. Ito ay isang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka pamilyar sa notasyong ito, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x
Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo rin para sa decimal logarithms.
Likas na logarithm
May isa pang logarithm na may sariling pagtatalaga. Sa ilang paraan, mas mahalaga pa ito kaysa decimal. Pinag-uusapan natin ang natural logarithm.
ng argumentong x ay ang logarithm sa base e, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x.
Maraming magtatanong: ano ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero, nito eksaktong halaga imposibleng mahanap at maitala. Ibibigay ko lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459…
Hindi na namin idedetalye kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x
Kaya ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anuman makatwirang numero hindi makatwiran. Maliban, siyempre, para sa isa: ln 1 = 0.
Para sa natural logarithms lahat ng mga patakaran na totoo para sa ordinaryong logarithms ay may bisa.
Tingnan din ang:
Logarithm. Mga katangian ng logarithm (kapangyarihan ng logarithm).
Paano kinakatawan ang isang numero bilang isang logarithm?
Ginagamit namin ang kahulugan ng logarithm.
Ang logarithm ay isang exponent kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang numero sa ilalim ng logarithm sign.
Kaya, upang kumatawan sa isang tiyak na numero c bilang isang logarithm sa base a, kailangan mong maglagay ng kapangyarihan na may parehong base bilang base ng logarithm sa ilalim ng tanda ng logarithm, at isulat ang numerong ito c bilang exponent:
Ganap na anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang logarithm - positibo, negatibo, integer, fractional, rational, hindi makatwiran:
Upang hindi malito ang a at c sa ilalim ng mabigat na kondisyon ng isang pagsusulit o pagsusulit, maaari mong gamitin ang sumusunod na panuntunan sa pagsasaulo:
ang nasa ibaba ay bumababa, ang nasa itaas ay tumataas.
Halimbawa, kailangan mong katawanin ang numero 2 bilang logarithm sa base 3.
Mayroon kaming dalawang numero - 2 at 3. Ang mga numerong ito ay ang base at exponent, na isusulat namin sa ilalim ng tanda ng logarithm. Ito ay nananatiling upang matukoy kung alin sa mga numerong ito ang dapat isulat, sa base ng kapangyarihan, at alin - pataas, sa exponent.
Ang base 3 sa notation ng isang logarithm ay nasa ibaba, na nangangahulugan na kapag kinakatawan namin ang dalawa bilang isang logarithm sa base 3, isusulat din namin ang 3 pababa sa base.
Ang 2 ay mas mataas kaysa sa tatlo. At sa notasyon ng degree na dalawa ay isinusulat namin sa itaas ng tatlo, iyon ay, bilang isang exponent:
Logarithms. Entry level.
Logarithms
Logarithm positibong numero b batay sa a, Saan a > 0, a ≠ 1, ay tinatawag na exponent kung saan dapat itaas ang numero a para makuha b.
Kahulugan ng logarithm maaaring maisulat nang maikli tulad nito:
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa para sa b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ito ay karaniwang tinatawag pagkakakilanlan ng logarithmic.
Ang aksyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero ay tinatawag sa pamamagitan ng logarithm.
Mga katangian ng logarithms:
Logarithm ng produkto:
Logarithm ng quotient:
Pinapalitan ang logarithm base:
Logarithm ng degree:
Logarithm ng ugat:
Logarithm na may power base:
Decimal at natural logarithms.
Decimal logarithm tinatawag ng mga numero ang logarithm ng numerong ito sa base 10 at isulat ang lg b
Likas na logarithm Ang mga numero ay tinatawag na logarithm ng numerong iyon sa base e, Saan e- isang hindi makatwirang numero na tinatayang katumbas ng 2.7. Sabay-sabay nilang sinusulat ang ln b.
Iba pang mga tala sa algebra at geometry
Mga pangunahing katangian ng logarithms
Mga pangunahing katangian ng logarithms
Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.
Tiyak na kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - walang isang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms
Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x − log a y = log a (x: y).
Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!
Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:
Log 6 4 + log 6 9.
Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.
Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.
Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Marami ang binuo sa katotohanang ito mga pagsubok. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.
Pagkuha ng exponent mula sa logarithm
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:
Madaling mapansin iyon huling tuntunin sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.
Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran , ibig sabihin. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo.
Paano malutas ang mga logarithms
Ito ang madalas na kinakailangan.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .
Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mayroon kaming:
Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.
Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?
Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:
Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:
Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.
Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.
Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:
Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.
Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:
Ngayon tanggalin na natin decimal logarithm, lumilipat sa isang bagong base:
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base.
Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:
Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging ganap na anuman, dahil ito ay isang logarithm value lamang.
Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .
Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itinaas sa gayong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang na a? Iyan ay tama: ang resulta ay ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.
Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, makakakuha tayo ng:
Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)
Logarithmic unit at logarithmic zero
Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.
- log a a = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
- log a 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang isang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.
Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.
Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.
Tiyak na kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - walang isang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms
Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:
- log a x+ log a y=log a (x · y);
- log a x− log a y=log a (x : y).
Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!
Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:
Log 6 4 + log 6 9.
Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.
Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.
Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.
Pagkuha ng exponent mula sa logarithm
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:
Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.
Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .
Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mayroon kaming:
[Caption para sa larawan] Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.
Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?
Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:
Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
[Caption para sa larawan]
Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha natin ang:
[Caption para sa larawan]
Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.
Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.
Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:
[Caption para sa larawan]Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.
Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:
[Caption para sa larawan]Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:
[Caption para sa larawan]Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:
Sa unang kaso, ang numero n nagiging tagapagpahiwatig ng antas na nakatayo sa argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil isa lamang itong halaga ng logarithm.
Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyon ang tawag dito: ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan.
Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng numero a? Tama iyan: makukuha mo ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.
Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, makakakuha tayo ng:
[Caption para sa larawan]Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)
Logarithmic unit at logarithmic zero
Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.
- log a a Ang = 1 ay isang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: logarithm sa anumang base a mula sa baseng ito ay katumbas ng isa.
- log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.
Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.
Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi natukoy. Bilang karagdagan, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero na hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang base -2 logarithm ng 4 ay pantay. sa 2.
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Mahalagang magkaiba ang saklaw ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Kaliwang bahagi tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, ngunit hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa OD.
Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.
Logarithm ng produkto at logarithm ng quotient
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Gusto kong bigyan ng babala ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paggamit ng mga formula na ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginagamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan," ang ODZ ay lumiliit, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, lumalawak ang ODZ.
Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f (x) at g (x) ay parehong mas mababa sa zero.
Ang pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x), napipilitan tayong limitahan ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. Mayroong pagpapaliit ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).
Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)At muli gusto kong tumawag para sa katumpakan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Sa pamamagitan ng pagkuha ng degree sa logarithm, muli naming pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.
Formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.
Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalagang espesyal na kaso mga formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Ilang simpleng halimbawa na may logarithms
Halimbawa 1. Kalkulahin: log2 + log50.
Solusyon. log2 + log50 = log100 = 2. Ginamit namin ang sum ng logarithms formula (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.
Halimbawa 2. Kalkulahin: lg125/lg5.
Solusyon. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base (8).
Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms
| isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
-
Suriin kung may mga negatibong numero o isa sa ilalim ng logarithm sign. Ang pamamaraang ito naaangkop sa mga expression ng form log b (x) log b (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Gayunpaman, hindi ito angkop para sa ilang mga espesyal na kaso:
- Logarithm negatibong numero hindi tinutukoy sa anumang batayan (halimbawa, log (− 3) (\displaystyle \log(-3)) o log 4 (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Sa kasong ito, isulat ang "walang solusyon".
- Ang logarithm ng zero sa anumang base ay hindi rin natukoy. Kung mahuli ka ln (0) (\displaystyle \ln(0)), isulat ang "walang solusyon".
- Logarithm ng isa sa anumang base ( log (1) (\displaystyle \log(1))) ay palaging zero, dahil x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) para sa lahat ng halaga x. Sumulat ng 1 sa halip ng logarithm na ito at huwag gamitin ang pamamaraan sa ibaba.
- Kung ang logarithms ay may iba't ibang base, halimbawa l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), at hindi binabawasan sa mga integer, ang halaga ng expression ay hindi mahanap nang manu-mano.
-
I-convert ang expression sa isang logarithm. Kung ang expression ay hindi isa sa itaas mga espesyal na okasyon, maaari itong katawanin bilang isang logarithm. Gamitin ang sumusunod na formula para dito: log b (x) log b (a) = log a (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Halimbawa 1: Isaalang-alang ang expression log 16 log 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
Una, katawanin natin ang expression bilang isang logarithm gamit ang formula sa itaas: log 16 log 2 = log 2 (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)). - Ang formula na ito para sa "pagpapalit ng base" ng isang logarithm ay nagmula sa mga pangunahing katangian ng logarithms.
- Halimbawa 1: Isaalang-alang ang expression log 16 log 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
-
Kung maaari, suriin nang manu-mano ang halaga ng expression. Para mahanap mag-log a (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), isipin ang expression " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", ibig sabihin, itanong ang sumusunod na tanong: "Sa anong kapangyarihan mo dapat itaas a para makuha x?. Ang pagsagot sa tanong na ito ay maaaring mangailangan ng isang calculator, ngunit kung ikaw ay mapalad, maaari mong mahanap ito nang manu-mano.
- Halimbawa 1 (ipinagpatuloy): Isulat muli bilang 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Kailangan mong hanapin kung anong numero ang dapat tumayo sa lugar ng "?" Magagawa ito sa pamamagitan ng pagsubok at pagkakamali:
2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
Kaya, ang numero na hinahanap namin ay 4: log 2 (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
- Halimbawa 1 (ipinagpatuloy): Isulat muli bilang 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Kailangan mong hanapin kung anong numero ang dapat tumayo sa lugar ng "?" Magagawa ito sa pamamagitan ng pagsubok at pagkakamali:
-
Iwanan ang iyong sagot sa logarithmic form kung hindi mo ito mapapasimple. Maraming logarithms ang napakahirap kalkulahin sa pamamagitan ng kamay. Sa kasong ito, upang makakuha ng tumpak na sagot, kakailanganin mo ng calculator. Gayunpaman, kung nilulutas mo ang isang problema sa klase, malamang na masisiyahan ang guro sa sagot sa logarithmic form. Ang pamamaraan na tinalakay sa ibaba ay ginagamit upang malutas ang isang mas kumplikadong halimbawa:
- halimbawa 2: ano ang katumbas log 3 (58) log 3 (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- I-convert natin ang expression na ito sa isang logarithm: log 3 (58) log 3 (7) = log 7 (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Tandaan na ang base 3 na karaniwan sa parehong logarithms ay nawawala; ito ay totoo sa anumang kadahilanan.
- Isulat muli natin ang expression sa form 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) at subukan nating hanapin ang halaga?:
7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
Dahil ang 58 ay nasa pagitan ng dalawang numerong ito, hindi ito ipinahayag bilang isang buong numero. - Iniwan namin ang sagot sa logarithmic form: log 7 (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).
