Pagkatapos a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Ang pagdaragdag ng zero ay hindi nagbabago sa numero, ngunit ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero.
Nangangahulugan ito na para sa anumang rational number na mayroon tayo: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Ang pagpaparami ng mga rational na numero ay mayroon ding commutative at associative properties. Sa madaling salita, kung ang a, b at c ay anumang mga rational na numero, kung gayon ang ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Ang pagpaparami ng 1 ay hindi nagbabago ng isang rational na numero, ngunit ang produkto ng isang numero at ang kabaligtaran nito ay katumbas ng 1.
Nangangahulugan ito na para sa anumang makatwirang numero a mayroon kaming:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.
1190. Sa pagpili ng isang maginhawang pagkakasunud-sunod ng pagkalkula, hanapin ang halaga ng expression:
1191. Bumuo sa mga salita ng commutative property ng multiplication ab = ba at suriin ito kapag:
1192. Bumuo sa mga salita ng nauugnay na katangian ng multiplikasyon a(bc)=(ab)c at suriin ito kapag:
1193. Pagpili ng isang maginhawang pagkakasunud-sunod ng pagkalkula, hanapin ang halaga ng expression:
1194. Anong numero ang makukuha mo (positibo o negatibo) kung magpaparami ka:
a) isang negatibong numero at dalawang positibong numero;
b) dalawang negatibo at isang positibong numero;
c) 7 negatibo at maraming positibong numero;
d) 20 negatibo at ilang positibo? Gumuhit ng konklusyon.
1195. Tukuyin ang tanda ng produkto:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B gym Vitya, Kolya, Petya, Seryozha at Maxim ay natipon (Larawan 91, a). Dalawa lang pala ang kilala ng bawat lalaki. Sino ang nakakaalam kung sino? (Ang gilid ng graph ay nangangahulugang "kilala natin ang isa't isa.")
b) Ang mga kapatid ng isang pamilya ay naglalakad sa bakuran. Alin sa mga batang ito ang mga lalaki at alin ang mga babae (Fig. 91, b)? (Ang mga may tuldok na gilid ng graph ay nangangahulugang "Ako ay isang kapatid na babae," at ang mga solid ay nangangahulugang "Ako ay isang kapatid na lalaki.")
1205. Kalkulahin:
1206. Paghambingin:
a) 2 3 at 3 2; b) (-2) 3 at (-3) 2; c) 1 3 at 1 2; d) (-1) 3 at (-1) 2.
1207. Round 5.2853 hanggang thousandths; dati daanan; hanggang sa ikasampu; hanggang sa mga unit.
1208. Lutasin ang problema:
1) Naabutan ng isang nakamotorsiklo ang isang siklista. Ngayon ay may 23.4 km sa pagitan nila. Ang bilis ng isang nakamotorsiklo ay 3.6 beses ang bilis ng isang siklista. Hanapin ang takbo ng nagbibisikleta at ng nagmomotorsiklo kung alam na maaabutan ng nagmomotorsiklo ang nagbibisikleta sa loob ng isang oras.
2) Isang sasakyan ang humahabol sa isang bus. Ngayon ay may 18 km ang pagitan nila. Ang bilis ng bus ay katulad ng sa pampasaherong sasakyan. Hanapin ang bilis ng bus at ang sasakyan kung alam na makakahabol ang sasakyan sa bus sa loob ng isang oras.
1209. Hanapin ang kahulugan ng expression:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Suriin ang iyong mga kalkulasyon gamit ang micro calculator.
1210. Sa pagpili ng isang maginhawang pagkakasunud-sunod ng pagkalkula, hanapin ang halaga ng expression: 
1211. Pasimplehin ang expression:
1212. Hanapin ang kahulugan ng expression:
1213. Sundin ang mga hakbang na ito:
1214. Ang mga mag-aaral ay binigyan ng gawaing mangolekta ng 2.5 toneladang scrap metal. Nakakolekta sila ng 3.2 tonelada ng scrap metal. Sa anong porsyento nakumpleto ng mga mag-aaral ang gawain at ilang porsyento ang nalampasan nila sa gawain?
1215. Naglakbay ang kotse ng 240 km. Sa mga ito, 180 km ang nilakad niya sa kahabaan ng isang country road, at ang natitirang bahagi ng daan sa kahabaan ng highway. Ang pagkonsumo ng gasolina para sa bawat 10 km ng isang kalsada sa bansa ay 1.6 litro, at sa highway - 25% na mas mababa. Ilang litro ng gasolina ang nakonsumo sa karaniwan para sa bawat 10 km ng paglalakbay?
1216. Pag-alis ng nayon, napansin ng siklista ang isang pedestrian sa tulay na naglalakad sa parehong direksyon at naabutan siya makalipas ang 12 minuto. Hanapin ang bilis ng isang pedestrian kung ang bilis ng isang siklista ay 15 km/h at ang distansya mula sa nayon hanggang sa tulay ay 1 km 800 m?
1217. Sundin ang mga hakbang na ito:
a) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).
Ang mga tao, tulad ng alam mo, ay unti-unting nakilala ang mga makatwirang numero. Sa una, kapag nagbibilang ng mga bagay, lumitaw ang mga natural na numero. Sa una ay kakaunti sila. Kaya, hanggang kamakailan lamang, ang mga katutubo ng mga isla sa Torres Strait (naghihiwalay sa New Guinea mula sa Australia) ay may dalawang numero lamang sa kanilang wika: "urapun" (isa) at "okaz" (dalawa). Ang mga taga-isla ay nagbilang ng ganito: “Okaza-urapun” (tatlo), “Okaza-Okaza” (apat), atbp. Tinawag ng mga katutubo ang lahat ng numero, simula sa pito, na may salitang nangangahulugang “marami.”
Naniniwala ang mga siyentipiko na ang salita para sa daan-daan ay lumitaw higit sa 7,000 taon na ang nakalilipas, para sa libu-libo - 6,000 taon na ang nakalilipas, at 5,000 taon na ang nakalilipas sa Sinaunang Ehipto at sa Sinaunang Babylon lumilitaw ang mga pangalan para sa malalaking numero - hanggang sa isang milyon. Ngunit sa mahabang panahon ang natural na serye ng mga numero ay itinuturing na may hangganan: inisip ng mga tao na mayroong pinakamalaking bilang.
Ang pinakadakilang sinaunang Greek mathematician at physicist na si Archimedes (287-212 BC) ay gumawa ng paraan upang ilarawan ang napakalaking bilang. Ang pinakamalaking bilang na maaaring pangalanan ni Archimedes ay napakalaki na para sa kanya digital recording isang laso na dalawang libong beses na mas mahaba kaysa sa distansya mula sa Earth hanggang sa Araw ay kakailanganin.
Ngunit hindi pa nila naisulat ang napakalaking bilang. Ito ay naging posible lamang pagkatapos ng mga Indian mathematician noong ika-6 na siglo. Ang numerong zero ay naimbento at nagsimulang tukuyin ang kawalan ng mga yunit sa mga decimal na lugar ng isang numero.
Kapag hinahati ang mga samsam at sa ibang pagkakataon kapag nagsusukat ng mga halaga, at sa iba pang katulad na mga kaso, ang mga tao ay nakatagpo ng pangangailangan na ipakilala ang "sirang mga numero" - mga karaniwang fraction. Ang mga operasyon sa mga fraction noong Middle Ages ay itinuturing na pinaka kumplikadong lugar matematika. Hanggang ngayon, sinasabi ng mga Aleman tungkol sa isang tao na nasa isang mahirap na sitwasyon na siya ay "nahulog sa mga fraction."
Upang gawing mas madali ang paggamit ng mga fraction, naimbento ang mga decimal mga fraction. Sa Europa sila ay ipinakilala sa X585 ng Dutch mathematician at engineer na si Simon Stevin.
Ang mga negatibong numero ay lumitaw nang mas huli kaysa sa mga fraction. Sa mahabang panahon ang mga naturang numero ay itinuturing na "hindi umiiral", "mali" pangunahin dahil sa katotohanan na ang tinatanggap na interpretasyon para sa positibo at mga negatibong numero Ang "pag-aari - utang" ay humantong sa pagkalito: maaari mong idagdag o ibawas ang "pag-aari" o "mga utang," ngunit paano maunawaan ang produkto o quotient ng "pag-aari" at "utang"?
Gayunpaman, sa kabila ng gayong mga pagdududa at kaguluhan, ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga positibo at negatibong numero ay iminungkahi noong ika-3 siglo. ang Greek mathematician na si Diophantus (sa anyong: "Kung ano ang ibinawas, pinarami ng kung ano ang idinagdag, ay nagbibigay ng subtrahend; kung ano ang ibinawas ng subtrahend ay nagbibigay kung ano ang idinagdag," atbp.), at nang maglaon ay ang Indian mathematician na si Bhaskar (XII siglo) nagpahayag ng parehong mga patakaran sa mga konsepto ng "pag-aari", "utang" ("Ang produkto ng dalawang ari-arian o dalawang utang ay ari-arian; ang produkto ng ari-arian at utang ay utang." Ang parehong tuntunin ay naaangkop sa paghahati).
Napag-alaman na ang mga katangian ng mga pagpapatakbo sa mga negatibong numero ay pareho sa mga nasa positibong numero (halimbawa, ang pagdaragdag at pagpaparami ay may commutative na katangian). At sa wakas, mula noong simula ng huling siglo, ang mga negatibong numero ay naging katumbas ng mga positibong numero.
Nang maglaon, lumitaw ang mga bagong numero sa matematika - hindi makatwiran, kumplikado at iba pa. Nalaman mo ang tungkol sa kanila sa high school.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Mathematics para sa grade 6, Textbook para sa high school
Mga aklat at aklat-aralin ayon sa plano ng kalendaryo para sa pag-download ng matematika sa ika-6 na baitang, tulong para sa mga mag-aaral online
Ang konsepto ng mga numero ay tumutukoy sa mga abstraction na nagpapakilala sa isang bagay mula sa isang quantitative point of view. Kahit na sa primitive na lipunan, ang mga tao ay kailangang magbilang ng mga bagay, kaya lumitaw ang mga numerical notation. Nang maglaon ay naging batayan sila ng matematika bilang isang agham.
Upang gumana sa mga konsepto ng matematika, kinakailangan, una sa lahat, upang isipin kung anong uri ng mga numero ang mayroon. Mayroong ilang mga pangunahing uri ng mga numero. ito:
1. Natural - yaong nakukuha natin kapag binibilang ang mga bagay (ang kanilang natural na pagbibilang). Ang kanilang hanay ay tinutukoy ng N.
2. Integers (ang kanilang set ay tinutukoy ng letrang Z). Kabilang dito ang mga natural na numero, mga kabaligtaran ng mga ito, mga negatibong integer, at zero.
3. Mga rational na numero (letter Q). Ito ang mga maaaring katawanin bilang isang fraction, ang numerator nito ay katumbas ng isang buong numero, at ang denominator ay katumbas ng isang natural na numero. Lahat ay buo at inuri bilang makatwiran.
4. Real (sila ay itinalaga ng titik R). Kasama sa mga ito ang mga rational at irrational na mga numero. Mga numerong nakuha mula sa mga rational na numero sa pamamagitan ng iba't ibang operasyon(pagkalkula ng logarithm, pagkuha ng ugat), na ang kanilang mga sarili ay hindi makatwiran.
Kaya, alinman sa mga nakalistang hanay ay isang subset ng mga sumusunod. Ang tesis na ito ay inilalarawan ng isang diagram sa anyo ng tinatawag na. Mga bilog ni Euler. Ang disenyo ay binubuo ng ilang mga concentric ovals, ang bawat isa ay matatagpuan sa loob ng isa pa. Ang panloob, pinakamaliit na hugis-itlog (lugar) ay tumutukoy sa hanay natural na mga numero. Ito ay ganap na nakapaloob at kasama ang rehiyon na sumasagisag sa hanay ng mga integer, na, naman, ay nakapaloob sa loob ng rehiyon ng mga rational na numero. Ang panlabas, pinakamalaking hugis-itlog, na kinabibilangan ng lahat ng iba pa, ay tumutukoy sa isang array
Sa artikulong ito titingnan natin ang hanay ng mga makatwirang numero, ang kanilang mga katangian at tampok. Tulad ng nabanggit na, ang lahat ng umiiral na mga numero (positibo, pati na rin ang negatibo at zero) ay nabibilang sa kanila. Ang mga rational na numero ay bumubuo ng isang walang katapusang serye na may mga sumusunod na katangian:
Ang set na ito ay nakaayos, iyon ay, sa pamamagitan ng pagkuha ng anumang pares ng mga numero mula sa seryeng ito, palagi nating malalaman kung alin ang mas malaki;
Ang pagkuha ng anumang pares ng mga numerong iyon, maaari tayong palaging maglagay ng kahit isa pa sa pagitan nila, at, dahil dito, isang buong serye ng mga ito - kaya, ang mga rational na numero ay kumakatawan sa isang walang katapusang serye;
Ang lahat ng apat na aritmetika na operasyon sa naturang mga numero ay posible, ang kanilang resulta ay palaging isang tiyak na numero (makatuwiran din); ang pagbubukod ay dibisyon ng 0 (zero) - imposible;
Ang anumang mga rational na numero ay maaaring katawanin bilang mga decimal fraction. Ang mga fraction na ito ay maaaring may hangganan o walang katapusan na pana-panahon.
Upang ihambing ang dalawang numero na kabilang sa rational set, kailangan mong tandaan:
Anumang positibong numero na higit sa zero;
Ang anumang negatibong numero ay palaging mas mababa sa zero;
Kapag naghahambing ng dalawang negatibong rational na numero, ang isa na ang absolute value (modulus) ay mas maliit ay mas malaki.
Paano isinasagawa ang mga operasyon gamit ang mga rational na numero?
Upang magdagdag ng dalawang ganoong mga numero na may parehong tanda, kailangan mong idagdag ang kanilang mga ganap na halaga at ilagay ang mga ito sa harap ng kabuuan pangkalahatang tanda. Upang magdagdag ng mga numero sa iba't ibang palatandaan dapat ibawas ang mas maliit sa mas malaking halaga at ilagay ang tanda ng isa na ang absolute value ay mas malaki.
Upang ibawas ang isang makatwirang numero mula sa isa pa, sapat na upang idagdag ang kabaligtaran ng pangalawa sa unang numero. Upang i-multiply ang dalawang numero, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga halaga ganap na mga halaga. Magiging positibo ang resulta kung ang mga salik ay may parehong tanda, at negatibo kung magkaiba.
Ang paghahati ay isinasagawa sa katulad na paraan, iyon ay, ang quotient ng absolute values ay matatagpuan, at ang resulta ay nauuna sa isang "+" sign kung ang mga palatandaan ng dividend at divisor ay nag-tutugma, at isang "-" sign kung hindi sila magkatugma.
Ang mga kapangyarihan ng mga rational na numero ay mukhang mga produkto ng ilang mga kadahilanan na katumbas ng bawat isa.
Nagbibigay ang artikulong ito ng pangkalahatang-ideya mga katangian ng mga operasyon na may mga makatwirang numero. Una, ang mga pangunahing katangian kung saan nakabatay ang lahat ng iba pang mga katangian ay inihayag. Pagkatapos nito, ibinibigay ang ilang iba pang madalas na ginagamit na mga katangian ng mga operasyon na may mga rational na numero.
Pag-navigate sa pahina.
Ilista natin pangunahing katangian ng mga operasyon na may mga rational na numero(a, b at c ay mga arbitraryong rational na numero):
- Commutative property ng karagdagan a+b=b+a.
- Pinagsamang katangian ng karagdagan (a+b)+c=a+(b+c) .
- Ang pagkakaroon ng isang neutral na elemento sa pamamagitan ng karagdagan - zero, ang pagdaragdag kung saan sa anumang numero ay hindi nagbabago sa numerong ito, iyon ay, a+0=a.
- Para sa bawat rational number a mayroong isang kabaligtaran na numero −a na ang a+(−a)=0.
- Commutative property ng multiplication ng rational numbers a·b=b·a.
- Pinagsamang katangian ng multiplikasyon (a·b)·c=a·(b·c) .
- Ang pagkakaroon ng neutral na elemento para sa multiplikasyon ay isang yunit, multiplikasyon kung saan ang anumang numero ay hindi nagbabago sa numerong ito, iyon ay, a·1=a.
- Para sa bawat hindi-zero rational number a mayroong isang kabaligtaran na numero a −1 na ang a·a −1 =1 .
- Panghuli, ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga rational na numero ay nauugnay sa distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan: a·(b+c)=a·b+a·c.
Ang mga nakalistang katangian ng mga operasyon na may mga rational na numero ay basic, dahil ang lahat ng iba pang mga katangian ay maaaring makuha mula sa kanila.
Iba pang mahahalagang katangian
Bilang karagdagan sa siyam na nakalistang pangunahing katangian ng mga pagpapatakbo na may mga rational na numero, mayroong ilang napakalawak na ginagamit na mga katangian. Bigyan natin sila maikling pagsusuri.
Magsimula tayo sa property, na isinusulat gamit ang mga letra bilang a·(−b)=−(a·b) o sa bisa ng commutative property ng multiplication bilang (−a) b=−(a b). Ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan ay direktang sumusunod mula sa ari-arian na ito ay ibinigay din sa artikulong ito. Ipinapaliwanag ng property na ito ang panuntunang “plus multiplied by minus ay minus, at minus multiplied by plus ay minus.”
Narito ang sumusunod na ari-arian: (−a)·(−b)=a·b. Sinusunod nito ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga negatibong rational na numero sa artikulong ito ay makakahanap ka rin ng patunay ng pagkakapantay-pantay sa itaas. Ang property na ito ay tumutugma sa multiplication rule na "minus times minus is plus."
Walang alinlangan, sulit na tumuon sa pagpaparami ng di-makatwirang rational number a sa zero: a·0=0 o 0 a=0. Patunayan natin ang ari-arian na ito. Alam natin na 0=d+(−d) para sa anumang makatwirang d, pagkatapos ay a·0=a·(d+(−d)) . Binibigyang-daan ng distribution property ang resultang expression na muling isulat bilang a·d+a·(−d) , at dahil a·(−d)=−(a·d) , pagkatapos a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Kaya dumating kami sa kabuuan ng dalawang magkasalungat na numero, katumbas ng a·d at −(a·d), ang kanilang kabuuan ay nagbibigay ng zero, na nagpapatunay sa pagkakapantay-pantay na a·0=0.
Madaling mapansin na sa itaas ay inilista lamang namin ang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami, habang walang isang salita ang sinabi tungkol sa mga katangian ng pagbabawas at paghahati. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa hanay ng mga rational na numero, ang mga aksyon ng pagbabawas at paghahati ay tinukoy bilang kabaligtaran ng pagdaragdag at pagpaparami, ayon sa pagkakabanggit. Ibig sabihin, ang pagkakaiba a−b ay ang kabuuan ng a+(−b), at ang quotient a:b ay ang produkto a·b−1 (b≠0).
Dahil sa mga kahulugang ito ng pagbabawas at paghahati, pati na rin ang mga pangunahing katangian ng pagdaragdag at pagpaparami, maaari mong patunayan ang anumang mga katangian ng mga operasyon na may mga makatwirang numero.
Bilang halimbawa, patunayan natin ang katangian ng pamamahagi ng multiplikasyon na may kaugnayan sa pagbabawas: a·(b−c)=a·b−a·c. Ang sumusunod na hanay ng mga pagkakapantay-pantay ay mayroong: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, na siyang patunay.
Copyright ng mga matalinong mag-aaral
Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kabilang ang mga panloob na materyales at panlabas na disenyo, ay hindi maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.
Sinasaklaw ng araling ito ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga rational na numero. Ang paksa ay inuri bilang kumplikado. Dito kinakailangan na gamitin ang buong arsenal ng dating nakuha na kaalaman.
Ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga integer ay nalalapat din sa mga rational na numero. Alalahanin na ang mga rational na numero ay mga numero na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan a – ito ang numerator ng fraction, b ay ang denominator ng fraction. kung saan, b hindi dapat zero.
Sa araling ito, lalo nating tatawagin ang mga fraction at mixed number sa pamamagitan ng isang karaniwang parirala - makatwirang mga numero.
Pag-navigate sa aralin:Halimbawa 1. Hanapin ang kahulugan ng expression:
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito. Isinasaalang-alang namin na ang plus na ibinigay sa expression ay isang tanda ng operasyon at hindi nalalapat sa fraction. Ang fraction na ito ay may sariling plus sign, na hindi nakikita dahil sa katotohanang hindi ito nakasulat. Ngunit isusulat namin ito para sa kalinawan:
Ito ay ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Upang magdagdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan, kailangan mong ibawas ang mas maliit na module mula sa mas malaking module, at bago ang resultang sagot ilagay ang sign ng rational number na ang module ay mas malaki. At upang maunawaan kung aling modulus ang mas malaki at alin ang mas maliit, kailangan mong maihambing ang moduli ng mga fraction na ito bago kalkulahin ang mga ito:
Ang modulus ng rational number ay mas malaki kaysa sa modulus ng rational number. Samakatuwid, ibinawas namin mula sa . Nakatanggap kami ng sagot. Pagkatapos, binabawasan ang fraction na ito ng 2, nakuha namin ang huling sagot.
Maaaring laktawan ang ilang primitive na pagkilos, tulad ng paglalagay ng mga numero sa mga bracket at pagdaragdag ng mga module. Ang halimbawang ito ay maaaring maisulat nang maikli:
Halimbawa 2. Hanapin ang kahulugan ng expression:
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito. Isinasaalang-alang namin na ang minus na nakatayo sa pagitan ng mga makatwirang numero ay isang tanda ng operasyon at hindi nalalapat sa fraction. Ang fraction na ito ay may sariling plus sign, na hindi nakikita dahil sa katotohanang hindi ito nakasulat. Ngunit isusulat namin ito para sa kalinawan:
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan. Paalalahanan ka namin na para magawa ito kailangan mong idagdag sa minuend ang bilang na kabaligtaran ng subtrahend:
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Upang magdagdag ng mga negatibong rational na numero, kailangan mong idagdag ang kanilang mga module at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot:
Tandaan. Hindi kinakailangang ilakip ang bawat rational na numero sa mga panaklong. Ginagawa ito para sa kaginhawahan, upang malinaw na makita kung aling mga palatandaan ang mayroon ang mga rational na numero.
Halimbawa 3. Hanapin ang kahulugan ng expression:
Sa expression na ito, ang mga fraction ay may iba't ibang denominator. Upang gawing mas madali ang ating gawain, bawasan natin ang mga fraction na ito sa isang karaniwang denominator. Hindi namin tatalakayin nang detalyado kung paano ito gagawin. Kung nakakaranas ka ng mga paghihirap, siguraduhing ulitin ang aralin.
Pagkatapos bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, ang expression ay kukuha ng sumusunod na anyo:
Ito ay ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Ibinabawas namin ang mas maliit na module mula sa mas malaking module, at bago ang resultang sagot ay inilalagay namin ang sign ng rational number na ang module ay mas malaki:
Isulat natin ang solusyon sa halimbawang ito sa maikling salita:
Halimbawa 4. Hanapin ang halaga ng isang expression
Kalkulahin natin ang expression na ito tulad ng sumusunod: idagdag ang mga rational na numero at, pagkatapos ay ibawas ang rational number mula sa resultang resulta. 
Unang aksyon:
Pangalawang aksyon:
Halimbawa 5. Hanapin ang kahulugan ng expression:
Katawanin natin ang integer −1 bilang isang fraction, at i-convert ang mixed number sa isang hindi tamang fraction:
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito:
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Ibinabawas namin ang mas maliit na module mula sa mas malaking module, at bago ang resultang sagot ay inilalagay namin ang sign ng rational number na ang module ay mas malaki:
Nakatanggap kami ng sagot.
May pangalawang solusyon. Binubuo ito ng pagsasama-sama ng mga buong bahagi nang hiwalay.
Kaya, bumalik tayo sa orihinal na expression:
Ilakip natin ang bawat numero sa panaklong. Upang gawin ito, pansamantalang ang pinaghalong numero:
Kalkulahin natin ang mga bahagi ng integer:
(−1) + (+2) = 1
Sa pangunahing expression, sa halip na (−1) + (+2), isinusulat namin ang nagresultang yunit:
Ang resultang expression ay . Upang gawin ito, isulat ang yunit at ang fraction nang magkasama:
Isulat natin ang solusyon sa ganitong paraan sa mas maikling paraan:
Halimbawa 6. Hanapin ang halaga ng isang expression
I-convert natin ang mixed number sa isang improper fraction. Isulat muli natin ang natitira nang hindi nagbabago:
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito:
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
Isulat natin ang solusyon sa halimbawang ito sa maikling salita:
Halimbawa 7. Hanapin ang halaga ng isang expression
Katawanin natin ang integer −5 bilang isang fraction, at i-convert ang mixed number sa isang hindi tamang fraction:
Dalhin natin ang mga fraction na ito sa isang common denominator. Pagkatapos nilang gawing common denominator, gagawin nila ang sumusunod na anyo:
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito:
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Idagdag natin ang mga module ng mga numerong ito at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot:
Kaya, ang halaga ng expression ay .
Lutasin natin ang halimbawang ito sa pangalawang paraan. Bumalik tayo sa orihinal na expression:
Isulat natin ang pinaghalong numero sa pinalawak na anyo. Isulat muli natin ang natitira nang walang mga pagbabago:
Isinama namin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito:
Kalkulahin natin ang mga bahagi ng integer:
Sa pangunahing expression, sa halip na isulat ang resultang numero −7
Ang expression ay isang pinalawak na anyo ng pagsulat ng pinaghalong numero. Isinulat namin ang numero −7 at ang fraction nang magkasama upang mabuo ang huling sagot:
Isulat natin ang solusyong ito nang maikli:
Halimbawa 8. Hanapin ang halaga ng isang expression
Isinama namin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito:
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Idagdag natin ang mga module ng mga numerong ito at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot:
Kaya ang halaga ng expression ay
Ang halimbawang ito ay maaaring malutas sa pangalawang paraan. Binubuo ito ng pagdaragdag ng buo at fractional na mga bahagi nang hiwalay. Bumalik tayo sa orihinal na expression:
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito:
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Idagdag natin ang mga module ng mga numerong ito at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot. Ngunit sa pagkakataong ito ay idaragdag natin ang buong bahagi (−1 at −2), parehong fractional at
Isulat natin ang solusyong ito nang maikli:
Halimbawa 9. Maghanap ng mga expression na expression 
I-convert natin ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:
Maglakip tayo ng rational number sa mga bracket kasama ng sign nito. Hindi na kailangang maglagay ng rational na numero sa mga panaklong, dahil nasa panaklong na ito:
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Idagdag natin ang mga module ng mga numerong ito at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot:
Kaya ang halaga ng expression ay
Ngayon subukan nating lutasin ang parehong halimbawa sa pangalawang paraan, lalo na sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga integer at fractional na bahagi magkahiwalay.
Sa pagkakataong ito, upang makakuha ng maikling solusyon, subukan nating laktawan ang ilang hakbang, tulad ng pagsulat ng pinaghalong numero sa pinalawak na anyo at pagpapalit ng pagbabawas ng karagdagan:
Pakitandaan na ang mga fractional na bahagi ay ginawang common denominator.
Halimbawa 10. Hanapin ang halaga ng isang expression 
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
Ang resultang expression ay hindi naglalaman ng mga negatibong numero, na siyang pangunahing dahilan ng mga error. At dahil walang mga negatibong numero, maaari nating alisin ang plus sa harap ng subtrahend at alisin din ang mga panaklong:
Ang resulta ay isang simpleng expression na madaling kalkulahin. Kalkulahin natin ito sa anumang paraan na maginhawa para sa atin:
Halimbawa 11. Hanapin ang halaga ng isang expression
Ito ay ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Ibawas natin ang mas maliit na module mula sa mas malaking module, at bago ang resultang sagot ay inilalagay natin ang sign ng rational number na ang module ay mas malaki:
Halimbawa 12. Hanapin ang halaga ng isang expression 
Ang expression ay binubuo ng ilang mga rational na numero. Ayon sa, una sa lahat kailangan mong isagawa ang mga hakbang sa mga bracket.
Una, kinakalkula namin ang expression, pagkatapos ay idagdag namin ang nakuha na mga resulta.
Unang aksyon:
Pangalawang aksyon:
Ikatlong aksyon:
Sagot: halaga ng pagpapahayag katumbas
Halimbawa 13. Hanapin ang halaga ng isang expression 
I-convert natin ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:
Ilagay natin ang rational number sa mga bracket kasama ang sign nito. Hindi na kailangang ilagay ang rational na numero sa mga panaklong, dahil nasa panaklong na ito:
Dalhin natin ang mga fraction na ito sa isang common denominator. Pagkatapos nilang gawing common denominator, gagawin nila ang sumusunod na anyo:
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Ibawas natin ang mas maliit na module mula sa mas malaking module, at bago ang resultang sagot ay inilalagay natin ang sign ng rational number na ang module ay mas malaki:
Kaya, ang kahulugan ng pagpapahayag katumbas
Tingnan natin ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal, na mga rational na numero din at maaaring maging positibo o negatibo.
Halimbawa 14. Hanapin ang halaga ng expression na −3.2 + 4.3
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito. Isinasaalang-alang namin na ang plus na ibinigay sa expression ay isang operation sign at hindi nalalapat sa decimal fraction 4.3. Ang decimal fraction na ito ay may sariling plus sign, na hindi nakikita dahil sa katotohanang hindi ito nakasulat. Ngunit isusulat namin ito para sa kalinawan:
(−3,2) + (+4,3)
Ito ay ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Upang magdagdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan, kailangan mong ibawas ang mas maliit na module mula sa mas malaking module, at bago ang resultang sagot ilagay ang rational number na ang module ay mas malaki. At upang maunawaan kung aling module ang mas malaki at alin ang mas maliit, kailangan mong maihambing ang mga module ng mga decimal fraction na ito bago kalkulahin ang mga ito:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Ang modulus ng numerong 4.3 ay mas malaki kaysa sa modulus ng numerong −3.2, kaya binawasan namin ang 3.2 mula sa 4.3. Natanggap namin ang sagot 1.1. Ang sagot ay positibo, dahil ang sagot ay dapat na unahan ng tanda ng rational number na ang modulus ay mas malaki. At ang modulus ng numero 4.3 ay mas malaki kaysa sa modulus ng numero −3.2
Kaya, ang halaga ng expression na −3.2 + (+4.3) ay 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Halimbawa 15. Hanapin ang halaga ng expression na 3.5 + (−8.3)
Ito ay ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ibawas natin ang mas maliit sa mas malaking module at bago ang sagot ay inilalagay natin ang sign ng rational number na ang module ay mas malaki:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Kaya, ang halaga ng expression na 3.5 + (−8.3) ay −4.8
Ang halimbawang ito ay maaaring maisulat nang maikli:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Halimbawa 16. Hanapin ang halaga ng expression na −7.2 + (−3.11)
Ito ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Upang magdagdag ng mga negatibong rational na numero, kailangan mong idagdag ang kanilang mga module at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot.
Maaari mong laktawan ang entry na may mga module upang hindi kalat ang expression:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Kaya, ang halaga ng expression na −7.2 + (−3.11) ay −10.31
Ang halimbawang ito ay maaaring maisulat nang maikli:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Halimbawa 17. Hanapin ang halaga ng expression na −0.48 + (−2.7)
Ito ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Idagdag natin ang kanilang mga module at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot. Maaari mong laktawan ang entry na may mga module upang hindi kalat ang expression:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Halimbawa 18. Hanapin ang halaga ng expression −4.9 − 5.9
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito. Isinasaalang-alang namin na ang minus, na matatagpuan sa pagitan ng mga makatwirang numero −4.9 at 5.9, ay isang tanda ng operasyon at hindi kabilang sa numero 5.9. Ang rational number na ito ay may sariling plus sign, na hindi nakikita dahil sa katotohanang hindi ito nakasulat. Ngunit isusulat namin ito para sa kalinawan:
(−4,9) − (+5,9)
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
(−4,9) + (−5,9)
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga negatibong rational na numero. Idagdag natin ang kanilang mga module at maglagay ng minus sa harap ng resultang sagot:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Kaya, ang halaga ng expression na −4.9 − 5.9 ay −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Halimbawa 19. Hanapin ang halaga ng expression na 7 − 9.3
Ilagay natin ang bawat numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito.
(+7) − (+9,3)
Palitan ang pagbabawas ng karagdagan
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Kaya, ang halaga ng expression na 7 − 9.3 ay −2.3
Isulat natin ang solusyon sa halimbawang ito sa maikling salita:
7 − 9,3 = −2,3
Halimbawa 20. Hanapin ang halaga ng expression −0.25 − (−1.2)
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:
−0,25 + (+1,2)
Nakuha namin ang pagdaragdag ng mga rational na numero na may iba't ibang mga palatandaan. Ibawas natin ang mas maliit na modyul mula sa mas malaking modyul, at bago ang sagot ay inilalagay natin ang tanda ng numero na ang modyul ay mas malaki:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Isulat natin ang solusyon sa halimbawang ito sa maikling salita:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Halimbawa 21. Hanapin ang halaga ng expression na −3.5 + (4.1 − 7.1)
Gawin natin ang mga aksyon sa mga bracket, pagkatapos ay idagdag ang resultang sagot na may numerong −3.5
Unang aksyon:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Pangalawang aksyon:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Sagot: ang halaga ng expression na −3.5 + (4.1 − 7.1) ay −6.5.
Halimbawa 22. Hanapin ang halaga ng expression (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)
Gawin natin ang mga hakbang sa panaklong. Pagkatapos mula sa numerong nakuha bilang resulta ng pag-execute ng mga unang bracket, ibawas ang numerong nakuha bilang resulta ng pag-execute ng pangalawang bracket:
Unang aksyon:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Pangalawang aksyon:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Pangatlong gawa
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Sagot: ang halaga ng expression (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) ay 6.
Halimbawa 23. Hanapin ang halaga ng isang expression −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Ilakip natin ang bawat rational na numero sa mga bracket kasama ang mga palatandaan nito
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Ang expression ay binubuo ng ilang mga termino. Ayon sa pinagsamang batas ng karagdagan, kung ang isang expression ay binubuo ng ilang mga termino, kung gayon ang kabuuan ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Nangangahulugan ito na ang mga tuntunin ay maaaring idagdag sa anumang pagkakasunud-sunod.
Huwag nating muling likhain ang gulong, ngunit idagdag ang lahat ng mga termino mula kaliwa hanggang kanan sa pagkakasunud-sunod ng mga ito:
Unang aksyon:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Pangalawang aksyon:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Ikatlong aksyon:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Sagot: ang halaga ng expression na −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 ay 1.
Halimbawa 24. Hanapin ang halaga ng isang expression
Isalin natin decimal−1.8 sa isang halo-halong numero. Isulat muli natin ang natitira nang hindi nagbabago:
