Kaugnay sa
ang gawain ng paghahanap ng alinman sa tatlong mga numero mula sa iba pang dalawang ibinigay na mga ay maaaring itakda. Kung ang a at pagkatapos ay ang N ay ibinigay, sila ay matatagpuan sa pamamagitan ng exponentiation. Kung ang N at pagkatapos ay a ay ibinigay sa pamamagitan ng pagkuha ng ugat ng digri x (o pagtataas nito sa kapangyarihan). Ngayon isaalang-alang ang kaso kung kailan, ibinigay ang a at N, kailangan nating hanapin ang x.
Hayaang maging positibo ang bilang N: ang bilang a ay positibo at hindi katumbas ng isa: .
Kahulugan. Ang logarithm ng numero N sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang a upang makuha ang numerong N; ang logarithm ay tinutukoy ng
Kaya, sa pagkakapantay-pantay (26.1) ang exponent ay matatagpuan bilang logarithm ng N sa base a. Mga post
may parehong kahulugan. Ang pagkakapantay-pantay (26.1) ay kung minsan ay tinatawag na pangunahing pagkakakilanlan ng teorya ng logarithms; sa katotohanan ito ay nagpapahayag ng kahulugan ng konsepto ng logarithm. Sa pamamagitan ng depinisyon na ito Ang batayan ng logarithm a ay palaging positibo at naiiba sa pagkakaisa; ang logarithmic number N ay positibo. Ang mga negatibong numero at zero ay walang logarithms. Mapapatunayan na ang anumang numero na may ibinigay na base ay may mahusay na tinukoy na logarithm. Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay kasama. Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga dito; kung hindi, ang konklusyon ay hindi makatwiran, dahil ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y.
Halimbawa 1. Hanapin
Solusyon. Upang makakuha ng isang numero, dapat mong itaas ang base 2 sa kapangyarihan Samakatuwid.
Maaari kang gumawa ng mga tala kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa sa sumusunod na anyo:
Halimbawa 2. Hanapin .
Solusyon. Meron kami
Sa mga halimbawa 1 at 2, madali naming natagpuan ang nais na logarithm sa pamamagitan ng pagre-represent sa numero ng logarithm bilang kapangyarihan ng base na may rational exponent. SA pangkalahatang kaso, halimbawa para sa, atbp., hindi ito magagawa, dahil ang logarithm ay may hindi makatwirang halaga. Bigyang-pansin natin ang isang isyu na may kaugnayan sa pahayag na ito. Sa talata 12, ibinigay namin ang konsepto ng posibilidad ng pagtukoy ng anumang tunay na kapangyarihan ng isang naibigay na positibong numero. Ito ay kinakailangan para sa pagpapakilala ng mga logarithms, na, sa pangkalahatan, ay maaaring hindi makatwiran na mga numero.
Tingnan natin ang ilang mga katangian ng logarithms.
Property 1. Kung ang numero at base ay pantay, kung gayon ang logarithm ay katumbas ng isa, at, sa kabaligtaran, kung ang logarithm ay katumbas ng isa, kung gayon ang numero at base ay pantay.
Patunay. Hayaan Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm mayroon tayo at kung saan
Sa kabaligtaran, hayaan ang Pagkatapos sa pamamagitan ng kahulugan
Property 2. Ang logarithm ng isa sa anumang base ay katumbas ng zero.
Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm (ang zero na kapangyarihan ng anumang positibong base ay katumbas ng isa, tingnan ang (10.1)). Mula rito
Q.E.D.
Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung , kung gayon N = 1. Sa katunayan, mayroon tayong .
Bago bumalangkas ng susunod na katangian ng logarithms, sumang-ayon tayo na sabihin na ang dalawang numero a at b ay nasa magkabilang panig ng ikatlong numero c kung pareho silang mas malaki sa c o mas mababa sa c. Kung ang isa sa mga numerong ito ay mas malaki kaysa sa c, at ang isa ay mas mababa sa c, pagkatapos ay sasabihin namin na sila ay nakahiga sa magkabilang panig ng c.
Property 3. Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay positibo; Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay negatibo.
Ang patunay ng property 3 ay batay sa katotohanan na ang kapangyarihan ng a ay mas malaki kaysa sa isa kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa at ang exponent ay positibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay negatibo. Ang kapangyarihan ay mas mababa sa isa kung ang base ay mas malaki sa isa at ang exponent ay negatibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay positibo.
Mayroong apat na kaso na dapat isaalang-alang:
Limitahan natin ang ating sarili sa pag-aaral ng una sa kanila; isasaalang-alang ng mambabasa ang natitira sa kanyang sarili.
Hayaan pagkatapos sa pagkakapantay-pantay ang exponent ay maaaring hindi negatibo o katumbas ng zero, samakatuwid, ito ay positibo, ibig sabihin, kung kinakailangan upang mapatunayan.
Halimbawa 3. Alamin kung alin sa mga logarithm sa ibaba ang positibo at alin ang negatibo:
Solusyon, a) dahil ang numero 15 at ang base 12 ay matatagpuan sa parehong bahagi ng isa;
b) dahil ang 1000 at 2 ay matatagpuan sa isang bahagi ng yunit; sa kasong ito, hindi mahalaga na ang base ay mas malaki kaysa sa logarithmic number;
c) dahil ang 3.1 at 0.8 ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa;
G); Bakit?
d); Bakit?
Ang mga sumusunod na katangian 4-6 ay madalas na tinatawag na mga patakaran ng logarithmation: pinapayagan nila, alam ang logarithms ng ilang mga numero, upang mahanap ang logarithms ng kanilang produkto, quotient, at antas ng bawat isa sa kanila.
Property 4 (product logarithm rule). Logarithm ng produkto ng ilang positibong numero sa pamamagitan ng itong batayan katumbas ng kabuuan logarithms ng mga numerong ito sa parehong base.
Patunay. Hayaang maging positibo ang ibinigay na mga numero.
Para sa logarithm ng kanilang produkto, isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (26.1) na tumutukoy sa logarithm:
Mula dito makikita natin
Ang paghahambing ng mga exponents ng una at huling mga expression, makuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay:
Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga; logarithm ng produkto ng dalawa mga negatibong numero makatuwiran, ngunit sa kasong ito nakukuha natin
Sa pangkalahatan, kung ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay positibo, kung gayon ang logarithm nito ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithms ng mga ganap na halaga ng mga salik na ito.
Property 5 (panuntunan para sa pagkuha ng logarithms ng mga quotient). Ang logarithm ng isang quotient ng mga positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor, na dinala sa parehong base. Patunay. Palagi kaming nakakahanap
Q.E.D.
Property 6 (power logarithm rule). Ang logarithm ng kapangyarihan ng anumang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng numerong iyon na pinarami ng exponent.
Patunay. Isulat nating muli ang pangunahing pagkakakilanlan (26.1) para sa numero:
Q.E.D.
Bunga. Ang logarithm ng isang ugat ng isang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng radical na hinati sa exponent ng ugat:
Ang bisa ng corollary na ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pag-iisip kung paano at paggamit ng ari-arian 6.
Halimbawa 4. Kunin ang logarithm sa base a:
a) (pinapalagay na ang lahat ng mga halaga b, c, d, e ay positibo);
b) (pinapalagay na ).
Solusyon, a) Maginhawang pumunta sa fractional powers sa expression na ito:
Batay sa mga pagkakapantay-pantay (26.5)-(26.7) maaari na nating isulat ang:
Napansin namin na ang mga mas simpleng operasyon ay ginagawa sa mga logarithms ng mga numero kaysa sa mga numero mismo: kapag nagpaparami ng mga numero, ang kanilang mga logarithm ay idinagdag, kapag naghahati, sila ay ibawas, atbp.
Iyon ang dahilan kung bakit ginagamit ang mga logarithm sa pagsasanay sa pag-compute (tingnan ang talata 29).
Ang kabaligtaran na aksyon ng logarithm ay tinatawag na potentiation, ibig sabihin: ang potentiation ay ang aksyon kung saan ang numero mismo ay matatagpuan mula sa isang ibinigay na logarithm ng isang numero. Mahalaga, ang potentiation ay hindi espesyal na aksyon: bumababa ito sa pagtaas ng base sa isang kapangyarihan (katumbas ng logarithm ng numero). Ang terminong "potentiation" ay maaaring ituring na kasingkahulugan ng terminong "exponentiation".
Kapag potentiating, dapat gamitin ng isang tao ang mga patakaran na kabaligtaran sa mga patakaran ng logarithmation: palitan ang kabuuan ng logarithm ng logarithm ng produkto, ang pagkakaiba ng logarithm sa logarithm ng quotient, atbp. Sa partikular, kung mayroong isang kadahilanan sa harap ng sign ng logarithm, pagkatapos ay sa panahon ng potentiation dapat itong ilipat sa exponent degrees sa ilalim ng sign ng logarithm.
Halimbawa 5. Hanapin ang N kung alam na
Solusyon. Kaugnay ng nakasaad na tuntunin ng potentiation, ililipat namin ang mga salik na 2/3 at 1/3 na nakatayo sa harap ng mga palatandaan ng logarithms sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa mga exponent sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms na ito; nakukuha namin
Ngayon ay pinapalitan namin ang pagkakaiba ng logarithms sa logarithm ng quotient:
para makuha ang huling fraction sa chain of equalities na ito, pinalaya namin ang nakaraang fraction mula sa irrationality sa denominator (seksyon 25).
Ari-arian 7. Kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon mas malaking bilang ay may mas malaking logarithm (at ang isang mas maliit na numero ay may mas maliit), kung ang base ay mas mababa sa isa, kung gayon ang isang mas malaking numero ay may mas maliit na logarithm (at ang isang mas maliit na numero ay may mas malaki).
Ang ari-arian na ito ay binabalangkas din bilang isang panuntunan para sa pagkuha ng mga logarithms ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang magkabilang panig nito ay positibo:
Kapag nag-logarithming ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang base na mas malaki sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili, at kapag ang logarithming sa isang base na mas mababa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran (tingnan din ang talata 80).
Ang patunay ay batay sa mga katangian 5 at 3. Isaalang-alang ang kaso kapag Kung , pagkatapos at, pagkuha ng logarithms, nakuha namin
(a at N/M ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa). Mula rito
Kaso a sumusunod, ang mambabasa ang mag-isa niyang unawain.
Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b *a c = a b+c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer exponents. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos saanman kung saan kinakailangan upang pasimplehin ang masalimuot na multiplikasyon sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Sa simple at naa-access na wika.
Kahulugan sa matematika
Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang hindi negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" sa base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan "c ” kung saan kinakailangan na itaas ang batayang “a” upang sa huli ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng isang kapangyarihan na mula 2 hanggang sa kinakailangang kapangyarihan ay makakakuha ka ng 8. Pagkatapos gumawa ng ilang mga kalkulasyon sa iyong ulo, makuha namin ang numero 3! At totoo iyon, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng sagot bilang 8.
Mga uri ng logarithms
Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlo indibidwal na species logarithmic expression:
- Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
- Decimal a, kung saan ang base ay 10.
- Logarithm ng anumang numero b sa base a>1.
Ang bawat isa sa kanila ay malulutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang solong logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat mong tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang mga ito.
Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit
Sa matematika, mayroong ilang mga patakaran-mga hadlang na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at ang katotohanan. Halimbawa, ang mga numero ay hindi maaaring hatiin ng zero, at imposible ring kunin ang ugat kahit degree mula sa mga negatibong numero. Ang mga logarithms ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunang gumana kahit na may mahaba at malawak na logarithmic na expression:
- Ang base na "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at hindi katumbas ng 1, kung hindi, mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
- kung a > 0, pagkatapos ay a b >0, lumalabas na ang "c" ay dapat ding mas malaki sa zero.
Paano malutas ang mga logarithms?
Halimbawa, ang gawain ay ibinigay upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x = 100. Ito ay napakadali, kailangan mong pumili ng isang kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero sampu kung saan makakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 = 100.
Ngayon, katawanin natin ang expression na ito sa logarithmic form. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nilulutas ang mga logarithm, halos lahat ng mga aksyon ay nagsasama-sama upang mahanap ang kapangyarihan kung saan kinakailangan upang ipasok ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.
Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:
Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na pag-iisip at kaalaman sa talahanayan ng multiplikasyon. Gayunpaman, para sa mas malalaking halaga kakailanganin mo ng power table. Maaari itong magamit kahit ng mga walang alam tungkol sa kumplikadong mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection, ang mga cell ay naglalaman ng mga halaga ng numero na ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinakatotoong humanist ay mauunawaan!
Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay
Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equality. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang base 3 logarithm ng 81 na katumbas ng apat (log 3 81 = 4). Para sa mga negatibong kapangyarihan ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 isinulat namin ito bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Titingnan natin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation sa ibaba, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.
Ang sumusunod na expression ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng logarithmic sign. At din sa expression ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa bilang tatlo.
Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at inequalities ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang partikular na mga sagot. mga numerong halaga, habang kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, parehong tinutukoy ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga at ang mga breakpoint ng function na ito. Bilang kinahinatnan, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot sa isang equation, ngunit sa halip tuloy-tuloy na serye o isang hanay ng mga numero.
Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms
Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain ng paghahanap ng mga halaga ng logarithm, ang mga katangian nito ay maaaring hindi kilala. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Titingnan natin ang mga halimbawa ng mga equation sa ibang pagkakataon, tingnan muna natin ang bawat property nang mas detalyado.
- Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kapag ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
- Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sa kasong ito kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa logarithmic formula na ito, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaang mag-log a s 1 = f 1 at mag-log a s 2 = f 2, pagkatapos ay a f1 = s 1, a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (mga katangian ng degrees ), at pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, na siyang kailangang patunayan.
- Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Ang theorem sa anyo ng isang formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo: log a q b n = n/q log a b.
Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of logarithm." Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay batay sa natural na postulates. Tingnan natin ang patunay.
Hayaang mag-log a b = t, lumalabas na a t =b. Kung itataas natin ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;
ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n, samakatuwid mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Ang teorama ay napatunayan.
Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay
Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithms ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at isa ring kinakailangang bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Upang makapasok sa isang unibersidad o makapasa sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano maayos na malutas ang mga naturang gawain.
Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy hindi kilalang halaga Walang ganoong bagay bilang isang logarithm, ngunit ang ilang mga patakaran ay maaaring ilapat sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o humantong sa pangkalahatang hitsura. Maaari mong gawing simple ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila agad.
Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, dapat nating matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo: ang isang halimbawang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.
Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan nilang matukoy ang kapangyarihan kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon natural logarithms kailangan mong ilapat ang mga logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.
Paano gamitin ang mga formula ng logarithm: may mga halimbawa at solusyon
Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms.
- Ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan na palawakin pinakamahalaga mga numero b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, gamit ang ikaapat na pag-aari ng kapangyarihan ng logarithm, nalutas namin ang isang tila kumplikado at hindi malulutas na expression. Kailangan mo lang i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga exponent value sa sign ng logarithm.
Mga takdang-aralin mula sa Unified State Exam
Ang mga logarithm ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na sa maraming mga logarithmic na problema sa Unified State Exam (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Kadalasan, ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamasalimuot at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nangangailangan ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".
Ang mga halimbawa at solusyon sa mga problema ay kinuha mula sa opisyal Mga pagpipilian sa Pinag-isang State Exam. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.
Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4, samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.
- Pinakamainam na bawasan ang lahat ng logarithms sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
- Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng logarithm sign ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag ang exponent ng isang expression na nasa ilalim ng logarithm sign at bilang base nito ay kinuha bilang isang multiplier, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.
Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong kalusugan. mahahalagang kaso.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Habang umuunlad ang lipunan at naging mas kumplikado ang produksyon, umunlad din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa ordinaryong accounting gamit ang paraan ng pagdaragdag at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating kami sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng paulit-ulit na operasyon ng multiplikasyon ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng mga logarithms.
Makasaysayang sketch
Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos may kaugnayan sa multiplikasyon at paghahati ng mga multi-digit na numero. Napakahusay ng serbisyo ng mga sinaunang mesa. Ginawa nilang posible na palitan ang mga kumplikadong operasyon ng mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga kapangyarihan sa anyo ng mga pangunahing numero, kundi pati na rin para sa mga di-makatwirang makatuwiran.
Noong 1614, unang ipinakilala ng Scotsman na si John Napier ang mga ideyang ito, ang bagong terminong "logarithm ng isang numero." Bago kumplikadong mga talahanayan para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.
Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa loob ng tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas kanina bagong operasyon sa algebra nakuha nito ang kumpletong anyo. Ang kahulugan ng logarithm ay ibinigay at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.
Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.
Tinatawag natin ngayon ang logarithm ng b upang ibase sa a ang numerong x na siyang kapangyarihan ng a upang gawing b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).
Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.
Kaya, ang nabuong kahulugan ay nagtatakda lamang ng isang paghihigpit: ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.
Mga uri ng logarithms
Ang klasikong kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang ang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at hindi interesado. Pansin: 1 sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng 1.
Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kapag ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.
Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa laki ng kanilang base:
Mga tuntunin at paghihigpit
Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).
Bilang isang variant ng pahayag na ito ay magkakaroon ng: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.
Mula sa nakaraang dalawang panuntunan, madaling makita na: log a(b p) = p * log a(b).
Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:
Magkomento. Hindi na kailangang gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng isang kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan ng logarithms.
Sa loob ng maraming siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician kilalang formula teorya ng logarithmic ng polynomial expansion:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kung saan n - natural na numero higit sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.
Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem tungkol sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng produkto.
Dahil ang pamamaraang ito ay napaka-labor-intensive at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit kami ng mga pre-compiled na talahanayan ng logarithms, na makabuluhang pinabilis ang lahat ng gawain.
Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na idinisenyong logarithm graph, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng isang regular na ruler upang mahanap ang halaga ng function sa anumang iba pang punto. Mga inhinyero matagal na panahon Para sa mga layuning ito, ginamit ang tinatawag na graph paper.
Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na ika-19 na siglo nakakuha ng tapos na hitsura. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at ito ay mahirap na mag-overestimate. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.
Ang pagdating ng mga calculator at computer ay ginawa ang paggamit ng anumang iba pang mga aparato na walang kabuluhan.
Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay
Upang malutas ang iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms, ang mga sumusunod na formula ay ginagamit:
- Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Bilang resulta ng nakaraang opsyon: log a(b) = 1 / log b(a).
Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:
- Ang halaga ng logarithm ay magiging positibo lamang kung ang base at argumento ay parehong mas malaki o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
- Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng isang hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan; kung hindi ito ay nagbabago.
Mga halimbawa ng problema
Isaalang-alang natin ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:
Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa isang kapangyarihan:
- Suliranin 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang entry ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang parisukat ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay katumbas ng 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.
Praktikal na paggamit
Ang pagiging isang purong mathematical tool, tila malayo sa totoong buhay na ang logarithm ay biglang nakakuha ng malaking kahalagahan para sa paglalarawan ng mga bagay sa totoong mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa makataong larangan ng kaalaman.
Mga dependency ng logarithmic
Narito ang ilang halimbawa ng mga numerical na dependencies:
Mechanics at physics
Sa kasaysayan, ang mechanics at physics ay palaging binuo gamit mga pamamaraan sa matematika pananaliksik at kasabay nito ay nagsilbing insentibo para sa pagpapaunlad ng matematika, kabilang ang logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa ng mga paglalarawan mga pisikal na batas gamit ang logarithm.
Ang problema sa pagkalkula ng tulad ng isang kumplikadong dami bilang ang bilis ng isang rocket ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paggamit ng Tsiolkovsky formula, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:
V = I * ln (M1/M2), kung saan
- Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
- I - tiyak na salpok ng makina.
- M 1 - paunang masa ng rocket.
- M 2 – panghuling masa.
Isa pang mahalagang halimbawa- ito ay ginagamit sa pormula ng isa pang mahusay na siyentipiko na si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.
S = k * ln (Ω), kung saan
- S - thermodynamic na pag-aari.
- k – Boltzmann pare-pareho.
- Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.
Chemistry
Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa:
- Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
- Ang pagkalkula ng mga pare-pareho tulad ng autolysis index at ang kaasiman ng solusyon ay hindi rin maaaring gawin nang wala ang aming function.
Sikolohiya at biyolohiya
At hindi malinaw kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Ito ay lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng stimulus intensity sa mas mababang halaga ng intensity.
Pagkatapos ng mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang paksa ng logarithms ay malawakang ginagamit sa biology. Maaaring isulat ang buong volume tungkol sa mga biological form na tumutugma sa logarithmic spirals.
Ibang lugar
Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay may kaugnayan sa geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagpunta sa MatProfi website, at mayroong maraming mga tulad na halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:
Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing prinsipyo ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.
Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.
Talagang kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - kung wala ang mga ito, hindi malulutas ang isang seryosong problema sa logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms
Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong mga base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:
- log a x+ log a y= log a (x · y);
- log a x− log a y= log a (x : y).
Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!
Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:
Log 6 4 + log 6 9.
Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.
Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.
Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Tulad ng nakikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Marami ang binuo sa katotohanang ito mga test paper. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.
Pagkuha ng exponent mula sa logarithm
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Pagkatapos ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin mula sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:
Madaling mapansin iyon huling tuntunin sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.
Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .
Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meron kami:
[Caption para sa larawan] Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.
Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?
Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:
Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
[Caption para sa larawan]
Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha namin ang:
[Caption para sa larawan]
Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.
Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.
Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:
[Caption para sa larawan]Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.
Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.
Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:
[Caption para sa larawan]Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:
[Caption para sa larawan]Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:
Sa unang kaso, ang numero n nagiging tagapagpahiwatig ng antas na nakatayo sa argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil isa lamang itong halaga ng logarithm.
Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyan ang tawag dito: ang pangunahing logarithmic identity.
Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng numero a? Tama iyon: makukuha mo ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.
Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
[Caption para sa larawan]
Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:
[Caption para sa larawan]Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)
Logarithmic unit at logarithmic zero
Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.
- log a a Ang = 1 ay isang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: logarithm sa anumang base a mula sa baseng ito ay katumbas ng isa.
- log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.
Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.
