حل المتباينات المثلثية البسيطة باستخدام المماس. المتباينات المثلثية البسيطة والمعقدة

المتباينات هي علاقات على الشكل a › b، حيث a وb عبارة عن تعبيرات تحتوي على متغير واحد على الأقل. يمكن أن تكون عدم المساواة صارمة - ‹، › وغير صارمة - ≥، ≥.

المتباينات المثلثية هي تعبيرات بالشكل: F(x) › a، F(x) ‹ a، F(x) ≥ a، F(x) ≥ a، حيث يتم تمثيل F(x) بواحدة أو أكثر من الدوال المثلثية .

مثال على أبسط المتباينة المثلثية هو: sin x ‹ 1/2. من المعتاد حل مثل هذه المشكلات بيانيا، وقد تم تطوير طريقتين لهذا الغرض.

الطريقة الأولى - حل المتباينات عن طريق رسم دالة بيانيًا

للعثور على فترة تحقق شروط عدم المساواة sin x ‹ 1/2، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:

1. على المحور الإحداثي، قم ببناء الشكل الجيبي y = sin x.
2. على نفس المحور، ارسم رسمًا بيانيًا للوسيطة العددية للمتباينة، أي خط مستقيم يمر عبر النقطة ½ للإحداثي OY.
3. ضع علامة على نقاط التقاطع بين الرسمين البيانيين.
4. قم بتظليل الجزء الذي يمثل حل المثال.

عندما تكون العلامات الصارمة موجودة في التعبير، فإن نقاط التقاطع ليست حلولاً. بما أن أصغر فترة موجبة للجيب الجيبي هي 2π، فإننا نكتب الإجابة على النحو التالي:

إذا كانت علامات التعبير ليست صارمة، فيجب وضع الفاصل الزمني للحل بين قوسين مربعين - . يمكن أيضًا كتابة إجابة المشكلة على النحو التالي عدم المساواة:

الطريقة الثانية - حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة

يمكن حل مشاكل مماثلة بسهولة باستخدام دائرة مثلثية. خوارزمية العثور على الإجابات بسيطة للغاية:

1. تحتاج أولاً إلى رسم دائرة الوحدة.
2. ثم عليك ملاحظة قيمة دالة القوس لحجة الجانب الأيمن من المتباينة على قوس الدائرة.
3. من الضروري رسم خط مستقيم يمر عبر قيمة دالة القوس الموازية لمحور الإحداثي السيني (OX).
4. بعد ذلك، كل ما تبقى هو اختيار قوس الدائرة، وهو مجموعة حلول المتباينة المثلثية.
5. اكتب الإجابة في النموذج المطلوب.

دعونا نحلل مراحل الحل باستخدام مثال المتباينة sin x › 1/2. تم تحديد النقاط α و β على الدائرة - القيم

نقاط القوس الواقعة فوق α و β هي الفاصل الزمني لحل عدم المساواة المعطاة.

إذا كنت بحاجة إلى حل مثال لـ cos، فسيتم وضع قوس الإجابة بشكل متماثل على محور OX، وليس OY. يمكنك مراعاة الفرق بين فترات الحل لـ sin وcos في المخططات أدناه في النص.

تختلف الحلول الرسومية لمتباينات الظل وظل التمام عن كل من جيب التمام وجيب التمام. هذا يرجع إلى خصائص الوظائف.

ظل القوس القوسي وظل التمام هما مماسين لدائرة مثلثية، والحد الأدنى للفترة الإيجابية لكلا الدالتين هو π. لاستخدام الطريقة الثانية بسرعة وبشكل صحيح، عليك أن تتذكر على أي محور يتم رسم قيم sin وcos وtg وctg.

يعمل الظل المماس بالتوازي مع محور OY. إذا قمنا برسم قيمة arctan a على دائرة الوحدة، فستكون النقطة الثانية المطلوبة موجودة في الربع القطري. الزوايا

إنها نقاط توقف للدالة، حيث أن الرسم البياني يميل إليها، لكنه لا يصل إليها أبدًا.

في حالة ظل التمام، يعمل الظل بالتوازي مع محور OX، وتنقطع الدالة عند النقطتين π و2π.

المتباينات المثلثية المعقدة

إذا تم تمثيل وسيطة دالة عدم المساواة ليس فقط بمتغير، ولكن بتعبير كامل يحتوي على مجهول، فإننا نتحدث بالفعل عن عدم المساواة المعقدة. تختلف عملية وإجراءات حلها إلى حد ما عن الطرق الموضحة أعلاه. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل للمتباينة التالية:

يتضمن الحل الرسومي بناء الجيوب الأنفية العادية y = sin x باستخدام قيم x المحددة بشكل تعسفي. لنحسب جدولًا بإحداثيات نقاط التحكم في الرسم البياني:

يجب أن تكون النتيجة منحنى جميل.

لجعل إيجاد الحل أسهل، دعونا نستبدل وسيطة الدالة المعقدة

حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة

عند حل المتباينات المثلثية في النموذج، حيث --- إحدى الدوال المثلثية، من المناسب استخدام الدائرة المثلثية لتمثيل حلول عدم المساواة بشكل أوضح وكتابة الإجابة. الطريقة الرئيسية لحل المتباينات المثلثية هي اختزالها إلى أبسط أنواع المتباينات. دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية حل هذه التفاوتات.

مثال حل المتراجحة.

حل. لنرسم دائرة مثلثية ونضع علامة عليها على النقاط التي يتفوق فيها الإحداثي.

لحل هذا التفاوت سيكون هناك. ومن الواضح أيضًا أنه إذا اختلف عدد معين عن أي رقم عن الفاصل الزمني المحدد، فلن يكون أقل أيضًا. لذلك، تحتاج فقط إلى إضافة حلول إلى نهايات الجزء الذي تم العثور عليه. وأخيرًا، نجد أن جميع حلول المتراجحة الأصلية ستكون.

لحل المتباينات ذات المماس وظل التمام، يكون مفهوم خط المماس وظل التمام مفيدًا. هذه هي الخطوط المستقيمة، وعلى التوالي (في الشكل (1) و (2)) مماس للدائرة المثلثية.

من السهل أن نرى أنه إذا قمنا ببناء شعاع أصله من أصل الإحداثيات، وصنع زاوية مع الاتجاه الموجب لمحور الإحداثيات، فإن طول القطعة من النقطة إلى نقطة تقاطع هذا الشعاع مع فإن خط الظل يساوي تمامًا ظل الزاوية التي يصنعها هذا الشعاع مع محور الإحداثي السيني. تحدث ملاحظة مماثلة بالنسبة لظل التمام.

مثال حل المتراجحة.

حل. دعونا نشير إلى أن عدم المساواة سوف تتخذ أبسط شكل: . لنفكر في فترة زمنية تساوي أصغر فترة موجبة (LPP) للظل. في هذه القطعة، باستخدام خط المماسات، نحدد ذلك. دعونا نتذكر الآن ما يجب إضافته منذ وظائف NPP. لذا، . وبالعودة إلى المتغير، نحصل على ذلك

من الملائم حل المتباينات ذات الدوال المثلثية العكسية باستخدام الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.

حل المتباينات المثلثية بيانيا

لاحظ أنه إذا --- وظيفة دوريةإذن لحل المتراجحة من الضروري إيجاد حلولها على قطعة طولها يساوي دورة الدالة. ستتكون جميع حلول المتراجحة الأصلية من القيم التي تم العثور عليها، بالإضافة إلى كل الحلول التي تختلف عن تلك التي تم العثور عليها بواسطة أي عدد صحيح من فترات الدالة

دعونا نفكر في حل مشكلة عدم المساواة ().

ومنذ ذلك الحين، ليس للمتباينة حلول. إذا، فإن مجموعة الحلول للمتباينة --- مجموعة منجميع الأرقام الحقيقية.

اسمحوا ان. دالة الجيب لها أصغر فترة موجبة، لذلك يمكن حل المتراجحة أولاً على جزء من الطول، على سبيل المثال. نحن نبني الرسوم البيانية للوظائف و ().

على القطعة، تزيد دالة الجيب، وتكون المعادلة، حيث، لها جذر واحد. على القطعة، تتناقص دالة الجيب، ويكون للمعادلة جذر. على الفاصل الرقمي، يقع الرسم البياني للدالة أعلى الرسم البياني للدالة. ولذلك، بالنسبة للجميع من الفترة) فإن المتراجحة تظل صحيحة. نظرًا لدورية دالة الجيب، فإن جميع حلول المتراجحة تُعطى بواسطة المتباينات بالشكل: .

سنحل المتباينات ذات المماس باستخدام دائرة الوحدة.

خوارزمية حل المتباينات ذات الظل:

1. إعادة رسم العبارة المبتذلة الموضحة في الشكل أعلاه؛
2. على خط المماس نضع علامة $a$ ونرسم خطًا مستقيمًا من نقطة الأصل إلى هذه النقطة؛
3. سيتم تظليل نقطة تقاطع هذا الخط مع نصف الدائرة إذا كانت المتباينة غير صارمة وغير مظللة إذا كانت صارمة؛
4. ستكون المساحة أسفل الخط وحتى الدائرة إذا كانت المتراجحة تحتوي على العلامة "$>$"، وتحت الخط وحتى الدائرة إذا كانت المتراجحة تحتوي على العلامة "$"<$”;
5. للعثور على نقطة التقاطع، يكفي العثور على ظل قوسي $a$، أي. $x_(1)=(\rm arctg) a$;
6. ردًا على ذلك، تتم كتابة الفاصل الزمني الناتج، مع إضافة $+ \pi n$ إلى الأطراف.

أمثلة على حل عدم المساواة باستخدام الخوارزمية.

مثال 1:حل عدم المساواة:

$(\rm tg)(x) \leq 1.$

وبالتالي فإن الحل سوف يأخذ الشكل:

$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$

مهم!النقاط $-\frac(\pi)(2)$ و$\frac(\pi)(2)$ عند المماس دائمًا (بغض النظر عن علامة المتباينة)اقتلعت!

مثال 2:حل عدم المساواة:

$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$

نحدد النقطة $- \sqrt(3)$ على خط المماس ونرسم خطًا مستقيمًا من نقطة الأصل إليها. لن يتم تظليل نقطة تقاطع هذا الخط مع نصف الدائرة، لأن المتباينة صارمة. ستكون المنطقة أعلى الخط المستقيم وحتى الدائرة، نظرًا لأن علامة المتباينة هي $>$. لنجد نقطة التقاطع:

$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$

$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$

دعنا نعود إلى المتغير الأصلي:

$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi ن \ يمين).$

هذا الأخير يعادل نظام عدم المساواة

$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$

بعد حلها سوف نحصل على الجواب. حقًا،

$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$

$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $

وأخيرًا نحصل على:

$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\right), \n \in Z.$

عند حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، يتم اختزالها إلى أبسط المتباينات بالشكل cos(t)>a, sint(t)=a وما شابه ذلك. وقد تم بالفعل حل أبسط المتباينات. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لطرق حل المتباينات المثلثية البسيطة.

مثال 1. حل المتراجحة sin(t) > = -1/2.

ارسم دائرة الوحدة. بما أن sin(t) بحكم التعريف هي الإحداثي y، فإننا نحدد النقطة y = -1/2 على محور Oy. نرسم عبره خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور الثور. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

سيكون حل هذه المتباينة هو جميع نقاط دائرة الوحدة الواقعة فوق هذه النقاط. بمعنى آخر، سيكون الحل هو القوس l. والآن من الضروري الإشارة إلى الشروط التي بموجبها ستنتمي النقطة التعسفية إلى القوس l.

يقع Pt1 في نصف الدائرة الأيمن، وإحداثيته هو -1/2، ثم t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. لوصف النقطة Pt1، يمكنك كتابة الصيغة التالية:
t2 = باي - أركسين (-1/2) = 7*بي/6. ونتيجة لذلك، نحصل على عدم المساواة التالية ل:

نحن نحافظ على عدم المساواة. وبما أن دالة الجيب دورية، فهذا يعني أن الحلول ستتكرر كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الإجابة: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

مثال 2.حل عدم المساواة cos(t).<1/2.

دعونا نرسم دائرة الوحدة. نظرًا لأن cos(t) هو الإحداثي x، وفقًا للتعريف، فإننا نحدد النقطة x = 1/2 على الرسم البياني على محور الثور.
نرسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقطة موازيًا لمحور أوي. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.

الحلول ستكون جميع نقاط دائرة الوحدة التي تنتمي إلى القوس l. لنوجد النقطتين t1 وt2.

t1 = أركوس(1/2) = بي/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

حصلنا على عدم المساواة لـ t: pi/3

نظرًا لأن جيب التمام هو دالة دورية، فسيتم تكرار الحلول كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.

الجواب: بي / 3 + 2 * بي * ن

مثال 3.حل المتباينة tg(t)< = 1.

فترة الظل تساوي pi. دعونا نجد الحلول التي تنتمي إلى المجال (-pi/2;pi/2) نصف الدائرة الأيمن. بعد ذلك، باستخدام دورية المماس، نكتب جميع حلول هذه المتباينة. لنرسم دائرة وحدة ونضع عليها خط مماسات.

إذا كان t هو حل للمتراجحة، فإن إحداثي النقطة T = tg(t) يجب أن يكون أقل من أو يساوي 1. مجموعة هذه النقاط ستشكل الشعاع AT. مجموعة النقاط Pt التي تتوافق مع نقاط هذا الشعاع هي القوس l. علاوة على ذلك، فإن النقطة P(-pi/2) لا تنتمي إلى هذا القوس.