يمكن تقسيم مهارات البحث إلى عامة وخاصة. تشمل مهارات البحث العامة، التي يتم تكوينها وتطويرها في عملية حل المشكلات ذات المعلمات، ما يلي: القدرة على رؤية ما وراء معادلة معينة ذات معلمة فئات مختلفة من المعادلات، تتميز بالوجود المشترك لعدد ونوع الجذور. القدرة على استخدام الأساليب التحليلية والتحليلية الرسومية....
المعادلات والمتباينات ذات المعلمة كوسيلة لتنمية مهارات البحث لدى الطلاب في الصفوف 7-9 (المقال، المقررات الدراسية، الدبلوم، الاختبار)
عمل التخرج
صحول الموضوع: المعادلات والمتباينات ذات المعلمة كوسيلة لتشكيل البحث مهارات الطلاب في الصفوف 7 - 9
إن تطوير قدرات التفكير الإبداعي أمر مستحيل خارج المواقف الصعبة، وبالتالي فإن المهام غير القياسية لها أهمية خاصة في التعلم. تتضمن هذه أيضًا المهام التي تحتوي على معلمة. المحتوى الرياضي لهذه المشكلات لا يتجاوز نطاق البرنامج، ومع ذلك، فإن حلها، كقاعدة عامة، يسبب صعوبات للطلاب.
قبل إصلاح تعليم الرياضيات المدرسية في الستينيات، كان للمناهج الدراسية والكتب المدرسية أقسام خاصة: دراسة المعادلات الخطية والتربيعية، ودراسة أنظمة المعادلات الخطية. حيث كانت المهمة هي دراسة المعادلات والمتباينات والأنظمة حسب أي شروط أو معاملات.
لا يحتوي البرنامج حاليًا على مراجع محددة للدراسات أو المعلمات في المعادلات أو المتباينات. ولكنها بالتحديد إحدى وسائل الرياضيات الفعالة التي تساعد في حل مشكلة تكوين الشخصية الفكرية التي يحددها البرنامج. ولإزالة هذا التناقض، أصبح من الضروري إنشاء مقرر اختياري حول موضوع "المعادلات والمتباينات ذات المعلمات". وهذا هو بالضبط ما يحدد أهمية هذا العمل.
المعادلات وعدم المساواة مع المعلمات هي مادة ممتازة للعمل البحثي الحقيقي، ولكن المناهج الدراسية لا تتضمن مشاكل مع المعلمات كموضوع منفصل.
يهدف حل معظم المشكلات في دورة الرياضيات المدرسية إلى تطوير صفات مثل إتقان قواعد وخوارزميات العمل وفقًا للبرامج الحالية لدى أطفال المدارس، والقدرة على إجراء البحوث الأساسية.
البحث في العلوم يعني دراسة الشيء من أجل التعرف على أنماط حدوثه وتطوره وتحوله. تستخدم عملية البحث الخبرة المتراكمة والمعرفة الحالية وكذلك طرق وأساليب دراسة الأشياء. يجب أن تكون نتيجة البحث اكتساب معرفة جديدة. في عملية البحث التربوي، يتم تجميع المعرفة والخبرة التي تراكمت لدى الطالب في دراسة الأشياء الرياضية.
عند تطبيقها على المعادلات البارامترية والمتباينات، يمكن تمييز المهارات البحثية التالية:
1) القدرة على التعبير من خلال معلمة عن شروط معادلة بارامترية معينة تنتمي إلى فئة معينة من المعادلات؛
2) القدرة على تحديد نوع المعادلة وبيان نوع المعاملات حسب المعلمات؛
3) القدرة على التعبير من خلال المعلمات عن شروط وجود حلول للمعادلة البارامترية.
4) في حالة وجود الجذور (المحاليل)، تكون قادرة على التعبير عن شروط وجود عدد معين من الجذور (المحاليل)؛
5) القدرة على التعبير عن جذور المعادلات البارامترية (حلول المتباينات) من خلال المعلمات.
يتم تحديد الطبيعة التطورية للمعادلات وعدم المساواة مع المعلمات من خلال قدرتها على تنفيذ العديد من أنواع النشاط العقلي للطلاب:
تطوير بعض خوارزميات التفكير، والقدرة على تحديد وجود وعدد الجذور (في المعادلة، النظام)؛
حل عائلات المعادلات الناتجة عن ذلك؛
التعبير عن متغير واحد بدلالة آخر؛
إيجاد مجال تعريف المعادلة؛
تكرار كمية كبيرة من الصيغ عند الحل؛
معرفة طرق الحل المناسبة.
الاستخدام الواسع النطاق للحجج اللفظية والصورية؛
تنمية الثقافة الرسومية للطلاب.
كل ما سبق يسمح لنا بالحديث عن الحاجة إلى دراسة المعادلات والمتباينات مع المعلمات في دورة الرياضيات المدرسية.
في الوقت الحاضر، فئة المشاكل المتعلقة بالمعلمات لم يتم حلها بشكل منهجي بشكل واضح. تتحدد أهمية اختيار موضوع المقرر الاختياري "المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمة" من خلال أهمية موضوع "ثلاثية الحدود التربيعية وخصائصها" في مقرر الرياضيات المدرسية، وفي نفس الوقت، بسبب عدم وجود حان الوقت للنظر في المشكلات المتعلقة بدراسة ثلاثية الحدود التربيعية التي تحتوي على معلمة.
في عملنا، نريد أن نظهر أن مشاكل المعلمات لا ينبغي أن تكون إضافة صعبة إلى المادة الرئيسية التي تتم دراستها، والتي لا يستطيع إتقانها إلا الأطفال القادرون، ولكن يمكن ويجب استخدامها في مدرسة التعليم العام، مما سيثري التعلم بأساليب جديدة والأفكار ومساعدة الطلاب على تطوير تفكيرهم.
الغرض من العمل هو دراسة مكان المعادلات والمتباينات ذات المعلمات في مقرر الجبر للصفوف 7-9، وتطوير مقرر اختياري "المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمات" والتوصيات المنهجية لتنفيذه.
الهدف من الدراسة هو عملية تدريس الرياضيات في الصفوف 7-9 في المدرسة الثانوية.
موضوع البحث هو محتوى وأشكال وأساليب ووسائل حل المعادلات والمتباينات ذات المعلمات في المدرسة الثانوية، مما يضمن تطوير مقرر اختياري “المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمات”.
فرضية البحث هي أن هذا المقرر الاختياري سيساعد في تقديم دراسة أكثر تعمقا لمحتوى قسم الرياضيات "المعادلات والمتباينات مع المعلمات"، والقضاء على التناقضات في المتطلبات في الرياضيات لإعداد خريجي المدارس والمتقدمين للجامعات، و توسيع فرص تنمية النشاط العقلي لدى الطلاب، إذا تم استخدام ما يلي أثناء دراسته:
· النظر في التقنيات الرسومية لحل المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمة باستخدام عمل تلاميذ المدارس مع الأدبيات التعليمية؛
· حل المشكلات المتعلقة بدراسة ثلاثية الحدود التربيعية التي تحتوي على معلمة باستخدام ضبط النفس لأطفال المدارس والتحكم المتبادل.
· جداول لتلخيص المواد حول موضوعات "علامة جذور ثلاثي الحدود المربع"، "موقع القطع المكافئ بالنسبة لمحور الإحداثي السيني"؛
· استخدام أساليب مختلفة لتقييم نتائج التعلم ونظام النقاط التراكمية.
· دراسة كافة مواضيع الدورة مما يتيح للطالب فرصة إيجاد طريقة لحل المشكلة بشكل مستقل.
وفقًا لغرض الدراسة وموضوعها وموضوعها وفرضيتها، تم طرح أهداف البحث التالية:
· النظر في الأحكام العامة لدراسة المعادلات والمتباينات ذات المعلمات في الصفوف 7-9؛
· تطوير مقرر اختياري في الجبر "المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمة" ومنهجية تنفيذها.
تم استخدام الطرق التالية أثناء الدراسة:
· تحليل الأدبيات.
· تحليل الخبرة في تطوير المقررات الاختيارية.
الفصل 1. السمات النفسية والتربوية دراسة المواضيع « المعادلات والمتباينات مع المعلمات" في سياق الجبر 7−9 فصل
§ 1. الخصائص المرتبطة بالعمر والفسيولوجية والنفسيةفوائد تلاميذ المدارس في الصفوف 7-9
يتميز سن المدرسة المتوسطة (المراهقة) بالنمو السريع وتطور الكائن الحي بأكمله. هناك نمو مكثف للجسم في الطول (عند الأولاد هناك زيادة قدرها 6-10 سنتيمترات في السنة، وفي الفتيات تصل إلى 6-8 سنتيمترات). ويستمر تعظم الهيكل العظمي، وتكتسب العظام المرونة والصلابة، وتزداد قوة العضلات. ومع ذلك، فإن تطوير الأعضاء الداخلية يحدث بشكل غير متساو، ونمو الأوعية الدموية يتخلف عن نمو القلب، مما قد يسبب انتهاكا لإيقاع نشاطه وزيادة معدل ضربات القلب. يتطور الجهاز الرئوي، ويصبح التنفس سريعا في هذا العصر. حجم الدماغ يقارب حجم دماغ الإنسان البالغ. تتحسن سيطرة القشرة الدماغية على الغرائز والعواطف. ومع ذلك، لا تزال عمليات الإثارة تسود على عمليات التثبيط. يبدأ النشاط المتزايد للألياف النقابية.
في هذا العمر يحدث البلوغ. يزداد نشاط الغدد الصماء، وخاصة الغدد الجنسية. تظهر الخصائص الجنسية الثانوية. يُظهر جسد المراهق إرهاقًا أكبر بسبب التغيرات الجذرية فيه. إن تصور المراهق أكثر تركيزًا وتنظيمًا وتخطيطًا من تصور تلميذ أصغر سنًا. إن موقف المراهق تجاه الشيء المرصود له أهمية حاسمة. الاهتمام طوعي وانتقائي. يمكن للمراهق التركيز على المواد المثيرة للاهتمام لفترة طويلة. يأتي في المقدمة حفظ المفاهيم المرتبطة مباشرة بفهم المعلومات وتحليلها وتنظيمها. تتميز مرحلة المراهقة بالتفكير النقدي. يتميز الطلاب في هذا العصر بطلب أكبر على المعلومات المقدمة. تتحسن القدرة على التفكير المجرد. غالبًا ما يكون التعبير عن المشاعر لدى المراهقين عنيفًا جدًا. الغضب قوي بشكل خاص. يتميز هذا العصر تمامًا بالعناد والأنانية والانطواء على الذات وشدة الانفعالات والصراعات مع الآخرين. وسمحت هذه المظاهر للمعلمين وعلماء النفس بالحديث عن أزمة المراهقة. يتطلب تكوين الهوية من الشخص إعادة التفكير في علاقاته مع الآخرين، ومكانته بين الآخرين. خلال فترة المراهقة، يحدث تكوين أخلاقي واجتماعي مكثف للشخصية. إن عملية تكوين المُثُل الأخلاقية والقناعات الأخلاقية جارية. غالبًا ما يكون لديهم طابع غير مستقر ومتناقض.
يختلف تواصل المراهقين مع البالغين بشكل كبير عن تواصل تلاميذ المدارس الأصغر سنًا. لا يعتبر المراهقون في كثير من الأحيان البالغين شركاء محتملين للتواصل الحر؛ فهم ينظرون إلى البالغين كمصدر للتنظيم والدعم لحياتهم، وينظر المراهقون إلى الوظيفة التنظيمية للبالغين في أغلب الأحيان على أنها مقيدة وتنظيمية فقط.
يتم تقليل عدد الأسئلة الموجهة إلى المعلمين. تتعلق الأسئلة المطروحة، في المقام الأول، بتنظيم ومحتوى الأنشطة الحياتية للمراهقين في الحالات التي لا يمكنهم فيها الاستغناء عن المعلومات والتعليمات ذات الصلة من البالغين. يتم تقليل عدد القضايا الأخلاقية. بالمقارنة مع العصر السابق، يتم تقليل سلطة المعلم كحامل للأعراف الاجتماعية ومساعد محتمل في حل مشاكل الحياة المعقدة بشكل كبير.
§ 2. الخصائص العمرية للأنشطة التعليمية
التدريس هو النشاط الرئيسي للمراهق. النشاط التعليمي للمراهق له صعوباته وتناقضاته، ولكن هناك أيضًا مزايا يمكن للمعلم الاعتماد عليها ويجب عليه الاعتماد عليها. الميزة الكبرى للمراهق هي استعداده لجميع أنواع الأنشطة التعليمية التي تجعله بالغًا في نظره. ينجذب إلى الأشكال المستقلة لتنظيم الدروس في الفصل الدراسي والمواد التعليمية المعقدة وإتاحة الفرصة لبناء نشاطه المعرفي بشكل مستقل خارج المدرسة. إلا أن المراهق لا يعرف كيفية تحقيق هذا الاستعداد، لأنه لا يعرف كيفية القيام بأشكال جديدة من النشاط التعليمي.
يتفاعل المراهق عاطفيا مع موضوع أكاديمي جديد، وبالنسبة للبعض، يختفي رد الفعل هذا بسرعة كبيرة. وفي كثير من الأحيان يتناقص أيضًا اهتمامهم العام بالتعلم والمدرسة. كما تظهر الأبحاث النفسية، فإن السبب الرئيسي يكمن في عدم تطوير مهارات التعلم لدى الطلاب، مما لا يجعل من الممكن تلبية الحاجة الحالية للعمر - الحاجة إلى تأكيد الذات.
إحدى طرق زيادة فعالية التعلم هي التكوين الهادف لدوافع التعلم. ويرتبط هذا ارتباطًا مباشرًا بإشباع الاحتياجات السائدة للعمر. واحدة من هذه الاحتياجات هي المعرفية. عندما يكون راضيا، فإنه يطور اهتمامات معرفية مستقرة، والتي تحدد موقفه الإيجابي تجاه المواد الأكاديمية. ينجذب المراهقون جدًا إلى فرصة التوسع وإثراء معارفهم والتغلغل في جوهر الظواهر التي تتم دراستها وإقامة علاقات السبب والنتيجة. إنهم يشعرون بارتياح عاطفي كبير من الأنشطة البحثية. لا يؤدي الفشل في تلبية الاحتياجات المعرفية والاهتمامات المعرفية إلى حالة من الملل واللامبالاة فحسب، بل يؤدي في بعض الأحيان إلى موقف سلبي حاد تجاه "المواضيع غير المثيرة للاهتمام". في هذه الحالة، يكون المحتوى والعملية والأساليب والتقنيات لاكتساب المعرفة على نفس القدر من الأهمية.
تختلف اهتمامات المراهقين في اتجاه نشاطهم المعرفي. يفضل بعض الطلاب المواد الوصفية، وينجذبون إلى الحقائق الفردية، والبعض الآخر يسعى جاهدين لفهم جوهر الظواهر التي تتم دراستها، وشرحها من وجهة نظر النظرية، والبعض الآخر أكثر نشاطًا في استخدام المعرفة في الأنشطة العملية، والبعض الآخر - إلى الإبداع الأنشطة البحثية. 15]
إلى جانب الاهتمامات المعرفية، يعد فهم أهمية المعرفة أمرًا ضروريًا لاتخاذ موقف إيجابي لدى المراهقين تجاه التعلم. من المهم جدًا بالنسبة لهم أن يدركوا ويستوعبوا الأهمية الحيوية للمعرفة، وقبل كل شيء، أهميتها في التنمية الشخصية. يحب المراهق العديد من المواد التعليمية لأنها تلبي احتياجاته كشخص متطور بشكل شامل. إن دمج المعتقدات والاهتمامات معًا يخلق نغمة عاطفية متزايدة لدى المراهقين ويحدد موقفهم النشط تجاه التعلم.
إذا كان المراهق لا يرى الأهمية الحيوية للمعرفة، فقد يكون لديه معتقدات سلبية وموقف سلبي تجاه المواد الأكاديمية الحالية. من الأمور ذات الأهمية الكبيرة عندما يكون لدى المراهقين موقف سلبي تجاه التعلم هو وعيهم وتجربتهم بالفشل في إتقان بعض المواد الأكاديمية. الخوف من الفشل، والخوف من الهزيمة يدفع المراهقين أحيانًا إلى البحث عن أسباب معقولة لعدم الذهاب إلى المدرسة أو ترك الفصل. يعتمد الرفاه العاطفي للمراهق إلى حد كبير على تقييم أنشطته التعليمية من قبل البالغين. غالبًا ما يكون معنى التقييم بالنسبة للمراهق هو الرغبة في تحقيق النجاح في العملية التعليمية وبالتالي اكتساب الثقة في قدراته وإمكانياته. ويرجع ذلك إلى الحاجة السائدة للعمر مثل الحاجة إلى إدراك وتقييم الذات كشخص ونقاط القوة والضعف لديه. تظهر الأبحاث أنه خلال فترة المراهقة يلعب احترام الذات دورًا مهيمنًا. من المهم جدًا بالنسبة للرفاهية العاطفية للمراهق أن يتزامن التقييم واحترام الذات. وإلا ينشأ صراع داخلي وأحيانا خارجي.
في الصفوف المتوسطة، يبدأ الطلاب في دراسة وإتقان أساسيات العلوم. سيتعين على الطلاب إتقان قدر كبير من المعرفة. تتطلب المادة المراد إتقانها، من ناحية، مستوى أعلى من النشاط التعليمي والمعرفي والعقلي من ذي قبل، ومن ناحية أخرى، تهدف إلى تطويرها. يجب على الطلاب إتقان نظام المفاهيم والمصطلحات العلمية، وبالتالي فإن المواد الأكاديمية الجديدة تفرض متطلبات جديدة على أساليب اكتساب المعرفة وتهدف إلى تطوير مستوى أعلى من الذكاء - التفكير النظري والرسمي والتأملي. هذا النوع من التفكير نموذجي في مرحلة المراهقة، لكنه يبدأ في التطور لدى المراهقين الأصغر سنا.
والجديد في تطور تفكير المراهق يكمن في موقفه من المهام الفكرية كتلك التي تتطلب حلاً عقلياً أولياً لها. إن القدرة على العمل بالفرضيات في حل المشكلات الفكرية هي أهم اكتساب للمراهق في تحليل الواقع. يعد التفكير التخميني أداة مميزة للاستدلال العلمي، ولهذا يطلق عليه التفكير التأملي. على الرغم من أن استيعاب المفاهيم العلمية في المدرسة في حد ذاته يخلق عددًا من الشروط الموضوعية لتكوين التفكير النظري لدى تلاميذ المدارس، إلا أنه لا يتشكل لدى الجميع: قد يكون للطلاب المختلفين مستويات وجودة مختلفة لتكوينه الفعلي.
يمكن تشكيل التفكير النظري ليس فقط من خلال إتقان المعرفة المدرسية. يصبح الكلام خاضعًا للتحكم ويمكن التحكم فيه، وفي بعض المواقف المهمة شخصيًا، يسعى المراهقون بشكل خاص إلى التحدث بشكل جميل وصحيح. في هذه العملية ونتيجة لاستيعاب المفاهيم العلمية، يتم إنشاء محتوى جديد للتفكير، وأشكال جديدة من النشاط الفكري. من المؤشرات الهامة لعدم كفاية استيعاب المعرفة النظرية عدم قدرة المراهق على حل المشكلات التي تتطلب استخدام هذه المعرفة.
يبدأ المكان المركزي في احتلال تحليل محتوى المادة وأصالتها ومنطقها الداخلي. يتميز بعض المراهقين بالمرونة في اختيار طرق التعلم، والبعض الآخر يفضل طريقة واحدة، والبعض يحاول تنظيم أي مادة ومعالجتها بشكل منطقي. غالبًا ما تتطور القدرة على معالجة المواد بشكل منطقي تلقائيًا لدى المراهقين. لا يعتمد ذلك على الأداء الأكاديمي وعمق المعرفة وقوتها فحسب، بل تعتمد أيضًا على إمكانية تطوير ذكاء وقدرات المراهق بشكل أكبر.
§ 3. تنظيم الأنشطة التعليميةخصائص أطفال المدارس في الصفوف 7-9
يعد تنظيم الأنشطة التعليمية للمراهقين من أهم المهام وأكثرها تعقيدًا. طالب المدرسة المتوسطة قادر تمامًا على فهم حجج المعلم أو ولي الأمر والموافقة على الحجج المعقولة. ومع ذلك، نظرا لميزات التفكير المميزة لهذا العصر، لن يكون المراهق راضيا عن عملية توصيل المعلومات في شكل كامل جاهز. سيرغب في التحقق من موثوقيتها للتأكد من صحة أحكامه. تعد الخلافات مع المعلمين وأولياء الأمور والأصدقاء سمة مميزة لهذا العصر. دورهم المهم هو أنهم يسمحون لك بتبادل الآراء حول موضوع ما، والتحقق من صحة وجهات نظرك ووجهات النظر المقبولة بشكل عام، والتعبير عن نفسك. على وجه الخصوص، في التدريس، فإن إدخال المهام المبنية على المشكلات له تأثير كبير. تم تطوير أسس هذا النهج في التدريس في الستينيات والسبعينيات من القرن العشرين على يد المعلمين المحليين. أساس جميع الإجراءات في النهج القائم على المشكلة هو الوعي بنقص المعرفة لحل مشاكل محددة وحل التناقضات. في الظروف الحديثة، ينبغي تنفيذ هذا النهج في سياق مستوى إنجازات العلوم الحديثة ومهام التنشئة الاجتماعية للطلاب.
ومن المهم تشجيع التفكير المستقل، والتعبير عن وجهة نظر الطالب، والقدرة على المقارنة، وإيجاد السمات المشتركة والمميزة، وإبراز الشيء الرئيسي، وإقامة علاقات السبب والنتيجة، واستخلاص النتائج.
بالنسبة للمراهق، ستكون المعلومات المثيرة للاهتمام والرائعة التي تحفز خياله وتجعله يفكر، ذات أهمية كبيرة. يتم تحقيق تأثير جيد من خلال تغيير أنواع الأنشطة بشكل دوري - ليس فقط في الفصل، ولكن أيضًا عند إعداد الواجبات المنزلية. يمكن أن تصبح مجموعة متنوعة من أنواع العمل وسيلة فعالة للغاية لزيادة الاهتمام وطريقة مهمة لمنع التعب الجسدي العام المرتبط بالحمل التعليمي والعملية العامة لإعادة الهيكلة الجذرية للجسم أثناء فترة البلوغ. 20]
قبل دراسة الأقسام ذات الصلة من المناهج الدراسية، غالبًا ما يكون لدى الطلاب بالفعل بعض الأفكار والمفاهيم اليومية التي تسمح لهم بالتنقل بشكل جيد إلى حد ما في الممارسة اليومية. هذا الظرف، في الحالات التي لا يتم فيها لفت انتباههم على وجه التحديد إلى ربط المعرفة المكتسبة بالحياة العملية، يحرم العديد من الطلاب من الحاجة إلى اكتساب واستيعاب المعرفة الجديدة، لأن الأخير ليس له معنى عملي بالنسبة لهم.
تتشكل المثل الأخلاقية والمعتقدات الأخلاقية للمراهقين تحت تأثير العديد من العوامل، على وجه الخصوص، تعزيز الإمكانات التعليمية للتعلم. في حل مشاكل الحياة المعقدة، ينبغي إيلاء المزيد من الاهتمام للأساليب غير المباشرة للتأثير على وعي المراهقين: عدم تقديم حقيقة أخلاقية جاهزة، ولكن تؤدي إليها، وعدم التعبير عن الأحكام الفئوية التي يمكن أن ينظر إليها المراهقون معادية.
§ 4. البحث التربوي في منظومة المتطلبات الأساسية لمحتوى التعليم الرياضي ومستوى إعداد الطلاب
تعتبر المعادلات وعدم المساواة مع المعلمات مادة ممتازة للعمل البحثي الحقيقي. لكن المناهج الدراسية لا تتضمن مشاكل المعلمات كموضوع منفصل.
دعونا نحلل أقسام مختلفة من المستوى التعليمي للمدارس الروسية من وجهة نظر تحديد القضايا المتعلقة بالتعلم لحل المشكلات المتعلقة بالمعلمات.
تتيح دراسة مادة البرنامج لطلاب المدارس الابتدائية "الحصول على فهم أولي لمشكلة تتعلق بالمعاملات التي يمكن اختزالها إلى خطية وتربيعية" وتعلم كيفية إنشاء الرسوم البيانية للوظائف واستكشاف موقع هذه الرسوم البيانية في المستوى الإحداثي اعتمادًا على قيم المعلمات المدرجة في الصيغة.
لا يذكر سطر "الوظيفة" كلمة "معلمة" ولكنه يقول أن الطلاب لديهم الفرصة "لتنظيم وتطوير المعرفة بالوظيفة؛ تطوير ثقافة رسومية، وتعلم "قراءة" الرسوم البيانية بطلاقة، وعكس خصائص الوظيفة على الرسم البياني.
بعد تحليل الكتب المدرسية حول الجبر من قبل مجموعات من المؤلفين مثل: Alimov Sh. A. et al.، Makarychev Yu. et al.، Mordkovich A. G. et al.، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن المشكلات المتعلقة بالمعلمات في هذه الكتب المدرسية هي إعطاء القليل من الاهتمام. توجد في الكتب المدرسية للصف السابع عدة أمثلة على دراسة مسألة عدد جذور المعادلة الخطية، وعلى دراسة اعتماد موقع الرسم البياني للدالة الخطية y = kh و y = kh + b اعتمادًا على القيم من ك. في الكتب المدرسية للصفوف 8-9، في أقسام مثل "مشاكل العمل اللامنهجي" أو "تمارين التكرار"، يتم إعطاء 2-3 مهام لدراسة الجذور في المعادلات التربيعية والتربيعية مع المعلمات، وموقع الرسم البياني لـ دالة تربيعية اعتمادا على قيم المعلمات.
في برنامج الرياضيات للمدارس والفصول ذات الدراسة المتعمقة، تقول المذكرة التوضيحية "إن قسم "متطلبات الإعداد الرياضي للطلاب" يحدد المقدار التقريبي للمعرفة والمهارات والقدرات التي يجب على أطفال المدارس إتقانها. يشمل هذا النطاق، بالطبع، تلك المعرفة والقدرات والمهارات التي يتم توفير الاستحواذ الإلزامي لها من قبل جميع الطلاب من خلال متطلبات برنامج مدرسة التعليم العام؛ ومع ذلك، تم اقتراح جودة مختلفة وأعلى لتكوينها. يجب أن يكتسب الطلاب القدرة على حل المشكلات ذات مستوى أعلى من التعقيد من المستوى المطلوب من التعقيد، وصياغة المبادئ النظرية التي درسوها بدقة وكفاءة وتقديم تفكيرهم الخاص عند حل المشكلات..."
دعونا نحلل بعض الكتب المدرسية للطلاب ذوي الدراسة المتقدمة في الرياضيات.
إن صياغة مثل هذه المشكلات وحلولها لا تخرج عن نطاق المنهج المدرسي، ولكن الصعوبات التي يواجهها الطلاب يتم تفسيرها أولاً بوجود معلمة، وثانياً بتفرع الحل والإجابات. ومع ذلك، فإن ممارسة حل المشكلات باستخدام المعلمات مفيدة لتطوير وتعزيز القدرة على التفكير المنطقي المستقل وإثراء الثقافة الرياضية.
في فصول التعليم العام في المدرسة، كقاعدة عامة، يتم إيلاء اهتمام ضئيل لمثل هذه المهام. نظرًا لأن حل المعادلات والمتباينات باستخدام المعلمات ربما يكون القسم الأكثر صعوبة في دورة الرياضيات الابتدائية، فمن غير المستحسن تدريس حل مثل هذه المشكلات باستخدام المعلمات لجمهور تلاميذ المدارس، ولكن الطلاب الأقوياء الذين يظهرون الاهتمام والميل والقدرة على الرياضيات، الذين يسعون جاهدين للعمل بشكل مستقل، يعلمون أنه من الضروري بالتأكيد حل مثل هذه المهام. لذلك، إلى جانب خطوط المحتوى المنهجية التقليدية لدورة الرياضيات المدرسية مثل خط المعادلات الوظيفية والعددية والهندسية وخط التحولات المتطابقة، يجب أن يتخذ خط المعلمات أيضًا موضعًا معينًا. يجب بالطبع تحديد محتوى المادة ومتطلبات الطلاب حول موضوع "مشاكل المعلمات" من خلال مستوى الإعداد الرياضي للفصل بأكمله ككل ولكل فرد.
يجب على المعلم المساعدة في تلبية احتياجات وطلبات أطفال المدارس الذين يظهرون الاهتمام والكفاءة والقدرة في هذا الموضوع. فيما يتعلق بالقضايا التي تهم الطلاب، يمكن تنظيم المشاورات والنوادي والفصول الإضافية والاختيارية. وهذا ينطبق تماما على مسألة المشاكل مع المعلمات.
§ 5. البحث التربوي في هيكل النشاط المعرفي لأطفال المدارس
في الوقت الحالي، مسألة إعداد الطالب الذي يسعى إلى التصرف باستقلالية، بما يتجاوز متطلبات المعلم، الذي لا يقتصر نطاق اهتماماته وأبحاثه النشطة على المادة التعليمية المقدمة له، والذي يعرف كيف يقدم ويجادل الدفاع عن حله لمشكلة معينة، الذي يعرف كيفية تحديد أو، على العكس من ذلك، تعميم النتيجة قيد النظر، وتحديد علاقات السبب والنتيجة، وما إلى ذلك. وفي هذا الصدد، الدراسات التي تحلل أساسيات علم نفس الإبداع الرياضي في المدرسة - الأطفال في سن المراهقة ، دراسة مشكلة إدارة عملية النشاط العقلي للطلاب ، وتشكيل وتطوير مهاراتهم لاكتساب المعرفة بشكل مستقل ، وتطبيق المعرفة ، وتجديدها وتنظيمها ، ومشكلة زيادة نشاط النشاط المعرفي لأطفال المدارس (L.S. Vygotsky، P. Ya. Krutsky، N. A. Menchinskaya، S. L. Rubinstein، L. M. Friedman، إلخ).
تتضمن طريقة البحث في التدريس طريقتين للبحث: التربوية والعلمية.
يفترض حل جزء كبير من مشكلات دورة الرياضيات المدرسية أن الطلاب قد طوروا صفات مثل إتقان قواعد وخوارزميات الإجراءات وفقًا للبرامج الحالية، والقدرة على إجراء البحوث الأساسية. البحث في العلوم يعني دراسة كائن ما من أجل التعرف على أنماط حدوثه وتطور تحوله. تستخدم عملية البحث الخبرة السابقة المتراكمة والمعرفة الحالية وكذلك أساليب وأساليب (تقنيات) دراسة الأشياء. يجب أن تكون نتيجة البحث اكتساب معرفة علمية جديدة.
عند تطبيقها على عملية تدريس الرياضيات في المدرسة الثانوية، من المهم ملاحظة ما يلي: المكونات الرئيسية للبحث التربوي تشمل صياغة مشكلة البحث، والوعي بأهدافها، والتحليل الأولي للمعلومات المتاحة حول القضية قيد النظر، شروط وطرق حل المشكلات القريبة من مشكلة البحث، اقتراح وصياغة الفرضيات الأولية، تحليل وتعميم النتائج التي تم الحصول عليها أثناء الدراسة، التحقق من الفرضية الأولية بناءً على الحقائق التي تم الحصول عليها، الصياغة النهائية للنتائج والأنماط والخصائص الجديدة تحديد مكان الحل الموجود للمشكلة المطروحة في نظام المعرفة الموجودة. المكان الرئيسي بين كائنات البحث التربوي هو تلك المفاهيم والعلاقات في دورة الرياضيات المدرسية، في عملية الدراسة التي يتم الكشف عن أنماط تغييرها وتحولها، وشروط تنفيذها، والتفرد، وما إلى ذلك.
إمكانات جدية في تكوين مهارات البحث مثل القدرة على ملاحظة الفرضية أو مقارنتها أو طرحها أو إثباتها أو دحضها بشكل هادف ، والقدرة على التعميم ، وما إلى ذلك ، لديها مهام في بناء المعادلات والتباينات مع المعلمات في دورة الهندسة دورة الجبر، ما يسمى بالمشكلات الديناميكية، في عملية حلها يتقن الطلاب التقنيات الأساسية للنشاط العقلي: التحليل، والتوليف (التحليل من خلال التوليف، والتوليف من خلال التحليل)، والتعميم، والمواصفات، وما إلى ذلك، ويلاحظ بشكل هادف الأشياء المتغيرة ، يطرح ويصوغ فرضية فيما يتعلق بخصائص الأشياء قيد النظر، ويختبر الفرضية المطروحة، ويحدد مكان النتيجة المستفادة في نظام المعرفة المكتسبة مسبقًا، وأهميتها العملية. إن تنظيم البحث التربوي من قبل المعلم له أهمية حاسمة. طرق تدريس النشاط العقلي والقدرة على تنفيذ عناصر البحث - تجذب هذه الأهداف باستمرار انتباه المعلم وتشجعه على إيجاد إجابات للعديد من الأسئلة المنهجية المتعلقة بحل المشكلة قيد النظر.
توفر دراسة العديد من قضايا البرنامج فرصًا ممتازة لإنشاء صورة أكثر شمولية واكتمالًا مرتبطة بالنظر في مشكلة معينة.
في عملية البحث التربوي، يتم تجميع المعرفة والخبرة التي تراكمت لدى الطالب في دراسة الأشياء الرياضية. من الأهمية الحاسمة في تنظيم البحث التربوي للطالب جذب انتباهه (أولاً بشكل غير طوعي، ثم طوعي)، وتهيئة الظروف للملاحظة: ضمان الوعي العميق، والموقف الضروري للطالب تجاه العمل، وموضوع الدراسة ("https:/ / الموقع "، 9).
في تدريس الرياضيات المدرسية، هناك مستويان مرتبطان ارتباطًا وثيقًا بالبحث التربوي: التجريبي والنظري. الأول يتميز بملاحظة الحقائق الفردية وتصنيفها وإقامة علاقة منطقية بينها يمكن التحقق منها بالتجربة. يختلف المستوى النظري للبحث التربوي من حيث أنه نتيجة لذلك يقوم الطالب بصياغة قوانين رياضية عامة، على أساسها لا يتم تفسير الحقائق الجديدة فحسب، بل يتم أيضًا تفسير تلك التي تم الحصول عليها على المستوى التجريبي بشكل أعمق.
يتطلب إجراء البحث التربوي من الطالب استخدام كل من الأساليب المحددة المميزة للرياضيات فقط والطرق العامة ؛ التحليل والتوليف والاستقراء والاستنباط وما إلى ذلك المستخدمة في دراسة الأشياء والظواهر في مختلف التخصصات المدرسية.
إن تنظيم البحث التربوي من قبل المعلم له أهمية حاسمة. في التطبيق على عملية تدريس الرياضيات في المدرسة الثانوية، من المهم ملاحظة ما يلي: المكونات الرئيسية للبحث التربوي تشمل صياغة مشكلة البحث، والوعي بأهدافها، والتحليل الأولي للمعلومات المتاحة حول القضية قيد النظر، شروط وطرق حل المشكلات القريبة من مشكلة البحث، اقتراح وصياغة الفرضية الأولية، تحليل وتعميم النتائج التي تم الحصول عليها أثناء الدراسة، التحقق من الفرضية الأولية بناء على الحقائق التي تم الحصول عليها، الصياغة النهائية للنتائج والأنماط الجديدة، الخصائص وتحديد مكان الحل الموجود للمشكلة المطروحة في نظام المعرفة الموجودة. المكان الرئيسي بين كائنات البحث التربوي هو تلك المفاهيم والعلاقات في دورة الرياضيات المدرسية، في عملية الدراسة التي يتم الكشف عن أنماط تغييرها وتحولها، وشروط تنفيذها، والتفرد، وما إلى ذلك.
مناسبة للبحث التربوي هي المواد المتعلقة بدراسة الوظائف التي تمت دراستها في مقرر الجبر. على سبيل المثال، النظر في وظيفة خطية.
الواجب: التحقيق في دالة خطية للزوجي والفردي. ملحوظة: خذ بعين الاعتبار الحالات التالية:
2) أ = 0 و ب؟ 0;
3) أ؟ 0 و ب = 0؛
4 ا؟ 0 و ب؟ 0.
نتيجة البحث، املأ الجدول مع الإشارة إلى النتيجة التي تم الحصول عليها عند تقاطع الصف والعمود المقابل.
ونتيجة الحل يجب أن يحصل الطلاب على الجدول التالي:
زوجى و فردى | ||
غريب | لا حتى ولا غريب |
يثير تناسقها شعوراً بالرضا والثقة في صحة الحشو.
يلعب تكوين أساليب النشاط العقلي دورًا مهمًا في التنمية الشاملة لأطفال المدارس ومن أجل غرس مهارات إجراء البحوث التعليمية (بشكل عام أو في أجزاء) في نفوسهم.
نتيجة البحث التربوي هي معرفة جديدة بشكل شخصي حول خصائص الكائن (العلاقة) قيد النظر وتطبيقاتها العملية. قد يتم أو لا يتم تضمين هذه الخصائص في منهج الرياضيات في المدرسة الثانوية. من المهم ملاحظة أن حداثة نتيجة نشاط الطالب تتحدد حسب طبيعة البحث عن طريقة لتنفيذ النشاط، وطريقة النشاط نفسها، ومكان النتيجة التي تم الحصول عليها في نظام المعرفة من ذلك الطالب.
تسمى طريقة تدريس الرياضيات باستخدام البحث التربوي بالبحث، بغض النظر عما إذا كان مخطط البحث التربوي يتم تنفيذه بالكامل أو في أجزاء.
عند تنفيذ كل مرحلة من مراحل البحث التربوي، من الضروري وجود عناصر الأداء والنشاط الإبداعي. ويلاحظ هذا بوضوح أكبر في حالة قيام الطالب بإجراء دراسة معينة بشكل مستقل. كما يمكن خلال البحث التربوي تنفيذ بعض المراحل من قبل المعلم، والبعض الآخر من قبل الطالب نفسه. يعتمد مستوى الاستقلال على العديد من العوامل، على وجه الخصوص، على مستوى التكوين، والقدرة على مراقبة كائن معين (عملية)، والقدرة على تركيز الاهتمام على نفس الموضوع، وأحيانًا لفترة طويلة جدًا، والقدرة على رؤية المشكلة، وصياغتها بشكل واضح لا لبس فيه، والقدرة على إيجاد واستخدام الارتباطات المناسبة (غير المتوقعة في بعض الأحيان)، والقدرة على تحليل المعرفة الموجودة بشكل مكثف من أجل اختيار المعلومات الضرورية، وما إلى ذلك.
ومن المستحيل أيضًا المبالغة في تقدير تأثير خيال الطالب وحدسه وإلهامه وقدرته (وربما الموهبة أو العبقرية) على نجاح أنشطته البحثية.
§ 6 . بحث في نظام طرق التدريس
تم تخصيص أكثر من اثنتي عشرة دراسة أساسية لأساليب التدريس، والتي يعتمد عليها النجاح الكبير لعمل المعلم والمدرسة ككل. وعلى الرغم من ذلك، فإن مشكلة أساليب التدريس، سواء في نظرية التدريس أو في الممارسة التربوية، لا تزال ذات صلة للغاية. مفهوم طريقة التدريس معقد للغاية. ويرجع ذلك إلى التعقيد الاستثنائي للعملية التي تهدف هذه الفئة إلى عكسها. يعتبر العديد من المؤلفين أن طريقة التدريس هي وسيلة لتنظيم الأنشطة التعليمية والمعرفية للطلاب.
كلمة "طريقة" من أصل يوناني وتُرجمت إلى اللغة الروسية وتعني البحث والطريقة. "الطريقة - بالمعنى الأكثر عمومية - هي طريقة لتحقيق الهدف، وهي طريقة معينة لتنظيم النشاط." من الواضح أن الطريقة في عملية التعلم تعمل كحلقة وصل بين أنشطة المعلم والطلاب لتحقيق أهداف تعليمية معينة. من وجهة النظر هذه، تتضمن كل طريقة تدريس بشكل عضوي العمل التدريسي للمعلم (العرض التقديمي وشرح المادة التي تتم دراستها) وتنظيم النشاط التعليمي والمعرفي النشط للطلاب. وبالتالي فإن مفهوم طريقة التدريس يعكس:
1. أساليب العمل التدريسي للمعلم وأساليب العمل التربوي للطلاب في علاقتهم المتبادلة.
2. خصوصية عملهم لتحقيق أهداف التعلم المختلفة. وبالتالي، فإن أساليب التدريس هي طرق للنشاط المشترك بين المعلم والطلاب تهدف إلى حل مشاكل التعلم، أي المهام التعليمية.
وهذا يعني أن طرق التدريس يجب أن تُفهم على أنها أساليب العمل التدريسي للمعلم وتنظيم الأنشطة التعليمية والمعرفية للطلاب لحل المهام التعليمية المختلفة التي تهدف إلى إتقان المادة قيد الدراسة. إحدى المشاكل الحادة في علم التعليم الحديث هي مشكلة تصنيف طرق التدريس. حاليا لا توجد وجهة نظر واحدة حول هذه القضية. نظرًا لحقيقة أن مؤلفين مختلفين يبنون تقسيم طرق التدريس إلى مجموعات ومجموعات فرعية وفقًا لمعايير مختلفة، فهناك عدد من التصنيفات. ولكن في العشرينات من القرن العشرين، كان هناك صراع في علم أصول التدريس السوفييتي ضد أساليب التدريس المدرسي والتعلم الميكانيكي عن ظهر قلب، التي ازدهرت في المدرسة القديمة، وتم البحث عن أساليب من شأنها أن تضمن اكتساب الطلاب الواعي والنشط والإبداعي للمعرفة. في تلك السنوات، طور المعلم B. V. Vieviatsky الموقف القائل بأنه لا يمكن أن يكون هناك سوى طريقتين في التدريس: طريقة البحث وطريقة المعرفة الجاهزة. وبطبيعة الحال، تم انتقاد طريقة المعرفة الجاهزة. تم الاعتراف بطريقة البحث، التي يتلخص جوهرها في حقيقة أنه من المفترض أن يتعلم الطلاب كل شيء على أساس ملاحظة وتحليل الظواهر التي تتم دراستها، والاقتراب بشكل مستقل من الاستنتاجات اللازمة، باعتبارها طريقة التدريس الأكثر أهمية. قد لا يتم تطبيق نفس طريقة البحث في الفصل الدراسي على جميع المواضيع.
كما أن جوهر هذه الطريقة هو أن المعلم يقوم بتقسيم المشكلة الإشكالية إلى مشاكل فرعية، ويقوم الطلاب بتنفيذ خطوات فردية للعثور على حل لها. تتضمن كل خطوة نشاطًا إبداعيًا، لكن لا يوجد حل شامل للمشكلة حتى الآن. أثناء البحث، يتقن الطلاب أساليب المعرفة العلمية ويطورون الخبرة في الأنشطة البحثية. يتمثل نشاط الطلاب الذين تم تدريبهم باستخدام هذه الطريقة في إتقان تقنيات طرح المشكلات بشكل مستقل، وإيجاد طرق لحلها، ومهام البحث، وطرح المشكلات التي يقدمها المعلمون لهم وتطويرها.
ويمكن أيضًا ملاحظة أن علم النفس يؤسس بعض الأنماط مع علم نفس النمو. قبل البدء في العمل مع الطلاب باستخدام الأساليب، تحتاج إلى دراسة طرق دراسة علم النفس التنموي الخاص بهم بدقة. يمكن أن يكون الإلمام بهذه الأساليب ذا فائدة عملية مباشرة لمنظمي هذه العملية، لأن هذه الأساليب مناسبة ليس فقط للبحث العلمي الخاص بالفرد، ولكن أيضًا لتنظيم دراسة متعمقة للأطفال لأغراض تعليمية عملية. يفترض النهج الفردي للتدريب والتعليم معرفة جيدة وفهمًا للخصائص النفسية الفردية للطلاب وتفرد شخصيتهم. وبالتالي، يحتاج المعلم إلى إتقان القدرة على دراسة الطلاب، ليس لرؤية كتلة طلابية رمادية متجانسة، ولكن جماعية يمثل فيها الجميع شيئًا خاصًا وفرديًا وفريدًا من نوعه. مثل هذه الدراسة هي مهمة كل معلم، لكنها لا تزال بحاجة إلى تنظيمها بشكل صحيح.
إحدى الطرق الرئيسية للتنظيم هي طريقة الملاحظة. وبطبيعة الحال، لا يمكن ملاحظة النفس مباشرة. تتضمن هذه الطريقة معرفة غير مباشرة بالخصائص الفردية لنفسية الإنسان من خلال دراسة سلوكه. وهذا يعني أنه من الضروري هنا الحكم على الطالب من خلال الخصائص الفردية (الأفعال، والأفعال، والكلام، والمظهر، وما إلى ذلك)، والحالة العقلية للطالب (عمليات الإدراك، والذاكرة، والتفكير، والخيال، وما إلى ذلك)، ومن خلال سمات شخصيته، مزاجه، شخصيته. كل هذا ضروري للطالب الذي يعمل معه المعلم باستخدام طريقة البحث في التدريس عند أداء بعض المهام.
يفترض حل جزء كبير من مشكلات دورة الرياضيات المدرسية أن الطلاب قد طوروا صفات مثل إتقان قواعد وخوارزميات العمل وفقًا للبرامج الحالية، والقدرة على إجراء البحوث الأساسية. البحث في العلوم يعني دراسة الشيء للتعرف على أنماط حدوثه وتطوره وتحوله. تستخدم عملية البحث الخبرة السابقة المتراكمة والمعرفة الحالية وكذلك أساليب وأساليب (تقنيات) دراسة الأشياء. يجب أن تكون نتيجة البحث اكتساب معرفة علمية جديدة. طرق تدريس النشاط العقلي والقدرة على تنفيذ عناصر البحث - تجذب هذه الأهداف باستمرار انتباه المعلم وتشجعه على إيجاد إجابات للعديد من الأسئلة المنهجية المتعلقة بحل المشكلة قيد النظر. توفر دراسة العديد من قضايا البرنامج فرصًا ممتازة لإنشاء صورة أكثر شمولية واكتمالًا مرتبطة بالنظر في مهمة معينة. يتناسب أسلوب البحث في تدريس الرياضيات بشكل طبيعي مع تصنيف طرق التدريس حسب طبيعة أنشطة الطلاب ودرجة استقلالهم المعرفي. لتنظيم النشاط البحثي للطالب بنجاح، يجب على المعلم أن يفهم ويأخذ في الاعتبار كلاً من صفاته الشخصية والسمات الإجرائية لهذا النوع من النشاط، فضلاً عن مستوى إتقان الطالب لمواد الدورة المدروسة. من المستحيل المبالغة في تقدير تأثير خيال الطالب وحدسه وإلهامه وقدرته على نجاح أنشطته البحثية.
يمكن أن تكون أشكال المهام في طريقة البحث مختلفة. يمكن أن تكون هذه المهام التي يمكن حلها بسرعة في الفصل وفي المنزل، أو المهام التي تتطلب درسًا كاملاً. يجب أن تكون معظم المهام البحثية عبارة عن مهام بحث صغيرة تتطلب إكمال جميع خطوات عملية البحث أو معظمها. سيضمن حلها الكامل أن طريقة البحث تؤدي وظائفها. مراحل عملية البحث هي كما يلي:
1 الملاحظة الهادفة والمقارنة بين الحقائق والظواهر.
تحديد الظواهر غير الواضحة التي سيتم التحقيق فيها.
التحليل الأولي للمعلومات المتاحة حول القضية قيد النظر.
4. اقتراح وصياغة الفرضية.
5. بناء خطة البحث.
تنفيذ الخطة وتوضيح ارتباطات الظاهرة محل الدراسة مع غيرها.
صياغة نتائج وأنماط وخصائص جديدة وتحديد مكان الحل الموجود للبحث المعين في نظام المعرفة الموجودة.
التحقق من الحل الموجود.
استنتاجات عملية حول التطبيق المحتمل للمعرفة الجديدة.
§ 7 . القدرة على البحث في النظملدينا معرفة خاصة
المهارة هي التطبيق الواعي لمعارف ومهارات الطالب لأداء إجراءات معقدة في ظروف مختلفة، أي لحل المشكلات ذات الصلة، لأن تنفيذ كل إجراء معقد يعمل بالنسبة للطالب كحل للمشكلة.
يمكن تقسيم مهارات البحث إلى عامة وخاصة. تشمل مهارات البحث العامة، التي يتم تكوينها وتطويرها في عملية حل المشكلات ذات المعلمات، ما يلي: القدرة على رؤية ما وراء معادلة معينة ذات معلمة فئات مختلفة من المعادلات، تتميز بالوجود المشترك لعدد ونوع الجذور. القدرة على إتقان الأساليب التحليلية والتحليلية الرسومية.
تشمل مهارات البحث الخاصة المهارات التي يتم تشكيلها وتطويرها في عملية حل فئة معينة من المشكلات.
عند حل المعادلات الخطية التي تحتوي على معلمة، يتم تشكيل المهارات الخاصة التالية:
§ القدرة على تحديد قيم المعلمات الخاصة التي تحتوي عندها معادلة خطية معينة على:
جذر واحد؛
عدد لا نهائي من الجذور؛
3) ليس له جذور.
القدرة على تفسير الإجابة بلغة المهمة الأصلية. تشمل المهارات البحثية الخاصة، التي يتم تكوينها وتطويرها في عملية حل المتباينات الخطية التي تحتوي على معلمة، ما يلي:
§ القدرة على رؤية معامل المجهول والحد الحر كدالة للمعلمة؛
§ القدرة على تحديد قيم المعلمات الخاصة التي يكون عندها عدم المساواة الخطية كحل:
1) الفاصل الزمني.
2) ليس لديه حلول.
§ القدرة على تفسير الإجابة بلغة المهمة الأصلية مهارات البحث الخاصة التي يحدث تكوينها وتطويرها في عملية حل المعادلات التربيعية التي تحتوي على معلمة، تشمل:
§ القدرة على تحديد قيمة خاصة للمعلمة يصبح عندها المعامل الرئيسي صفراً، أي تصبح المعادلة خطية وإيجاد حل للمعادلة الناتجة للقيم الخاصة المحددة للمعلمة؛
§ القدرة على حل مسألة وجود وعدد جذور معادلة تربيعية معينة اعتمادا على علامة المميز؛
§ القدرة على التعبير عن جذور المعادلة التربيعية من خلال معلمة (إن وجدت)؛
من بين مهارات البحث الخاصة التي يتم تكوينها وتطويرها في عملية حل المعادلات الكسرية التي تحتوي على معلمة يمكن اختزالها إلى معادلات تربيعية، ما يلي:
§ القدرة على اختزال معادلة كسرية تحتوي على معلمة إلى معادلة تربيعية تحتوي على معلمة.
تشمل مهارات البحث الخاصة، التي يتم تكوينها وتطويرها في عملية حل المتباينات التربيعية التي تحتوي على معلمة، ما يلي:
§ القدرة على تحديد قيمة خاصة للمتغير الذي يصبح عنده المعامل الرئيسي صفراً، أي أن المتباينة تصبح خطية وإيجاد العديد من الحلول للمتباينة الناتجة للقيم الخاصة للمعلمة؛
§ القدرة على التعبير عن مجموعة الحلول للمتباينة التربيعية من خلال معلمة.
المدرجة أدناه هي المهارات التعليمية التي تترجم إلى التدريس والبحث، فضلا عن مهارات البحث.
6−7 الصف:
- استخدام المعرفة القديمة بسرعة في حالة اكتساب مهارات جديدة؛
- نقل مجمع الإجراءات العقلية بحرية من مادة إلى أخرى، من موضوع إلى آخر؛
توزيع المعرفة المكتسبة على مجموعة كبيرة من الأشياء؛
الجمع بين عملية "انهيار" و"توسيع" المعرفة؛
تلخيص أفكار النص بشكل هادف من خلال إبراز الأفكار الرئيسية في أجزاءه وأجزائه؛
تنظيم وتصنيف المعلومات؛
— مقارنة المعلومات حول أنظمة الخصائص، وتسليط الضوء على أوجه التشابه والاختلاف؛
- القدرة على ربط اللغة الرمزية بالكلام المكتوب والشفوي؛
— تحليل وتخطيط أساليب العمل المستقبلي؛
"الربط" بسرعة وبحرية بمكونات المعرفة الجديدة؛
تكون قادرًا على تقديم الأفكار والحقائق الرئيسية للنص بإيجاز؛
- الحصول على معرفة جديدة من خلال الانتقال من المعرفة المتعلقة بتكوين النظام إلى المعرفة المحددة بمساعدة المخططات والجداول والملاحظات وما إلى ذلك؛
استخدام أشكال مختلفة من التسجيل أثناء عملية الاستماع الطويلة؛
اختيار الحلول المثلى.
إثبات أو دحض باستخدام التقنيات المترابطة؛
- استخدام أنواع مختلفة من التحليل والتوليف؛
- النظر في المشكلة من وجهات نظر مختلفة؛
— التعبير عن الحكم في شكل خوارزمية الأفكار.
يجب أن يحظى تعليم الرياضيات في عمليات تكوين التفكير أو التطور العقلي للطلاب بمكانة خاصة، لأن وسائل تدريس الرياضيات تؤثر بشكل أكثر فعالية على العديد من المكونات الأساسية للشخصية بأكملها، وقبل كل شيء، التفكير.
وبالتالي، يتم إيلاء اهتمام خاص لتنمية تفكير الطالب، لأنه على وجه التحديد هو الذي يرتبط بجميع الوظائف العقلية الأخرى: الخيال، ومرونة العقل، واتساع وعمق الفكر، وما إلى ذلك. دعونا نلاحظ أنه عند النظر في تطوير التفكير في سياق التعلم المتمركز حول الطالب، يجب على المرء أن يتذكر أن الشرط الضروري لتنفيذ هذا التطوير هو إضفاء الطابع الفردي على التعلم. وهذا هو الذي يضمن مراعاة خصائص النشاط العقلي للطلاب من مختلف الفئات.
الطريق إلى الإبداع فردي. وفي الوقت نفسه، يجب أن يشعر جميع الطلاب في عملية دراسة الرياضيات بطبيعتها الإبداعية، وأن يتعرفوا في عملية تعلم الرياضيات على بعض مهارات النشاط الإبداعي التي سيحتاجون إليها في حياتهم وأنشطتهم المستقبلية. لحل هذه المشكلة المعقدة، يجب هيكلة تدريس الرياضيات بحيث يبحث الطالب غالبًا عن مجموعات جديدة، وتحول الأشياء، والظواهر، وعمليات الواقع، ويبحث عن روابط غير معروفة بين الأشياء.
طريقة ممتازة لتعريف الطلاب بالنشاط الإبداعي عندما يكون تدريس الرياضيات عملاً مستقلاً بجميع أشكاله ومظاهره. من الأساسي جدًا في هذا الصدد تصريح الأكاديمي P. L. Kapitsa بأن الاستقلال هو أحد أهم الصفات الأساسية للشخصية الإبداعية، حيث أن تنمية القدرات الإبداعية لدى الشخص تعتمد على تنمية التفكير المستقل.
يمكن تحديد مستوى استعداد الطلاب ومجموعات الدراسة للنشاط الإبداعي المستقل من خلال الإجابة على الأسئلة التالية:
ما مدى فعالية أطفال المدارس في استخدام الملاحظات والملاحظات المرجعية وقراءة المخططات والأنواع المختلفة من الجداول؟
هل يعرف الطلاب كيفية تقييم الأفكار المقترحة بشكل موضوعي عند حل مشكلة ما من قبل المعلم، ومراعاة إمكانية تطبيقها؟ 3) ما مدى سرعة انتقال تلاميذ المدارس من طريقة لحل مشكلة إلى أخرى؟ 4) تحليل فعالية توجيه الطلاب أثناء الدرس إلى التنظيم الذاتي للعمل المستقل؛ 5) استكشاف قدرة الطلاب على النمذجة وحل المشكلات بمرونة.
الفصل الثاني: التحليل المنهجي لموضوع "المعادلات والمتباينات ذات المعلمات" وتطوير مقرر اختياري "المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمات"
§ 1. دور و مكان حدودي المعادلات و عدم المساواة في التشكيل بحث مهارةالطلاب
على الرغم من أن منهج الرياضيات في المدرسة الثانوية لا يذكر بشكل صريح مشاكل المعلمات، سيكون من الخطأ القول إن مسألة حل المشكلات مع المعلمات لا يتم تناولها بأي حال من الأحوال في دورة الرياضيات المدرسية. ويكفي أن نتذكر المعادلات المدرسية: ax2+bx+c=0، y=khx، y=khx+b، ax=b، حيث a، b، c، k ليست أكثر من معلمات. ولكن في إطار الدورة المدرسية، لا يركز الاهتمام على هذا المفهوم، المعلمة، كيف يختلف عن المجهول.
تظهر التجربة أن المشكلات المتعلقة بالمعلمات هي القسم الأكثر تعقيدًا في الرياضيات الابتدائية من الناحية المنطقية والتقنية، على الرغم من أن المحتوى الرياضي لهذه المشكلات من وجهة نظر رسمية لا يتجاوز حدود البرامج. يحدث هذا بسبب اختلاف وجهات النظر حول المعلمة. من ناحية، يمكن اعتبار المعلمة كمتغير، والتي تعتبر قيمة ثابتة عند حل المعادلات والمتباينات؛ ومن ناحية أخرى، المعلمة هي كمية لم يتم إعطاء قيمتها العددية، ولكن يجب اعتبارها معروفة، و يمكن أن تأخذ المعلمة قيمًا عشوائية، أي أن المعلمة، كونها رقمًا ثابتًا ولكن غير معروف، لها طبيعة مزدوجة. أولاً، تسمح المعرفة المفترضة بمعاملة المعلمة كرقم، وثانيًا، درجة الحرية محدودة بسبب عدم معرفتها.
يوجد عدم يقين في كل وصف لطبيعة المعلمات - في أي مراحل من الحل يمكن اعتبار المعلمة ثابتة ومتى تلعب دور المتغير. كل هذه الخصائص المتناقضة للمعلمة يمكن أن تسبب حاجزًا نفسيًا معينًا لدى الطلاب في بداية معارفهم.
في هذا الصدد، في المرحلة الأولية للتعرف على المعلمة، من المفيد للغاية اللجوء إلى التفسير المرئي والرسومي للنتائج التي تم الحصول عليها في كثير من الأحيان قدر الإمكان. هذا لا يسمح للطلاب بالتغلب على عدم اليقين الطبيعي للمعلمة فحسب، بل يمنح المعلم أيضًا الفرصة، بالتوازي، كعلم تمهيدي، لتعليم الطلاب استخدام أساليب الإثبات الرسومية عند حل المشكلات. يجب ألا ننسى أيضًا أن استخدام الرسوم التوضيحية التخطيطية على الأقل في بعض الحالات يساعد في تحديد اتجاه البحث، ويسمح لنا أحيانًا باختيار مفتاح حل المشكلة على الفور. في الواقع، بالنسبة لأنواع معينة من المشكلات، حتى الرسم البدائي، بعيدًا عن الرسم البياني الحقيقي، يجعل من الممكن تجنب أنواع مختلفة من الأخطاء والحصول على إجابة للمعادلة أو عدم المساواة بطريقة أبسط.
يعد حل المشكلات الرياضية بشكل عام أصعب جزء من أنشطة تلاميذ المدارس عند دراسة الرياضيات وهذا ما يفسره حقيقة أن حل المشكلات يتطلب مستوى عالٍ إلى حد ما من تنمية الذكاء على أعلى مستوى، أي التفكير النظري والرسمي والتأملي، وما إلى ذلك التفكير، كما أشرنا سابقًا، لا يزال يتطور خلال فترة المراهقة.
مؤسسة تعليمية لميزانية الدولة
منطقة السمارة التعليم الثانوي العام
المدرسة رقم 2 سميت باسم. V. سكة حديد ماسكينا فن. كليافلينو
منطقة بلدية كليافلينسكي
منطقة سمارة
«المعادلات
و
عدم المساواة
مع المعلمات"
درس تعليمي
كليافلينو
درس تعليمي
"المعادلات والمتباينات مع المعلمات"للطلاب في الصفوف 10-11
يعد هذا الدليل ملحقًا لبرنامج الدورة الاختيارية "المعادلات والمتباينات مع المعلمات" التي اجتازت اختبارًا خارجيًا (أوصى مجلس الخبراء العلمي والمنهجي التابع لوزارة التربية والتعليم والعلوم في منطقة سمارة بتاريخ 19 ديسمبر 2008 بـ استخدامها في المؤسسات التعليمية في منطقة سمارة)
المؤلفون
رومادانوفا إيرينا فلاديميروفنا
مدرس الرياضيات في مؤسسة Klyavlinskaya التعليمية الثانوية
المدرسة رقم 2 سميت باسم. V. Maskina، منطقة Klyavlinsky، منطقة سمارة
سيربايفا إيرينا ألكسيفنا
مقدمة ……………………………………………………………………………………………………………………………… 3-4
المعادلات الخطية والمتباينات ذات المعلمات.................4-7
المعادلات التربيعية والمتباينات ذات المعلمات ............... 7-9
معادلات كسرية عقلانية ذات معلمات ...............10-11
المعادلات غير المنطقية والمتباينات ذات المعلمات……11-13
المعادلات المثلثية والمتباينات مع المعلمات.14-15
المعادلات الأسية والمتباينات ذات المعلمات………16-17
المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات ذات المعلمات......16-18
أهداف امتحان الدولة الموحدة ……………………………………………………………………………………………………………...18-20
مهام العمل المستقل……………………… 21-28
مقدمة.
المعادلات والمتباينات مع المعلمات.
إذا لم يتم إعطاء بعض المعاملات في معادلة أو متباينة بقيم عددية محددة، ولكن تم تحديدها بأحرف، فإنها تسمى حدود،والمعادلة أو عدم المساواة نفسها حدودي.
من أجل حل معادلة أو عدم المساواة مع المعلمات تحتاج إلى:
يختار معنى خاص- هذه هي قيمة المعلمة التي يتغير فيها أو عند المرور من خلالها حل المعادلة أو المتباينة.
يُعرِّف قيم صالحة- هذه هي قيم المعلمة التي تكون عندها المعادلة أو المتباينة منطقية.
حل معادلة أو متباينة ذات معلمات يعني:
1) تحديد ما هي حلول قيم المعلمات؛
2) لكل نظام مقبول لقيم المعلمات، ابحث عن مجموعة الحلول المقابلة.
يمكنك حل معادلة ذات معلمة باستخدام الطرق التالية: التحليلية أو الرسومية.
المنهج التحليلي تتضمن مهمة دراسة المعادلة من خلال النظر في عدة حالات، لا يمكن تفويت أي منها.
يتضمن حل المعادلات والمتباينات ذات المعلمات من كل نوع باستخدام طريقة تحليلية تحليلًا تفصيليًا للموقف وإجراء بحث متسق، حيث تنشأ الحاجة لذلك "التعامل الدقيق"مع المعلمة.
طريقة رسومية يتضمن إنشاء رسم بياني للمعادلة، والذي يمكن من خلاله تحديد كيفية تأثير التغيير في المعلمة على حل المعادلة، على التوالي. يسمح لك الرسم البياني أحيانًا بصياغة الشروط اللازمة والكافية لحل المشكلة بشكل تحليلي. تكون طريقة الحل الرسومية فعالة بشكل خاص عندما تحتاج إلى تحديد عدد جذور المعادلة اعتمادًا على المعلمة ولها ميزة لا شك فيها تتمثل في رؤية ذلك بوضوح.
§ 1. المعادلات الخطية والمتباينات.
معادلة خط مستقيم أ س = ب , مكتوبة بشكل عام، يمكن اعتبارها معادلة ذات معلمات، حيث س - مجهول , أ , ب - خيارات. في هذه المعادلة، القيمة الخاصة أو قيمة التحكم للمعلمة هي القيمة التي يصبح عندها معامل المجهول صفرًا.
عند حل معادلة خطية ذات معلمة، يتم مراعاة الحالات التي تكون فيها المعلمة مساوية لقيمتها الخاصة ومختلفة عنها.
قيمة المعلمة الخاصة أ هي القيمة أ = 0.
ب = 0 هي قيمة معلمة خاصة ب .
في ب ¹ 0 المعادلة ليس لها حلول.
في ب = 0 المعادلة سوف تأخذ الشكل : 0س = 0. حل هذه المعادلة هو أي عدد حقيقي.
عدم المساواة في النموذج اه> ب و فأس < ب (أ ≠ 0)تسمى عدم المساواة الخطية. مجموعة من الحلول لعدم المساواة اه>ب- فاصلة
(; +
),
لو أ
> 0
، و (-;)
، لو أ< 0
. وبالمثل بالنسبة لعدم المساواة
أوه<
ب
مجموعة من الحلول - الفاصل الزمني(-;),
لو أ
> 0,
و (; +),
لو أ< 0.
مثال 1. حل المعادلة الفأس = 5
حل: هذه معادلة خطية.
لو أ = 0، ثم المعادلة 0 × س = 5ليس لديه حل.
لو أ¹ 0، س =- حل المعادلة.
إجابة: في أ¹ 0، س =
ل= 0 لا يوجد حل.
مثال 2. حل المعادلة الفأس – 6 = 2أ – 3س.
حل:هذه معادلة خطية الفأس – 6 = 2أ – 3س (1)
الفأس + 3س = 2أ +6
إعادة كتابة المعادلة كما (أ+3)س = 2(أ+3)، النظر في حالتين:
أ= -3و أ¹ -3.
لو أ= -3، ثم أي عدد حقيقي Xهو جذر المعادلة (1). لو أ¹ -3 المعادلة (1) لها جذر واحد س = 2.
إجابة:في أ = -3، س 
ر
;
في أ
¹
-3، س = 2.
مثال 3. في ما قيم المعلمة أبين جذور المعادلة
2ah – 4kh – أ 2 + 4أ – 4 = 0هناك المزيد من الجذور 1 ?
حل: دعونا نحل المعادلة 2ah – 4kh – أ 2 + 4أ – 4 = 0- معادلة خط مستقيم
2(أ - 2) س = أ 2 - 4أ +4
2(أ - 2) س = (أ - 2) 2
في أ = 2حل المعادلة 0س = 0سيكون أي رقم، بما في ذلك واحد أكبر من 1.
في أ¹
2 س = 
.
بالشرط س > 1، إنه > 1 و > 4.
إجابة:في أ (2) ش (4؛∞).
مثال 4 . لكل قيمة المعلمة أأوجد عدد جذور المعادلة آه = 8.
حل. الفأس = 8- معادلة خط مستقيم.
ذ = أ- عائلة الخطوط الأفقية؛
ذ = - الرسم البياني هو القطع الزائد. دعونا نبني الرسوم البيانية لهذه الوظائف.
الجواب: إذا أ = 0، فالمعادلة ليس لها حلول. لو أ ≠ 0، فالمعادلة لها حل واحد.
مثال 5 . باستخدام الرسوم البيانية، اكتشف عدد جذور المعادلة:
|س| = آه – 1.
ص =| س | ,
ذ = آه – 1- الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يمر عبر نقطة ما (0;-1).
دعونا نبني الرسوم البيانية لهذه الوظائف.
الجواب: متى |أ|>1- جذر واحد
في | أ|≤1 - المعادلة ليس لها جذور.
مثال 6 . حل عدم المساواة الفأس + 4 > 2س + أ 2
حل
:
الفأس + 4 > 2س + أ
2
(أ – 2) س>أ
2
– 4. دعونا ننظر في ثلاث حالات.
إجابة. س > أ + 2في أ> 2؛ X<а + 2, في أ< 2; في أ=2لا توجد حلول.
§ 2. المعادلات التربيعية والمتباينات
معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة النموذج أوه ² + ب س + ج = 0 , أين أ≠ 0،
أ، ب ، مع - خيارات.
لحل المعادلات التربيعية ذات المعلمة، يمكنك استخدام طرق الحل القياسية باستخدام الصيغ التالية:
1
)
مميز المعادلة التربيعية:
د
=
ب
² - 4
تيار متردد
,
(
²-
ميلان)
2)
صيغ لجذور المعادلة التربيعية:X
1
=
، اكس
2
=
,
(x
1,2 =
)
تسمى المتباينات التربيعية
أ X 2 + ب س + ج > 0،أ X 2 + ب س + ج< 0, (1), (2)
أ X 2 + ب س + ج ≥ 0،أ X 2 + ب س + ج ≥ 0،(3), (4)
يتم الحصول على مجموعة حلول المتباينة (3) من خلال الجمع بين مجموعات حلول المتباينة (1) والمعادلة , أ X 2 + ب س + ج = 0.ويمكن العثور على مجموعة الحلول لعدم المساواة (4) بالمثل.
إذا كان مميز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية
أ
X
2
+
ب
س + ج
أقل من الصفر، فبالنسبة لـ a > 0 تكون ثلاثية الحدود موجبة لجميع x ر.
إذا كان لثلاثية حدود من الدرجة الثانية جذور (x 1
< х
2
) ، فبالنسبة لـ > 0 يكون موجبًا على المجموعة(-;
× 2 )
(x 2;
+)
والسلبية على الفاصل الزمني
(× 1؛ × 2 ). اذا كان< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ؛ × 2 ) وسالبة للجميع x (-;
× 1 )(x 2;
+).
مثال 1. حل المعادلة الفأس² - 2 (أ - 1)س - 4 = 0.
هذه معادلة تربيعية
حل: معنى خاص أ = 0.
في أ = 0نحصل على معادلة خطية 2س – 4 = 0. لها جذر واحد س = 2.
في أ ≠ 0.دعونا نجد المميز.
د = (أ-1)² + 4أ = (أ+1)²
لو أ = -1،الذي - التي د = 0 - جذر واحد.
دعونا نجد الجذر عن طريق التعويض أ = -1.
-x² + 4x – 4= 0,إنه س² -4س + 4 = 0،نجد ذلك س = 2.
لو أ ≠ - 1، الذي - التي د
>0
. باستخدام صيغة الجذر نحصل على:س= 
;
X 1 =2، س 2 = -.
إجابة:في أ=0 و أ= -1المعادلة لها جذر واحد س = 2؛في أ ≠ 0 و
أ ≠ - معادلة واحدة لها جذرينX 1 =2، س 2 =-.
مثال 2. أوجد عدد جذور هذه المعادلة س²-2س-8-أ=0اعتمادا على قيم المعلمة أ.
حل. دعونا نعيد كتابة هذه المعادلة في الصورة س²-2س-8=أ
ذ = س²-2س-8- الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ؛
ذ =أ- عائلة من الخطوط الأفقية.
دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف.
الجواب: متى أ<-9 , المعادلة ليس لها حلول؛ عندما يكون a=-9، يكون للمعادلة حل واحد؛ في أ>-9، المعادلة لها حلين.
مثال 3. في ماذا أعدم المساواة (أ – 3) × 2 – 2أكس + 3أ – 6 >0يحمل لجميع قيم x؟
حل.ثلاثية الحدود التربيعية تكون موجبة لجميع قيم x if
أ-3 > 0 و د<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
من حيث يتبع ذلكأ
> 6
.
إجابة.أ > 6
§ 3. المعادلات العقلانية الكسرية ذات المعلمات،
يمكن اختزالها إلى الخطية
تتم عملية حل المعادلات الكسرية وفقًا للمخطط المعتاد: يتم استبدال الكسر بعدد صحيح عن طريق ضرب طرفي المعادلة في القاسم المشترك لجانبيها الأيسر والأيمن. وبعد ذلك يتم حل المعادلة بأكملها، باستثناء الجذور الدخيلة، أي الأرقام التي تحول المقام إلى الصفر.
في حالة المعادلات ذات المعلمة، تكون هذه المشكلة أكثر تعقيدًا. هنا، من أجل "القضاء" على الجذور الدخيلة، من الضروري إيجاد قيمة المعلمة التي تحول القاسم المشترك إلى الصفر، أي حل المعادلات المقابلة للمعلمة.
مثال 1.
حل المعادلة 
= 0
حل: د.ز: س +2 ≠ 0، س ≠ -2
س - أ = 0، س = أ.
إجابة:في أ ≠ - 2، س=أ
في أ = -2لا جذور.
مثال 2
.
حل المعادلة 
- 
= 
(1)
هذه معادلة عقلانية كسرية
حل:معنى أ = 0إنه خاص. في أ = 0المعادلة ليس لها معنى، وبالتالي ليس لها جذور. لو أ ≠ 0,ثم بعد التحويلات سوف تأخذ المعادلة الشكل: س² + 2 (1-أ) س + أ² - 2أ – 3 = 0 (2)- معادلة من الدرجة الثانية.
دعونا نجد المميز 
= (1 - أ)² - (أ² - 2أ - 3)= 4,
العثور على جذور المعادلةX
1
= أ + 1، س
2
= أ - 3.
عند الانتقال من المعادلة (1) إلى المعادلة (2)، يتوسع مجال تعريف المعادلة (1)، مما قد يؤدي إلى ظهور جذور دخيلة. ولذلك، التحقق ضروري.
فحص.دعونا نستبعد من القيم الموجودة Xتلك التي
× 1 +1=0، × 1 +2=0، × 2 +1=0، × 2 +2=0.
لو X 1 +1=0, إنه (أ+1) + 1= 0، الذي - التي أ= -2.هكذا،
في أ= -2 , X 1 -
لو X 1 +2=0, إنه (أ+1)+2=0،الذي - التي أ = - 3. وهكذا متى أ = - 3، س 1 - الجذر الدخيل للمعادلة. (1).
لو X 2 +1=0, إنه (أ – 3) + 1= 0، الذي - التي أ = 2. وهكذا متى أ = 2 س 2 - الجذر الدخيل للمعادلة (1).
لو X 2 +2=0, إنه ( أ – 3) + 2 = 0،الذي - التي أ = 1. وهكذا متى أ = 1،
X 2 - الجذر الدخيل للمعادلة (1).
وفقا لهذا، عندما أ = - 3نحن نحصل س = - 3 - 3 = -6;
في أ = - 2 س = -2 – 3= - 5;
في أ = 1 × =1 + 1= 2؛
في أ = 2 × = 2+1 = 3.
يمكنك كتابة الجواب.
إجابة: 1) إذا أ= -3،الذي - التي س= -6; 2) إذا أ= -2، الذي - التي س = -5; 3) إذا أ= 0إذن لا توجد جذور. 4) إذا أ= 1، الذي - التي س=2; 5) إذا أ=2، الذي - التي س = 3; 6) إذا أ ≠ -3، أ ≠ -2، أ ≠ 0، أ≠ 1، أ ≠ 2، ثم س 1 = أ + 1، س 2 = أ-3.
§4. المعادلات غير المنطقية والمتباينات
تسمى المعادلات والمتباينات التي يوجد فيها المتغير تحت علامة الجذر غير منطقي.
يتلخص حل المعادلات غير المنطقية في الانتقال من معادلة غير منطقية إلى معادلة منطقية عن طريق مضاعفة طرفي المعادلة أو استبدال متغير. عندما يتم رفع طرفي المعادلة إلى قوة زوجية، قد تظهر جذور غريبة. لذلك، عند استخدام هذه الطريقة، يجب عليك التحقق من جميع الجذور التي تم العثور عليها عن طريق استبدالها في المعادلة الأصلية، مع مراعاة التغييرات في قيم المعلمات.
معادلة النموذج 
=g (x) يعادل النظام 
عدم المساواة f (x) ≥ 0 يتبع من المعادلة f (x) = g 2 (x).
عند حل المتباينات غير المنطقية، سنستخدم التحويلات المكافئة التالية:
≤ ز (خ) 
≥ز(س) 
مثال 1.
حل المعادلة 
= س + 1 (3)
هذه معادلة غير عقلانية
حل:
من خلال تعريف الجذر الحسابي، المعادلة (3) تعادل النظام 
.
في أ = 2المعادلة الأولى للنظام لها الشكل 0 × = 5أي أنه ليس له حلول.
في أ≠ 2 س= 
.
دعونا معرفة ما هي القيمأ
وجدت قيمةX
يرضي عدم المساواةس ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
أين أ ≥أو أ> 2.
إجابة:في أ≥، أ > 2 س= ,
في < а ≤ 2
المعادلة ليس لها حلول.
مثال 2.
حل المعادلة 
= أ
(الملحق 4)
حل. ذ
=
ذ = أ- عائلة من الخطوط الأفقية.
دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف.
إجابة: في أ<0 - لا توجد حلول؛
في أ≥ 0 - حل واحد.
مثال 3
. دعونا نحل عدم المساواة(أ+1) 
<1.
حل. O.D.Z. س ≥ 2. لو أ+1 ≥0، فإن عدم المساواة ينطبق على جميع القيم المقبولة X. لو أ+1>0، الذي - التي
(أ+1) <1.<
أين X (2- 
2
إجابة.
X (- ;2في أ (-;-1,
X (2- 2
في أ
(-1;+).
§ 5. المعادلات المثلثية والمتباينات.
فيما يلي الصيغ لحل أبسط المعادلات المثلثية:
سينكس = أ س = (-1)ن أركسين أ + πn، ن ض، 
≤1, (1)
كوس س = أ س = ± أركوس أ + 2 πن، ن ض، ≤1.
(2)
لو
>1، إذن المعادلتان (1) و (2) ليس لهما حلول.
تان س = أ x= أركانتان أ + πn, n ز، أ ر
سي تي جي س = أ x = arcctg a + πn, n ز، أ ر
لكل متباينة قياسية نشير إلى مجموعة الحلول:
1.
الخطيئة س> أ أركسين أ + 2 πn
ض،
في أ
<-1,
س ر
;
في أ
≥ 1,
لا توجد حلول.
2. . الخطيئة س< a π - قوسسين أ + 2 πnZ،
بالنسبة لـ a≥-1، لا توجد حلول؛ ل> 1،س ر
3.
كوس
س
>
أ
-
أركوس
أ
+ 2
ن
<
س
<
أركوس
أ
+ 2
ن
,
ن
ز
,
في أ<-1,
س ر
; في أ
≥ 1
، لا توجد حلول.
4. كوس س أركوس أ+ 2 πnZ,
في أ≥-1
لا توجد حلول؛ فيأ
> 1,
س
ر
5. تان x > أ، القطب الشمالي أ + πnZ
6.tg س< a, -π/2 + πn Z
مثال 1. يجد أ، والتي لهذه المعادلة حل:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج
معنظام التشغيل 2 س + (2 أ -4) com.cosx +(أ - 5)(أ+1) =0،حلها كمعادلة تربيعية، نحصل على com.cosx = 5-أو com.cosx = -أ-1.
المعادلة com.cosx
= 5-
أ
لديه الحلول المقدمة -1≥ 5-أ
≤1
4≤
أ≥ 6، و مكافئ. com.cosx
= -
أ-1
بشرط -1≥ -1-أ
≤ 1
-2 ≤
أ
≤0.
إجابة.
أ
-2; 0 4; 6
مثال 2.
في ماذا بهناك مثل هذا التفاوت 
+
ب> 0 يحمل للجميع x ≠ن
,
ن
ز
.
حل.هيا نضع أ= 0. المتباينة تنطبق على b >0. دعونا نبين الآن أنه لا يوجد b ≥0 يفي بشروط المشكلة. في الواقع، يكفي وضع x = π /2, لو أ <0, и х = - π /2 في أ ≥0.
إجابة.ب>0
§ 6. المعادلات الأسية والمتباينات
1. المعادلة ح(س)
F ( س )
=
ح(س)
ز ( س) في ح(س) > 0 يعادل مجموعة من نظامين 
و 
2. في الحالة الخاصة (h(x)= أ ) المعادلة أو(خ) = أز (خ) في أ> 0، يعادل مجموعة من نظامين
و 
3. المعادلة أو(خ) = ب , أين أ > 0, أ ≠1, ب>0، أي ما يعادل المعادلة
f (x )= السجل أ ب . يحدث أ=1 تعتبر منفصلة.
يعتمد حل أبسط المتباينات الأسية على خاصية القوة. عدم المساواة في النموذجF(أ
س ) > 0 باستخدام التغيير المتغيرر=
أ
س يقلل من حل نظام عدم المساواة 
ومن ثم حل المتباينات الأسية البسيطة المقابلة.
عند حل متباينة غير صارمة، من الضروري إضافة جذور المعادلة المقابلة إلى مجموعة حلول المتباينة الصارمة. كما في حل المعادلات في جميع الأمثلة التي تحتوي على التعبير أو (خ)، نفترض أ> 0. الحالة أ= 1 تعتبر منفصلة.
مثال 1
.
في ماذا أالمعادلة 8 س = 
له جذور إيجابية فقط؟
حل.
وبخاصية الدالة الأسية التي لها أساس أكبر من واحد، لدينا x>0 8
X >1 >1
> 0، من أينأ
(1,5;4).
إجابة.
أ
(1,5;4).
مثال 2. حل عدم المساواة أ 2 ∙2 س > أ
حل. دعونا ننظر في ثلاث حالات:
1.
أ< 0
. بما أن الجانب الأيسر من المتراجحة موجب والجانب الأيمن سالب، فإن المتباينة تنطبق على أي x ر.
2. أ=0. لا توجد حلول.
3.
أ
> 0
.
أ
2
∙2
س
> أ
2
س
>
س> -سجل 2
أ
إجابة.
X رفي أ
> 0؛ لا توجد حلول ل
أ
=0; X (-
سجل 2
أ; +) فيأ> 0
.
§ 7. المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات
دعونا نعرض بعض المعادلات المستخدمة في الحل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.
1. سجل المعادلة f (x) g (x) = log f (x) h (x) يعادل النظام
على وجه الخصوص، إذا أ >0, أ≠1 إذن
سجل أ
g(x)=log أ
ح (خ) 
2.
المعادلة سجل أ
ز(س)=ب ز (خ) =أ
ب (
أ
>0,
أ ≠
1، ز(خ) >0).
3. عدم المساواة سجل F ( س )
ز (س) ≤
سجل F ( س )
ح(س) يعادل مزيجًا من نظامين: 
و 
اذا كان، ب هي أرقام، أ >0، أ ≠1، إذن
سجل أ
و(خ) ≥ ب 
سجل أ
و(خ)>ب 
مثال 1.
حل المعادلة 
حل. دعونا نجد ODZ: x > 0, x ≠ أ 4 , أ > 0, أ≠ 1. قم بتحويل المعادلة
سجل 
س – 2 = 4 – سجل أ
س سجل س + سجل أ
س– 6 = 0، من أين سجل أ
س = - 3
س = أ-3 و سجل أ
س = 2
س = أ 2. الحالة س = أ
4
أ
– 3
=
أ 4 أو أ
2
=
أ
4
لم يتم تنفيذه على ODZ.
إجابة:س = أ-3، س = أ 2 في أ
(0; 1) 
(1; ).
مثال 2 . أوجد القيمة الأكبر أ، والتي المعادلة
2
سجل 
-
+
أ
= 0 لديه الحلول.
حل.
سنقوم بإجراء بديل =
رونحصل على المعادلة التربيعية 2ر 2
–
ر +
أ
= 0. حل نجدد = 1-8
أ
. دعونا نفكر د≥0, 1-8
أ
≥0 
أ
≤.
في أ = المعادلة التربيعية لها جذرر= >0.
إجابة. أ =
مثال 3 . حل عدم المساواةسجل(س 2 – 2 س + أ ) > - 3
حل.
دعونا نحل نظام عدم المساواة 
جذور ثلاثية الحدود المربعة x 1,2
= 1 ± 
هُم 3,4
= 1 ± 
.
قيم المعلمات الحرجة: أ= 1 و أ= 9.
لنفترض أن X 1 وX 2 هما مجموعتا حلول المتباينتين الأولى والثانية
× 1 
X 2
= X – حل المتراجحة الأصلية.
عند 0<
أ
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +)، فيأ> 1 × 1 = (-;+).
عند 0<
أ
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +)، فيأ≥9 × 2 – لا توجد حلول.
دعونا ننظر في ثلاث حالات:
1. 0<
أ
≥1 × = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
أ
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. أ≥ 9 X - لا توجد حلول.
أهداف امتحان الدولة الموحدة
المستوى العالي C1، C2
مثال 1. البحث عن كافة القيم ر، والتي المعادلة
ر ∙ سي تي جي 2x+2sinx+ ص= 3 له جذر واحد على الأقل.
حل.دعونا نحول المعادلة
ر ∙ (
- 1) + 2سينس + ص= 3، سينكس =ر، ر 
، ر 
0.
-
ص+2t+ ص
= 3,
+ 2 ر = 3، 3 -2 ر = , 3ط 2 – 2ط 3 = ص
.
يترك F(ذ) = 3
ر 2
– 2
ر 3
. لنجد مجموعة قيم الدالةF(س) على 
. في /
= 6
ر – 6
ر 2
, 6
ر - 6
ر 2
= 0,
ر 1
=0,
ر 2
= 1.
F(-1) = 5,
F(1) = 1.
في ر ,
ه(F) =
,
في ر ,
ه(F) =
، ذلك حين ر ,
ه(F) =
.
إلى المعادلة 3ر 2
– 2
ر 3
=
ص
(وبالتالي المعطى) كان له جذر واحد على الأقل ضروري وكافص
ه(F)، إنه ص
.
إجابة.
.
مثال 2.
في ما قيم المعلمةأالمعادلة سجل 
(4
س 2
– 4
أ
+
أ
2
+7) = 2 له جذر واحد بالضبط؟
حل.دعنا نحول المعادلة إلى واحدة مكافئة لذلك:
4× 2 - 4 أ + أ 2 +7 = (س 2 + 2) 2.
لاحظ أنه إذا كان عدد معين x هو جذر المعادلة الناتجة، فإن الرقم x هو أيضًا جذر هذه المعادلة. بشرط أن هذا غير ممكن، وبالتالي فإن الجذر الوحيد هو الرقم 0.
سوف نجد أ.
4∙ 0 2 - 4أ + أ 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
أ 2 - 4أ +7 = 4, أ 2 - 4أ +3 = 0, أ 1 = 1, أ 2 = 3.
فحص.
1)
أ
1
= 1. فتبدو المعادلة كما يلي:سجل (4
س 2
+4) =2. دعونا حلها
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2، 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4، x 4 = 0، x = 0 هو الجذر الوحيد.
2)
أ
2
= 3. تبدو المعادلة كما يلي:سجل (4
س 2
+4) =2 س = 0 هو الجذر الوحيد.
إجابة. 1; 3
مستوى عال C4، C5
مثال 3. البحث عن كافة القيم ص،الذي المعادلة
× 2 – ( ر+ 3)x + 1= 0 لها جذور صحيحة وهذه الجذور هي حلول للمتراجحة: x 3 - 7 ر× 2 + 2 × 2 - 14 رس - 3س +21 ر ≤ 0.
حل.
دع س 1,
X 2
- الجذور الصحيحة للمعادلة x 2
– (ر
+ 3)x + 1= 0. ثم، وفقًا لصيغة فييتا، تكون المساواة x 1
+ س 2
=
ر
+ 3، س 1
∙ س 2
= 1. حاصل ضرب عددين صحيحين x 1
، اكس 2
لا يمكن أن يساوي واحدًا إلا في حالتين: x 1
= س 2
= 1 أو س 1
= س 2
= - 1. إذا س 1
= س 2
= 1 إذنر
+ 3 = 1+1 = 2ر
= - 1؛ إذا س 1
= س 2
= - 1 إذنر
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 ر
= - 5. دعونا نتحقق مما إذا كانت جذور المعادلة x 2
– (ر
+ 3)x + 1= 0 في الحالات الموصوفة بحلول هذه المتباينة. لهذه المناسبةر
= - 1، س 1
= س 2
= 1 لدينا
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≥ 0 – صحيح; لهذه المناسبة ر= - 5, x 1 = x 2 = - 1 لدينا (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≥ 0 – صحيح. لذلك، يتم استيفاء شروط المشكلة فقط ر= - 1 و ر = - 5.
إجابة.ر 1 = - 1 و ر 2 = - 5.
مثال 4. ابحث عن جميع القيم الإيجابية للمعلمة أ، حيث ينتمي الرقم 1 إلى مجال تعريف الوظيفة
في
= (أ 
-
أ 
).
فصل: 11
الأهداف:
التعليمية:
- تنظيم وتعميم المعرفة حول حل المعادلة مع المعلمة؛
- عرض التقنيات الأساسية لحل مثل هذه المعادلات.
التنموية: توسيع وتعميق دراسة التقنيات المختلفة لحل المعادلات ذات المعلمة.
التعليمية: إظهار أهمية اعتماد الإجابة في مشكلة ذات معلمة على قيمة المعلمة المحددة.
طرق التدريس المستخدمة - تطبيقها.
- توضيحية وتوضيحية.
- التعميمات والقياسات والمقارنات.
- UDE – إنشاء المهام الرئيسية، وقياس الصور على متن الطائرة.
- متكامل - رسم خرائط الجبر والتفسيرات الهندسية، الشرائح.
تكوين المهارات التربوية العامة :
- تحديد السمات الأساسية للأشياء قيد الدراسة؛
- تنمية المهارات العملية؛
- الأساليب المستخدمة للعمل مع الجمهور: العمل في وضع الحوار؛
- الجوانب النفسية للدرس؛
- خلق جو عمل مريح؛
- تشجيع الحوار النشط.
خلال الفصول الدراسية
مقدمة. الكلمة الافتتاحية للمعلم.
أصبحت المعادلات جزءًا شائعًا من خيارات امتحان القبول في USE.
تسبب المعادلات ذات المعلمة صعوبات منطقية خطيرة.
كل معادلة من هذا القبيل هي في الأساس نسخة قصيرة من عائلة المعادلات. من الواضح أنه من المستحيل كتابة كل معادلة من عائلة لا نهائية، ولكن مع ذلك، يجب حل كل واحدة منها. ولذلك، هناك حاجة للنظر في نظام المفاهيم والبحث عن طرق لحل المعادلات ذات المعلمات (الخطية، العقلانية، الخ)
دع المعادلة F(x;a) = 0 تعطى. إذا أعطينا المعلمة قيمة ثابتة، فيمكن اعتبار هذه المعادلة معادلة "عادية" بمتغير واحد.
دعونا نحدد المهمة: اكتشف ما قد يكون عليه الوضع مع قيمة المعلمة المحددة؟
العمل مع الطلاب بأسلوب الحوار.
دعونا نلخص المشاكل الرئيسية:
- إنشاء المفاهيم الأساسية للمعادلات مع المعلمات.
- لكل نوع من المعادلات في دورة الرياضيات المدرسية، قم بإنشاء طريقة عامة لحل المعادلات المقابلة ذات المعلمات - نفس الشيء لكل من المعلمة الواحدة والمعلمتين.
- النظر في أمثلة المهام لدراسة المعادلات.
- ما هو تحديد عدد جذور المعادلات.
- إيجاد الجذر المشترك لمعادلتين - ما هو جوهره؟
- التفسيرات الهندسية.
أناالمرحلة - حل المشكلة الأولى.
العمل مع الطلاب بشكل تفاعلي.
ما هي الأسئلة التي سوف تطرحها على نفسك لتأسيس المفاهيم الأساسية؟
|
تظهر الشريحة والملخص
في مسائل النوع الثاني، يلزم العثور على جميع قيم المعلمات التي يتم عندها استيفاء شروط محددة معينة. |
على سبيل المثال.
1) حل المعادلة أ (أ – 1) = أ – 1.
حل. أمامنا معادلة خطية منطقية لجميع القيم المسموح بها لـ a. سنحلها "كالعادة": نقسم طرفي المعادلة على معامل المجهول. لكن هل الانقسام ممكن دائمًا؟
لا يمكنك القسمة على صفر. سيتعين علينا أن نفكر بشكل منفصل في الحالة التي يكون فيها معامل المجهول مساويًا لـ o. نحن نحصل:
الجواب: 1) إذا كان 0، 1، ثم x = ;
2) إذا كان a = 1، فإن x هو أي رقم؛
3) إذا كان a = 0، فلا توجد جذور.
2) حل المعادلة (أ – 1)× 2 + 2 (2أ – 1)× + 4 أ + 3 = 0.
حل. دعونا نفكر في حالتين:
النظر في المميز: D = (2a – 1) 2 - (أ – 1)(4أ + 3) = - 3أ + 4.
إذا كانت أ، فإن × 1.2 = 
.
الإجابة: 1) إذا كان a > فلا توجد جذور؛
2) إذا كان أ = 1، فإن س = - 3.5؛
3) إذا كان a وa1، فإن x 1.2 = 
.
ثانياالمرحلة - حل المشكلة الثانية.
دعونا نفكر في طريقة لتصنيف المعادلات الجزئية باستخدام نموذج الحلول العامة.
تظهر شريحة.
على سبيل المثال. في معادلة عقلانية 
الدالة f 1 (a) = هي الحل العام لقيم المعلمات التي لها 
. بسبب ال
الحل العام للمعادلة على A f1 = ).
الدالة f 2 (a) = هي حل عام للمعادلة في المجموعة A f2 = .
دعونا نبني نموذجًا للحلول العامة بالشكل التالي
في النموذج نسلط الضوء على جميع أنواع المعادلات الجزئية: 
; 
; 
.
لذلك، يتم النظر في المفاهيم الأساسية للمعادلات ذات المعلمات باستخدام الأمثلة: نطاق القيم المسموح بها؛ اِختِصاص؛ حلول عامة التحكم في قيم المعلمات أنواع المعادلات الجزئية.
بناءً على المعلمات المقدمة، نحدد مخططًا عامًا لحل أي معادلة F(a;x) = 0 مع المعلمة a (في حالة وجود معلمتين يكون المخطط مشابهًا):
- يتم تحديد نطاق القيم المسموح بها للمعلمة ونطاق التعريف؛
- يتم تحديد قيم التحكم للمعلمة، وتقسيم منطقة قيم المعلمة المسموح بها إلى مناطق تشابه المعادلات الجزئية؛
- بالنسبة لقيم التحكم للمعلمة، تتم دراسة المعادلات الجزئية المقابلة بشكل منفصل؛
- الحلول العامة x = f 1 (a)، ...، f k (a) للمعادلة F(a;x) = 0 موجودة في المجموعات المقابلة A f1, ......, A fk لقيم المعلمات ;
- يتم تجميع نموذج للحلول العامة وقيم معلمات التحكم بالشكل التالي (على الشريحة)؛
- يحدد النموذج فترات قيم المعلمات مع حلول متطابقة (مناطق التوحيد)؛
- بالنسبة لقيم التحكم الخاصة بالمعلمة ومساحات التوحيد المختارة، يتم تسجيل خصائص جميع أنواع الحلول الخاصة.
المرحلة الثالثة – أمثلة على مهام دراسة المعادلات.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المشكلات باستخدام معلمات النوع 2.
من الشائع بشكل خاص المشكلات التي تتضمن موقع جذور المعادلة التربيعية. عند حلها، الرسوم التوضيحية تعمل بشكل جيد. يتم تحديد موقع الجذور بالنسبة لنقاط معينة على المستوى من خلال اتجاه فروع القطع المكافئ المقابل، وإحداثيات الرأس، وكذلك القيم عند النقاط المحددة.
على سبيل المثال.
1) ما هي قيم المعلمة a للمعادلة (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 جذرين أحدهما أكبر من 1 و أخرى أقل من 1؟
حل. دع f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. بما أن a 2 + a + 1 >0، إذن بالنسبة للدالة التربيعية f(x) شرط المشكلة لا يمكن استيفاؤه إلا بشرط f (x)< 1.
حل المتراجحة f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
إجابة: -2 - < а < - 2 + .
2) في ما قيم المعلمةم جذور المعادلة (م - 1) × 2 - 2مكس +م + 3 = 0 موجب؟
حل. افترض أن f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 إذن:
1) إذا كانت m = 1، ثم -2x + 4 = 0، x = 2 - الجذر موجب؛
2) إذا كان m 1، فباستخدام الشكل يمكنك الحصول على العلاقات التالية: 
دعونا نفكر في حالتين:
1) إذا كان 1.5 م > 0، فمن المتباينتين 2 و 3 للنظام الأخير نحصل على ذلك م > 1، أي. وأخيرا 1.5 م > 1؛
2) إذا م< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 نحصل على ذلك m-1< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
إجابة: م (-؛ -3)
رابعاالمرحلة - النظر في مهمة تحديد عدد جذور المعادلة.
مثال 1. عند أي قيم للمعلمة، والمعادلة 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 ليس لها جذور.
حل.افترض أن y = cosx، فإن المعادلة الأصلية ستأخذ الشكل 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0، وجذورها هي y 1 = a، y 2 = 4.5. المعادلة cosx = 4.5 ليس لها جذور، والمعادلة cosx = a ليس لها جذور إذا كان > 1.
إجابة: (- ; -1) (1; ).
مثال 2.
ابحث عن جميع قيم المعلمة a التي المعادلة لها 
ليس له جذور.
حل. هذه المعادلة تعادل النظام: 
.
المعادلة ليس لها حل في حالتين: أ = و
مثال 3
. عند أي قيم للمعلمة a تقوم بالمعادلة 
لديه حل واحد؟
حل. يمكن أن يكون حل المعادلة فريدًا فقط إذا كانت x = 0. إذا كانت x = 0، فإن 2 -1 = 0، وa = 1.
دعونا نفكر في حالتين:
1) إذا كان a = 1، فإن x 2 - = 0 - ثلاثة جذور؛
2). إذا كان a = -1، فإن x 2 + = 0، x = 0 هو الجذر الوحيد.
مثال 4. ما هي قيم المعلمة a التي تحتوي المعادلة على جذرين؟
حل.هذه المعادلة تعادل النظام : . دعونا نكتشف متى يكون للمعادلة التربيعية x 2 – x – a = 0 جذران غير سالبين.
المعادلة الناتجة لها جذرين إذا كان 1+ 4a > 0؛ فهي غير سلبية إذا
0 > أ > - .
إجابة: (- ; 0] .
في كثير من الحالات، عند تحديد عدد جذور المعادلة، يكون التناظر مهمًا.
الخامسالمرحلة - إيجاد الجذر المشترك لمعادلتين.
مثال 1. في أي قيم للمعلمة a تكون للمعادلات x 2 + 3x + 7a -21 =0 و x 2 +6x +5a -6 =0 جذر مشترك؟
حل.دعونا نستبعد المعلمة أ من النظام الناتج. للقيام بذلك، اضرب المعادلة الأولى في -5، والثانية في 7، وأضف النتائج. نحصل على: 2x 2 + 27x +63 = 0، وجذورها هي x 1 = -3، x 2 = -10.5. لنعوض بالجذور في إحدى المعادلات ونجد قيمة المعلمة أ.
إجابة: 3 و – 8.25.
مثال 2. ما هي قيم المعلمة a التي تعادلها المعادلة x 2 – ax + 2 = 0 و 3x 2 + (a - 9)x + 3=0؟
حل. كما تعلم، تكون المعادلات متكافئة إذا تطابقت العديد من جذورها. دعونا ننظر في حالتين.
1) المعادلات ليس لها جذور (مجموعة الجذور فارغة). ثم تكون تمييزاتهم سلبية:
نظام عدم المساواة ليس له حلول.
2) المعادلات لها جذور مشتركة. ثم 
وبالتالي، يمكن أن يكون لهذه المعادلات جذور مشتركة فقط عندما يكون a = 3 أو a = .
التحقق من ذلك بنفسك!
السادسالمرحلة – التفسيرات الهندسية.
حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات يمكن أن يجعل استخدام الرسوم البيانية أسهل بكثير.
مثال 1
. حل المعادلة اعتمادا على المعلمة أ: 
.
حل. من الواضح أنه بالنسبة إلى 0:
هل جميع الجذور مناسبة؟ لمعرفة ذلك، دعونا نرسم الدالة a =.
يمكن رؤية عدد الجذور في الشكل:
- اذا كان< 0, то корней нет;
- إذا كان a = 0 و a > 0، فهناك جذرين.
دعونا نجد هذه الجذور.
عندما يكون a = 0 نحصل على x 2 - 2x - 3 = 0 و x 1 = -1، x 2 = 3؛ إذا كانت a > 4، فهذه هي جذور المعادلة x 2 – 2x – 3 – a = 0.
إذا 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
إذا كان أ = 4 - ثلاثة جذور:
إجابة: 1) إذا أ< 0, то корней нет;
2) إذا كانت أ = 0، فإن x 1 = -1، x 2 = 3؛
3) إذا 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) إذا كان أ = 4، فإن x 1 = 1؛ × 2.3 = 1؛
5) إذا كان a > 4، فإن x 1,2 = 1.
مثال 2 . ما هي قيم المعادلة التي تحتوي على أكثر من جذرين؟
حل. إذا عوضنا بـ x = 0 في المعادلة الأصلية، نحصل على 6 = 6، مما يعني أن x = 0 هو حل المعادلة لأي a.
دعونا الآن × 0، ثم يمكننا أن نكتب 
. دعونا نكتشف علامات التعبيرات 2x + 3 و 2x - 3.
دعونا نوسع الوحدات: a = 
(1)
في المستوى x0a، سنقوم ببناء مجموعة من النقاط (x;a)، التي تحقق إحداثياتها العلاقة (1).
إذا كانت a = 0، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول على الفاصل الزمني؛ أما بالنسبة لقيم a الأخرى، فلا يتجاوز عدد حلول المعادلة اثنين.
إجابة: أ = 0.
مراقبة الاختبار
1 خيار |
الخيار 2 |
1) حل المعادلة: 0 س = أ الإجابات |
1) حل المعادلة: أ س = أ. الإجابات: أ) لـ ≠ 0، x = 1، لـ = 0، x R ب) لـ a = 0، x R، لـ ≠ 0 لا توجد جذور ج) لـ a = 0 لا توجد جذور، لـ ≠ x = |
2) حل المعادلة: (в – 2) x = 5 + в. الإجابات: |
2) حل المعادلة (ب + 1) س = 3 – ب. الإجابات: أ) بالنسبة لـ β = 2 لا توجد جذور؛ لـ β ≠2, x = ; ب) بالنسبة لـ β = -2 لا توجد جذور، بالنسبة لـ β ≠-2 x = ج) بالنسبة لـ β = -1 لا توجد جذور، بالنسبة لـ ≠ - 1 |
3) ما هي قيم المعلمة c التي تحتوي المعادلة على عدد لا نهائي من الحلول؟ ج (ج + 1) س = ج 2 – 1. إجابة: أ) مع ج = -1، س R، ; |
درس المقرر الاختياري
حول هذا الموضوع: "حل المعادلات والمتباينات باستخدام المعلمات"
(درس التعميم والتكرار)
هدف: 1. تكرار وتعميم معرفة الطلاب بطرق حل المعادلات والمتباينات ذات المعلمات. تعزيز القدرة على تطبيق المعرفة عند حل مهام محددة؛ 2. تنمية التفكير المنطقي. 3. تنمية الاهتمام والدقة.
خطة الدرس: I. اللحظة التنظيمية ______________________________ 2 دقيقة.
ثانيا. تحديث المعرفة الأساسية:
- التكرار__________________________________3 دقائق.
- العمل الشفهي________________________________3 دقائق.
- العمل مع البطاقات (خلال 1 و 2)
ثالثا. حل التمارين _________________________________ 22 دقيقة.
السنة الدولية. تنفيذ الاختبار ______________________________ 8 دقائق.
Y. التلخيص، تحديد الواجب المنزلي__2 دقيقة.
خلال الفصول الدراسية:
أنا. تنظيم الوقت.
مدرس: - مرحبا يا شباب. من الجميل رؤيتكم جميعًا، لقد بدأنا درسنا. هدفنا اليوم في الدرس هو تكرار وممارسة المعرفة والمهارات والقدرات المكتسبة في الدروس السابقة أثناء دراسة هذا الموضوع.
ثانيا . تحديث المعرفة الأساسية:
1) التكرار.
المعلم: - لذلك، دعونا نكرر.
ما هي المعادلة الخطية مع المعلمات تسمى؟
ما هي الحالات التي أخذناها في الاعتبار عند حل مثل هذه المعادلات؟
أعط أمثلة على المعادلات الخطية ذات المعلمات.
أعط أمثلة على عدم المساواة الخطية مع المعلمات.
2) العمل الشفهي.
المهمة: تحويل هذه المعادلة إلى الصورة الخطية.
على المكتب:
أ) 3أ س – 1 =2 س؛
ب) 2+5 س = 5أ س؛
ج) 2 س – 4 = أ س + 1.
3) العمل باستخدام البطاقات.
ثالثا . حل التمارين .
التمرين 1. حل المعادلة مع المعلمةأ.
3(الفأس + 1) + 1 = 2(أ – س) + 1.
تم إكمال المهمة على السبورة وفي دفاتر الملاحظات.
المهمة 2. بأي قيمةأ، الخط المستقيم y = 7ax + 9، يمر عبره
ر(-3;2) ؟
يتم إكمال المهمة بشكل مستقل على السبورة بواسطة طالب واحد. الباقي يعمل في دفاتر الملاحظات، ثم تحقق من اللوحة.
التعليم الجسدي دقيقة فقط.
المهمة 3. بأي قيمةأ، المعادلة 3(ax – a) = x – 1 لها
عدد لا نهائي من الحلول؟
يُطلب من الطلاب حل هذه المهمة بشكل مستقل في دفاتر ملاحظاتهم. ثم تحقق من الإجابات.
المهمة 4. في ما قيمة المعلمةأ ، مجموع جذور المعادلة
2x² + (4a² - 2)x – (а² + 1) = 0يساوي 1؟
يتم تنفيذ المهمة عن طريق التعليق من المكان.
المهمة 5. حل عدم المساواة مع المعلمةص :
ص(5س – 2)
يتم تنفيذ هذه المهمة على السبورة وفي دفاتر الملاحظات.
السنة الدولية. تنفيذ الاختبار.
يتم إعطاء الطلاب أوراقًا فردية تحتوي على المهام:
1) هي المعادلة6(الفأس + 1) + أ = 3(أ – س) + 7خطي؟
أ) نعم؛ ب) لا؛ ج) يمكن اختزالها إلى الخطية
2) المعادلة (2أكس + 1)أ = 5أ – 1 اختزال إلى شكل معادلة خطية
أ) لا؛ ب) نعم؛
3) ما قيمة المعلمةويمر الخط المستقيم y = ax – 3
ت.ا(-2;9) ?
أ) أ = 1/6؛ ب) أ = 1/2؛ ج) أ = -6؛ د) أ = 6.
4) عند أي معادلة 2ax + 1 = x له جذر يساوي -1؟
أ) أ = -1؛ ب) أ = 0؛ ج) أ = 1؛ د) أ = 1/2.
5) إذا كانت المعادلة التربيعيةالفأس² + إنكس + ج = 0 د ax² + inx + c >0 يعتمد على
أ) القيم في؛ ب) قيم أ؛ ج) القيم -v/a؛
د) ليس لديه حلول.
الإجابات على الاختبار:الخامس؛ أ؛ الخامس؛ الخامس؛ ب.
يي. تلخيص الدرس. تحديد الواجبات المنزلية.
مدرس: - قمنا اليوم في الدرس بتكرار وتوحيد المعرفة المكتسبة في الدروس السابقة، ومارسنا المهارات اللازمة عند أداء المهام المختلفة. أعتقد أنك قمت بعمل جيد، أحسنت.
بالإضافة إلى الدرجات المخصصة للدرس، يمكنك تقييم أعمال عدد من الطلاب الآخرين في الدرس.
مدرس : - أكتب واجبك المنزلي :
على المكتب:
حل عدم المساواة:س² - 2أكس + 4 > 0.
الدرس انتهى.
إدارة التعليم في منطقة فلاديمير
إدارة التعليم في منطقة سودوجودسكي
المؤسسة التعليمية البلدية
"مدرسة موشوك الثانوية"
«
حل المعادلات و عدم المساواة مع معامل»
المطور: جافريلوفا ج.ف.
مدرس رياضيات
المؤسسة التعليمية البلدية "متوسط موشوكسكايا"
مدرسة شاملة"
عام 2009
حل المعادلات والمتباينات مع المعلمات
مذكرة توضيحية
مفهوم المعلمة هو مفهوم رياضي يستخدم غالبًا في الرياضيات المدرسية والتخصصات ذات الصلة.
الصف السابع - عند دراسة دالة خطية ومعادلة خطية بمتغير واحد.
الصف الثامن - عند دراسة المعادلات التربيعية.
لا يوفر منهج التعليم العام لدورة الرياضيات المدرسية حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات، وفي امتحانات القبول بالجامعات وامتحان الدولة الموحد في الرياضيات، توجد مشكلات تتعلق بالمعلمات، والتي يسبب حلها صعوبة كبيرة في حل المشكلات للطلاب مع المعلمات لها قيمة تشخيصية وتنبؤية، مما يسمح لك باختبار المعرفة بالأقسام الرئيسية لدورة الرياضيات المدرسية، ومستوى التفكير المنطقي، ومهارات البحث الأولية.
الهدف الرئيسي من الدورة هو تعريف الطلاب بالمناهج العامة لحل المشكلات المتعلقة بالمعلمات، وإعداد الطلاب بطريقة تمكنهم من التعامل بنجاح مع المشكلات التي تحتوي على المعلمات في جو الامتحان التنافسي.
حل معادلة، وحدد عدد الحلول، وابحث في معادلة، وابحث عن جذور موجبة، وأثبت أن المتباينة ليس لها حلول، وما إلى ذلك - كل هذه خيارات لأمثلة بارامترية. لذلك، من المستحيل إعطاء تعليمات عامة لحل الأمثلة؛ يتناول هذا المقرر أمثلة مختلفة مع الحلول. يتم تقديم مواد الدورة وفقًا للمخطط التالي: معلومات أساسية، وأمثلة مع الحلول، وأمثلة للعمل المستقل، وأمثلة لتحديد مدى نجاح إتقان المادة.
يساهم حل المهام ذات المعلمات في تكوين مهارات البحث والتنمية الفكرية.
اهداف الدورة:
تنظيم المعرفة التي اكتسبها الطلاب في الصفين السابع والثامن عند حل المعادلات الخطية والتربيعية والمتباينات؛
التعرف على قدراتهم الرياضية وتطويرها.
إنشاء فهم شامل لحل المعادلات الخطية والمتباينات التي تحتوي على معلمات؛
إنشاء فهم شامل لحل المعادلات التربيعية والمتباينات التي تحتوي على معلمات؛
تعميق المعرفة في الرياضيات، وتوفير تشكيل مصلحة الطلاب المستدامة في هذا الموضوع؛
توفير الإعداد للأنشطة المهنية التي تتطلب ثقافة رياضية عالية.
الخطة التعليمية والموضوعية
|
№ ص / ص
|
موضوع |
الكمية ساعات
|
أنشطة |
|
1. |
|
|
ورشة عمل |
|
2. |
المعلومات الأولية حول المهام ذات المعلمة. |
ندوة |
|
|
3. |
حل المعادلات الخطية التي تحتوي على معلمات. |
|
|
|
4. |
حل المتباينات الخطية التي تحتوي على معلمات. |
عمل بحثي؛ التدرب على المهارات؛ عمل مستقل. |
|
|
5. |
المعادلات التربيعية. نظرية فييتا. |
3 |
عمل بحثي؛ التدرب على المهارات؛ عمل مستقل. |
|
6. |
الانتهاء بنجاح من الدورة |
1 |
الاختبار النهائي |
الموضوع 1.حل المعادلات الخطية والمتباينات، المعادلات التربيعية والمتباينات، حل المسائل باستخدام نظرية فيتا.
الموضوع 2. المعلومات الأولية حول المهام ذات المعلمة.
مفهوم المعلمة ماذا يعني "حل مشكلة باستخدام معلمة"؟ الأنواع الأساسية من المشاكل مع المعلمة. الطرق الأساسية لحل المشاكل مع المعلمة.
أمثلة على حل المعادلات الخطية ذات المعلمة.
الموضوع 4. حل المتباينات الخطية التي تحتوي على معلمات.
أمثلة على حل المتباينات الخطية باستخدام المعلمة.
الموضوع 5. المعادلات التربيعية. نظرية فييتا.
أمثلة على حل المعادلات التربيعية ذات المعلمة.
المادة التعليمية للدورة الاختيارية
"حل المعادلات و
عدم المساواة مع المعلمة"
الموضوع 1.أمثلة لهذا الموضوع.
الموضوع 2.أمثلة حيث واجه الطلاب معلمات بالفعل:
دالة التناسب المباشر: y = kx (x وy متغيران؛ k معلمة، k ≠ 0)؛
دالة التناسب العكسي: y = k / x (x وy متغيران، k معلمة، k ≠ 0)
الدالة الخطية: y = kh + b (x وy متغيران؛ k وb معلمتان)؛
المعادلة الخطية: ax + b = 0 (x متغير؛ a وb معلمتان)؛
المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 (x متغير؛ a، b وc معلمات،
ما هي المعلمة؟
إذا تم استبدال بعض المعاملات في معادلة أو عدم المساواة بقيم رقمية محددة، ولكن تم تحديدها بأحرف، فإنها تسمى معلمات، والمعادلة أو عدم المساواة هي حدودية.
يُشار إلى المعلمات عادةً بالأحرف الأولى من الأبجدية اللاتينية: a، b، c، ... أو a 1، a 2، a 3، ...، والمجهول بالأحرف الأخيرة من الأبجدية اللاتينية x، y، z، ... هذه التسميات ليست إلزامية، ولكن إذا لم يتم الإشارة إلى الحروف التي تعتبر معلمات وأيها غير معروفة في الحالة -
mi، ثم يتم استخدام الرموز التالية.
على سبيل المثال، حل المعادلة (4س - الفأس)أ = 6س - 10. هنا x هو المجهول وa هي المعلمة.
ماذا يعني "حل مشكلة باستخدام معلمة"؟
حل مشكلة باستخدام معلمة يعني أنه لكل قيمة للمعلمة a، ابحث عن القيمة x التي تلبي هذه المشكلة، أي. ذلك يعتمد على السؤال في المشكلة.
حل معادلة أو متباينة ذات معلمات يعني:
تحديد ما هي حلول قيم المعلمات؛
لكل نظام مقبول من قيم المعلمات، ابحث عن مجموعة الحلول المقابلة.
ما هي الأنواع الرئيسية من المشاكل مع المعلمة؟
النوع 1.المعادلات والمتباينات التي يجب حلها إما لأي قيمة معلمة أو لقيم معلمات تنتمي إلى مجموعة محددة مسبقًا. يعد هذا النوع من المهام أمرًا أساسيًا عند إتقان موضوع "مشاكل المعلمات".
النوع 2.المعادلات والمتباينات التي من الضروري تحديد عدد الحلول لها اعتمادًا على قيمة المعلمة.
النوع 3.المعادلات والمتباينات التي يلزم من أجلها العثور على جميع قيم المعلمات التي تحتوي المعادلات والمتباينات المحددة لها على عدد معين من الحلول (على وجه الخصوص، ليس لديهم أو لديهم عدد لا حصر له من الحلول). مشاكل النوع 3 هي إلى حد ما عكس مشاكل النوع 2.
النوع 4.المعادلات، عدم المساواة التي، بالنسبة للقيم المطلوبة للمعلمة، مجموعة الحلول تفي بالشروط المحددة في مجال التعريف.
على سبيل المثال، ابحث عن قيم المعلمات التي:
1) يتم تحقيق المعادلة لأي قيمة للمتغير من فترة معينة؛
2) مجموعة حلول المعادلة الأولى هي مجموعة فرعية من مجموعة حلول المعادلة الثانية، الخ.
الطرق الأساسية لحل المشاكل مع المعلمة.
الطريقة الأولى (التحليلية) هذه الطريقة هي ما يسمى بالحل المباشر، وتكرر الطرق القياسية للعثور على إجابة في المسائل بدون معلمة.
الطريقة الثانية. (رسومية) اعتمادًا على المهمة، يتم أخذ الرسوم البيانية في المستوى الإحداثي (x؛ y) أو في المستوى الإحداثي (x؛ a) في الاعتبار.
الطريقة الثالثة (قرار بشأن المعلمة) عند الحل باستخدام هذه الطريقة، يُفترض أن المتغيرين x وa متساويان، ويتم اختيار المتغير الذي يعتبر الحل التحليلي بالنسبة له أبسط. وبعد التبسيط الطبيعي نعود إلى المعنى الأصلي للمتغيرين x وa ونكمل الحل.
تعليق. الخطوة الأساسية في حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات هي كتابة الإجابة. ينطبق هذا بشكل خاص على تلك الأمثلة التي يبدو فيها الحل "متفرعًا" اعتمادًا على قيم المعلمات. في مثل هذه الحالات، يكون إنشاء الرد عبارة عن مجموعة من النتائج التي تم الحصول عليها مسبقًا. وهنا من المهم جدًا ألا تنسى أن تعكس في الإجابة جميع مراحل الحل.
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة. 2.1. قارن -أ و5أ.
حل. ومن الضروري النظر في ثلاث حالات: إذا كان 5A؛
إذا كانت أ = 0، إذن –أ = 5أ؛
إذا كان a> 0، ثم -a
إجابة. عندما 5 أ; عند أ = 0، –أ = 5أ؛ ل > 0، -أ
حل المعادلة الفأس = 1.
إذا كان ≠ 0، فإن x = 1 / أ.
إجابة. بالنسبة لـ = 0 لا توجد حلول؛ ل ≠ 0، س = 1 / أ.
قارن مع و- 7 ج.
حل المعادلة ج س = 10
الموضوع 3.
المعادلات الخطية
معادلات النموذج
حيث a، b ينتميان إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، وx مجهول، وتسمى معادلة خطية بالنسبة لـ x.
مخطط لدراسة المعادلة الخطية (1).
1.إذا كان a ≠ 0، b هو أي رقم حقيقي. المعادلة لها حل فريد x = b/a.
2. إذا كانت a=0, b=0 فإن المعادلة سوف تأخذ الصورة 0 ∙ x = 0، وسيكون حل المعادلة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
3. إذا كانت a=0, b ≠ 0 فإن المعادلة 0 ∙ x = b ليس لها حلول.
تعليق. إذا لم يتم تقديم المعادلة الخطية في النموذج (1)، فأنت بحاجة أولاً إلى إحضارها إلى النموذج (1) وبعد ذلك فقط قم بإجراء الدراسة.
أمثلة. 3.1 حل المعادلة (أ -3)س = ب+2أ
المعادلة مكتوبة بالشكل (1).
الحل: إذا كانت a≠ 3، فإن للمعادلة حل x = b+2a/ a-3 لأي b.
هذا يعني أن القيمة الوحيدة لـ a التي قد لا يكون هناك حلول للمعادلة هي a = 3. في هذه الحالة، المعادلة (a -3)x = b+2a تأخذ الشكل
0 ∙ س = ب+6. (2)
إذا كانت β≠ - 6، فإن المعادلة (2) ليس لها حلول.
إذا كانت β = - 6، فإن أي x هي حل للمسألة (2).
وبالتالي، β = - 6 هي القيمة الوحيدة للمعلمة β التي تحتوي المعادلة (1) لها على حل لأي a (x=2 لـ ≠3 وx تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية لـ a=3).
الجواب: ب = -6.
3.2. حل المعادلة 3(س-2أ) = 4(1-س).
3.3. حل المعادلة 3/kx-12=1/3x-k
3.4. حل المعادلة (أ 2 -1)س = أ 2 - أ -2
3.5. حل المعادلة x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
عمل مستقل.
الخيار 1. حل المعادلات: أ) الإدخال + 2 = - 1؛
ب) (أ – 1)س = أ – 2؛
ج) (أ 2 - 1) س - أ 2 + 2 أ - 1 = 0.
الخيار 2. حل المعادلات: أ) – 8 = في + 1؛
ب) (أ + 1)س = أ – 1؛
ج) (9أ 2 – 4)س – 9أ 2 + 12أ – 4 = 0.
الموضوع 4.
عدم المساواة الخطية مع المعلمة
عدم المساواة
اه> في، اه
حيث a، b عبارة عن تعبيرات تعتمد على المعلمات، وx هو المجهول،تسمى عدم المساواة الخطية مع المعلمات.
حل المتراجحة ذات المعلمات يعني إيجاد مجموعة من الحلول للمتراجحة لجميع قيم المعلمات.
خطة لحل عدم المساواة أX > ج.
إذا كان a > 0، فإن x > b/a.
اذا كان
إذا كانت a = 0، فستأخذ المتراجحة الصورة 0 ∙ x > b. بالنسبة لـ β ≥ 0، ليس للمتباينة حلول؛ في
أمثلة. 4.1. حل المتراجحة a(3x-1)>3x – 2.
الحل: a(3x-1)>3x – 2، وهو ما يعني 3x(a-1)>a-2.
دعونا ننظر في ثلاث حالات.
a=1, الحل 0 ∙ x > -1 هو أي عدد حقيقي.
أ>1، 3x(a-1)>a-2، وهو ما يعني x>a-2/3 (a-1).
وa-2 تعني x
2ax +5 > أ+10x .
(أ + 1)س – 3أ + 1 ≥ 0.
× 2 + الفأس +1 > 0.
عمل مستقل.
الخيار 1.حل المتباينات: أ) ( أ- 1) س ≤ أ 2 – 1;
ب) 3x-أ > آه – 2.
الخيار 2.حل المتباينات: أ) (أ – 1)س - 2أ +3 ≥ 0؛
ب) آه-2ج
الموضوع 5.
المعادلات التربيعية التي تحتوي على المعلمات. نظرية فييتا.
معادلة النموذج
الفأس 2 + في + ج = 0، (1)
حيث a، b، c هي تعبيرات تعتمد على المعلمات، a ≠ 0، x مجهولة، تسمى معادلة تربيعية ذات معلمات.
مخطط لدراسة المعادلة التربيعية (1).
إذا كانت a = 0، فلدينا المعادلة الخطية bx + c = 0.
إذا كان ≠ 0 ومميز المعادلة D = 2 – 4ac
إذا كان a ≠ 0 و D = 0، فإن المعادلة لها حل فريد x = - B / 2a أو، كما يقولون أيضًا، جذور متطابقة x 1 = x 2 = - B / 2a.
إذا كان a ≠ 0 وD > 0، فإن المعادلة لها جذرين مختلفين X 1.2 = (- V ± √D) / 2a
أمثلة. 5.1. لجميع قيم المعلمة أ، حل المعادلة
(أ – 1) × 2 – 2أكس + أ + 2 = 0.
حل. 1. أ – 1 = 0، أي. أ = 1. إذن ستأخذ المعادلة الشكل -2س + 3 = 0، س = 3 / 2.
2. أ ≠ 1. دعونا نوجد مميز المعادلة D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.
الحالات التالية ممكنة: أ) د 8، أ > 2. المعادلة لا تملك
ب) د = 0، أي. -4أ + 8 = 0، 4أ = 8، أ = 2. المعادلة لها واحد
الجذر س = أ / (أ – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
ج) د > 0، أي -4 أ + 8 > 0.4 أ
جذر x 1.2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a – 1)
إجابة. عندما أ = 1 س = 3 / 2؛
عندما =2 س = 2؛
لـ > 2 لا توجد جذور؛
لجميع قيم المعلمات، حل المعادلات:
الفأس 2 + 3فأس – أ – 2 = 0;
الفأس 2 +6س – 6 = 0;
في 2 - (في + 1)س +1 = 0؛
(ب + 1) × 2 – 2س + 1 – ب = 0.
عمل مستقل.
الخيار 1. حل المعادلة 2 - (أ+3)س + 3 = 0.
الخيار 2. حل المعادلة أ 2 + (أ + 1)س + 2أ-4 = 0.
مهام.
. ابحث عن جميع قيم المعلمة a التي لها المعادلة التربيعية
حل. هذه المعادلة تربيعية بالشرط، وهو ما يعني
أ – 1 ≠ 0، أي. أ ≠ 1. لنوجد المميز D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4(4أ 2 + 4أ + 1 – 4أ 2 + أ + 3) = 4(5أ + 4).
لدينا: 1) لـ ≠ 1 و D > 0، أي. 4(5a + 4) > 0, a > - 4 / 5 تحتوي المعادلة على اثنين
جذور مختلفة.
2) بالنسبة لـ ≠ 1 وD
3) بالنسبة لـ ≠ 1 و D = 0، أي أ = - 4 / 5 للمعادلة جذر واحد.
إجابة. إذا كان a > - 4 / 5 و ≠ 1، فإن المعادلة لها جذرين مختلفين؛
إذا كانت أ = - 4 / 5، فإن المعادلة لها جذر واحد.
ما هي قيم المعلمة a التي يكون للمعادلة (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 حل فريد؟
ما هي قيم المعلمة a التي لا يوجد فيها حلول للمعادلة (a 2 - a - 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0؟
ما هي قيم المعلمة a التي تحتوي المعادلة 2 - (2a+3)x+a+5=0 على جذرين مختلفين؟
عمل مستقل.
الخيار 1.البحث عن كافة قيم المعلمات أحيث المعادلة التربيعية (2 أ – 1)X 2 +2X– 1 = 0 له جذرين مختلفين؛ ليس له جذور. له جذر واحد.
الخيار 2.. أوجد كافة قيم المعلمة a التي لها المعادلة التربيعية (1 – أ)X 2 +4X– 3 = 0 له جذرين مختلفين؛ ليس له جذور. له جذر واحد.
نظرية فييتا.
تُستخدم النظريات التالية لحل العديد من المشكلات التي تتضمن معادلات تربيعية تحتوي على معلمات.
نظرية فييتا.إذا كانت x 1 وx 2 هي جذور المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0, a≠0، فإن x 1 + x 2 = - B / a وx 1 ∙ x 2 = C / a.
النظرية 1.لكي تكون جذور المربع ثلاثي الحدود 2 + bx + c حقيقية ولها نفس العلامات، من الضروري والكافي استيفاء الشروط التالية: D = في 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = ج/أ > 0.
في هذه الحالة، سيكون كلا الجذرين موجبًا إذا كان x 1 + x 2 = - B /a > 0، وسيكون كلا الجذرين سالبًا إذا كان x 1 + x 2 = - B /a
النظرية 2.لكي تكون جذور مربع ثلاثي الحدود 2 + bx + c حقيقية وكلاهما غير سالب أو كلاهما غير موجب، فمن الضروري والكافي تحقيق الشروط التالية: D = في 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ × 2 = C /a≥ 0.
في هذه الحالة، سيكون كلا الجذرين غير سالبين إذا كان x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0، وسيكون كلا الجذرين غير موجبين إذا كان x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0.
النظرية 3.لكي تكون جذور ثلاثية الحدود التربيعية 2 + bx + c حقيقية ولها إشارات مختلفة، من الضروري والكافي تحقيق الشروط التالية: x 1 ∙ x 2 = C /a في هذه الحالة، الشرط D = ب 2 - 4ac > 0 يتم استيفاءه تلقائيًا.
ملحوظة.تلعب هذه النظريات دورًا مهمًا في حل المشكلات المتعلقة بدراسة إشارات جذور المعادلة ax 2 + bx + c = 0.
المساواة المفيدة:س 1 2 + س 2 2 = (س 1 + س 2) 2 - 2س 1 × 2، (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2)، (2)
(س 1 - س 2) 2 = (س 1 + س 2) 2 - 4س 1 × 2، (3)
(5)
5.10.
(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 له: أ) جذرين موجبين؛ ب) جذرين سلبيين؛ ج) جذور العلامات المختلفة؟
حل. المعادلة تربيعية، وتعني ≠ 1. حسب نظرية فييتا لدينا
س 1 + س 2 = 2أ / (أ – 1) ، × 1 × 2 = (أ + 1) / (أ – 1) .
لنحسب المميز D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.
أ) وفقا للنظرية 1، فإن المعادلة لها جذور موجبة إذا
د ≥ 0، × 1 × 2 > 0، × 1 + × 2 > 0، أي. (أ + 1) / (أ – 1) > 0، 2أ / (أ – 1) > 0.
ومن ثم є (-1؛ 0).
ب) وفقا للنظرية 1، فإن المعادلة لها جذور سلبية إذا
د ≥ 0، × 1 × 2 > 0، × 1 + × 2 0، 2أ / (أ – 1)
ومن ثم є (0 ؛ 1).
ج) وفقا للنظرية 3، فإن المعادلة لها جذور لإشارات مختلفة إذا كان x 1 x 2
(أ+1) / (أ – 1) الإجابة. أ) بالنسبة لـ є (-1; 0) للمعادلة جذور موجبة؛
ب) بالنسبة لـ є (0؛ 1) للمعادلة جذور سلبية؛
ج) بالنسبة لـ є (-1; 1)، فإن المعادلة لها جذور لعلامات مختلفة.
5.11.
عند أي قيم للمعلمة a هي المعادلة التربيعية
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 لها: أ) جذرين موجبين؛ ب) جذرين سلبيين؛ ج) جذور العلامات المختلفة؟
5. 12. بدون حل المعادلة 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0، أوجد x 1 -1 + x 2 -1، حيث x 1، x 2 هما جذور المعادلة.
5.13. ما هي قيم المعلمة a التي تكون للمعادلة x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 جذور مجموع مربعاتها 4.
امتحان.
الخيار 1. 1. حل المعادلة (أ 2 + 4 أ) س = 2 أ + 8.
2. حل المتراجحة (في + 1)x ≥ (في 2 – 1).
3. ما هي قيم المعلمة أ التي تقوم بها المعادلة
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 له: أ) جذرين موجبين؛ ب) جذرين سلبيين؛ ج) جذور العلامات المختلفة؟
الخيار 2. 1. حل المعادلة (أ 2 - 2 أ) س = 3 أ.
2. حل المتراجحة (أ + 2)x ≥ أ 2 – 4.
3. ما هي قيم المعلمة في المعادلة
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 له: أ) جذرين موجبين؛ ب) جذرين سلبيين؛ ج) جذور العلامات المختلفة؟
الأدب.
في. موشالوف، ف. سيلفستروف. المعادلات والمتباينات مع المعلمات. الفصل: دار النشر ChSU، 2004. – 175 ص.
ياستربينسكي ج. مشاكل مع المعلمات. م: التربية، 1986، - 128 ص.
باشماكوف م. الجبر وبدايات التحليل. كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من المدرسة الثانوية. م: التربية، 1991. – 351 ص.
تي بيسكوفا. المقدمة الأولى إلى المعلمات في المعادلات. صحيفة "الرياضيات" التربوية والمنهجية. رقم 36، 1999.
تي كوسياكوفا. حل المتباينات الخطية والتربيعية التي تحتوي على معلمات. الصف التاسع المجلة التربوية والمنهجية "الرياضيات العدد 25 - 26، العدد 27 - 28. 2004".
تي جورشينينا. مشاكل مع المعلمة. الصف 8 صحيفة "الرياضيات" التربوية والمنهجية. رقم 16. 2004.
ش. تسيجانوف. ثلاثية الحدود والمعلمات. صحيفة "الرياضيات" التربوية والمنهجية. رقم 5. 1999.
إس نديليفا. ميزات حل المشاكل مع المعلمة. صحيفة "الرياضيات" التربوية والمنهجية. رقم 34. 1999.
