Каква е същността на теоремата на Поанкаре?
- Е доказа ЧЕРВЕНОкосата София, но и тя е ЧЕРВЕНОКА....
- Изводът е, че Вселената не е оформена като сфера, а като поничка.
- Смисълът на хипотезата на Поанкаре в нейната оригинална формулировка е, че за всяко триизмерно тяло без дупки има трансформация, която ще позволи то да бъде превърнато в топка без рязане и лепене. Ако това изглежда очевидно, тогава какво ще стане, ако пространството не е триизмерно, а съдържа десет или единадесет измерения (тоест говорим за обобщена формулировка на хипотезата на Поанкаре, която Перелман доказа)
- не можеш да го кажеш с 2 думи
- През 1900 г. Поанкаре предполага, че триизмерно многообразие с всички хомоложни групи на сфера е хомеоморфно на сфера. През 1904 г. той намира и контрапример, сега наричан сфера на Поанкаре, и формулира окончателната версия на своята хипотеза. Опитите да се докаже хипотезата на Поанкаре доведоха до многобройни постижения в топологията на многообразията.
Доказателства на обобщената хипотеза на Поанкаре за n #10878; 5 са получени в началото на 1960-те и 1970-те години почти едновременно от Смейл, независимо и чрез други методи от Столингс (на английски) (за n #10878; 7, неговото доказателство е разширено до случаите n = 5 и 6 от Zeeman (на английски)) . Доказателство за много по-трудния случай n = 4 е получено едва през 1982 г. от Фридман. От теоремата на Новиков за топологичната инвариантност на характеристичните класове на Понтрягин следва, че съществуват хомотопично еквивалентни, но не и хомеоморфни, многообразия във високи размерности.
Доказателството на оригиналната хипотеза на Поанкаре (и по-общата хипотеза на Трстън) е намерено едва през 2002 г. от Григорий Перелман. Впоследствие доказателството на Перелман е проверено и представено в разширен вид от поне три групи учени. 1 Доказателството използва потока на Ричи с операция и до голяма степен следва плана, очертан от Хамилтън, който също беше първият, който използва потока на Ричи.
- кой е това
- Теорема на Поанкаре:
Теорема на Поанкаре за векторни полета
Теорема на Поанкаре на Бендиксън
Теорема на Поанкаре за класификацията на хомеоморфизмите на кръгове
Хипотезата на Поанкаре за хомотопичната сфера
Теорема за връщане на ПоанкареЗа кое питаш?
- В теорията на динамичните системи теоремата на Поанкаре за класификацията на хомеоморфизмите на окръжността описва възможни типове обратима динамика на окръжността в зависимост от числото на въртене p(f) на итерираното преобразуване f. Грубо казано, оказва се, че динамиката на итерациите на картографиране е до известна степен подобна на динамиката на завъртане под съответния ъгъл.
А именно, нека е даден кръгов хомеоморфизъм f. Тогава:
1) Числото на въртене е рационално тогава и само ако f има периодични точки. В този случай знаменателят на числото на въртене е периодът на всяка периодична точка и цикличният ред в окръжността на точките на всяка периодична орбита е същият като този на точките на ротационната орбита на p(f). Освен това, всяка траектория има тенденция към известна периодичност както в предно, така и в обратно време (траекториите на границата на a- и -w могат да бъдат различни).
2) Ако числото на въртене f е ирационално, тогава са възможни два варианта:
i) или f има плътна орбита, в който случай хомеоморфизмът на f е спрегнат на ротация с p(f). В този случай всички орбити на f са плътни (тъй като това е вярно за ирационално въртене);
ii) или f има инвариантно множество на Кантор C, което е единственото минимално множество от системата. В този случай всички траектории се стремят към C както напред, така и назад във времето. В допълнение, преобразуването f е полуконюгатно на въртенето с p(f): за някакво преобразуване h от степен 1, p o f =R p (f) o hОсвен това множеството C е точно множеството от точки на растеж на h; с други думи, от топологична гледна точка h свива интервалите на допълнението към C.
- същината на въпроса е 1 милион долара
- Фактът, че никой не я разбира освен 1 човек
- Във френската външна политика...
- Тук Lka отговори най-добре http://otvet.mail.ru/question/24963208/
- Блестящият математик и парижки професор, Анри Поанкаре, работи в различни области на тази наука. Независимо и независимо от работата на Айнщайн през 1905 г. той излага основните принципи на Специалната теория на относителността. И той формулира известната си хипотеза през 1904 г., така че отне около век, за да я разреши.
Поанкаре е един от основателите на топологията, науката за свойствата на геометричните фигури, които не се променят при деформации, които се случват без прекъсвания. Например, един балон може лесно да се деформира в различни форми, както правят децата в парка. Но ще трябва да отрежете топката, за да я усучете в поничка (или, на геометричен език, тор); няма друг начин. И обратното: вземете гумена поничка и се опитайте да я превърнете в сфера. Въпреки това, пак няма да работи. Според техните топологични свойства повърхнините на сфера и тор са несъвместими или нехомеоморфни. Но всички повърхности без дупки (затворени повърхности), напротив, са хомеоморфни и могат да се деформират и да се превърнат в сфера.
Ако всичко беше решено за двумерните повърхности на сферата и торуса през 19 век, отне много повече време за по-многоизмерни случаи. Това всъщност е същността на хипотезата на Поанкаре, която разширява модела до многомерни случаи. Опростявайки малко, хипотезата на Поанкаре гласи: Всяко просто свързано затворено n-мерно многообразие е хомеоморфно на n-мерна сфера. Забавно е, че вариантът с триизмерни повърхности се оказа най-труден. През 1960 г. хипотезата е доказана за размери 5 и по-високи, през 1981 г. за n=4. Препъникамъкът беше именно триизмерността.
Развивайки идеите на Уилям Тръстен и Ричард Хамилтън, предложени от тях през 80-те години, Григорий Перелман прилага специално уравнение за плавна еволюция към триизмерни повърхности. И той успя да покаже, че първоначалната триизмерна повърхност (ако в нея няма прекъсвания) непременно ще се развие в триизмерна сфера (това е повърхността на четириизмерна топка и тя съществува в 4-измерна пространство). Според редица експерти това е идея от ново поколение, чието решение открива нови хоризонти пред математическата наука.
Интересно е, че по някаква причина самият Перелман не си направи труда да доведе решението си до окончателен блясък. След като описва решението като цяло в препринта Формулата на ентропията за потока на Ричи и нейните геометрични приложения през ноември 2002 г., през март 2003 г. той допълва доказателството и го представя в предпринта на потока на Ричи с операция върху три многообразия, а също така докладва по метода в поредицата лекции, които изнася през 2003 г. по покана на редица университети. Никой от рецензентите не можа да намери грешки в предложената от него версия, но Перелман не публикува публикация в рецензирана научна публикация (което по-специално беше необходимо условие за получаване на наградата на математическия институт на Клей). Но през 2006 г., въз основа на неговия метод, беше издаден цял набор от доказателства, в които американски и китайски математици разгледаха проблема подробно и напълно, допълниха точките, пропуснати от Перелман, и дадоха окончателното доказателство на хипотезата на Поанкаре.
- Обобщената хипотеза на Поанкаре гласи, че:
За всяко n всяко многообразие с размерност n е хомотопично еквивалентно на сфера с размерност n тогава и само ако е хомеоморфно на нея.
Оригиналната хипотеза на Поанкаре е специален случай на обобщената хипотеза за n = 3.
За пояснение отидете в гората да берете гъби, там отива Григорий Перелман) - Теоремата за връщане на Поанкаре е една от основните теореми на ергодичната теория. Неговата същност е, че при картографиране на пространството върху себе си, запазващо мярката, почти всяка точка ще се върне в първоначалния си съсед. Пълната формулировка на теоремата е както следва: 1:
Нека е трансформация, запазваща мярката, на пространство с крайна мярка и нека е измеримо множество. Тогава за всеки естествен
.
Тази теорема има неочаквано следствие: оказва се, че ако в съд, разделен с преграда на две отделения, едното от които е пълно с газ, а другото е празно, преградата бъде премахната, тогава след известно време всички газови молекули ще отново се събират в оригиналната част на съда. Решението на този парадокс е, че известно време е от порядъка на милиарди години. - той има теореми като заклани кучета в Корея...
вселената е сферична... http://ru.wikipedia.org/wiki/Поанкаре, Анри
Вчера учените обявиха, че Вселената е замръзнало вещество... и поискаха много пари, за да докажат това... отново Мерикос ще пуснат печатарската преса... за забавление на яйцеглавите...
- Опитайте се да докажете къде е горе и долу при нулева гравитация.
- Вчера имаше един прекрасен филм на тема КУЛТУРА, в който този проблем беше обяснен подробно. Може би все още го имат?
http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
Влезте в Yandex и напишете Film about Perelman и отидете на филма
Григорий Перелман. отказник
Василий Максимов
През август 2006 г. бяха обявени имената на най-добрите математици на планетата, които получиха престижния медал на Фийлдс - своеобразен аналог на Нобеловата награда, от която математиците, по прищявка на Алфред Нобел, бяха лишени. Медалът на Фийлдс - в допълнение към почетната значка, победителите получават чек за петнадесет хиляди канадски долара - се присъжда от Международния конгрес на математиците на всеки четири години. Създадена е от канадския учен Джон Чарлз Фийлдс и е присъдена за първи път през 1936 г. От 1950 г. медалът на Филдс се връчва редовно лично от краля на Испания за приноса му в развитието на математическата наука. Лауреати могат да бъдат от един до четирима учени на възраст под четиридесет години. Четиридесет и четирима математици, включително осем руснаци, вече са получили наградата.
Григорий Перелман. Анри Поанкаре.
През 2006 г. лауреати са французинът Венделин Вернер, австралиецът Теренс Тао и двама руснаци - Андрей Окунков, работещ в САЩ, и Григорий Перелман, учен от Санкт Петербург. В последния момент обаче стана известно, че Перелман е отказал тази престижна награда - както съобщиха организаторите, "по принципни причини".
Подобна екстравагантна постъпка на руския математик не беше изненада за хората, които го познаваха. Това не е първият път, когато той отказва математически награди, като обяснява решението си с това, че не обича церемониалните събития и излишната шумотевица около името му. Преди десет години, през 1996 г., Перелман отказа наградата на Европейския математически конгрес, позовавайки се на факта, че не е завършил работата по номинирания за наградата научен проблем и това не беше последният случай. Руският математик като че ли си постави за цел живота да изненадва хората, противопоставяйки се на общественото мнение и научната общност.
Григорий Яковлевич Перелман е роден на 13 юни 1966 г. в Ленинград. От малък той обичаше точните науки, блестящо завършва известната 239-та гимназия със задълбочено изучаване на математика, печели множество математически олимпиади: например през 1982 г., като част от екип от съветски ученици, той участва в Международната олимпиада по математика в Будапеща. Без изпити Перелман е записан във Факултета по механика и математика на Ленинградския университет, където учи с отлични оценки, продължавайки да печели математически състезания на всички нива. След като завършва университета с отличие, той влиза в аспирантура в петербургския клон на Математическия институт на Стеклов. Негов научен ръководител е известният математик академик Александров. След като защити докторската си дисертация, Григорий Перелман остана в института, в лабораторията по геометрия и топология. Неговата работа по теорията на пространствата на Александров е известна; той успя да намери доказателства за редица важни предположения. Въпреки многобройните предложения от водещи западни университети, Перелман предпочита да работи в Русия.
Най-забележителният му успех е решението през 2002 г. на известната хипотеза на Поанкаре, публикувана през 1904 г. и оттогава остава недоказана. Перелман работи върху него осем години. Хипотезата на Поанкаре се смяташе за една от най-големите математически мистерии, а решението й се смяташе за най-важното постижение в математическата наука: то незабавно ще даде напредък в изследванията на проблемите на физическите и математическите основи на Вселената. Най-видните умове на планетата предсказаха решението му само след няколко десетилетия, а Институтът по математика Клей в Кеймбридж, Масачузетс, включи проблема на Поанкаре сред седемте най-интересни нерешени математически проблема на хилядолетието, за решението на всеки от които беше обещана награда от милион долара (Проблеми с наградата на хилядолетието).
Хипотезата (понякога наричана проблем) на френския математик Анри Поанкаре (1854–1912) е формулирана по следния начин: всяко затворено едносвързано триизмерно пространство е хомеоморфно на триизмерна сфера. За да изясните, използвайте ясен пример: ако увиете ябълка с гумена лента, тогава по принцип, като затегнете лентата, можете да компресирате ябълката в точка. Ако увиете поничка със същата лента, не можете да я компресирате до точка, без да разкъсате поничката или гумата. В този контекст една ябълка се нарича „просто свързана“ фигура, но поничката не е просто свързана. Преди почти сто години Поанкаре установява, че двуизмерната сфера е просто свързана и предполага, че триизмерната сфера също е просто свързана. Най-добрите математици в света не можаха да докажат тази хипотеза.
За да се класира за наградата на института Клей, Перелман трябваше само да публикува решението си в едно от научните списания и ако в рамките на две години никой не можеше да намери грешка в изчисленията му, тогава решението щеше да се счита за правилно. Въпреки това Перелман се отклонява от правилата от самото начало, публикувайки решението си на уебсайта за предпечат на научната лаборатория в Лос Аламос. Може би се страхуваше, че в изчисленията му се е промъкнала грешка - подобна история вече се е случила в математиката. През 1994 г. английският математик Андрю Уайлс предложи решение на известната теорема на Ферма и няколко месеца по-късно се оказа, че в неговите изчисления се е прокраднала грешка (въпреки че по-късно тя е коригирана и сензацията все още се случва). Все още няма официално публикуване на доказателството на хипотезата на Поанкаре, но има авторитетно мнение на най-добрите математици на планетата, потвърждаващо правилността на изчисленията на Перелман.
Медалът на Фийлдс е присъден на Григорий Перелман именно за решаването на проблема на Поанкаре. Но руският учен отказа наградата, която несъмнено заслужава. „Грегъри ми каза, че се чувства изолиран от международната математическа общност, извън тази общност, и затова не иска да получи наградата“, каза англичанинът Джон Бол, президент на Световния съюз на математиците (WUM), на пресконференция в Мадрид.
Носят се слухове, че Григорий Перелман изобщо ще напусне науката: преди шест месеца той напусна родния си Математически институт „Стеклов“ и казват, че повече няма да учи математика. Може би руският учен смята, че доказвайки известната хипотеза, той е направил всичко възможно за науката. Но кой ще се заеме да обсъжда хода на мислите на такъв ярък учен и необикновена личност?.. Перелман отказва всякакви коментари и каза пред вестник The Daily Telegraph: „Нищо от това, което мога да кажа, не е от най-малък обществен интерес.“ Водещи научни издания обаче бяха единодушни в оценките си, когато съобщиха, че „Григорий Перелман, след като разреши теоремата на Поанкаре, застана наравно с най-големите гении на миналото и настоящето“.
Месечно литературно и публицистично списание и издателство.
Учените смятат, че 38-годишният руски математик Григорий Перелман е предложил правилното решение на проблема на Поанкаре. Кийт Девлин, професор по математика в Станфордския университет, каза това на научния фестивал в Ексетър (Великобритания).
Проблемът на Поанкаре (наричан още проблем или хипотеза) е един от седемте най-важни математически проблема, за решението на всеки от които той присъжда награда от един милион долара. Това привлече толкова широко внимание към резултатите, получени от Григорий Перелман, служител на лабораторията по математическа физика.
Учените по света научиха за постиженията на Перелман от два препринта (статии, предхождащи пълноценна научна публикация), публикувани от автора през ноември 2002 г. и март 2003 г. на уебсайта на архива на предварителните разработки на научната лаборатория в Лос Аламос.
Според правилата, приети от Научния консултативен съвет на института Клей, нова хипотеза трябва да бъде публикувана в специализирано списание с "международна репутация". Освен това, според правилата на института, решението за изплащане на наградата в крайна сметка се взема от „математическата общност“: доказателството не трябва да бъде опровергавано в рамките на две години след публикуването. Всяко доказателство се проверява от математици в различни страни по света.
Проблем на Поанкаре
Роден на 13 юни 1966 г. в Ленинград, в семейство на служители. Завършва известното средно училище № 239 със задълбочено изучаване на математика. През 1982 г., като част от екип от съветски ученици, той участва в Международната олимпиада по математика, проведена в Будапеща. Записан е математика и механика в Ленинградския държавен университет без изпити. Печели факултетски, градски и всесъюзни студентски математически олимпиади. Получава Ленинска стипендия. След като завършва университета, Перелман постъпва в аспирантура в петербургския клон на Математическия институт на Стеклов. Кандидат на физико-математическите науки. Работи в лабораторията по математическа физика.
Проблемът на Поанкаре се отнася до областта на така наречената топология на многообразията - пространства, подредени по специален начин, които имат различни измерения. Двумерните многообразия могат да бъдат визуализирани, например, като се използва примерът на повърхността на триизмерни тела - сфера (повърхността на топка) или тор (повърхността на поничка).
Лесно е да си представим какво ще се случи с един балон, ако бъде деформиран (огънат, усукан, издърпан, компресиран, притиснат, изпуснат или надут). Ясно е, че при всички горепосочени деформации топката ще промени формата си в широк диапазон. Никога обаче няма да можем да превърнем топката в поничка (или обратното), без да нарушим непрекъснатостта на повърхността й, тоест без да я разкъсаме. В този случай тополозите казват, че сферата (топката) не е хомеоморфна на тора (поничката). Това означава, че тези повърхности не могат да бъдат нанесени една на друга. С прости думи сферата и торът са различни по своите топологични свойства. И повърхността на балон, при всички възможни деформации, е хомеоморфна на сфера, точно както повърхността на спасителен пояс е на тор. С други думи, всяка затворена двумерна повърхност, която няма проходни отвори, има същите топологични свойства като двумерна сфера.
ТОПОЛОГИЯ, дял от математиката, който се занимава с изучаването на свойствата на фигури (или пространства), които се запазват при непрекъснати деформации, като разтягане, компресия или огъване. Непрекъснатата деформация е деформация на фигура, при която няма счупвания (т.е. нарушаване на целостта на фигурата) или залепване (т.е. идентифициране на нейните точки).
ТОПОЛОГИЧНА ТРАНСФОРМАЦИЯ на една геометрична фигура в друга е преобразуване на произволна точка P от първата фигура в точка P' от друга фигура, което отговаря на следните условия: 1) всяка точка P от първата фигура трябва да съответства на една и само една точка P' на втората фигура и обратно; 2) Картографирането трябва да бъде взаимно непрекъснато. Например, има две точки P и N, принадлежащи на една и съща фигура. Ако, когато точка P се премести в точка N, разстоянието между тях клони към нула, то разстоянието между точките P' и N' на друга фигура също трябва да клони към нула и обратно.
ХОМЕОМОРФИЗЪМ. Геометричните фигури, които се превръщат една в друга по време на топологични трансформации, се наричат хомеоморфни. Кръгът и границата на квадрат са хомеоморфни, тъй като могат да бъдат преобразувани един в друг чрез топологична трансформация (т.е. огъване и разтягане без счупване или залепване, например разтягане на границата на квадрат към кръга, описан около него) . Област, в която всяка затворена проста (т.е. хомеоморфна на кръг) крива може да бъде свита до точка, като остава в тази област през цялото време, се нарича просто свързана, а съответното свойство на региона е просто свързано. Ако някаква затворена проста крива на този регион не може да се свие до точка, оставайки през цялото време в този регион, тогава регионът се нарича многосвързан, а съответното свойство на региона се нарича многосвързан.
Проблемът на Поанкаре твърди същото за тримерни многообразия (за двумерни многообразия, като сферата, тази точка е доказана още през 19 век). Както отбелязва френският математик, едно от най-важните свойства на двуизмерната сфера е, че всеки затворен контур (например ласо), лежащ върху него, може да бъде изтеглен до една точка, без да напуска повърхността. За торус това не винаги е вярно: примка, минаваща през неговия отвор, ще бъде изтеглена до точка или когато торът е счупен, или когато самата примка е счупена. През 1904 г. Поанкаре предлага, че ако една линия може да се свие до точка на затворена триизмерна повърхност, тогава такава повърхност е хомеоморфна на триизмерна сфера. Доказването на тази хипотеза се оказва изключително трудна задача.
Нека веднага да изясним: формулировката на проблема на Поанкаре, която споменахме, изобщо не говори за триизмерна топка, която можем да си представим без много затруднения, а за триизмерна сфера, тоест за повърхността на четири -измерителна топка, която е много по-трудна за представяне. Но в края на 50-те години на миналия век изведнъж стана ясно, че много по-лесно се работи с колектори с високи размери, отколкото с три- и четириизмерни. Очевидно липсата на яснота далеч не е основната трудност, с която математиците се сблъскват в своите изследвания.
Проблем, подобен на този на Поанкаре за размери 5 и по-високи, беше решен през 1960 г. от Стивън Смейл, Джон Сталингс и Андрю Уолъс. Подходите, използвани от тези учени обаче, се оказват неприложими към четириизмерни многообразия. За тях проблемът на Поанкаре е доказан едва през 1981 г. от Майкъл Фридман. Най-труден се оказа триизмерният случай; Григорий Перелман предлага своето решение.
Трябва да се отбележи, че Перелман има съперник. През април 2002 г. Мартин Дънууди, професор по математика в британския университет в Саутхемптън, предложи своя метод за решаване на проблема на Поанкаре и сега очаква присъда от института Клей.
Експертите смятат, че решаването на проблема на Поанкаре ще позволи да се направи сериозна стъпка в математическото описание на физическите процеси в сложни триизмерни обекти и ще даде нов тласък на развитието на компютърната топология. Методът, предложен от Григорий Перелман, ще доведе до откриването на нова посока в геометрията и топологията. Математикът от Санкт Петербург може и да се класира за наградата „Фийлдс“ (аналог на Нобеловата награда, която не се присъжда по математика).
Междувременно някои намират поведението на Григорий Перелман за странно. Ето какво пише британският вестник The Guardian: "Най-вероятно подходът на Перелман към решаването на проблема на Поанкаре е правилен. Но не всичко е толкова просто. Перелман не предоставя доказателства, че работата е публикувана като пълноценна научна публикация (препечатки не се считат за такива). И това е необходимо, ако човек иска да получи награда от института Клей. Освен това той изобщо не се интересува от пари."
Очевидно за Григорий Перелман, като за истински учен, парите не са основното. За решаването на който и да е от така наречените „проблеми на хилядолетието“ истинският математик ще продаде душата си на дявола.
Списък на хилядолетието
На 8 август 1900 г. на Международния конгрес по математика в Париж математикът Дейвид Хилберт очерта списък от проблеми, които според него ще трябва да бъдат решени през двадесети век. В списъка имаше 23 позиции. Двадесет и едно от тях са решени до момента. Последният проблем в списъка на Хилберт за решаване е известната теорема на Ферма, която учените не са успели да решат в продължение на 358 години. През 1994 г. британецът Андрю Уайлс предлага своето решение. Оказа се истина.
Следвайки примера на Гилбърт, в края на миналия век много математици се опитаха да формулират подобни стратегически задачи за 21 век. Един от тези списъци стана широко известен благодарение на бостънския милиардер Ландън Т. Клей. През 1998 г. с негови средства са основани и учредени награди в Кеймбридж (Масачузетс, САЩ) за решаване на редица от най-важните проблеми на съвременната математика. На 24 май 2000 г. експертите на института избраха седем проблема - според броя на милионите долари, отпуснати за наградата. Списъкът се нарича Millennium Prize Problems:
1. Проблемът на Кук (формулиран през 1971 г.)
Да речем, че вие, като сте в голяма компания, искате да сте сигурни, че вашият приятел също е там. Ако ви кажат, че той седи в ъгъла, тогава част от секундата ще ви е достатъчна, за да хвърлите един поглед и да се убедите в истинността на информацията. Без тази информация ще бъдете принудени да обиколите цялата стая, гледайки гостите. Това предполага, че решаването на проблем често отнема повече време от проверката на правилността на решението.
Стивън Кук формулира проблема: може ли проверката на правилността на решение на проблем да отнеме повече време от получаването на самото решение, независимо от алгоритъма за проверка. Този проблем също е един от нерешените проблеми в областта на логиката и компютърните науки. Неговото решение може да революционизира основите на криптографията, използвана при предаване и съхранение на данни.
2. Хипотеза на Риман (формулирана през 1859 г.)
Някои цели числа не могат да бъдат изразени като произведение на две по-малки цели числа, като 2, 3, 5, 7 и т.н. Такива числа се наричат прости числа и играят важна роля в чистата математика и нейните приложения. Разпределението на простите числа сред сериите от всички естествени числа не следва никакъв модел. Въпреки това немският математик Риман направи предположение относно свойствата на поредица от прости числа. Ако хипотезата на Риман бъде доказана, това ще доведе до революционна промяна в познанията ни за криптирането и до безпрецедентен пробив в интернет сигурността.
3. Хипотезата на Birch и Swinnerton-Dyer (формулирана през 1960 г.)
Свързано с описанието на набор от решения на някои алгебрични уравнения в няколко променливи с цели коефициенти. Пример за такова уравнение е изразът x 2 + y 2 = z 2. Евклид дава пълно описание на решенията на това уравнение, но за по-сложни уравнения намирането на решения става изключително трудно.
4. Хипотезата на Ходж (формулирана през 1941 г.)
През 20 век математиците откриват мощен метод за изследване на формата на сложни обекти. Основната идея е вместо самия обект да се използват обикновени „тухлички“, които се слепват и образуват неговото подобие. Хипотезата на Ходж е свързана с някои предположения относно свойствата на такива „градивни елементи“ и обекти.
5. Уравнения на Навие - Стокс (формулирани през 1822 г.)
 |
Ако плавате с лодка по езеро, ще се появят вълни, а ако летите със самолет, във въздуха ще възникнат турбулентни течения. Предполага се, че тези и други явления се описват с уравнения, известни като уравненията на Навие-Стокс. Решенията на тези уравнения са неизвестни и дори не се знае как да бъдат решени. Необходимо е да се покаже, че решението съществува и е достатъчно гладка функция. Решаването на този проблем значително ще промени методите за извършване на хидро- и аеродинамични изчисления.
6. Проблем на Поанкаре (формулиран през 1904 г.)
Ако опъвате ластик върху ябълка, можете, като бавно движите лентата, без да я повдигате от повърхността, да я компресирате до точка. От друга страна, ако същата гумена лента е подходящо опъната около поничка, няма начин да компресирате лентата до точка, без да разкъсате лентата или да счупите поничката. Казват, че повърхността на ябълката е просто свързана, но повърхността на поничката не е. Оказа се толкова трудно да се докаже, че само сферата е просто свързана, че математиците все още търсят верния отговор.
7. Уравнения на Янг-Милс (формулирани през 1954 г.)
Уравненията на квантовата физика описват света на елементарните частици. Физиците Йънг и Милс, след като откриха връзката между геометрията и физиката на елементарните частици, написаха своите уравнения. Така те намериха начин да обединят теориите за електромагнитните, слабите и силните взаимодействия. Уравненията на Янг-Милс предполагат съществуването на частици, които действително са наблюдавани в лаборатории по целия свят, така че теорията на Янг-Милс се приема от повечето физици въпреки факта, че в рамките на тази теория все още не е възможно да се предвиди маси на елементарни частици.
Михаил Витебски
„Проблемът, който беше решен Перелман,е изискването за доказване на хипотеза, изложена през 1904 г. от великия френски математик Анри Поанкаре(1854-1912) и носещ неговото име. Трудно е да се каже по-добре за ролята на Поанкаре в математиката, отколкото се прави в енциклопедията: „Произведенията на Поанкаре в областта на математиката, от една страна, завършват класическото направление, а от друга отварят пътя към развитието на новата математика, където наред с количествените отношения се установяват факти, които имат качествен характер“ (ТСБ, 3 изд., том 2). Хипотезата на Поанкаре е именно от качествен характер – като цялата област на математиката (а именно топологията), към която се отнася и в чието създаване Поанкаре взема решаващо участие.
На съвременен език хипотезата на Поанкаре звучи така: всяко просто свързано компактно триизмерно многообразие без граница е хомеоморфно на триизмерна сфера.
В следващите параграфи ще се опитаме поне частично и много грубо да обясним значението на тази ужасяваща словесна формула. Като начало отбелязваме, че обикновена сфера, която е повърхността на обикновена топка, е двуизмерна (и самата топка е триизмерна). Двуизмерната сфера се състои от всички точки от триизмерното пространство, които са на еднакво разстояние от избрана точка, наречена център, която не принадлежи на сферата. Триизмерната сфера се състои от всички точки от четириизмерното пространство, които са на еднакво разстояние от нейния център (който не принадлежи на сферата). За разлика от двумерните сфери, триизмерните сфери Не е наличеннашето пряко наблюдение и ни е толкова трудно да си ги представим, колкото на Василий Иванович беше да си представи квадратния тричлен от известния виц. Възможно е обаче всички да сме в триизмерната сфера, тоест нашата Вселена да е триизмерна сфера.
Това е смисълът на резултата Перелманза физика и астрономия. Терминът „просто свързано компактно триизмерно многообразие без ръб“ съдържа указания за предполагаемите свойства на нашата Вселена. Терминът "хомеоморфен" означава определена висока степен на сходство, в определен смисъл, неразличимост. Следователно формулировката като цяло означава, че ако нашата Вселена има всички свойства на просто свързано компактно триизмерно многообразие без ръб, тогава тя - в същия „известен смисъл“ - е триизмерна сфера.
Концепцията за проста свързаност е доста проста концепция. Нека си представим ластик (т.е. гумена нишка със залепени краища) толкова еластичен, че ако не го държиш, ще се свие до точка. Ние също така ще изискваме от нашата еластична лента, когато е издърпана до точка, тя да не излиза извън повърхността, върху която сме я поставили. Ако опънем такъв ластик на равнина и го пуснем, той веднага ще се свие до точка. Същото ще се случи, ако поставим ластик върху повърхността на глобус, тоест върху сфера. За повърхността на спасителна шамандура ситуацията ще бъде напълно различна: любезният читател лесно ще намери такива подредби на ластика върху тази повърхност, при които е невъзможно да издърпате ластика до точка, без да излезете извън въпросната повърхност. Геометрична фигура се нарича просто свързана, ако всеки затворен контур, разположен в границите на тази фигура, може да се свие до точка, без да излиза извън посочените граници. Току-що видяхме, че равнината и сферата са просто свързани, но повърхността на спасителния пояс не е просто свързана. Самолет с изрязан отвор също не е просто свързан. Концепцията за проста свързаност се прилага и за триизмерни фигури. Така кубът и топката са просто свързани: всеки затворен контур, разположен в тяхната дебелина, може да бъде свит до точка и по време на процеса на свиване контурът винаги ще остане в тази дебелина. Но багелът не е просто свързан: в него можете да намерите контур, който не може да се свие до точка, така че по време на процеса на свиване контурът винаги да е в тестото на геврека. Геврекът също не е моносвързан. Може да се докаже, че триизмерната сфера е просто свързана.
Надяваме се, че читателят не е забравил разликата между сегмент и интервал, която се учи в училище. Сегментът има два края; той се състои от тези краища и всички точки, разположени между тях. Интервалът се състои само от всички точки, разположени между неговите краища; самите краища не са включени в интервала: можем да кажем, че интервалът е сегмент с отстранени краища от него, а сегментът е интервал с краища, добавени към то. Интервалът и сегментът са най-простите примери за едномерни многообразия, където интервалът е многообразие без ръб, а сегментът е многообразие с ръб; ръбът в случай на сегмент се състои от два края. Основното свойство на многообразията, което е в основата на тяхната дефиниция, е, че в многообразието околностите на всички точки, с изключение на точките на ръба (които може да не съществуват), са подредени по абсолютно еднакъв начин.
В този случай околността на точка А е съвкупността от всички точки, разположени близо до тази точка А. Микроскопично същество, живеещо в колектор без ръб и способно да вижда само точките на този колектор, които са най-близо до себе си, не е в състояние да определи в коя точка е, битието, е: около себе си винаги вижда едно и също нещо. Още примери за едномерни многообразия без ръб: цялата права линия, кръг. Пример за едномерна фигура, която не е многообразие, е линия с формата на буквата Т: има специална точка, чийто околност не е подобна на околността на други точки - това е точката, в която три сегментите се срещат. Друг пример за едномерен колектор е линия с фигура осем; Четири линии се събират в специална точка тук. Равнина, сфера и повърхност на спасителен пояс са примери за двумерни многообразия без ръб. Една равнина с изрязан отвор също ще бъде колектор - но с или без ръб, зависи къде ще поставим контура на отвора. Ако го отнесем към дупка, получаваме колектор без ръб; ако оставим контура на равнината, получаваме многообразие с ръб, за което ще служи този контур. Разбира се, тук имахме предвид идеално математическо рязане, а при реално физическо рязане с ножица въпросът къде принадлежи контурът няма никакъв смисъл.
Няколко думи за тримерните многообразия. Сферата, заедно със сферата, която служи като нейна повърхност, е многообразие с ръб; посочената сфера е именно този ръб. Ако премахнем тази топка от околното пространство, получаваме многообразие без ръб. Ако отлепим повърхността на топка, получаваме това, което се нарича „шлайфана топка“ на математически жаргон и отворена топка на по-научен език. Ако премахнем отворена топка от околното пространство, получаваме многообразие с ръб, а ръбът ще бъде самата сфера, която сме откъснали от топката. Франзелата, заедно с кората си, е триизмерен колектор с ръб и ако откъснете кората (която ние третираме като безкрайно тънка, тоест като повърхност), получаваме колектор без ръб в под формата на „шлайфан багел“. Цялото пространство като цяло, ако го разбираме така, както се разбира в гимназията, е триизмерно многообразие без ръб.
Математическата концепция за компактност отчасти отразява значението, което думата „компактен“ има в ежедневния руски език: „близък“, „компресиран“. Геометрична фигура се нарича компактна, ако при всяко подреждане на безкраен брой нейни точки те се натрупват в една от точките или в много точки на една и съща фигура. Сегментът е компактен: за всяко безкрайно множество от неговите точки в сегмента има поне една така наречена гранична точка, всяка околност на която съдържа безкрайно много елементи от разглежданото множество. Интервалът не е компактен: можете да посочите набор от неговите точки, който се натрупва към края му и само към него - но краят не принадлежи на интервала!
Поради липса на място ще се ограничим до този коментар. Нека просто кажем, че от примерите, които разгледахме, компактните са сегмент, кръг, сфера, повърхнините на франзела и геврек, топка (заедно със сферата й), франзела и геврек (заедно с неговите кори). За разлика от тях, интервал, равнина, шлайфана топка, багел и геврек не са компактни. Сред триизмерните компактни геометрични фигури без ръб най-простата е триизмерната сфера, но такива фигури не се вписват в нашето обичайно „училищно“ пространство. Може би най-дълбокото от онези понятия, които са свързани с хипотезата Поанкаре, е понятието хомеоморфия. Хомеоморфията е най-високото ниво на геометрична еднаквост . Сега ще се опитаме да дадем приблизително обяснение на това понятие, като постепенно се приближаваме към него.
Още в училищната геометрия срещаме два вида еднаквост - конгруентността на фигурите и тяхната прилика. Спомнете си, че фигурите се наричат конгруентни, ако съвпадат една с друга, когато са насложени. В училище еднаквите фигури изглежда не се различават и затова конгруентността се нарича равенство. Конгруентните фигури имат еднакви размери във всичките си детайли. Сходството, без да се изисква еднакъв размер, означава същите пропорции на тези размери; следователно сходството отразява по-съществено сходство на фигурите, отколкото конгруентността.Геометрията като цяло е по-високо ниво на абстракция от физиката, а физиката е по-високо от науката за материалите.
Вземете например сачмен лагер, топка за билярд, топка за крокет и топка. Физиката не се задълбочава в такива подробности като материала, от който са направени, а се интересува само от такива свойства като обем, тегло, електропроводимост и т.н. За математиката всички те са топки, различаващи се само по размер. Ако топките имат различни размери, тогава те са различни за метрична геометрия, но всички са еднакви за геометрия на подобие. От гледна точка на геометрията всички топки и всички кубчета са подобни, но топката и кубът не са едно и също.
Сега нека разгледаме тора. Топ е геометрична фигура, чиято форма е оформена като волан и спасителен пояс. Енциклопедията определя тор като фигура, получена чрез въртене на кръг около ос, разположена извън кръга. Призоваваме любезния читател да осъзнае, че топката и кубът са „по-сходни“ една с друга, отколкото всеки от тях с тора. Следният мисловен експеримент ни позволява да изпълним това интуитивно осъзнаване с точно значение. Нека си представим топка, направена от материал, който е толкова гъвкав, че може да се огъва, разтяга, компресира и изобщо деформира както пожелаете - просто не може да се скъса или залепи. Очевидно топката може да се превърне в куб, но е невъзможно да се превърне в тор. Тълковният речник на Ушаков определя геврека като сладкиш (буквално: като маслена усукана кифла) във формата на буквата Б. С цялото ми уважение към този прекрасен речник, думите „във формата на числото 8“ ми се струват повече точен; Въпреки това, от гледна точка, изразена в концепцията за хомеоморфия, печенето във формата на числото 8, печенето във формата на буквата Б и печенето във формата на фита имат една и съща форма. Дори и да приемем, че пекарите са успели да получат тесто, което има горепосочените свойства на пластичност, кифла е невъзможна - без разкъсвания и слепване! - не се превръщат нито в геврек, нито в геврече, точно както последните две печива едно в друго. Но можете да превърнете сферичен кок в куб или пирамида. Любезният читател несъмнено ще намери възможна форма на печене, в която не може да се завърти нито кифличка, нито геврече, нито франзела.
Без да назоваваме това понятие, ние вече се запознахме с хомеоморфията. Две фигури се наричат хомеоморфни, ако едната може да се трансформира в друга чрез непрекъсната (т.е. без счупване или залепване) деформация; самите такива деформации се наричат хомеоморфизми.Току-що открихме, че топката е хомеоморфна на куба и пирамидата, но не е хомеоморфна нито на тора, нито на геврека, а последните две тела не са хомеоморфни едно на друго. Молим читателя да разбере, че сме дали само приблизително описание на понятието хомеоморфия, дадено от гледна точка на механична трансформация.
Нека се докоснем до философския аспект на понятието хомеоморфия. Нека си представим мислещо същество, което живее вътре в някаква геометрична фигура и Неимайки възможност да погледнете тази фигура отвън, „отвън“. За него фигурата, в която то живее, формира Вселената. Нека си представим също, че когато ограждащата фигура е подложена на непрекъсната деформация, съществото се деформира заедно с нея. Ако въпросната фигура е топка, тогава създанието по никакъв начин не може да различи дали е в топка, куб или пирамида. Възможно е обаче той да бъде убеден, че неговата Вселена не е оформена като тор или геврек. Като цяло, едно същество може да установи формата на заобикалящото го пространство само до хомеоморфност, тоест не е в състояние да различи една форма от друга, докато тези форми са хомеоморфни.
За математиката значението на хипотезата Поанкаре, която сега се превърна от хипотеза в теоремата на Поанкаре-Перелман, е огромна (не напразно бяха предложени милион долара за решаването на проблема), точно както е огромно значението на метода, открит от Перелман, за да го докаже, но обясняването на това значение тук е извън нашите възможности. Що се отнася до космологичната страна на въпроса, може би значението на този аспект беше донякъде преувеличено от журналистите.
Някои авторитетни експерти обаче твърдят, че научният пробив на Перелман може да помогне в изучаването на процесите на образуване на черни дупки. Черните дупки, между другото, служат като пряко опровержение на тезата за познаваемостта на света - едно от централните положения на това най-напреднало, единствено истинско и всемогъщо учение, което в продължение на 70 години беше насилствено набито в нашите бедни глави. В крайна сметка, както учи физиката, по принцип никакви сигнали от тези дупки не могат да достигнат до нас, така че е невъзможно да разберем какво се случва там. Като цяло знаем много малко за това как работи нашата Вселена като цяло и е съмнително, че някога ще разберем. И самият смисъл на въпроса за неговата структура не е напълно ясен. Възможно е този въпрос да е един от онези, които според учението Буда, Неима отговор. Физиката предлага само модели устройства, които повече или по-малко отговарят на известните факти. В този случай физиката, като правило, използва вече разработени препарати, предоставени й от математиката.
Математиката, разбира се, не претендира да установи някакви геометрични свойства на Вселената. Но ни позволява да разберем онези свойства, които са открити от други науки. Освен това. Позволява ни да направим по-разбираеми някои свойства, които е трудно да си представим; обяснява как може да стане това. Такива възможни (подчертаваме: просто възможни!) свойства включват ограничеността на Вселената и нейната неориентируемост.
Дълго време единственият възможен модел на геометричната структура на Вселената беше триизмерното евклидово пространство, тоест пространството, което е известно на всички от гимназията. Това пространство е безкрайно; изглеждаше, че не са възможни други идеи; Изглеждаше лудост да се мисли за крайността на Вселената. Но сега идеята за крайността на Вселената е не по-малко легитимна от идеята за нейната безкрайност. По-специално, триизмерната сфера е крайна. От общуването с физици останах с впечатлението, че някои отговориха „най-вероятно. Вселената е безкрайна“, докато други казаха, „най-вероятно Вселената е крайна“.
Успенски В.А. , Апология на математиката, или за математиката като част от духовната култура, сп. “Нов свят”, 2007, N 12, с. 141-145.
Почти всеки човек, дори и тези, които нямат нищо общо с математиката, е чувал думите „предположение на Поанкаре“, но не всеки може да обясни каква е същността му. За мнозина висшата математика изглежда нещо много сложно и недостъпно за разбиране. Затова нека се опитаме да разберем какво означава хипотезата на Поанкаре с прости думи.
Съдържание:
Каква е хипотезата на Поанкаре?
Оригиналната формулировка на хипотезата звучи така: „ Всяко компактно просто свързано триизмерно многообразие без граница е хомеоморфно на триизмерна сфера».
Топката е геометрично триизмерно тяло, нейната повърхност се нарича сфера, тя е двуизмерна и се състои от точки от триизмерното пространство, които са на еднакво разстояние от една точка, която не принадлежи на тази сфера - центърът на топката . В допълнение към двумерните сфери има и триизмерни сфери, състоящи се от много точки от четиримерното пространство, които също са на еднакво разстояние от една точка, която не принадлежи на сферата - нейния център. Ако можем да видим двуизмерните сфери със собствените си очи, то триизмерните не подлежат на зрителното ни възприятие.
Тъй като нямаме възможност да видим Вселената, можем да приемем, че тя е триизмерната сфера, в която живее цялото човечество. Това е същността на хипотезата на Поанкаре. А именно, че Вселената има следните свойства: триизмерност, безграничност, просто свързаност, компактност. Понятието „хомеоморфност“ в хипотезата означава най-висока степен на сходство, сходство, в случая на Вселената - неразличимост.
Кой е Поанкаре?
Жул Анри Поанкаре- най-великият математик, роден през 1854 г. във Франция. Интересите му не се ограничават само до математическите науки, той изучава физика, механика, астрономия и философия. Бил е член на повече от 30 научни академии по света, включително Академията на науките в Санкт Петербург. Историците на всички времена и народи нареждат Давид Хилберт и Анри Поанкаре сред най-великите математици в света. През 1904 г. ученият публикува известна статия, която съдържа предположение, известно днес като „предположението на Поанкаре“. Именно триизмерното пространство се оказа много трудно за изучаване от математиците; намирането на доказателства за други случаи не беше трудно. В течение на около един век истинността на тази теорема беше доказана.
В началото на 21 век в Кеймбридж е учредена награда от един милион щатски долара за решаването на този научен проблем, който е включен в списъка на проблемите на хилядолетието. Само руски математик от Санкт Петербург, Григорий Перелман, успя да направи това за триизмерна сфера. През 2006 г. той получава медала на Фийлдс за това постижение, но отказва да го получи.
Към достойнствата на научната дейност на ПоанкареМогат да се припишат следните постижения:
- основа на топологията (разработване на теоретични основи на различни явления и процеси);
- създаване на качествена теория на диференциалните уравнения;
- развитие на теорията на аморфните функции, която стана основа на специалната теория на относителността;
- представяне на теоремата за връщане;
- разработване на най-новите, най-ефективни методи на небесната механика.
Доказателство на хипотезата
Едно просто свързано триизмерно пространство получава геометрични свойства и се разделя на метрични елементи, които имат разстояния помежду си, за да образуват ъгли. За да опростим, вземаме като проба едномерно многообразие, в което на евклидовата равнина във всяка точка към гладка затворена крива са начертани допирателни вектори, равни на 1. При преминаване през кривата векторът се върти с определена ъглова скорост равен на кривината. Колкото повече се огъва линията, толкова по-голяма е кривината. Кривината има положителен наклон, ако векторът на скоростта е завъртян към вътрешността на равнината, която разделя линията, и отрицателен наклон, ако е завъртян навън. В местата на инфлексия кривината е равна на 0. Сега на всяка точка от кривата се задава вектор, перпендикулярен на вектора на ъгловата скорост и с дължина, равна на стойността на кривината. Той е обърнат навътре, когато кривината е положителна, и навън, когато е отрицателна. Съответният вектор определя посоката и скоростта, с която се движи всяка точка от равнината. Ако нарисувате затворена крива навсякъде, тогава с такава еволюция тя ще се превърне в кръг. Това важи за триизмерното пространство, което трябваше да бъде доказано.
Пример:Когато се деформира, без да се счупи, балонът може да бъде направен в различни форми. Но не можете да направите багел; за да направите това, просто трябва да го нарежете. И обратното, като имате багел, не можете да направите твърда топка. Въпреки че от всяка друга повърхност без прекъсвания по време на деформация е възможно да се получи сфера. Това показва, че тази повърхност е хомеоморфна на топка. Всяка топка може да се завърже с конец с един възел, но това е невъзможно да се направи с поничка.
Топката е най-простата триизмерна равнина, която може да се деформира и сгъне в точка и обратно.
важно!Хипотезата на Поанкаре гласи, че затворено n-мерно многообразие е еквивалентно на n-мерна сфера, ако е хомеоморфно на нея. Това стана отправна точка в развитието на теорията за многомерните равнини.
